求函数值域的常见方法大全教师版
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
值域_求值域的方法大全及习题加详解
求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（★★）例2、求函数x 3y -=的值域。
（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的X 围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（★★★） 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，． 评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
求函数值域(最值)的方法大全
一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,ac b ⎡⎫-+∞⎢，当0a <时的值1. 例1、 例2、 故函数的值域是：[ -∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ] 例 A 例解：21x x ++222x x x x -=++当2y -=当20y -≠时，x R ∈时，方程根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域。
解：两边平方整理得：22x -2（y+1）x+y 2=0 （1）x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x≤2。
由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1，3]。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
4例y 5 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
北大师版高一数学上册--第一单元 求函数值域的八种方法(教师讲义)(含答案)
高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆ ） 五、判别式法（☆） 二、配方法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 三、分离常数法（☆） 七、函数单调性法（☆） 四、反函数法（☆） 八、图像法（数型结合法）（☆）一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
【例1】求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
【例2】求函数的值域。
【解析】∵ ∴ 显然函数的值域是：【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。
练习：1、求242-+-=x y 的值域． 2.求函数y =的值域．二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
x 1y =0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞Y【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。
【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【变式】已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
【解析】由已知232x x ≤，可得032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥上的二次函数。
将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+12342，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥内，如图2所示。
函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 32194⎛⎝ ⎫⎭⎪=。
定义域和值域的专题讲解常用方法教师版
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
求函数定义域（1）函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；（2）常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；（3) 如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；（4）对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；（5）分段函数的定义域是各个区间的并集；（6）含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；（7）求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
求值域的方法大全及习题
求值域的方法大全及习题求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x=∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如cx bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R=-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法） 例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+g 的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数xx y 422+--=的值域。
（配方法）1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]x xy x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x xf x -=-⋅+的值域. 6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． 例1、求()f x x =【同步练习3】求函数xx y 21--=的值域。
求值域的方法大全及习题
求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法）例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+g的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。
（配方法） 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。
函数值域的常见求法8大题型(解析版)
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
6函数的概念、定义域、值域求法-教师版
教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设A B 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。
2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；当两个函数的定义域、对应法则分别相同时，那么这两个函数是同一函数。
3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法当图像满足和,x a a R =∈的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。
分段函数：在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。
分段函数是一个函数，而不是几个函数。
在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。
4、函数的运算：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，设φ≠⋂=21D D D 把函数()()()D x x g x f ∈+叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的和函数 把函数()()()D x x g x f ∈叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的积函数 6、复合函数：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，若满足()1D x g ∈的x 的取值范围为E ，设φ≠⋂=2D E D ，把函数()()x g f y =叫做函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=的复合函数，x 是复合函数()()x g f y =的自变量，定义域为D ，()x g 叫做内函数，()x f 叫做外函数。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。
函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。
下面就函数的值域的求法，举例说如下。
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
取值范围的四种常用方法-讲义(教师版)
取值范围的四种常用方法在圆锥曲线的取值范围类问题中，我们得到了讨论对象的最终表达式后，不可避免地要进行函数值域的研究. 在这些最终表达式里面，分式型的函数是最令人感到头疼的.求解分式型函数的值域，关键是利用换元等手段将其转成我们常见的函数形式.一、分离常数经典例题1.求函数的值域.【答案】【解析】，由于，故有，【标注】【知识点】求函数的值域题目分析方法一：用【分离常数】求的值域------------------------------【观察特征+解题动作】------------------------------------------------------------【一气呵成】------------------------------观察特征解题动作①分子和分母次数 相同尝试分离常数得②分离常数后，分式部分的分子为 常数只需研究分母值域即可巩固练习（1）（2）2.已知椭圆，若、是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，连接交椭圆于另一点.求证：直线过定点，并求出点的坐标．过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．【答案】（1）（2）直线过轴上的定点．的取值范围是．【解析】（1）（2）根据对称性易得：若直线过定点，则该定点一定在轴上.由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去得，设点，，所以，，又因为，所以直线的方程为，又因为，所以直线的方程为，令，得，将，代入上式并整理，得，整理得，所以，直线过轴上的定点．当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，，，此时，当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，在椭圆上，由，得，则，故有，，从而，所以，由，得，综上，的取值范围是．【标注】【知识点】椭圆的标准方程；直线和椭圆的位置关系；定点问题；向量问题（1）（2）3.的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．证明为定值，并写出点的轨迹方程；设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析；点的轨迹为一个椭圆，方程为，()【解析】（1）圆的方程整理为，点的坐标为，如图，–6–5–4–3–2–112345y–5–4–3–2–112345O x，∴，∵，∴，，∴，（2），又，所以点的轨迹为一个椭圆，方程为，()；–5–4–3–2–112345y–4–3–2–11234O x；设，因为，所以，联立，得；则；圆心到的距离，所以，．【标注】【知识点】面积问题；最值问题四边形二、换元法-双勾型经典例题4.求函数的值域.【答案】【解析】令，则有，，由于在上单调递增，故有，【标注】【知识点】求函数的值域题目分析方法二：用【换元法】，结合【双勾函数】求的值域------------------------------【观察特征+解题动作】------------------------------------------------------------【一气呵成】------------------------------在上单调递增.观察特征解题动作①分母比分子次数更高换元令，则②新元形式为确定新元范围③分子只有一项且不为0同除分子，出现双勾形式巩固练习（1）（2）5.已知椭圆，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、两点，与椭圆交于，两点．若为线段的中点，求直线的方程．记，求的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）（2）设直线的方程为，即，设，，由，消可得，∴，，∵为线段的中点，∴，解得，∴直线的方程为，即为．由（）可知，，设直线的方程为，即，同理可得，∴，当时，，当且仅当时取等号，当时，当且仅当时取等号，∴，∴，∵由于与是不同的直线，斜率，∴，∴的取值范围．【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系（1）（2）6.在平面直角坐标系中，已知定点，点在轴的非正半轴上运动，点在轴上运动，满足，点关于点的对称点为，设点的轨迹为曲线．求曲线的方程．已知点，动直线与相交于，两点，求过，，三点的圆在直线上截得的弦长的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】方法一：方法二：（1）方法一：（2）设，，，因为，所以，所以，又点为的中点，所以，①，所以②，将①，②式代入，得，所以曲线的方程为．如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于点，连接，因为为的中点，所以也为的中点，易证≌，所以，，易证≌，所以，由得点在直线上，即为点到直线的距离，由抛物线的定义可知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以曲线的方程为．由（）可知，抛物线的方程为，令，得，设，，方法二：由于点，关于轴对称，所以过，，三点的圆的圆心在轴上，设，由得，，化简并整理得，圆的方程为，令，解得，，所以圆在直线上截得的弦长为，又因为，且，所以，所以，当且仅当，即或（舍去）时取等号，所以当时，圆在直线上截得的弦长的最小值为．由（）可知，抛物线的方程为，令，得，设，，由于点，关于轴对称，所以过，，三点的圆的圆心在轴上，设，由得，，化简并整理得，设圆在直线上截得的弦为，由垂径定理得，所以，又因为，且，所以，所以，当且仅当，即或（舍去）时取等号，所以当时，圆在直线上截得的弦长的最小值为．【标注】【知识点】最值问题；向量问题；抛物线与圆结合（1）（2）7.已知椭圆，直线与椭圆交于不同的两点、．若，求的值．试求（其中为坐标原点）的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由，消去并整理得，∵直线与椭圆交于不同的两点、，∴，即，设，，则，，，即，解得．∵，，∴，∵，∴，即的最大值为．（当且仅当时，取得最大值）【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；弦长求解问题；最值问题（1）（2）8.已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与曲线的交点为，且．求抛物线的方程．过点任意作互相垂直的两条直线，，分别交曲线于点，和，．设线段，的中点分别为，．求面积的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）延长交直线于点，（2）则，∵，∴，即点为线段中点，∵点坐标为，∴点坐标为，∵点在抛物线上，∴，∴，∴抛物线的方程为．不妨设直线和的方程分别为和，设，，，，联立，得，由韦达定理知，，∴，∴点的坐标为，∴，联立得，由韦达定理知，，∴，∴点的坐标为，∴，∵，∴，∵，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为．【标注】【知识点】面积问题；最值问题三、换元法-二次型经典例题9.求函数的值域.【答案】【解析】令，则有，.故有，函数值域为.【标注】【知识点】求函数的值域题目分析方法三：用【换元法】，结合【二次函数】求的值域------------------------------【观察特征+解题动作】------------------------------------------------------------【一气呵成】------------------------------在处取最大值 .观察特征解题动作①分母是某个整体的完全平方换元令，则②分母只有一项分子依次除以分母，③这是复合的二次函数形式配方，巩固练习（1）（2）10.已知椭圆：的左右两个焦点分别为，，以坐标原点为圆心，过，的圆的内接正三角形的面积为，以为焦点的抛物线：的准线与椭圆的一个公共点为，且．求椭圆和抛物线的方程．过作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆于，两点，另一条交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．【答案】（1）（2）抛物线，椭圆．．【解析】（1）由题意得，圆半径为，故内接正三角形的面积为，∴，即抛物线，又，，故，（2）∴，∴，∴椭圆．由已知得直线的斜率存在，记为．①当时，，，故，②当时，设，代入，得：，则，，∴，此时，，代入得：，则，，∴，∴，令，，综上，．【标注】【知识点】最值问题；面积问题；椭圆的标准方程四边形四边形四边形登堂入室（1）（2）11.已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，点在线段上，且满足．求点的轨迹的方程．过点作斜率不为的直线与（）中的轨迹交于，两点，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）方法一：（2），．∵，∴，即．又在线段上，∴．又，∴点轨迹是以，为焦点的椭圆，设的轨迹方程为，则，即，，∴，∴点的轨迹方程为．：设斜率为，设，，则，则，，∴，，，∴，，，．所在直线：，当时，，∴，方法二：点到直线的距离为，．令，则，令，，令，则，最大值在此处取得．∴，，．由题意可知直线斜率存在且不为，设直线的方程为，，，则，联立方程组，消元得：，由可得，解得．由根与系数的关系可得：，，∴，直线的方程为，令可得，即，∴到直线的距离，∴，令，则，∴．∴当时，取得最大值，∴的最大值为．【标注】【知识点】最值问题四、判别式法经典例题12.求函数的值域.【答案】【解析】视为参数，由于对有，即恒有，则的值域即为使方程关于有解的值.整理得关于有解，讨论：当时，方程有解.当时，由解得且.综上，的值域为.【标注】【知识点】求函数的值域题目分析方法四：用【判别式法】求的值域【核心思路】值域的意义：函数所有可能取到的值的集合. 值域里的所有值都有对应的值，也即把这条式子看作一个关于的方程，使这个方程有解的值的集合即为的值域.------------------------------【观察特征+解题动作】------------------------------这个形式虽然可以使用换元，但已经可以想见后续过程会比较丑陋，因此考虑使用判别式法.------------------------------【一气呵成】------------------------------当时，方程化为 ，有解.当时：由，解得且.综上，.观察特征解题动作①分子和分母次数 相同尝试分离常数得观察特征解题动作①分母判别式为 负 ，分母恒 正设为参数，移项得：②这可能是一个一次或者二次方程根据是否等于 进行分类讨论巩固练习（1）（2）13.已知椭圆：（）的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点．求椭圆的方程．直线被圆：所截得的弦长为，且与椭圆交于、两点，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由，得，即，∴，则椭圆方程为，联立，消去得，，由，解得：．∴椭圆方程为：．∵直线被圆：所截得的弦长为，∴原点到直线的距离为．①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆，得，不妨设，，则；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由，得．联立，消去得，．，，∴．设，令，则，当时，可得，符合题意；当时，由，得且．综上，．∴当斜率存在时，．综①②可知，面积的最大值为．【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；面积问题（1）（2）14.已知椭圆经过点，且右焦点．求椭圆的标准方程．过的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由椭圆的右焦点为，知，即，则：，，又椭圆过点，则，又，求得．∴椭圆方程：．当直线斜率存在时，设的方程为，，，由得，即，∵在椭圆内部，，∴，则，，③，将①②代人③得∴，∴，，①②则，∴，即，又，是的两根，∴，当直线斜率不存在时，联立得，不妨设，，，，．可知．综上．【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；最值问题；向量问题方法总结研究分式型函数的值域有许多方法，在具体解题过程当中，我们常进行如下的判断与动作：1、判次数：分子次数大于或等于分母时需进行分离常数；2、选基准：换元时常以次数较低或已成整体（主要是完全平方）的部分为基准进行换元；3、凑常见：换元后常将函数整理成一次、二次、双勾函数以及它们的倒数与复合形式；4、定主元：在上述过程中，若系数不方便计算，考虑使用判别式法（主元法）计算值域.注意事项1、换新元要确定新元的取值范围，解值域要判断自变量的取值范围，常见限制包括：①圆锥曲线中和的有界性，如椭圆中、；②交点相关问题中，参数（如直线中的）应使联立所得二次方程的；③圆锥曲线焦半径的取值范围，如椭圆中焦半径的取值范围是.2、基本不等式难解取值范围，在最值问题中存在无法取等的可能性，使用时要谨慎！3、判别式法在自变量限制不多时比较好用，复杂情况下升级为根的分布问题，得不偿失.【备注】形式判断只能确定大方向，若函数在形式上同时适用几种不同的方法，不需要纠结孰优孰劣.登堂入室（1）（2）15.已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，．求抛物线的方程．过点的直线与抛物线交于、两点，且为线段的中点，若线段的中垂线交轴于，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）设点的坐标为，依题意得，，即，∴，，∴代入抛物线方程，即，∴（舍去）或，所以抛物线的方程为．由题意可得，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，，，联立得，∴，由根与系数的关系得，因为是线段的中点，所以有，即，①，即，∴，②中垂线的方程为：，令得，【备注】【提示】有的式子换元后也许不太能直接判断单调性，这时可以考虑强行求导求得最值.所以点，设点到直线的距离为，则，弦长，所以，．，由②式可得：，令，则，又，由②式得到即，∴，换元，，，∴，，单调递增；，，单调递减，故函数，此时，，所以得：，，直线的方程，所以，面积的最大值为．【标注】【知识点】面积问题；最值问题；直线和抛物线的位置关系；抛物线的标准方程登峰造极（1）（2）16.已知椭圆的焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的右顶点到的距离为．求椭圆的方程．设直线与椭圆交于，两点，且满足，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）设椭圆的半焦距为，依题意，可得，且，，，．∴椭圆的方程为．依题意，可设直线，的斜率存在且不为零，不妨设直线，则直线，联立：得，则．同理可得：，∴的面积为：，当且仅当，即是面积取得最大值．【标注】【知识点】椭圆与抛物线结合；面积问题；最值问题【备注】【提示】分式换元时，我们无法用3次项来表示4次项（3次项能表示的是6次、9次等……）. 那么能否同时改变分子和分母的次数，使其变成可以用分子来表示分母的形式呢？五、补充练习：求参数取值范围经典例题（1）（2）17.已知双曲线的焦点在轴上，焦距为，且的渐近线方程为．求双曲线的方程．若直线与椭圆及双曲线都有两个不同的交点，且与的两个交点和满足（其中为原点），求的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）（2）依题意设双曲线的方程为，则，，又，于是由，故的方程为．将代入得，由直线与椭圆有两个不同的交点得，即①，将代入得，由直线与双曲线有两个不同的交点，得，即且②，设，，则，，得，而，于是，解此不等式得，或③，由①，②，③得，或，故的取值范围为．【标注】【知识点】数量积的坐标表达式；双曲线的标准方程；向量问题。
求值域的十种方法
求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 1 ．求函数的值域。
【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
【练习】1 ．求下列函数的值域：① ；② ；③ ；，。
【参考答案】① ；② ；③ ；。
二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
例 2 ．求函数（）的值域。
【解析】。
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。
∴函数（）的值域为。
例 3 ．求函数的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。
说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。
例 4 ．若，试求的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。
利用两点，确定一条直线，作出图象易得：， y=1 时，取最大值。
【练习】2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：① ；② ；③ ；④ ；，；。
【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；；三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例 5 ．求函数的值域。
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。
反解得，故函数的值域为。
【练习】1 ．求函数的值域。
2 ．求函数，的值域。
【参考答案】 1 ．；。
四．分离变量法：适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例 6 ：求函数的值域。
解：∵ ，∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。
例 7 ：求函数的值域。
高中数学：求函数值域的10种常见方法
求函数的值域（常用）一、用非负数的性质例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2+2;（2）≥-1).练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________．练2：求函数y =练3：求函数的值域。
练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y（3）2234x x y -+-=]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=二、分离常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．例1：求下列函数的值域：（1）y=21x x ++（2）y=2211x x -+.练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3214222++++=x x x x y三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例1：求函数y=3x+x 3的值域.练1：求函数122+-=xx y ()0>x 的值域.练2：求函数x x y 213--=的值域.四、利用判别式特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例1：求函数y =234x x +的最值．练1：利用判别式方法求函数222231x x y x x -+=-+的值域．五、利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例1：求函数的值域。
练1：求()6log 62log 2222++=x x y 的值域.1x x y -+=练2：设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域.练3：求函数的值域．练4：求函数x x y 213--=的值域.六：判别式法例1：求函数的值域。
七、利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外． 例1：若62--=x x y ,求y 的最大、最小值．练1：求函数342+-=x x y 的值域．22x 1x x 1y +++=练2：求函数186122+-++=x x x y 的值域．练3：若（求x-y 的最大、最小值．八、利用已知函数的有界性． 例1：求函数y=25243x x -+的值域.练1：求函数的值域。
求函数值域的几种常见方法详解
求函数值域的几种常见方法1.直接法:利用常见函数的值域来求。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R,值域为R; 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R,当a>0时,值域为{a y y 4|2≥};当a<0时,值域为{ay y 4|2}、 例1.求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域就是[-1,5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f即函数x x f -+=42)(的值域就是 { y| y ≥2}③1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y 即函数的值域就是 { y| y ∈R 且y ≠1}(此法亦称分离常数法)(思考:如何使用口算法？) 2.二次函数在给定区间上的值域(最值)。
例2. 求下列函数的最大值、最小值与值域:①142+-=x x y ; ②]4,3[,142∈+-=x x x y ; ③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 解:①∵抛物线的开口向上,对称轴2x =,函数的定义域R, ∴x=2时,y min =-3 ,∴函数的值域就是{y|y ≥-3 }、②∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∉ [3,4],此时142+-=x x y 在[3,4]Z∴当x=3时,min y =-2 当x=4时,m ax y =1 ∴值域为[-2,1]、③∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∉ [0,1], 此时142+-=x x y 在[0,1] ]∴当x=0时,m ax y =1 当x =1时,min y =-2 ∴值域为[-2,1]、④∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∈ [0,5],∴当x=2时,m in y =-3 当 x=5时,m ax y =6(思考:为什么这里直接就说当 x=5时,m ax y =6,而不去考虑x=0对应的函数值情况？答:因为观察图像可知x=5离对称轴较远,其函数值比x=0对应的函数值大)∴值域为[-3,6]、注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a bx 2-=时,其最小值ab ac y 442min -=; ②当a<0时,则当a b x 2-=时,其最大值ab ac y 442max -=、 ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其对称轴abx 2-=就是否属于区间[a,b]、 ①若2b a -∈[a,b],则()2bf a -就是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值、②若2ba-∉[a,b],则[a,b]就是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值、注:①若给定区间不就是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标就是字母时,则应根据其对应区间特别就是区间两端点的位置关系进行讨论、 3.有解判别法:有解判别法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,并且分子、分母,没有公因式,解题中要注意二次项系数就是否为0的讨论例3.求函数y=1122+++-x x x x 值域解:原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=, 若y=1,即2x=0,则x=0; 若y ≠1,由题∆≥0, 即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得331≤≤y 且 y ≠1、 综上:值域{y|331≤≤y }、 例4.求函数66522-++-=x x x x y 的值域(注意此题分子、分母有公因式,怎么求解呢？)解:把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}说明:此法就是利用方程思想来处理函数问题,一般称有解判别法、一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式并且分子、分母,没有公因式、解题中要注意二次项系数就是否为0的讨论、 4.换元法例5.求函数x x y -+=142的值域解:设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==2242t t =-++开口向下,对称轴1t =[0,)∈+∞ ∴1t =时,max (1)4y f == ∴值域为(,4]-∞ 5.分段函数例6.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域、解:将函数化为分段函数形式:21(2)3(12)21(1)x x y x x x ⎧-≥⎪=-≤<⎨⎪-+<-⎩,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域就是{y|y ≥3}、说明:以上就是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习与经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等、有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉与掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法、 ★练习:1、34252+-=x x y答案:值域就是{05}y y <≤、 2、求函数的值域①x x y -+=2;②y x =+答案:值域就是(-∞,49]、 答案:值域就是{2}y y ≥- 小结:求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法、。
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求函数值域的几种常用方法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就求函数值域的方法归纳如下，供参考。
一、直接观察法这是最基本的方法，通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析，求函数的值域。
例1 求函数y =x 1的值域。
解： x ≠0 ，∴ x1≠0显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）. 例2 求函数y = 3 -x 的值域。
解： x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是：(,3]-∞ .二、反函数法当一个函数存在反函数又便于求其反函数时，可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。
例3 求函数y =6543++x x 值域。
解：由原函数式可得：x =3564--y y，则其反函数为：4653xy x -=- 其定义域为：x ≠53，故所求函数的值域为：33(,)(,)55-∞⋃+∞.注：本题还可以用分离系数法，把原函数式变形为：3252530y x =++同样达到目的。
例4 求函数11()211()2xxy -=+值域。
解：由原函数式可得：121log 1yx y-=+，则其反函数为：121log 1xy x -=+ 由101xx->+，知11x -<<， 故所求函数的值域为：(1,1)-.注：本题还可以利用函数的有界性法，把原函数式变形为：11()021xyy-=>+同样达到目的 三、配方法配方法是求二次函数（即形如2()()()f x ag x bg x c =++的函数）值域最基本的方法之一。
例5 求函数y =2x -2x + 5，x ∈[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y =（x -1）2+ 4，x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：当x = 1时，min y = 4 ， 当x = - 1，时max y = 8 ， 故函数的值域是：[ 4 ，8 ].例6求函数y =的值域。
解：将函数变形为：y =故函数的值域是：[ 0 ，32].例7 求函数2sin 2sin 2()4y x x x ππ=-+-≤≤的值域。
解：将函数配方得：2(sin 1)1y x =-+，4x ππ-≤≤，sin 12x ∴-≤≤ 当sin x =max 52y =当sin 1x =时，min 1y= 故函数的值域是：5[1,2+. 四、判别式法形如2111122222(,a x b x c y a a a x b x c ++=++不同时为0）的函数的值域通常用此法求解，把函数转化为关于x （或关于x 的某个代数式）的二次方程，通过方程有实根，△≥0，从而求得函数的值域。
例8 求函数 y =3212+--x x x 的值域。
解：由y =3212+--x x x 得：013)12(2=+++-y x y yx （※）当0≠y 时，为使方程（※）有实根， 必须且只需△[]22(21)4(31)810y y y y =-+-+=-+≥解得 4242≤≤-y 当0=y 时,方程（※）有实根1=x因此，函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42,42. 例9 求函数y = x +)2(x x -的值域。
解：两边平方整理得：22x -2（y +1）x + y 2=0（1） x ∈R ，∴△=4（y +1）2-8 y ≥0 解得：1-2≤ y ≤1+2但此时的函数的定义域由x （2 - x ）≥0，得： 0≤ x ≤2。
由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（ y +1）x + y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
0≤x ≤2，∴y = x +)2(x x - ≥0，把min y =0代入方程（1），解得： 0[0,2]x =∈，把1y =1），解得：[0,2]x =∴原函数的值域为：[0，1+2].注：在这里，需要注意两个问题：一是要讨论二次项系数是否为0，因为二次项系数为0时方程（※）不再是一元二次方程，当然不能用判别式判定其是否有实数根。
二是要注意函数的定义域是否为实数集，因为判别式是判定一元二次方程在整个实数集上（而不是在它的子集合内）是否有解；若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
五、利用函数的有界性法函数式中含有正弦或余弦函数及指数式时，不妨利用此法。
例10 求函数y = 11+-x x e e 的值域。
解：由原函数式可得：xe =11y y+-， xe ＞0，∴11y y+-＞0解得：- 1＜y ＜1，故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) . 例11 求函数2sin 2sin xy x-=+的值域解：由原函数式可得：22sin 1yx y -=+ ， 22|sin |1,||11yx y -≤∴≤+即 |22||1|y y -≤+。
两边平方，得2248421y y y y -+≤++ 即231030y y -+≤ 解得：133y ≤≤ 所以函数的值域是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
例12 求函数y =3sin cos -x x的值域。
解：由原函数式可得：y sin x - cos x=3 y ，)3x y β+=即sin()x β+=∵ x ∈R ，∴sin （x +β）∈[-1，1] 。
即-1≤132+y y ≤1解得：-42≤ y ≤42 故函数的值域为[-42，42]. 注：本题还可以利用数形结合法，把原函数式变形为：cos 0sin 3x y x -=-，可以看作一点(3,0)P 与单位圆221x y +=上的点所连线段的斜率，从而达到目的。
六、利用函数的单调性法1、两个单调递增（或递减）函数的和仍为单调递增（或递减）函数；2、()(0)kf x x k x=+>在(,)x ∈-∞+∞上是增函数，在[x ∈上是减函数。
例13求函数52log 10)x y x -=+≤≤的值域。
解：令512x y -=，23log y =则 1y ， 2y 在[ 2， 10 ]上都是增函数。
所以 y =1y +2y 在[ 2 ，10 ]上是增函数。
当x = 2 时，y min = 32-+log =81， 当x = 10 时，max y = 52+3log 。
故所求函数的值域为：[81，33]. 例14 求函数y = 1+x -1-x 的值域。
解：原函数可化为： y =112-++x x令1y = 1+x ，2y = 1-x ，显然1y ，2y 在[1,)+∞上为无上界的增函数， 所以y =1y +2y 在[1,)+∞上也为无上界的增函数。
所以当x = 1时，y =1y +2y 有最小值2，原函数有最大值22= 2。
显然y ＞0，故原函数的值域为( 0 , 2)。
例15求函数2y =的值域解：函数y =令t =，则1(2)y t t t=+≥由于函数1y t t =+在[2,)+∞上是单调递增函数，从而有min 15222y =+=故所求函数的值域为：5[,)2+∞.七、换元法形如,,,y ax b a b c d =+为常数，0)a ≠常用代数换元；形如,,,y ax b a b c d =+为常数，0)a ≠常用三角换元。
例16 求函数y = x + 1-x 的值域。
解：令x -1= t ，（t ≥0）则x =2t +1∵ y =2t + t +1=2)21(+t +43， 又t ≥0，由二次函数的性质可知当 t =0时，min 1y =， 当t →0时，y →+∞。
故函数的值域为[1,)+∞.例17求函数2y x =+ 解：因1-2)1(+x ≥0，即2)1(+x ≤1故可令1cos ,[0,]x ββπ+=∈.∴y =cos β=sin β+cos β+1=2sin （β+4π）+1 50044ππβπβ≤≤∴≤+≤∴ -22≤sin （β+4π）≤1∴ 0 ≤2sin （β+4π）+1≤1+2故函数的值域为[0,1.八、数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例18求函数y =解：原函数可化简得：|2||8|y x x =-++上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2 ）， B （- 8 ）间的距离之和。
由上图可知：当点P 在线段AB 上时，|2||8|||10y x x AB =-++==当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，|2||8|||10y x x AB =-++>=故所求函数的值域为：[10,)+∞.例19求函数y =解：原函数可变形为：y =上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点 A （3，2），B （-2 ，-1 ）的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，min ||y AB ===故所求函数的值域为)+∞. 例20求函数y =的值域。
解：将函数变形为：y =上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0 ）的距离与定点B （-2，1）到点P （x ，0）的距离之差。
即：y =∣AP ∣-∣BP ∣，由图可知：（1） 当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P '，则构成△ABP '，根据三角形两边之差小于第三边，有||||||||AP BP AB ''-<=即：-26＜ y ＜26（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时， 有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣= 26。
综上所述，可知函数的值域为：(.注：由例19，20可知，求两距离之和时，要将函 数式变形，使A ，B 两点在x 轴的两侧，而求两距 离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
九 、不等式法利用基本不等式,,)a b c a b c R +++≥∈，a b +≥(,)a b R +∈求函数的值域，其题型特征是当解析式是和式时要求积为定值，当解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例21 求函数2sin sin 2y x x =的值域。
解：4sin sin cos y x x x =24sin cos x x =242222222316sin cos 8sin sin (22sin )sin sin 22sin 8()36427y x x x x x x x x ==-++-≤= 当且当22sin 22sin x x =-，即当22sin 3x =时，等号成立。