122《组合》课件(新人教B选修2-3)
人教B版数学选修23课件1221组合及组合数公式
应一个三角形,不共面的四点确定一个四面体等,解题时可借图形
来帮助思考,并善于利用几何性质.
③对于有多个约束条件的问题,可以先分析每个约束条件,再综
合考虑是分类、分步或交替使用两个基本原理;也可以先不考虑约
束条件,再去除不符合条件的情况获得结果.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 应用组合的定义解题
【例1】 判断下列问题是排列问题,还是组合问题.
(1)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,有多少种不同的取法?
(2)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位
数共有多少个?
分析取出元素之后,在安排这些元素时,与顺序有关的则为排列问
题型二
题型三
题型四
正解由题意可知m的取值范围是{m|0≤m≤5,m∈N}.
!(5-)! !(6-)!
− 6!
5!
由已知得
7(7-)!!
= 10×7! ,
整理得m2-23m+42=0,
解得m=21或m=2.
∵m∈{m|0≤m≤5,m∈N},∴m=2.
1
2
3
4
5
1.给出下面几个问题:
①由1,2,3,4构成的含两个元素的集合;
≤
,
2
2
解:由题意可知 3 ≤ + 21, 即
∈N+,
∈N+,
∴n=10.
28
∴原式=C30
+
30
C31
=
30!
31!
+
2!×28! 1!×30!
人教版高中数学选修2-3课件 组合与组合数公式
8
5．7 个朋友聚会，每两人握手 1 次，共握手________次． 解析：组合问题，共握手 C72＝21 次． 答案：21
9
课堂探究 互动讲练 类型一 组合的有关概念 [例 1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)10 人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手 多少次？ (2)10 名同学分成人数相同的两个学习小组，共有多少种分法？ (3)从 1,2,3，…，9 九个数字中任取 3 个，然后把这三个数字相 加得到一个和，这样的和共有多少个？ (4)从 a，b，c，d 四名学生中选 2 名，去完成同一件工作，有 多少种不同的选法？
1
【课标要求】 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用 组合数公式进行计算. 3.会解决一些简单的组合问题.
2
自主学习 基础认识 1．组合的定义 从 n 个不同元素中取出 m(n≥m)个元素合成一组，叫做从 n 个
不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE， ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
17
方法归纳 (1)此类列举所有从 n 个不同元素中选出 m 个元素的组合，可 借助本例所示的“顺序后移法”(如方法一)或“树形图法”(如方 法二)，直观地写出组合做到不重复不遗漏． (2)由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出 ab 后，不必再 交换位置为 ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶 层及下枝的排列思路．防止重复或遗漏.
(vip免费)【数学】1.2.2《组合(二)》课件(新人教A版选修2-3)
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中
至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 9
。
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果
其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数
为（ C ）
A.(C83 C72 )(C73 C82 )
B.(C83 C72 ) (C73 C82 )
例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线 上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确 定多少条直线？可以作多少个三角形？
（2）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个 点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？
例7、有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通 法语，还有2名英、法语皆通。现欲从中选出8名，其 中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同 的名单？
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
人教课标版高中数学选修2-3《组合》第二课时参考课件
C m1 n
Cm n1
C m1 n1
2、
C
n n
Cn n1
Hale Waihona Puke Cn nm
C n1 n m 1
组合 （二）
2021/3/16
复习
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合
的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合
数。用符号
C
m n
表示
组合数计算公式
(1)C m
Am n
n(n 1)(n 2)(n m 1)
这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出 m 1个元素与a1组成的，共有Cnm1个； 不含a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出 m个元素组成的，共有Cnm个
由分类计数原理，得
组合数性质2
C m C m C m1
198 ;
200
2 200 199 19900
200
21
C C ( 2 )
3 2;
99
99
C 3 100 99 98 161700
100
321
2C C C ( 3 )
3 3 2 .
8
9
8
C C C C C 2 3 ( 3 2) 2 3 56
8
8
8
8
8
例 证明
1、
Cm n1
①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？
②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，有多 少种取法？
高中数学 1.2.2 第2课时 组合的综合应用配套课件 新人教B版选修23
教 师
备
有无重复或遗漏．
课 资
源
菜单
人教B版 ·数学 选修2-3
易
错
易
误
教
辨
学
析
教
法 分 析
当 堂 双
现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名．
基
教
达
学 方
(1)现要从中选 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？ 标
案
设 计
(2)选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多 课 时
课标解读
合问题．(重点)
课 时
作
课 堂
3．掌握解决组合问题的常
业
互
动 探
见的方法．(难点)
教
究
师
备
课
资
源
菜单
人教B版 ·数学 选修2-3
易
错
某次足球赛共 12 支球队参加，分三个阶段进
易 误
教
辨
学 行．
析
教
法 分 析
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组 6 队进行单循
当 堂
双
环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
计
(3)决赛只需比赛 1 场，即可决出胜负．
课 时 作
课
业
堂 互
所以全部赛程共需比赛 30＋4＋1＝35(场)．
动
探
教
究
师
备
课
资
源
菜单
人教B版 ·数学 选修2-3
易
错
易
教
1．本题在小组赛时是单循环赛，与顺序无关，是组合
误 辨
学
析
教 问题；半决赛中实行主客场，属排列问题；决赛只有一场，
《组合》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第1.2.2课时)
或采用排除法：
C12 * C141 + C22 * C131 = 825.
C153 - C151 = 825.
课堂练习
继续解答
④至多有两名女生含有三类：有2名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为：
⑤分两类：
C52 * C83 + C15 * C48 + C58 = 686.
A. 150种 B. 180种 C. 300种 D. 345种
本小题考查分类计算原理、分 步计数原理、组合等问题
课堂练习
1.填空 （1）6人分乘两辆小汽车出行，每辆车最多可坐4人，不同的乘车方法种数为__5_0__种(用数字作答). （2）长方体的长、宽、高分别为自然数a、b、c且0<c≤b<a≤6，这样的长方体一共有___3_5___个.
C 一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有_____.
A.120种 B.96种
C.60种
D.48种
解析：
5人中选4人则有
C
4 5
种，周五一人有
C
1 4
种，周六两人则有
C11
，周日则有
C
2 3
种，
故共有
C
4 5
×
C 41×
C3=2 60种,故选C.
课堂练习
2.某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，
课前导入
问题1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而问题2只要求选出2名同学,是与顺序无 关的. 这就是我们这节课要学习的内容———组合
新知探究
人教版高中数学选修二教学课件-组合
(1) 解：由组合数的定义知,
19
0 0
≤ ≤
38-������ 3������ ≤
≤ 3������, 21 + ������,
学习目标
思维脉络
1.能分析组合的意义,并能正确区分排列
与组合.
2.能记住组合数的计算公式,组合数的性 质以及组合数与排列数之间的关系,并
能运用组合数公式与组合数性质进行运
算.
1.组合的相关概念
(1)定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
∴mC������������ =nC������������-1-1.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练 2 (2)证明:C������������
=(���1������-)������求��� CC���������33���-���18���-.������
+
C231������+������ 的值.
(4)是组合问题,因为去开会的 3 个人之间没有顺序的区别,组合 数为C130 =120.
(5)是排列问题,因为 3 个人担任哪一科的课代表是有区别的,排 列数为A310=720.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题,并用组合
数或排列数表示出来.
(2)发邮件与顺序有关,是排列问题,共写了A28=56 封电子邮件. (3)飞机票与起点站、终点站有关,故求飞机票的种数是排列问题, 有A24=12 种飞机票;票价只与两站之间的距离有关,故票价的种数是 组合问题,有C42=6 种票价.
人教A版高中数学选修2-3课件1.2.2《组合》课件(2)(新选修2-3)
已知
C
4 n
=
C
6 n
，求
C
9 n+
2
的值.
C9 n+2
=
C
9 12
=
C
3 12
=
220
例2
已知
C
2 n+
3
=
C2 n+1
+
C
2 n
+
C
1 n+
1(n
?
2)
求n的值.
n＝4
例3
计算：C
2 2
+
C
2 3
+
C
2 4
+
L
+
C
2 20
1330
例4 化简下列各式：
(1)
C
m n+
C
m n
1
-
C n- m+1 n C n- m n
+ 1)(n - m ) 2)L 2 ?1
可得什么结论？
C
m n
=
m+1 (n - m )
C
m n
+
1
思考4：由
C
m n
=
n-
m m
+
1 ?n(n - 1)(n - 2)L (n - m + (m - 1)(m - 2)L 2 ?1
2)
可得什么结论？
C
m n
=
n-
m m
+
1C
m n
-
1
理论迁移
例1
=
C
m n
+
人教版高中数学选修2-3-1.2.1组合-PPT课件
问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合
2、组合数的概念：从 n 个不同元素中取出 m (m n)
素的一个组合.
说明：（1）不同元素； （2）“只取不排”——无序性； （3）相同组合：元素相同。
例1．判断下列问题是组合还是排列 （1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，
有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ （2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛 （3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员
变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
课堂练习
1、课本25页，练习 1、2、3、4题 2、多媒体投影。
②从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动， 有多少种不同的选法？
引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定 的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与 顺序无关的。引出课题：组合
新课讲授
1、组合的概念：从 n 个不同元素中，任取 m (m n)
个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元
人教版高中数学选修2-31.2.1组合-PPT课件
复习引入
1、分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
2、排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m (m n)
高中数学人教B版选修2-3配套课件：1.2.2第2课时组合的综合应用
无限制条件的组合问题
某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比 赛，以积分及净胜球数取前两名； (2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组 第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者； (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负． 问全部赛程共需比赛多少场？
在本题条件不变的情况下，选出的3名同学既有男生，又有 女生的选法有几种？
【解】 法一：(直接法)
可分两类：
1 第一类：3名同学为2男1女情况共有N1＝C2 C 20 15＝2 850种； 2 第二类：3名同学为1男2女情况共有N2＝C1 20C15＝2 100种．
根据分类加法计数原理，共有选法N＝N1＋N2＝ 2 850＋2 100＝4 950种．
某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任 选2荤2素共4种不同的菜．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若 要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备 不同的素菜多少种？
【解】 设餐厅至少还需准备n种不同的素菜，由题意得，
2 2 C2 · C ≥ 200 ，从而有 C 5 n n ≥20，即n(n－1)≥40，所以n的最小值为
3．情感、态度与价值观 培养学生的数学应用意识和创新意识，提高对数学的题的解题策略． 难点：实际问题的转化． 教学时通过例题的讲解让学生体会各种常见组合问题的题 型，掌握应对策略，从而突出重点，化解难点．
1.学会运用组合的概念分析简单的实际问题．(重点) 课标解读 2．能解决无限制条件的组合问题．(重点) 3．掌握解决组合问题的常见的方法．(难点)
2 2
＝2×1×2＝
1．本题在小组赛时是单循环赛，与顺序无关，是组合问 题；半决赛中实行主客场，属排列问题；决赛只有一场，与顺 序无关，是组合问题． 2．解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题， 取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素 排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组 合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注 意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗 漏．
《组合》教案(人教B版选修2-3)
1．2．2组合教学目标：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。
明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数m n A 与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。
情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。
教学重点：组合的概念和组合数公式 教学难点：组合的概念和组合数公式 授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程： 一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同mn C的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）6阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m -8.提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．． 二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 例1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？ （4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下： 组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A＝⋅34C 33A，所以，333434A A C =．（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步： ① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅． （3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且规定: 01n C =.三、讲解范例：例2．用计算器计算710C ．解：由计算器可得例3．计算：（1）47C ； （2）710C ；（1）解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 例4．求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C ． 证明：∵)!(!!m n m n C m n -=111!(1)!(1)!m nm m n C n mn m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+--- ＝!!()!n m n m -∴11+⋅-+=m n m n C mn m C 例5．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．∴所求值为4或7或11．例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法； 第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法．所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）.例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有2101094512C⨯==⨯（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）.例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有31001009998123C⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）.(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种） .解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
高中数学人教B版选修2-3配套课件：1.2.2第1课时组合与组合数公式
(3)证明：mCm n ＝m·
n！ n· n－1 ＝n· ＝nCm － n 1. m－1！n－m！
m 1．涉及具体组合数的计算时，一般用乘积式Cn ＝
nn－1n－2„n－m＋1 计算． m！ 2．凡涉及字母的证明、解方程(或不等式)时，常用阶乘式
【自主解答】
(1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个
元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C3 7个． (2)因为发件人与收件人有顺序区别，与顺序有关是排列问 题，共写了A2 8个电子邮件． (3)同时通电话，无顺序，是组合问题，共通了C2 8次电话． (4)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排 列问题，有A
m Cn ＝
n！ 计算． m！n－m！
化简
－2 3 2 (1)Cn ＋ C ＋ C n n n＋1；
m＋1！ m＋2！ m＋n！ (2)m！＋ ＋ ＋„＋ . 1！ 2！ n！
【解】
3n≥38－n≥0， 21＋n≥3n≥0，
① ②
38 21 38 21 由①得 4 ≤n≤38，由②得0≤n≤ 2 ，∴ 4 ≤n≤ 2 ， 又∵n∈N＋，∴n＝10，
28 ∴原式＝C30 ＋C30 31＝
30！ 31！ ＋ ＝466. 28！30－28！ 30！31－30
●重点、难点 重点：组合数公式的应用． 难点：组合数公式的推导． 组合数公式的推导过程体现了众多数学思想方法的应用， 教学的关键是引导学生研究组合与排列的关系，发现排列可以
m m 分为“先取元素，再作全排列”两个步骤，即A n ＝C m n A m ，从而
化解难点．
1.理解组合与组合数的概念．(重 课标 点) 解读 2．会推导组合数公式并会应用公 式求值．(难点)
【优课】高中数学选修2-3课件：3.2组合的应用 (共22张PPT)
探究二 与几何图形有关的组合问题
议
2、已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平
面？
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
解 (1)所作出的平面有三类：
①α内 1 点，β内 2 点确定的平面，有 C14·C26个． ②α内 2 点，β内 1 点确定的平面，有 C24·C16个． ③α，β本身，有 2 个．
C42
6种不同。
探究一：分组、分配问题
议
1、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分
配，也可以分组后再分配．
议
练1 有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内， (1)共有多少种放法？ (2)恰有1个盒不放球，有多少种放法？ (3)恰有1个盒内放2个球，有多少种放法？ (4)恰有2个盒内不放球，有多少种放法？ 解 (1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独 立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256(种)．
Cnm＝AAmnmm＝__n_（__n_－__1_）__（___n_－_m_2_！）__…__（__n_－__m__＋__1_）_＝ n！
_m__！__（__n_－__m__）__！(n，m∈N*，m≤n)．特别地 C0n＝Cnn＝1.