《高数(同济六版)》第七章 微分方程--参考答案

第七章 微分方程—练习题参考答案
一、填空题
1. 三阶；
2. 023=+'-''y y y ；
3. 1-='
x
y y ；
4. x e 22ln ⋅ ；
5. x x e c e c 221-+；
6. 错误 、错误、错误、正确. 二、选择题
1-5:ACDCB; 6-8: CCB;
三、计算与应用题 1、（1）解：变量分离得，
1
1
2
2
-=
+x xdx y ydy ，
两边积分得，
c x y ln 2
1)1ln(2
1)1ln(2
12
2
+-=+，
从而方程通解为 )1(122-=+x c y . （2）解：整理得，
x y x y dx
dy ln =，可见该方程是齐次方程，
令
u x
y =，即xu y =，则dx
du x
u dx
dy +=，代入方程得，u u dx
du x
u ln =+，
变量分离得，
x
dx u u du =
-)
1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-，
所以原方程的通解为cx x
y =-1ln ，或写为1
+=cx xe
y .
（3）解：整理得，x
e y x
y =+
'1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为
)(1)(1)(1
1
c e xe x
c dx xe x
c dx e
e e
y x
x x
dx
x x
dx
x +-=
+=+⎰⎰=⎰⎰-
.
（4）解：整理得，
x
y x
x dx
dy 1ln 1=
+，这是一阶线性方程，利用公式得通解为
)2
ln (ln 1)ln (ln 1)1(2
ln 1
ln 1
c x
x c dx x x x c dx e x e
y dx x x dx
x x +=+=+⎰⎰=⎰⎰-
， 代入初始条件1==e
x y
得2
1=
c ，从而所求特解为)ln 1(ln 2
1x
x y +
=
.
（5）解：将方程两边逐次积分得，12
arctan 11c x dx x y +=+=
'⎰
，
212
1)1ln(2
1arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+=
⎰
，
即原方程通解为212
)1ln(2
1arctan c x c x x x y +++-
=.
（6）解：方程中不显含未知函数y ，所以可令)(x p y ='，则)(x p y '=''，代入方程得，
x p p =-'，这是一阶线性方程，其通解为
x
x x x x x dx dx e c x c e xe e c dx e x e c dx e x e p 111111)()()(+--=+--=+=+⎰⎰=----⎰⎰，
从而x e c x y 11+--='，两边积分得原方程通解为 2122
1c e c x x y x
++--=.
2、解：将⎰
+=x
du u f x x f 0
)()(两边对x 求导并整理得，1)()(=-'x f x f ，这是一阶线性微分方程，
所以
)()()()(1c e e c dx e e c dx e e x f x x x x dx dx +-=+=+⎰⎰=---⎰⎰，
又由⎰
+
=x
du u f x x f 0
)()(可知0)0(=f ，从而1=c ，
所以所求1)(-=x e x f .
3、证明：因为)(),(),(321x y x y x y 都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的特解，
所以21y y -和32y y -都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''对应齐次方程的解， 又因
3
221y y y y --不恒等于常数，所以21y y -和32y y -线性无关，
从而对应齐次方程的通解为)()(322211y y c y y c Y -+-=， 所以原方程的通解为1y Y y +=1322211)()(y y y c y y c +-+-=， 即3221211)()1(y c y c c y c y --++=.。