考研高数知识总结1

考研数学讲座（17）论证不能凭感觉

一元微分学概念众多，非常讲究条件。讨论问题时，要努力从概念出发，积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。

1． x趋于∞时，求极限 lim xsin（2x∕(x平方+1) ,你敢不敢作等价无穷小替换?

分析只凭感觉，多半不敢。依据定义与规则，能换就换。

x 趋于∞时，α = 2x∕(x平方+1)是无穷小，sinα是无穷小，

sinα（x）～α（x）且sinα处于“因式”地位。可以换。

等价无穷小替换后，有理分式求极限，是“化零项法”处理的标准∞∕∞型，答案为 2

2．设f(x)可导，若f(x)是奇（偶）函数（周期函数，单调函数，有界函数），它的导函数fˊ(x)有什么样的奇偶性（周期性，单调性，有界性）？

分析有定义数学式的概念，一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如

奇函数 f(－x)= －f(x) 周期为T的函数 f(x+T)= f(x)

等式两端分别求导，得 fˊ(－x) = fˊ(x) fˊ(x+T)= fˊ(x)

（实际上，由复合函数求导法则，（f(－x)）ˊ= fˊ(－x) (－x)ˊ= －fˊ(－x)）

所以，奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。（如果高阶可导，还可以逐阶说下去。）周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是，因为 (x)ˊ= 1 ，有的非周期函数，比如y = x + sinx ，的导数却是周期函数。

（潜台词：周期函数的原函数不一定是周期函数。）

单调函数定义中没有等式的概念，可以先在基本初等函数中举例观察。

如y = x单增，yˊ = 1不是单调函数。y = sinx在（0，π/2）单增，yˊ = conx 单减，没有确定的结论。

有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到，在x趋于x0时，要是导数值无限增大，相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。显然，圆周上就有具竖直切线的点。

取 y =√（1－x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趋于 1 时，其导数的绝对值趋于正无穷。

这个反例说明有界函数的导数不一定有界。

（画外音：写出来很吓人啊。 x → 1 时，lim f (x) = 0 ，而 lim fˊ(x)= －∞）

3．连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗？

分析连续函数的复合，花样更多。原因在于复合函数f（g（x））的定义域，是f（x）的定义域与g（x）值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而，有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如：

取分段函数g（x）为，x ＞ 0 时 g =1 ， x ≤ 0 时 g = －1，0是其间断点。

取f（u）=√u ，则f（g（x））= 1 在 x ＞ 0 时有定义且连续。

还有一些原因让“病态点”消失。

如果只图简单，你可以取f（u）为常函数。以不变应万变。

取f（u）= u的平方，则f（g（x））= 1 ，显然是个连续函数。

4．设 f (x)可导，若x趋于 +∞时，lim f (x) = +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞

分析稍为一想，就知为否。例如 y = x

更复杂但颇为有趣的是 y = ln x ，x 趋于 +∞时，它是无穷大。但是 yˊ = 1∕x 趋于0 ，这就是对数函数异常缓慢增长的原因。

5．设f(x)可导，若x 趋于+∞时，lim fˊ(x) = +∞ , 是否必有 lim f(x) = +∞

分析用导数研究函数，这是微积分的正道。首先要体念极限（见指导（3）。）：

因为 lim fˊ(x) = +∞，所以当 x 充分大时，不仿设 x ＞ x0 时，总有 fˊ(x)＞1

用拉格朗日公式给函数一个新的表达式

f (x)= f (x0)+ fˊ(ξ)(x－x0) , x0 ＜ξ＜ x

(潜台词: ξ=ξ(x) 。你有这种描述意识吗？)

进而就有, x ＞x0 时, f (x) ＞f (x0) + 1(x－x0) （画外音：这一步是高级动作。）因为f (x0)是个常数，x0是我们选择的定点，所以上式表明，必有 lim f (x) = +∞

6 。设 f (x)可导，若x 趋于 -∞时，lim fˊ(x)=-∞ , 是否必有 lim f (x)= -∞

分析否。你如果与上述问题5对比，认为情形相仿，结论必有。那就太想当然了。

请你还是老老实实地象5中那样写出推理吧。结论是

若x 趋于 -∞时，lim fˊ(x)= -∞ , 则必有 lim f (x) = +∞

7．设 f (x)可导，若x 趋于+∞时，lim f (x) = c（常数，）是否必有lim f ˊ(x) = 0

分析否。lim fˊ(x) 有可能不存在。

这是最容易凭感觉想当然的一个题目。我读本科时，最初的想法就是，“lim f(x) = c 表示函数图形有水平渐近线，函数又可导，当然在 x 趋于+∞时，切线就趋于水平了。”

想当然的原因之一是我们见识太少，脑子里的函数都较简单，图形很光滑漂亮。之二则是对于渐近线的初等理解有惯性。

由极限定义的水平渐近线，并不在乎曲线中途是否与其相交。比如，

曲线可以以渐近线为轴震荡，最终造成 lim fˊ(x) 不存在的后果。

对比条件强化——如果 lim fˊ(x) 存在，则必有 lim fˊ(x) = 0

用反证法证明。且不仿设 x 趋于 +∞时 lim fˊ(x) = A ＞0

与前述5中同样，可以选定充分大的正数x0，使 x＞x0 时，总有fˊ(x)＞A/2 ，然后用拉格朗日公式给函数一个新的表达式，导数条件管住ξ，从而有

f (x) ＞f (x0) + A(x－x0) /2 —→+∞矛盾。

8．函数在一点可导，且导数大于0 ，能说函数在这一点单增吗？

分析不能。函数的单调性是宏观特征，背景是区间。函数在一点可导，且导数大于0，其间所蕴含的信息只能通过可导的定义去挖掘。即先把条件还原成定义算式，即

x 趋于x0 时，lim ( f (x)－f（x0））/ （x－x0）＞ 0

如果没有别的条件，下一步就试试体念符号。即在x0邻近，分子分母同号。进而在其右侧邻近，分子分母皆为正，f (x) ＞f（x0）。但是，我们不知道函数值相互间的大小。

*9 设f (x)可导，若fˊ(a)·fˊ(b) ＜ 0 ，则（a，b）内必有点c ，fˊ(c) = 0

分析对。尽管可导函数的导函数不一定连续。但是，导函数天然地满足介值定理。这个结论在微积分中叫“达布定理”。

在本篇问题8中，我们讲了“一点导数大于0”的逻辑推理。现在不仿设

fˊ(a) ＞ 0 而fˊ(b) ＜ 0

分别在a ， b两点处写出导数定义式，体念极限符号，（本篇问题8。）可以综合得到结论：函数的端值 f (a)，f (b) 都不是 f (x)在[a，b] 上的最大值。

最大值只能在（a，b）内一点实现，该点处导数为0

好啊，多少意外有趣事，尽在身边素材中。要的是脚踏实地，切忌空想。