原子物理学——薛定谔方程

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薛定谔方程及其解法

关于薛定谔方程一．定义及重要性薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。

是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。

二．表达式三．定态方程()()222V r E r m ηψψ+⎡⎤-∇=⎢⎥⎣⎦所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。

其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2222222z y x ∂∂∂∂∂∂++=∇可化为d 0)(222=-+ψψv E h m dx薛定谔方程的解法一．初值解法；欧拉法，龙格库塔法二．边值解法；差分法，打靶法，有限元法龙格库塔法（对欧拉法的完善）给定初值问题).()()((3)),(),()( ,,(2))(),( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dyi i i i i i i i =-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++==⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββαβα.))(,(,,(3) )()(2)()( ,))(,())(,())(,()( ))(,()( )()(2)()()( )( 3213211处的函数值分别表示相应函数在点其中得代入上式将处展成幂级数在首先将i i y t y t i i y t i i i i i i t y t f f f h O ff f h hf t y t y t y t f t y t f t y t f t y t y t f t y h O t y h t y h t y t y t t y '++++=+'=''='+''+'+=+++.)(21 1 ,,021,01 ),()()())(21()1()( ,)( 3221212213113222111的计算公式局部截断误差为可得到但只有两个方程，因此方程组有三个未知数，满足条件即常数当且仅当要使局部截断误差得下假设在局部截断误差的前提h O c c c c c c c c h O y t y h O ff f c h f c c h y t y t y y i i y t i i i i ==+=-=-+=-++-+-+-=-=++++ββββ有限元方法有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。

薛定谔方程

薛定谔方程薛定谔方程推导薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。

目录薛定谔方程在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。

力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。

这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。

薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。

简介量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。

薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。

当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。

.薛定谔提出的量子力学基本方程。

建立于 1926年。

它是一个非相对论的波动方程。

它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。

设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。

在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。

由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。

薛定谔方程及其在量子物理中的应用

薛定谔方程及其在量子物理中的应用量子物理是一门研究微观世界的科学，它描述了微观粒子的行为和性质。

在量子物理中，薛定谔方程是一个非常重要的数学工具，它被用来描述量子系统的演化和态函数的变化。

本文将介绍薛定谔方程的基本原理以及它在量子物理中的应用。

薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，它是一种描述量子系统的波动方程。

薛定谔方程的基本形式为：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数，t是时间，ψ是系统的波函数，Ĥ是系统的哈密顿算符。

薛定谔方程是一个偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化规律。

薛定谔方程的解决了经典物理学无法解释的一系列现象，例如电子在原子中的行为、粒子的干涉和衍射等。

在量子力学中，波函数是描述粒子状态的数学对象，它包含了粒子的位置、动量和能量等信息。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的波函数，从而了解系统的性质和行为。

薛定谔方程在量子物理中的应用非常广泛。

首先，它被用来解释原子和分子的结构。

根据薛定谔方程，我们可以计算出原子和分子的能级和波函数，从而推导出它们的光谱特性和化学性质。

此外，薛定谔方程还被用来研究固体材料的电子结构和导电性质，为材料科学和电子器件的设计提供了理论基础。

其次，薛定谔方程在粒子物理学中也有重要应用。

量子场论是描述基本粒子的理论框架，其中的场满足薛定谔方程。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到场的模式和激发态，从而计算出粒子的质量、自旋和相互作用等性质。

薛定谔方程还被用来研究粒子的散射和衰变等过程，为粒子物理实验的解释提供了理论依据。

此外，薛定谔方程还在量子计算和量子通信等领域有着重要应用。

量子计算利用量子叠加和量子纠缠的特性，可以实现比经典计算更高效的算法。

薛定谔方程提供了描述量子比特演化的数学工具，为量子计算的设计和优化提供了理论基础。

量子通信利用量子纠缠的特性，可以实现更安全和更快速的通信方式。

薛定谔方程被用来描述量子纠缠的产生和传输，为量子通信技术的发展提供了理论支持。

大学物理薛定谔方程

若势能曲线如图所示：
U
( x) U= U0
有一个有限 E 宽度的“势垒”。 U= 0
U= 0 x
Ⅰ区是波动解， Ⅱ区是指数解，
0a
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
Ⅲ区也是波动解，但是只有向+x方向的波；没有向-x方向的反射波了。
可以想见，原来在Ⅰ区的粒子也可以在势垒的另一边Ⅲ 区出现！这在经典物理是不可想象的！
即可得总波函数 (x, t )。
例.一维自由运动微观粒子的波函数。电子枪
K
自由运动区
A
U=0
其定态薛定谔方程为
d2
d x2
2m 2
E
0
2 2m
d2
d x2
U
E
……二阶常系数
E 是能量（动能）
常微分方程
令 2mE p2 ，P 是动量。
d2
d x2
2m 2
E
0
得
d2
d x2
p2 2
0
它有两个特解:
量子物理：粒子有波动性，遵从不确定关系，
粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。
只要势垒区宽度 x = a 不是无限大，
粒子能量就有不确定量E 。
p2
2pΔ p pΔ p
E ΔE
2m
2m
m
x = a 很小时，P 很大，使 E也很大，以至
可以有： E U0 E E +E > U0
§2.4 一维谐振子
Ⅱ区：
d2
d x2
2m 2 (E
U0 )
0
令
k22
2m 2
E U0
2 C ek2x D ek2x
2 C ek2x Dek2x

薛定谔方程

薛定谔方程5.2.1薛定谔方程 1926年，奥地利物理学家薛定谔(Schrodinger)建立了描述微观粒子的波动方程，这是一个二阶偏微分方程，即式中，波函数Ψ为x，y，z的函数；E为电子的总能量；V为电子的势能；m 为电子的质量；h为普朗克常量；π为圆周率。

解薛定谔方程就是要求出描述微观粒子运动的波函数Ψ和微观粒子在该运动状态下的能量E。

方程每个合理的解Ψ表示电子的一种运动状态，称之为原子轨道，与这个解相对应的常数E就是电子在该状态下的能量，也是电子所在轨道的能量。

薛定谔方程中核外电子的势能V与原子序数Z、原电荷e、电子与核的距离r的关系为式中，ε0为真空介电常数。

薛定谔方程势能项中的r同时与x、y、z三个变量有关，这给解方程带来很大的困难。

为解方程，人们对薛定谔方程举行坐标变换，将直角坐标三变量(x，y，z)变换成球坐标三变量(r，θ，Φ)，5-2所示。

直角坐标与球坐标的关系为再举行变量分别Ψ(r，θ，Φ)=R(r)·Θ(θ)·Φ(φ) 变量分别后，三个变量的偏微分方程分解成三个各有一个变量的常微分方程。

其中R(r)只和r有关，即只和电子与核间的距离有关，称为波函数的径向部分。

令 Y(θ,Φ)=Θ(θ)·Φ(φ) Y(θ,Φ)与r无关，只与角度θ和φ有关，称为波函数的角度部分。

图5-2 直角坐标与球坐标的关系分离解R(r)、Θ(θ)、Φ(φ)这三个常微分方程，得到关于r、θ和φ三个单变量函数的解。

在解常微分方程求Φ(φ)时，要引入一个参数m，且惟独当m取某些特别值时，Φ(φ)才有合理的解；在解常微分方程求Θ(θ)时，要引入一个参数l，且惟独当l取某些特别值时，Θ(θ)才有合理的解；在解常微分方程求R(r)时，要引入一个参数n，且惟独当n取某些特别值时，R(r)才有合理的解。

参数n、l、m，就是后面要介绍的量子数。

薛定谔方程的解是一系列三变量、三参数的函数，即对应每个波函数Ψn,l,m(r，θ，φ)，都有特定的能量E。

薛定谔方程的含义和求解方法

薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。

本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。

一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。

该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。

薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。

Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。

薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。

通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。

二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。

但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。

1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。

例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。

对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。

然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。

因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。

2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。

变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。

微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。

3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。

常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。

这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。

数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。

但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。

总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。

通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。

薛定谔方程

薛定谔方程薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年[1]描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。

薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。

含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。

不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。

波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。

而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。

薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。

量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。

薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。

薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。

海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。

目录[隐藏], 1 含时薛定谔方程, 2 不含时薛定谔方程, 3 历史背景与发展, 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引, 4.1.1 假设, 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引, 5 特性o 5.1 线性方程, 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性, 5.3.1 证明o 5.4 完备基底, 6 相对论性薛定谔方程, 7 解析方法, 8 实例o 8.1 自由粒子o 8.2 一维谐振子o 8.3 球对称位势, 8.3.1 角部分解答, 8.3.2 径向部分解答, 9 参阅, 10 参考文献, 11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。

理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。

在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为;(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。

七个薛定谔方程

七个薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中描述粒子行为的基本方程。

一般情况下，薛定谔方程可以写成如下的形式：1. 定态薛定谔方程（Stationary Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数，t是时间，H是哈密顿算符。

2. 非定态薛定谔方程（Time-dependent Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，Ψ是波函数，t是时间，H是哈密顿算符。

3. 薛定谔方程的波函数形式（Schrödinger Equation in Wave Function Form）：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，ħ是约化普朗克常数，m是粒子质量，Ψ是波函数，t是时间，∇²是拉普拉斯算符，V是势能函数。

4. 薛定谔方程的路径积分形式（Path Integral Form of Schrödinger Equation）：Ψ(x,t) = ∫ Dx exp(iS[x]/ħ)Ψ(x₀,0)其中，Ψ(x,t)是波函数，S[x]是作用量，x₀是初始位置，Dx是路径积分测度。

5. 一维薛定谔方程（One-Dimensional Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²Ψ/∂x² + V(x)Ψ其中，ħ是约化普朗克常数，m是粒子质量，Ψ是波函数，t是时间，x是位置，V(x)是势能函数。

6. 三维薛定谔方程（Three-Dimensional Schrödinger Equation）：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + V(r)Ψ其中，ħ是约化普朗克常数，m是粒子质量，Ψ是波函数，t是时间，r是位置矢量，∇²是拉普拉斯算符，V(r)是势能函数。

薛定谔方程一般表达式

薛定谔方程一般表达式
一、薛定谔方程的定义与意义
薛定谔方程（Schrdinger Equation）是量子力学中描述粒子波函数随时间演化的基本方程。

由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1926年提出，标志着量子力学体系的建立。

薛定谔方程的提出，使得量子力学的研究从定性走向了定量，具有重要的理论意义。

二、薛定谔方程的一般表达式
薛定谔方程的一般表达式为：
i(Ψ/t)= HΨ
其中，i 是虚数单位，是约化普朗克常数，Ψ 是波函数，H 是哈密顿算子。

这个方程描述了粒子在势能场中的运动规律，是量子力学研究的基础。

三、薛定谔方程在量子力学中的应用
薛定谔方程在量子力学中有着广泛的应用，如：
1.求解粒子在有限势能阱中的能级和态。

2.描述粒子在势能场中的干涉现象。

3.解释原子光谱的线形和分裂。

4.描述分子轨道和化学键的形成。

四、薛定谔方程的拓展与改进
随着科学技术的发展，薛定谔方程不断地被拓展和改进，以适应更复杂物理体系的研究。

一些重要的拓展包括：
1.相对论性薛定谔方程：为了解释高速运动粒子的性质，将相对论效应纳
入薛定谔方程。

2.含时薛定谔方程：在一般薛定谔方程的基础上，引入含时势能项，用于描述粒子在时间演化过程中的性质。

3.多粒子薛定谔方程：将薛定谔方程扩展到多粒子体系，用于研究粒子间的相互作用和关联。

总之，薛定谔方程作为量子力学的基本方程，在理论研究和实际应用中具有重要意义。

薛定谔方程及其在量子力学中的应用

薛定谔方程及其在量子力学中的应用量子力学是一门研究微观世界的科学，它描述了微观粒子的行为和性质。

薛定谔方程是量子力学的基石之一，它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，是描述微观粒子的波函数随时间演化的数学方程。

薛定谔方程的形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数（ħ=h/2π，h为普朗克常数），Ψ是波函数，t是时间，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算符，V是势能。

薛定谔方程描述了波函数随时间的演化，通过求解薛定谔方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而了解微观粒子的行为和性质。

薛定谔方程在量子力学中有广泛的应用。

首先，它可以用来描述粒子的定态和非定态。

定态是指粒子的能量和其他性质都是确定的状态，非定态是指粒子的能量和其他性质都不是确定的状态。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的定态波函数，从而得到粒子的能量和其他性质。

而非定态波函数则描述了粒子的能量和其他性质在不同状态之间的转变。

其次，薛定谔方程还可以用来解释粒子的波粒二象性。

根据薛定谔方程，波函数Ψ可以表示粒子的概率幅，即波函数的模的平方|Ψ|²表示在某个位置上找到粒子的概率。

这就是波粒二象性，即微观粒子既具有粒子性又具有波动性。

薛定谔方程还可以用来解释量子力学中的量子纠缠现象。

量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在着一种特殊的关系，它们的状态是相互依赖的，无论它们之间的距离有多远。

薛定谔方程可以描述量子纠缠现象，通过求解薛定谔方程，我们可以得到纠缠态的波函数，从而了解量子纠缠的本质和特性。

此外，薛定谔方程还可以应用于量子力学中的量子力学力学中的研究。

量子力学力学是一种研究微观粒子运动规律的方法，它可以通过求解薛定谔方程得到粒子的运动轨迹和动力学性质。

总之，薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，它描述了微观粒子的波函数随时间演化的规律。

薛定谔方程名词解释

薛定谔方程名词解释
薛定谔方程是一个重要的理论模型，它使物理学家们能够更进一步地了解和解释量子力学中的现象。

它于1926年被提出，由荷兰物理学家薛定谔提出。

薛定谔方程描述了量子力学中描述双原子共振和双原子退相干特性时所需的方程，从而解释普朗克定律中自由粒子的行为。

薛定谔方程是一个基于能量的矩阵方程，它是由薛定谔推导出来的。

它的公式是：
HΨ = EΨ
其中，H是原子的能级矩阵，Ψ是量子态的矢量，E是能量的标量。

薛定谔方程有三个重要的功能：
首先，它可以用来描述量子力学中的双原子共振，它可以用来解释双原子间的能量级和轨道混合情况，从而解释量子力学中双原子结构的概念。

其次，它可以用来解释双原子退相干特性。

双原子退相干指的是，在两个原子相互作用时，他们的总能量会减少，这一特性由薛定谔方程可以解释。

最后，薛定谔方程还可以应用于电子结构性质的计算，用来计算杂化理论中的电子结构性质。

薛定谔方程对于量子力学的研究有重要意义，它为物理学家们提供了量子力学中最基本的模型，使他们能够更深入地了解和研究相关
现象。

薛定谔方程也为建立一个现实世界中可行的量子力学模型打下了基础，从而为量子力学的研究提供了一条新的发展道路。

总之，薛定谔方程是一个重要的理论模型，它可以用来描述量子力学中的双原子共振和双原子退相干特性，并且可以用来计算杂化理论中的电子结构性质。

它的出现，是量子力学研究的一个重大突破，也为量子力学的未来发展提供了指引。

浅谈薛定谔方程

浅谈薛定谔方程对于量子力学，这应该是我第一次接触到。

它是我们学习其它化学的基础，通过这门学科，以前学习无机和有机化学遗留的一些问题也得到了解释。

学了这大半学期，回想起来，让我印象最深地应该就是薛定谔方程，下面就简单介绍下我对这个著名方程的一些见解。

薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿定律在经典力学中所起的作用一样，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。

在经典力学中，体系运动状态随时间的变化遵循牛顿方程。

牛顿方程是关于变量t的二阶全微分方程，方程的系数只含有粒子的内禀物理量—质量。

一旦初始条件给定，方程将唯一地决定以后任何时刻的运动状态。

在量子力学中，体系的运动状态由波函数Ψ（r,t）描述。

和经典力学类似，也可以建立一个决定Ψ(r,t)随t变化规律的方程式。

从物理上看，这个方程必须满足下述条件：(1)由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描写波函数随时间变化的方程必然是线性方程。

(2)方程的系数必须仅含有诸如质量m，电荷e等内禀物理量，不应含有和个别粒子运动状态的特定性质有关的量，比如动量P等。

另外，方程的系数应含有普朗克常数，以表征这一方程确是描述普朗克常数起决定作用的微观世界中粒子的运动方程。

(3)因为波函数Ψ的变数是r, t，因此它必然是个关于r和t的偏微分方程。

我们要求这个微分方程不高于二阶，以便一旦初始条件和边界条件给定后，方程能唯一地确定以后任何时刻的波函数。

(4)由于经典力学是量子力学的极限情况，因此这个方程必须满足在一定条件下也符合牛顿定理。

(5)对于自由粒子这一特殊情况，方程的解应是平面波。

当然，只有这些条件，不足以惟一地决定所需要的描述随时间变化的方程。

上面的这些条件，只为建立方程提供了一些必要的条件，给建立方程以启迪。

1926年，薛定谔即提出了这个著名方程：此式即为薛定谔方程，它是决定体系能量算符的本征值和本征函数的方程。

原子物理学——量子力学对氢原子的描述

§3.6 量子力学对氢原子的描述一、氢原子的波函数 1、薛定谔方程电子在原子核的库仑场中运动：re V 024πε-=定态薛定谔方程：)()(]42[0222r E r re m ψψπε=-∇- 氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：ϕθcos sin r x = ϕθsin sin r y =θcos r z = )(1222r r rr ∂∂∂∂=∇)(sin sin 12θθθθ∂∂∂∂+r2222sin 1ϕθ∂∂+r 氢原子在球坐标下的定态薛定谔方程：)(1[2222r r r r m ∂∂∂∂- )(sin sin 12θθθθ∂∂∂∂+r ψϕθ]sin 12222∂∂+r ψψπεE r e =-024 ),,(ϕθψψr = 2、分离变量(1)．),()(),,(ϕθϕθψY r R r =代入方程，并用),()(/2ϕθY r R r 乘以两边：2202222422)(1r rme r mE dr dR r dr d R πε++ λϕθθθθθ=∂∂+∂∂∂∂-=]sin 1)(sin sin 1[1222Y Y Y λ是一个与ϕθ,,r 无关的常数。

径向方程：0422)(1220222=-++R r R r me R mE dr dR r dr d r λπε 角方程：Y YY λϕθθθθθ-=∂∂+∂∂∂∂222sin 1)(sin sin 1 (2)．)()(),(ϕθϕθΦΘ=Y代入方程，并用)()(/sin 2ϕθθΦΘ乘以两边：νϕθλθθθθ=∂ΦΦ-=+ΘΘ2221sin )(sin sin d d d d d ν是一个与ϕθ,无关的常数。

0)sin ()(sin sin 12=Θ-+Θθνλθθθθd d d d022=Φ+∂Φνϕd 3、、R ΘΦ、三方程的解 (1)．Φ方程的解022=Φ+∂Φνϕd 令 2m =ν 022=Φ+∂Φm d ϕ方程的解为：ϕϕim Ae =Φ)( 波函数单值：)2()(πϕϕ+Φ=Φπϕπϕϕ2)2(im im im im e Ae Ae Ae ==+ 12sin 2cos 2=+=πππm i m e im 3,2,1,0±±±=∴m波函数归一化：12*220220===ΦΦ⎰⎰A d A d πππϕϕ π21=A ϕπϕim e 21)(=Φ 3,2,1,0±±±=m (2)．Θ三方程的解0)sin ()(sin sin 12=Θ-+Θθλθθθθm d d d d关联勒让德方程。

薛定谔方程能量估计

薛定谔方程能量估计引言量子力学是描述微观世界行为的理论，薛定谔方程是其核心方程之一。

薛定谔方程描述了量子体系的波函数随着时间的演化规律，是研究量子力学问题的重要工具。

在量子力学中，能量是体系的一个重要物理量，而薛定谔方程能量估计即指通过求解薛定谔方程，估计量子体系的能量值。

本文将深入探讨薛定谔方程能量估计方法的原理、应用和局限性。

薛定谔方程的基本形式薛定谔方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的，用于描述微观粒子的波动性。

它的基本形式为：ĤΨ=EΨ其中，Ĥ是哈密顿算符，描述了体系的总能量；Ψ是波函数，描述了体系的状态；E是体系的能量。

薛定谔方程是一个线性的偏微分方程，通过求解这个方程，我们可以得到体系的波函数和能量信息。

薛定谔方程能量估计方法为了估计量子体系的能量，我们通常采用以下两种方法：定态薛定谔方程和时间非定态薛定谔方程。

定态薛定谔方程定态薛定谔方程适用于描述稳定的量子体系，其基本形式为：ĤΨn=E nΨn其中，n表示体系的量子态的编号，E n表示体系的能量。

通过求解定态薛定谔方程，我们可以获得体系的量子态波函数和能量的离散值。

定态薛定谔方程的解通常采用数值方法求解，如有限差分法、变分法等。

通过离散化空间和时间，并结合适当的数值计算方法，我们可以得到体系的能量估计值。

时间非定态薛定谔方程时间非定态薛定谔方程适用于描述量子体系的时间演化规律，其基本形式为：ĤΨ(t)=iℏ∂Ψ(t)∂t通过求解时间非定态薛定谔方程，我们可以获得体系在不同时间点上的波函数，从而了解体系的时间演化过程。

基于时间非定态薛定谔方程，我们也可以估计体系的能量。

时间非定态薛定谔方程的解同样可以通过数值方法求解，如薛定谔方程的数值积分方法。

通过将时间离散化，并采用适当的数值计算方法，我们可以得到体系在不同时间点上的波函数和能量估计值。

薛定谔方程能量估计的应用薛定谔方程能量估计在量子力学研究和应用中有广泛的应用，例如：1.原子物理学：通过求解薛定谔方程，我们可以估计原子的能级和能量谱。

薛定谔方程意义

1、薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。

2、薛定谔方程是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

量子论建立之初，也就是普朗克提出能量子概念的时候（1900），完全没有描述量子的数学公式。

但是量子化假定解决了黑体辐射的紫外灾难问题。

玻尔的原子模型仍然是唯象地假定了能级分立（1913）。

德布罗意提出物质波理论之后（1923），才有了海森堡、波恩等的矩阵力学和薛定谔的波动力学（1925）。

薛定谔方程的来源，按照费曼的说法，“是薛定谔瞎想出来的”（It is not possible to derive it from anything you know. It came out of the mind of Schrödinger.）有一个流传广泛，但是找不到来源的说法是，假定波函数为平面波，分别对时间和空间部分微分得到能量和动量，然后把能量变换为动能加势能，从而得到薛定谔方程。

读者可以自行查找推导。

为了方便，我们写下一维定态薛定谔方程：(1)和一维含时薛定谔方程：(2)一般我们说薛定谔方程是波动方程，可是形式上波动方程应该是这样的（一维）：(3)u是波动函数，c是波的传播速度。

如果我们把V哪一项扔掉，也就是在自由空间中，薛定谔方程（2）的和波动方程（3）的形式并不一致，因为薛定谔方程对波函数的时间微分只有一阶，而波动方程是二阶。

也就是说，薛定谔方程不是波动方程。

实际上，薛定谔方程的形式是扩散方程（一维常系数扩散方程）：(4)D是扩散系数。

也就是说，从数理方程的角度看，薛定谔方程的物理意义不是波动方程，而是扩散系数为虚数（）的扩散方程。

原子物理学：原子结构能级与光谱

原子物理学：原子结构能级与光谱在原子物理学中，研究原子结构能级与光谱是非常重要的领域。

了解原子结构能级与光谱可以帮助我们深入理解原子的组成和性质，同时也对研究光和电磁波的性质具有重要的意义。

本文将从基础概念出发，介绍原子的结构能级和光谱的基本原理，并探讨其在实际应用中的重要性。

一、原子的结构能级1. 原子的组成根据量子力学的理论，原子由质子、中子和电子组成。

质子和中子位于原子核中，而电子则绕核运动。

每个原子的电子都具有一定的能量，这些能量由原子结构能级来描述。

2. 薛定谔方程与原子结构能级薛定谔方程是描述原子系统的基本方程。

根据薛定谔方程，原子的电子在原子核的引力和电子之间的相互作用力的影响下，存在不同的能量状态，即能级。

这些能级可以通过数值求解薛定谔方程得到。

3. 能级分布与填充原则原子的能级分布遵循填充原则。

根据泡利不相容原理，每个能级最多只能容纳一对电子，并且电子首先填充能量最低的能级。

这个原理对于解释化学元素周期表的特征和电子构型非常重要。

二、原子光谱的基本原理1. 光的性质光是一种电磁波，具有波长和频率的特性。

通过电磁波的干涉、衍射和吸收等现象，我们可以研究物质的结构和性质。

原子光谱正是基于这些原理而建立起来的。

2. 原子光谱原子光谱是指在特定的条件下，当原子受到外界激发或经过能级变化后，所发射或吸收的特定波长和频率的光线。

原子光谱实验通常包括吸收光谱和发射光谱。

3. 原子结构与光谱的关系原子的能级结构直接决定了原子光谱的特征。

当原子处于低能量态时，吸收特定波长的光谱；当原子受到能量激发时，会发射特定波长的光谱。

因此，通过观察原子光谱可以得到有关原子能级分布和电子能级跃迁的重要信息。

三、原子结构与光谱的应用1. 原子吸收光谱的应用原子吸收光谱在化学分析和环境监测等领域中具有广泛的应用。

通过测定特定波长光线的吸收程度，可以快速准确地确定样品中某种元素的浓度。

这在环境检测、食品安全和医学诊断等方面具有重要意义。

原子物理学——薛定谔方程

§3.4 薛定谔方程一、薛定谔方程的建立 1．自由粒子的薛定谔方程自由粒子的波函数:)(0)(0Et zp yp xp iEt p r i z y x ee-++-⋅==ψψψ (1)对x 、y 、z 分别求二次偏导：ψψx p ix =∂∂ ψψψ2222 x xp x p i x -=∂∂=∂∂ ψψy p iy=∂∂ ψψψ2222 y yp y p i y -=∂∂=∂∂ ψψz p iz =∂∂ ψψψ2222z zp x p i z -=∂∂=∂∂ 三者相加：ψψψψψ222222222222)(1p p p p z y x z y x -=++-=∂∂+∂∂+∂∂ 拉普拉斯算符：2222222zyx∂∂+∂∂+∂∂=∇ψψ222p -=∇ (2)对t 求一次偏导：ψψE i t -=∂∂ ψψE ti =∂∂ (3)自由粒子，m p m E 22122==υ ψψm p E 22=(4) 由(3)(4)式: ψψmp t i 22=∂∂ (5) (2)式代入(5)得:ψψ222∇-=∂∂mt i ――自由粒子的薛定谔方程。

(6) 2．一般粒子的薛定谔方程一般粒子常受到力场的约束，用),(t r V表示力场，则粒子在力场中受到的力为：),(t r V F -∇=，假设处于这种力场中的微观粒子的波函数为),t r（ψ，假设),t r（ψ仍满足方程：ψψE t i =∂∂ ψψ222p -=∇ 但此时 V mp E +=22 (7)即一个质量为m 动量为p ,在势场V 中运动的非相对论粒子的能量:动能(mp 22)+势能(V ). 则有：ψψψV mt i +∇-=∂∂222 (8)――处在以势能V 表征的力场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程。

如果已知V 和微观粒子的初始条件0ψ，原则上，可以求出粒子在任何时刻t 的状态ψ。

可见，薛定谔方程在量子力学中的地位相当于经典力学中的牛顿第二定律。

应用薛定谔方程研究氦原子

应用薛定谔方程研究氦原子应用薛定谔方程研究氦原子1. 引言氦原子是化学元素中的第二轻元素，其原子结构的研究对于理解原子和分子物理性质具有重要意义。

在原子物理学中，薛定谔方程被普遍应用于描述微观粒子的行为。

本文将应用薛定谔方程，通过研究氦原子的性质，深入探讨其量子力学性质和相应的数学描述。

2. 薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是描述微观粒子以及它们的量子力学性质的基本方程。

它由薛定谔提出，描述了粒子的波函数在时间与空间上的变化规律。

对于氦原子，薛定谔方程可以写作如下：iħ∂Ψ/∂t = -ħ^2/2m ∇^2Ψ + VΨ其中，i表示虚数单位，ħ是普朗克常数的约简形式，Ψ是氦原子的波函数，t是时间，m是氦原子的质量，∇^2是拉普拉斯算子，V是氦原子在给定位置上的势能。

3. 氦原子的波函数氦原子的波函数描述了其在不同位置上的概率分布和动力学行为。

根据薛定谔方程，我们可以利用数值方法或解析方法求解氦原子的波函数。

通过求解薛定谔方程，我们可以获得氦原子的能级结构、振动和旋转行为等信息。

4. 氦原子的能级结构氦原子的能级结构是指氦原子在不同能量下的稳定状态。

根据薛定谔方程的解，我们可以得到氦原子的能级图谱。

氦原子的能级结构对于理解光谱学、激光等领域具有重要意义。

5. 氦原子的轨道和角动量根据薛定谔方程的解，我们可以研究氦原子的轨道和角动量。

氦原子的轨道描述了电子在不同位置上的运动轨迹，而角动量则与电子的自旋和轨道运动有关。

通过研究薛定谔方程的解，我们可以深入理解氦原子的轨道和角动量性质。

6. 氦原子的量子态根据薛定谔方程的解，我们可以得到氦原子的量子态。

氦原子的量子态描述了其在不同状态下的波函数和性质。

对于氦原子，存在不同的量子态，如基态、激发态等。

深入研究氦原子的量子态可以帮助我们理解原子的光谱学、化学反应和物质的性质等。

7. 应用薛定谔方程研究氦原子的意义和前景应用薛定谔方程研究氦原子的意义在于深入理解微观粒子的行为和性质。