04第四章__动能和势能

第四章 动能和势能

一、 内容提要

1. 功 功的定义：r F r r d A ⋅=

⎰

1

在直角坐标系中：dy F dx F A y ,x y ,x y x ⎰

+=

1

10

在平面自然坐标系中：⎰

=1

s s ds F A τ

在极坐标系中：θθθ

θrd F dr F A ,r ,

r r ⎰+=

1

10

瞬时功率：v F ⋅=N 2. 动能定理

质点的动能定理： 2022

121mv mv A -= 质点系的动能定理：∑∑∑∑-=+k 0k E E A A 内外

3. 势能

保守力：0=⋅=⎰

L

d A r F

势能：⎰

⋅=

零点

场点

保r F d E p

功能原理：

)p k ∑∑∑∑+∆=+E E A A （内非外

机械能守恒定律： 若

0=∑外

A ，∑=0内非A ，则恒量=+∑∑p k E E

4. 碰撞

（1）对心碰撞（一维碰撞）：碰撞前后两物体沿同一直线运动

2021012211v m v m v m v m +=+

20

101

2v v v v e --=

完全弹性碰撞：1=e 完全非弹性碰撞：0=e

（2）二维碰撞：2021012211v v v v m m m m +=+

完全弹性碰撞：2202210122221121212121v m v m v m v m +=+ 5. 克尼希定理：2

2c 2

121i i k v m mv E '+=∑

二、习题解答

4.2.2本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重

物50kg 。人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动。设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动。问运动员对传送带作功否？功率如何？

解：由于人的质心相对于地面不动，故人除了受到水平向右的绳拉力以外，还受到等值反向的传送带的摩擦力的作用，该力大小为N 4908950=⨯=.f ；同时根据牛顿第三定律，传送带也受到运动员的摩擦力的作用，大小为N 4908950=⨯=.f ，方向向右。而传送带在水平方向发生位移，故运动员对传送带作了功，其功率为

W 9802490=⨯==fv P

4.2.3一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为3

21l k l k f +=，l 表示弹簧的伸长量，1k 为正。（1）研究当02〉k 、02〈k 和02=k 时弹簧的劲度dl

df

有何不同；（2）求出将弹簧由1l 拉长至2l 时弹簧对外界所作的功。 解：（1）弹簧的劲度

2213l k k dl df

+= 当02=k 时，劲度系数1k dl df

=为恒定值，即与伸长量l 的变化无关，此时弹簧为线性

弹簧；

当02〉k 时， 劲度系数

0〉dl

df

为伸长量l 的函数，且随伸长量l 的增加而增大； 当02〈k 时， 因劲度系数应0≥dl

df

，令弹簧的最大伸长量为max l ，则2k 取值范围应为

0322

1〈≤-

k l k max ，此时，劲度系数dl

df

为伸长量l 的函数，且随伸长量l 的增加而减小。 （2）根据功的定义，将弹簧由1l 拉长至2l 时弹簧对外界所作的功为

⎰⎰+==2

1

21

)(321l l l l dl l k l k fdl A

)-(41)-(21414

2221221l l k l l k +=

))]((2

1[212122212221l l l l k k -++=

4.2.4一轻细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，绳穿过桌中心光滑圆孔，用力F 向下拉绳。证明力F 对线作的功等于线作用于小

球的拉力所作的功。线不可伸长。 证明：由于轻细绳，故细绳运动过程中所受外力仅为拉绳的力F 和小球对绳的作用力T ，又由于绳不可伸长，故对轻绳应用动能定理，可有0=+T F A A ，即F T A A -=

由于小球对绳的作用力T 与绳作用于小球的拉力T '为作用力与反作用力，即T T -='，而各自作用点的位移相同，

故F T T A A A =-='，此式说明力F 对线所做的功等于绳作用于小球的拉力所作的功。 4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h 的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？

解：卡车向上以匀速v 行使时，牵引力mg .sin mg F 040+=α；向下以匀速v '行使时，牵引力αsin mg mg .F -='040，根据题意，上下坡的功率相同，有

v F Fv ''=

即 v s i n mg mg .mg .sin mg '-=⨯+)040(15)040(αα

可求得卡车下坡的速率 4.3.1 质量为m =0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与一不可伸长的轻绳相连。绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力

T ＝50N 。木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s 。求力T 将木块自A 拉至B 点时的速度。

解：木块在A 点时绳长5米，到达B 点时拉力的作用点移动了2米，对木块应用质点的动能定理，有

202B 2

1212mv mv T -=

⋅ 将N 50=T ，s /m 60=v ，kg 5.0=m 代入可解得

s /m 88.20B =v ，方向向右 。

4.3.2 质量为1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上。不可

伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F ，F =60N 。木块在A 处有向上的速度v 0=2m/s ，求木块被拉至B 时的速度。 解：木块在A 点时绳长25

.0米，到达B 点时拉力的作

用点移动了)12(5.0-米，对木块和地球组成的系统应