八年级数学上册主要题型总结
新人教版八年级上册数学知识点归纳及常考题型
8、求多边形的内角和，外角和（正多边形）。P22
考点1.五边形的外角和是
，内角和是
考点2.一个多边形的每个外角都是36°，这个多边形是
。 边形。
第十二章全等三角形考点归纳
1、全等三角形性质的考法。P32
考点1.已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠E=40°，BC=6，
则∠D=
，EF=
。
2、全等三角形的判定（添加条件证三角形全等）P36-42
1、轴对称图形的判断。
考点1.下列“表情”中属于轴对称图形的是 （
）
A．
B.
C.
D.
考点2.如图14－110所示，图中不是轴对称图形的是( )
考点3：如右图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电
子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间:（
）
A、10:05
B、20:01
C、20:10
D、10:02
考点4.一辆汽车牌在水中的倒影为
考点 1.如图 3，已知 ACB DBC ，要使⊿ ABC ≌⊿ DCB ，
只需增加的一个条件是
．A
D
B
图3
C
考点2.如图2，已知∠1=∠2，要得到
△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一
个，则错误的选法是（ ）
A、AB=AC
B、DB=DC
C、∠ADB=∠ADC D、∠B=∠C
考点3.如右图所示，已知点A、D、B、
1、分式的判断 P127
考点 1.下列各式中， 1 x+ 1 y, 1 , 1 ,—4xy , x , x
3 2 xy 5 a
x2
是分式有
2、分式方程的判断 P
考点 1：下列属于分式的是（
八年级上册数学必考题型
八年级上册数学必考题型
八年级上册数学必考题型包括但不限于以下几种：
1. 与三角形有关的边和角：考察三角形的边长和角度的基本性质和计算。
2. 多边形：考察多边形的内角和、外角和、对角线等性质和计算。
3. 全等三角形的性质和判定：考察全等三角形的性质和判定定理的应用。
4. 轴对称与轴对称图形：考察轴对称图形的性质和判定，以及轴对称的应用。
5. 等腰三角形：考察等腰三角形的性质和判定定理的应用。
6. 幂的运算：考察幂的性质和运算规则，例如同底数幂的乘法、幂的乘方等。
7. 整式整除：考察整式的约简和整除规则，例如最大公因式、最小公倍式等。
8. 乘法公式：考察常用的乘法公式，例如平方差公式、完全平方公式等。
9. 因式分解：考察因式分解的方法和技巧，例如提公因式法、十字相乘法等。
10. 分式的定义、性质和运算：考察分式的性质和运算规则，例如分式的约分、通分、加减乘除等。
此外，还有函数与图像、数轴与坐标系、一次方程（组）与不等式、二元一次方程组、一元一次不等式（组）等也是八年级上册数学的重要知识点，可能会以不同的形式出现在各种题型中。
因此，建议学生在学习过程中全面掌握各个知识点，以便更好地应对各种题型。
人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.2全等三角形的判定(含解析)
人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.2 全等三角形的判定一：考点归纳考点一、三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。
考点二、直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.考点三、证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.二：【题型归纳】题型一：直角三角形全等的判定1．如图，已知,,AE BD AC BC DF EF =⊥⊥，垂足分别为点,C F ，且BC EF =．求证：ABC DEF ∆≅∆题型二：SAS的判定2．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝48°，求∠BDE的度数．题型三：全等三角形判定与性质的综合3．如图，∆ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，D为AC延长线上的一点，E在BC边上，连接AE，DE，BD，AE=BD，∆≅∆（1）求证：ACE BCD（2）若∠CAE=15°，求∠EDB的度数．4．如图，AD为ABC的高，AD＝BD，E为AC上一点，BE交AD于F，且FD＝CD．（1）求证：BFD≌ACD；（2）判断BE与AC的位置关系，并说明理由．三：基础巩固和培优一、单选题1．如图，∠ABD ＝∠EBC ，BC ＝BD ，再添加一个条件，使得△ABC ≌△EBD ，所添加的条件不正确的是（ ）A ．∠A ＝∠EB ．BA ＝BEC ．∠C ＝∠D D ．AC ＝DE2．如图，下列条件中，不能证明ABD ≌ACD 的是（ ）A ．BD DC =，AB AC =B ．ADB ADC ∠∠=，BD DC =C ．B C ∠=∠，BAD CAD ∠=∠D ．B C ∠=∠，BD DC =3．如图，下列条件不能证明ABC DCB △≌△的是（ ）A ．AB ＝DC ，AC ＝DB B ．AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCBC ．BO ＝CO ，∠A ＝∠D D ．AB ＝DC ，∠ACB ＝∠DBC4．如图，BE=CF ，AB=DE ，添加下列哪一个条件可以推证△ABC ≌△DEF （）A ．BC=EFB ．∠A=∠DC ．AC//DFD ．∠B=∠DEF5．如图，∆ABC 的面积为102cm ，BP 平分∠ABC ，AP 垂直于BP 于P ．连接CP ，若∆ACP 的面积为22cm ，则∆ABP 的面积为（ ）A ．12cmB ．22cmC ．32cmD ．42cm6．如图，已知AD 是ABC 的角平分线，增加以下条件：①AB ＝AC ；②∠B ＝∠C ；③AD ⊥BC ；④ABD ACD S S ，其中能使BD ＝CD 的条件有 （ ）A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④7．如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE 的是（ ）A ．∠B=∠DB ．BE=DFC ．AD=CBD ．AD ∥BC8．如图，在△ABC 和△DEC 中，已知CB CE =，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（ ）．A ．AB DE =，B E ∠=∠ B ．AB DE =，AC DC =C ．AB DE =，AD ∠=∠ D ．A D ∠=∠，BE ∠=∠9．如图，90ACB ∠=︒，AC=BC ．AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别是点D 、E ．若AD=6，BE=2，则DE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，△ABC 的面积为1cm 2， AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（ ）A ．0.4 cm 2B ．0.5 cm 2C ．13 cm 2D ．0.6 cm 2二、填空题 11．如图所示，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且BE ＝BD ，连接AE 、DE 、DC ．若∠CAE ＝25°，则∠BDC ＝_____．12．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，若∠A ＝∠A ′，AB ＝A ′B ′，请你补充一个条件_____，使得△ABC ≌△A ′B ′C ′．13．如图，在ABC中，点D、E、F分别是BC，AB，AC上的点，若∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠EDF ＝56°，则∠A＝_____°．14．如图，已知在ABC中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；≌；④BP=CP中，正确的是________．③BPR CPS15．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝12，BC＝8，D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以每秒2 个单位的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上以每秒x 个单位的速度由C 点向A 点运动．当△BPD 与以C、Q、P 为顶点的三角形全等时，x 的值为_____．三、解答题16．如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC的平分线与∠BC D的平分线相交于点F，BF与CD的延长线交于点E，连接CE．求证：（1）△BCE是等腰三角形．（2）BC=AB+CD17．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC ＝DF，BE＝CF．求证：△ABC ≌△DEF；18．如图，D为△ABC外一点，∠DAB＝∠B，CD⊥AD，∠1＝∠2，若AC＝7，BC＝4，求AD的长．19．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F,DG⊥AM于点G,连接CD．（1）求证：BG=CF；（2）若AB=10cm，AC=14cm，求AG的长．20．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．10 / 26参考答案题型归纳1.证明：,AC BC DF EF ⊥⊥ 90C F ︒∴∠=∠=AE BD =AB DE ∴=在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中AB DEBC EF =⎧⎨=⎩()Rt ABC Rt DEF HL ∴∆≅∆ 2．解：（1）证明：∵AE 和BD 相交于点O ， ∴∠AOD ＝∠BOE ．在△AOD 和△BOE 中，∠A ＝∠B ，∴∠BEO ＝∠2． 又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO ，∴∠AEC ＝∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A BAE BE AEC BED∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEC ≌△BED （ASA ）．（2）∵△AEC ≌△BED ，∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE ．在△EDC 中，∵EC ＝ED ，∠1＝48°，∴∠C ＝∠EDC ＝66°，∴∠BDE ＝∠C ＝66°．3．（1）证明：在Rt △ACE 和Rt △BCD 中，AC BCAE BD =⎧⎨=⎩，∴△ACE ≌△BCD （HL ）；（2）∵△ACE ≌△BCD ，∠CAE=15°，∴CE=CD，∠CBD=∠CAE=15°∴∠CDE=∠CED ，∵∠ACB=90°，∴∠CED=45°，∵∠CED 为△BDE 的外角，∴∠EDB=∠CED-∠CBD=45°-15°=30°．4．证明：（1）在△BDF 和△ADC 中，90ADBD ADCBDF CD DF ， ∴△BDF≌△ADC（SAS ）；（2）BE⊥AC，理由如下：∵△BDF≌△ADC，∴∠DAC＝∠DBF，∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠DBF+∠C＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC．三：基础巩固和培优1．D解：∵∠ABD ＝∠EBC ，BC=BD ，∴∠ABC=∠EBD ，A.当添加∠A=∠E 时，可根据“AAS”判断△ABC ≌△EBD ，故正确；B.当添加BA=BE 时，可根据“SAS”判断△ABC ≌△EBD ，故正确；C.当添加∠C=∠D 时，可根据“ASA”判断△ABC ≌△EBD ，故正确；D.当添加AC ＝DE 时，无法判断△ABC ≌△EBD ，故错误；故选：D ．2．D解：A 、因为BD DC =，AB AC =，又因为AD=AD ，所以ABD ≌ACD （SSS ），故本选项不符合题意； B 、因为ADB ADC ∠∠=，BD DC =，又因为AD=AD ，所以ABD ≌ACD （SAS ），故本选项不符合题意；C 、因为B C ∠=∠，BAD CAD ∠=∠，又因为AD=AD ，所以ABD ≌ACD （AAS ），故本选项不符合题意；D 、因为B C ∠=∠，BD DC =，AD=AD ，这是边边角，不能证明ABD ≌ACD ，故本选项符合题意． 故选：D ．3．D解：AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝BC ，符合全等三角形的判定定理“SSS”，能推出ABC DCB △≌△ ，故A 选项错误；AB ＝DC ，ABC DCB ∠=∠，BC ＝CB符合全等三角形的判定定理“SAS”，能推出ABC DCB △≌△ ，故B 选项错误；在△AOB 和△DOC 中，AOB DOCA D OB OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB DOC △≌△ （AAS ），∴AB ＝DC ，∠ABO ＝∠DCO ，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠ABC ＝∠DCB ，在△ABC 和△DCB 中，AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC DCB △≌△（SAS ），能推出ABC DCB △≌△，故C 选项错误；BC ＝CB ，AB ＝DC ，∠ACB ＝∠DBC ，SSA 不符合全等三角形的判定定理，即不能推出ABC DCB △≌△，故D 选项正确．故选D ．4．D解：∵BE ＝CF ，∴BC ＝EF ，又∵AB=DE ，A 、添加BC ＝EF 不能证明△ABC ≌△DEF ，故此选项错误；B 、添加∠A ＝∠D 不能证明△ABC ≌△DEF ，故此选项错误；C 、添加AC ∥DF 可得∠ACB ＝∠F ，不能证明△ABC ≌△DEF ，故此选项错误；D 、添加∠B=∠DEF 可利用SAS 判定△ABC ≌△DEF ，故此选项正确；故选：D ．5．C解：延长AP 交BC 于D ，∵BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP ，∴∠ABP=∠DBP ，∠APB=∠DPB=90°，在△ABP 与△DBP 中，ABP DBPPB PB APB DPB∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABP ≌△DBP （ASA ），∴AP=PD ，S △PBD =S △ABP∴2ACP PCD S S ∆∆==2cm∴S △ABD =10-4=62cm ，∴△ABP 的面积=3cm 2，故选：C ．6．D解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ，∵AB=AC ，AD=AD ，∴△BAD ≌△CAD （SAS ），∴BD=CD ，故①符合题意；∵∠B=∠C ，AD=AD ，∴△BAD ≌△CAD （AAS ），∴BD=CD ，故②符合题意；∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AD=AD ，∴△BAD ≌△CAD （ASA ），∴BD=DC ，故③符合题意；∵ABD ACD S S ，∴BD=DC ，故④符合题意；∴①②③④都可以得到BD=CD ；故选D ．7．C解：∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF ，∴AF=CE ，A 、∠B=∠D ，∠AFD=∠CEB ，AF=CE ，满足AAS ，能判定△ADF ≌△CBE ；B 、BE=DF ，∠AFD=∠CEB ，AF=CE ，满足SAS ，能判定△ADF ≌△CBE ；C 、AD=CB ，AF=CE ，∠AFD=∠CEB ，满足SSA ，不能判定△ADF ≌△CBE ；D 、AD ∥BC ，则∠A=∠C ，又AF=CE ，∠AFD=∠CEB ，满足ASA ，能判定△ADF ≌△CBE ； 故选：C ．8．C解：∵CB=CE.∴当AB DE =，B E ∠=∠时，满足SAS ，可证△ABC ≌△DEC ，故A 不符合题意； 当AB DE =，AC DC =时，满足SSS ，可证△ABC ≌△DEC ，故B 不符合题意；当AB DE =，A D ∠=∠时，满足是ASS ，不能证明△ABC ≌△DEC ，故C 符合题意； 当A D ∠=∠，B E ∠=∠时，满足AAS ，可证△ABC ≌△DEC ，故D 不符合题意． 故选C ．9．C解：∵90ACB ∠=︒，∴∠ACD+∠ECB=90º，∵AD CE ⊥，BE CE ⊥，∴∠ADC=∠CEB=90º，∴∠ECB+∠CBE=90º，∴∠ACD=∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，∵∠ADC=∠CEB=90º，∠ACD=∠CBE ，AC=BC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴AD=CE=6，CD=BE=2，∴ED=EC-CD=6-2=4．故选择：C ．10．B解：如图，延长AP 交BC 于T ．∵BP ⊥AT ，∴∠BPA ＝∠BPT ＝90°，∵BP ＝BP ，∠PBA ＝∠PBT ，∴△BPA ≌△BPT （ASA ），∴PA ＝PT ，∴S △BPA ＝S △BPT ，S △CAP ＝S △CPT ，∴S △PBC ＝12S △ABC ＝12=0.5，故选：B ．11．70°解： ∵∠ABC=90°，∴∠CBD=∠ABC =90°，在Rt △ABE 与Rt △CBD 中，BE BDCBD ABC AB BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD ，∴∠AEB=∠BDC ，∵AB=BC ，∴∠BAC=∠ACB=45°，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∠CAE=25°，∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+25°=70°，∴∠BDC=70°．故答案为：70°．12．∠B ＝∠B ′或∠C ＝∠C ′或AC ＝A ′C ′．解：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝A ′B ′，∠A ＝∠A ′， 当添加∠B ＝∠B ′可利用“ASA ”判断△ABC ≌△A ′B ′C ′； 当添加∠C ＝∠C ′可利用“AAS ”判断△ABC ≌△A ′B ′C ′； 当添加AC ＝∠A ′C ′可利用“SAS ”判断△ABC ≌△A ′B ′C ′． 故答案为：∠B ＝∠B ′或∠C ＝∠C ′或AC ＝A ′C ′． 13．68°．解：在△BDF和△CED中∵BF=CD ，∠B=∠C ，BD ＝CE ，∴△BDF ≌△CED （SAS ），∴∠BFD=∠CDE ，∠BDF=∠CED ，∴∠BDF+∠CDE=180º-∠EDF=180º-56º=124º，∴∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠CDE=124º，∴∠C=∠B=180º-∠BFD-∠BDF=56º，∴∠A=180º-∠B-∠C=180º-56º-56º=68º．故答案为：68º．14．①② 解：在Rt APR ∆和Rt APS ∆中，PS PR AP AP =⎧⎨=⎩， Rt APR Rt APS ∴∆≅∆，()HLAR AS ∴=，①正确，∴1BAP ∠=∠，12∠=∠，2BAP ∴∠=∠，//QP AB ∴，②正确，BRP ∆和QSP ∆中，只有一个条件PR PS =，再没有其余条件可以证明 BRP QSP ∆≅∆，故③④错误； 故答案是：①②．15．2 或 3解：设经过 t 秒后，使△BPD 与△CQP 全等． ∵AB ＝AC ＝12，点 D 为 AB 的中点．∴BD ＝6．∵∠ABC ＝∠ACB ．∴要使△BPD 与△CQP 全等，必须 BD ＝CP 或 BP ＝CP ． 即 6＝8﹣2t 或 2t ＝8﹣2t ．1t ＝1，2t ＝2．当t ＝1 时，BP ＝CQ ＝2，2÷1＝2． 当t ＝2 时，BD ＝CQ ＝6，6÷2＝3． 即点 Q 的运动速度是 2 或 3，故答案为：2 或 3．16．解：（1）∵BF 平分∠ABC ， ∴12ABF CBF ABC ∠=∠=∠，∵CD ∥AB ，∴ABF E ∠=∠，∴E CBF ∠=∠，∴BC=CE ，∴△BCE 是等腰三角形．（2）∵CF 平分∠BCE ， ∴12BCF BCE ∠=，∵CD ∥AB ，∴180ABC BCE ∠+∠=︒，∴90CBF BCF ∠+∠=︒，∴90BFC ∠=︒，即 CF ⊥BE ，又BC=CE ，∴BF=EF ，在△ABF 和△DEF 中，∵ABF EAFB DFE BF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DEF ；∴AB=DE ，∴BC=CE=DE+CD=AB+CD ，因此 BC=AB+CD ．17．解：证明：∵BE ＝CF ，∴BE +EC ＝CF +EC ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∵AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．18．解：证明：延长AD ，BC 交于点E ．∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝∠EDC ＝90°．在△ADC 和△EDC 中12ADC EDCCD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC≌△EDC（ASA）．∴∠DAC＝∠DEC，AC＝EC，AD＝ED．∵AC＝7，∴EC＝7．∵BC＝4∴BE＝11∵∠DAB＝∠B，∴AE＝BE＝11．∴AD＝5.5．答：AD的长为5.5．19．解：（1）证明：如图所示，连接DB．∵AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA，∴DF=DG ．∵DE 垂直平分BC ，∴DC=DB ，在Rt △CDF 与Rt △BDG 中DF DG DC DB=⎧⎨=⎩ ∴Rt △CDF ≌Rt △BDG （HL ），∴BG=CF ．（2）解：∵∠GAD=∠FAD ，∠AGD=∠AFD ，AD=AD ， ∴在△ADG 与△ADF 中GAD FAD AGD AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADF （AAS ），∴AG=AF ，∵BG=CF∴AG=()()111410222AC AB -=-=(cm)． 20．解：（1）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠DAC+∠ACD ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△ADC 和△CEB ，ADC CEBDAC ECB AC CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）， ∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE+CD ＝AD+BE ；（2）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ∴∠DAC+∠ACD ＝90°， ∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，∵AC=BC ，∴△ADC ≌△CEB ，∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ；（3）解：DE ＝BE ﹣AD ，理由如下：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ∴∠DAC+∠ACD ＝90°， ∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∴DE＝BE﹣AD．。
整式的乘法(6大知识点15类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版25学年八年级数学上册
专题14.3整式的乘法（6大知识点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）【要点提示】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.【知识点2】单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.【要点提示】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【知识点3】单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.【要点提示】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质利用乘法分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.【知识点4】多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.知识点与题型目录【知识点一】同底数幂的除法【题型1】同底数幂的除法运算及逆运算.........................................3;【知识点二】单项式相乘【题型2】单项式相乘.........................................................4;【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值...................................5;【知识点三】单项式乘以多项式【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值.......................................7;【题型5】单项式乘以多项式的应用.............................................8;【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值....................................10;【知识点四】多项式相乘【题型7】计算多项式乘以多项式..............................................11;【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值......................................12;【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘.........................................14;【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题.....................................15;【题型11】多项式相乘中的几何问题...........................................16;【知识点五】多项式除以单项式【题型12】多项式除以单项式.................................................18;【知识点六】多项式除以单项式【题型13】整式乘法混合运算.................................................19;【直通中考与拓展延伸】【题型14】直通中考.........................................................21;【题型15】拓展延伸.........................................................22.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数的除法运算及逆运算【例1】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算：()()23432253339xy x x y xy x y ⎡⎤-÷⎢⎥⎦⋅-⋅⎣．【答案】523y y -【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可．解：()()23432253339xyx x y xy x y ⎡⎤-÷⎢⎥⎦⋅-⋅⎣()2832233539279x y x x y x y x y =⋅-⋅÷()5855539279x y x y x y ÷=-523y y =-．【变式1】（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）若4m a =，8n a =，则32m n a -的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】B【分析】本题考查了逆用同底数幂除法法则和幂的乘方的运算法则，先逆用同底数幂除法法则、然后再运用幂的乘方的运算法则将32m n a -化成含有m a 和n a 的形式，然后代入即可解答．解：()()32323232481m n m n m n a a a a a -=÷=÷=÷=，故选：B ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知2320x y --=，则()()231010x y ÷=．【答案】100【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法计算，先根据题意得到232x y -=，再根据幂的乘方计算和同底数幂除法计算法则得到()()2323101010x y x y -÷=，据此求解即可．解：∵2320x y --=，∴232x y -=∴()()231010x y ÷231010x y =÷2310x y -=210=100=，故答案为：100．【题型2】单项式相乘【例2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）计算：(1)()2243623a a a a ⋅+-；(2)()()23225x x y -⋅-【答案】(1)0；(2)820x y-【分析】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握公式是解题的关键．（1）根据单项式乘以单项式，幂的乘方，合并同类项解答即可．（2）根据积的乘方，单项式乘以单项式解答即可．解：（1）()2243623a a a a ⋅+-66623a a a =+-0=．（2）()()23225x x y -⋅-()6245x x y=⋅-820x y =-．【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算()222133x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果为（）A ．45x y -B ．4513x y C ．3213x y -D ．4513x y -【答案】D【分析】本题考查整混合运算，熟练掌握幂的乘方和积的乘方法则、单项式乘以单项式法则是解题的关键．先计算乘方，再计算运用单项式乘以单项式法则计算即可．解：()222133x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭()224139x y x y =-⋅4513x y =-，故选：D ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：()()3222324623418ab a b a b a b -⋅+⋅=．【答案】0【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，合并同类项，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可．解：()()3222324623418ab a b a b a b -⋅+⋅3642788972a b a b a b =-⋅+78787272a b a b =-+0=，故答案为：0．【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值【例3】（22-23七年级下·广东梅州·期中）先化简，后求值：2332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0.4x =，2.5y =-．【答案】7533944x y x y -，16325【分析】此题考查了整式的混合运算，首先根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则化简，然后代入求解即可，解题的关键掌握运算法则．解：2332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33423394416x y x y x y +-⋅=7533944x y x y =-当20.45x ==，52.52y =-=-时，原式753349252545252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-3757592525445252⎛⎫=-⨯⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭9425=-+16325=．【变式1】（2024·陕西榆林·三模）已知单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，则m ，n 的值为（）A ．43m =-，4n =B ．12=-m ，2n =-C ．43m =-，3n =D ．12=-m ，3n =【答案】A【分析】此题考查了单项式的乘法运算，按照单项式乘单项式计算单项24xy 与313x y -的积，再根据单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，即可求得答案．解：∵234314433xy x y x y ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，∴43m =-，4n =，故选：A ．【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若()()1221253m n n n a b a b a b ++-⋅=，则m n +的值为．【答案】143/243【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到1212253m n n n a b a b ++-++=，据此可得25323m n n +=⎧⎨+=⎩，解之即可得到答案．解：∵()()1221253m n n nababa b++-⋅=，∴1212253m n n n a b a b ++-++=，∴25323m n n +=⎧⎨+=⎩，∴13313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴143m n +=，故答案为：143．【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值【例4】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）先化简，再求值：()()223243234a a a a a -+-+，其中1a =-．【答案】2209a a -+，29-【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．先根据单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，即可化简，然后把1a =-代入化简式计算即可．解：()()223243234a a a a a -+-+，3232612968a a a a a =-+--，2209a a =-+．当1a =-时，原式()()22019129=-⨯-+⨯-=-．【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算132xy x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果是（）A ．223x y xy +B ．22332x y xy --C ．22332x y xy -+D ．22132x y xy -+【答案】C【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．解：132xy x y ⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭22332x y xy =-+．故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若220240a a +-=，代数式()()220241a a -+的值是．【答案】2024-【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键．首先根据220240a a +-=，可得22024a a -=-，把22024a a -=-代入()()220241a a -+，然后把22024a a +=代入化简后的算式计算即可．解：∵220240a a +-=，∴22024a a -=-，∴()()220241a a -+()1a a =-+()2a a =-+．∵220240a a +-=，∴22024a a +=，∴原式()2a a =-+2024=-．故答案为：2024-．【题型5】单项式乘以多项式的应用【例5】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）小红的爸爸将一块长为322455a b ⎛⎫+⎪⎝⎭分米、宽55a 分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为412a 分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．(1)用含a ，b 的整式表示盒子的外表面积；(2)若1a =，0.2b =，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？【答案】(1)8522325a a b +（平方分米）；(2)360元【分析】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；（2）把a 与b 的值代入计算，再根据每平方分米喷漆价格为15元，求出喷漆的费用即可．解：（1）根据题意得：2325424155452a b a a ⎛⎫⎛⎫+⋅-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭85282425a a b a =+-8522325a a b =+（平方分米）∴盒子的外表面积为()8522325a a b +平方分米；（2）当1a =，0.2b =时，85285223252312510.224a a b +=⨯+⨯⨯=（平方分米）则喷漆的费用为1524360⨯=（元）．答：喷漆共需要360元．【变式1】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，那么正确的计算结果是（）A ．432484x x x -+-B ．432484x x x +-C ．43244x x x -+-D ．432484x x x --【答案】A【分析】设这个多项式为M ，根据题意可得221M x x =-+-，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．解：设这个多项式为M ，∵计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，∴224321M x x x +=+-，∴222321421M x x x x x =+--=-+-，∴正确的结果为()()22432214484x x x x x x -+-=-+-，故选A ．【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）已知：2210x x --=，则352020x x -+=．【答案】2022【分析】本题考查了整式的乘法的应用，熟练掌握求高次式子时的思路：降次是解题的关键．将2210x x --=变形为221x x =+，利用降次的思想求352020x x -+即可．解：∵2210x x --=，∴221x x =+，∴352020x x -+252020x x x =⋅-+()2152020x x x =+-+2252020x x x =+-+()22142020x x =+-+2022=故答案为：2022．【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值【例6】（21-22七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知x （x ﹣m ）+n （x +m ）＝2x +5x ﹣6对任意数都成立，求m （n ﹣1）+n （m +1）的值．【答案】-7【分析】把x （x ﹣m ）+n （x +m ）去括号、合并同类项，然后根据与2x +5x -6对应项的系数相同，即可求得m 、n 的值，然后代入求值即可．解：x （x ﹣m ）+n （x +m ）＝2x ﹣mx +nx +mn ＝2x +（n ﹣m ）x +mn ，∴56n m mn -=⎧⎨=-⎩，则m （n ﹣1）+n （m +1）＝n ﹣m +2mn ＝5﹣12＝﹣7．【点拨】此题考查单项式乘多项式和代数式求值，解题关键在于掌握运算法则．【变式1】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若()24x ax x x +=+，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】C【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出()4x x +的结果即可得到答案．解：∵()24x ax x x +=+，∴224x ax x x +=+，∴4a =，故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）要使()32412x x ax x -+++中不含有x 的四次项，则a =．【答案】2【分析】本题主要考查了多项式的混合运算．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有x 的四次项，可得20a -=，即可求解．解：()32412xxax x -+++45432x x a x x --+=-()4352x x a x =-+--，∵()32412xxax x -+++中不含有x 的四次项，∴20a -=，∴2a =．故答案为：2【题型7】计算多项式乘以多项式【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：(1)()()()222323x x x x +---+；(2)22(1)(1)x x x x ++-+；(3)2(1)(2)(2)x x x x +-++【答案】(1)312x -；(2)421x x ++；(3)4244x x x ---.【分析】本题考查了多项式的乘法：（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；（3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可．解：（1）()()()222323x x x x +---+222436226x x x x x =+---+-312x =-．（2）22(1)(1)x x x x ++-+4323221x x x x x x x x =-++-++-+421x x =++．（3）2(1)(2)(2)x x x x +-++22(2)(2)x x x x =--++43232222224x x x x x x x x =++------4244x x x =---．【变式1】（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（）A ．()()324242ab ab a b ⋅-=B ．()()22356m m m m +-=--C ．()()245920y y y y +-=+-D ．()()21454x x x x ++=++【答案】D【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．解：A 、()()324248ab ab a b =-⋅-，原式计算错误，不符合题意；B 、()()22233266m m m m m m m +-=-+-=--，原式计算错误，不符合题意；C 、()()2245452020y y y y y y y +-==-+---，原式计算错误，不符合题意；D 、()()22144454x x x x x x x ++=+++=++，原式计算正确，符合题意；故选：D ．【变式2】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如果()()()()32912x x x x ---+-=，那么x 的值是．【答案】1【分析】本题考查了多项式乘以多项式，以及解一元一次方程，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的法则进行计算，然后解一元一次方程即可．解：()()()()3291x x x x ---+-22236(99)x x x x x x =--+--+-1315x =-+∴13152x -+=，解得1x =，故答案为：1．【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值【例8】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：()()()222112a a a a a a +--+-，其中3a =-．【答案】2-a a ，12【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的计算法则，多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．解：()()()222112a a a a a a +--+-()3232222222a a a a a a a =+--+--3232222222a a a a a a a=+---++2a a =-，当3a =-时，原式()()2339312=---=+=．【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定a b ad bc cd=-，例如121423234=⨯-⨯=-，已知2523m n nm n m n+=-+-，则代数式2261m n --的值是（）A ．4B ．5C ．8D ．9【答案】D【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得()()()2235m n m n n m n +---+=，从而得到235m n -=，再代入，即可求解．解：根据题意得：()()()2235m n m n n m n +---+=，∴22222235m mn mn n mn n n +---+-=，即235m n -=，∴()22232610m n m n -=-=，∴22611019m n --=-=．故选：D【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知235a ab +=，则2()(2)2a b a b b ++-的值为．【答案】5【分析】本题考查整式的化简求值，把要求的式子展开化简后，利用整体思想求值即可．解：∵235a ab +=，∴22222()(2)222235a b a b b a ab ab b b a ab ++-=+++-=+=．故答案为：5．【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘【例9】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值：()()()()()23333442x x x x x +-++---，其中2x =．【答案】1361x -，35-【分析】本题考查了整式的化简求值．熟练掌握平方差公式，完全平方公式，多顶式乘多项式法则，是解题的关键．先根据平方差公式，完全平方公式，多顶式乘多项式法则展开，合并同类项化简，最后将字母的值代入求解即可．解：()()()()()23333442x x x x x +-++---()()2229312444x x x x x =-+----+2229333641616x x x x x =-+---+-1361x =-，当2x =时，原式1326135=⨯-=-．【变式1】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）若()()2315x x n x mx ++=+-，则mn 的值为（）A ．5-B ．5C ．10D ．10-【答案】C【分析】此题考查了多项式的乘法，根据多项式的乘法法则展开对比得到3,315n m n +==-，求出m 、n 的值，即可得到答案.解：∵()()()2333x x n x n x n ++=+++，()()2315x x n x mx ++=+-，∴3,315n m n +==-，解得2,5m n =-=-∴()()2510mn =-⨯-=，故选：C【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若()()228x m x x nx +-=+-，则2m n +=．【答案】8【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，进而求出,m n 的值，进一步求出代数式的值即可．解：()()()222228x m x x m x m x nx +-=+--=+-，∴2,28m n m -==，∴4,2m n ==，∴24228m n +=+⨯=；故答案为：8．【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题【例10】（22-23七年级下·四川达州·期中）已知代数式()22mx x +与()232x nx ++积是一个关于x 的三次多项式，且化简后含2x 项的系数为1，求m 和n 的值．【答案】0m =，16n =【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，运用多项式乘多项式的运算法则进行求解即可．解：()()22232mx x x nx +++4323232264mx mnx mx x nx x=+++++()()43232264mx mn x m n x x =+++++，由题意得，0m =，261m n +=，解得0m =，16n =．【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）已知多项式x a -与221x x +-的乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4，则常数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则得()()()()23221212x a x x x a x a x a -+-=+--++，然后根据“乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4”，据此得到()()2124a a --+=，解此方程即可求出a ．解：()()221x a x x -+-32222x x x ax ax a=+---+()()32212x a x a x a =+--++，乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4，∴()()2124a a --+=，∴1a =-，故答案为：A ．【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若()()23x m x x n +-+的积中不含2x x 、项，则m =，n =．【答案】39【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出()()23x m x x n +-+的结果，再根据乘积中不含2x x 、项，即含2x x 、项的系数为0进行求解即可．解：()()23x m x x n +-+32233x x nx mx mx mn =-++-+()()3233x m x n m x mn =+-+-+，∵()()23x m x x n +-+的积中不含2x x 、项，∴3030m n m -=-=，，∴39m n ==，，故答案为：3；9．【题型11】多项式相乘中的几何问题【例11】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）学校需要设计一处长方形文化景观，分为中央雕塑区和四周绿化区．中央雕塑区的长边为（33m -）米，短边为2m 米，绿化区外边沿的长边为（42m -）米，短边为（31m -）米．试比较雕塑区和绿化区的面积大小．（m 为正数）【答案】绿化区面积大于雕塑区面积．【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与图形面积，先分别列式计算绿化区面积，雕塑区面积，再作差比较大小即可．解：绿化区面积为()()()4231233m m m m ----221246266m m m m m =--+-+2642m m =-+．雕塑区面积为()223366m m m m -=-．因为()()226426622m m m m m -+--=+，由m 为正数，所以得220m +>，即2264266m m m m -+>-，所以，绿化区面积大于雕塑区面积．【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下面四个整式中，不能．．表示图中阴影部分面积的是（）A ．(4)(3)3x x x ++-B ．24(3)x x ++C ．24x x +D ．(4)12x x ++【答案】C【分析】本题主要考查整式与图形，根据题意，结合图形，分别判断得到答案即可．解：A ．图中阴影部分面积用整个长方形的面积-空白部分的面积，即(4)(3)3x x x ++-，故该选项不符合题意；B ．图中阴影部分面积用右边阴影部分长方形的面积+左边阴影部分正方形的面积，即24(3)x x ++，故该选项不符合题意；C ．24x x +只有左边阴影部分正方形的面积+右边上面阴影部分长方形的面积，缺少右边下面长方形的面积，故该选项符合题意；D ．图中阴影部分面积用上面阴影长方形的面积+右边下面长方形的面积，即(4)12x x ++故该选项不符合题意；故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片．如果要拼成一个长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形，那么需要C 类卡片张．【答案】7【分析】本题考查了多项式乘以多项式，计算出长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形的面积以及A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片的面积，即可得出答案．解：长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形的面积为()()22222326432672a b a b a ab ab b a ab b ++=+++=++，A 类卡片的面积为：2a ，B 类卡片的面积为：2b ，C 类卡片的面积为：ab ，∴要拼成一个长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形，需要6块A 类卡片，2块B 类卡片，7块C 类卡片，故答案为：7．【题型12】多项式除以单项式【例12】（22-23七年级下·宁夏银川·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，2211322xy x y xy xy ⨯=-+(1)求所捂的多项式；(2)若2132x y ==，，求所捂多项式的值．【答案】(1)621x y -+;(2)4.【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式除以单项式：（1）根据乘除法互为逆运算，只需要计算出2211322x y xy xy xy ⎛⎫⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果即可得到答案；（2）把2132x y ==，代入（1）所求结果中计算求解即可．解：（1）2211322x y xy xy xy ⎛⎫⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭621x y =-+，∴所捂的多项式为621x y -+；（2）当2132x y ==，时，21621621411432x y -+=⨯-⨯=-+=．【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若22233241216m x y x y x y ⨯=-，则m =（）A ．43x y -B ．43x y-+C ．43x y+D ．43x y--【答案】B【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据一个因数等于积除以另一个因数，即可解答．解：∵22233241216m x y x y x y ⨯=-，∴()233222121643443m x y x y x y y x x y =-÷=-=-+，故选：B ．【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期末）若223615xy A x y xy =- ，则A 代表的整式是．【答案】25x y-【分析】本题考查的是多项式除以单项式，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的的运算转化为单项式的除法运算．根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．解：()226153A x y xy xy-÷=2263153x y xy xy xy=÷-÷25x y =-．故答案为：25x y -．【题型13】整式乘法混合运算【例13】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值：(1)()()()()22224x y x y x y x x y -+-+--，其中1x =-，2y =．(2)已知2210x x +-=，求代数式()()()()21433x x x x x ++++-+的值．【答案】(1)2243x y +；16;(2)5-.【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．（1）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可；（2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再整体代入进行计算即可．解：（1）()()()()22224x y x y x y x x y-+-+--222224444x xy y x y x xy =-++--+2243x y =+，当1x =-，2y =时，原式()224132=⨯-+⨯412=+16=．（2）()()()()21433x x x x x ++++-+2222149x x x x x =+++++-2368x x =+-，∵2210x x +-=，∴221x x +=，∴原式()2328x x =+-318=⨯-38=-=5-．【变式1】（21-22六年级下·全国·单元测试）等式()()324322xyz x y z y ⎡⎤÷-⋅=⎣⎦中的括号内应填入（）A ．6538x y z B ．228x y zC ．222x y zD ．222x y z±【答案】C【分析】运用整式的乘法运算法则、乘除法互为逆运算及幂的运算法则求解．解：由原式，得()()32432224366322322428(2)y xyz x y z y x y z x y z x y z x y z ⎡⎤=⋅-⋅=⋅⋅==⎣⎦∴括号中式子应为222x y z ．故选C ．【点拨】本题主要考查整式的乘法运算、乘除法互为逆运算、幂的运算法则等知识；能够运算乘、除法互为逆运算的性质，对原等式进行变形是解题关键．【变式2】（2024·福建厦门·二模）已知11x x-=-，则()()22131x x x +-+的值为．【答案】2【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关键．先根据11x x -=-得出21x x +=，然后利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解即可．解：∵11x x-=-，∴21x x +=，()()22131x x x +-+2244133x x x x=++--21x x =++11=+2=．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型14】直通中考【例1】（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（）A ．223a a a +=B ．523a a a ÷=C ．235()a a a -⋅=-D ．()23622a a =【答案】B【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．解：A 、23a a a +=，该选项错误，不合题意；B 、523a a a ÷=，该选项正确，符合题意；C 、235()a a a -⋅=，该选项错误，不合题意；D 、()23624a a =，该选项错误，不合题意；故选：B ．【例2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，7()a b +展开的多项式中各项系数之和为．【答案】128【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．解：根据题意得：()5a b +展开后系数为：1,5,10,10,5,1，系数和：515101051322+++++==，()6a b +展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1，系数和：61615201561642++++++==，()7a b +展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1，系数和：71721353521711282+++++++==，故答案为：128．【点拨】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．【题型15】拓展延伸【例1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；…根据规律计算：202220212020201943222222222-+-+⋯⋯+-+-的值是（）A ．2023223-B ．202321-C ．20232-【答案】A 【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为()()12321111n n n n x x x x x x x x --+-+++++++=- ，利用规律，当2x =-，2022n =时，代入其中即可求解．本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．解：由2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；…观察发现：()()12321111n n n n x x x x x x x x --+-+++++++=- ，当2x =-，2022n =时，得202220212020201943220232122222222121()()()---+-+-+-+=-- ，∴2023202320232022202120202019432212121222222221333()----+-+-+-+-+===-- ，∴202320232022202120202019432212222222222133+--+-+-+-=-= ．故选：A ．【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x 的值是3-，则第2024次计算后输出的结果为．【答案】8-【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值，仔细计算，观察出即从第2次开始，以5-、8-、3-为一个循环组循环出现，是解题的关键．总结规律后结合202436742÷=⋅⋅⋅，即可得到答案．解：第1次输出的结果为：()33191522⨯----==-；第2次输出的结果为：()351151822⨯----==-；第3次输出的结果为：8232-+=-；第4次输出的结果为：()33191522⨯----==-；第5次输出的结果为：()351151822⨯----==-；第6次输出的结果为：8232-+=-…，则从第1次输出开始，以5-、8-、3-为一个循环组循环出现，∵202436742÷=⋅⋅⋅，∴第2024次输出的结果为8-．故答案为：8-．。
八年级上册数学常考题型+65条易错点
（一）先解决一个最值得关注的问题关于“粗心”的解决办法。
习惯于依赖做题经验，看到题马上就用以前的方法去写，忽略了问题问什么，题目条件是什么。
粗心的问题，基本是看到题目非常熟悉，条件反射地就按惯性去做，导致错误。
当然也有可能就是无脑的，莫名其妙的低级错误。
这就无解了，老师帮不了你。
4条建议：一、读题要慢，至少两遍，书写要快，思路定了，立马动手；二、草稿纸的使用要规划好，不可随意写，方便检查；三、检查，主要是检查没有把握的题目；四、深挖根源，对粗心的相关知识点要梳理，整理相应错题，集中突破。
（二）重头戏来了，命题陷阱！这里列举出了历年中考绝大多数易错点，请同学们有则改之（请脑补自己犯下的错，最好有自己的错题），无则跳过。
一、数与式（8条）易错点1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆，以及绝对值的分类讨论。
（每年选择题必考）易错点2：实数的运算关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算优先级或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
易错点3：平方根、算术平方根、立方根的区别。
（每年填空题必考）易错点4：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零。
易错点5：分式运算时要注意运算法则和符号的变化。
当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。
易错点6：非负数的性质：几个非负数的和为0，每个式子都为0；初中阶段就学过三个非负数：绝对值、二次根式、完全平方式。
易错点7：0指数幂，底数不为0。
易错点8：代入求值要使式子有意义。
最常考的是分式的化简求值，要注意每个分式的分母不为0，还要注意除号“÷”后面的式子也不能为0。
一定要注意计算顺序，先观察从哪里开始计算。
二、方程（组）与不等式（组）（8条）易错点1：二元一次方程组有可能无解，无解的条件可以用对应的两条一次函数图像平行。
易错点2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0的情况。
人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形知识归纳与题型突破(12类题型清单)
第十二章全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.四、全等三角形的判定五、全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边六、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.2．证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角（等角）的余角（补角）相等.(5)对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5.证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.七、角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
人教版数学八年级上册重点题型
人教版数学八年级上册重点题型一、三角形全等证明题型。
题型1：已知：在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF。
求证：△ABC≌△DEF。
解析：在△ABC和△DEF中，已知AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF。
根据三角形全等判定定理中的“边角边”（SAS），即两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
所以可以得出△ABC≌△DEF。
题型2：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE 交AC于F。
求证：∠AEF = ∠EAF。
解析：延长AD到G，使DG = AD，连接BG。
因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD。
在△BDG和△CDA中，BD = CD，∠BDG=∠CDA（对顶角相等），DG = DA。
所以△BDG≌△CDA（SAS）。
则BG = AC，∠G = ∠EAF。
又因为BE = AC，所以BE = BG，所以∠G = ∠AEF。
所以∠AEF = ∠EAF。
二、等腰三角形性质与判定题型。
题型3：已知等腰三角形的一个内角为70°，求这个等腰三角形的另外两个内角的度数。
解析：当70°角为顶角时，设底角为x。
根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和为180°，可得2x+70° = 180°，解得x = 55°。
所以另外两个内角都是55°。
当70°角为底角时，另一个底角也是70°，则顶角为180° - 70°×2 = 40°。
所以另外两个内角为70°和40°。
题型4：在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，且AD = BD = BC。
求∠A的度数。
解析：设∠A=x。
因为AD = BD，所以∠ABD = ∠A=x。
则∠BDC = ∠A+∠ABD = 2x。
又因为BD = BC，所以∠C = ∠BDC = 2x。
八年级数学上册 第一章 勾股定理知识点与常见题型总结及练习 (新版)北师大版
第1章 勾股定理一．知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么c =b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比拟，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕； 2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕 2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕 7．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 8．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比拟而得到错误的结论． 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC = 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，那么这个三角形的面积为 ⑶直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，那么这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC =， 2.4AC BCCD AB⋅==⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，那么17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DECD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影局部面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，那么6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD 答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c == ∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、 选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，那么以下结论中恒成立的是 ( )A 、2ab<c 2B 、2ab ≥c 2C 、2ab>c 2D 、2ab ≤c22、x 、y 为正数，且│x 2-4│+〔y 2-3〕2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔 〕A 、5B 、25C 、7D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，那么满足要求的直角三角形共有〔 〕A 、4个B 、5个C 、6个D 、8个4、以下命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，〔a>b=c 〕，那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
八年级数学上册第十五章分式题型总结及解题方法(带答案)
八年级数学上册第十五章分式题型总结及解题方法单选题1、计算6m 6÷(−2m 2)3的结果为（ ）A ．−mB ．−1C ．34D ．−34答案：D分析：根据整式的除法法则即可求出答案．解：6m 6÷(−2m 2)3=6m 6÷(−8m 2×3)=−6m 6÷8m 6=−34． 故选：D ．小提示：本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于基础题型．2、化简(1x−3−x+1x 2−1)⋅(x −3)的结果是（ ）A ．2B ．2x−1C ．2x−3D ．x−4x−1答案：B分析：先根据乘法分配律进行运算，再进行异分母分式的减法运算．解：原式=1−x 2−2x−3x 2−1=2x +2(x +1)(x −1)=2x−1,故选:B.小提示：本题考查了分式的混合运算，正确运用运算法则和运算律是解题关键．3、已知x ＝3是分式方程kx x−1−2k−1x =2的解，那么实数k 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案：D解：将x =3代入kx x−1−2k−1x =2， 得：3k 2−2k−13=2，解得：k =2，故选D ．4、某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元．设每箱凉茶有x 罐，则下列方程正确的是（ ）A ．84x −84x−0.5=4B ．84x −84x+4=0.5 C ．84x−0.5−84x =4D ．84x+4−84x =0.5 答案：B 分析：关键描述语是：“结果比用原价多买了4罐；等量关系为： 实际买每罐价格-促销每罐价格=0.5． 解：原价每罐84x 元，经过促销，每罐84x +4元，方程可表示为：，84x −84x+4=0.5所以答案是：B ．小提示：考查了由实际问题抽象出分式方程．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意促销前后商品的单价的变化．5、关于x 的分式方程m+x 2−x −3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ）A ．m ＝﹣2B ．m ≠﹣2C ．m ＝2D ．m ≠2答案：B分析：解分式方程得：m +x =6−3x 即4x =m −6，由题意可知x ≠2，即可得到6−m ≠8.解：m+x 2−x −3=0方程两边同时乘以2−x 得：m +x −6+3x =0，∴4x =m −6，∵分式方程有解，∴2−x ≠0，∴x ≠2，∴6−m≠8，∴m≠−2，故选B.小提示：本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.6、已知关于x的分式方程xx−3−4=k3−x的解为非正数，则k的取值范围是（）A．k≤−12B．k≥−12C．k>−12D．k<−12答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．解：方程xx−3−4=k3−x两边同时乘以(x−3)得：x−4(x−3)=−k，∴x−4x+12=−k，∴−3x=−k−12，∴x=k3+4，∵解为非正数，∴k3+4≤0，∴k≤−12，故选：A．小提示：本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．7、(−b2a)2n（n为正整数）的值是（）A．b2+2na2n B．b4na2nC．−b2n+1a2nD．−b4na2n答案：B分析：根据分式的乘方计算法则解答．(−b2a )2n=b4na2n．小提示：此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．8、分式2a+2a 2−1−a+11−a 化简后的结果为（ ） A ．a+1a−1B ．a+3a−1C ．−a a−1D ．−a 2+3a 2−1答案：B分析：根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算．解：2a+2a 2−1−a+11−a=2a +2(a +1)(a −1)−(a +1)2(1−a )(a +1)=2a +2+(a +1)2(a +1)(a −1)=2a +2+a 2+2a +1(a +1)(a −1)=(a +3)(a +1)(a +1)(a −1)=a +3a −1 故选：B ．小提示：本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式通分的方法是解答本题的关键．9、化简（a ﹣1）÷（1a ﹣1）•a 的结果是（ ）A ．﹣a 2B ．1C ．a 2D ．﹣1答案：A分析：根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．原式=（a ﹣1）÷1−a a •a =（a ﹣1）•a −(a−1)•a=﹣a 2，小提示：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．10、下列各式从左到右变形正确的是（ ）A ．x+12+y 3=3（x +1）+2yB ．0.2a−0.03b 0.4c+0.05d =2a−3b 4c+5d C ．a−b d−c =b−a c−d D ．2a−2b c+d =a−b c+d答案：C 分析：根据分式的性质逐项分析即可．A 选项分子分母同时乘以6，B 选项分子分母同时乘以100，C 选项分子分母同时乘以-1，D 选项分子因式分解．A ．x+12+y 3=3(x+1)+2y 6， 故该选项不正确，不符合题意；B ．0.2a−0.03b 0.4c+0.05d =20a−3b 40c+5d ， 故该选项不正确，不符合题意；C ．a−b d−c =b−a c−d ，故该选项正确，符合题意；D ．2a−2b c+d =2(a−b )c+d ，故该选项不正确，不符合题意；故选C小提示：本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．填空题11、化简b 23a−b +9a 2b−3a 的结果是______．答案：−b −3a分析：根据同分母分式的加减法法则计算即可．解：原式=b 23a−b −9a 23a−b=b 2−9a 23a −b=(b +3a)(b −3a)3a −b=−b −3a所以答案是：−b −3a ．小提示：本题考查同分母分式的加减，解题关键是正确地运用运算法则．12、计算：x 2+xy xy +xy−x 2xy =___________． 答案：2分析：利用分式同分母运算法则进行合并，并化简即可得出结果．解：x 2+xy xy +xy−x 2xy =2xy xy =2，所以答案是：2．小提示：本题主要考查的是分式加法运算的基础运算，掌握其运算法则是解题的关键．13、某人上山，下山的路程都是s ，上山速度v 1，下山速度v 2，则这个人上山和下山的平均速度是______． 答案：2v 1v 2v 1+v 2分析：平均速度=总路程÷总时间，根据公式列式化简即可．解：由题意上山和下山的平均速度为：2s sv 1+s v 2=2v 1v 2v 1+v 2.所以答案是：2v 1v 2v 1+v 2．小提示：本题考查列分式，分式的加法和除法，总路程包括往返路程，总时间包括上山时间和下山时间．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．14、若关于x 的分式方程2−1−k x−2=12−x 的解是正数，则k 的取值范围是______．答案：k <4且k ≠0分析：根据题意，将分式方程的解x 用含k 的表达式进行表示，进而令x >0，再因分式方程要有意义则x ≠2，进而计算出k 的取值范围即可．解： 2(2−x)+1−k =14−2x −k =0x =4−k 2 根据题意x >0且x ≠2∴{4−k 2>04−k 2≠2∴{k<4k≠0∴k的取值范围是k<4且k≠0．小提示：本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．15、观察下列各式：a1=23,a2=35,a3=107,a4=159,a5=2611,⋯，根据其中的规律可得a n=________（用含n的式子表示）．答案：n2+(−1)n+12n+1分析：观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．解：由分析得a n=n2+(−1)n+12n+1，所以答案是：a n=n2+(−1)n+12n+1小提示：本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．解答题16、先化简：(a2−1a2−2a+1−a−1)÷a+1a−1，然后在a≤2的非负整数集中选取一个合适的数作为a的值代入求值．答案：2－a，当a=0时，原式=2，当a=2时，原式=0．分析：原式的括号内根据平方差和完全平方公式化简约分，括号外根据分式的除法法则即可化简原式，最后a 的负整数解是0，1，2，注意分式的分母不能为零，所以a不能取1．原式=((a+1)(a−1)(a−1)2−(a+1))·a−1a+1=(a+1a−1−(a+1))·a−1a+1=1-a+1=2-a∵不等式a≤2的非负整数解是0，1，2，分式分母不能为零，a不取1∴当a=0时，原式=2，或当a=2时，原式=0小提示：本题考查了分式的混合运算，平方差和完全平方公式，除法法则等知识，要注意分式的分母不能为零．17、计算：（1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；（2）x−yx ÷(x+y2−2xyx)答案：（1）12mn+10n2；（2）1x−y分析：（1）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可；（2）括号内先通分计算，并因式分解，然后变除为乘，进行约分即可．解：（1）原式＝4m2+12mn+9n2﹣（4m2﹣n2）＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2＝12mn+10n2；（2）原式＝x−yx ÷(x2x+y2−2xyx)＝x−yx ÷x2−2xy+y2x＝x−yx ⋅x (x−y)2＝1x−y．小提示：本题考查了整式和分式的混合运算，熟知完全平方公式，平方差公式，通分，约分，因式分解计算是解题的关键．18、计算：(1)a2a−b +b2b−a(2)x2x−1−x−1(3)先化简，再求值：a2−4b2a3−4a2b+4ab2，其中a=−3，b=1．答案：(1)a+b(2)1x−1(3)a+2ba2−2ab ；−115分析：（1）先变符号，然后分母不变，分子相加，因式分解后约分即可；（2）先通分，然后利用公式法展开，合并即可；（3）先因式分解，再约分，化为最简分式，代入数值，计算即可．（1）解：a2a−b +b2b−a=a2a−b−b2a−b=a2−b2a−b=(a+b)(a−b)a−b=a+b；（2）解：x2x−1−x−1=x2x−1−(x+1)(x−1)x−1=x2−x2+1x−1=1x−1；（3）解：a2−4b2a3−4a2b+4ab2=(a+2b)(a−2b)a(a−2b)2=a+2ba(a−2b)=a+2ba2−2ab，当a=−3，b=1时，原式=a+2ba2−2ab =−3+29−2×(−3)×1=−115．小提示：本题考查分式的加减运算，分式化简求值，掌握分式的加减运算法则，分式化简求值方法与步骤，通分，约分，因式分解是解题关键．。
人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。
例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
八年级上册数学第一单元重点题型
八年级上册数学第一单元重点题型一、三角形三边关系题型。
1. 已知三角形的两边长分别为3和5，第三边为偶数，则第三边长为多少？- 解析：设第三边的长为x，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
所以5 - 3<x<5+3，即2<x<8。
因为第三边为偶数，所以x = 4或6。
2. 若三角形三边长分别为2，x，13，且x为正整数，则这样的三角形个数为多少？- 解析：根据三角形三边关系，13 - 2<x<13 + 2，即11<x<15。
因为x为正整数，所以x可以为12、13、14，这样的三角形有3个。
二、三角形内角和与外角性质题型。
3. 在△ABC中，∠A=50°，∠B = 60°，则∠C的外角等于多少度？- 解析：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
所以∠C的外角=∠A+∠B = 50°+60° = 110°。
4. 已知在△ABC中，∠A:∠B:∠C = 1:2:3，求三角形各内角的度数。
- 解析：设∠A=x，则∠B = 2x，∠C=3x。
因为三角形内角和为180°，所以x + 2x+3x = 180°，6x = 180°，x = 30°。
所以∠A = 30°，∠B = 60°，∠C = 90°。
5. 如图，在△ABC中，∠B = 40°，∠ACD = 100°，则∠A等于多少度？- 解析：因为∠ACD是△ABC的外角，所以∠ACD=∠A + ∠B。
所以∠A=∠ACD - ∠B = 100° - 40° = 60°。
三、三角形的高、中线与角平分线题型。
6. 已知AD是△ABC的中线，若BC = 10cm，则BD等于多少？- 解析：因为AD是△ABC的中线，中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，所以BD=(1)/(2)BC。
人教版八年级数学上册专题复习证明三角形全等的常见题型
证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。
而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。
在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。
求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。
实数重难点题型分类(八大题型)(解析版)—2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型高分突破》
实数重难点题型分类（八大题型）【题型01：无理数的概念】【题型02：平方根、算术平方根与立方根的概念和性质】【题型03：实数大小比较、无理数的估算】【题型04：无理数在数轴上的表示】【题型05：实数与数轴的简单运用】【题型06：算术平方根与绝对值的非负性综合】【题型07：实数的运算综合】【题型08：实数的综合应用】【题型01：无理数的概念】1.下列实数中，无理数是（ ）B．0.2C．3.14159DA．222．下列各数是无理数的是（）B C D．0.23A．13．在实数―1，12， 3.14中，无理数是（ ）A ．―1B ．12C D ．3.144．下列实数227，，13，π―3.14中，无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【题型02：平方根、算术平方根与立方根的概念和性质】5 ）A ．―3B ．3C ．±3D ．136．9的算术平方根是（）A．―3B．3C．9D．±3【答案】B【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：9的算术平方根是3，故选：B．7．一个正数的两个不同的平方根是a+1和a―15，则这个正数是（）A．64B．49C．14D．7【答案】A【分析】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数建立方程，解方程可得a的值，由此即可得．【详解】解：由题意得：a+1+a―15=0，解得a=7，则这个正数是(a+1)2=(7+1)2=64，故选：A．8．―8的立方根是（）D．―4 A．2B．―2C．―129．下列计算正确的是（）=±3B=―1C=―1D．=2A10）A．―9B．3C．―3D．±311．在1.5，﹣1.4，，0这四个数中，最小的数是（ ）A．1.5B．C．0D．﹣1.4【答案】D【解答】解：在1.5，﹣1.4，，0这四个数中，最小的数是﹣1.4，故选：D．12．下列各式比较大小正确的是（ ）A．B．C．﹣π＜﹣3.14D．【答案】C【解答】解：A、∵，∴﹣，故本选项正确；B、∵，，6＝，5＝，∴＞，∴﹣＜﹣，故本选项错误；C、∵π＞3.14，∴﹣π＜﹣3.14，故本选项正确；D、∵＞＝3，∴﹣＜﹣3，故本选项错误．故选：C．13．在哪两个整数之间（ ）A．5与6B．6与7C．7与8D．8与9【答案】C【解答】解：∵72＝49，82＝64，而49＜50＜64，∴7＜＜8；故选：C．14．估计的值在（ ）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间【答案】B【解答】解：∵4＜7＜9，∴，∴，故选：B．15．整数a满足，则a的值为（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解答】解：∵18＜25＜28，∴＜5＜，∴a＝5，故选：C．16．设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则＝（ ）A．32B．46C．64D．65【答案】D【解答】解：∵1.52＝2.25，2.52＝6.25，3.52＝12.25，4.52＝20.25，[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），∴；；；；，∴＝1×2+2×4+3×6+4×8+5＝2+8+18+32+5＝65，故选：D．17．比较大小： ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵≈1.7，∴﹣1＜1，∴＜．故答案为：＜．18．比较大小： ﹣1（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵≈1.414，≈2.236，∴﹣1≈2.236﹣1＝1.236，∴＞﹣1，故答案为：＞．【题型04：无理数在数轴上的表示】19．已知点A，B，C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是﹣2，点B是AC的中点，线段AB＝+1，则点C表示的数是 ．【答案】2．【解答】解：∵点A表示的数是﹣2，线段AB＝+1，∴点B表示的数是﹣1，∵点B是AC的中点，∴线段BC＝AB＝1，∴点C表示的数是：＝2，故答案为：．20．如图，将数表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图可知，1＜被覆盖的数＜3，∵﹣、、只有在此范围内，∴被墨迹覆盖的数是．故答案为：21．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和1，则点C所对应的实数是 ．【答案】．【解答】解：数轴上两点关于某一点对称，这两点到对称点的距离相等，设点C表示实数x，由此可得，解得，故答案为：．【题型05：实数与数轴的简单运用】22．实数a，b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣|a+b|＝ ．【答案】﹣2a．【解答】解：由数轴可得：a＜b，|a|＜|b|，∴|a﹣b|﹣|a+b|＝b﹣a﹣a﹣b＝﹣2a．故答案为：﹣2a．22．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|＝ ．【答案】2a．【解答】解：根据图示，可得：a＜0＜b，﹣a＜b，∴a+b＞0，∴|a+b|﹣|a﹣b|＝a+b﹣（b﹣a）＝2a．故答案为：2a．23．实数a，b，c在数轴上的位置如图，那么|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a|＝ ．【答案】﹣c﹣b．【解答】解：由数轴可知：b＜c＜﹣1＜0＜1＜a，∴|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a|＝﹣c﹣a﹣b+a＝﹣c﹣b，故答案为：﹣c﹣b．24．实数a、b在数轴上如图所示，化简|a|﹣|a﹣b|＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：观察函数图象，可知：a＜0＜b，∴a﹣b＜0，∴|a|﹣|a﹣b|＝﹣a+a﹣b＝﹣b．故答案为：﹣b．25．已知实数a、b在数轴上的对应点如图，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝ ．【答案】c．【解答】解：由图可知，a＜0，a＜b＜0＜c，且|a|＞|b|，所以，a+b＜0，c﹣b＞0，所以|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝﹣a+a+b+c﹣b＝c，故答案为：c【题型06：算术平方根与绝对值的非负性综合】26．若|3﹣a|+＝0，则a+b的值是（ ）A．2B．1C．0D．﹣1【答案】B【解答】解：由题意得，3﹣a＝0，2+b＝0，解得，a＝3，b＝﹣2，a+b＝1，故选：B．27．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（ ）A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵＝7，∴b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：D．28．若+|y+3|＝0，则的值为（ ）A．B．﹣C．D．﹣【答案】C【解答】解：∵+|y+3|＝0，∴2x+1＝0，y+3＝0，解得x＝﹣，y＝﹣3，∴原式＝＝．故选：C．29．已知|b﹣4|+（a﹣1）2＝0，则的平方根是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：根据题意得，b﹣4＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝4，所以，＝，∵（±）2＝，∴的平方根是±．30．若实数m，n满足（m﹣1）2+＝0，则（m+n）5＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知，m，n满足（m﹣1）2+＝0，∴m＝1，n＝﹣2，∴（m+n）5＝（1﹣2）5＝﹣1．故答案为：﹣1．31．已知，则x+y＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵，∴，解得，则x+y＝﹣1+2＝1，故答案为1．32．若，则（x+y）2023＝ 1 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，所以（x+y）2023＝（2﹣1）2023＝1．故答案为：1．33．若a，b为实数，且，则（a+b）2023＝ ．【答案】﹣1．【解答】解：∵|a﹣1|+＝0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1，故答案为：﹣1．【题型07：实数的运算综合】34．计算：．【答案】10．【解答】解：＝7+6﹣3＝10．35．计算：（1）；（2）．【答案】（1）7；（2）．【解答】解：（1）＝2+2+3＝7；（2）＝4+2﹣﹣3＝．36．计算：．【答案】．【解答】解：＝＝．37．计算：．【答案】2．【解答】解：＝3+（﹣3）+2＝2．38．计算：（1）4﹣|﹣7|+；（2）﹣23×（﹣6）﹣（﹣3）2．【答案】（1）﹣5；（2）39．【解答】解：（1）原式＝4﹣7﹣2＝﹣5；（2）原式＝﹣8×（﹣6）﹣9＝48﹣9＝39．39．计算：．【答案】1．【解答】解：原式＝2×（﹣3）+4﹣2+5＝﹣6+4﹣2+5＝4+5﹣6﹣2＝1．【题型08：实数的综合应用】40．小明的爸爸打算用如图一块面积为1600cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为1350cm2的桌面．（1）求正方形木板的边长；（2）若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．【答案】（1）40cm；（2）不能，见解析．【解答】解：（1）设正方形木板的边长为a（a＞0）cm，则a2＝1600，∵402＝1600，∴a＝40，即正边形边长为40cm．（2）设长方形的长、宽分别为3kcm，2kcm，则：3k⋅2k＝1350，k2＝225，∴k＝15．∴3k＝15×3＝45＞40．∴不能裁出符合要求的长方形．41．小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2）．（1）如图1，S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1边长为 ；如图2，S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2边长为 ；如图3，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3边长为 ．（2）若将（1）中的图3沿正方形A3B3C3D3边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．【答案】（1），，；（2）不能，理由详见解答．【解答】解：（1）如图1，当S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1＝2，因此其边长为；如图2，当S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4＝5，因此其边长为；如图3，当S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16＝17，因此其边长为；故答案为：，，；（2）不能，理由如下：设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x•3x＝14.52，所以x2＝1.21，即x＝1.1（x＞0），因此长方形的长为4x＝4.4，宽为3x＝3.3，因为（4.4）2＝19.36＞17，所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．42．综合与实践【问题发现】如图1，把两个面积都为1cm2的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为 cm．【知识迁移】若一个圆与一个正方形的面积都是2πcm2，设这个圆的周长为C这个正方形的周长为C圆，则C圆 C正（填“＝”或“＜”或“＞”）．【拓展延伸】李明想用一块面积为400cm2的正方形纸片（如图2所示），沿着边的方向截出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：4．李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【答案】（1）；（2）＜；（3）能，理由详见解答．【解答】解：（1）由题意得，大正方形的面积为2cm2，因此边长为cm，故答案为：；（2）设圆的半径为r cm，则πr2＝2π，∴r＝，∴圆的周长为2π×＝2π（cm），设正方形的边长为a，则a2＝2π，∴a＝，∴正方形的周长为4a＝4（cm），∵2π＝＝，4＝＝，而π＜4，∴＜，即2π＜4，也就是C圆＜C正方形，故答案为：＜；（3）能，理由如下：设长方形的长为5x cm，则宽为cm，由题意可得，5x•4x＝300，∴x＝，即长为5cm，宽为4cm，而面积为400cm2的边长为cm，∵5＝＜，∴能裁出一块面积为300cm2的长方形纸片．。
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八年级数学上册主要题型总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2八年级（上）中考题汇编 一、选择题１．函数ｙ＝42113-+-x x 的自变量ｘ的取值范围是（ ）Ａ．ｘ≥１且ｘ≠２ Ｂ．ｘ≠２ Ｃ．ｘ＞１且ｘ≠２ Ｄ． 全体实数2．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ 满足ｋｂ＞０且ｙ随ｘ的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限3．如图2把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（ ）4．一束光线从点Ａ（３，３）出发，经过ｙ轴上点Ｃ反射后经过点Ｂ（１，０）则光线从Ａ点到Ｂ点经过的路线长是（ ）Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７5．如图，DE 是ΔABC 的中位线，则ΔADE 与ΔABC 的面积之比是A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:4（ ） 6．函数11+=x y 中自变量x 的取值范围是 （ ） A ．x ≠－1B ．x>－1C ．x ≠1D ．x ≠07．在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 （ ） A ．等腰三角形B ．圆C ．梯形D ．平行四边形BACE D3t t t tO T(℃) O T(℃) O T(℃) O T(℃)A B C D 8．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车。
车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶。
下面是行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图像，那么符合这个同学行驶情况的图像大致是 （ ）A B C D9、一组对边平行，并且对角线互相垂相等的四边形是 （ ） A 、菱形或矩形 B 、正方形或等腰梯形 C 、矩形或等腰梯形 D 、菱形或直角梯形10.如图，是象棋盘的一部分，若帅位于点（1，-2）上，相位于点（3，-2）上，则炮位于点（ ）上.A .（-1，1）B .（-1，2）C .（-2，1）D .（-2，2）11.对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（ ） A .正方形 B .菱形 C .矩形 D .等腰梯形12. 夏天，一杯开水放在桌子上，杯中水的温度T(℃)随时间t 变化的关系的图象是(B ).13.用两个完全相同的直角三角板,不能拼成下列图形的是 (D)4A.平行四边形B.矩形C.等腰三角形D.梯形14.函数x y 32-=自变量x 的取值范围是 (D)A.x ≤32-B.x ≥32-C.x ≥32D.x ≤3215.用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图2），在△ABC 的每个顶点处各剪掉一个四边形，其中四边形AMDN 中，∠MDN 的度数为（C ） A. 100° B. 110°C. 120° D. 130°19．画图: 作出线段AB 的中点O .（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不用证明）.二、填空题1．已知函数ｙ＝－ｋｘ(ｋ≠０)与ｙ＝x4-的图象交于Ａ、Ｂ两点，过点Ａ作ＡＣ垂直于ｙ轴，垂足为点Ｃ，则△ＢＯＣ的面积为＿＿＿＿2．写出一个3到4之间的无理数 。
3.如图，表示甲骑电动车和乙驾驶汽车均行驶90km 过程中，行驶的路程y 与经过的时间x 之间的函数关系式.请根据图象填空：A BD 图1图2M NAB出发的早，早了小时，先到达，先到小时，电动自行车的速度为 km/h，汽车的速度为 km/h.3、某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表：根据上表解答下列问题：（1）完成下表：（5分）姓名极差（分）平均成绩（分）中位数（分）众数（分）方差小王40 80 75 75 190小李（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少（3分）56（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由（2分）4、如图，用三个全等的菱形ABGH 、BCFG 、CDEF 拼成平行四边形ADEH ，连接AE 与BG 、CF 分别交于P 、Q ，观察图形，是否有三角形与ΔACQ 全等？并证明你的结论， 解：5、如图5，Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形的等腰三角形。
（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）6、如图6，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点。
（1）如果 ，则ΔDEC ≌ΔBFA （请你填上能使结论成立的一个条件）；AB AB图57（2）证明你的结论。
7.已知任意四边形ABCD ，且线段AB 、BC 、CD 、DA 、AC 、BD 的中点分别是E 、F 、G 、H 、P 、Q.（1）若四边形ABCD 如图①，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）甲：顺次连接EF 、FG 、GH 、HE 一定是平行四边形；（ ） 乙：顺次连接EQ 、QG 、GP 、PE 一定得到平行四边形；（ ） （2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断；（3）若四边形ABCD 如图②，请你判断（1）中的两个结论是否成立？8、已知正比例函数y=kx 与反比例函数y=3x的图象都过A （m,，1）点，求此正比例函数解析式及另一个交点的坐标．9、函数42y x=-中，自变量x 的取值范围是 。
10.函数31-=x y 中，自变量x 的取值范围是3>x 11. 某校在一次考试中，甲乙两班学生的数学成绩统计如下：分数 567891图6ADE FO8(1) 甲班众数为_ 90__分，乙班众数为_70_分，从众数看成绩较好的是甲班. (2) 甲班的中位数是80分，乙班的中位数是_80_分. (3) 若成绩在85分以上为优秀，则成绩较好的是乙.班.12.如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F .求证：BE =CF .证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AC =BD ，则BO =CO . ∵BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ， ∴∠BEO =∠CFO =90°. 又∵∠BOE =∠COF ， ∴△BOE ≌△COF .∴BE =CF . 19.已知反比例函数x k y =的图象经过点)214(，，若一次函数1+=x y 的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B （2，m ），求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标. 解：由于反比例函数x k y =的图象经过点)214(，， 所以421k =. 解得2=k所以反比例函数为x y 2=. 又因为点B （2，m ）在x y 2=的图象上，所以122==m .9所以)12(，B . 设由1+=x y 的图象平移后得到的函数解析式为b x y +=，由题意知 b x y +=的图象经过点)12(，B ， 所以b +=21. 解得 1-=b .故平移后的一次函数解析式为1-=x y .令0=y ，则10-=x . 解得1=x .所以平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标为（1，0）.20.甲 10.8 10.9 11.0 10.7 11.2 10.8 乙 10.9 10.9 10.8 10.8 10.5 10.9 解：甲的众数、平均数、中位数依次为 10.8 10.9 10.85 乙的众数、平均数、中位数依次为 10.9 10.8 10.8513.印刷一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，……；然后再排页码. 如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码.8 9161 5 12 13423.如图所示，一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P . 若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行. （1）请判断木棍滑动的过程中，点P 到点O 的距离是否变化，并简述理由.ABPMN O10（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值. 解：（1）不变.理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB 不变，所以斜边上的中线OP 不变.（2）当△AOB 的斜边上的高h 等于中线OP 时，△AOB 的面积最大. 如图，若h 与OP 不相等，则总有h <OP ，故根据三角形面积公式，有h 与OP 相等时△AOB 的面积最大.此时，S △AOB =2·221·21a a a h AB =⨯=.所以△AOB 的最大面积为2a .14.已知△ABC ，分别以AB 、BC 、 CA 为边向形外作等边三角形ABD 、等边三角形BCE 、等边三角形ACF . (1)如图1，当△ABC 是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论； （1）略(2)如图2，当△ABC 中只有∠ACB =60°时，请你证明S △ABC 与S △ABD 的和等于S △BCE 与S △ACF 的和. 解：（2）解法一：过A 作AM ∥FC 交BC 于M ，连结DM 、EM .因为∠ACB =60°，∠CAF =60°， 所以∠ACB =∠CAF . 所以AF ∥MC .所以四边形AMCF 是平行四边形. 又因为FA =FC ，所以□AMCF 是菱形. ………………………5分A B CD EF 图1 图2所以AC =CM =AM ，且∠MAC =60°.在△BAC 与△EMC 中，CA =CM ，∠ACB =∠MCE ，CB =CE ,所以△BAC ≌△EMC .所以DM =BC .则DM =EB ，DB =EM .所以四边形DBEM 是平行四边形. ……………………………………7分所以S △BDM + S △DAM + S △MAC = S △BEM + S △EMC + S △ACF .即S △ABC +S △ABD =S △BCE +S △ACF . …………………………………… 8分15.写出一个图象经过点(-1,-1),且不经过第一象限的函数表达式答案不唯一,如y=-x-2,或y=-x 2等_. 21.已知函数y 1=x-1和y 2=x 6(1)在所给的坐标系中画出这两个函数的图象;(2)求这两个函数图象的交点坐标;解x-1=x 6,得3,221=-=x x ,即y 1=x-1和y 2=x 6的两个交点坐标分别为A(-2,-3),B(3,2);(3)观察图象,当x 在什么范围内时, y 1＞y 2观察图象可知,当-2＜x ＜0或x ＞3时, y 1＞y 2.22.某校为了了解全校400名学生参加课外锻炼的情况,随机对40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间进行了调查,结果如下:(单位:分)40 21 35 24 40 38 23 52 35 6236 36 15 51 45 40 42 40 32 43 3634 34 53 38 40 39 32 45 40 50 4540 40 40 26 45 40 45 35 40 42 45(1)补全频率分布表和频率分布直方图.分组 频数 频率400名学生平均每天参加课外锻炼的时间____,样本是40名学生平均每天参加课外锻炼的时间.由统计结果分析的,这组数据的平均数是38.35(分),众数是40_,中位数是40_.(3)如果描述该校400名学生一周内平均每天参加课外锻炼时间的总体情况,你认为用平均数、众数、中位数中的哪一个量比较合适?用平均数、众数和中位数描述该校400名学生平均每天参加课外锻炼时间的总体情况都比较合适.因为在这一问题中,这三个量非常接近;(4)估计这所学校有多少名学生,平均每天参加课外锻炼的时间多于30分?因为随机调查的40名学生平均每天参加课外锻炼的时间多于30分的有35人,所以可以估计这所学校平均每天参加课外锻炼的时间多于30分的学生有35÷40×400=350人.。