超几何分布导学案
2025年高考数学一轮复习-11.6-二项分布与超几何分布【导学案】
2025年高考数学一轮复习-11.6-二项分布与超几何分布【课程标准】1.理解二项分布、超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念,并进行简单应用.【必备知识精归纳】一、二项分布1.伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.2.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X 表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= p k(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)当n=1时,随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).二、超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)= - -,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.三、正态分布1.定义-( - ) ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,若随机变量X的概率分布密度函数为f(x则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).2.正态曲线的特点(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(2)曲线在x=μ处达到峰值(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.3.3σ原则(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【基础小题固根基】教材改编易错易混1,2,43,51.(教材变式)已知X~B(20,p),且E(X)=6,则D(X)等于()A.1.8B.6C.2.1D.4.2【解析】选D.因为X服从二项分布X~B(20,p),所以E(X)=20p=6,得p=0.3,故D(X)=np(1-p)=20×0.3×0.7=4.2.2.(教材变式)在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品的个数,则P(X=2)=.【解析】由题意得P(X=2)=C32C72C104=310.答案:3103.(对二项分布意义不理解致误)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】选A.3次投篮投中2次的概率为P(k=2)=C32×0.62×(1-0.6),投中3次的概率为P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)=C32×0.62×(1-0.6)+0.63= 0.648.4.(教材提升)某班有50名同学,一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102).已知P(100<X≤110)=0.34,估计该班学生数学成绩在120分以上的有人.【解析】因为考试的成绩X服从正态分布N(110,102),所以该正态曲线关于X=110对称,因为P(100<X≤110)=0.34.所以P(X>120)=P(X≤100)=12×(1-0.34×2)=0.16.所以该班数学成绩在120分以上的人数约为0.16×50=8.答案:85.(二项分布应用不准致误)在一次招聘中,主考官要求应聘者从20道备选题中一次性随机抽取5道题,并独立完成所抽取的5道题,乙能正确完成每道题的概率为45,且每道题完成与否互不影响,记乙能正确完成的题数为Y,则Y的数学期望为.【解析】由题意知Y~B5,45,所以E(Y)=5×45=4.答案:4二项分布[典例1](1)出租车司机从饭店到火车站途中经过6个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是13.则这位司机在途中遇到红灯数X 的均值为,方差为.【解析】X的所有可能取值是0,1,2,3,4,5,6,这位司机经过一个交通岗就是一次试验,有遇到红灯和未遇到红灯两个结果,X=k(k∈N,k≤6)的事件相当于6次独立重复经过一个交通岗的试验,恰有k次遇到红灯的事件,于是得随机变量X~B6,13,所以E(X)=6×13=2,D(X)=6×13×1-13=43.答案:243(2)(2022·福州模拟)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中,每个项目能拿奖的概率都是23,那么在本次运动会上:①求该运动员至少能拿2项奖的概率;②若该运动员能拿奖的项目数为X,求X的分布列及均值.【解析】①依题意知,该运动员在每个项目上“能拿奖”为独立事件,并且每个事件发生的概率相同.设该运动员能拿奖的项目数为随机变量ξ,“该运动员至少能拿2项奖”为事件A,则有P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=C3223213+C33233=2027;②由①可知,X~B3,23,则P(X =0)=C301-233=127,P(X=1)=C31·23·1-232=29,P(X=2)=C32·232·1-23=49,P(X=3)=C33·233=827,所以X的分布列为X0123P1272949827所以均值E(X)=0×127+1×29+2×49+3×827=2.(或E(X)=3×23=2)【方法提炼】1.求n重伯努利试验概率的三个步骤(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验.(2)分拆:判断所求事件是否需要分拆.(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.2.求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),则用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.【对点训练】张先生家住H小区,他在C科技园区工作,从家开车到公司上班有L1,L2两条路线(如图),L1路线有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12;L2路线有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,35.(1)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率;(2)若走L2路线,求遇到红灯次数X的数学期望;(3)若张先生想在上班的途中,“平均遇到红灯次数最少”,则张先生应从上述两条路线中选择哪条上班路线,并说明理由.【解析】(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件,则P(A)=C30×123+C31×12×122=12.所以走L1路线,最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意,知X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=1-34×1-35=110,P(X=1)=34×1-35+1-34×35=920,P(X=2)=34×35=920.随机变量X的分布列为X012P110920920E(X)=110×0+920×1+920×2=2720.(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y服从二项分布,即Y~B3,12,所以E(Y)=3×12=32.因为E(X)<E(Y),所以张先生应选择L2路线上班.【加练备选】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品的质量指标值落在区间[75,85]内的频率;(2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,记这3件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为X,求X的分布列与数学期望.【解析】(1)设落在区间[75,85]内的频率为x,则落在区间[55,65),[65,75)内的频率分别为4x和2x.依题意得(0.004+0.012+0.019+0.030)×10+4x+2x+x=1,解得x=0.05.所以落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,相当于进行了3次独立重复试验,所以X服从二项分布B(n,p),其中n=3.由(1)得,落在区间[45,75)内的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,将频率视为概率得p=0.6.因为X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C30×0.60×0.43=0.064,P(X=1)=C31×0.61×0.42=0.288,P(X=2)=C32×0.62×0.41=0.432,P(X=3)=C33×0.63×0.40=0.216.所以X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216所以X的数学期望为E(X)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8(或直接根据二项分布的均值公式得到E(X)=np=3×0.6=1.8).超几何分布[典例2](1)某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语,2人只会英语,3人既会法语又会英语.现选派3人到法国的学校交流访问,则恰有2人会法语的概率为;既会法语又会英语的人数X的均值为.【解析】设事件A为“选派的3人中恰有2人会法语”,则P(A)=C52C21C73=47.方法一:依题意知X的取值为0,1,2,3,P(X=0)=C43C73=435,P(X=1)=C42C31C73=1835,P(X=2)=C41C32C73=1235,P(X=3)=C33C73=135,所以X的分布列为X0123P43518351235135所以E(X)=0×435+1×18+2×1235+3×135=97.方法二:E(X)=3×37=97.答案:4797(2)从某校高三年级中随机抽取100名学生,对其视力情况进行统计(两眼视力不同,取较低者统计),得到如图所示的频率分布直方图,已知从这100人中随机抽取1人,其视力在[4.1,4.3)的概率为110.①求a,b的值;②若高校B专业的报考资格为任何一眼裸眼视力不低于5.0,已知在[4.9,5.1)中有13的学生裸眼视力不低于5.0.现用分层随机抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学,4人中有资格(仅考虑视力)报考B专业的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列.【解析】①由频率分布直方图的性质,得×0.2=110,( +0.75+1.75+ +0.75+0.25)×0.2=1,解得b=0.5,a=1.②在[4.9,5.1)中,共有15人,其中5人裸眼视力不低于5.0,在这15人中,抽取3人,在[5.1,5.3)中,共有5人,抽取1人,随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,P(ξ=1)=C103C50C153=2491,P(ξ=2)=C102C51C153=4591,P(ξ=3)=C101C52C153=2091,P(ξ=4)=C100C53C153=291,所以ξ的分布列如下ξ1234P249145912091291【方法提炼】超几何分布的特点(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X 的概率分布.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.【对点训练】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如图).(1)根据频率分布直方图,求上述抽取的40件产品中质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X 为质量超过505克的产品数量,求X 的分布列,并求其均值;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件,X 的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布.P(X=0)=C120C282C402=63130,P(X=1)=C121C281C402=2865,P(X=2)=C122C280C402=11130,所以X的分布列为X012P63130286511130所以X的均值为E(X)=0×63130+1×2865+2×11130=35;(3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为310.从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2重伯努利试验,质量超过505克的产品数量Y的可能取值为0,1,2,且Y~B2,310,P(Y=k)=C2 ×1-3102-k×310k,所以P(Y=0)=C20×7102=49100,P(Y=1)=C21×310×710=2150,P(Y=2)=C22×3102=9100.所以Y的分布列为Y012P4910021509100正态分布角度1正态分布的性质[典例3](1)设有一正态总体,它的正态密度曲线是函数f(x)的图象,且-( -10)28(x∈R),则这个正态总体的平均数与标准差分别是()f(xA.10与8B.10与2C.8与10D.2与10【解析】选B.因为f(xe-( -10)28,所以σ=2,μ=10,即正态总体的平均数与标准差分别为10与2.-( - )22 2(x∈R,i=1,2,3)的图象(2)(2023·深圳模拟)已知三个正态密度函数φi(x如图所示,则()A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3【解析】选D.由正态曲线关于直线x=μ对称,知μ1<μ2=μ3;σ的大小决定曲线的形状,σ越大,总体分布越分散,曲线越“矮胖”,σ越小,总体分布越集中,曲线越“瘦高”,则σ1=σ2<σ3.实际上,由φ1(μ1)=φ2(μ2)>φ3(μ3),亦可知σ1=σ2<σ3.(3)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是()A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等【解析】选D.对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确,不符合题意;对于B,由正态密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确,不符合题意;对于C,由正态密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确,不符合题意;对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D 错误,符合题意.【方法提炼】利用正态分布性质解题的关键点对X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意义不清楚,特别是对μ的认识不清楚,就会在解题时无从下手.这里μ是随机变量X的均值,σ是标准差,x=μ是正态密度曲线的对称轴.角度2正态分布的概率计算[典例4](1)(2023·运城模拟)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为()A.0.8B.0.4C.0.3D.0.2【解析】选D.因为ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),所以曲线的对称轴是直线x=1,又ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,根据正态曲线的性质,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为P(ξ≥2)=1-0.62=0.2.(2)(2022·安阳模拟)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64),则成绩在140分以上的考生所占的百分比约为()(参考数据:P(μ-3σ≤X≤μ+3σ≈0.997)A.0.3%B.0.23%C.1.5%D.0.15%【解析】选D.依题意,得μ=116,σ=8,所以μ-3σ=92,μ+3σ=140.而服从正态分布的随机变量在[μ-3σ,μ+3σ]内取值的概率约为0.997,所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比约为1-99.7%2=0.15%.(3)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=.【解析】因为X~N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.答案:0.14【方法提炼】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.(2)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态密度曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用:①对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);②P(X<x0)=1-P(X≥x0);③P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).角度3正态分布的综合应用[典例5](1)为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩x近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为;如果成绩大于135分的为特别优秀,那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有人.(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.95)【解析】因为数学成绩x服从正态分布N(100,17.52),则P(100-17.5≤x≤100+17.5)=P(82.5≤x≤117.5)≈0.68,所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为P(x<82.5)=1- (82.5≤ ≤117.5)2≈1-0.682=0.16.又P(100-17.5×2≤x≤100+17.5×2)=P(65≤x≤135)≈0.95,所以数学成绩特别优秀的概率为P(x>135)=1- (65≤ ≤135)2≈1-0.952=0.025.又P(x<82.5)=P(x>117.5)≈0.16,则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是800.16×0.025≈13.答案:0.1613(2)为了解某年龄段人群的午休睡眠时间,随机抽取了1000名该年龄段的人作为被调查者,统计了他们的午休睡眠时间,得到如图所示的频率分布直方图.①求这1000名被调查者的平均午休睡眠时间 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);②由直方图可以认为被调查者的午休睡眠时间Y服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分别取被调查者的平均午休睡眠时间 和方差s2,那么这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟的人数估计有多少?③如果用这1000名被调查者的午休睡眠情况来估计某市该年龄段所有人的午休睡眠情况,现从全市所有该年龄段的人中随机抽取5人,记午休睡眠时间不超过73.09分钟的人数为X,求E(X)(精确到0.01).附:(i)s2=212.75,212.75≈14.59.(ii)Y~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤Y≤μ+3σ)≈0.9973.【解析】①由题意知,第一组至第六组的区间中点值分别为35,45,55,65,75,85,对应的频率分别为0.1,0.2,0.3,0.15,0.15,0.1.所以 =35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.15+75×0.15+85×0.1=58.5(分钟),所以这1000名被调查者的平均午休睡眠时间 =58.5分钟.②由题意得Y~N(58.5,14.592),则P(43.91≤Y≤73.09)=P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.6827,所以P(Y>73.09)=P(Y<43.91)≈1-0.68272= 0.15865,所以这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟的估计有0.158 65×1000≈159(人).③在全市该年龄段人中抽取午休睡眠时间不超过73.09分钟的人的概率P≈1-0.15865=0.84135,由题意得X~B(5,0.84135),所以E(X)=5×0.84135≈4.21.【方法提炼】解决正态分布问题有三个关键点(1)对称轴x=μ.(2)标准差σ.(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.提醒只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.【对点训练】1.(2023·常州模拟)若随机变量X~B(3,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.657,P(0<Y<2)=p,则P(Y>4)等于()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8【解析】选A.由题意,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)3=0.657,解得p=0.3,则P(0<Y<2)=0.3,所以P(Y>4)=P(Y<0)=0.5-P(0<Y<2)=0.2.2.在某校高三年级的高考全真模拟考试中,所有学生考试成绩的取值X(单位:分)是服从正态分布N(502,144)的随机变量,模拟“重点控制线”为490分(490分及490分以上都是重点),若随机抽取该校一名高三考生,则这位同学的成绩不低于“重点控制线”的概率为()(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.6827B.0.65865C.0.84135D.0.34135【解析】选C.X~N(502,144),则σ=12,因为P(502-12≤X≤502+12)≈0.6827,所以P(X<490)≈1-0.68272=0.15865,即P(X≥490)≈1-0.15865=0.84135.3.对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn~N0,2 ,为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,至少要测量次.(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545)【解析】根据正态曲线的对称性知要使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,则(μ-2σ,μ+2σ)⊂(-0.5,0.5),又μ=0,σ所以0.所以n≥32.答案:32【加练备选】1.已知随机变量ξ~N(μ,σ2),有下列四个命题:甲:P(ξ<a-1)>P(ξ>a+2);乙:P(ξ>a)=0.5;丙:P(ξ≤a)=0.5;丁:P(a<ξ<a+1)<P(a+1<ξ<a+2).如果只有一个假命题,则该命题为()A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】选D .由于乙、丙的真假性相同,所以乙、丙都是真命题,故a =μ;根据正态密度曲线的对称性可知,甲:P (ξ<μ-1)>P (ξ>μ+2)为真命题;P (μ<ξ<μ+1)>P (μ+1<ξ<μ+2),所以假命题是丁.2.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P (X ≥1)及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得 =116∑ =116xi =9.97,s.212,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i =1,2, (16)用样本平均数 作为μ的估计值,用样本标准差s 作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-3σ≤Z ≤μ+3σ)≈0.9973,0.997316≈0.9577,0.008≈0.09.【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9973,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0027,故X~B (16,0.0027).因此P (X ≥1)=1-P (X =0)=1-0.997316≈0.0423;X 的数学期望E (X )=16×0.0027=0.0432.(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0027,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0423,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.②由 =9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02.因此μ的估计值为10.02.∑ =1162=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为0.008≈0.09.。
高中数学 2.1.3超几何分布导学案(无答案)新人教B版选修2-3
§2.1.3超几何分布学习目标1.通过实例，理解超几何分布及其特点；2．通过对实例的分析，掌握求解超几何分布列的方法，并能简单的应用．学习过程【任务一】问题分析问题1：假定一批产品共6件，其中有4件不合格品，从中随机取出3件产品；（1）求取出3件产品时，不合格品的件数是2的取法有多少种？（2）求取出的3件产品中不合格品的件数是2的概率？（3）如果X 表示取出的3件产品中不合格品的件数，那么X 是一个随机变量吗？ 如果是，则X 可以取到那些值？你能求出X 的分布列吗？问题2：有N 件产品，其中M （M ≤N ）件次品，从中任取n （n ≤N ）件产品，X 表示取出次品的件数，那么 ()P X k == ，（其中k 为非负整数）【任务二】概念理解1.超几何分布：设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件)(N n ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为),0()(中较小的一个和为M n l l m C C C m X P n Nm n M N m M ≤≤==--。
说明：（1）超几何分布的模型是无放回抽样；（2）超几何分布中的参数是n M N ,,。
【任务三】典型例题分析例1：高二年级的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球就中一等奖，求中一等奖的概率．（2）若至少摸到3个红球就能中奖，求中奖的概率．例2：生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？【任务四】课后作业1.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是 A 4237 B 4217 C 2110 D 2117 2.一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽取的为1件次品的概率是A 0.078B 0.78C 0.0078D 0.0783.从装有3个红球，2个白球的袋中随机抽取2个球，则其中有一个红球的概率是A 0.1B 0.3C 0.6D 0.24.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛(1)求所选3人恰有1名女生的概率？（2）设X 表示所选女生人数，求其分布列。
超几何分布及二项分布二轮复习教学设计及导学案
超几何分布及二项分布二轮复习教学设计及导学案【导学案】课题名称：超几何分布及二项分布学科：数学年级：高一教学时间：2课时教学目标：1.理解超几何分布和二项分布的概念与特点。
2.掌握超几何分布和二项分布的计算方法。
3.能够应用超几何分布和二项分布解决实际问题。
教学重点：1.超几何分布和二项分布的概念与特点。
2.超几何分布和二项分布的计算方法。
教学难点：1.能够应用超几何分布和二项分布解决实际问题。
教学准备：1.教师准备PPT。
2.学生铅笔、橡皮、作业本。
教学过程：Step 1 导入新课（5分钟）1.让学生回顾前一节课的内容，回答几个问题：什么是离散型随机变量？如何计算离散型随机变量的期望？2.引入本节课的新内容，告诉学生本节课要学习和复习超几何分布和二项分布。
Step 2 课堂教学（55分钟）1.引导学生回忆超几何分布的概念和特点，并结合具体例子进行讲解。
提醒学生注意超几何分布中的各个参数的含义和计算方法。
2.引导学生回忆二项分布的概念和特点，并结合具体例子进行讲解。
提醒学生注意二项分布中的各个参数的含义和计算方法。
3.给学生讲解超几何分布和二项分布的计算方法，并通过例题进行演示。
帮助学生掌握计算过程和技巧。
4.给学生出几道练习题，让学生独立完成，并在课堂上逐题讲解答案和解题思路。
帮助学生巩固所学知识。
Step 3 课堂小结（5分钟）1.总结本节课的重点内容，强调超几何分布和二项分布的概念和特点。
2.提醒学生进行课后复习，并解答学生的问题。
Step 4 课后作业（2分钟）1.布置适量的课后作业，巩固学生对超几何分布和二项分布的理解和掌握。
2.提醒学生及时批改作业，并预习下节课内容。
备注：以上为教学设计概要，具体教学内容及时间可根据实际情况灵活调整。
超几何分布教案
2.两点分布
3.某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，其中含有的次品件数若用η表示所含次品数，η有哪些取值？
学习过程
例：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求
⑴取到的次品数X的分布列；
⑵至少取到1件次品的概率。
超几何分布的概念：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则 ，k=0,1,2,…,m，即
丰润区第二中学高二年级数学人教版选修2-3导学案
课题
2.1.1超几何分布
课时
1
编制人
学习目标
掌握超几何分布的特点并会判断超几何分布，会求简单的离散型随机变量的分布列。
学习重点
超几何分布的特点
学习难点
求简单的离散型随机变量的分布列
教学方法
合作探究，自主学习
课堂类型
新授课
课堂设计
教学内容
学习点滴
复习引入
⑴求袋中原有白球的个数；
⑵求随机变量X的概率分布；
⑶求甲取到白球的概率
例3．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖 游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．
X
0
1
…
m
P
…
其中m=min﹛M，n﹜，且 。如果随变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布。
说明：超几何分布列给出了一类用数学模型解决的问题，对该类问题直接套用公式即可，但在解决问题之前，首先确定随机变量X是否服从超几何分布。
问题1、发行某种彩票10张，其中4张有奖，某人购买此类彩票6张，求他中奖的概率。
2.1.3 超几何分布 学案(人教B版高中数学选修2-3)
2.1.3 超几何分布学案（人教B版高中数学选修2-3）2.1.3超几何分布超几何分布学习目标1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法.作用.2.掌握超几何分布的特点，并能简单的应用知识点超几何分布已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数思考1X可能取哪些值答案X0,1,2.思考2X1表示的试验结果是什么求PX1的值答案任取2件产品中恰有1件次品，PX1C13C15C28.思考3如何求PXkk0,1,2答案PXkCk3C2k5C28k0,1,2梳理超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件nN，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为PXmCmMCnmNMCnN0ml，l为n和M中较小的一个，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.类型一利用超几何分布公式求概率例1已知某车间生产的8件产品中，有2件不合格若从中任取2件产品进行质检，则至少有1件产品不合格的概率是多少解用X 表示抽取的2件产品中不合格产品的件数，则X服从超几何分布，记“至少有一件产品不合格”为事件A.方法一A由X1，X2两个互斥事件构成PX1C12C16C2837，PX2C22C06C28128，PAPX1PX2371281328.方法二记“2件产品中没有不合格产品”为事件A.则PAPX0C02C26C281528，PA1PA115281328.反思与感悟若随机变量服从超几何分布，则可先确定相应参数，再直接套用公式求解相应变量对应的概率跟踪训练1在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球中奖，求中奖的概率结果保留两位小数解设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N30，M10，n5.于是中奖的概率为PX3PX3PX4PX5C310C533010C530C410C543010C530C510C553010C530 1xx021020252C530272521425060.19.类型二求超几何分布的分布列例2某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元令X表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力1求X的分布列；2设此员工的工资为Y元，求Y的分布列解1选对A饮料的杯数X的可能取值为0,1,2,3,4，其服从参数为N8，M4，n4的超几何分布，其概率分别为PX0C04C44C48170，PX1C14C34C481670835，PX2C24C24C4836701835，PX3C34C14C481670835，PX4C44C04C48170.其分布列为X01234P17083518358351702此员工月工资Y 的所有可能取值为3500,2800,2100，则PY3500PX4170，PY2800PX3835，PY2100PX0PX1PX25370.其分布列为Y210028003500P5370835170反思与感悟1在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布2在超几何分布公式中，PXmCmMCnmNMCnN，0mn，其中，mminM，n这里的N是产品总数，M是产品中的次品数，n是抽样的样品数，且0nN,0mn，0mM，0nmNM.3如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值4当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示跟踪训练2某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生.2名女生，B中学推荐了3名男生.4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人.女生中随机抽取3人组成代表队1求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；2某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列考点超几何分布题点求超几何分布的分布列解1由题意知，参加集训的男生.女生各有6人代表队中的学生全从B中学抽取等价于A中学没有学生入选代表队的概率为C33C34C36C361100，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1110099100.2根据题意，得X的所有可能取值为1,2,3.PX1C13C33C4615，PX2C23C23C4635，PX3C33C13C4615.所以X的分布列为X123P153515类型三超几何分布的应用例3在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品从这10件产品中任取3件求1取出的3件产品中一等品件数X的分布列；2取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率解1由于从10件产品中任取3件的结果数为C310，从10件产品中任取3件，其中恰有m0m3且mN件一等品的结果数为Cm3C3m7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为PXmCm3C3m7C310，m0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是Xk0123PXk724214074011202设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3两两互斥，且AA1A2A3.因为PA1C13C23C310340，PA2PX2740，PA3PX31120，所以PAPA1PA2PA3340740112031120.即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为31120.反思与感悟利用超几何模型求分布列，首先要弄清“产品”有多少个，其中“次品”有多少个，要取多少个“产品”，即要正确找出超几何分布的参数，然后再利用超几何分布的概率计算公式进行计算跟踪训练3袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求1取出的3个小球上的数字互不相同的概率；2随机变量X的分布列；3计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点排列组合在分布列中的应用解1方法一“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则PAC35C12C12C12C31023.方法二“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件因为PBC15C22C18C31013，所以PA11323.2由题意知，X所有可能的取值是2,3,4,5，PX2C22C12C12C22C310130，PX3C24C12C14C22C310215，PX4C26C12C16C22C310310，PX5C28C12C18C22C310815.所以随机变量X的分布列为X2345P1302153108153“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则PCPX3PX42153101330.1设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为A.C480C610C10100B.C680C410C10100C.C480C620C10100D.C680C420C10100答案D解析记取出的10个球中红球个数为X，则X服从超几何分布，即PX6C680C420C10100，故选D.2一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则PX4的值为A.1220B.2755C.27220D.2125答案C解析由题意知，取出的3个球必为2个旧球.1个新球，故PX4C23C19C31227220.3已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C47C68C1015的是APX2BPX2CPX4DPX4考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案C解析X服从超几何分布，基本事件总数为C1015，所求事件数为CX7C10X8，PX4C47C68C1015.4从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案45解析设所选女生数为随机变量X，则X服从超几何分布，所以PX1PX0PX1C02C34C36C12C24C3645.5一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球1从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X 的分布列；2从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列解1X的分布列为X01P37472PX0C23C2717，X的分布列为X01P1767超几何分布超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式PXkCkMCnkNMCnN求出X取不同值k时的概率学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M，N，n，k的含义.。
高中数学 2.2超几何分布 精品导学案 苏教版选修2-3
2.2 超几何分布超几何分布一般地，若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －rN －M C n N，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布．记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C r M C n －r N －M C n N记为H (r ；n ，M ，N )．预习交流 如何正确理解超几何分布？提示：设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品，从中任取n (n ≤N )件产品，取出的产品中有r 件次品的概率为P (X ＝r )＝C r M C n －r N －M C n N(其中r 为非负整数)，此时随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．一、超几何分布的实例某班共50名学生，其中35名男生，15名女生，随机从中抽取5名同学参加学生代表大会，所抽取的5名学生代表中，求女生人数X 的分布列．思路分析：由题意知女生人数X 服从超几何分布H (5,15,50)．利用超几何分布的概率公式求解．解：从50名学生中随机抽取5人共有C 550种方法，没有女生的取法是C 015C 535，恰有1名女生的取法为C 115C 435，恰有2名女生的取法为C 215C 335，恰有3名女生的取法为C 315C 235，恰有4名女生的取法为C 415C 135，恰有5名女生的取法为C 515C 035.下列随机变量中，服从超几何分布的有__________．①一批产品50箱，其中有2箱不合格，从该批产品中任取5箱产品进行检测，其中不合格的产品箱数X .②一个盆子里有4个红球和3个黑球，从中任取一个球，然后放回，连续三次，记取到红球的个数为X .答案：①解析：①X 服从超几何分布H (5,2,50)；②不服从超几何分布，因为它是有放回地抽样． 判断一个随机变量是否服从超几何分布，主要是根据定义，注意超几何分布是不放回的取样．二、超几何分布的实际应用从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．思路分析：由题目可知选出的女同学人数服从超几何分布H (3,4,10)，根据超几何分布概率公式直接求，也可用间接法求解．解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从超几何分布H (3,4,10)，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝56，或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36C 310＝56.一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，求其中出现次品的概率．解：设抽到次品的件数为X ，则X 服从超几何分布H (2,5,50)．于是出现次品的概率为P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 2－150－5C 250＋C 25C 2－250－5C 250＝949＋2245＝47245，即出现次品的概率为47245. ①超几何分布是一种常见的随机变量的分布，利用它可解决一类超几何分布问题． ②在超几何分布中，只要知道参数N ，M ，n 就可以根据公式求出X 取不同值时的概率．从而列出分布列，再求符合题意的概率．1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取得次品的个数，则P (X ＜2)＝__________.答案：1415解析：由题意知X 可取0,1,2，服从超几何分布H (2,3,10)，即P (X ＜2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 03C 27C 210＋C 13C 17C 210＝715＋715＝1415. 2．100张奖券中有4张有奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都中奖的概率为__________．答案：1825解析：由题意知X 可取0,1,2且服从超几何分布H (2,4,100)．所以2张都中奖的概率为P (X ＝2)＝C 24C 096C 2100＝1825. 3．把X ，Y 两种遗传基因冷冻保存，若X 有30个单位，Y 有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率是__________．答案：2449解析：由题意可设遗传基因X 失效单位的个数为ξ，则ξ服从超几何分布H (2,30,50)．则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率为P (ξ＝1)＝C 130C 120C 250＝2449. 4．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种型号都齐全的概率为__________．答案：35解析：由题意可设随机变量X 表示“选出的彩电中乙型彩电的台数”，则X 服从超几何分布H (2,2,5)．则两种型号都齐全的概率为P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝35. 5．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为多少？解：设随机变量X 表示“抽出的中奖票的张数”，则X 服从超几何分布H (n,2,50)．∴P (X ≥1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50＞0.5. 解得n ≥15.∴n 至少为15时，至少有一张中奖的概率大于0.5.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
超几何分布
【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容；
2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成
【学习目标】1、通过实例，理解超几何分布及其导出过程。 2、使学生能利用超几何分布来解决简单的实际问题。 【教学重点】利用超几何分布来解决简单的实际问题 【教学难点】超几何分布及其导出过程 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、阅读课本 38 页到 40 页。 2． 问题： 已知在 10 件产品中有 3 件次品，现从这 10 件产品中任取 2 件，用 X 表示取得的次品数，试 写出 X 的分布列。 探究二： 超几何分布的分布列 李明参加中央电视台《星光大道》大会的青年志愿者选拔，在已知备选 的 10 道题中，李明能答对其中的 6 道，规定考试从备选题中随机地抽出 3 题进行测试，至少 答对 2 题才能入选．用 X 表示答对题的数目。 （1）写出 X 的分布列； （2）李明入选的概率为多少？
4、已知某社区的 10 位选民代表中有 5 位支持候选人 A，现随机采访他们中间的 4 位，求其中至 少有 2 名支持候选人 A 的概率。
【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？
4、试一试： 一个袋子中装有 5 个红球，3 个白球，这些球除颜色外完全相同，现从口袋中任意摸出 4 个球，则 模到两个白球的概率是 。
【当堂测试】 1、一个袋子里装有 4 个白球，5 个黑球和 6 个黄球，从中任取 4 个球，则 含有 3 个黑球的概率为 A. 20 273 10 B. 273 C. 20 91 D. 10 91 ( )．
【B版】人教课标版高中数学选修2-3《超几何分布》导学案
2.1.3超几何分布【学习要求】理解超几何分布。
【学法指导】在产品抽样检验中，一般采用不放回抽样，则抽到次品数服从超几何分布；在实际工作中，计算次品数为k的概率，由于涉及产品总数，计算比较复杂，因而，当产品数较大时，可用后面即将学到的二项分布来代替。
【知识要点】1．一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为。
如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从。
【问题探究】探究点一超几何分布问题超几何分布适合解决什么样的概率问题？例1从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3 件，求取得次品数为ξ的分布列。
跟踪训练1某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数。
（1）求X的分布列；（2）求至少有2名男生参加数学竞赛的概率。
探究点二实际应用例3在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中任抽2张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列。
小结 此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，分析题意，判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解决此类题目的关键。
跟踪训练2 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列。
【当堂检测】1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（ ）A ．C 35C 350B ．C 15＋C 25＋C 35C 350 C ．1－C 345C 350D ．C 15C 25＋C 25C 145C 3502．一个箱内有9张票，其号数分别为1，2，3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．563．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________。
[推荐学习]高中数学第二章概率2超几何分布导学案
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§2 超几何分布自主整理一般地，设有N 件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的个数，那么P(X=k)=______________(其中k 为非负整数). 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为______________的超几何分布.高手笔记1.超几何分布，实质上就是有总数为N 件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n 件，这n 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为k 时的概率为P(X=k)=nNkn MN k m C C C --①(k≤l，l 是n 和M 中较小的一个). 2.在超几何分布中，只要知道N 、M 和n ，就可以根据公式①求出X 取不同值时的概率P ，从而列出X 的分布列. 名师解惑1.如何判断随机变量X 是否服从超几何分布？ 剖析：判断超几何分布时必须满足以下两条： (1)总数为N 件的物品只分为两类：M(M≤N)件甲类(或次品)，其余的N-M 件为乙类(或正品). (2)随机变量X 表示从N 件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品的件数.2.当随机变量X 服从参数为N 、M 、n(M≤N，n≤N)的超几何分布时，X 的所有可能取值有哪些？剖析：当N-M≥n 时，X 的所有可能取值为：0,1,2，…，l(l 为M 与n 中较小的一个)，例如(1)从10件产品(含有4件次品)中取3件，其中含有的次品数X 的所有可能取值为0，1,2，3.(2)从10件产品(含有2件次品)中取3件，其中含有的次品数X 的所有可能取值为0，1,2. 当N-M<n 时，X 的所有可能取值为n+M-N ，n+M-N+1，n+M-N+2，…，l(l 为M 与n 中较小的一个). 例如：(1)从10件产品(含8件次品)中取4件，其中含有的次品数X 的所有可能取值为2,3，4.(2)从10件产品(含5件次品)中取8件，其中含有的次品数X 的所有可能取值为3,4，5. 讲练互动【例1】从含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求： (1)取到的次品件数X 的分布列； (2)至少取到1件次品的概率. 分析：根据题意，取到的次品件数X 为离散型随机变量，且X 服从参数为N=100，M=5，n=3的超几何分布.解：(1)∵X 服从参数为N=100，M=5，n=3的超几何分布，它的可能取值为0，1,2，3，由公式P(X=k)=nNk n MN k M C C C --(其中k 为非负整数)，可得随机变量X 的分布列为：(2)根据随机变量X 的分布列，可得至少取到1件次品的概率为：P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.138 06+0.005 88+0.000 06=0.144 00. 故至少取到1件次品的概率约为0.144 00.绿色通道:准确找出随机变量X 的取值，是解决此类问题的关键. 变式训练1．从5名男生和3名女生中任选3人参加奥数训练，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数.(1)求X 的分布列；(2)求“所选3人中女生人数X>1”的概率.解：(1)X 可能取的值为0，1,2，3，P(X=k)=38353C C C kk -∙，k=0,1，2,3.(2)由(1)，“所选3人中女生人数X>1”的概率为 P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=725615615=+. 【例2】在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.分析：由题意知，摸到红球个数X 为离散型随机变量，且X 服从参数为N=30，M=10，n=5的超几何分布.解：∵X 服从超几何分布，且X 的可能取值为0，1,2，3,4，5，则至少摸到3个红球的概率为：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=5300205105301204105302203103C C C C C C C C ++≈0.191 2. 故中奖的概率约为0.191 2.绿色通道:由超几何分布的概念、公式以及上述两例我们知道：第一，当研究的事物涉及二维离散型随机变量(比如：次品、两类颜色等问题)时的概率分布可视为一个超几何分布；第二，在超几何分布中，只要知道参数N 、M 、n 就可以根据公式求出X 取不同值时的概率，进而列出X 的分布列. 变式训练2.从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得次品数X 的分布列，并求P(21≤X≤25). 分析：先弄清楚随机变量X 的取值，符合超几何分布，运用超几何分布的概率计算. 解：X 的可能取值为0，1,2.P(X=0)=3522315313=C C ，P(X=1)=351231521312=C C C ， P(X=2)=.35131511322=C C CP(2≤X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=35.【例3】某商场庆“五一”举行促销活动，活动期间凡在商场购物满88元的顾客，凭发票都有一次摸奖机会，摸奖规则如下：准备了10个相同的球，其中有5个球上印有“奖”字，另外5个球上无任何标志，摸奖前在盒子里摇匀，然后由摸奖者随机地从中摸出5个球，奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如下表：(1)若某人凭发票摸奖一次，求中奖的概率；(2)若某人凭发票摸奖一次，求奖品为自行车的概率.分析：可以将10个球看作10件“产品”，5个印有“奖”字的球可以看作5件“次品”，任意取5个球中印有“奖”字的球数可以看作是任取5件“产品”中所含“次品”数. 解：(1)设X 为摸取5个球中印有“奖”字的球的个数，则X 服从参数为N=10，M=5，n=5的超几何分布.X 的可能取值为0，1,2，3,4，5，则X 的分布列为：P(X=k)=510555C C C kk -(k=0,1，2,3，4,5)， 若要获得奖品，只需X≥2，则P(X≥2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-.12611351045155105505=-C C C C C C (2)若要获得自行车，必须X=5，则P(X=5)=2521510555=C C C . 绿色通道:由上面的计算可以看出，顾客获得奖品的概率为126113≈0.896 8，希望很大.但获得自行车的概率为2521≈0.004 0，希望不大.. 变式训练3．已知某社区的10位选民代表中有5位支持候选人A ，现随机采访他们中间的4位，求其中至少有2名支持候选人A 的概率.解：P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-.423141035154104505=-C C C C C C 教材链接［P 40思考交流］下列随机变量X 是否服从超几何分布，如果服从，那么各分布的参数分别是多少？(1)一个班级共有45名同学，其中女生20人，现从中任选7人，其中女生的人数为X ； (2)从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中取出n 张牌，取出的黑桃的张数为X. 答：(1)X 服从参数为N=45，M=20，n=7的超几何分布. (2)X 服从参数为N=52，M=13，n(n≤52)的超几何分布.。
7.4.2超几何分布 导学案
7.4.2超几何分布1.理解超几何分布,能够判定随机变量是否服从超几何分布;2.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题,会求服从超几何分布的随机变量的均值.重点：超几何分布的概念及应用难点：超几何分布与二项分布的区别与联系1.超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品．从N 件产品中随机抽取n 件(不放回），用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }，则称随机变量X 服从超几何分布． 1.公式 C C ()C k n k M N MnNP Xk 中个字母的含义 N —总体中的个体总数；M —总体中的特殊个体总数(如次品总数) n —样本容量；k —样本中的特殊个体数(如次品数)2.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列.3. “任取n 件,恰有k 件次品”是一次性抽取,用组合数列式.4.各对应的概率和必须为1. 2.超几何分布的均值设随机变量X 服从超几何分布，则X 可以解释为从包含M 件次品的N 件产品中，不放回地随机抽取n 件产品中的次品数．令p ＝MN ，则E (X ）＝__ np _．1.下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是( ） A ．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB ．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数XC．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数一、问题探究问题1：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.（1）：采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？（2）：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？二、典例解析例1：从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.例2. 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.（1）当研究的事物涉及二维离散型随机变量(如：次品、两类颜色等问题）时的概率分布可视为一个超几何分布；（2）在超几何分布中，只要知道参数N，M，n就可以根据公式求出X取不同值时的概率．跟踪训练1.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．探究1：服从超几何分布的随机变量的均值是什么?例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1).分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列;(2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.二项分布与超几何分布区别和联系1.区别：一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样.2.联系：当次品的数量充分大,且抽取的数量较小时,即便是不放回抽样,也可视其为二项分布.1.一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(）2.已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为________．3. 在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率．4.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：(1）不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值；(2）放回抽样时，抽取次品数η的均值．1.超几何分布(),,1,2,,.k n k M N MnNC C P X k k m m m r C --===++2.超几何分布的均值()nME X np N==参考答案：知识梳理1.解析：由超几何分布的定义可知B 正确． 答案：B 学习过程 一、 问题探究问题1： （1）采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X 服从二项分布,即X ～B(4，0.08).（2）： 不服从，根据古典概型求X 的分布列.解：从100件产品中任取4件有 C 1004 种不同的取法，从100件产品中任取4件，次品数X 可能取0,1,2,3,4.恰有k 件次品的取法有C 8k C 924−k 种.由古典概型的知识，得随机变量X 的分布列为二、典例解析例1：解: 设X 表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1),则X 服从超几何分布,且N=50，M=1,n=5.因此，甲被选中的概率为141495501(1)10C C P X C === 例2.解:设抽取的10个零件中不合格品数为X ,则X 服从超几何分布,且N =30,M =3,n =10, X 的分布列为P(X =k)=C 3k C 2710−kC 3010, k =0,1,2,3至少有1件不合格的概率为P (X ≥1)=P (X =1)+P (X =2)+P (X =3)=C 31C 279C 3010+C 32C 278C 3010+C 33C 277C 3010=95203+45203+6203=146203≈0.7192另解:(X ≥1)=1−(X =0) =1−C 30C 2710C 3010 =1−57203≈0.7192跟踪训练1. 解析：(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1， 但不包含B 1”的事件为M ，则P(M)＝C 48C 510 ＝518 .(2)由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P(X ＝0)＝C 56 C 510 ＝142 ，P(X ＝1)＝C 46 C 14C 510 ＝521 ，P(X ＝2)＝C 36 C 24 C 510 ＝1021 ，P(X ＝3)＝C 26 C 34C 510 ＝521 ，P(X ＝4)＝C 16 C 44C 510＝142 .因此X 的分布列为探究1：设随机变量X 服从超几何分布，则X 可以解释为从包含M 件次品的N 件产品中，不放回地随机抽取n 件产品中的次品数.令p=M N ，则p 是N 件产品的次品率，而 Xn 是抽取的n 件产品的次品率，E(xn )=p ，即E(X)=np.例6.解:(1)对于有放回摸球,由题意知X ~B (20,0.4),X 的分布列为20120()0.40.6,0,1,2,,20.k k kk P P X k C k -===⨯=对于不放回摸球,由题意知X 服从超几何分布，X 的分布列为204060220100(),0,1,2,,20.k k k C C P P X k k C -====（2）样本中黄球的比例2020Xf是一个随机变量 有放回摸球：P(|f 20−0.4|≤0.1)=P （6≤X≤10）≈0.7469； 不放回摸球：P(|f 20−0.4|≤0.1)=P （6≤X≤10）≈0.7988.因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些。
学案3：7.4.2 超几何分布
7.4.2 超几何分布学习目标1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系．知识梳理知识点 超几何分布1．定义：一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝ ，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }． 如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．2．均值：E (X )＝ .题型探究探究一 超几何分布的辨析例1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取得次品的个数，则P (X ＜2)＝__________.反思感悟 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．跟踪训练1.(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有( )A ．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB ．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C ．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD ．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X探究二 超几何分布的概率例2．把X ，Y 两种遗传基因冷冻保存，若X 有30个单位，Y 有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率是( )．A ．2449B ．125C ．130D ．1600反思感悟 求超几何分布的分布列的步骤跟踪训练2．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种型号都齐全的概率是__________．探究三超几何分布与二项分布间的关系例3.一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，求其中出现次品的概率．反思感悟二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．区别①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布.跟踪训练3.从6试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．当堂检测1．100张奖券中有4张有奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都中奖的概率为__________．2．把X，Y两种遗传基因冷冻保存，若X有30个单位，Y有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X，Y两种基因各失效1个单位的概率是__________．3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种型号都齐全的概率为__________．4．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为多少？参考答案知识梳理知识点 超几何分布1．C k M C n －k N －M C n N 2．nM N题型探究例1．【答案】1415【解析】由题意知X 可取0,1,2，服从超几何分布H (2,3,10)，即P (X ＜2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 03C 27C 210＋C 13C 17C 210＝715＋715＝1415. 跟踪训练1.【答案】ABD【解析】依据超几何分布模型定义可知，ABD 中随机变量X 服从超几何分布．而C 中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X 不服从超几何分布．例2．【答案】A【解析】由题意知服从超几何分布，则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率为C 130C 120C 250＝2449. 跟踪训练2．【答案】35【解析】由题意知服从超几何分布，其中两种型号都齐全的概率为C 13C 12C 25＝35. 例3.解：设抽到次品的件数为X ，则X 服从超几何分布H (2,5,50)．于是出现次品的概率为P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 2－150－5C 250＋C 25C 2－250－5C 250＝949＋2245＝47245，即出现次品的概率为47245. 跟踪训练3.解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从超几何分布H (3,4,10)，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝56，或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36C 310＝56. 当堂检测1．【答案】1825【解析】由题意知X 可取0,1,2且服从超几何分布H (2,4,100)．所以2张都中奖的概率为P (X ＝2)＝C 24C 096C 2100＝1825. 2．【答案】2449【解析】由题意可设遗传基因X 失效单位的个数为ξ，则ξ服从超几何分布H (2,30,50)．则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率为P (ξ＝1)＝C 130C 120C 250＝2449.3．【答案】35【解析】由题意可设随机变量X 表示“选出的彩电中乙型彩电的台数”，则X 服从超几何分布H (2,2,5)．则两种型号都齐全的概率为P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝35. 4．解：设随机变量X 表示“抽出的中奖票的张数”，则X 服从超几何分布H (n,2,50)．∴P (X ≥1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50＞0.5. 解得n ≥15.∴n 至少为15时，至少有一张中奖的概率大于0.5.。
超几何分布
超几何分布（高二理科）使用说明：学习教材38—42页内容独立完成问题导学，总结方法规律。
重点难点：超几何分布的定义、超几何分布列的性质及其在实际问题中的应用。
一．学习目标：1. 理解并掌握超几何分布的定义、超几何分布列的性质。
2. 掌握超几何分布实际问题的题型及解法。
3．通过解决实际问题感受现实世界中数学的无限价值。
二．问题导学:问题1:一般地，设有N件产品，其中有()NMM≤件次品。
从中任取()Nnn≤件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么，如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N,M,n的超几何分布。
问题2: 超几何分布列的性质：在超几何分布列中，随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布，则x所有可能取值的概率之和为1.三．合作探究展示：题型一求超几何分布的分布列例1 :一批100个计算机芯片中含2个不合格的芯片，现随机地从中取出5个芯片作为样本。
（1）计算样本中含不合格芯片数的分布列；（2）求样本中至少含有一个不合格芯片数的概率。
题型二离散型随机变量分布列的综合应用*例2:袋中装有标着数字1，2，3，4，5的完全一样的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量X的分布列；（3）计算一次取3个球计分介于20分到40分之间的概率。
四．拓展提高:1．一个盒子里装有除颜色外完全相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列算式中等于22622214122CCCC+的是（）A()20≤<XP B ()1≤XPC ()1=XP D ()2=XP2.袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为107的是（）A都不是白球 B 恰有1个白球 C 至少有1个白球 D 至多有1个白球3. 已知某社区的10位选民代表中有5位支持候选人A, 现随机采访他们中间的4位，求其中至少有2名支持候选人A的概率。
超几何分布导学案5
超几何分布导学案主备人：徐恩战 审核人：徐恩战 使用时间：2013---05学习目标：1、 通过实例，理解超几何分布及其导出过程。
2、 使学生能够超几何分布来解决简单的实际问题。
学习重点：超几何分布概念、公式、分布列， 学习难点：如何把实际问题转化为超几何分布问题 复习：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的_________________，简称ξ的分布列2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴_________________； ⑵_________________。
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 ⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ问题探究一：盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。
若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
变式训练1：若从中随机取出2个球，取出的球中含0个、1个、2个红色球概率各是多少？变式训练2：若从中随机取出2个球，若取出的球中含0个、1个、2个黄色球概率各是多少？变式训练3：若用X 表示任意取出的2个球中黄色球的个数，写出X 的分布列。
问题探究二：在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。
从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为_______。
（结果用最简分数表示） 变式训练1：取到0瓶已过保质期饮料的概率为？取到1瓶已过保质期饮料的概率为？取到2瓶已过保质期饮料的概率为？他们的概率和为多少？变式训练2：若X 表示取到的已过保质期的饮料瓶数，写出X 的分布列。
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§2超几何分布
【学习目标】
1.理解超几何分布及推导过程。
2.理解并会运用超几何分布概率模型
【重点、难点】
理解并会运用超几何分布概率模型
【使用说明与学法指导】
1.根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；
2.用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；
3、带※为选做题;
【自主探究】
超几何分布列：
一般地，设有N件产品，其中M件次品。
从中任取n 件，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么p(X=k)=------------------------------------------------------------------------ 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M，n的超几何分布。
【合作探究】
1、学校要从30名候选人中选10名同学组成学生会，其中某班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求该班恰有2名同学被选到的概率．
2、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．
3、在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等
奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张,求:
(1)该顾客中奖的概率;
(2)该顾客获得的奖品总价值(元)的概率分布列。
【巩固提高】
1、某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则概率等于6123735C C C 的是( ) ． A ．)2(=ξP B ．)3(=ξP
C ．)2(≤ξP
D ．)3(≤ξP
2、盒中装有8个乒乓球，其中6个新的，2个旧的，从盒中任取2个来用，用完后装回盒
中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，请填写以下
的分布列：
2 3 4 P
3、从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有3张A 的概率
4、一批零件中有9个合格品与3个不合格品．从这批零件中任取一个，如果取到的是不合格品，就不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．
课堂小结——————————————————————————————。