1.1分类加法计数原理
高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 分类加法计(1)
类型 1 组数问题(自主研析) [典例 1] 用 0，1，2，3，4 五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的密码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的密码，首位可以是 0，数字也可以重 复，每个位置都有 5 种排法，共有 5×5×5＝53＝125(种)． (2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考
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共有 60＋96＝156(个)． 其中比 2 000 小的有：千位是 1 的共有 3×4×3＝ 36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有 156－36＝120(个)．
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类型 2 分配问题
[典例 2] (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四
个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去
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2．应用分类加法计数原理的注意事项 分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 3．应用分步乘法计数原理的注意事项 分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根 据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到 总数．
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1．从 3 名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班
答案：C
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5．如图所示，从点 A 沿圆或三角形的边运动到点 C， 若经过点 B，有________种不同的走法．若可经过点 B， 也可不经过点 B，有________种不同的走法．
解析：经过点 B，不同的走法有 2×2＝4(种)．若可 经过点 B，也可不经过点 B，不同的走法有 2×2＋2＝ 6(种)．
一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6
B．5
C．3Leabharlann D．2解析：由分类加法计数原理，共有 3＋2＝5 种不同选
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件人教新课标
√A.9 B.2
C.20
D.6
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C 村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的 路线有 ( )条.
A.3 B.4
C.5
√D.6
3.解答题
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允 许重复数字的三位数.
解：
由于此三位数的数字允许重复，分三步： 百、十、个位数各有5种取法， 所以可以组成
如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
2、分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯 数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式 给教室里的座位编号，总共能变出多少个不 同的号码？
解答
由题意画图如下：
字母 A
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A.48个
分析：
B.36个
C.24个
D.18个
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时， 万位数是3，4，5，其他随便，共有 3×3×2×1=18种；当个位数是4时，万位数是2， 3，5，其他随便，共有3×3×2×1=18种
所以共有36种.
课堂练习
1.填空
（1）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则 从甲地到丙地的不同的走法共有 __1_1___种.
高考链接
1（202X年福建卷7）某班级要从4名男生、2名 女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少 有1名女生，那么不同的选派方案种数___A__ .
A. 14 B. 24
C. 28
D. 48
先分类，再分 步！
2. (202X年四川文科第9题）用数字1，2，3， 4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的 五位偶数共有______.B
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
N= m×n种不同的方法
说明
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
例2 设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出 男、女各一名代表班级参加比赛,共有多少 种不同的选法? 若再要从语,数,外3个
P12 A组 1，2
二、拓展作业： 根据自己的生活经验，举 出一些可以用两个计数原理计 数的实际例子。
例1：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业, 具体情况如下: C大学 A大学 B大学
生物学 数学 机械制造
化学
医学
会计学
信息技术学
建筑学
广告学 汉语言文学 韩语
物理学
工程学
法学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
分析:
要完成的事是“先后从南京、上海各取一景点”, 南京的景点用6个大写字母A——F表示,上海的 景点用数字1——9表示.
字母
数字 1
得到的景点代号
A1 A2
2
3
A3
A4
4
A
5
A5
A6
6
7 8 树形图 9
A7
A8
6×9 = 54(种) A9
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的 方法，做第2步有n种不同的方法，则完成这件事共有
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. （3）从书架上取2本不同种的书,有多少种不同 的取法? 解：需先分类再分步.
1.1 分类计数原理和分步计数原理
（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配 成一套,则不同的配法有多少种？ 分步问题 （4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球， 共有多少种不同的取法？ 分类问题 （5）从一个装有4个不同白球的盒子里和装有3个不同黑球的盒子里各取1个 球，共有多少种不同的取法？ 分步问题 （6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去， 共有多少种不同的进出商场的方式？ 分步问题
问题剖析
小明要完成的一件事是什么
北京→重庆
完成这件事情要分几步
2步
每步中的任一方法能否独立完成这 件事
不能
每步方案中分别有几种不同的方法 4种 3种
完成这件事共有多少种不同的方法 4✕3=12种
想一想：
(1)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以 A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座 位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ (2)从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1名 担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画
事件1：从中任选一幅画布置房间 事件2：从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间 事件3：从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间
问题2：以上三个事件各有多少种不同的选法
1.解决计数问题的基本方法：
列举法、两个计数原理
2.选择两个原理解题的关键是： 根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要， 只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，分类 要做到类类独立，不重不漏。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课后习题详解)
人教A 版，高中数学，选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课本第6页，练习1．填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。
（2）从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同路线的条数是 。
【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6。
2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。
3．在例1中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6410+=。
这种算法有什么问题？【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。
课本第10页，练习1．乘积12312312345()()()a a a b b b c c c c c ++++++++展开后共有多少项？【解析】分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。
由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法。
1.1分类加法计数原理与分步计数乘法原理(2)
计数 1.分类 ──类类相加( 1.分类──类类相加(把做一件事的方法 分类 ──类类相加 N = m + m2 +L+ mn 分类) 分类) 1 2.分步 ──步步相乘 分步──步步相乘( 2.分步 ──步步相乘(把做一件事分几步 N = m × m2 ×L× mn 来进行) 来进行) 1 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 具体运用时,要弄清是分类,还是分步. 具体运用时 ,要弄清是分类,还是分步.
分析： 分析：整个模块的任 意一条路径都分两步 完成： 完成：第1步是从开 步是从开 始执行到A执行到结束。 而第步可由子模块1 而第步可由子模块 或子模块2或子模块 或子模块 或子模块3 或子模块 来完成； 来完成；第二步可由 子模块4或子模块 或子模块5来 子模块 或子模块 来 完成。因此， 完成。因此，分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。 个计数原理。
随着人们生活水平的提高， 例9 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部 门出台了一种汽车牌照组成办法， 门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都 必须有３个不重复的英文字母和３ 必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯 数字，并且３个字母必须合成一组出现， 数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也 必须合成一组出现， 必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车 上牌照？ 上牌照？
4×4×…×4 ＝4100 ×
例7 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与 底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因 此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计 数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要 对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来 表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位， 每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字， 2×2×…×2 ＝28=256 × 一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个 汉字至少要用多少个字节表示？
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1-2课时课件
N＝4 ×3×2＝24
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
伯数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的 座位编号，有多少种不同的号码？
分析：解决这个问题可以分为几步？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
9种
B
9种
6 × 9 =54
思考：这两个问题有什么共同特征？
(2)分步计数原理 （乘法原理） 做一件事情，完成它需要分成两个 步骤，做第一步有m种不同的方法， 做第二步有n种不同的方法，那么完 成这件事有N=m×n种不同的方法。
分步计数原理推广 做一件事情，完成它需要分成n个 步骤，做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法，……， 做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法。
二、探究新知 （1）分类计数原理（加法原理）
做一件事情，完成它可以有两类 不同方案,在第一类方案中有m种不 同的方法,在第二类方案中有n种不 同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法。Leabharlann 2、概念辨析（课后练习第3题）
1.1加法原理和乘法原理
授课主题加法原理和乘法原理教学目标1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．3．能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．教学内容1．分类计数原理(加法原理)做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在笫n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．原理的核心是每一种办法都能将事情完成．例如：某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，在这天的不同时间中，火车有4班，汽车有3班，此人的走法共有4+3=7种选择．2．分步计数原理(乘法原理)做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法．那么完成这件事有N＝m1 ·m2·…·m n种不同的方法．原理的核心是每一个步骤都依次完成后，这件事情才能完成．例如：某人上楼从底层到三层，今知从底层到二层有4个扶梯可走，又从二层到三层有2个扶梯可走，此人从底层到三层的走法共有4 2=8种．分类计数原理与分步计数原理的区别在于完成一件事是分类还是分步．3．加法原理和乘法原理的异同(1)共同点是，它们都是研究完成一件事情共有多少种不同的方法．(2)不同点是，它们研究完成一件事情的方式不同，加法原理是“分类完成”，即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事．乘法原理是“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情．4．根据具体情况选择应用不用的原理(1)完成一件事情有n类办法，若每一类办法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成，则计算完成这件事情的方法总数用加法原理．(2)完成一件事情有n个步骤，若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分，并且必须且只需完成互相独立的这n步后，才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用乘法原理．5．一些非常规计数问题的解法(1)枚举法：将各种情况通过树状图、表格等方法一一列举出来，它适用于计数种数较少的情况，分类计数时将问题分类实际上也是将分类种数一一列举出来．(2)间接法：若计数时分类较多或无法直接计数时，可用间接法先求出没有限制条件的总数，再减去不满足条件的种数，即正难则反．(3)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知的问题．在实际应用中，应根据具体问题灵活处理．特别提醒：对于较复杂的既要用分类计数原理，又要用分步计数原理的问题，可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于解题.题型一分类加法计数原理的应用例1某校高三共有三个班，其各班人数如下表：班级男生数女生数总数高三(1) 32 22 54高三(2) 28 22 50高三(3) 31 20 51(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从(1)班、(2)班女生中或从(3)班男生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解析：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：第1类，从高三(1)班任选一名学生，有54种不同选法；第2类，从高三(2)班任选一名学生，有50种不同选法；第3类，从高三(3)班任选一名学生，有51种不同选法．由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝54＋50＋51＝155(种)．(2)由题设知共有三类：第1类，从(1)班女生中任选一名学生，有22种不同选法；第2类，从(2)班女生中任选一名学生，有22种不同选法；第3类，从(3)班男生中任选一名学生，有31种不同选法．由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝22＋22＋31＝75(种)．点评：分类加法计数原理是涉及完成一件事的不同方法的计数种类，每一类中的各种方法都是相互独立的，且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事，在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类．巩固(1)某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学科代表，则不同选法的种数有() A．50种B．26种C．24种D．616种(2)一项工作可以用A或B这两种方法中的一种方法完成，有4人会用A方法完成，另外8人会用B方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是()A．12种B．32种C．24种D．64种解析：(1)由分类加法计数原理知，不同选法的种数有26＋24＝50(种)．故选A.(2)由分类加法计数原理知，不同选法的种数有4＋8＝12(种)．故选A.答案：(1)A(2)A题型二分步乘法计数原理的应用例24个插班生分到甲、乙、丙三个班，有多少种不同的分法？分析：一个学生分到甲、乙、丙中的某个班，有3种不同方法，一个学生确定到哪个班后，这件事情并没有完成，只有4个学生全部确定各自到哪个班后这件事情才算完成，故应用乘法原理解决．解析：完成4个学生分到3个不同的班级这件事，可按每个学生对班级选择分四步完成，每一步中每一个学生在3个班级中选择1个，有3种选法，由乘法原理得共有34＝81种不同的分法．点评：利用分步乘法计数原理计数的一般思路是首先考虑这件事要经过哪几个步骤才能完成，然后找出每一步中有多少种不同的方法，最后求其积，但应注意各个步骤是既相互独立又密切相关的，都完成后，才能完成整件事．巩固已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数为() A．9个B．12个C．8个D．24个解析：完成表示不同的圆这件事有三步：第一步，确定a有3种不同的选取方法；第二步，确定b有4种不同的选取方法；第三步，确定r有2种不同的方法．由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24个．故选D.答案：D题型三分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用例3集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，现从A、B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标．(1)可以得到多少个不同的点？(2)在这些点中，位于第一象限的有几个点？解析：(1)第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12个不同的点；第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12个不同的点．故可以得到24个不同的点．(2)第一象限内的点，即x，y必须为正数，从而只能取A、B中的正数，同样分两类，所以N＝2×2＋2×2＝8(个)．即这些点中，位于第一象限的有8个点．点评：(1)解决此类综合题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”．如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分事件，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．(2)注意运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时应“先分类，后分步”．巩固书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．(1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有______种不同的取法；(2)从书架上任取两本不同学科的书，有______种不同的取法．解析：(1)从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N＝4×3×2＝24.(2)取一本计算机书和一本文艺书，有4×3＝12种方法；取一本计算机书和一本体育书，有4×2＝8种方法；取一本文艺书和一本体育书，有3×2＝6种方法；所以总的方法数是N＝12＋8＋6＝26.答案：(1)24(2)26题型四分配问题例4(1)8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？(3)3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？解析：(1)分三步，每位同学取书一本，第1,2,3个同学分别有8,7,6种取法，因而由分步乘法计数原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336(种)．(2)完成这件事情可以分作四步，第一步投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步投第二封信，同样有3种投法；第三步投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法．由分步乘法计数原理，可得出不同的投法共有N＝3×3×3×3＝81(种)．(3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方法共有N＝4×4×4＝64(种)．点评：此类分配问题，实际上是分步计数问题，解题的关键是弄清分几步和每一步的方法总数．巩固(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解析：(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81种报名方法．(2)完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步．而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能情况，于是共有4×4×4＝43＝64种可能的情况．题型五组数问题例5用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的四位偶数？分析：按末位是0,2,4分三类或千位是2,3,4,5分四类计数或用间接法．解析：法一按末位是0,2,4分为三类．第一类：末位是0的有4×4×3＝48(个)；第二类：末位是2的有3×4×3＝36(个)；第三类：末位是4的有3×4×3＝36(个)．则由分类计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．法二按千位是2,3,4,5分四类．第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．则由分类计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．法三(间接法)用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类．第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)；第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．共有60＋96＝156(个)．其中比2 000小的千位是1的有3×4×3＝36(个)．所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．点评：对于组数问题的计数，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，每类中再分步来计数；但当分类较多时，可用间接法先求出总数，再减去不符合条件的数去计数．巩固用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个：(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？解析：由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位数字有9种选择，十位数字和个位数字都各有10种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)．(3)百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)．题型六涂色问题例6把一个圆分成3个扇形，现在用5种不同的颜色给3个扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问(1)有多少种不同的涂法？(2)若分割成4个扇形呢？解析：(1)不同的涂色方法是5×4×3＝60种．(2)如图所示，分别用a，b，c，d记这四个扇形．先考虑给a，c涂色，分两类：第一类给a，c涂同种颜色，共5种涂法；再给b涂色，有4种涂法；最后给d涂色，也有4种涂法．由分步乘法计数原理知，此时共有5×4×4种涂法．第二类给a，c涂不同颜色，共有5×4种涂法；再给b涂色，有3种方法；最后给d涂色，也有3种方法．此时共有5×4×3×3种涂法．由分类加法计数原理知，共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂法．点评：涂色问题往往是既要分类又要分步，因此是排列组合中较难的问题．一般根据颜色的异同分类，根据涂色区域分步．巩固将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．解析：按照S→A→B→C→D的顺序分类染色．第一类：A，C染相同颜色，有5×4×3×1×3＝180(种)；第二类：A，C染不同颜色，有5×4×3×2×2＝240(种)．故共有180＋240＝420种不同的染色方法．（加法）A组1．家住广州的小明同学准备周末去深圳参观旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车20个班次，汽车有40个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去深圳有多少种不同的方法()A．90种B．120种C．180种D．360种解析：根据分分类加法计数原理，得方法种数为30＋20＋40＝90(种)．故选A.答案：A2．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是()A．9种B．10种C．18种D．24种答案：D3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为()A．8个B．9个C．10个D．12个解析：根据分步乘法计数原理，得乘积个数为3×3＝9(个)，未出现重复的现象．故选B.答案：BB组一、选择题1．王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30个英语单词卡片，右边口袋装有20个英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里各任取一个英语单词卡片，则不同的取法有() A．20种B．600种C．10种D．50种答案：B2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7种B．12种C．64种D．81种解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同取法．答案：B3．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为()A．8条B．6条C．5条D．3条解析：依题意，可构成线路的条数为2×3＝6(条)．故选B.答案：B4．植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有() A．1×2×3种B．1×3种C．34种D．43种解析：完成每棵树的种植都有4种方法，由分步乘法计数原理得，完成这三棵树的种植的方法总数是4×4×4＝43(种)．故选D.答案：D5．某班小张等4位同学报名参加A、B、C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()A．27种B．36种C．54种D．81种解析：除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．故选C.答案：C二、填空题6．如图，从A→C有________种不同走法．答案：67．某校会议室有四个出入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有________种．答案：128.在所有的两位数中，则个位数字大于十位数字的两位数共有________个．解析：根据题意将十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．答案：36三、解答题9．小明同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的语文书，他欲带参考书到图书馆阅读．(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？解析：(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、语文书，事情都已完成，从而确定应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12种．(2)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、语文书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、语文书各1本，有4×3＝12种选法；即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47种．10．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，知共有6×5×4×4＝480(种)着色方案．（乘法）A组1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法有() A．48种B．24种C．14种D．12种解析：从8名男生中任意挑选一名参加座谈会，共有8种不同的选法，从6名女生中任意挑选一名参加座谈会，共有6种不同的选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法共有8×6＝48(种)．故选A.答案：A2．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中的项数是()A．48项B．36项C．24项D．12项解析：要得到项数分三步：第一步，从第一个因式中取一个因子，有两种取法；第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法．由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24(项)．故选C.答案：C3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数为()A．125个B．15个C．100个D．10个答案：CB组一、选择题1．由0,1,2三个数字组成的三位数(允许数字重复)的个数为()A．27个B．18个C．12个D．6个解析：分三步，分别取个位、十位、百位上的数字，分别有3种、3种、2种取法，故共可得3×3×2＝18个不同的三位数．答案：B2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种答案：A3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为() A．40个B．16个C．13个D．10个答案：C4．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D 中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有()A．180种B．360种C．720种D．960种解析：分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．故选D.答案：D5．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为() A．14个B．13个C．12个D．10个解析：方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，分析讨论：①当a＝0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此时可以取4个值．故有4种有序数对；②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个实数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2)．因为(a，b)共有4×4＝16种实数对，故答案应为16－3＝13.故选B.答案：B二、填空题6．如图，从A到C有________不同的走法．解析：用列举法可知有8种不同的走法．答案：87．若从1,2,3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法有________种．答案：668．把9个相同的小球放入编号为1,2,3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有____种．解析：第一个箱子放入1个小球则共有4种情况，第一个箱子放入2个小球则共有3种情况，第一个箱子放入3个小球则共有2种情况，第一个箱子放入4个小球则共有1种情况，据分类加法计数原理共有10种情况．答案：10三、解答题9．从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有多少个？解析：从整体看需分类完成，用分类计数原理．从局部看需分步完成，用分步计数原理．第一类：一位数中除8外符合要求的有8个(0除外)；第二类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况，有(8×9)个符合要求；第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，有(9×9)种，而百位数字上是2的只有200符合．所以总共有8＋8×9＋9×9＋1＝162(个)．10．某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？解析：第一步，在点A1，B1，C1上安装灯泡，A1有4种方法，B1有3种方法，C1有2种方法，共有4×3×2＝24(种)方法．第二步，从A，B，C中选一个点安装第4种颜色的灯泡，有3种方法．第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有3种方法，由分步乘法计数原理可得，共有4×3×2×3×3＝216(种)方法．11。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计
类比分类问 从实例和具体经验出发，
概 追问：你能不能把这种解决问题的规律用数学语 题的共同特征， 通过比较、归纳、概括等
括 言来表述呢？
学生归纳叙述分 思维过程获得分步乘法计
揭
分步乘法计数原理
步 乘 法 计 数 原 数原理的内容，培养学生
示 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同 理。
分析问题、模仿和语言表
（二）分类加法计数原理的形成
教学过程设计
生 问题 1： 活 （1）小明要从北京到重庆，一天中，飞机有 4 感 班，火车有 3 班，一天中乘坐这些交通工具从北 知 京到重庆共有多少种不同的走法？
初 识 原 理 生：7 种。
（追问：你是怎么想的） 师：这个问题中，小明要完成一件什么事？ 生：从北京到重庆。 师：怎么完成的呢？ 生：坐飞机或坐火车 师：你的意思是按交通工具不同分成了两类不同 的解决方案？你是怎么计算的呢？ 生：因为每一个班次的飞机或火车都能到达重 庆，所以 4+3=7.(以图表形式板书)
生物学 数学
管理学
化学 会计学 建筑学
医学 法学
类
物理学
比 如果小明要从这三所大学里选一个专业，他一共 迁 有多少种不同的选法呢？ 移
完成一件事有三类不同方案，第 1 类方案里有 m1
同 种不同的方法，第 2 类方案里有 m2 种不同的方
学生独立探
化 原 理
法，第 3 类方案里有 m3 种不同的方法，那么完成
1
1
1
A 2 B 2C 2 D 2
3
3
3
3
②4 3=12(请做的同学自己分析解释)
师：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，由
于加数相同，所以乘法优化了加法，使得计数更
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案
高二数学创优课教案
高中二年级《数学》选修2-3第一章:计数原理
§1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（第二课时）
教材地位：
分类计数原理和分步计数原作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理由于其思想方法独特，它也是培养和发展抽象思维能力和逻辑思维能力的好素材。
教材作用：
分类计数原理和分步计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法。
它起到承前启后的作用：它可以弥补列举法一一数出这个数的不足，使其计数时更加灵活，同时又为研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫。
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）进一步熟悉分类计数原理与分步计数原理的内容.
（2）归纳总结分类或分步标准的确。
分类加法与分步乘法计数原理-
35
思考
集合A＝{a1，a2，…，an}共有多少个 子集？
36
课堂练习
1. 一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数字， 这4个拨号盘可以组成多少个四位 数字号码？
N＝10×10×10×10＝10000（种）
37
2. 要从甲、乙、丙3名工人中选 出2名分别上日班和晚班，有多少种 不同的选法？ 第一步: 选1人上日班； 有3种方法 第二步: 选1人上晚班. 有2种方法
33
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
178次
34
例5 随着人们生活水平的提高，某 城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌 照号码需要扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照 都必须有3个不重复的英文字母和3个不 重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合 成一组出现，3个数字也必须合成一组出 现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照？
4×8＝32
13
问题探究
3.从师大声乐系某6名男生和8名女生中 各选一人表演男女二重唱，共有多少种 不同的选派方法？
6×8＝48
上述原理称为分步乘法计数原理.
14
问题探究
4.上述计数问题的算法有何共同特点？ 完成一件事需要两个步骤, 做第1步有m 种不同的方法, 做第2步有n 种不同的 方法, 那么完成这件事共有N＝m×n种 不同的方法.
30×29×20＋20×19×30 ＝17400＋11400＝28800（种）
分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一课时精品教案(平行班)
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理【课题】：1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理【教学目标】：（1）知识与技能理解分类加法原理和分步乘法计数原理，能根据具体问题的特征选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单问题.（2）过程与方法通过实例，总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，提高学生综合、归纳的能力.（3）情感、态度与价值观培养学生数学来源于实践并指导实践的思想意识，通过实例分析培养学生学习数学的兴趣【教学重点】归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
【教学难点】正确理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”【教法、学法设计】启发引导式【课前准备】Powerpoint【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、引入1师提出问题1：从广州到海口,可以乘火车,也可以乘汽车.假设一天中,火车有3班,汽车有4班,那么一天中乘坐这些交通工具从广州到海口共有多少种不同的走法?师：（启发学生回答后，作补充说明）因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有4种走法，每种走法都可以完成由广州到海口这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有3+4=7师：在上述的分析过程中，就体现了分类计数原理.（板书原理内容）分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法.师：对于分类计数原理，我们应注意以下几点.（1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；（2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；（3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.设置问题情境，引出分类计数问题，激发学生的求知欲。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理【要点梳理】要点一：分类加法计数原理(也称加法原理)1．分类加法计数原理：完成一件事,有n 类办法.在第1类办法中有1m 种不同方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法.2．加法原理的特点是：① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n 类；② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。
3．图示分类加法计数原理：由A 到B 算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。
从图中可以看出，完成由A 到B 这件事，共有方法m+n 种。
要点诠释：用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，“类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中。
要点二、分步乘法计数原理1.分步乘法计数原理“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成．2．乘法原理的特点：① 完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可；② 完成每一步有若干种方法；③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。
3.图示分步乘法计数原理：由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到C。
要点诠释：从A到C算作完成一件事，A是起点，C是终点，点B是中间单元，从A到B是第1步，从B到C是第2步。
原创1：1.1分类加法计数原理与分类乘法计数原理
根据分步计数原理，无重复数字的四位数有：N=5 × 4 × 3× 2=120（种）
巩固练习
4.羊村内的小羊们正热火朝天地举行运动会。绵羊族有8名运动员，盘羊族 有7名运动员，羚羊族有6名运动员。问：
第一章 计数原理
§1.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理
高中数学选修2-3·精品课件
问题探究一：
喜羊羊与灰太狼故事
狼堡
羊村
灰太狼从狼堡 去羊村抓羊，他开飞机去有 2 条航线，骑 摩托车去有 3 条道路．请问灰太狼去羊村一共有几种不 同方法？
问题剖析
灰太狼做什么事情？
从狼堡到羊村抓羊
完成这个事情有几类方法？
区别3
各类办法是互相独立的。
各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
巩固练习
1.灰太狼开着飞机发现羊村正在开运动会，有12只羊在跳远、11只羊在跳 高、9只羊在标枪比赛、13只羊在铁饼比赛。灰太狼要从中抓一只羊，有多 少种不同的选择？ 根据分类计数原理，不同的选法共有:N=12+11+9+13=45（种） 2.由数字1，2，3，4，5可以组成多少种可以有重复数字的四位数？
例4.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种 称为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U 表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个 位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基 组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
《分类加法与分步乘法(第1课时)》教学设计
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）一、教学目标1.核心素养通过学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理，初步区分“分类”和“分步”，为拥有良好的计数能力打下基础，从而提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力.2.学习目标（1）通过实例，总结出分步乘法计数原理；（2）通过实例，总结出分步乘法计数原理；（3）能根据具体问题特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.3.学习重点归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题..4.学习难点正确的理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1阅读教材P2－P6，思考：分类加法计数原理内容是什么?分步乘法计数原理是什么?他们的区别是什么?2.预习自测1.教室书架上,上层有4本不同的语文书,下层有7本不同的数学书,从书架上任取一本书,不同的取法种数为( )A.4B.7C.11D.28解：C2.教室书架上,上层有4本不同的语文书,下层有7本不同的数学书,从书架上取一本语文书和一本数学书,不同的取法种数为( )A.4B.7C.11D.28解：D（二）课堂设计问题探究问题探究一 分类加法计数原理 重点、难点知识★▲如上图，从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有几种方法.分类加法原理：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m 种不同的方法,在第2类方案中有n 种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n 种不同的方法注:两类不同方案中的方法互不相同推广:完成一件事有n 类不同方案，在第一类方案中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法.那么完成这件事共有N ＝m 1 +m 2+…+m n 种不同方法.完成这件事情的N 类方法中，只需用一种方法就能完成这件事.问题探究二 分步乘法计数原理 重点、难点知识★▲如上图，从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？并罗列出所有的走法.分步乘法原理: 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m 种不同的方法,做第2步有n 种不同的方法.那么完成这件事共有n m N ⨯=种不同的方法注:无论第一步采用哪种方法,都不影响第2步方法的选取推广:完成一件事有n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有N ＝ 种不同方法.完成这件事情的n 个步骤中，每个步骤都完成才能完成这件事.问题探究三 分类加法与分步乘法的应用 重点、难点知识★▲例1.若x，y∈N，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数.＋【知识点：分类加法计数原理；数学思想：分类讨论】详解：按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；x＝3时，y＝1,2,3，共构成3个有序自然数对；x＝4时，y＝1,2，共构成2个有序自然数对；x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对.根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对.点拨：解答本题可按x(或y)的取值分类解决. 利用分类加法计数原理时要注意：(1)要准确理解题意，确定分类的标准.(2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互间的独立性.例2.现有5件不同样式的上衣和4条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为种【知识点：分步乘法计数原理；】解析：要完成配套需分两步，第一步，选上衣，从5件上衣中任选一件，有5种不同选法；第二步，选长裤，从4条长裤中任选一条，有4种不同选法.故共有5×4＝20种不同的配法.点拨：利用分步乘法计数原理时要注意：(1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排；(2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性.例3.书架的第一层放有3本不同的艺术书,第二层放有2本不同的计算机书,第三层放有5本不同的体育书,从书架上任取2本不同学科的书,共有多少种不同的取法?【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】详解：根据取书的学科不同,可以分为三类:1.计算机与艺术:3×2＝62. 计算机与体育: 2×5＝103. 艺术与体育: 3×5＝15共有6+10+15=31种不同的取法点拨：首先将问题分类，可分为四类，然后每一类再分步完成.即解答本题可“先分类，后分步3.课堂总结【知识梳理】分类加法计数原理; 分步乘法计数原理;【重难点突破】正确的理解完成一件事情的含义;合理分类与分步,先分类后分步.4.随堂检测1. 一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有（）A. 37种B.1848种C.3种D. 6种【知识点：分类加法原理；数学思想：分类讨论】答案:A2.一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语文、数学、英语各一本，则不同的取法共有（）A.37种B.1848种C.3种D.6种【知识点:分步乘法原理】答案:B3.某商业大厦有东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是（）A.5B.7C.10D.12【知识点：分步乘法原理】答案:D4.用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）A.265个B.232个C.128个D.24个【知识点：分步乘法原理】答案:D5.用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）A. 265个B.232个C.128个D.24个【知识点:分步乘法原理,间接法】答案:B（三）课后作业基础型自主突破1.一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成.从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是（）A.8B.15C.16D.30【知识点：分类加法原理；数学思想：分类讨论】答案:A2.如图所示，一条电路从A处到B处接通时，可构成的通路有（）A.8条B.6条C.5条D.3条【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：B 解析：依题意，可构成的通路有2×3＝6(条).3.已知集合A是{1，2，3}的真子集，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【知识点：分类加法原理；数学思想：分类讨论】答案：D 解析：满足题意的集合A分两类：第一类有一个奇数有{1}，{3}，{1，2}，{3，2}共4个；第二类有两个奇数有{1，3}，所以共有4＋1＝5(个).4.4名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中一个运动队,不同的报法种数为（）A.16B.6C.81D.64【知识点：分步乘法原理】答案:C 解析:4名同学报名参加体育队这个事件,分为四个步骤,第一个同学有3个选择,第二个同学有3个选择,第三个同学有3个选择,第四个同学有3个选择,总共有3×3×3×3=81种.5.3个班分别从5个风景点中选择一处游览,不同选法的种数为（）A.15B.25C.243D.125【知识点：分步乘法原理】答案:D6. 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【知识点：分类加法原理；数学思想：分类讨论】解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成八类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个.法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个.能力型师生共研1.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A.10种B.52种C.25种D.42种【知识点：分步乘法原理】答案：D2. 三边长均为整数，且最大边为11的三角形的个数为（）A.25B.36C.26D.37【知识点：分类加法原理,三角形边角关系；数学思想：分类讨论】答案：B3. 某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成.（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：解：（1）56415N=++=种；（2）564120N=⨯⨯=种；（3）56644574N=⨯+⨯+⨯=种4.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果因此共有17400+11400=28800种不同结果探究型多维突破1.甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己所写的贺卡,共有多少种不同的取法?【知识点：分步乘法原理】⨯⨯⨯=种.甲先拿有三种选择，甲拿到的贺卡主人答案：解:列表排出所有的分配方案,共有33119继续拿有3个选择，剩下两人均只有1种选择.2.从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32自助餐1.从甲地到乙地一天有汽车8班、火车3班、轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的方法种数为（）A.13B.16C.24D.48答案：A2.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为（）A.182B.14C.48D.91答案：C3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有（）A.30个B.42个C.36个D.35个答案：C4.设集合A中有5个元素，集合B中有2个元素，建立A→B的映射，共可建立（）A.10个B.20个C.25个D.32个【知识点：映射的定义,分步乘法原理】答案：D 解析：根据映射的定义知，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.A中每个元素的像均有两种选择，由分步乘法计数原理知，共可建立25个映射.5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A.6种B.12种C.24种D.30种【知识点：分步乘法原理】答案：C 解析：分步完成.首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种).6.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）A.8种B.12种C.16种D.20种【知识点：分步乘法原理】答案：B 解析：分两步，第1步：先选不相邻的两个面，共有3种选法(都是相对面).第2步，再从余下的四个面中任选一个面，有4种选法，这样前后选出的三个面符合题目要求，所以共有3×4＝12(种).7.电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生种不同的信息.【知识点：分步乘法原理】答案:256 解析:8个位置,每个穿孔或者不穿孔,有两个方法,总共有82个不同的信息.8.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有种.(用数字作答)【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：9解析：分为两类完成，两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6种选法，即共有9种不同选法.9.圆周上有2n个等分点（1n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为.【知识点：分步乘法原理】答案为：2n（n-1）解析: 由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，∵圆周上有2n个等分点∴共有n条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，∴可做2n-2个直角三角形，根据分步计数原理知共有n（2n-2）=2n（n-1）个.10.有不同的红球8个，不同的白球7个.(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】解：(1)由分类加法计数原理得，从中任取一个球共有8＋7＝15种取法.(2)由分步乘法计数原理得，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法.11.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限.【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案:解:(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步计数原理知共有方法36＝729种.(2)每项限报一人，且每人至多限报一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理得共有报名方法6×5×4＝120种.(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理得共有不同的报名方法63＝216种.12. 关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？【知识点：分步乘法原理】αβγ，解：（1）∵N=2160=24×33×5，∴2160的正因数为P=235其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1∴2160的正因数共有5×4×2=40个（2）式子（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×（50+51）的展开式就是40个正因数∴正因数之和为31×40×6=7440。
编号43 新1.1分类加法与分步乘法计数原理2
不同 字符不够 6763个, 我们就考虑用 2 个字节 能够表示多少个字符 .前一个字节有 256 种不同的表示方法 , 后一个字节也有 256 种表示方法 .
根据分步乘法计数原理 ,2个字节可以表 示 256 256 65 536 个不同字符 , 这已 经大于汉字国标码包含 的汉字个数 6763. 所以要表示这些汉字 , 每个汉字至少要用 2个字节表示 .
4 4 4 4100 个.
100个4
例补：某4名田径运动员报名参加100m，200m和 400m三项短跑比赛. （1）每人限报1个项目，共有多少种不同的报名 方法？ （1）34＝81种； （2）每个项目限报1人，共有多少种不同的报名 方法？ （2）43＝64种.
练习： 1 ）封不同的信投入 4 3个不同的信箱共有？种不同的投法。 2）3位高中生准备报考4所高等院校，每人报且报一所， 共有？种不同的报名方法。
2由 1知 ,用一个字节所能表示的
变式2：计算机编程人员在编写好程序以后需 要对程序进行测试，程序员需要知道到底有 多少条执行路径（即程序从开始到结束的路 线），以便知道需要提供多少个测试数据.一 般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图 所示是一个具有许多执行路径的程序模块. （1）这个程序模块有多少条执行路径； （2）为了减少测试时间，程序员需要设法减 少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试 方法，以减少测试次数吗？
问题：给程序模块命名，需要用3个字符， 其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两 个要求用数字1～9，问最多可以给
多少个程序命名？
解 先计算首字符的选法 .由分类加法计数原理 , 首字符共有 7 6 13 种选法.
(7+6) ×9 × 9=1053,
1.1分类加法计数原理与分布乘法计数1
变式：若要求3个字符中有1个字母， 两个数字（字母、数字的范围与 题设相同）
小结： 对于较为复杂的问题，既要 用分类加法原理，又要用分步乘 法原理，我们需要根据题意，选 择方法，一般的，遵循先分类， 后分步的原则。
[小结]目标分析法(特征，位置)
1.分“类”相加，直达目标.
2.分“步”相乘，中转完成 . 3.先分“类”，后分“步 ”.
小结： 利用计数原理解决实际问题 时，必须首先明确需要完成怎样 的一件事，如何才能完成它？是 “分类”呢？还是“分步”？
[练习]如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上4种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有 种.
A B C D
4
3
2
正确区分“分类”与“分步”
简单的说是“分类互斥”、 “分步独立”，关键是看能否独立 完成这件事。
若无论哪一类中哪一种方法都能独立完 成这件事情，则利用分类加法原理。 若各个步骤缺一不可，同时任何一步都 不能完成这件事，必须所有步骤完成， 才能完成这件事，则利用分步乘法原理。
例3、用0，1，…，9这10个数字 可以组成多少个不同的银行四位 密码？ 变式：(1)可以组成多少个不同的 四位数？ (2)可以组成多少个不同的四位奇 数？
2
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步 完成,共有 4×3×2×2 = 48 种不同的涂色方案.
例4、书架上有7本不同的中文 书，有5本不同的英文书，有3 本不同的法文书，若从中选出 不属于同一文字的2本书，共有 多少种不同的选法？
例5、给程序模块命名，需要用3 个字符，其中首字符要求用字母 A—G或U—Z，后两个要求用数字 1—9，问最多可以给多少个程序 命名？
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(高中数学人教A选修2-3)
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50+60+55=165 种不同的方法.
(2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班男生中选有30种不同的方法； 第二类：从高二（2）班男生中选有30种不同的方法； 第三类：从高二（3）班女生中选有20种不同的方法.
2.分步计数原理针对的是“分步”问题， 各个步骤中的方法相互依存，只有各 个步骤都完成才算做完这件事．
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成类类相加 分步完成 步步相乘
每类方案中的每一 每步_依__次__完__成__才
不同点 种完方成法这都 件能 事_独__立___
两类
能
26种 10种
26+10=36种
假如你从南宁到北海，
可以坐直达客车或直达火车，
客车每天有3个班次，火车每天有2个班次，
请问你共有多少种不同的走法客？车1
北海
南宁
客车2
客车3
火车1 火车2 分析：完成从南宁到北海这件事有2类方案， 所以，从从南宁到北海共有3+ 2= 5种方法.
问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征？ 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算
物理学
法学
汉语言文学
工程学
பைடு நூலகம்
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
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2012-12-25
发现新知 探究（1）以上两个问题都是研究 完成一件事情 的方 法种数 两类 （2）第一个问题完成一件事有 不同案，在 第1类方案中有m1种不同的方法; 在第2类方案中有m2种不同的方法; 那么完成这件事共有 m1+m2 种方法. （3）第二个问题完成一件事有 三 类 不同案，在 第1类方案中有m1种不同的方法; 在第2类方案中有m2种不同的方法; 在第3类方案中有m3种不同的方法; m1+m2+m3 种方法. 那么完成这件事共有 2012-12-25
分析2: 按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每
一类中满足条件的两位数分别是:
8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.
根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (个)
解题关键：从总体上看做这件事情是“确定分类标准每 类方案中有几种方法（不重不漏）” 再根据加法计数原 理计算.
布置作业:
2012-12-25
布置作业: 1、已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个 点则经过这13个点可以确定几个不同的平面? 2、高二（9）班共52位同学暑期聚会结束时彼 此握握手，互相道别，请你统计一下，大家握 手次数共有多少？ 3、编一道运用分类加法原理的解答题，并加 以解答。
2012-12-25
2012-12-25
小结：
何时用加法原理呢?应用中注意什么问题？
加法原理 完成一件事情有n类方法,若每一类方案 中的任何一种方法均能将这件事情从 头至尾完成。
注意分类标准要一致、具体，要做到“不重不 漏”
2012-12-25
结束语
两大原理妙无穷, 茫茫数理此中求; 万万千千说不尽, 运用解题任驰骋。
（4）若完成一件事情有n类不同的方案，在每 一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当 如何计数呢？
2012-12-25
数学归纳
分类加法计数原理
完成一件事情，有n类不同方案, 在第一类方案中有m1种不同的方法， 在第二类办法中有m2种不同的方法， ……， 在第n类办法中有mn种不同的方法。 那么完成这件事共有 N=m1+m2+„+mn ＿＿大于十位数字的 两位数共有多少个？ 分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每 一类中满足条件的两位数分别是: 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 根据加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (个).
2012-12-25
2012-12-25
原理应用
例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到, A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业, 具体如下: A大学 B大学
分析:两大 学只能选 一所一专 业,且没有 共同的强 项 专 业
生物学 化学 医学 物理学 工程学 5
数学 会计学 信息技术学 法学 + 4 =9
2012-12-25
4.如图,该电路,从 A到B共有多少条 不同的线路可通 电？
A
B
2012-12-25
谢谢大家的指导！！
2012-12-25
2012-12-25
提出问题、
（1）用A~Z或0~9给教室的座位编号
分析: 给座位编号有2类方法, 第一类方法, 用英文字母，有26种号码; 第二类方法, 用阿拉伯数字，有10种号码; 所以 有 26 + 10 = 36 种不同号码.
2012-12-25
（2）、从渭南到西安，可以乘火车、汽车，也可 以乘动力车。一天中，火车有20 班，汽车有40班 ，动力车有4班。那么一天中乘坐这些交通工具从 渭南到西安共有多少种不同的去法? 分析: 从渭南到西安有3类方法, 第一类方案, 乘火车，有20种方法; 第二类方案, 乘汽车，有40种方法; 第三类方案，乘动力车，有4种方法； 所以 从渭南到西安共有 20+ 40+4 = 64 种方法