2018年各地高考真题分类汇编-圆锥曲线---学生版

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2018年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线

2018高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2018高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.23 B 62 D. 3【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b a c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。

故选B2.【2018高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2018高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为2130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2018高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(圆锥曲线与方程)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全（圆锥曲线与方程）一、选择题1．（2018浙江）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是（）A ．(−2，0)，(2，0) B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)1．.答案：B解答：∵2314c =+=，∴双曲线2213x y -=的焦点坐标是(2,0)-，(2,0).2. （2018上海）设P 是椭圆 ²5x +²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）（A ）2（B ）2（C ）2（D ）43．（2018天津文、理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（）（A ）22139x y -= （B ）22193x y -=（C ）221412x y -= （D ）221124x y -= 3．【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c ，()0c >，则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得2b y a =±，不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得22122bc b bc b d c a b --=+，22222bc b bc b d c a b ++==+，则12226bcd d b c +===，则3b =，29b =，双曲线的离心率：2229112c b e a a a==++，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=．故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知椭圆C：22214x ya+=的一个焦点为(20)，，则C的离心率为（）A．13B．12C．2D ．224、答案：C解答：知2c=，∴2228a b c=+=，22a=，∴离心率22e=.5．（2018全国新课标Ⅰ理）已知双曲线C：2213xy-=，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN△为直角三角形，则|MN|=（）A．32B．3 C．23D．45. 答案：B解答：渐近线方程为：2203xy-=，即3y x=±，∵OMN∆为直角三角形，假设2ONMπ∠=，如图，∴3NMk=，直线MN方程为3(2)y x=-.联立333(2)y xy x⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴33(,)22N-，即3ON=，∴3MONπ∠=，∴3MN=，故选B.6．（2018全国新课标Ⅰ理）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M，N两点，则FM FN⋅=（）A．5 B．6 C．7 D．86. 答案：D解答：由题意知直线MN的方程为2(2)3y x=+，设1122(,),(,)M x y N x y，与抛物线方程联立有22(2)34y xy x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得1112xy=⎧⎨=⎩或2244xy=⎧⎨=⎩，∴(0,2),(3,4)FM FN==，∴03248FM FN⋅=⨯+⨯=.7．（2018全国新课标Ⅱ文）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）A．1-B．2 CD1 7．【答案】D【解析】在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2160PF F ∠=︒，设2PF m =，则1222c F F m ==，1PF =，又由椭圆定义可知)1221a PF PF m =+=则离心率212c ce a a===，故选D ．8.(2018全国新课标Ⅱ文、理）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>则其渐近线方程为（）A．y = B．y = C．y =D．y = 8．【答案】A【解析】c e a ==，2222221312b c a e a a -∴==-=-=，b a ∴，因为渐近线方程为b y x a =±，所以渐近线方程为y =，故选A ．9．（2018全国新课标Ⅱ理）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（）A.23 B ．12 C ．13D ．14 9．【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP得，2tan PAF ∠，2sin PAF ∴∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，2225sin 3c a c PAF ∴===+-∠ ⎪⎝⎭， 4a c ∴=，14e =，故选D ．10．（2018全国新课标Ⅲ文）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为（）AB ．2C ．2D ．10．答案：D解答：由题意c e a ==1ba=，故渐近线方程为0x y ±=，则点(4,0)到渐近线的距离为d ==.故选D.11．（2018全国新课标Ⅲ理）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（） A ．5 B ．2C ．3D ．211．答案：C解答：∵2||PF b =，2||OF c =，∴ ||PO a =；又因为1||6||PF OP =，所以1||6PF a =；在2Rt POF ∆中，22||cos ||PF bOF cθ==； ∵在12Rt PF F ∆中，2222121212||||||cos 2||||PF F F PF bPF F F cθ+-==⋅⋅，∴222222222224(6)4644633b c a bb c a b c a c a c+-=⇒+-=⇒-=- 223c a ⇒=3e ⇒=.二、填空1．（2018北京文）已知直线l 过点()1,0且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．1．【答案】()1,0【解析】1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得，24p =，2p =，12p=， ∴焦点坐标为()1,0．2．（2018北京文）若双曲线()222104x y a a -=>5，则a =_________． 2．【答案】4【解析】在双曲线中，2224c a b a =++，且5c e a ==245a +，22454a a +=，216a ∴=，04a a >∴=．3．（2018北京理）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 3．31；2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3c c +，再根据椭圆定义得32c c a +=，所以椭圆M 的离心率为3113c a ==-+．双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，222πtan 33n m ∴==，222222234m n m m e m m ++∴===，2e ∴=．4. （2018上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为。

2018年各地高考真题分类汇编-圆锥曲线---学生版

圆锥曲线1.（2018年全国一·文科4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13 B ．12 CD2.（2018年全国二·文科6）双曲线，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．3.（2018年全国二·文科11）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A ．B ．CD4.（2018年全国三·文科10）已知双曲线，则点到的渐近线的距离为AB ．CD ．5.（2018年北京·文科10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.6.（2018年北京·文科12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________. 7.（2018年天津·文科7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点．设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为（A ）22139x y -= （B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 22221(0,0)x y a b a b-=>>y =y =2y x =±y =1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 1-2-122221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)C 28.（2018年江苏8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线，则其离心率的值是． 9.（2018年浙江2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是 A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2) 10.（2018年浙江17）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．11.（2018年上海2）双曲线2214x y -=的渐近线方程为。

2018-2019年全国各地高考真题分类汇编-圆锥曲线---学生版

圆锥曲线1.（2018年全国一·文科4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13B ．12CD2.（2018年全国二·文科6）双曲线，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ． 3.（2018年全国二·文科11）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A ．B ．CD4.（2018年全国三·文科10）已知双曲线，则点到的渐近线的距离为AB ．C ．D ．5.（2018年北京·文科10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.6.（2018年北京·文科12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>a =_________.7.（2018年天津·文科7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点．设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为（A ）22139x y -=（B ）22193x y -= 22221(0,0)x y a b a b -=>>y =y =y =y x =1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 1-2122221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)C 22（C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 8.（2018年江苏8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐，则其离心率的值是． 9.（2018年浙江2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(0)，，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，)，(0)D ．(0，−2)，(0，2)10.（2018年浙江17）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．11.（2018年上海2）双曲线2214x y -=的渐近线方程为。

2018圆锥曲线高考题全国卷真题汇总

20182010圆锥曲线高考题全国卷真题汇总(word版可编辑修改)
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A
点为
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两点，若，则圆。

2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版

2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）一、选择题1.（浙江卷）（2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x 轴上，且a 2=3，b 2=1，由此可得222=+=b a c ∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B2.（天津文）（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（A ）22139x y -= （B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：A3.（天津理）(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A221412x y -= B221124x y -= C 22139x y -= D 22193x y -=解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：C4.（全国卷一文）（4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 解：椭圆的一个焦点为（2，0），可得a 2-4=4，解得22=a ，故选：C5.（全国卷一理）（8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．8解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），过点（-2，0联立直线与抛物线C ：y 2=4x ，消去x 可得：y 2-6y+8=0，解得y 1=2，y 2=4，不妨M （1，2），N （4，4），FM ＝(0，2)， FN ＝(3，4)．则 FM ∙FN =（0，2）•（3，4）=8．故选：D6.（全国卷一理）（11）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．4故选：B7.（全国卷二文）（6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y =B．y =C．y = D ．y = 解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A.8.（全国卷二文）（11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PFF ∠=︒，则C 的离心率为 A．1 B．2C D 1-解：F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°，可得椭圆的焦点坐标F 2（c ，0），所以P（c 23,21故选：D9.（全国卷二理）（5）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y =解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A ．10.（全国卷二理）（12）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14解：由题意可知：A （-a ，0），F 1（-c ，0），F 2（c ，0），直线AP 的方程为：）（a x y +=63，故选：D11.（全国卷三文）（10）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2CD ．故选：D12.（全国卷三理）（11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为A B ．2 C D在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2-2|PF 2|•|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，故选：C二、填空题1.（北京文）（10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.解：∵直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，∴x=1，代入到y 2=4ax ，可得y 2=4a ，显然a ＞0，∴y=±∴抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）2.（北京文）（12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________.解：双曲线的离心率为245422=+a a ，解得a=4．故答案为：43.（北京理）（14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．解：若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，4.（江苏卷）（8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点(,0)F c到一条渐近，则其离心率的值是．，故答案为：25.（浙江卷）（17）已知点P(0，1)，椭圆24x+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=_______时，点B横坐标的绝对值最大．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），AP=2PB，可得-x 1=2x2，1-y1=2（y2-1），即有x1=-2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①-②得（y1-2y2）（y1+2y2）=-3m，可得y1-2y2=-m，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．6．（全国卷三理）（16）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．解：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），∴过A ，B 两点的直线方程为y=k （x-1），联立⎩⎨⎧-==)1(42x k y xy 可得，k 2x 2-2（2+k 2）x+k 2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2[x 1x 2-（x 1+x 2）+1]=-4，∵M （-1，1），∴ MA =（x 1+1，y 1-1）， MB =（x 2+1，y 2-1）， ∵∠AMB=90°=0，∴MA *MB =0∴（x 1+1）（x 2+1）+（y 1-1）（y 2-1）=0，整理可得，x 1x 2+（x 1+x 2）+y 1y 2-（y 1+y 2）+2=0，∴即k 2-4k+4=0， ∴k=2．故答案为：2三、解答题1.（北京文）（20）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D和点71(,)42Q -共线，求k .解析（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =3c e a ==，所以a =2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=，则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-=，易得当20m =时，max ||AB =||AB（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．2.（北京理）（19）（本小题14分）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，μλ==,，求证：μλ11+为定值．解析：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=．依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线P A 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由μλ==,得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=211(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．3.（江苏卷）（18）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．解析：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y =．因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=，从而AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+4.（天津文）（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.解析：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23.a b =由||AB ==从而3,2a b ==. 所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩ 消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-. 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-. 5.（天津理）(19)(本小题满分14分) 设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=.（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQAOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值. 解析（Ⅰ）：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ．由AQ AOQ PQ =∠，可得5y 1=9y 2．由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221k y k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为111228或． 6.（浙江卷）（21）（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解析（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△．因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是7.（全国一卷文）（20）（12分）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222y x k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k ++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．8.（全国一卷理）（19）（12分）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A的坐标为或(1,. 所以AM的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<，直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y y k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x k k k -+++=--. 将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB ∠=∠.9.（全国二卷文）（20）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=．所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩，因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．10.（全国卷二理）（19）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF kx +=+=+++=. 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =.因此l 的方程为1y x =-. （2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.11.（全国卷三文）（20）（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-. 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA =-uu r ．同理2||=22x FB -uu r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=u u r u u r ．故2||=||+||FP FA FB u u r u u r u u r ． 12.（全国卷三理）（20）（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得 1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x y m ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=. 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =.于是 1||(22x FA x ==-. 同理2||22x FB =-. 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=. 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列.设该数列的公差为d ，则 1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||d =.或。

2018年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)

2018年高考数学——圆锥曲线解答1.（18北京理（19）（本小题14分））已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．2.（18江苏18．（本小题满分16分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．3.（18全国二理19．（12分））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．4.（18全国三理20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．5.18全国一理19．（12分）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.6.（18天津理(19)(本小题满分14分)）设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .A的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.7.（18浙江21．（本题满分15分））如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．8.（18北京文（20）（本小题14分））已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)42Q - 共线，求k .9.（18全国三文20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ．10.（18全国一文20．（12分））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．参考答案：1.解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=．依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线PA 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λuuu r uuu r ，=QN QO μuuu r uuu r得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．2.解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=，从而427AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)．综上，直线l 的方程为532y x =-+．学*科网3.解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.4.解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x ym ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r .于是1||22x FA ===-u u u r .同理2||22xFB =-u u u r .所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r .故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列.设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r .②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||28d =.所以该数列的公差为28或28-.5解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-.所以AM 的方程为y x =+y x =.（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.6.（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2．由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为111228或．7.（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△．因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是．8.【解析】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=，则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB ，故||AB．（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 9..解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-．由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则 331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA ==-uu r ．同理2||=22xFB -uu r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=uu r uu r ．故2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r ．10．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM=∠ABN．。

2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版

FM ＝ (0 ， 2) ， FN ＝ (3 ， 4) ．
则 FM FN = （0 ，2 ） ? （3 ， 4 ） =8 ．
故选： D
x2 6.（全国卷一理）（ 11）已知双曲线 C：
y2 1 ，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的
3
两条渐近线的交点分别为 M、N.若 △ OMN 为直角三角形，则 |MN |=
2018 年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）
一、选择题
1.（浙江卷）（ 2）双曲线 x2 3
2
y =1 的焦点坐标是
A ． (- 2 ，0) ，( 2 ， 0) B ． (- 2， 0)， (2， 0) C． (0， - 2 )， (0， 2 ) D． (0， - 2)， (0， 2)
解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在
4）已知椭圆
C
：
x a2
y 4
1的一个焦点为 (2 ，0) ，则 C 的离心率为
1 A．
3
1 B．
2
2 C．
2
解：椭圆的一个焦点为（ 2，0），可得 a2-4=4，解得 a
22 D．
3
2 2，
c c 2, e
a
2
．
2
故选： C
5.（全国卷一理）（
8）设抛物线
C： y2=4x 的焦点为
F，过点（ –2， 0）且斜率为
故选： B
x2 7.（全国卷二文）（ 6）双曲线 a2
y2 b2
1( a
0, b
0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
A ． y 2x
B． y 3x
C． y
2x
2

最新-江苏省2018年高考数学真题分类汇编：圆锥曲线精品

圆锥曲线1（江苏2004年5分）若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为【】(A)2 (B)22 (C) 4 (D)24 【答案】A 。

【考点】双曲线的性质，抛物线的性质。

【分析】根据抛物线方程可求得抛物线的准线方程即双曲线的准线方程，从而求得c ，最后根据离心率公式求得答案：由抛物线x y 82=，可知p=4，∴准线方程为x =－2。

对于双曲线准线方程为22a x c=-=-，∴228c a ==，4c =。

∴双曲线离心率c e a ===A 。

2.（江苏2018年5分）抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是【】A ．1617 B ．1615 C ．87D ．0 【答案】B 。

【考点】抛物线的性质。

【分析】根据点M 到焦点的距离为1利用抛物线的定义可推断出M 到准线距离也为1，利用抛物线的方程求得准线方程，从而可求得M 的纵坐标。

根据抛物线的定义可知M 到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1。

又∵抛物线的准线为116y =-，∴M 点的纵坐标为11511616-=。

故选B 。

3.（江苏2018年5分）点P(3,1)-在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为(2, 5)a =-的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【】A ．33 B ．31 C ．22 D ．21【答案】A 。

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的性质。

【分析】根据过点P 且方向为(2, 5)a =-求得PQ 的斜率，进而可得直线PQ 的方程，把2-=y 代入可求得Q 的坐标，根据光线反射的对称性知直线QF 1的斜率从而得直线QF 1的方程，把0y =代入即可求得焦点坐标，求得c ，根据点P （－3，1）在椭圆的左准线上，求得a 和c 的关系求得a ，则椭圆的离心率可得：如图，过点P （－3，1）的方向(2, 5)a =-， ∴PQ 52k =-，则PQ 的方程为()5132y x+-=-，即52130x+y+=。

2018年高考数学试题分类汇编--圆锥曲线

2018年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线（2018湖南文数）5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是A. 4B. 6C. 8D. 12（2018浙江理数）（8）设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A ）340x y ±= （B ）350x y ±= （C ）430x y ±= （D ）540x y ±=解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题（2018全国卷2理数）（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.（2018陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为 [C]（A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0）所以2,12=-=-p p（2018辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A （B （C （D 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=，解得c e a ==（2018辽宁文数）（7）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为PF =（A ）（B ） 8 （C ）（D ） 16 解析：选B.利用抛物线定义，易证PAF ∆为正三角形，则4||8sin30PF ︒==（2018辽宁理数） (9)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)(C)12(D)12【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。

2018年北京市各区高三文科数学试题分类汇编----圆锥曲线

2018年北京高三模拟考试数学文科试题分类汇编----解析几何（2018年朝阳期末）10．已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线方程为0x y +=，则双曲线C 的方程是 221x y -= ．(2018年东城期末)（10）双曲线2212y x -=的渐近线方程为_____y =?____． (2018年海淀期末)（9）已知双曲线221ax y -=的一条渐近线方程为x y =，则实数a 的值为 1 .(2018年西城期末)10．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(2,0)F ，其渐近线方程为y =，该双曲线的方程是__2213y x -=__．(2018年丰台期末)7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点A 在y 轴上，线段AF 的中点B 在抛物线上，则AF =（ C ） A ．1 B ．32C ．3D ．6 13．能够说明“方程()()()()221313m x m y m m -+-=--的曲线不是双曲线”的一个m 的值是13m ≤≤之间的数即可．(2018年石景山期末5．“10m >”是“”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件10．抛物线24y x =上一点到此抛物线焦点的距离为___3____. (2018年昌平期末)12. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为抛物线212y x =-的焦点，双曲线的渐近线方程为y =，则实数a (2018年通州期末)10．已知点(2P 为抛物线22y px =上一点，那么点P 到抛物线准线的距离是____3___.(2018年房山期末)（7）双曲线221y x m-=D ）（A ）12m >（B ）1m ≥ （C ）1m > （D ）2m > （10）若抛物线px y 22=的焦点坐标为)0,2(，则p = 4 ，准线方程为 -2 ．（2018年朝阳一模）5.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若8AB =，则线段AB 的中点M 到直线10x +=的距离为（ B ）A ．2 B. 4 C ．8 D ．1610.双曲线2214x y -=的焦距为_____；渐近线方程为____12y x =±_____． (2018年东城一模)（10）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为1(,0)4，则p =____12___． (2018年海淀一模)（5）若抛物线22(0)y px p =>上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ D ）(A) 1p < （B ） 1p > （C ） 2p < （D ） 2p >（10）已知点(2,0)是双曲线:C 2221x y a-=的一个顶点，则C 的离心率为2 .(2018年西城一模)11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =；双曲线的渐近线方程是__0x =__． (2018年丰台一模)（4）已知抛物线C 的开口向下，其焦点是双曲线2213y x -=的一个焦点，则C 的标准方程为（ B ） (A) 28y x = (B) 28x y =-(C) 2y =(D) 2x =(2018年石景山一模)10.双曲线2212x y -=的焦距是________,渐近线方程是______y =_______. (2018年房山一模)（9）抛物线24x y =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离为 12 .(2018年顺义一模)9. 已知双曲线221x y m-=的一个焦点为(-,则该双曲线的方程为_____2217x y -=______.（2018年朝阳二模）（13）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F .设这两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则点P 的横坐标是 3 ；该双曲线的渐近线方程为 y = ． (2018年东城二模)（10）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线的离心率为____． (2018年海淀二模)（6）设曲线C 是双曲线，则 “C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的（ A ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知抛物线C 的焦点为(0,1)F ，则抛物线C 的标准方程为__24x y =__.(2018年西城二模)12．双曲线22:1916y x C -=的焦距是__10__；若圆222(1)(0)x y r r -+=>与双曲线C 的渐近线相切，则r =__35__．(2018年丰台二模)（3）设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则a =（ C ）(A)(B)(C)(D) (2018年昌平二模)10. 若抛物线212x y =，则焦点F 的坐标是 (0,3) .(2018年房山二模)（9）双曲线2221-=y x a 的渐近线为x y 2±=，则该双曲线的离心率为 26 ．(2018年顺义二模)12．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>经过点()4,1，且与2214x y -=具有相同渐近线，则C 的方程为_____221123x y -=_____，渐近线方程为_____12y x =±_____．（2018年朝阳期末） 19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)5x y C b b b+=>的一个焦点坐标为(2,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(3,0)E ，过点(1,0)的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于,M N 两点，直线ME 与直线5x =相交于点F ，试证明：直线FN 与x 轴平行．解：（Ⅰ）由题意可知222,5.c a b =⎧⎨=⎩所以225,1a b ==.所以椭圆C 的方程为2215x y +=. …………………………3分（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，此时MN x ⊥轴.设(1,0)D ，直线5x =与x 轴相交于点G ，易得点(3,0)E 是点(1,0)D 和点(5,0)G 的中点，又因为||||MD DN =，所以||||FG DN =.所以直线//FN x 轴.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1122(,),(,)M x y N x y .因为点(3,0)E ，所以直线ME 的方程为11(3)3y y x x =--. 令5x =，所以11112(53)33F y y y x x =-=--. 由22(1),55y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得2222(15)105(1)0k x k x k +-+-=. 显然0∆>恒成立.所以22121222105(1),.5151k k x x x x k k -+==++因为1211211221112(3)2(1)(3)2(1)333F y y x y k x x k x y y y x x x -------=-==--- 22221212115(1)10[35][3()5]515133k k k k x x x x k k x x --⨯+-++++==--22221516510513k k k k k x --++=⋅=+-，所以2F y y =.所以直线//FN x 轴.综上所述，所以直线//FN x 轴. …………………………14分(2018年东城期末) （20）（本小题13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(1,0)F 与短轴两个端点的连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点Q 为椭圆C 上一点，过原点O 且垂直于QF 的直线与直线2y =于点P ，求△OPQ 面积S 的最小值．解：（Ⅰ）由题意，得2221,1,,b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=． ………4分（Ⅱ）设00(,)Q x y ，(,2)P m ，则220012x y +=．① 当0m =时，点(0,2)P ，Q点坐标为(或，122S ==．② 当0m ¹时，直线OP 的方程为2y x m=．即20x my -=，直线QF 的方程为(1)2my x =--．点00(,)Q x y 到直线OP 的距离为d，||OP =所以，000011|||2|||222mS OP d x my x y =⋅⋅=⨯-=-．又00(1)2my x =--，所以202200000000(1)2212||||||1121x y x x S x x x x x --+=+=+=⨯--- 00001111|1|(|1|)212|1|x x x x =⨯-+=-+--0x ≥<01)x ≠，当且仅当001|1||1|x x -=-，即00x =时等号成立，综上，当00x =时，S 取得最小值1. ………13分(2018年海淀期末) 19. （本小题14分）已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.解：（Ⅰ）m a 32=，m b =2，m c 22=， ------------------------2分32222==a c e ，故36=e . ------------------------4分（Ⅱ）设()11,y x P ，()22,y x Q⎩⎨⎧=-+=+023322y x m y x ，得到03122=-+m x x 12-4，依题意，由2(12)44(123)0m ∆=--⨯⨯->得1m >.且有121231234x x m x x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， ------------------------6分12|PQ x x =-== ------------------------7分原点到直线l 的距离2=d ------------------------8分所以11||222OPQ S PQ d ∆=⋅== ------------------------9分解得 73m =>1，故椭圆方程为223177x y +=. ------------------------10分（Ⅲ）直线l 的垂线为:ONy x =， ------------------------11分由20y xx y =⎧⎨+-=⎩解得交点)1,1(N ， ------------------------12分因为PN BQ λ=，又123x x +=所以BQPN =λ=122212221=--=--x x x x ，故λ的值为1. ------------------------14分(2018年西城期末) 19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =． [ 2分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=． [ 3分]设椭圆C 的半焦距为c ，则c == [ 4分]所以椭圆C 的离心率c e a ==． [ 5分]（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． [ 6分]若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ +=， [ 8分] 所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，整理得 002, 3x t y t =-=-． [10分] 将上式代入 220044x y +=，得 22(2)4(3)4t t -+-=， [11分] 整理得 2528360t t -+=，解得 185t =，或2t =． [13分] 此时 182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形，所以存在 182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意． [14分](2018年丰台期末)19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，点(B 在椭圆C 上，12F BF ∆是等边三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点A 在椭圆C 上，线段1AF 与线段2BF 交于点M ，若12MF F ∆与12AF F ∆的面积之比为2:3，求点M 的坐标.19．解：（Ⅰ）由题意(B 是椭圆C 短轴上的顶点，所以b =因为12F BF ∆是正三角形，所以122F F =，即1c =. 由2224a b c =+=，所以2a =.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=.（Ⅱ）设()00,M x y ，(),A A A x y ，依题意有00x >，00y >，0A x >，0A y >. 因为121223MF F AF F S S ∆∆=，所以01213A x x +=+，且023A y y =，所以0312A x x +=，032A y y =，即00313,22x A y +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为点A 在椭圆上，所以22143A A x y +=，即220031322143x y +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=. 所以200152270x x -+=，解得01x =，或0715x =. 因为线段1AF 与线段2BF 交于点M ，所以01x <，所以0715x =. 因为直线2BF的方程为)1y x =-，将0715x =代入直线2BF的方程得到0y =. 所以点M的坐标为715⎛ ⎝⎭.(2018年石景山期末) 19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率等于12，(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值. 解：（Ⅰ）因为12c e a ==，又222a b c =+，所以22224,3a c b c == ……… 2分设椭圆方程为2222143x y c c+=,代入(2,3),得2224,16,12c a b === ………4分椭圆方程为2211612x y +=……… 5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x yB x y………6分设AB 方程为221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，代入化简得：22120x tx t ++-= ………8分 224(12)0t t ∆=-->，44t -<<1221212x x tx x t +=-⎧⎨=-⎩，又(2,3),(2,3)P Q - APBQ APQ BPQ S S S ∆∆=+1216||2x x =⨯⨯-==………13分当0t =时，S最大为 ………14分(2018年昌平期末) 19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：2221(1)x y a a+=>，(,0),(0,1)A a B ，圆O ：221x y +=的圆心到直线AB.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与圆O 相切，且与椭圆C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最大值. 解：（Ⅰ）由已知得，直线AB 的方程为:1,0xy x ay a a+=+-=即：. 由1a >, 得点O 到直线AB解得a故椭圆C 的方程为 2213x y +=. ……………5分（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =±，代入2213x y +=，得y =PQ =. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆O1,=即221m k =+由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，整理得222(13)63(1)0k x kmx m +++-= 所以22222223612(13)(1)12(13)24,k m k m k m k ∆=-+-=+-= 由0,∆>得0k ≠，设点1122(,),(,)P x y Q x y ，则212122263(1),1313km m x x x x k k-+=-=++，所以PQ ｜｜222(1)2213k k k++≤+ 当且仅当2212,k k +=即1k =±时，||PQ综上所述，||PQ…………… 14分(2018年通州期末) 19．（本题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>过点()0,1-，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点(),0P m ，过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分MPN ∠ ，求m 的值．19.解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，过点()0,1-，离心率2e =，所以1b =，c a =……………………2分所以由222a b c =+，得22.a =……………………3分所以椭圆C 的标准方程是22 1.2x y +=……………………4分（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是(1)y k x =-.联立方程组()221,1,2y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得()2222124220.k x k x k +-+-=显然0.∆>设点()11,P x y ，()22,Q x y ，所以2122412k x x k +=+，212222.12k x x k-⋅=+……………………7分因为x 轴平分MPN ∠，所以MPO NPO ∠=∠. 所以0.MP NP k k +=……………………9分所以12120.y y x m x m+=--所以()()12210.y x m y x m -+-= 所以()()()()1221110.k x x m k x x m --+--= 所以()()1212220.k x x k km x x km ⋅-+++=所以()2222224220.1212k k k k km km k k-⋅-++=++ 所以2420.12k kmk-+=+ 所以420.k km -+=……………………12分因为0k ≠，所以 2.m =……………………13分(2018年房山期末) （19）（本小题14分）已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左顶点为()0,2-A ，且过点2⎛ ⎝⎭1，.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）若直线1:-=ty x l 交椭圆C 于1122(,),(,)P x y Q x y ．（i ）求证：12234y y t =-+；（ii ）若△APQ 的面积为45，求t 的值．（19）解：（Ⅰ）由题：2=a又过点（231，），143412=+∴b1=∴b 222b a c -= 3=∴c 23==∴a c e 1422=+∴y x …………………5分（Ⅱ）（1）由题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14122y x ty x 整理得：032)4(2=--+ty y t 43,42221221+-=+=+∴t y y t y y 43221+-=∴t y y …………………9分（2）由题，直线l ：1-=ty x 恒过）（0,1-.设直线l 与x 轴交于点M ，则M ）（0,1- 1|AM |=∴412)42(4)(|y -y |2222122121+++=-+=t t y y y y ||||2121y y AM S APQ -⋅=∴∆=21∴412)42(222+++t t =54 4247110t t ∴+-=21,t ∴=或211-()4t =舍 1±=∴t …………………14分19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且直线1l 与2l 的斜率互为相反数，直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 的斜率为1k ，直线BF 的斜率为2k .证明：12k k +为定值．解：（Ⅰ）由题意得22222,111.2c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得a =1b =，1c =．故椭圆C 的方程为2212x y +=． ……………… 5分（Ⅱ）证明：由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =+，直线2l 的方程为y kx =-，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)E x y ，33(,)F x y --，则1323121323y y y y k k x x x x -++=+-+ 13231323(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=+-+ 21212313232()2[]()()x x x x x k x x x x +++=-+．由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k -+=+，21222212k x x k -=+．由22,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)2k x +=，所以232212x k =+．所以2221212322244442()20121212k k x x x x x k k k --+++=++=+++．所以2121231213232()2[]0()()x x x x x k k k x x x x ++++==-+．故12k k +为定值，定值为0. ………………14分（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，长轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点M 是以长轴为直径的圆O 上一点，圆O 在点M 处的切线交直线3x =于点N ．求证：过点M 且垂直于直线ON 的直线l 过椭圆C 的右焦点．解：（Ⅰ）由题意得23a c a⎧=⎪⎨=⎪⎩解得1c =．所以2222b a c =-=．所以椭圆C 的方程为22132x y +=． ………5分（Ⅱ）由题意知，圆O 的方程为223x y +=．设(3,)N t ，00(,)M x y ， 22003x y +=．由22||3||ON MN =+，得22220033(3)()+t x y t =+-+-，即2222000093692t x x y ty t +=+-++-+，即2200003620x x y ty +-+-=．因为22003x y +=，所以00330x y t +-=．当0t =时，01x =，直线l 的方程为1x =，直线l 过椭圆C 的右焦点(1,0)F ．当0t ≠时，直线MN 的方程为003()y y x x t-=--，即0033ty ty x x -=-+，即3(1)ty x =--，直线l 过椭圆C 的右焦点(1,0)F ．综上所述，直线l 过椭圆C 的右焦点(1,0)F ． ………14分(2018年海淀一模) （19）（本小题14分）已知椭圆C 的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 是椭圆C 的右顶点，过点1F 的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =-分别交于M 、N 两点. 求证：点1F 在以MN 为直径的圆上.19．解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>> ，则222112c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩ .…………………….…2分得2,a b == .…………………….…4 ，所以椭圆方程为221.43x y += .…………………….…5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(2,0)A .当直线PQ 不存在斜率时，可得33(1,),(1,)22P Q --- 直线AP 方程为()122y x =--，令4,x =-得(4,3)M -,同理，得(4,3)N --. 所以()()113,3,3,3F M F N =-=--,得110FM F N ⋅=. 所以190MF N ∠=︒,1F 在以MN 为直径的圆上. .…………………….…7分当直线PQ 存在斜率时，设PQ 方程为()1y k x =+ ，()11,y x P 、()22,y x Q .由()221143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22223484120k x k x k +++-=.显然0∆>,221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++, .…………………….…8分直线AP 方程为11(2)2y y x x =--，得116(4,)2y M x --- ,同理，226(4,)2y N x ---. .…………………….…9分所以12111266(3,),(3,)22y y F M F N x x --=-=---.121112369(2)()y y F M F N x x ⋅=+--2 .…………………….…10分因为()()11221,1y k x y k x =+=+所以2121212123636(1)(1)(2)()(2)()y y k x x x x x x ++----=22 .…………………….…11分 ()()212121212222222222223612()441283436()3441216121634936369k x x x x x x x x k k k k k k k k k k k +++=-++--+++=-++++-⋅==-所以110FM F N ⋅= ..…………………….…13分所以90MFN ∠=︒,F 在以MN 为直径的圆上. .…………………….…14分综上，F 在以MN 为直径的圆上.(2018年西城一模) 19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，以椭圆C的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求点B 横坐标的取值范围．解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =ab =222a b c =+． [ 3分] 解得 2a =，b =所以椭圆C 的方程为 22142x y +=． [ 5分]（Ⅱ）“椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ，使得0PA PB −−→−−→⋅=成立”． [ 6分]依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则2224m n +=， [ 7分] 且 (2,)(,)0m n t m n --⋅--=，即 2(2)()0m t m n --+=． [ 9分]将 2242m n -=代入上式，得 2(2)()204m m t m ---+=． [10分] 因为 22m -<<，所以 202mt m +-+=，即 22m t =+． [12分] 所以 2222t -<+<，解得 20t -<<，所以点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． [14分](2018年丰台一模) （19）（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为)0,3(F ，点(2,0)A -在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程与离心率；（Ⅱ）设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．解：（Ⅰ）依题意，c =……………………1分点(2,0)A -在椭圆C 上．所以2=a ． ……………………2分所以2221b a c =-=． ……………………3分所以椭圆C 的方程为1422=+y x ． ……………………4分离心率23==a c e ． ……………………5分（Ⅱ）因为D ，E 两点关于原点对称，所以可设(,)D m n ，(,)E m n --，(2)m ≠± ……………………6分所以1422=+n m ． ……………………7分直线AD ：(2)2ny x m =++．当0=x 时，22+=m n y ，所以)22,0(+m nM ． ……………………8分直线AE ：(2)2ny x m -=+-+．当0=x 时，22+--=m n y ，所以)22,0(+--m nN ． ……………………9分设以MN 为直径的圆与x 轴交于点0(,0)G x 和0(,0)H x -,（00x >），所以，02(,)2n GM x m =-+，02(,)2nGN x m -=--+， ……………………10分所以220244n GM GN x m -⋅=+-．因为点G 在以MN 为直径的圆上，所以0GM GN ⋅=，即2202404n x m-+=-． ……………………12分因为1422=+n m ，即2244m n -=，所以22202244144n m x m m-===--，所以01x =． ……………………13分所以(1,0)G ，(1,0)H -．所以2GH =．所以以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值2． ……………………14分(2018年石景山一模) 19．（本小题共13分）已知椭圆E :22221x y a b +=(0)a b >>的离心率e =（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若,C D 分别是椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆E 于点P ．证明：OM OP ⋅为定值（O 为坐标原点）．（Ⅰ）解：因为2c = 所以c = ………………1分因为c e a ==b c ==． ………………3分因为222a b c =+，所以24a =． ………………4分所以椭圆方程为22142x y +=． ………………5分（Ⅱ）方法一：证明：C (－2，0)，D (2，0)，设()()0112,,,M y P x y ，则OP uu u r ＝()11,x y ，OM uuu r＝()02,y ． ………………7分直线CM ：()024y y x =+，即0042y y y x =+． ………………8分代入椭圆方程2224x y +=，得222200011140822y x y x y ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，所以()()22001220048281288y y x y y --=-⨯=-++． ………………10分所以012088y y y =+．所以OP uu u r ＝()2002200288,88y y y y ⎛⎫- ⎪-⎪++⎝⎭． ………………12分所以OP uu u r ·OM uuu r ＝()2220002220004884324888y y y y y y -+-+==+++．即OM uuu r ·OP uu u r为定值． ………………13分方法二：设(,),(2,)P x y M t ，由CP CM λ=uu r uuu r 可得24y t x =+，即42y t x =+. ∵点(,)P x y 在22142x y +=上∴2242(4)y x =-.∴2OM OP x ty ⋅=+u u u r u u u r 242(2)(2)22422y x x x x x x+-=+=+=++.∴OM OP ⋅uuu r uu u r为定值4.方法三：因为直线CM 不在x 轴上，故可设:2CM l x my =-.由221422x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(2)40m y my +-=， ∴222424,22P P m m y x m m -==++，即222244(,)22m mP m m -++．在直线2x my =-中令2x =，则4M y m =，即4(2,)M m． ∴2224816422m OM OP m m -⋅=+=++uuu r uu u r .∴OP OM ⋅uu u r uuu r为定值4.(2018年房山一模) （19）（本小题13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>过点()0,1-，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F ()1,0作斜率为()0k k ≠的直线l ，l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若线段MN 的垂直平分线交x 轴于点P，求证：|||MN PF =．（19）（Ⅰ）根据题意22212b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=…………5分（Ⅱ）设直线l 的方程为(1)y k x =-由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得 2222(21)4220k x k x k +-+-=由0∆>得k R ∈且0k ≠设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点00(,)Q x y 那么2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+212000222,(1)22121x x k kx y k x k k +-===-=++ 设(,0)P p ，根据题意PQ MN ⊥所以20202121221ky k k x p kp k -+==---+，得2221k p k =+ 所以22221||12121k k PF k k +=-=++||MN =22)21k k +=+|||MN PF = …………14分(2018年顺义一模)20.（本小题满分14分）已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x E ，两点()3,01P ，⎪⎭⎫⎝⎛-23,12P 在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆E 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）设直线l 不经过点()3,01P 且与椭圆E 相交于N M ,两点，直线M P 1与直线N P 1的斜率分别为21,k k ，若321-=+k k .求证：直线l 恒过某定点.解：（1）∵椭圆()01:2222>>=+b a b y a x E ，过点()3,01P ，⎪⎭⎫⎝⎛-23,12P，∴b =分 ∴2191143a +⋅=，解得24,2a a ==，∴1c =-----------3分因此椭圆E 的方程为22143x y +=，交点坐标为12(1,0),(1,0)F F - -----------5分（2） ①当直线l 斜率不存在时，设l ：(0)x t t =≠， (,),(,)M M M t y N t y -则12M M y y k k t t-+=+=2t =，此时直线过椭圆的右顶点，不存在两个交点，所以这种情况不成立 --------------------6分 ②当直线l 斜率存在时，设l：1122((,),(,)y kx m m M x y N x y =+由题意可知，0,k m ≠≠120,0x x ≠≠. 联立方程223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=∴21212228412,(3434km m x x x x m k k-+=-=≠++ .-----------------------9分则121212y y k k x x +=+21212112()()x kx m x kx m x x +++=（2018年朝阳二模）（19）（本小题满分14分）已知椭圆W ：22214x y b +=(0)b >的一个焦点坐标为. （Ⅰ）求椭圆W 的方程和离心率；（Ⅱ）若椭圆W 与y 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的上方），M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求OEG ∠的大小．解：(Ⅰ)依题意，2a =，c =2221b a c =-=.则椭圆W 的方程为2214x y +=.离心率c e a ==…………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ．又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，则C 0(,1)1x y --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-， 000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-．因为点M 在椭圆W 上，则220014x y +=，所以220044x y =-．则200014(1)x OE GE y y ⋅=-+-0011y y =--+0=．因此OE GE ⊥．故90OEG ∠=． ……………14分(2018年东城二模) （20）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆C 在y 轴右侧部分上的两个动点，若原点O 到直线ABABF的周长为定值．解：（Ⅰ）由题意得221,1,2a b c a ⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得224,3.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………4分（Ⅱ）①当AB 垂直于x 轴时，AB方程为x =2A，2B -，(1,0)F ．1(42AF BF ===．因为AB =所以4AF BF AB ++=． ②当AB 不垂直于x 轴时，设AB 的方程为m kx y +=．因为原点O 到直线AB=223(1)m k =+．由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，即222(34)8120k x kmx k +++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122834km x x k -+=+，21221234k x x k =+．所以12|||AB x x =-====24||||34m k k=+．因为A ,B 在y 轴右侧，所以0mk <，所以24||34mkAB k =-+．22211221121121(1)(1)3(1)412441(2)2.AF x y x x x x x =-+=-+-=-+=- 所以11||22AF x =-，同理21||22BF x =-．所以121||||4()2AF BF x x +=-+221844()423434km kmk k -=-=+++．所以2244||||||443434km kmAF BF AB k k++=+-=++．综上，△ABF 的周长等于椭圆C 的长轴长4． ………14分(2018年海淀二模) （20）（本小题14分）已知椭圆C ：2222=+y x 的左右顶点分别为1A ，2A . （Ⅰ）求椭圆C 的长轴长与离心率；（Ⅱ）若不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线P A 1与Q A 2交于点M ，直线Q A 1与PA 2交于点N .求证：直线MN 垂直于x 轴.解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为2212x y +=, …………………1分所以1,1a b c ===. …………………2分所以长轴长为2a =，离心率2c e a == …………………4分（Ⅱ）方法1：证明：显然直线P A 1、Q A 2、Q A 1、P A 2都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线P A 1的方程为1(y k x =，Q A 2的方程为2(y k x =，……………5分联立可得2121)M k k x k k +=-. …………………6分同理可得4343)N k k x k k +=-. …………………7分下面去证明141.2k k =-设00(,)P x y ，则220022x y +=.所以22001422001222y y k k x y ====---. …………………10分同理231.2k k =- …………………11分所以1221211211222())1122N M k k k k x x k k k k --++===----. …………………13分所以直线MN 垂直于x 轴. …………………14分方法2：设直线l 方程为1122,(,),(,)y kx m P x y Q x y =+. …………………5分由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=. 当0∆>时，2121222422,1212km m x x x x k k --+==++. …………………7分直线1A P方程为y x =+，直线2A Q方程为y x =，…………………8分x x =，得x =21121221[((((y x y x x y x y x -=+ …………………9分其中，21122112((()(()(y x y x kx m x kx m x -=+-+1212()()x x m x x ++-+122121224()12()()12kmm x x km x x m x x k-=+-++=+-=+-+…………………11分12211221(()(()(y x y x kx m x kx m x ++++1212212()()kx x m x x x x =++-221222121222242()12124()12()12m km k m x x k k k x x kx x k--=++-++-=+-+=+-+ …………………12分所以2M kx m-=，即点M 的横坐标与,P Q 两点的坐标无关，只与直线l 的方程有关. …………………13分所以2N M kx x m-==，直线MN 垂直于x 轴. …………………14分(2018年西城二模). 20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>(0,1)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y x =与椭圆C 交于A ，B 两点，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与直线y x =交于点P （点P 与点A ，B ，M ，N 不重合）．（ⅰ）当1k =-时，证明：||||||||PA PB PM PN =；（ⅱ）写出||||||||PA PB PM PN 以k 为自变量的函数式（只需写出结论）．(2018年丰台二模) （20）（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，过右焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点P 的坐标为(4,3)，记直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当247MN =时，求直线l 的斜率；（Ⅲ）求证：21k k +为定值．（Ⅰ）解：依题意 24a =，所以 2a =． …………………1分因为 12c e a ==，所以 1c =． …………………2分所以 23b =， …………………3分所以椭圆C 的方程为 22143x y +=． …………………4分（Ⅱ）解：椭圆得右焦点(1,0)F ．当直线l 的斜率不存在时，不妨取3(1,)2M ，3(1,)2N -，3MN =，不合题意． …………………5分当直线l 的斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ． …………………6分联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消y 得 2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，0∆>成立． …………………7分所以2122834kx xk+=+，21224(3)34kx xk-=+．…………………8分因为247MN==，…………………9分247=，所以2212347kk+=+，所以1k=±．…………………10分（Ⅲ）证明：当直线l的斜率不存在时，不妨取3(1,)2M，3(1,)2N-，此时123922233k k+=+=．…………………11分当直线l的斜率存在时，设直线l：(1)y k x=-，11(,)M x y，22(,)N x y．此时21211221221121)(416)4)(3()4)(3(4343xxxxxyxyxyxykk++---+--=--+--=+．分子化为21122121)(4)(324yxyxyyxx+++-+-248))(53(22121++++-=kxxkxkx．所以222222222143)3(4438416248438)53(43)3(42kkkkkkkkkkkkk+-++⨯-+++⨯+-+-⨯=+)3(8)43(4)43)(3(2)53(2)3(2222222-+-+++++--⨯=kkkkkkkkk299181822=++=kk．综上所述，12k k+为定值2．…………………14分(2018年昌平二模)19. (本小题14分)已知椭圆()2222:10x yE a ba b+=>>的经过点(0,1).（I）求椭圆E的标准方程；（II）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆交于,A B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点(0)M m，，求实数m的取值范围.解：（Ⅰ）由题意，得2221b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆E 的标准方程是2212x y +=． -------------------5分（II ）（1）当直线x AB ⊥轴时，m = 0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，由22(1)220y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，得()()2222124210kxk x k +-+-=，由2222(4)8(12)(1)0k k k ∆=--+->，得k ∈R ．设()11,x y A ，()22,x y B ，则2212122242(1)1212k k x x x x k k -+=⋅=++，．所以121222(2)12k y y k x x k-+=+-=+，所以线段AB 中点C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．由题意可知，0k ≠，故直线C M 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令x = 0，212k y k =+，即212k m k =+当k > 0时，，得210=1122k m k k k<=≤++，当且仅当k =时“=”成立．同理，当 k < 0时，210=11242k m k kk>=≥-++，当且仅当k =时“=”成立．综上所述，实数m的取值范围为⎡⎢⎣⎦．--------------------14分(2018年房山二模) （19）（本小题14分）椭圆()222210+=>>：x y C a b a b的离心率为12，O 为坐标原点，F 是椭圆C 的右焦点，A 为椭圆C 上一点，且⊥AF x 轴，AFO ∆的面积为34．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过C 上一点()()000,0≠P x y y 的直线l ：00221x x y y a b +=与直线AF 相交于点M ，与直线4x =相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MFNF 恒为定值，并求此定值．（19）（Ⅰ）设(,0)F c ，(,)A c d 则22221c d a b+= 又12c a =||d ∴=，因AFO ∆ 的面积为341133||,224c d c b bc ∴===由2222ab c a c bc ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以C 的方程为22143x y += …………5分（Ⅱ）由(1)知直线l 的方程为00143x x y y += (y 0≠0)，即y ＝001234x x y - (y 0≠0)．因为直线AF 的方程为x ＝1，所以直线l 与AF 的交点为M 00123(1,)4x y -，直线l 与直线x ＝4的交点为N 0(4,33)x -，则|MF |2|NF |2＝202002220000123()4(4)331616(1)9()x y x x y x y --=-+-+ 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则2200143x y +=.2200334x y =- 代入上式得|MF |2|NF |2＝2220002222000000(4)(4)(4)1148121632164(816)4(4)4x x x x x x x x x ---====-+-+-+- 所以|MF ||NF |=12，为定值． …………14分(2018年顺义二模)20．（本小题满分13分）已知椭圆22:143x y G +=的左焦点为F ，左顶点为A ，离心率为e ，点()(),02M t t <-，满足条件FA e AM =．（1）求实数t 的值．（2）设过点F 的直线与椭圆G 交于P ，Q 两点，记M PF 和MQF 的面积分别为1S ，2S ，若12=2S S ，求直线l 的方程．【解析】（1）椭圆22:143x y G +=， ∴2a =，b =1c =，则12c e a ==， 1FA a c =-=，2AM t =--， ∵12FAe AM ==， ∴22AM t =--=，解得4t =-．（2）若直线l 的斜率不存在，则有12S S =，不符合题意；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =+，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得()22224384120k x k x k +++-=，则2122843k x x k -+=+，212241243k x x k -=+， ()()121211y y k x k x +=+++()122k x x k =++228243k k k k -=⨯++ 2643k k =+， ()()121211y y k x k x =+⋅+()212121k x x x x =+++22222412814343k k k k k ⎛⎫--=++ ⎪++⎝⎭ 22943k k -=+， ∵M PF 和MQF 的面积分别为1112S MF y =，2212S MF y =， ∴1112222y S y S y y ==-=，即122y y =-， ∴122y y y +=-，()221221222y y y y y =-=-+，则22229624343k k k k -⎛⎫=-⨯ ⎪++⎝⎭，整理得28143k =+，解得k =，故直线l 的方程为)1y x =+或)1y x =+．。

圆锥曲线高考题全国卷真题汇总

2 0 1 8 ( 新课标全国卷 2 理科 )5．双曲线 x 2 y 2= 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为a 2b 22 3A ． y = 士 2xB ． y = 士 3xC ． y = 士 xD ． y = 士 x2 212．已知 F 1， F 2 是椭圆 C ：a x 22 +b y 22=1 (a > b > 0) 的左，右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 63的直线上， △PF 1F 2 为等腰三角形，三 1F F 2 P = 120O ，则 C 的离心率为2A ．3 1 B ．21 C ．31 D ．419．(12 分)设抛物线 C ： y 2 = 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k > 0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， | AB| = 8． (1)求 l 的方程；(2)求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．2018 (新课标全国卷 2 文科)6．双曲线x 2 y 2= 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a 2 b 2A ． y = 士 2xB ． y = 士 3x2C ． y = 士 x23D ． y = 士 x211．已知 F ， F 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF 」PF ，且三PF F = 60O ，则 C 的离心率为3A ． 12B ． 2 3C ． 3 12D ． 3 120． ( 12 分) 设抛物线 C ： y 2 = 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k > 0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，| AB | = 8．(1)求 l 的方程；(2)求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．2018 (新课标全国卷 1 理科)28．设抛物线 C ： y 2=4x 的焦点为 F ，过点( –2， 0)且斜率为的直线与 C 交于 M ， N 两点，则FM . FN =3A ． 5B ． 6C ． 7D ． 823为 M 、N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|=3A ．B ． 3C ． 2 3D ． 4219． (12 分) 设椭圆 C : x 2+ y 2 = 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点，点 M 的坐标为 (2,0) .2x 11．已知双曲线 C ： y 2 = 1， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别 1 2 1 2 2 1(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：三OMA = 三OMB .2018 (新课标全国卷 1 文科)4．已知椭圆 C ： x 2 + y 2= 1的一个焦点为(2，0) ，则 C 的离心率为a 2 41 A ．31 B ．2C ．2 22 2 D ．315．直线 y = x +1 与圆 x 2 + y 2 + 2y - 3 = 0 交于 A ， B 两点，则 AB = ________． 20．(12 分)设抛物线 C ： y 2 = 2x ，点 A (2， 0)， B (-2， 0) ，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M ， N 两点． (1)当 l 与x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明： ∠ABM = ∠ABN ．2018 (新课标全国卷 3 理科)6．直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆 (x - 2)2 + y 2 = 2 上，则 △ABP 面积的取值范围是A ． [2， 6]B ． [4， 8]C ． 2，3 2D ． 2 2，3 2 11．设 1F ， F 2 是双曲线 C ： a x 22 - b y 22= 1 ( a > 0，b > 0 ) 的左、右焦点， O 是坐标原点．过 F 2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若 PF = 6 OP ，则 C 的离心率为1A ． 5B ． 2C ． 3D ． 2 20．(12 分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆C ：x 2+ y 2= 1交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M (1， m)(m > 0)． 4 3(1)证明： k < - 1；2(2) 设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点,且 FP+ FA+ FB = 0 ．证明： FA ， FP ， FB 成等差数列，并求该数列的公差．2018 (新课标全国卷 3 文科)8．直线 x + y +2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆 (x - 2)2 + y 2 = 2 上，则 △ABP 面积的取值范围是A ． [2,6]B ． [4,8]C ． [ 2, 3 2]D ． [2 2 ,3 2 ]10．已知双曲线 C ： x 2 一 y 2= 1(a > 0，b > 0) 的离心率为 2 ，则点 (4,0) 到C 的渐近线的距离为a 2b 23 2A ． 2B ． 2C ．D ． 2 2220．(12 分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆C ： x 2 + y 2= 1 交于 A ， B 两点．线段 AB 的中点为 M (1, m)(m > 0)．4 3 1(1)证明： k 想一；2(2)设 F 为C 的右焦点， P 为C 上一点，且 FP + FA + FB = 0．证明： 2 | FP |=| FA |+ | FB |．2017 (新课标全国卷 2 理科)9.若双曲线 C : x 22一 1(a > 0,b > 0) 的一条渐近线被圆 (x 一 2)2 + y 2 = 4所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为( ) .2 3A ． 2B ． 3C ． 2D ．316.已知 F 是抛物线 C : y 2 = 8x 的焦点， M 是C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N ．若 M 为 FN 的中点，则 FN = ．20. 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C : x 2 + y 2= 1 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N ，点 P 满足2NP = 2NM .(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x = 一3 上，且OP . PQ = 1 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F .2017 (新课标全国卷 2 文科)x 2 2A. ( 2，+w)B. ( 2，2)C. (1, 2)D. (1，2)12.过抛物线 C : y 2 = 4x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交 C 于点 M ( M 在 x 轴上方)， l 为 C 的准线，点N 在 l 上且 MN 」l ，则 M 到直线 NF 的距离为( ) .A. 5B. 2 2C. 2 3D. 3 320.设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C :x 2+ y 2 = 1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N ， 25.若 a >1 ，则双曲线 a2 一 y = 1 的离心率的取值范围是( ) .a b点 P 满足 NP = 2NM . (1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x = 一3 上，且 OP . PQ = 1 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F .2017 (新课标全国卷 1 理科)10.已知 F 为抛物线C ： y 2 = 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l 1， l 2，直线l 1 与 C 交于 A ， B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ， E 两点，则 AB + DE 的最小值为( ) .A ． 16B ． 14C ． 12D ． 10 15.已知双曲线 C :x 2 一 y 2= 1(a > 0,b > 0) 的右顶点为 A ，以 A 为圆心， b 为半径做圆 A ，圆 A 与双曲线 C a 2 b 2的一条渐近线交于 M ， N 两点.若三MAN = 60 ，则 C 的离心率为________.20.已知椭圆 C : a x 22 + b y 22=1(a > b > 0)，四点 1P (1，1)， 2P (0，1)， 3P (||( – 1， 23 ))||， 4P (||(1， 23 ))|| 中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程；(2) 设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ， B 两点.若直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率的和为 – 1，证明： l 过定.2017 (新课标全国卷 1 文科)5.已知 F 是双曲线 C : x 2一 y 2= 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PE 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1, 3)，则3△APF 的面积为( ) .1 12 3A ．B ．C ．D ．3 2 3 2x 2 y 2围是( ) .A 20.设 A ，B 为曲线C : y = x 2上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4.4(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点， C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM 」BM ，求直线 AB 的方程. . (0,1] [9, +w ) B. (0, 3 [9, +w ) C. (0,1] [4, +w) D. (0, 3 [4, +w )点 12.设 A ， B 是椭圆C : + = 1 长轴的两个端点，若C 上存在点 M 满足三AMB = 120 ，则 m 的取值范3 m2017 (新课标全国卷 3 理科)5.已知双曲线 C ： C :x 2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程为 y = 5x ，且与椭圆 a 2 b 2 2x 2 y 2+ = 1 有公共焦点，则 C 的方程为( 12 3) .x 2 y 2A ． = 18 10x 2 y 2B ． = 14 5x 2 y 2C ． = 15 4x 2 y 2D ． = 14 310. 已知椭圆 C : a x 22 + b y 22= 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A 1， A 2，且以线段 A 1A 2 为直径的圆与直线bx ay + 2ab = 0 相切，则 C 的离心率为( ) .A ．6 3 B ．3 3 C ．2 31 D ．320．已知抛物线 C ： y 2 = 2x ，过点(2，0) 的直线 l 交 C 与A ， B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4，2) ，求直线 l 与圆 M 的方程．2017 (新课标全国卷 3 文科)11.已知椭圆 C : a x 22 + b y 22= 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A 1， A 2，且以线段 A 1A 2 为直径的圆与直线bx ay + 2ab = 0 相切，则 C 的离心率为( ) .2 313x 2 y 2 3a 2 9 520．在直角坐标系 xOy 中，曲线 y = x 2 + mx – 2 与 x 轴交于 A ， B 两点，点 C 的坐标为(0，1) . 当 m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现 AC 」BC 的情况？说明理由；(2)证明过 A ， B ， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 .2016 (新课标全国卷 2 理科)(4)圆 x 2 + y 2 2x 8y +13 = 0 的圆心到直线 ax + y 1 = 0 的距离为 1，则 a= ( )3 36 314.双曲线 = 1(a > 0) 的一条渐近线方程为 y = x ，则 a = .D ． C ．B ． A ．|DE|= 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为(C ) 3 (D ) 24x 2 y 2a bsin 三MF 2 F 1 = 3, 则 E 的离心率为( )3220. (本小题满分 12 分)已知椭圆 E: x 2 + y 2= 1 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点，斜率为 k (k > 0) 的直线交 E 于 A , M 两点，点t 3N 在 E 上， MA 」NA ．(Ⅰ)当 t = 4,| AM |=| AN | 时，求编AMN 的面积； (Ⅱ)当 2 AM = AN 时，求 k 的取值范围．2016 (新课标全国卷 2 文科)(5) 设 F 为抛物线 C ： y 2=4x 的焦点，曲线 y= (k> 0)与 C 交于点 P ， PF ⊥x 轴，则 k= ( )x1 3(A) (B) 1 (C) (D) 22 2(6) 圆 x 2+y 2?2x?8y+13=0 的圆心到直线 ax+y?1=0 的距离为 1，则 a= ( )4(A) ?3 3(B) ?4(C)3(D) 2(21)(本小题满分 12 分)已知 A 是椭圆 E ： + = 1 的左顶点，斜率为 k (k ＞0) 的直线交 E 与 A ， M 两点，点 N 在 E 上，4 3MA 」NA .(Ⅰ)当 AM = AN 时，求编AMN 的面积； (Ⅱ)当 AM = AN 时，证明： 3 < k < 2 .2016 (新课标全国卷 1 理科)(5)已知方程–3m yn =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是(A) ( – 1,3) (B) ( – 1, 3) (C) (0,3) (D) (0, 3)(10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A 、B 两点，交 C 的标准线于 D 、E 两点 . 已知|AB|= 4 2 ， (11) 已知 F 1 , F 2 是双曲线 E : 2 _ 2= 1 的左，右焦点，点 M 在 E 上， MF 1 与 x 轴垂直，(A ) 2 (B ) (C ) 3 (D ) 2 (A ) _(B ) _x 2 y 2 k 4331(A)2 (B)4 (C)6 (D)820. (本小题满分 12 分)理科设圆x2 + y2 + 2x 15 = 0 的圆心为 A，直线 l 过点 B (1,0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B 作AC 的平行线交 AD 于点 E.(I)证明EA + EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(II)设点 E 的轨迹为曲线 C1 ，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .2016 (新课标全国卷 1 文科)1(5)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的4，则该椭圆的离心率为1 12 3(A) (B) (C) (D)(15)设直线 y=x+2a 与圆 C： x2+y2-2ay-2=0 相交于 A， B 两点，若，则圆 C 的面积为 . (20)(本小题满分 12 分)在直角坐标系xOy 中，直线l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2 = 2px(p > 0) 于点 P， M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H.OH(I)求；ON(II)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由 .2016 (新课标全国卷 3 理科)(11)已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C：x2a2+y2b2= 1(a > b > 0) 的左焦点， A， B 分别为 C 的左，右顶点 .P 为 C上一点，且PF 」x 轴.过点 A 的直线 l 与线段PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为1 (A)31(B)22(C)33(D)4(16)已知直线l：mx + y + 3m 3 = 0 与圆x2 + y2 = 12 交于A, B 两点，过A, B 分别做l 的垂线与x 轴交于C, D 两点，若AB = 2 3 ，则| CD |= __________________.(20)(本小题满分 12 分)已知抛物线C：y2 = 2x 的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1 , l2 分别交C 于A， B 两点，交C 的准线于P， Q 两点．(I)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ；(II)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程 .2016 (新课标全国卷 3 文科)3 2 3 4(12)已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ： x 2 + y 2= 1(a > b > 0) 的左焦点， A ， B 分别为 C 的左，右顶点 .P 为a 2b 2C 上一点，且 PF 」x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为1 (A)31 (B)22 (C)33 (D)4( 15) 已知直线 l ： x 3y + 6 = 0 与圆x 2 + y 2 = 12 交于 A, B 两点，过 A, B 分别作l 的垂线与x 轴交于C, D 两点，则 | CD |= _____________ .(20)(本小题满分 12 分)已知抛物线 C ： y 2 = 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l 1 , l 2 分别交 C 于 A ， B 两点，交 C 的准线于 P ， Q 两点．(I)若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ； (II)若PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 .2015 (新课标全国卷 2)(11) 已知 A ， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ?ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为(A ) √ 5 (B) 2 (C ) √3 (D ) √2(15)已知双曲线过点(4， ,3)，且渐近线方程为 y = 士 x ，则该双曲线的标准方程为 2。

2012~2018年高考极坐标圆锥曲线真题学生版

2012~2018极坐标圆锥曲线文科真题目录极坐标文科部分： (1)2018高考真题 (1)一．解答题 (1)2017高考真题 (3)一．解答题（共4小题） (3)2016高考真题 (5)一．解答题 (5)2015高考真题 (7)一．填空题 (7)二．解答题 (7)2014高考真题 (10)一．填空题 (10)二．解答题 (10)2013高考真题 (12)一．填空题 (12)二．解答题 (12)2012高考真题 (15)一．填空题 (15)二．解答题 (15)圆锥曲线部分： (17)2018高考真题 (17)一．选择题 (17)二．填空题 (18)三．解答题 (19)2017高考真题 (25)一．选择题 (25)二．填空题 (26)三．解答题 (27)2016高考真题 (33)一．选择题 (33)二．填空题 (34)三．解答题 (35)2015高考真题 (43)一．选择题 (43)二．填空题 (45)三．解答题 (47)2014高考真题 (59)一．选择题 (59)二．填空题 (61)三．解答题 (62)2013高考真题 (75)一．选择题 (75)二．填空题 (78)三．解答题 (80)2012高考真题 (93)一．选择题 (93)二．填空题 (95)三．解答题 (97)极坐标文科部分：2018高考真题一．解答题（共6小题）1．（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y=k |x |+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．2．（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =4sinθ，（θ为参数），直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =2+tsinα，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率．3．（2018•新课标Ⅰ）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为{x =cosθy =sinθ，（θ为参数），过点（0，﹣√2）且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．4．（2018•江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin （π6﹣θ）=2，曲线C 的方程为ρ=4cosθ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．2017高考真题一．解答题（共4小题）1．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ，（θ为参数），直线l 的参数方程为 {x =a +4t y =1−t ，（t 为参数）．（1）若a=﹣1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为√17，求a ．2．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |•|OP |=16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为（2，π3），点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．3．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =2+t y =kt ，（t为参数），直线l 2的参数方程为{x =−2+m y =m k，（m 为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ（cosθ+sinθ）﹣√2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．4．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =−8+t y =t 2（t 为参数），曲线C 的参数方程为{x =2s 2y =2√2s（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．2016高考真题一．解答题（共4小题）1．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =acost y =1+asint （t为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅰ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．2．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x +6）2+y 2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅰ）直线l 的参数方程是{x =tcosαy =tsinα（t 为参数），l 与C 交与A ，B 两点，|AB |=√10，求l 的斜率．3．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =1+12ty =√32t （t 为参数），椭圆C 的参数方程为{x =cosθy =2sinθ（θ为参数），设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．4．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）=2√2．（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．2015高考真题一．填空题（共2小题）1．（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为{x=t2y=2√2t（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为．2．（2015•湖南）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为．二．解答题（共4小题）3．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅰ）若直线C3的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．4．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =tcosαy =tsinα（t 为参数，t ≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2√3cosθ．（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．5．（2015•江苏）已知圆C 的极坐标方程为ρ2+2√2ρsin （θ﹣π4）﹣4=0，求圆C的半径．6．（2015•陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+12ty =√32t（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2√3sinθ．（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅰ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．2014高考真题一．填空题（共4小题）1．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程{x =1−√22ty =2+√22t（t 为参数），直线l 与抛物线y 2=4x 相交于AB 两点，则线段AB 的长为． 2．（2014•广东）在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为．3．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，曲线C ：{x =2+√22ty =1+√22t（t 为参数）的普通方程为．4．（2014•陕西）在极坐标系中，点（2，π6）到直线ρsin(θ−π6)=1的距离是．二．解答题（共3小题）5．（2014•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，π2]（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅰ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D 处的切线与直线l ：y=√3x +2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD 的倾斜角及D 的坐标．6．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：x24+y29=1，直线l：{x=2+ty=2−2t（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅰ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．7．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅰ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．2013高考真题一．填空题（共3小题）1．（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为．2．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：{x =2s +1y =s （s 为参数）和直线l 2：{x =aty =2t −1（t 为参数）平行，则常数a 的值为． 3．（2013•陕西）（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线{x =t 2y =2t（t 为参数）的焦点坐标是．二．解答题（共4小题）4．（2013•新课标Ⅰ）已知曲线C 1的参数方程为{x =4+5costy =5+5sint （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．5．（2013•新课标Ⅰ）已知动点P 、Q 都在曲线C ：{x =2cosβy =2sinβ（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．6．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t +1y =2t （为参数），曲线C 的参数方程为{x =2t 2y =2t（t 为参数）．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．7．（2013•辽宁）在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ−π4）=2√2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅰ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为{x=t3+ay=b2t3+1（t∈R为参数），求a，b的值．2012高考真题一．填空题（共4小题）1．（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P 的位置在（0，0），圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，OP →的坐标为．2．（2012•广东）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为{x =√5cosθy =√5sinθ（θ为参数，0≤θ≤π2）和{x =1−√22t y =−√22t（t 为参数），则曲线C 1和C 2的交点坐标为．3．（2012•湖南）在极坐标系中，曲线C 1：ρ（√2cosθ+sinθ）=1与曲线C 2：ρ=a （a ＞0）的一个交点在极轴上，则a= ．4．（2012•陕西）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．二．解答题（共3小题）5．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosφy =3sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，π3）．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为C 1上任意一点，求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围．6．（2012•辽宁）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中，圆C 1：x 2+y 2=4，圆C 2：（x ﹣2）2+y 2=4．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅰ）求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．7．（2012•江苏）在极坐标中，已知圆C 经过点P （√2，π4），圆心为直线ρsin （θ﹣π3）=﹣√32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．圆锥曲线部分：2018高考真题一．选择题（共10小题）1．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（） A ．13B ．12C ．√22D ．2√232．（2018•新课标Ⅰ）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A ．y=±√2xB ．y=±√3xC ．y=±√22xD ．y=±√32x3．（2018•新课标Ⅰ）已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°，则C 的离心率为（）A ．1﹣√32B ．2﹣√3C ．√3−12D ．√3﹣14．（2018•浙江）双曲线x 23﹣y 2=1的焦点坐标是（）A ．（﹣√2，0），（√2，0）B ．（﹣2，0），（2，0）C ．（0，﹣√2），（0，√2） D ．（0，﹣2），（0，2）5．（2018•新课标Ⅰ）直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是（） A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[√2，3√2]D ．[2√2，3√2]6．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√2，则点（4，0）到C 的渐近线的距离为（） A ．√2B ．2C ．3√22D ．2√27．（2018•上海）设P 是椭圆x 25+y 23=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（） A ．2√2B ．2√3C ．2√5D ．4√28．（2018•天津）已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为（）A ．x 23﹣y 29=1B ．x 29﹣y 23=1 C ．x 24﹣y 212=1 D ．x 212﹣y 24=19．（2018•全国）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1过点（﹣4，35）和（3，﹣45），则椭圆离心率e=（）A ．2√65B ．√65C ．15D ．2510．（2018•全国）过抛物线y 2=2x 的焦点且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则OM →•ON →=（）A ．34B ．14C ．﹣14D ．﹣34二．填空题（共8小题）11．（2018•新课标Ⅰ）直线y=x +1与圆x 2+y 2+2y ﹣3=0交于A ，B 两点，则|AB |= ．12．（2018•浙江）已知点P （0，1），椭圆x 24+y 2=m （m ＞1）上两点A ，B 满足AP →=2PB →，则当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大．13．（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a ﹣y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c ，0）到一条渐近线的距离为√32c ，则其离心率的值为．14．（2018•上海）双曲线x24﹣y 2=1的渐近线方程为．15．（2018•北京）已知直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为．16．（2018•北京）若双曲线x 2a 2﹣y 24=1（a ＞0）的离心率为√52，则a= ．17．（2018•天津）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为．18．（2018•全国）坐标原点关于直线x ﹣y ﹣6=0的对称点的坐标为．三．解答题（共9小题）19．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A 的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM=∠ABN．20．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．21．（2018•浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x 上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅰ）若P是半椭圆x2+y24=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．22．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（√3，12），焦点F1（﹣√3，0），F2（√3，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为2√67，求直线l的方程．23．（2018•新课标Ⅰ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）．（1）证明：k ＜﹣12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→，证明：2|FP →|=|FA →|+|FB →|．24．（2018•上海）设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线Γ：y 2=8x （0≤x ≤t ，y ≥0）．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设t=3，|FQ |=2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设t=8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．25．（2018•北京）已知椭圆M ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，焦距为2√2．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅰ）若k=1，求|AB |的最大值；（Ⅰ）设P （﹣2，0），直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M的另一个交点为D ．若C ，D 和点Q （﹣74，14）共线，求k ．26．（2018•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，|AB |=√13．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅰ）设直线l ：y=kx （k ＜0）与椭圆交于P ，Q 两点，1与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．27．（2018•全国）双曲线x 212﹣y 24=1，F 1、F 2为其左右焦点，C 是以F 2为圆心且过原点的圆．（1）求C 的轨迹方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足F 1M →=2MP →，求M 的轨迹方程．2017高考真题一．选择题（共10小题）1．（2017•新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：x 2﹣y 23=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF 的面积为（）A ．13B ．12C ．23D ．322．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 是椭圆C ：x 23+y 2m=1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是（）A ．（0，1]∪[9，+∞）B ．（0，√3]∪[9，+∞）C ．（0，1]∪[4，+∞）D ．（0，√3]∪[4，+∞）3．（2017•新课标Ⅰ）若a ＞1，则双曲线x 2a 2﹣y2=1的离心率的取值范围是（）A ．（√2，+∞）B ．（√2，2）C ．（1，√2）D ．（1，2）4．（2017•新课标Ⅰ）过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（） A ．√5B ．2√2C ．2√3D ．3√35．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab=0相切，则C 的离心率为（）A ．√63B ．√33 C ．√23 D ．13 6．（2017•浙江）椭圆x 29+y 24=1的离心率是（）A ．√133 B ．√53 C ．23 D ．597．（2017•天津）已知双曲线x 2a 2﹣y2b2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（）A ．x 24−y 212=1B ．x 212−y 24=1 C ．x 23−y 2=1D ．x 2−y 23=18．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（） A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个9．（2017•全国）椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），点P 在C 上，F 2P=2，∠F 1F 2P =2π3，则C 的长轴长为（）A ．2B ．2√3C ．2+√3D ．2+2√310．（2017•全国）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F （c ，0），直线y=k （x ﹣c ）与C 的右支有两个交点，则（）A ．|k|＜baB ．|k|＞baC ．|k|＜caD ．|k|＞ca二．填空题（共7小题）11．（2017•新课标Ⅰ）双曲线x 2a 2−y 29=1（a ＞0）的一条渐近线方程为y=35x ，则a= ．12．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是．13．（2017•天津）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC=120°，则圆的方程为． 14．（2017•北京）若双曲线x 2﹣y 2m =1的离心率为√3，则实数m= ．15．（2017•上海）设双曲线x 29﹣y 2b2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．16．（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py （p ＞0）交于A ，B 两点，若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为．17．（2017•全国）直线x −√3y −2=0被圆x 2+y 2﹣2x=0截得的线段长为．三．解答题（共10小题）18．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 为曲线C ：y=x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．19．（2017•新课标Ⅰ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22+y 2=1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →=√2NM →．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=﹣3上，且OP →•PQ →=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．20．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线y=x 2+mx ﹣2与x 轴交于A 、B两点，点C 的坐标为（0，1），当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．21．（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．22．（2017•浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣12，14），B（32，94），抛物线上的点P（x，y）（﹣12＜x＜32），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅰ）求|PA|•|PQ|的最大值．23．（2017•天津）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为b2 2．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=32c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．24．（2017•北京）已知椭圆C 的两个顶点分别为A （﹣2，0），B （2，0），焦点在x 轴上，离心率为√32．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ．求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5．25．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．26．（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a+y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，椭圆C 截直线y=1所得线段的长度为2√2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）动直线l ：y=kx +m （m ≠0）交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．27．（2017•全国）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的中心为O，左焦点为F，左顶点为A，短轴的一个端点为B，短轴长为4，△ABF的面积为√5−1（1）求a，b；（2）设直线l与C交于P，Q两点，M（2，2），四边形OPMQ为平行四边形，求l的方程．2016高考真题一．选择题（共10小题）1．（2016•新课标Ⅰ）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．342．（2016•新课标Ⅰ）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y=k x（k ＞0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k=（）A ．12B ．1C ．32D ．23．（2016•新课标Ⅰ）圆x 2+y 2﹣2x ﹣8y +13=0的圆心到直线ax +y ﹣1=0的距离为1，则a=（）A ．﹣43B ．﹣34C ．√3D ．24．（2016•新课标Ⅰ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．345．（2016•天津）已知双曲线x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2√5，且双曲线的一条渐近线与直线2x +y=0垂直，则双曲线的方程为（）A ．x 24﹣y 2=1B ．x 2﹣y24=1C ．3x 220﹣3y 25=1D ．3x 25﹣3y 220=16．（2016•山东）已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay=0（a ＞0）截直线x +y=0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1的位置关系是（） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离7．（2016•北京）圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y=x +3的距离为（） A ．1B ．2C ．√2D ．2√28．（2016•四川）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，1）C．（2，0）D．（1，0）9．（2016•全国）设直线y=2x﹣4与双曲线C：x2﹣y2b=1的一条渐近线平行，则C的离心率为（）A．√3B．√5C．3D．510．（2016•全国）抛物线y2=14（x﹣1）的准线方程是（）A．x=0B．x=1516C．x=1D．x=1716二．填空题（共11小题）11．（2016•新课标Ⅰ）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2√3，则圆C的面积为．12．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线x27﹣y23=1的焦距是．13．（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．14．（2016•新课标Ⅰ）已知直线l：x﹣√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=．15．（2016•天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点M（0，√5）在圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为4√55，则圆C的方程为．16．（2016•天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．17．（2016•浙江）已知a ∈R ，方程a 2x 2+（a +2）y 2+4x +8y +5a=0表示圆，则圆心坐标是，半径是．18．（2016•浙江）设双曲线x 2﹣y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是．19．（2016•山东）已知双曲线E ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是．20．（2016•北京）已知双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x +y=0，一个焦点为（√5，0），则a= ，b= ．21．（2016•上海）已知平行直线l 1：2x +y ﹣1=0，l 2：2x +y +1=0，则l 1，l 2的距离．三．解答题（共12小题）22．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线l ：y=t （t ≠0）交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（Ⅰ）求|OH||ON|；（Ⅰ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．23．（2016•新课标Ⅰ）已知A 是椭圆E ：x 24+y 23=1的左顶点，斜率为k （k ＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|=|AN|时，证明：√3＜k＜2．24．（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x 2+y 2﹣12x ﹣14y +60=0及其上一点A （2，4）．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →+TP →=TQ →，求实数t 的取值范围．25．（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．（2016•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅰ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．27．（2016•天津）设椭圆x2a+y23=1（a＞√3）的右焦点为F，右顶点为A，已知1 |OF|+1|OA|=3e|FA|，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．28．（2016•浙江）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A 到y轴的距离等于|AF|﹣1，（Ⅰ）求p的值；（Ⅰ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．29．（2016•山东）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2√2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅰ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（Ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明k2k1为定值；（Ⅰ）求直线AB的斜率的最小值．30．（2016•北京）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．31．（2016•上海）双曲线x 2﹣y 2b =1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l过F 2且与双曲线交于A 、B 两点．（1）若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=√3，若l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率．32．（2016•四川）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P （√3，12）在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅰ）设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |•|MB |=|MC |•|MD |33．（2016•全国）过椭圆C ：x 225+y 29=1右焦点F 的直线l 交C 于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且A 不在x 轴上．（Ⅰ）求|y 1y 2|的最大值；（Ⅰ）若|AF||FB|=14，求直线l 的方程．2015高考真题一．选择题（共17小题）1．（2015•新课标Ⅰ）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=（） A ．3B ．6C ．9D ．122．（2015•天津）已知双曲线x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （2，0），且双曲线的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=3相切，则双曲线的方程为（）A ．x 29﹣y 213=1B ．x 213﹣y 29=1C ．x 23﹣y 2=1D ．x 2﹣y23=13．（2015•天津）如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE 的长为（）A ．83B ．3C ．103D ．524．（2015•浙江）如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB=30°，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支5．（2015•上海）设 P n （x n ，y n ）是直线2x ﹣y=n n+1（n ∈N *）与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限lim n→∞y n −1x n−1=（）A ．﹣1B ．﹣12C ．1D ．26．（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1B ．（x +1）2+（y +1）2=1C ．（x +1）2+（y +1）2=2D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=27．（2015•广东）已知椭圆x 225+y 2m=1（m ＞0 ）的左焦点为F 1（﹣4，0），则m=（）A ．2B ．3C ．4D ．98．（2015•四川）过双曲线x 2﹣y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |=（）A ．4√33B ．2√3C ．6D ．4√39．（2015•四川）设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆（x ﹣5）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（） A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）10．（2015•陕西）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（） A ．（﹣1，0）B ．（1，0）C ．（0，﹣1）D ．（0，1）11．（2015•重庆）设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 做A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A ．±12 B ．±√22C ．±1D ．±√212．（2015•湖南）若双曲线x 2a 2﹣y 2b2=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A ．√73 B ．54 C ．45 D ．5313．（2015•湖北）将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b （a ≠b ）同时增加m （m ＞0）个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则（） A ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2B ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2C ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2D ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 214．（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x 的是（） A ．x 2﹣y 24=1 B ．x 24﹣y 2=1 C ．x 2﹣y 22=1 D ．x 22﹣y 2=115．（2015•安徽）直线3x +4y=b 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y +1=0相切，则b=（）A ．﹣2或12B ．2或﹣12C ．﹣2或﹣12D ．2或1216．（2015•福建）已知椭圆E ：x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF |+|BF |=4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A ．（0，√32]B ．（0，34]C ．[√32，1） D ．[34，1）17．（2015•全国）直线l 与椭圆x 236+y218=1相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为（2，1），则l 的斜率为（）A ．√2B ．﹣√2C ．1D ．﹣1二．填空题（共13小题）18．（2015•新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：x 2﹣y 28=1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0，6√6）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为．19．（2015•新课标Ⅰ）已知双曲线过点(4，√3)且渐近线方程为y=±12x ，则该双曲线的标准方程是．20．（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为． 21．（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2=1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y +1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为．22．（2015•浙江）椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F （c ，0）关于直线y=b cx的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是．23．（2015•上海）抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ．24．（2015•上海）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为x24﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．25．（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣y2b2=1（b＞0）的一个焦点，则b=．26．（2015•山东）过双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为．27．（2015•重庆）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为．28．（2015•湖南）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=．29．（2015•湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为．30．（2015•全国）点（3，﹣1）关于直线x+y=0的对称点为．。

2018年全国各地高考数学模拟试题《圆锥曲线与方程》试题汇编(含答案解析)

2018年全国各地高考数学模拟试题《圆锥曲线与方程》试题汇编（含答案解析）1．（2018•红河州二模）设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率．（2）若直线MN在y轴上的截距为3，且|MN|=7|F1N|，求a，b．2．（2018•江苏模拟）已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．3．（2018•四川模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的左焦点F（﹣2，0）左顶点A1（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（2，3），Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．若∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．4．（2018•济宁一模）已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2018•红桥区一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P 横坐标的取值范围及|EF|的最大值．6．（2018•南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a ＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．7．（2018•枣庄二模）已知抛物线C：y2=2px（0＜p＜1）上的点P（m，1）到其焦点F的距离为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）已知直线l不过点P且与C相交于A，B两点，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：l过定点．8．（2018•沈阳三模）已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）过点A（2，1），且它的焦点F也是椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点，椭圆上的点到焦点F的最小值为2．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设M，N是抛物线C1上的两个动点，且=﹣4．①求证：直线MN必过定点，并求定点Q坐标；最大时，求直线MN的方程．②直线MN交椭圆C2于R、S两点，当S△FNS9．（2018•焦作四模）已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB （O为坐标原点）面积的最大值．10．（2018•宣城二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设AB是椭圆的一条弦，斜率为k（k≠0），N（t，0）是x轴上的一点，△ABN的重心为M，若直线MN的斜率存在，记为k'，问：t为何值时，k•k'为定值？11．（2018•洛阳一模）已知点M，N分别是椭圆的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．12．（2018•江西二模）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且两个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．（1）求E的方程；（2）若A，B，P为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且，求证：四边形OAPB的面积为定值．13．（2018•虹口区二模）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆C：，点M（m，n）是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”．（1）证明：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点M（m，n）不在坐标轴上，直线MA、MB分别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点；（3）点M（m，n）不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，判断过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等？并说明理由．14．（2018•揭阳一模）已知A是椭圆T：上的动点，点P（0，），点C与点A关于原点对称．（I）求△PAC面积的最大值；（II）若射线AP、CP分别与椭圆T交于点B、D，且=m，=n，证明：m+n为定值．15．（2018•聊城一模）已知圆x2+y2=4经过椭圆C：的两个焦点和两个顶点，点A（0，4），M，N是椭圆C上的两点，它们在y轴两侧，且∠MAN的平分线在y轴上，|AM|≠|AN|．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线MN过定点．16．（2018•定远县模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且|OP|=5，•=16（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（0，﹣1）且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．17．（2018•南充模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围．18．（2018•成都模拟）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆上的动点，△ABF1的面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l'．若直线l'与直线l相交于点P，与直线x=2相交于点Q，求的最小值．19．（2018•齐齐哈尔一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．且椭圆C过点（，﹣），离心率e=；点P在椭圆C上，延长PF1与椭圆C交于点Q，点R是PF2中点．（I）求椭圆C的方程；（II）若O是坐标原点，记△QF1O与△PF1R的面积之和为S，求S的最大值．20．（2018•唐山一模）已知椭圆Γ：（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为，B为直线l：x=﹣3上的动点，M（m，0）（m＜0），AM ⊥BM．当AB⊥l时，M与F重合．（1）若椭圆Γ的方程；（2）若C为椭圆Γ上一点，满足AC∥BM，∠AMC=60°，求m的值．21．（2018•南平二模）已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线C上的点M（2，y0）到F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）斜率存在的直线l与抛物线相交于相异两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=4．若AB的垂直平分线交x轴于点G，且=5，求直线l方程．22．（2018•洛阳三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，试问直线AE是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．23．（2018•资阳模拟）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．24．（2018•辽宁模拟）已知M（）是椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，F1F2是该椭圆的左右焦点，且|F1F2|=2．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且k1k2=k2．试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．25．（2018•上饶三模）已知椭圆C1：（a＞1）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M．（1）求点M的轨迹C2的方程；（2）当直线AB与椭圆C1相切，交C2于点A，B，当∠AOB=90°时，求AB的直线方程．26．（2018•上海模拟）已知点F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30°．圆O的方程是x2+y2=b2．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值；（3）过圆O上任意一点Q（x0，y0）作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：．27．（2018•江苏一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，，点A是椭圆的下顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A且互相垂直的两直线l1，l2与直线y=x分别相交于E，F两点，已知OE=OF，求直线l1的斜率．28．（2018•衡阳一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，直线y=1与C的两个交点间的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）分别过F1、F2作l1、l2满足l1∥l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B 两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．29．（2018•太原一模）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F2（2，0），点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2018•成都模拟）已知圆O的方程为x2+y2=4，若抛物线C过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆O的切线为准线，F为抛物线的焦点，点F的轨迹为曲线C′．（1）求曲线C′的方程；（2）过点B作直线L交曲线C′与P，Q两点，P，P′关于x轴对称，请问：直线P′Q 是否过x轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点E的坐标31．（2018•秦州区校级一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（2，0），点P（1，﹣）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为﹣1直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|=|F1N|（F1为椭圆的左焦点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．32．（2018•黄山一模）已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形AF1BF2是边长为2的正方形．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若C、D分别是椭圆Γ的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于与点P．证明：为定值．33．（2018•陕西一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．34．（2018•朝阳三模）如图，椭圆经过点，且点M到椭圆的两焦点的距离之和为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若R，S是椭圆C上的两个点，线段RS的中垂线l的斜率为且直线l与RS交于点P，O为坐标原点，求证：P，O，M三点共线．35．（2018•徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a ＞0，b＞0）的离心率为，且过点（1，）．F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF，BF分别交椭圆于C，D两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若AF=FC，求的值；（3）设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2=mk1，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．36．（2018•芜湖模拟）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，|F1F2|=2，△PF1F2的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB，求证：为定值，并求出该定值．37．（2018•马鞍山二模）在直角坐标系中，己知点A（﹣2，0），B（2，0），两动点C（0，m），D（0，n），且mn=3，直线AC与直线BD的交点为P．（1）求动点P的轨迹方程；（2）过点F（1，0）作直线l交动点P的轨迹于M，N两点，试求的取值范围．38．（2018•凉山州模拟）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．39．（2018•江苏二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y=x+3时，线段PB1的长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．40．（2018•湖北模拟）如图，已知抛物线x2=2py（p＞0），其焦点到准线的距离为2，圆S：x2+y2﹣py=0，直线l：y=kx+与圆和抛物线自左至右顺次交于四点A、B、C、D，（1）若线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，求正数k的值；（2）若直线l′过抛物线焦点且垂直于直线l，直线l′与抛物线交于点M、N，设AD、MN的中点分别为P、Q，求证：直线PQ过定点．参考答案与试题解析1．【分析】（1）设出M坐标，通过直线MN的斜率为，转化求解C的离心率．（2）通过原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，推出b2=6a，结合|MN|=7|F1N|，转化求解a，b．【解答】解：（1）根据及题设知，5b2=24ac将b2=a2﹣c2代入5b2=24ac解得或（舍去），故C的离心率为；………………………………………………（4分）（2）由题意得，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0，3）是线段MF1的中点，故，即b2=6a①………………………………………………（7分）由|MN|=7|F1N|得|DF1|=3|F1N|，设N（x1，y1）则，即代入C的方程，得②……………………………………………（10分）将①及代入②得解得故……………………………………………………（12分）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．2．【分析】（1）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意定义结合已知求得PF2，再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离．【解答】解：（1）根据题意：，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的标准方程为；（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得，解得：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础题．3．【分析】（Ⅰ）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，问题得以解决．（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，将PA、PB的直线方程分别代入椭圆方程，然后运用韦达定理，求出x1，x2，再由斜率公式化简即可得到定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，AP，BP的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为﹣k，设A（x1，y1）B（x2，y2），PA的方程为y﹣3=k（x﹣2）．联立消y得（3+4k2）x2+8（3k﹣k2）x+4（4k2+9﹣12k）﹣48=0所以，同理，所以，，所以k AB===，所以AB的斜率为定值．【点评】本题考查椭圆的方程及联立直线方程消去一个未知数，得到二次方程，运用韦达定理求解，考查基本的运算能力，属于中档题．4．【分析】（1）根据题意，联立直线与椭圆的方程，可得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），用k表示D的坐标，分析可得=．解可得a2的值，将其代入椭圆的方程即可得答案；（2）假设存在定点M，且设M（0，m），分析易得k AM+k BM=0，即，变形分析可得2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）=0，结合根与系数的关系分析可得，计算可得m的值，即可得答案．【解答】解：（1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则，，∴，．∴=．∴a2=8．所以椭圆C的方程为．（2）假设存在定点M，且设M（0，m），由∠AMO=∠BMO得k AM+k BM=0．∴．即y1x2+y2x1﹣m（x1+x2）=0，∴2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）=0．由（1）知，，∴．∴m=4．所以存在定点M（0，4）使得∠AMO=∠BMO．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程．5．【分析】（Ⅰ）由题意可得，2b=2，再由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a=2，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），求出直线PA，PB的方程，与直线x=4的交点M，N，可得MN的中点，圆的方程，令y=0，求得与x轴的交点坐标，运用弦长公式，结合．即可得到所求最大值；方法二、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），求出直线PA，PB 的方程，与直线x=4的交点M，N，以MN为直径的圆与x轴相交，可得y M y N＜0，求得，再由弦长公式，可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，2b=2，即b=1，，得，解得a2=4，椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，线段MN的中点，所以圆的方程为，令y=0，则，因为，所以，所以，设交点坐标（x1，0），（x2，0），可得x1=4+，x2=4﹣，因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，所以，解得．则（）所以当x0=2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．方法二：设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，若以MN为直径的圆与x轴相交，则，即，即．因为，所以，代入得到，解得．该圆的直径为，圆心到x轴的距离为，该圆在x轴上截得的弦长为；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和圆相交的弦长问题，注意运用圆的方程，以及直线和圆相交的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．6．【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，解出即可得出．（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，可得AB=2AM，即点M为AB的中点．A（﹣2，0）．设M（x0，y0），利用中点坐标公式可得：B（2x0+2，2y0）．由+=，+=1，联立解出，即可得出直线AB的方程．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，解得a=2，c=b=．∴椭圆的方程为：+=1．（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，∴AB=2AM，∴点M为AB的中点．∵椭圆的方程为：+=1．∴A（﹣2，0）．设M（x0，y0），则B（2x0+2，2y0）．由+=，+=1，化为：﹣18x0﹣16=0，≤x0≤．解得：x0=﹣．代入解得：y0=，∴k AB=，因此，直线AB的方程为：y=（x+2）．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．7．【分析】（Ⅰ）通过点在抛物线上，以及抛物线的定义，列出方程求解可得C的方程；（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k （x﹣1），联立直线与抛物线方程，设A（x1，y1），由韦达定理，求出A的坐标，直线PB的斜率为．得到B的坐标，通过直线的向量是否垂直，求出直线l的方程，然后求解定点坐标．证法二：由（1），得P（1，1）．若l的斜率不存在，则l与x轴垂直．设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），．推出l的斜率必存在．设l的斜率为k，显然k ≠0，设l：y=kx+t，利用直线方程与抛物线方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，转化求解直线l：y=kx﹣1．即可说明l过定点（0，﹣1）．证法三：由（1），得P（1，1）．设l：x=ny+t，由直线l不过点P（1，1），所以n+t≠1．由消去x并整理得y2﹣ny﹣t=0．判别式△=n2+4t＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=n①，y1y2=﹣t②，转化求解l：x=n（y+1）．说明l过定点（0，﹣1）．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得2pm=1，即．由抛物线的定义，得．由题意，．解得，或p=2（舍去）．所以C的方程为y2=x．（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k （x﹣1），则y=kx+1﹣k．由消去y并整理得k2x2+[2k（1﹣k）﹣1]x+（1﹣k）2=0．设A（x1，y1），由韦达定理，得，即.=．所以．由题意，直线PB的斜率为．同理可得，即B（（k2﹣1）2，k﹣1）．若直线l的斜率不存在，则．解得k=1，或k=﹣1．当k=1时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符；当k=﹣1时，直线PA与直线PB的斜率均为﹣1，A，B两点重合，与题意不符．所以，直线l的斜率必存在．直线l的方程为[x﹣（k﹣1）2]，即．所以直线l过定点（0，﹣1）．证法二：由（1），得P（1，1）．若l的斜率不存在，则l与x轴垂直．设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），．则==．（x1﹣1≠0，否则，x1=1，则A（1，1），或B（1，1），直线l过点P，与题设条件矛盾）由题意，，所以x1=0．这时A，B两点重合，与题意不符．所以l的斜率必存在．设l的斜率为k，显然k≠0，设l：y=kx+t，由直线l不过点P（1，1），所以k+t≠1．由消去y并整理得k2x2+（2kt﹣1）x+t2=0．由判别式△=1﹣4kt＞0，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，则==．由题意，．故（k2﹣1）x1x2+（kt﹣k+1）③将①②代入③式并化简整理得，即1﹣t2﹣kt﹣k=0．即（1+t）（1﹣t）﹣k（t+1）=0，即（1+t）（1﹣t﹣k）=0．又k+t≠1，即1﹣t﹣k≠0，所以1+t=0，即t=﹣1．所以l：y=kx﹣1．显然l过定点（0，﹣1）．证法三：由（1），得P（1，1）．设l：x=ny+t，由直线l不过点P（1，1），所以n+t≠1．由消去x并整理得y2﹣ny﹣t=0．由题意，判别式△=n2+4t＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=n①，y1y2=﹣t②则==．由题意，y1y2+（y1+y2）+1=1，即y1y2+（y1+y2）=0③将①②代入③式得﹣t+n=0，即t=n．所以l：x=n（y+1）．显然l过定点（0，﹣1）．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查直线过定点问题，考查分类讨论思想的应用．8．【分析】（I）把A代入抛物线方程求出p，根据椭圆的性质列方程组求出a，b；（II）①设MN方程为y=kx+b，根据根与系数的关系和向量的数量积公式求出b 即可得出结论；②根据弦长公式计算|SR|，求出F到直线MN的距离d，得出三角形的面积关于k的函数，根据单调性得出k的值．【解答】解：（I）把A（2，1）代入抛物线C1可得：4=2p，p=2．∴抛物线C1的方程为x2=4y．故F（0，1），又F（0，1）是椭圆C2：的焦点，且椭圆上的点到焦点F的最小值为2，∴，解得a=3，b=2，∴椭圆C2的标准方程为：=1．（II）①∵直线MN与抛物线交于M，N两点，∴直线MN斜率必存在．设直线MN的方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y可得：x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1x2=﹣4b，∴y1y2==b2，∴=x1x2+y1y2=b2﹣4b=﹣4，即b=2．∴直线MN的方程为y=kx+2．∴直线MN过定点Q（0，2）．②联立方程组，消去y可得：（9+8k2）x2+32kx﹣40=0，设R（x3，y3），S（x4，y4），则x3+x4=﹣，x3x4=﹣，∴|RS|==，又F（0，1）代直线MN的距离d=，=|RS|×d=，∴S△FSR令=t，则t≥，==，∴S△FSR取得最大值，此时k=0．由对勾函数的性质可知当t=时，S△FSQ∴直线MN的方程为y=2．【点评】本题考查了抛物线、椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．9．【分析】（Ⅰ）根据题意，由椭圆的离心率公式可得，进而可得，则椭圆的方程可以为以，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，据此解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，按直线l的斜率是否存在分2种情况讨论，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，易得△AOB的面积，当直线l的斜率存在时，设ly=kx+m，联立直线与椭圆的方程，用k表示△AOB的面积，由基本不等式的性质分析可得△AOB的面积，综合2种情况即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆Γ：的离心率为，则，得，，所以，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，所以a=2，b=1，椭圆Γ的标准方程为．（Ⅱ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，得，，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则，，所以，，将代入x2+y2=1，得，又因为=，原点到直线l的距离，所以==×==．当且仅当12k2=1+4k2，即时取等号．综上所述，△AOB面积的最大值为1．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意分析直线的斜率是否存在．10．【分析】（Ⅰ）由已知可得：，结合a2=b2+c2，解得，即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则重心，，．则，结合．可得当且仅当t=0，即N（0，0）时，k•k'为定值为．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：，结合a2=b2+c2，解得，∴椭圆方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则重心，，．由于AB斜率为k存在且k≠0，故，则∵则要使为定值，则当且仅当t=0，即N（0，0）时，k•k'为定值为．【点评】本题考查了椭圆的方程，性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．11．【分析】（1）利用|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．得到（a+c）（a﹣c）=3，结合椭圆的离心率求解即可．（2）直线l的斜率存在且不为0．设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用判别式以及韦达定理，通过OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，推出m2（4k2﹣3）=0，求出，0＜m2＜6，且m2≠3，然后求解三角形的面积的表达式，求解范围即可．【解答】解：（1）解：|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．∴（a+c）（a﹣c）=3，∴b2=a2﹣c2=3．又，解得a=2，c=1，∴椭圆C的方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0．故可设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题意可知，△=64km﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0，即4k2+3＞m2，且，又直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，所以，将y1，y2代入并整理得m2（4k2﹣3）=0，因为m≠0，，0＜m2＜6，且m2≠3，设d为点O到直线l的距离，则有，，所以，所以三角形面积的取值范围为．【点评】本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的范围的求法，考查转化思想以及计算能力．12．【分析】（1）根据题意，由椭圆的焦点坐标可得c的值，结合椭圆的定义可得2a=+=2，即可得a的值，由椭圆的定义计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，按直线AB的斜率是否存在分2种情况讨论：①，直线AB的斜率不为零，②当AB的斜率为零时，分别求出四边形的面积，综合即可得结论．【解答】解：（1）根据题意，椭圆E：+=1的两个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．则c=1，又由椭圆经过点，则2a=+=2，即a=，b==1，则E的方程为；（2）证明：根据题意，分2种情况讨论：①，当直线AB的斜率不为零时，可设AB：x=my+t代入得：（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，△=8（m2+2﹣t2），设P（x，y），由，得，∵点P在椭圆E上，∴，即，∴4t2=m2+2，，原点到直线x=my+t的距离为．∴四边形OAPB的面积：．②当AB的斜率为零时，四边形OAPB的面积，∴四边形OAPB的面积为定值．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．13．【分析】（1）方法一：设切线方程，代入椭圆方程，由M在椭圆方程，利用△=0，即可求得k的值，求得“切线”方程是；方法二：将直线方程代入椭圆方程，由△=0，则直线与椭圆只有一个交点，故直线与椭圆相切；（2）求得直线MA，MB的方程，令x=0，即可求得P和Q点坐标，令x=0，求得D点坐标，由y P+y Q=2y D，即可求得点D是线段PQ的中点；（3）求得交点坐标，即可求得MF1及MF2斜率，根据直线的夹角公式，求得tanθ1=tanθ1，过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等【解答】解：（1）方法一：当n=0时，m=±，则切线方程x=±，满足，当m≠0时，设直线y=k（x﹣m）+n，联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（km﹣n）x+2（km﹣2）2﹣2=0，由△=16k2（km﹣n）2﹣4×（1+2k2）[2（km﹣2）2﹣2]=0，整理得：（2﹣m2）k2+2mnk+1﹣n2=0，由M（m，n）在椭圆上，则，2﹣m2=2n2，1﹣n2=，∴2n2k2+2mnk+=0，则（nk+）2=0，解得：k=﹣，∴切线方程y=﹣（x﹣m）+n，整理得：；综上可知：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；方法二：由直线，整理得：mx+2ny=2，，整理得：（2n2+m2）y2﹣4ny+2﹣m2=0，由M（m，n）在椭圆上，则，2﹣m2=2n2，2n2+m2=2，则y2﹣2ny+n2=0，则△=0，∴过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）由椭圆的左顶点A（﹣，0），右顶点B（，0），由直线MA的方程：y=（x+），令x=0，则y P=，同理y Q=，切线方程，令x=0，则y D=y P+y Q===2y D，∴点D是线段PQ的中点；（3）相等，由椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是，则直线MF 1的斜率=，直线MF2的斜率=，则切线的斜率k=，由夹角公式tanθ1=||=，tanθ1=||=，所以所成夹角相等．【点评】本题考查椭圆的标准方程的性质，直线的切线方程的应用，直线与椭圆的位置关系，考查直线夹角公式的应用，中点坐标公式，考查转化思想，属于中档题．14．【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1），依题意得点C（﹣x1，﹣y1），表示出△PAC面积，即可求出最大值，（Ⅱ）证法1：当直线AP的斜率存在时，设其方程为y=kx+，根据根与系数的关系可得m，n是方程9x2﹣30x+4x12+9=0的两个根，由韦达定理，m+n=；证法2：当直线AP的斜率存在时，这时点A不在y轴上，即x1≠0，设其方程为y=kx+，根据根与系数的关系，求出m，n，即可求出m+n的值．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），依题意得点C（﹣x1，﹣y1），则S=|OP|•2|x1|=|x1|，△PAC∵点A在椭圆T：+y2=1上，∴|x1|≤2，∴S=|x1|≤1（当且仅当x1=±2时等号成立）△PAC∴△PAC面积的最大值为1；（Ⅱ）证法1：当直线AP的斜率存在时，设其方程为y=kx+，由，消去y，得（1+4k2）x2+4kx﹣3=0，设B（x2，y2），由韦达定理，得，而由=m，得（﹣x1，﹣y1）=m（x2，y2﹣），故﹣x1=mx2，x2=﹣，代入①、②，得，两式相除，得k=，代入④，整理得9m2﹣30m+4x12+9=0；对于射线CP，同样的方法可得9n2﹣30n+4x12+9=0，故m，n是方程9x2﹣30x+4x12+9=0的两个根，由韦达定理，m+n=；当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0，1）时，则B、C重合于点（0．﹣1），D、A重合，由=m，=n，得m=，n=3，这时m+n=；若点A为椭圆T的下顶点（0，﹣1），同理可得m+n=；综上可知m+n为定值，该值为．证法2：当直线AP的斜率存在时，这时点A不在y轴上，即x1≠0，设其方程为y=kx+，由，消去y，得（1+4k2）x2+4kx﹣3=0，设B（x2，y2），由韦达定理，得x1x2=﹣，又k=，代入上式得x2=，由=m，得（﹣x1，﹣y1）=m（x2，y2﹣），故﹣x1=mx2，∴m=﹣=对于射线CP，同样的方法可得n=，∴m+n==．当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0，1）时，则B、C重合于点（0．﹣1），D、A重合，当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0，1）时，则B、C重合于点（0．﹣1），D、A重合，由=m，=n，得m=，n=3，这时m+n=；若点A为椭圆T的下顶点（0，﹣1），同理可得m+n=；综上可知m+n为定值，该值为．【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，向量的基本运算，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．15．【分析】（Ⅰ）根据题意，由圆的方程分析可得椭圆的焦点和顶点坐标，即可得。

2018年全国高考数学圆锥曲线试卷集锦

2018年全国高考数学部分省市圆锥曲线试卷集锦1.<2018•福建理科）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于<A）b5E2RGb CAPA． B．C．3D．5解：抛物线y2=12x的焦点坐标为<3，0）∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合∴4+b2=9∴b2=5∴双曲线的一条渐近线方程为，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于，故选A．2.<2018•福建理科）如图，椭圆E：的左焦点为F 1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△A BF2的周长为8．p1EanqFDPw<Ⅰ）求椭圆E的方程．<Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x =4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．DXDiTa9E3d解：<Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．<Ⅱ）由，消元可得<4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P<x0，y0）∴m≠0，△=0，∴<8km）2﹣4×<4k2+3）×<4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P<，）由得Q<4，4k+m）取k=0，m=，此时P<0，），Q<4，），以PQ为直径的圆为<x ﹣2）2+<y﹣）2=4，交x轴于点M1<1，0）或M2<3，0）RTCrpUDGiT 取k=，m=2，此时P<1，），Q<4，0），以PQ为直径的圆为<x﹣）2+<y﹣）2=，交x轴于点M3<1，0）或M4<4，0）5PCzVD7HxA故若满足条件的点M存在，只能是M<1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M<1，0）3.<2018广东理科）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q<0，2）的距离的最大值为3．jLBHrnAILg<1）求椭圆C的方程；<2）在椭圆C上，是否存在点M<m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O ：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．xHA QX74J0X解：<1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=①当﹣b≤﹣1时，即b≥1，得b=1②当﹣b＞﹣1时，即b＜1，得b=1<舍）∴b=1∴椭圆方程为<2）假设M<m，n）存在，则有m2+n2＞1∵|AB|=，点O到直线l距离∴=∵m2+n2＞1∴0＜＜1，∴当且仅当，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值，又∵解得：所以点M的坐标为或或或，△AOB的面积为．4．<2018•广东文科）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：<a＞b＞0）的左焦点为F1<﹣1，0），且点P<0，1）在C1上．LDAYtRyKfE<1）求椭圆C1的方程；<2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．解.<1）因为椭圆C1的左焦点为F1<﹣1，0），所以c=1，点P<0，1）代入椭圆，得，即b=1，所以a2=b2+c2=2所以椭圆C1的方程为．<2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+m，由，消去y并整理得<1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4<1+2k2）<2m2﹣2）=0整理得2k2﹣m2+1=0①由，消去y并整理得k2x2+<2km﹣4）x+m2=0因为直线l与抛物线C2相切，所以△=<2km﹣4）2﹣4k2m2=0整理得km=1②综合①②，解得或所以直线l的方程为或．5.<2018•北京文科）已知椭圆C：+=1<a＞b＞0）的一个顶点为A <2，0），离心率为，直线y=k<x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，NZzz6ZB2Ltk<Ⅰ）求椭圆C的方程<Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．解：<Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A <2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；<Ⅱ）直线y=k<x﹣1）与椭圆C联立，消元可得<1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M<x1，y1），N<x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A<2，0）到直线y=k<x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．6.<2018•湖北理科）如图，双曲线﹣=1<a，b＞0）的两顶点为A 1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：dvzfvkwMI1 <Ⅰ）双曲线的离心率e=_________；<Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=_______ __．解：<Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为=∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，∴∴bc=a2∴<c2﹣a2）c2=a4∴c4﹣a2c2﹣a4=0∴e4﹣e2﹣1=0∴<Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc设矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴∵m2+n2=a2，∴，∴面积S2=4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案为：，7.<2018•湖北理科）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A 与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨<m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．rqyn14ZNXI<I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；<Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m ，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．EmxvxOtOco解：<I）如图1，设M<x，y），A<x0，y0）∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|∴x0=x，|y0|=|y|①∵点A在圆上运动，∴②①代入②即得所求曲线C的方程为∵m∈<0，1）∪<1，+∞），∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为<），m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为<），<Ⅱ）如图2、3，∀x1∈<0，1），设P<x1，y1），H<x2，y2），则Q< x2，y2），N<0，y1），SixE2yXPq5∵P，H两点在椭圆C上，∴①﹣②可得③∵Q，N，H三点共线，∴kQN=kQH，∴∴kPQ•kPH=∵PQ⊥PH，∴kPQ•kPH=﹣1∴∵m＞0，∴故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ ⊥PH9.<2018•江西文科）椭圆<a＞b＞0）的左、右顶点分别是A ，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为< ）6ewMyirQFLA．B．C．D．解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c ，|F1B|=a+c，∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴<2c）2=<a﹣c）<a+c），∴=，即e2=，∴e=，即此椭圆的离心率为．故选B．10.<2018•江西文科）已知三点O<0，0），A<﹣2，1），B<2，1），曲线C上任意一点M<x，y）满足||=kavU42VRUs <1）求曲线C的方程；<2）点Q<x0，y0）<﹣2＜x0＜2）是曲线C上动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是<0，﹣1），l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．y6v3ALoS89解：<1）由=<﹣2﹣x，1﹣y），=<2﹣x，1﹣y）可得=<﹣2x，2﹣2y），∴||=，=<x，y）•<0，2）=2y．由题意可得=2y，化简可得 x2=4y．<2）直线PA，PB的方程分别为y=﹣x﹣1、y=x﹣1，曲线C在点Q<x0，y0）<﹣2＜x0＜2）处的切线方程为y=x﹣，且与y轴的交点F<0，﹣）．M2ub6vSTnP由求得xD=，由求得xE=．故xE﹣xD=2，故|FP|=1﹣．故S△PDE=|PF|•|xE﹣xD|=<1﹣）•2=，而S△QAB=×4×<1﹣）=，∴=2，即△QAB与△PDE的面积之比等于2．11.<2018•辽宁理科）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_________．0YujCfmUCw解：因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2．由x2=2y，则y=，所以y′=x，过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y=4x﹣8，y=﹣2x﹣2联立方程组解得x=1，y=﹣4故点A的纵坐标为﹣4．故答案为：﹣4．12.<2018•辽宁理科）如图，已知椭圆C0：，动圆C1：．点A 1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．eUts8Z QVRd<I）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；<II）设动圆C2：与C0相交于A'，B'，C'，D'四点，其中b ＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：为定值．sQsAEJkW5T解：<I）设A<x1，y1），B<x2，y2），∵A1<﹣a，0），A2<a，0），则直线A1A的方程为①直线A2B的方程为②由①×②可得：③∵A<x1，y1）在椭圆C0上，∴∴代入③可得：∴；<II）证明：设A′<x3，y3），∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等∴4|x1||y1|=4|x3||y3|∴=∵A，A′均在椭圆上，∴=∴=∴∵t1≠t2，∴x1≠x2．∴∵，∴∴=a2+b2为定值．13.<2018•山东文科）已知双曲线C1：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为< ）GMsIasNXkAA．B．x2=yC．x2=8yD．x2=16y解：双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点<0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．14.<2018•山东文科）如图，椭圆的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．TIrRGchYzg <Ⅰ）求椭圆M的标准方程；<Ⅱ）设直线l：y=x+m<m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m 的值．7EqZcWLZNX解：<I）…①矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆M的标准方程是．<II），由△=64m2﹣20<4m2﹣4）＞0得．设P<x1，y1），Q<x2，y2），则，．当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1．①当时，有，，其中t=m+3，由此知当，即时，取得最大值．②由对称性，可知若，则当时，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，，，由此知，当m=0时，取得最大值．综上可知，当或m=0时，取得最大值．15.<2018•天津文科）已知双曲线C1：与双曲线C：<a＞0，b＞0）有相同的渐近线，且C1的右焦点为F<，0）．则a=_________，b=_________．lzq7IGf02E解：∵双曲线C：<a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，∴=2∵且C1的右焦点为F<，0）．∴c=，由a2+b2=c2解得a=1，b=2故答案为1，216.<2018•天津）已知椭圆，点P<）在椭圆上．<1）求椭圆的离心率；<2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ| =|AO|，求直线OQ的斜率的值．zvpgeqJ1hk解：<1）因为点P<）在椭圆上，所以∴∴∴<2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx设点Q的坐标为<x0，y0），由条件得，消元并整理可得①∵|AQ|=|AO|，A<﹣a，0），y0=kx0，∴∴∵x0≠0，∴代入①，整理得∵∴∴5k4﹣22k2﹣15=0∴k2=5∴17.<2018新课标理科）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为< ）NrpoJac3v1A．B．C．D．解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．18.<2018新课标理科）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为< ）1nowfTG4KIA．B．C．4D．8解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2<a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A<﹣4，2），B<﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．19.<2018新课标理科）设抛物线C：x2=2py<p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；fjnFL Da5Zo<1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为；求p的值及圆F的方程；<2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．tfnNhnE6e5解：<1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，∴圆F的方程为x2+<y﹣1）2=8．<2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版

2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）一、选择题1.（浙江卷）（2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x 轴上，且a 2=3，b 2=1，由此可得222=+=b a c ∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B2.（天津文）（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（A ）22139x y -= （B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：A3.（天津理）(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A221412x y -= B221124x y -= C 22139x y -= D 22193x y -=解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：C4.（全国卷一文）（4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 解：椭圆的一个焦点为（2，0），可得a 2-4=4，解得22=a ，故选：C5.（全国卷一理）（8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=A ．5B ．6C ．7D ．8解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），过点（-2，0联立直线与抛物线C ：y 2=4x ，消去x 可得：y 2-6y+8=0，解得y 1=2，y 2=4，不妨M （1，2），N （4，4），FM ＝(0，2)， FN ＝(3，4)．则 FM ∙FN =（0，2）•（3，4）=8．故选：D6.（全国卷一理）（11）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．4故选：B7.（全国卷二文）（6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y =B．y =C．y = D ．y = 解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A.8.（全国卷二文）（11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PFF ∠=︒，则C 的离心率为 A．1 B．2C D 1-解：F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°，可得椭圆的焦点坐标F 2（c ，0），所以P（c 23,21故选：D9.（全国卷二理）（5）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y =解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A ．10.（全国卷二理）（12）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14解：由题意可知：A （-a ，0），F 1（-c ，0），F 2（c ，0），直线AP 的方程为：）（a x y +=63，故选：D11.（全国卷三文）（10）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2CD ．故选：D12.（全国卷三理）（11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为A B ．2 C D在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2-2|PF 2|•|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，故选：C二、填空题1.（北京文）（10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.解：∵直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，∴x=1，代入到y 2=4ax ，可得y 2=4a ，显然a ＞0，∴y=±∴抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）2.（北京文）（12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________.解：双曲线的离心率为245422=+a a ，解得a=4．故答案为：43.（北京理）（14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．解：若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，4.（江苏卷）（8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近，则其离心率的值是．，故答案为：25.（浙江卷）（17）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =_______时，点B 横坐标的绝对值最大．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由P （0，1）， AP=2PB，可得-x 1=2x 2，1-y 1=2（y 2-1），即有x 1=-2x 2，y 1+2y 2=3，又x 12+4y 12=4m ，即为x 22+y 12=m ，① x 22+4y 22=4m ，② ①-②得（y 1-2y 2）（y 1+2y 2）=-3m ，可得y 1-2y 2=-m ，即有m=5时，x 22有最大值4，即点B 横坐标的绝对值最大．故答案为：5．6．（全国卷三理）（16）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．解：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），∴过A ，B 两点的直线方程为y=k （x-1），联立⎩⎨⎧-==)1(42x k y xy 可得，k 2x 2-2（2+k 2）x+k 2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2[x 1x 2-（x 1+x 2）+1]=-4，∵M （-1，1），∴ MA =（x 1+1，y 1-1）， MB =（x 2+1，y 2-1）， ∵∠AMB=90°=0，∴MA *MB =0∴（x 1+1）（x 2+1）+（y 1-1）（y 2-1）=0，整理可得，x 1x 2+（x 1+x 2）+y 1y 2-（y 1+y 2）+2=0，∴即k 2-4k+4=0， ∴k=2．故答案为：2三、解答题1.（北京文）（20）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D和点71(,)42Q -共线，求k .解析（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =3c e a ==，所以a =2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=，则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-=，易得当20m =时，max ||AB =||AB（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+- ，4471(,)44QD x y =+- ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．2.（北京理）（19）（本小题14分）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，μλ==,，求证：μλ11+为定值．解析：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=．依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线P A 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由μλ==,得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=211(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．3.（江苏卷）（18）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．解析：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y =．因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=，从而AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+4.（天津文）（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.解析：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23.a b =由||AB ==从而3,2a b ==. 所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩ 消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-. 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-. 5.（天津理）(19)(本小题满分14分) 设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=.（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQAOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值. 解析（Ⅰ）：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ．由AQ AOQ PQ =∠，可得5y 1=9y 2．由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221k y k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为111228或． 6.（浙江卷）（21）（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解析（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△．因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是7.（全国一卷文）（20）（12分）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222y x k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k ++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．8.（全国一卷理）（19）（12分）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A的坐标为或(1,. 所以AM的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<，直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y y k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x k k k -+++=--. 将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB ∠=∠.9.（全国二卷文）（20）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=．所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩，因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．10.（全国卷二理）（19）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF kx +=+=+++=. 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =.因此l 的方程为1y x =-. （2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.11.（全国卷三文）（20）（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0 ．证明：2||||||FP FA FB =+ ．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-. 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA =-uu r ．同理2||=22x FB -uu r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=u u r u u r ．故2||=||+||FP FA FB u u r u u r u u r ． 12.（全国卷三理）（20）（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0 ．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得 1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x y m ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=. 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP = .于是 1||22x FA ==- . 同理2||22x FB =- . 所以121||||4()32FA FB x x +=-+= . 故2||||||FP FA FB =+ ，即||,||,||FA FP FB 成等差数列.设该数列的公差为d ，则 1212||||||||||2FB FA x x d =-=-= ②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||d =.或。

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