初等数论期末复习48页PPT
石大《初等数论》课件
考虑方程组
因为
是两两互素的，故由中国剩余
定理知，上述同余方程组有正整数解，于是，连
续的
二进制转为十进制
• 任意一个二进制表示的数
其中
或1（0≤j≤n），等于转换为
十进制为：
十进制转为二进制
• 以11为例，按照下面的方法转换：
2 11
余数
2 5 ………1＝a0
低位
2
2 ………1＝a1
高位
2
1 ………0＝a2
0 ………1＝a3
11=
同一数值的不同进制表示
对于任何一个数，可以用不同 的进位制来表示。比如：十进制数 57，可以用二进制表示为111001， 也可以用八进制表示为71、用十六 进制表示为39，它们所代表的数值 都是一样的。
并写出思考过程。
2 一张数学试卷只有25道选择题，做对1道 题得4分，做错1道题扣1分，如果不做，不 得分也不扣分。若某位同学得了78分，那 么他做对 道题，做错 道题，不做 道题。
参考解答：
1 46 92346 92346 92346 92346 92346 8517
这一31位数的所有数码之和为
任一大于1的整数a能表成素数的乘积：
（1）
其中
是素数。且在不计次序的
意义下，表示式（1）是惟一的。
算术基本定理的证明
第三篇 不定方程
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程 个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、
整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程 也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也 是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内 容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论 等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在 数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地 的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地；另外 它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中 的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一 般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思 想、方法与技巧，创造性的解决问题。
(14)初等数论ppt第五、六章复习
当a 是模 p 的平方剩余时,由式(7) 及(8) 知,必有惟一的i,
使 x i(mod p)是 ( 5 ) 的 解 , 进 而 就 推 出 在 简 化 剩 余 系 ( 6 ) 中
有 且 仅 有 x i(mo d p)是 ( 5 ) 的 解 , 即 ( 5 ) 的 解 数 为2.
8
例 1 求 p 11,17,19,29的 平 方 剩 余 与 平 方 非 剩 余 .
563 21
例1 计算 (137) 227
解 227是素数,由定理1得
(1 3 7 ) ( 9 0) ( 1 )( 2 32 5) 227 227 227 227
(1)( 2 )( 32 )( 5 ) (1)( 2 )( 5 )
227 227 227
227 227
由 定 理3 得( 2 ) 1.由 定 理5,定 理 1 及 定 理 3 得 227
模 1 7 的 平 方 剩 余 是 : 1 ， 2 , 4 , 8 ; 平 方 非 剩 余 是 : 3, 5 , 6 , 7 .
9
定 理 2 (欧 拉 判 别 条 件)
设 质 数 p 2, p | a .那 么 , a 是 模 p 的
平 方 剩 余 的 充 要 条 件 是 a ( p1)/2 1 ( m o d p) ; ( 9 )
13
例2 利用定理 2来判断: (i) 3是不是模17的平方剩余; (ii) 7是不是模29的平方剩余.
例3 判断下列同余方程的解数： ( i ) x2 1 (mod 61); ( i i ) x2 16 (mod 51); ( i i i ) x2 2 (mod 209); ( i v) x2 63 (mod 187).
14
§3 Legendre符号, Gauss二次互反律
初等数论绪论课件
数的表示与转换
总结词
数的表示与转换是数论中一个重要的概念， 它涉及到数的不同表示方法和不同进制之间 的转换。
详细描述
数的表示方法有多种，包括十进制、二进制 、八进制和十六进制等。不同进制之间可以 进行转换，例如将十进制数转换为二进制数 或八进制数。此外，数的表示方法也涉及到 数的符号表示，如正数、负数和零的表示方 法。
整数的运算性质包括加法、减法、乘法和除法的性质。
详细描述
整数的运算性质是数论中的重要概念。加法和减法是可交换的，即a+b=b+a和a-b=b-a。加法和乘法满足结合 律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(a*b)*c=a*(b*c)。乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。除法在整数的范围内不 满足交换律和结合律，但满足分配律。
THANKS
感谢观看
有着重要的应用。
06
数的分解与表示
数的质因数分解
总结词
质因数分解是数论中一个基础概念， 它是指将一个合数表示为其质因数的 乘积。
详细描述
质因数分解是将一个合数表示为若干 个质数的乘积。例如，将数28进行质 因数分解得到2^2 * 7^1。质因数分 解是数论中一个重要的工具，它在解 决许多数学问题中都有应用。
近代数论
费马、欧拉、高斯等数学 家对数论的深入研究和突 破。
数论的应用领域
01
02
03
04
密码学
数论在加密算法和数字签名中 有着广泛的应用，如RSA算法
。
计算机科学
数论在计算机科学中用于实现 数据加密、网络安全和算法优
化。
物理科学
数论在物理科学中用于描述量 子力学和统计力学的数学结构
初等数论期末复习
2015年5月8日9时1分
性质(9)
若 a ≡b (mod m1), a ≡b (mod m2), m=[ m1, m2 ], 则 a ≡ b (mod m) .
性质(10) 设d ≥1， d | m，若a ≡b (mod m) ，
则 a ≡ b (mod d ) .
性质(11) 若a ≡b (mod m)，则 (a，m) = (b，m).
则一次同余方程ax ≡ b ( mod m )恰有一个解 .
一次同余方程有解的判定
定理3.1.3 设m为正整数， a, b是整数， (a, m)=d，则同
余方程 ax≡b (mod m) 有解的充分必要条件为 d | b.
定理3. 1. 4 设m为正整数, a为整数, (a, m)=d，
d | b，则同余方程 ax ≡ b (mod m) 恰有 d 个解．
变形(1)：加上或减去模的倍数，推广的加减变形，
即 a≡b+mk (mod m); 变形(2)：移项变形， 由 a≡b+c(mod m) 可得 a－c≡b(mod m); 变形(3)：约去同余式两端的公约数，约简变形，
2015年5月8日9时1分
简化剩余系的充要条件
定理2.2 7 整数集合 {a1 , a2 , , a ( m) }为模m的 简化剩余系的充要条件是： ( i ) (ai, m) =1 ( 1≤i ≤ϕ (m) ); ( ii ) 各数关于模m两两不同余．
2015年5月8日9时1分
定理 2.2.8 若( a，m ) = 1 , x 通过模 m 的简化 剩余系，则 ax 也通过模 m 的简化剩余系。
2015年5月8日9时1分
பைடு நூலகம்
利用同余解答整除问题
初等数论ppt
二
几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞
懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；
费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。 李冶在《测圆海镜》中系统而概栝地总结了天元术，使文 词代数开始演变成符号代数。 所谓天元术，就是设“天元 一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项 式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与 现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了16世纪以 后才完全作到这一点。
第一章 整数的整除性
第一节 整除的概念
• 一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数
• 一个性质：
整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数
关于奇数和偶数性质： 1.奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数； 2.两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的 奇偶性相反（同）。 3.若干个整数之和为奇数，则这些数中必有 奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整 数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇 数的个数必为偶数个。
初等数论第四章课件
解：取模15的绝对最小完全剩余系：-7, , -1, 0,1,7,直接代入检验知x 6,3是解，
所以同余式有两个解： x 6(mod15), x 3(mod15)
注：①同余式x x 0(mod p)有p个解
p
（由Fermat小定理可得）
②同余式f ( x) ms( x) 0(mod m)与（2）等价 特别地，一个同余式中系数为模的倍数的项去掉 后，同余式的解不变。
qd k x =x0 m d m x0 mq k d m x0 k (mod m)，k 0,1, 2,, d 1 d
（3）
m 但x0 k , k 0,1, 2, , d 1是对模m两两不同余的，故 d （1）有d 个解，即（3）
例2
求解18x 30(mod 42)
一般地用数学归纳法不难证明同余方程
a1 x1 ak xk b(mod m)有解的充要条件为d b , d (a1 , , ak , m), 此时有m k 1d 个解
第二节
孙子定理
我国古代的《孙子算经》里有问题如下： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三， 七七数之剩二，问物几何？”“答曰二十三”. 这是一个求解同余式组的问题，《孙子算经》 已给出了求解方法，即为下面的孙子定理:
例3、求解9 x 21(mod30)
解： (9,30) 3 21， 同余式有3个解
将同余式化为9x 30 y 21 或3x 10 y 7
上述不定方程有一组解为x 1, y 1
则同余式的3个解为：x 1,9,19(mod30)
注：由ax b(mod m) 或my b(mod m)，
第三四节高次同余式一质数模的同余式其中是质数1定理同余式与一个次数不超过的质数模同余式等价xqxrx利用带余除法及费马小定理可得出结论埃菲尔铁塔的整个塔体结构高耸上窄下宽给人以平衡稳定的美感
初等数论
进而得到
a (aa2 ) (aa ( m ) ) a ( m ) a2 a ( m ) a2 a ( m ) (mod m).
由于 a 2 ,, a ( m ) 与 m 互素，得
其中 fj(x)( 1 ≤j ≤k )是整系数多项式,称为同余方程组。若整数 c 同时满足同余方程组
f j (c) 0(mod m j ),
1 ≤j ≤k ，
孙子定理和大衍求一术
在我国古代的《孙子算经》 （纪元前后）里提出了这样的一个问题： “今 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” “答曰：二十三”. 孙子给出解法： “术曰：三三数之剩二，置百四十；五五数之剩三，置 六十三；七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之即 得.” 所谓“孙子定理”，便是蕴含在这解法中的数学原理。它要解决的问题的 一般形式是： “已知 m1、m2、m3 是两两互素的正整数，求最小正整数 x ，使它被
c 如果 a, b Œ ，则方程无整数解。
如果 a, b |c ，则方程一定有整数解。根据辗转相除法可以知道： 一定存在整数 x0 , y0 使得 ax0 by0 a, b ，则（
cx0 cy0 , ） a, b a, b
就是方程 ax by c 的一组整数解。设 a1 则不定方程的一切整数解可以表示为
m1、m2、m3 除所得余数分别为 a1 、 a2 、 a3 .”
这个问题的实质就是要求解同余方程组
x a1 (mod m1 ), x a2 (mod m2 ), x a3 (mod m3 )
孙子定理和大衍求一术
初等数论课件
初等数论课件《初等数论》课件⼗堰⼴播电视⼤学-------任鹏第⼀部分⼤纲说明⼀、课程的作⽤与任务“初等数论”课程是中央⼴播电视⼤学数学与应⽤数学专业的⼀门限选课。
数学与应⽤数学专业的学⽣学习⼀些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的⼀些课程。
通过这门课的学习，使学⽣获得关于整数的整除性、不定⽅程、同余式、原根与指标及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常⽤的⽅法，加强他们的理解和解决数学问题的能⼒，为今后的学习奠定必要的基础。
⼆、课程的⽬的与要求初等数论是研究整数性质的⼀门学科，历史上遗留下来没有解决的⼤多数数论难题其问题本⾝容易搞懂，容易引起⼈的兴趣，但是解决它们却⾮常困难。
本课程的⽬的是简单介绍在初等数论研究中经常⽤到的若⼲基础知识、基本概念、⽅法和技巧。
通过本课程的学习，使学⽣加深对整数的性质的了解，更深⼊地理解初等数论与其它邻近学科的关系。
三、教学要求有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等⽅法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
第⼆部分学时按排⼀、学时和学分1、本课程共54学时，学时分配为：2、学分本课程共3学分。
⼆、教材1、⽂字教材是学⽣学习的主要⽤书，它是教和学的主要依据。
根据远程开放教育要求和电⼤学⽣⼊学时⽔平参差不齐的实际情况，⽂字教材除主教材外，并配辅助教材。
⽂字教材是学⽣获得知识和能⼒的重要媒体，教材中对概念的叙述要直观⽆误，论证要清楚，要适合成⼈开放教育、以业余学习为主的特点，要便于学⽣⾃学。
2、本课程要积极探索基于⽹络环境的远程开放教育的教学模式、学习模式，充分利⽤IP课程的卫星、⽹络传播的优势，充分发挥IP 课程的教学内容可选和交互性，为学⽣⾃主学习本课程提供更⽅便的教学资源。
三、教学环节1、⾃学⾃学是电⼤学⽣获得知识的重要⽅式，⾃学能⼒的培养也是远程开放⾼等教育的⽬的之⼀，本课程的教学要注意对学⽣⾃学能⼒的培养。
初等数论 期末复习
题目：一、求同余式的解：111x 75(mod321)≡二、求高次同余式的解：)105(m od 0201132≡-+x x 。
三、求高次同余式的解: 27100x x ++≡(mod 13). 四、计算下列勒让德符号的值:105223-⎛⎫⎪⎝⎭, 91563⎛⎫⎪⎝⎭五、计算下列勒让德符号的值：)593438(，)1847365(六、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人。
求兵数。
七、设 b a ,是两个正整数，证明: b a ,的最大公因子00(,)a b ax by =+,其中00ax by +是形如ax by +(,x y 是任意整数)的整数里的最小正数. 八、证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为p a +2（a > 0是整数，p 为素数）的形式。
九、证明: 若方程 11...0n n n x a x a -+++= (0,i n a > 是整数,1,...,i n =)有有理数解,则此解必为整数.十、证明: 若(,)1a b =， 则(,)12a b a b +-=或十一、证明：设N ∈c b a ,,，c 无平方因子，c b a 22，证明：b a 。
十二、设p 是奇素数,1),(=p n , 证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡-p n np 21 (mod p ). 十三、设m > 1，模m 有原根，d 是)(m ϕ的任一个正因数，证明：在模m 的缩系中，恰有)(d ϕ 个指数为d 的整数，并由此推出模m 的缩系中恰有))((m ϕϕ个原根。
十四、设g 是模m 的一个原根，证明：若γ通过模()m ϕ的最小非负完全剩余系, 则g γ通过模m 的一个缩系。
第一题：求同余式的解：111x 75(mod321)≡ 解答：(111,321)3,375=∴同余式有三个解11175321x (m o d )333≡ 即 37x 25(mod107)≡ 4x 75(m o d 10≡ 又x 2775(mod107)99(mod107)≡⨯≡因此同余式的解为x 99,206,313(mod321)≡。