四年级下册数学整数的分拆

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整数的分拆

第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。

我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。

如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。

由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。

所以最多可以播7天。

说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。

例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。

问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。

因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。

当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。

当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。

数学中的整数分拆

数学中的整数分拆在数学中，整数分拆是一个有趣且重要的概念。

它涉及到将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。

整数分拆在代数、组合数学以及数论等领域都有广泛的应用和研究。

本文将介绍整数分拆的基本概念、应用以及一些有趣的性质。

一、基本概念整数分拆即是将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。

例如，对于整数4，可以将其分拆为1+1+1+1、2+2、1+1+2等不同的方式。

整数分拆的方式可以具有不同的顺序，但只要拆分的数目相同，就属于同一种拆分方式。

通常，我们用P(n)表示一个正整数n的拆分数，P(n)的值表示n的所有拆分方式的总数。

二、应用整数分拆在实际问题中有着广泛的应用。

下面以组合数学为例，介绍一些具体的应用场景。

1. 钱币组合问题假设有不同面额的硬币，例如1元、2元、5元等，我们需要凑出一个特定金额的零钱。

这个问题可以转化为整数分拆的问题。

例如，我们要凑齐10元，可以分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+1+2、1+1+1+1+1+1+1+2+2等多种方式。

2. 整数拆分问题整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和，并且这些正整数之间没有顺序要求的问题。

例如，将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2等都属于整数拆分的方式。

整数拆分问题在计算机科学中有着广泛的应用，例如动态规划算法中的背包问题、分割问题等。

三、性质整数分拆具有很多有趣的性质，下面介绍其中的一些。

1. 奇偶性对于正整数n，其拆分数P(n)具有一定的奇偶性规律。

当n为奇数时，P(n)为奇数；当n为偶数时，P(n)为偶数。

这个结论可以通过归纳法证明。

2. 递推关系正整数n的拆分数P(n)可以通过递推关系计算得到。

具体地，对于正整数m，其拆分数可以通过计算m-1的拆分数、m-2的拆分数等递推得到。

例如，P(5)可以通过计算P(4)、P(3)、P(2)、P(1)的值得到。

3. 生成函数生成函数是一种用于研究组合数学问题的工具。

整数的拆分(三、四年级)

整数的分拆【例1】（★★）把10个相同的乒乓球分成两堆，每堆至少有一个乒乓球，有多少种不同的分法？【拓展1】（★★）把10个相同的乒乓球分成三堆，每堆至少有一个乒乓球，有多少种不同的分法？【例2】（★★★）妈妈买了15根相同的巧克力，明明和黄黄都特别喜欢吃。

他俩把所有巧克力都吃完，有多少种不同的情况（每人至少吃3根）？【拓展2】（★★★）把20本相同的故事书放在一个三层书架上，每层至少放5本，那么有多少种不同的放法？【例3】（★★★）一个农民准备用一根长36米的铁丝网围成一块长方形的菜地，要求长方形的长和宽都是自然数。

这块菜地的面积最大是多少平方米？【拓展3】（★★★）用一段木栅栏围出一个面积是36平方米的长方形，要求每条边都是整数，那么这个长方形的周长最短是多少？【例4】（★★★）把17分成若干个整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？【拓展4】（★★★）把10拆成若干个可重复的自然数的和，使这些自然数的乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？【例5】（★★★★）把25分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？【拓展5】（★★★★）把40分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，应该怎么拆分？【拓展5】（★★★★）把43分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，应该怎么拆分？小测试1.（★★）把15件相同的衣服分成两堆，每堆至少有1件衣服，有多少种不同的分法？2.（★★★）把11张相同的照片分成三堆，每堆至少有2张照片，有多少种不同的分法？3.（★★★）把21枝相同的铅笔分给明明和黄黄两位同学，每人至少分得6枝，有多少种不同的分法？4.（★★★）把18只小狗关在三个铁笼子里，每个笼子至少关4只，那么有多少种不同的关法？5.（★★★）有一段20米长的木栅栏，围出一个长方形，要求长方形的长和宽都是自然数，那么这个长方形的面积最大是多少？6.（★★★）两个自然数的积为60，这两个数分别可能是多少？它们的和最大可以为多少？最小呢？7.（★★★）把19分成几个可重复自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，问：这个乘积是多少？8.（★★★）把14分成若干个可重复的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？9.（★★★★）（1）把20分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？（2）把21分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？（3）把26分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？。

四年级整数的分拆练习题

四年级整数的分拆练习题整数是由自然数、零和负整数组成的数字集合。

在四年级的数学学习中，学生开始接触整数的概念和运算，其中一个重要的技能是将整数进行分拆。

分拆整数可以帮助学生更好地理解数与数之间的关系，培养他们的数学思维和逻辑推理能力。

本文将提供一些四年级整数的分拆练习题，帮助学生巩固这一技能。

练习题一：分拆绝对值相等的整数题目一：将-8分拆成两个绝对值相等的整数。

解析：绝对值是一个数的大小，与正负无关，用两个相同的整数相加就可以得到0。

因此，-8可以分拆成-4和4。

练习题二：正整数和负整数的分拆题目二：将-10分拆成一个正整数和一个负整数。

解析：正整数和负整数的分拆是基于它们的大小关系。

对于一个负整数，可以将它拆分成一个较大的正整数和一个较小的负整数，两者绝对值之和等于给定的负整数。

因此，可以将-10分拆成-2和-8。

练习题三：利用零进行分拆题目三：将18分拆成两个整数，使它们的和为18。

解析：在数的运算中，零有特殊的作用。

这里可以利用零进行分拆，将18拆成0和18即可。

练习题四：分拆整数构成数字序列题目四：将12分拆成一个由连续整数组成的数字序列。

解析：连续整数序列是指一串相邻整数的排列。

将12拆分成连续整数序列时，可以从中间开始往两边扩展，得到如下分拆：2+3+4+5-5-4-3-2=12。

练习题五：混合分拆整数题目五：将-15分拆成一个正整数和一个负整数组成的数字序列。

解析：混合分拆整数可以结合前面的练习题进行。

将-15分拆成正整数和负整数的数字序列时，可以先将-15分拆成零和-15，然后再将-15拆分成正整数和负整数的数字序列，得到如下分拆：0+(-3)+(-4)+(-5)+3+4+5=0。

通过以上的练习题，学生可以进行整数的分拆练习，加深对整数的理解。

在解题的过程中，学生不仅要掌握整数的正负概念，还需要灵活运用数的性质，进行逻辑推理和算式运算。

整数的分拆练习可以帮助学生提高他们的数学思维和解决问题的能力。

4.2整数的分拆(教案教学设计导学案)

2、整数的分拆教学目标:1、让学生经历整数分拆的过程，引导学生探索两个整数的和一定，相差越小，积越大的规律；两个整数的积一定，相差越小，和越小的规律。

2、让学生自主探究把一个整数分拆成几个数，乘积最大。

教学重点:1、掌握整数分拆的方法，把一个整数分拆成两个数的和，这两个数相差最小时，它们的积最大。

2、把一个整数分拆成两个数的积，这两个数相差最小时，它们的和最小。

教学难点：由一个数分拆成两个数扩展到一个数分拆成几个数，乘积最大。

一、情境体验张大爷今天买回了3只小羊羔，于是他准备在院子的角落里利用院子的两堵墙做一个饲养场，张大爷家里刚好有10 米长的竹篱笆，他想用这10米长的篱笆围成的饲养场面积最大，可以怎样围呢？师：围成的饲养场是什么形状呢？生：可能是长方形，也可以是正方形。

师：无论是长方形还是正方形，都有4条边，现在张大爷已经利用了院子的两堵墙，他还需要围几条边？生：只需要围一条长边和一条宽边。

师：要使得围成的饲养场面积最大，长边是几米，宽边是几米呢？生：10米长的竹篱笆围一条长边和一条宽边，有很多种情况。

师：为了解决这个问题，我们先观察下表，看看能发现什么。

生：表中的甲数可以看成是长边，乙数可以看成是宽边，积可以看成是饲养场的面积。

师：大家还能发现什么？生：面积最大的时候，长边和宽边相等。

二、思维探索（建立知识模型）例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？生：和为10的两个整数很多啊，两个整数相乘，积最大的是哪个呢？生：把和为10的两个整数分别列举出来，算出两个整数的积，再进行比较。

生：这和我们刚才的表是一样的，我发现当这两个数相等时，它们的乘积最大。

师：我们如何用算式来解答呢？生：10÷2=5 5×5=25小结：把一个整数分成2个加数，当2个加数相差最小时，它们的积最大。

三、思维拓展（知识模型的拓展）例2：一个周长为58米的长方形，这个长方形的面积最大是多少平方米？师：求长方形的面积，就得知道长和宽，我们能把58直接拆成长+宽吗？生：不能，58是两个长与两个宽的和。

整数分拆中的欧拉恒等式

整数分拆中的欧拉恒等式整数分拆是一种数论问题，涉及将一个正整数拆分为若干个正整数的和的方式。

在这个问题中，欧拉恒等式是一种重要的数学关系。

本文将介绍整数分拆以及欧拉恒等式的相关内容。

首先，让我们了解一下整数分拆的概念。

整数分拆是将一个正整数拆分为一系列正整数的和。

例如，对于整数5，可以拆分为1+1+1+1+1，也可以拆分为1+1+1+2或者1+2+2等多种方式。

每种拆分方式称为该整数的一种分拆。

接下来，我们将重点介绍欧拉恒等式。

欧拉恒等式是描述整数分拆的一种重要公式，由瑞士数学家欧拉在18世纪提出。

该等式的表达形式为：n=p(n)-p(n-1)+p(n-2)-p(n-3)+...其中，n表示要分拆的整数，p(n)表示n的分拆数，也就是将n拆分为若干个正整数的和的总数。

这个等式的意义在于，通过将n的分拆数与n-1、n-2等之前整数的分拆数进行交替相减，可以得到整数n的分拆数。

欧拉恒等式的证明比较复杂，涉及到数学推导和分析。

这里不再详述，感兴趣的读者可以深入研究相关的数论文献。

需要注意的是，整数分拆和欧拉恒等式是数学领域的研究课题，与实际生活中的问题密切相关。

在实际应用中，整数分拆和欧拉恒等式可以用于计算排列组合、概率统计等领域，具有广泛的应用前景。

总结一下，整数分拆是一种数论问题，涉及将一个正整数拆分为若干个正整数的和的方式。

欧拉恒等式是描述整数分拆的重要公式，通过交替相减整数的分拆数，可以得到整数的分拆数。

这个等式在数学研究和实际应用中具有重要意义。

在探索整数分拆和欧拉恒等式的过程中，我们可以深入理解数论中的一些基本概念和方法，同时也能够培养数学思维和解决问题的能力。

小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆

小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。

也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。

2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。

3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。

4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。

如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。

5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。

即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。

6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。

我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。

典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。

【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。

2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。

则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。

选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。

四年级下册数学课件思维拓展训练：整数的分拆全国通用

和为10的两个整数很多啊，两个整数相乘，积最大的是哪个呢？
把和为10的两个整数分别列举出来，算出两个整数的积，再进行比较。
例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？
甲数
乙数
积
10
0
0
9
1
9
8
2
16
7
3
21
6
4
24
5
5
25
例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？ 10÷2=5 5×5=25
12÷4=3 3×3×3×3=81
12÷5=2……2 2×2×2×3×3=72
12÷6=2 2×2×2×2×2×2=64
6×6=36 4×4×4=64 3×3×3×3=81 2×2×2×3×3=72 2×2×2×2×2×2=64
答：最大的积是81。
把一个整数分成几个自然数的和，要使它们的积最大，应当将整数分成若干个3的和，如果最后剩下1，应当将最后一个3与1分成2个2的和，这时，这些自然数的积最大。
2、整数的分拆
张大爷今天买回了3只小羊羔，于是他准备在院子的角落里利用院子的两堵墙做一个饲养场，张大爷家里刚好有10 米长的竹篱笆，他想用这10米长的篱笆围成的饲养场面积最大，可以怎样围呢？
甲数
乙数
积
10
0
09Leabharlann 1982
16
7
3
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6
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5
5
25
例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？
板书：
[教学目标]
1．知识与技能
通过复习加深对乘法意义的认识，复习巩固1 —9的乘法口诀，提高学生用数学知识解决数学问题的能力。培养学生认真、仔细的学习习惯。

四年级下册数学精品课件-思维拓展训练：4.2整数的分拆全国通用 (17页PPT)

58÷2=29（米） 29÷2=14（米）……1（米） 14×（14+1）=210（平方米）答：这个长方形的面积最大是210平方米。
例3：张大伯想用60米长的竹篱笆围一个长方形的院子，准备利用他家的一面墙，如图。请问：这个院子面积最大是多少?
长：60÷2=30（米）宽：30÷2=15（米）
“长+2×宽”的和一定，长与2×宽越接近，乘积越大。
和为10的两个整数很多啊，两个整数相乘，积最大的是哪个呢？
把和为10的两个整数分别列举出来，算出两个整数的积，再进行比较。
例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？
甲数
乙数
积
10
0
0
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1
9
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6
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24
5
5
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例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？ 10÷2=5 5×5=25
例5：求乘积为36，和为最小的两个自然数。
1
2
3
36
18
12
37
20
15
4
6
9
6
13
12
小结：把乘积分成几个因数相乘，当几个因数相等或接近时，和最小。
例6：试把1999分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。
1999÷8=249......7 1999=250×7+249 答：把1999分拆成7个250和249，乘积最大。
30×15=450（平方米）
答：这个院子面积最大是450平方米。
例4：把12分成几个自然数的和，再求出这些自然数的积，要使乘积尽可能的大，最大的积是多少？

四年级下册数学课件思维拓展训练：整数的分拆全国通用 17页

3、把一个整数分成几个自然数的和，要使它们的积最大，应当将整数分成若干个3的和，如果最后剩下1，应当将最后一个3与1分成2个2的和，这时，这些自然数的积最大。
1.花朝，是成都花会开幕的日子地点在南门外十二桥边的青羊宫花会期有一个月这是一个成都青年男女解放的时期花会与上海的浴佛节有点相像，不过成都的是以卖花为主，再辅助着各种游艺与各地的出产。
答：最大的积是81。
把一个整数分成几个自然数的和，要使它们的积最大，应当将整数分成若干个3的和，如果最后剩下1，应当将最后一个3与1分成2个2的和，这时，这些自然数的积最大。
例5：求乘积为36，和为最小的两个自然数。
1
2
3
36
18
12
37
20154696
13
12
小结：把乘积分成几个因数相乘，当几个因数相等或接近时，和最小。
4.联系实际，挖掘材料的闪光点。生活中有些事情看似平淡无奇，但它却是整个社会的基础，对这些生活素材进行多方面的思考，深入的开掘，就能够从具体的人事景物概括出人类普遍的感情和抽象的道理。
5．重视细节描写，于细微处见大。这是很重要的一个环节，因为要于细微处见事物的大，往往是通过其细部特征传达出来的，写得越细致，越深入，给读者留下的印象就越深，所体现出的道理就越深。
2这篇文章用河神见海神的寓言故事说明哲理，通篇都是设喻而这些比喻又是通过奔放新奇的想象和浓厚的浪漫主义情调抒写出来的。庄子把一切自然事物、神话传说都具体化、人格化。

小学整数的分拆

哪种烧总饼钱的数数量大变烧化饼会数引起小较烧大饼数波动？
6元 6元 6元 6元
答：一共有4种不同的买法。
例4：(★★★) 小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱。冬冬一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法？
1、列表法：枚举大小烧饼的个数。 2、以“大烧饼”的个数为第一顺序。
例2：(★★★)
杨老师和汪老师分20个苹果。请问： ⑴如果每个人最少分到5个苹果，一共有多少种不同的分法？
1、分析：有顺序方能不漏不重。 2、限定条件：不小于5枚。 3、算式意义：算式的第一个数代表第一个人。
（1）20=5+15=6+14=7+13=8+12=9+11=10+10 =11+9=12+8=13+7=14+6=15+5
铺垫：(★★★)
将6拆成几个数的和，这些自然数可以相同，那么，这些自然数的乘积最大是________。
6=2+2+2 →8
=3+3 =2+4
→9 →8
=1+5
→5
=1+1+4 →4 还有一些
结论：一个数拆分成多数，积最大：多拆3，少拆2，不拆1。
例5：(★★★★) 将10分成若干个自然数的和(允许有相同的)，使得这些自然数的乘积达到最大，这个乘积是什么？
10=3+3+3+1 =3+3+2+2
最大乘积，3×3×2×2=36
超常大挑战：(★★★★)
两个自然数的和为20这两个数分别为__1_0__和__1_0__ 时，它们的乘积最大，最大是__1_0_0__。

第一周(整数的分拆)

整数的分拆1、整数的分拆其相关结论如下(1)一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大，也就是把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。

(2)一般的，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n-r)个p。

(3)把自然数S(S>1)分拆成若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分成的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。

(4)把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+r(r≤n)的形式，再把r一轮一轮的从后往前每个加1即可。

(5)若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。

1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？2、把60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是几？3、把1999分成若干个自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？4、将35分拆成若干个互不相等的自然数之和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？5、电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播出几天？6、把8个苹果分给3个小朋友有多少种不同的分法？(至少1个)。

7、一个自然数可以分拆成9个自然数之和，也可以拆成10个自然数之和，还可以拆成11个自然数之和。

这个自然数最小是几？8、自然数2000能否拆成若干个连续自然数之和？如能，有几种？课后练习：1、把1999分拆成8个自然数之和，使其乘积最大。

2、把50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大的质数是几？3、把49分拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积最大应该怎样分拆？4、将36分成若干个互不相等的自然数之和，且使这些数的乘积最大，求乘积？5、将2008分成若干个互不相等的自然数之和，且乘积最大？6、是否有若干个连续自然数，他们的和恰好等于64？6、把34分拆成若干个连续自然数之和有多少种分法？。

第六讲整数的拆分(讲义+作业+作业答案)

课题六：整数的分拆班级姓名【例1】甲和乙用玩具枪玩打靶游戏，见下图所示。

他们每人打两发子弹，甲共打中6环，乙共打中5环。

又知没有两发子弹环数相同，并且弹无虚发。

甲打中的是环和环，乙打中的是环和环。

【例2】有些人认为8是个吉利的数字，于是他们得到的东西都希望用数字“8”表示。

现有200块糖要分发给一些人，请制定一个吉利的分糖方案。

【例3】把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头数目都带有数字6，应怎样分？【例4】试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和。

你能发现有什么规律吗？【例5】将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有种不同的分拆方式，请把它们一一列出。

【例6】将21分拆成不大于9的四个不同的自然数相加之和，共有种不同的分拆方式，请把它们一一列出。

【例7】将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有种不同的分拆方式，请把它们一一列出。

【例8】（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组，如果不考虑数字排列的顺序，和为10的三元自然数组共有个。

1. 把100个苹果分成6堆，要求每堆中苹果的数目中都必须含有6这个数字，你怎样分？请列出等式。

2. 把1000个鸡蛋放到五只篮子里，每只篮子里的鸡蛋数都由数字8组成，你怎样分？请列出等式。

3. 七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果，现在要从这七只箱子里取出87个苹果，要求每只箱子里的苹果要么全部取走，要么不取。

你怎样取？请列出等式。

109个呢？4. 将15分拆成不大于9的三个不同的自然数相加之和，共有种不同的分拆方式，请把它们一一列出。

5. 把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有种不同的分法。

6. 美国硬币有1分、5分、10分和25分四种。

现有10枚硬币，价值是1元，其中有3枚25分的硬币。

余下的硬币有种，每种各有多少枚？用等式表示。

1. 把100个苹果分成6堆，要求每堆中苹果的数目中都必须含有6这个数字，你怎样分？请列出等式。

整数分拆的组合方法研究

整数分拆的组合方法研究整数分拆是一个在数论和组合数学中备受关注的问题。

它通过将一个正整数拆分为若干个正整数的和来研究整数的组合方法。

本文将对整数分拆的组合方法进行深入研究，并探究其中的原理和应用。

一、整数分拆的定义与基本概念在开始研究整数分拆的组合方法之前，我们先来了解一下整数分拆的定义和基本概念。

整数分拆指的是将一个正整数n表示成一系列正整数的和，其中被表示的正整数顺序无关，且相同的拆分顺序被视为同一种分法。

例如，对于正整数n=5，它的分拆方式有5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1等，总共有7种不同的分拆方式。

二、整数分拆的递归关系与生成函数整数分拆的递归关系和生成函数是研究整数分拆的重要工具。

1. 递归关系整数分拆的递归关系可以描述为下式：P(n, k) = P(n-1, k-1) + P(n-k, k)其中P(n, k)表示将n拆分为不超过k的正整数之和的分拆数。

2. 生成函数整数分拆的生成函数用于求解拆分数的总和。

它的定义如下：G(x) = 1/(1-x) * 1/(1-x^2) * 1/(1-x^3) * ...其中G(x)表示整数分拆数的生成函数。

三、整数分拆的应用整数分拆不仅在数论和组合数学中有重要应用，还广泛应用于其他领域。

1. 数论中的应用整数分拆在数论中有广泛的应用。

例如，它可以用于证明数学命题或寻找数学规律。

同时，整数分拆也与质数、约数等数论问题紧密相关。

2. 组合数学中的应用整数分拆在组合数学中有重要的应用。

它可以用于求解组合数和排列数等问题，并且与划分数、组合恒等式等数学理论有密切联系。

3. 计算机科学中的应用整数分拆在计算机科学中也有广泛的应用。

它可以用于算法设计、密码学、数据压缩等方面。

例如，整数分拆可以应用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度。

四、整数分拆的算法与实现为了研究整数分拆的组合方法，研究者们提出了多种算法和实现方式。

(完整版)整数的分拆教案

【学生讨论】：小组讨论交流
【学生回答】：老师抽答，上台演示
【教师讲解】：（边操作边讲解）首先分析题目可以知道，每个盒子当中笔的数目不少于2支，也就是说最少有2支。现在我们先将盒子编号为1号、2号。现在假如1号盒子当中只有2块，那2号盒子里面有8块，然后在二号盒子里拿1支到1号盒子当中，此时1号盒子3支，2号盒子里面7支，按照这个规则进行，两个盒子当中笔的数目分别为：1号盒子4支，2号盒子6支，1号盒子5支，2号盒子5支，1号盒子6支，2号盒子4支，1号盒子7支，2号盒子3支，1号盒子8支，2号盒子2支，这时候请同学们注意根据题目要求2号盒子的笔也不能少于2支，所以当2号盒子中只有2支笔时，就不能再往一号盒子中拿了，一共有7种不同的分法。
课
程
讲
授
30min
导入：同学们，欢迎你们来到数字的世界，今天我们一起来玩一些有趣的数字游戏。
【提出问题】：
PPT上展示例题1：同学们，小军想把这六个棒棒糖全部分给奇奇猫和壮壮鼠，一共有多少种不同的分法哪？答对了这个棒棒糖就奖励给答题的小朋友！（拿出准备好的棒棒糖，请同学上台分别扮演角色得出结论）
【学生活动】:分组讨论，交流答案
【教师讲解】：将这6个棒棒糖看成一个整体，将它分为两个不同的部分，也就是将自然数6分为两个不同的自然数，首先最小的自然数为0，如果以0来分那就有一个小动物没有，所以要从自然数1开始，6可以分为1和5，然后按次序5拿一个给1,6就分为了2和4,以此类推6还可以分为3和3，6分为4和2,6分为5和1，所以一共有5种分法：猫1个，鼠 5个，猫2个，鼠 4个，猫3个，鼠 3个，猫4个，鼠2 个，猫5个，鼠 1个。
4、把几个物体分成两堆或相同的物体时，如果没有限制1，8和8，1是相同的分法

4年级整数的分拆

4年级整数的分拆《4 年级整数的分拆》在 4 年级的数学学习中，整数的分拆是一个很有趣也很重要的知识点。

它就像是一个神奇的魔法，能把一个整数变成不同的组合，帮助我们更好地理解数字之间的关系。

整数分拆，简单来说，就是把一个整数写成几个整数相加的形式。

比如说，把 5 这个整数进行分拆，可以写成 1 ＋ 4、2 ＋ 3、1 ＋ 1 ＋ 3、1 ＋ 2 ＋ 2 等等。

为什么要学习整数分拆呢？这可有着不少用处呢！首先，它能帮助我们锻炼思维能力，让我们学会从不同的角度去看待一个数字。

其次，在解决一些实际问题的时候，比如计算组合的可能性，整数分拆就派上大用场啦。

那我们来看看整数分拆有哪些方法和技巧。

一种常见的方法是从最小的数开始逐步增加。

就拿 6 来举例吧，如果从 1 开始，我们可以得到 1 ＋ 5、2 ＋ 4、3 ＋ 3。

然后再考虑包含两个以上数字相加的情况，比如 1 ＋ 1 ＋ 4、1 ＋ 2 ＋ 3、2 ＋ 2 ＋ 2 等等。

还有一种方法是按照一定的顺序来分拆。

比如说，我们可以先把整数平均分成两份，如果能整除，那就得到一种分拆。

如果不能整除，就把余数依次加到其中一份上，这样也能得到不同的分拆方式。

在进行整数分拆的时候，我们要注意一些问题。

首先，要确保分拆的结果都是整数，不能有小数或者分数。

其次，每个分拆的数字都不能重复。

下面我们通过一些具体的例子来加深对整数分拆的理解。

假设我们要把 8 进行分拆。

按照从小到大的顺序，我们可以得到 1＋ 7、2 ＋ 6、3 ＋ 5、4 ＋ 4。

然后再考虑三个数字相加的情况，有 1＋ 1 ＋ 6、1 ＋ 2 ＋ 5、1 ＋ 3 ＋ 4、2 ＋ 2 ＋ 4、2 ＋ 3 ＋ 3 。

再比如把 10 进行分拆，我们能得到 1 ＋ 9、2 ＋ 8、3 ＋ 7、4 ＋ 6、5 ＋ 5 。

三个数字相加的有 1 ＋ 1 ＋ 8、1 ＋ 2 ＋ 7、1 ＋ 3 ＋ 6、1 ＋4 ＋ 5、2 ＋ 2 ＋ 6、2 ＋ 3 ＋ 5、2 ＋ 4 ＋ 4、3 ＋ 3 ＋ 4 。

第四讲整数的拆分

第四讲整数的拆分笔记总结整数的拆分：把自然数分成为若干个自然数之和，每一种表示方法就是一种拆分。

【要求】1.拆成的数的和必须等于这个数n。

2.不允许重复（排列顺序不一样的重复也不可以）：例如：3=2+1.3=1+2只能算一种拆分。

【要点】1.被拆的数 2.拆成多少个数 3.特殊要求一、整数分拆中的计数问题（几种、多少个这样的问题称为计数问题）例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？（不加限制条件的分拆，称为无限制分拆）分类(枚举)法：只能拆成2个至6个数的和。

2个数：6=5+1=4+2=3+3 3个数：6=4+1+1=3+2+1=2+2+24个数：6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；5个数：6=2+1+1＋1＋1 6个数：6＝1+1+1+1+1+1因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法。

例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法：采用枚举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1992+2=…=998＋996=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.【拆成2个数规律】：n是双数，有n÷2种拆分；n是单数，有（n-1）÷2种拆分.二、整数分拆中的最值问题（最大和最小的两种极端情况，称为最值问题）例3 50最多能拆成多少个不同的正整数之和？拆“50”没有个数限制，但要求拆成的数个数最多-------也就是尽量拆的最小50=1+2+3+4+5+6+7+8+9+5 最多拆成9个。

例4 试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49. [结论] 拆成两个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大。

整数拆分题目

整数拆分题目整数拆分详解整数拆分问题是一个经典的数学问题，它涉及到将一个整数拆分成若干个正整数之和。

这个问题在数学、计算机科学、物理学等领域都有广泛的应用。

下面我们将详细讲解整数拆分问题，并列举20个整数拆分题目及对应答案。

一、基本概念整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和。

例如，4可以拆分成1+1+1+1,也可以拆分成2+2,还可以拆分成3+1等等。

二、解题思路解决整数拆分问题的方法主要有两种：数学归纳法和动态规划法。

1 .数学归纳法：通过归纳法，我们可以得到一个整数的所有拆分方式。

例如，对于4,我们可以从1+1+1+1开始，然后逐步增加一个1,直到得到所有的拆分方式。

2 .动态规划法：通过动态规划，我们可以将问题分解为子问题，并利用子问题的解来求解原问题。

例如，对于4,我们可以将其分解为3+1和2+2两个子问题，然后利用子问题的解来求解原问题。

三、整数拆分题目及对应答案1题目：将4拆分成两个正整数之和，有多少种拆分方式？答案：3种，分别是1+3、2+2和3+1。

3 .题目：将5拆分成三个正整数之和，有多少种拆分方式？答案：5种,分别是1+1+3、1+2+2、1+3+K2+1+2和2+2+1。

4 .题目：将6拆分成两个正整数之和，有多少种拆分方式？答案：5种，分别是1+5、2+4、3+3、4+2和5+1。

5 .题目：将7拆分成三个正整数之和，有多少种拆分方式？答案：7种，分别是1+1+5、1+2+3、1+3+2、1+4+1、2+1+4、2+2+3和2+3+2。

6 .题目：将8拆分成两个正整数之和，有多少种拆分方式？答案：7种，分别是1+7、2+6、3+5、4+4、5+3、6+2和7+1。

7 .题目：将9拆分成三个正整数之和，有多少种拆分方式？答案：9种,分别是1+1+7、1+2+6、1+3+5、1+4+4、2+1+6、2+2+5、2+3+4、3+1+5和3+2+4。

8 .题目：将IO拆分成两个正整数之和，有多少种拆分方式？答案：9种,分别是1+9、2+8、3+7、4+6、5+5、6+4、7+3、8+2和9+1。

计数第01讲整数分拆

二年级A 班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////----1----计数第01讲_整数分拆(学生版)计数第01讲_整数分拆一.概念：整数分拆：把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式．二.方法：在进行整数分拆时，要按一定的顺序，做到不重复、不遗漏．将一个整数拆分成三个数相加，其实可以先固定第一个数，那剩下两个数的和也是固定的，这样问题就转化成将一个新的整数拆分成两个数相加．三.与分堆的区别整数分拆，分堆无顺序，分人有顺序．重难点：对于整数分拆问题，一定要思考全面，正确的区分分堆与分人的差别，确定正确的拆分方法。

枚举过程中注意题目地限制条件“最少”、“不超过”等．题模一：分2人----2----二年级A 班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////计数第01讲_整数分拆(学生版)例1.1.1老师把9颗糖分给丽丽和阿强，使得他俩每人都有糖，有__________种不同的分法．例1.1.2两个海盗分20枚金币．请问：如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有__________种不同的分法．题模二：分3人例1.2.14个鸡蛋分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法．例1.2.2三个同学分5个高思积分，每个同学至多分到3个高思积分，也有可能分不到，共有__________种不同的分法．例1.2.3三个海盗分18枚金币，每个海盗至少分到5枚金币，共有__________种不同的分法．题模三：分2堆例1.3.1有10个萨琪玛，把它们分成两堆，一共有__________种不同的分法．例1.3.2有15个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有__________种不同的分法．这两堆球的个数可能相差__________个．例1.3.3蕊蕊有20块巧克力，如果她要把这些糖果分成2堆，且每堆最少有2块巧克力，那么一共有多少种不同的分法？题模四：分3堆例1.4.19个金币分成3堆，共有__________种不同的分法．例1.4.2生物老师让大家观察蚂蚁的习性，小高在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只．这3堆蚂蚁可能各有___________只．例1.4.3把12个金币放入三个相同的袋子中，每个袋子至多放6个金币，也可能有袋子不放金币，共有__________种不同的放法．例1.4.418个苹果分成3堆，每堆至少放4个苹果，至多放9个苹果，共有__________种不同的分法．随练1.1老师给小高14个相同的练习本，如果小高把这些本子全都分给墨莫和卡莉娅，有多少种不同的分法？随练1.2三个同学分6个汉堡，每个同学至多分到4个汉堡，也有可能分不到，共有__________种不同的分法．随练1.3三个同学分4个冰激凌，每个同学至多分到2个冰激凌，也有可能分不到，共有__________种不同的分法．随练1.45个苹果分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法．随练1.5现在有7束玫瑰花，要把它们分成2堆，一共有多少种不同的分法？二年级A 班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////----3----计数第01讲_整数分拆(学生版)随练1.67个苹果分成3堆，共有__________种不同的分法．随练1.7（1）小明买回了一袋糖豆，他数了一下，一共有10个．现在他要把这些糖豆分成3堆，一共有多少种不同的分法？（2）如果小明有两袋糖豆，每袋10个．要把这两袋糖豆分成3堆，每堆最少要有5个，一共有多少种不同的分法？随练1.8把14个金币放入三个相同的袋子中，每个袋子至多放7个金币，也可能有袋子不放金币，共有__________种不同的放法．作业1两个海盗分20枚金币．请问：如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有__________种不同的分法．作业26个相同的笔记本分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法．作业3把9块蛋糕分给果果、蕊蕊、莹莹三个小朋友，每位小朋友至少要有2块蛋糕，共有多少种不同的分法？作业4现在有7束百合花，要把它们放在两个不同的盒子里，每个盒子里面都要有百合花，一共有多少种不同的分法？作业58个金币分成3堆，共有__________种不同的分法．作业6把15个金币放入三个相同的袋子中，每个袋子至多放7个金币，也可能有袋子不放金币，共有__________种不同的放法．作业720个苹果分成3堆，每堆至少放5个苹果，至多放8个苹果，共有__________种不同的分法．作业8雷雷去地里挖红薯，一共挖了11个红薯，现在要把它们分成3堆，一共有多少种不同的分法？。