原子物理学——薛定谔方程

§3.4 薛定谔方程

一、薛定谔方程的建立 1．自由粒子的薛定谔方程 自由粒子的波函数:)(0)(0Et zp yp xp i

Et p r i z y x e

e

-++-⋅==

ψψψ (1)

对x 、y 、z 分别求二次偏导：

ψψx p i

x =∂∂ ψψψ2222 x x

p x p i x -=∂∂=∂∂ ψψy p i

y

=∂∂ ψψψ22

22 y y

p y p i y -=∂∂=∂∂ ψψz p i

z =∂∂ ψψψ22

22

z z

p x p i z -=∂∂=∂∂ 三者相加：

ψψψψψ222

222222222)(1

p p p p z y x z y x -=++-=∂∂+∂∂+∂∂ 拉普拉斯算符：2

22

22

22

z

y

x

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∇

ψψ22

2

p -=∇ (2)

对t 求一次偏导：ψψE i t -=∂∂ ψψ

E t

i =∂∂ (3)

自由粒子，m p m E 22122

==υ ψψm p E 22=

(4) 由(3)(4)式: ψψm

p t i 22

=∂∂ (5) (2)式代入(5)得:

ψψ2

22∇-=∂∂m

t i ――自由粒子的薛定谔方程。 (6) 2．一般粒子的薛定谔方程

一般粒子常受到力场的约束，用),(t r V

表示力场，则粒子在力场中受到的力为：),(t r V F -∇=，假设处于这种力场中的微观粒子的波函数为),t r

（ψ，假设

),t r

（ψ仍满足方程：

ψψE t i =∂∂ ψψ222

p -=∇ 但此时 V m

p E +=22 (7)

即一个质量为m 动量为p ,在势场V 中运动的非相对论粒子的能量:动能

(m

p 22)+势能(V ). 则有：ψψψV m

t i +∇-=∂∂2

22 (8)

――处在以势能V 表征的力场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程。

如果已知V 和微观粒子的初始条件0ψ，原则上，可以求出粒子在任何时刻t 的状态ψ。可见，薛定谔方程在量子力学中的地位相当于经典力学中的牛顿第二定律。

二、定态薛定谔方程

能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能V 中不显含时间t ，将其代入方程：

ψψψV m

t i +∇-=∂∂2

22 (9) 则(9)式的解可以表达为坐标的函数和时间的函数的乘积,即波函数可分离变量：)()(),(t f r u t r

=ψ

E Vu u m

u dt t df t f i =+∇-=]2[1)()(2

2 E 为一常数(要相等必等于常数)

Eu u V m

=+∇-]2[22 定态薛定谔方程 (10)

其中：)(22

2r V m

H +∇-= 为哈密顿算符

(在经典力学中,能量以动量和坐标表示的式子: V m

p +22

称为哈密顿函数)

)()

(t Ef dt

t df i =

Edt i t f t df -=)()( 解出：Et i

Ce t f -=)

(

Et

i

e r u t r -=)(),(ψ ――定态波函数 (11) 与(1)式相比较,E 就是能量: )(0Et p r i e -⋅=

ψψ

1．定态中E 不随时间变化，粒子有确定的能量 2．定态中粒子的几率密度不随时间变化

**)()()*,(),(uu e r u e r u t r t r Et i

Et i

==-

ψψ, 发现粒子的几率密度也与时间无关

3．Eu u V =+∇-]2[2

2μ

定态薛定谔方程 4．态迭加原理

如果1ψ、 2ψn ψ是方程的解，那么它们的的线性组合

∑=+++=n

n n n n c c c c ψψψψψ 2211也是方程的解，i c 为任意常数。

即如果1ψ、 2ψn ψ是体系可能的状态，那么它们的的线性组合

∑=n

n n c ψψ也是体系一个可能的状态。

三、薛定谔方程的讨论

1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态),(t r ψ在势场),(t r V

中随时间变化t

t r ∂∂),( ψ的规律。

2．薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基本的假设中推导出来。

它的正确性只有通过与实验结果相一致来得到证明。

3．具体的势场),(t r V 决定粒子状态变化的情况，如果给出势能函数),(t r V

的具体形式，只要我们知道了微观粒子初始时刻的状态),(00t r

ψ。原则上说，只要

通过薛定谔方程，就可以求出任意时刻的状态),(t r

ψ。

4．薛定谔方程中有虚数单位i ，所以),(t r ψ一般是复数形式。),(t r

ψ表示概率波，2

),(t r ψ是表示粒子在时刻t 、在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所

描述的状态随时间变化的规律，是一种统计规律。

5．在薛定谔方程的建立中，应用了),(22

t r V m

p E +=，所以是非相对论的结

果；同时方程不适合一切0=m 的粒子，这是方程的局限性。

(ψψψV m

t i +∇-=∂∂2

22 )