向量组的线性相关性汇总
向量组的线性相关性
证明
（略）
(1)
1 , 2 , n线性无关
1 1
齐次线性方程组 x 只有零解 r ( , , ) n
1 2 n
x2 2 xn n 0
a11
当m=n时
a12 a1n
a21 a22 a2 n 0 an1 an 2 ann
思考题
试证明 : (1) 一个向量 线性相关的充要条件是 0； ( 2) 一个向量 线性无关的充要条件是 0； ( 3) 两个向量 ， 线性相关的充要条件是
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 , y , 使 x
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关性的概念
定义4
给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不 k1 1 k2 2 km m 0
全为零的数k1 , k2 ,, km 使
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
1 2 3 4 2 3
这与a , a , a 线性无关矛盾，故结论成立.
2 3 4
四、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
向量组的线性相关性
T 1 T 2 T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
3
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 1 , 2 ,, m , 组 构成一个n m矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
b12 b22 ks2
b1n b2 n k sn
19
同时，C的行向量组能由 的行向量组线性表示 A B , 为这一表示的系数矩阵 ：
1T a11 T 2 a 21 T a m m1
矩阵K m s ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵.
此时有 B
18
AK
若C mn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示， 为这一表示的系数 B 矩阵：
b11 b21 （ c1 , c 2 ,, c n ) 1 , 2 ,, s ) （ b s1
(3) R( A ) m R( A ) m） （ ，即矩阵 A的秩小于 （等于）向量组所含向量的个数 m
1 0 0 0 10
2 1 1 3 r3 r2 1 3 5 r4 3r2 3 5 11 0 3
2 r 3r 3 1 1 1 3 r r 2 3 0 1 1 r 2r 3 4 0 2 2 0 3
1 0 0 0
1 0 0 0
2 r3 ( 1 ) 1 1 3 2 0 2 2 0 2 2 0 3
3.3 向量组的线性相关性
~ ~ (a1, a2, a3) 111
0 2 5
742
r
100
0 2 5
522
r
100
0 2 0
022
可见r(a1 a2 a3)2< 3 r(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关.
n个 n维向量a1 a2 an线性相关｜a1 a2 an｜＝０； n个 n维向量a1 a2 an线性无关｜a1 a2 an｜≠０.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
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向量组a1 a2 am线性无关r(a1 a2 am)m. n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的.
例3.2 已知
a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性.
不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam)
即a1能由a2 am线性表示.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
证 充分性
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例3.3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3
b3a3a1 试讨论向量组b1 b2 b3线性相关性.
证
由于此方程组的系数行
设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30
06高数—— 向量组的线性相关性知识点速记
向量组的线性相关性1、n 维向量由n 个数组成的有序数组()12,,,n a a a 称作一个n 维向量，记作()12,,,n a a a α= ，其中i a 称作α的第i 个坐标。
设()12,,,n a a a α= ，()12,,,n b b b β= ，当()1,2,,i i a i n b == 时，称α与β相等，记作αβ=。
称()12,,,n a a a α= 为n 维列向量，αT 为n 维行向量。
分量全为0的向量称为零向量。
向量()12,,,n a a a α= 的各分量的相反数所组成的向量，称为α的负向量，记作α-，即()12,,n a a a α=---- 。
向量加法定义：()1122,,,n n a b a b a b αβ+=+++ ；向量减法定义：()()1122,,,n n a b a b a b αβαβ-=+-=--- 。
向量α与数乘积定义；k 为任意实数，则()12,,,n k k k k αααα= n 维向量的加法和数乘运算满足下面性质（设α、β、γ表示n 维向量，k 、l 表示数量）。
（1）αββα+=+；（2）()()αβγαβγ++=++；（3）0αα+=；（4）()0αα+-=；（5）()k k k αβαβ+=+；（6）()k l k l ααα+=+。
2、向量的线性表示设12,,,s ααα ，β均为n 维向量，若存在一组数12,,,s k k k ，使得1122k k αβα=+++ s s k α，则称向量β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合，也称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示。
3、向量组的线性相关性对于m 个n 维向量12,,,m ααα ，若存在不全为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα+++= ，则称这m 个向量线性相关；否则，称它们线性无关。
通过线性相关和线性无关的定义可推出：（1）单独一个0向量，线性相关；高 数向量组的线性相关性知识点速记（2）含有0向量的向量组，线性相关；（3）单独一个非0向量，线性无关；（4）由n 个标准单位向量()11,0,0,,0=ε ，()20,1,0,,0=ε ，…，()0,,0,1n =ε 组成的向量组，线性无关。
向量组线性相关的几何意义汇总
y O x 1 2 3 4 5 6 1 2 3 45 6图 11) 由两个 2 维向量构成的向量组 A : a 1 , a 2 M 1(1,2)M 2(2,4) M 3(3,6) 在直线 y =2x 取三点M 1, M 2 , M 3 , 作三个向量: )21(11,OM a ==)4,2(22==OM a )6,3(33==OM a 显然, 这三个向量中的任意两个向量构成的向量组都是线性相关的. 线性相关的几何意义是: a 1 , a 2 共线.向量组线性相关的几何意义2) 由 3 个 3 维向量构成的向量组线性相关的几 2)(1,1,11-==RM a )2,0,2(22-==RM a 2),2,0(33-==RM a 向量组 a 1 , a 2 , a 3 线性相关,因为 2a 1 - a 2 - a 3 = 0. M 1M 2M 3 O x 3 y 3 z 3R 图 2向量: 在 π 上取三点: M 1(1,1,1) , M 2(2,0,1), M 3(0,2,1),作三个 何意义是这 3 个向量共面. 如给定平面 π : x+y+z =3.3) 四维向量组线性相关的几何意义 设有四维向量组,6914,13283,5421,41324321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα有 α3 = 2α1 - α2 , α4 = α1 + 2α2 , 所以向量组 α1, 四个平面交于同一条直线. 如图 3对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的 α2 , α3 , α4 线性相关, 其几何意义为: 该向量组所2x+3y+z=43x+8y-2z=13x-2y+4z=-54x-y+9z=-6图 3。
第四章 向量组的线性相关性总结
第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。
§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。
向量组相关知识点总结
向量组相关知识点总结一、向量的定义和性质:1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，可以表示平移、位移、速度、加速度等物理量。
2. 向量的模：向量的大小称为模，通常用|AB|或||A||表示，表示点A到点B的距离。
3. 单位向量：模为1的向量称为单位向量，通常用e表示，如i,j,k。
4. 向量的相等：向量的模和方向都相等时，称为相等向量。
5. 向量的相反：模相等，但方向相反的向量称为相反向量。
6. 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。
7. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，用平行四边形法则或三角法则进行计算，例如A+B=B+A, A+(B+C)=(A+B)+C。
8. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法，即A-B = A+(-B)。
9. 数乘：一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量，模的变化为原来的模与实数的绝对值的乘积，方向不变或相反。
二、向量组的线性相关性和线性无关性:1. 定义：给定向量组V={v1,v2,...,vn}，如果存在一组不全为0的实数k1,k2,...,kn,使得k1v1+k2v2+...+knvn=0，则称向量组V线性相关。
否则称为线性无关。
2. 性质：a. 向量组中包含一个零向量，则向量组一定线性相关。
b. 向量组中向量个数大于向量的维数，则向量组一定线性相关。
c. 向量组中一个向量是另一个向量的线性组合，则向量组一定线性相关。
3. 判定方法：通过求解线性方程组，若方程组有非零解，则向量组线性相关；若方程组只有零解，则向量组线性无关。
4. 线性相关向量组的性质：如果一个向量组A的子集B线性相关，则向量组A一定线性相关。
5. 极大线性无关组：对于向量组V中的线性无关的向量组，如果再加入一个该向量组中的向量会使其变成线性相关，则称该向量组为极大线性无关组。
6. 基础向量组和坐标：对于线性无关的向量组V，可以通过线性组合得到空间内的所有向量，称为向量组V的基础向量组。
线性代数 向量组的线性相关性知识分享
线性代数向量组的线性相关性第三节 向量组的线性相关性分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1★ 定理2 ★ 例3★ 例4★ 例5★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使,02211=+++s s k k k αααΛ (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关;② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例.⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .推论1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关.定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s Λ线性相关, 而向量组s ααα,,,21Λ线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21Λ线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββαααΛΛ向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥ 推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使 ,02211=+e e λλ 也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 (E01) n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21ΛΛΛΛ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,,Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛ 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例4 (E02) 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩，利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见，,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421 秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2） 因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 (E03) 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 (1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α; (2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
第二节向量组的线性相关性
(k1 3k2 k3 , 2k1 2k2 3k3 , 3k1 k2 k3 )
(0,0,0).
12
返回
于是有
k1 3k2 k3 0,
2k1
2k2
3k3
0,
3k1
k2
k3
0.
131
其系数行列式 2 2 3 16 0,
1, 不全为零,
1 与 2 线性相关.
证毕.
23
返回
性质3. 若 1,2 ,,r 线性相关,则
1,2 ,,r , r1,,m 也线性相关.
部分组相关, 则全组相关.
证明: 1 ,2 ,,r 线性相关,
即有不全为零的数k1, k2 ,, kr , 使
k11 k22 krr 0.
k11 k22 krr 0 r1 0 m 0.
此时称 1,2,,m 线性无关.
9
返回
理解: 对于 1,2 ,,m .
(1). k1,k2,,km 不全为0 时, k11 kmm 0; (2).只有 k1 km 0 时, k11 kmm 0.
又对于任何向量组1,2 ,,m ,
0 1 0 2 0 m 0 总成立.
共性.
1 1 1 1
2 0 2 5 0. 3 1 3 6
只须看行列式 是否为0.
16
返回
［注］: 设n个n维向量所组成的向量为
i1 (ai1,ai2 ,,ain ), i 1,2,, n.
a11 a12 a1n
且
D
a21
a22
a2n
,
an1 an2 ann
则 1,2,,n线性相关 D 0 .
向量组的线性相关性
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
而 1 ,, m , 线性 定理7 设 1 , 2 ,, m 线性无关, 相关, 则 能由1 ,, m 线性表示, 且表示式是唯一的 .
k1 k3 0 k1 2k 2 3k3 0 k 5k 6k 0 2 3 1
显然k1=k2=1，k3=-1，满足上式。所以存在不全为零 的数1，1，-1使 k11 k2 2 k33 0 所以 1， 2，3
线性相关。
方法二：由克莱姆法则，此方程组的系数行列式
1 0 1 1 0 1 1 0 1 R(A)=2<3,所以 A 1 1 0 0 1 1 0 1 1 方程组有非零解。 0 1 1 0 1 1 0 0 0
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
k1 1 k2 2 km m 0.
因 k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0, 则有
1 c D 1 1
1
1
1 c 1 1 1 c
r2 r1 r3 (1 c ) r1
1 c c 2 c
1
1
c 0 c 2 (3 c ) c 0
由克莱姆法则
(1)当D 0即c 0且c -3时 ， 方 程 组 只 有 零 解 ， 向 量 组 线 性 无 关 ； ( 2)当D 0即c 0或c -3时 ， 方 程 组 有 非 零 解 ， 向 量 组 线 性 相 关 。
线性代数第四章向量组的线性相关性知识要点
则 n 维向量组也线性无关. 反言之, 若 n 维向量组
线性相关, 则 r 维向量组亦线性相关.
定理 5 m 个 n 维向量组成的向量组, 当维
数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关.
3. 向量组的秩
(1) 定义
设有向量组 T , 如果
(i) 在 T 中有 r 个向量1, 2 , · , r 线性无关; · ·
则称向量组 A 线性相关, 否则称 A 线性无关.
B 中的向量线性表示 , 则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示 .如果 A 能由 B 线性表示 , 且 B 也能 由 A 线性表示 , 则称 A 与 B 等价 . 向量组之间的等价关系具有反身性、对称 性、传递性 .
(2) 线性相关的性质
定理 1
表示. 那么, 向量组 1, 2 , · r 就称为向量空 · ·, 间V的一个基, r 称为向量空间 V 的维数, 并称 V
为 r 维向量空间.
二 基本要求与重点、难点
基本要求 1. 掌握 n 维向量的概念, 能熟练地进行向量
的线性运算.
2. 掌握线性组合、线性表示、线性相关、线 性无关、最大无关组等概念. 能熟练地判断向量
推论 1
设向量组 A 的秩为 r1,向量组 B 的秩 等价的向量组有相同的秩.
为 r2 , 若 A 组能由 B 组线性表示, 则 r1 ≤ r2 .
推论 2
4. 向量空间
(1) 设 V 为 n 维向量的集合, 如果集合 V 非空
且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称
集合 V 为向量空间.
组的线性相关性, 求出其最大无关组.
3. 掌握向量组的秩、 矩阵的秩、矩阵的等价
等概念, 会求向量组的秩和矩阵的秩.
线性相关性的结论极大线性无关组
假设1,2 ,
,
线性相关.
m
则存在不全为零的数 k1, k2 , , km
使k11 k22 kmm 0. (1)
向量 可由 1,2 , ,m 线性表示.
有l11 l22 lmm , (2)
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
(1) (2)
(k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m
2
0
0
( 3)
(1 2
2
)
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
所以
1. 1and 3, R(1,2,3, ) R(1,2,3 ) 3,
向量 可由 1,2,3 唯一线性表示.
2. 0, R(1,2,3, ) R(1,2,3 ) 1 3; 向量 可由1,2 ,3 线性表示，但不唯一.
一、线性相关性的结论 二、极大线性无关组 三、向量组的线性表示与等价
一、线性相关性的结论
定理1 若向量组1,2 , ,m线性无关，而向量组
1,2, ,m , 线性相关，则 可由向量组
1,2 , ,m 唯一线性表示.
证明： 1,2 , ,m线性无关，则秩(1,2 , ,m )=m;
又 1,2 , ,m , 线性相关， 则秩(1,2 , ,m , )<m 1; 于是有 m=秩(1,2 , ,m ) 秩(1,2 , ,m , )<m 1; 秩(1,2 , ,m , )=m 秩(1,2 , ,m );
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
解：
1 1 1 0
因为
(1
,
2
பைடு நூலகம்
,
3
,
)
1 1
第二节向量组的线性相关性
k1 k3 0, k1 k2 0, k k 0. 3 2
18
返回
1
而其系数行列式 1
0 1 1
1 0 2 0, 1
0
齐次方程组只有零解 : k1 k2 k3 0. 因此 1 2 , 2 3 , 3 1 线性无关. 证毕.
k1 (1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0, 即 ( k1 k3 )1 ( k1 k2 ) 2 ( k2 k3 ) 3 0.
由已知 1 , 2 , 3 线性无关, 则由定义知
证明: 若有 k1 , k2 , k3 , 使
证明: 1 , 2 ,, r 线性相关,
即有不全为零的数 k1 , k2 ,, kr , 使
k 11 k2 2 kr r 0. k11 k2 2 kr r 0 r 1 0 m 0.
1 , 2 ,, r , r 1 ,, m 线性相关.
∴
k1 , k2 ,km1 ,1 不全为零,
A线性相关.
返回
“”
设 1 ,, m 线性相关,
20
即有不全为零的数 k1 , k2 ,, km , 使 k11 k2 2 km m 0.
假定 km 0, 则 k1 k2 k m 1 m 1 2 m 1 , km km km
返回
(1) k1 k3 0 于是有 k1 2k2 3k3 0 (2) (3) k1 5k2 6k3 0 1 0 1 系数行列式 1 2 3 0, 1 5 6
齐次方程组有非零解 .
1 , 2 , 3 线性相关.
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全国高校数学微课程教学设计竞赛
一、向量组的线性相关性
定义 设有向量组1, 2,,s ,若有不全为零的数k1,k2,,ks ,使
k11+k22+ + kss=0
(1)
则称向量组1, 2,···,s 线性相关;否则称为线性无关,即当且仅 当 k1=k2==ks =0 时(1)式成立, 称向量组1, 2,,s 线性无关.
图1
图2
解：由图1可知,向量1, 2在同一平面上，所以1, 2线性 相关，而 3与1, 2不共面，所以1, 2 , 3的线性无关表
示。
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例2 讨论下面向量组的线性相关性.
2 4 2
1
1 3
,
2
2 5,3源自1 4.1
4
1
解 设 k11+k22+k33=0，则有
(3)对于2个向量1, 2
若1,
线
2
性
相
关,
有
定
义
知,
存
在
不
全
为
零
的
数k1
,
k2
,
使
k11
k2 2
0, 不妨设k1
0, 则 有1
k2 k1
2 , 即 向 量1 , 2共 线.
同理可知，若3个向量线性相关，对应在几何上，即3个 向量共面。
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二、向量组线性相关性的判别
例1 判断向量组1, 2 , 3的线性相关。
由定义可以看出：
(1)当向10量+k组2中2+1=+0时ks，s=取0,k1=1，有
由此可以看出，含有零向量的向量组线性相关.
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(2)对于单个的向量1， 当1 0时，等式k11 = 0成立当且仅当k1 = 0；
当1 =0时，任意k1 0都可使等式k11 = 0成立.
一空间平面，3元线性方程组 其几何意义如下图中,设
aa21
x x
b1 b2
y y
c1z c2z
d1 d2
a3 x b3 y c3z d3
a1
a2
a3
1
=
b1
,2
=
b2
,3
=
b3
c1
c2
c3
判定向量组1, 2,3的线性相关性。
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解齐次线性方程组，有
2 4 2 1 2 1 1 0 3
A
1
2
1
0
1
1
0
1
1
3 5 4 0 2 2 0 0 0
1 4 1 0 0 0 0 0 0
由R(A)=2<3可知方程组有非零解，因此得向量组1,2,3线
性相关.
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例3 在空间直角坐标系中,3元方程ax+by+cz=d表示
图4
图4中,3个平面相交于一条直线，故都垂直以交线为 法向量的平面，从而3个平面的法向量都平行于同一
平面，即1, 2 , 3共面，所以1, 2 , 3的线性相关。
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向量组的线性相关性
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主要内容：
一、向量组线性相关的定义 二、向量组线性相关性的判别
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引例：
如何判断空间四O(0,0,0),A(1,1,1),B(2,-1,3),C(4,1,5)
是否在同一平面上? 分析： 问题可转化为判断OA, OB, OC是否在同一平面上，由于 OC =2OA+OB,所以向量OA,OB,OC在同一平面上，也即四 点O, A, B,C共面.
2 4 2 0
k11
k22
k33
k1
1 3
k2
2
5
k3
1 4
0
0
1 4 1 0
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整理得
2k1 4k2 2k3 0
k1 3k1
2k2 5k2
k3 4k3
0 0
k1 4k2 k3 0
等价于以k1,k2 ,k3为未知 量的齐次线性方程组是 否有非零解
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结论1：判定向量组1, 2,,s是否线性相关
判定齐次线性方程组 x11 x22 xss 0 是否有非零解。
设 A (1,2, ,s )，当 r( A) s 时， 齐次,s线线性性方相程关组，有否非则零向解量，组即线向性量无组关。1, 2,
.
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图3
解： 由题可知1, 2,3为3个平面的法向量。图3中,3个平面 中有两个平面平行，所以平面的法向量平行，即1, 2,3中有 两个向量平行，所以有2个向量线性相关，从而1, 2 , 3的
线性相关。
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图4
由图4可知,3个平面交于一点，即方程组有唯一解，所以系数
矩阵R(1, 2, 3)=3, 所以1, 2 , 3的线性无关。