最新河南省郑州市高一上学期期末考试 数学
2020-2021学年河南省郑州市高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{|1}A x x =>-，{|2}B x x =<，则()(R A B =⋃ ) A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x -C ．{|1}x x <-D ．{|12}x x -<2．（5分）函数1()(1)2f x ln x x =-+-的定义域为( ) A ．(0，2)(2⋃，)+∞ B ．[0，2)(2⋃，)+∞ C ．(1，2)(2⋃，)+∞D ．[1，2)(2⋃，)+∞3．（5分）已知0.30.3a -=，0.33b -=，3log 0.3c =，则( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>4．（5分）下列说法中错误的是( )A ．空间中，“一条直线在平面内”也可以说“平面经过这条直线”B ．空间中，直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行C ．空间中，两个平面之间的位置关系有且只有三种：两个平面平行、两个平面相交和两个平面垂直D ．空间中两条直线的位置关系有且只有三种：相交直线、平行直线和异面直线 5．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是43，则(a = )A [3]3B ．1C 2D ．26．（5分）若直线20x y -+=与圆22()2x m y -+=有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．[3-，1]B ．[1-，3]C ．[4-，0]D ．[0，4]7．（5分）已知3log 21a =，则2(a = ) A ．13B ．1C ．2D ．38．（5分）阿波罗尼乌斯(Apollonius ，约前262~约前190)是古希腊时期的数学家、天文学家．师从于欧几里得，他结合前人的研究成果，在没有现代数学符号系统的支持下，以超越常人的智慧写出了经典之作《圆锥曲线论》．该书共八卷，传下来七卷，其中给出了解析几何的大部分内容的论断和证明．在其第七卷《平面轨迹》中提出：如果一个移动的点与两定点之间距离的比是常量（且不等于1)，则它的轨迹是一个圆．现在已知两个定点的坐标分别为(1,0)A -，(2,0)B ，动点P 满足||2||PA PB =，则P 点轨迹方程为( ) A ．22650x y x +-+= B ．22670x y x +-+= C ．221070x y x +-+=D ．2214503x y x +-+= 9．（5分）如图，在正方体ABCD A B C D -''''中，线段B D ''上有两个动点E ，F ，若线段EF 长度为一定值，则下列结论中错误的是( )A ．AC BE ⊥B ．BD ⊥平面ABEC ．//EF 平面ABCDD ．三棱锥B AEF -的体积为定值10．（5分）在三棱锥P ABC -中，PA PB =，过P 作PO ⊥平面ABC ，O 为垂足，M 为AB 的中点，则下列结论中肯定成立的是( ) A ．OCA OCB ∠=∠ B ．OA OB =C ．OC AB ⊥D ．C ，O ，M 三点共线11．（5分）已知点0(Q x ，1)，若在圆22:1O x y +=上存在点P ，使得60OQP ∠=︒，则0x 的取值范围是( ) A ．1[3-，1]3B ．1[2-，1]2C ．2[2D ．3[312．（5分）已知函数()2f x lnx x =+-的零点为a ，记函数g （a ）2lna a =+-，若g （a ）0>恒成立，则正整数的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）空间中，线段PQ 的端点坐标分别为(1，4，7)-，(3，4-，5)，则线段PQ 的中点M 的坐标为 ．14．（5分）已知函数4,(0)()21,(0)x x x f x x +<⎧=⎨-⎩，若f （a ）3=，则a 的值为 ．15．（5分）已知函数2()121x f x =-+，则不等式(21)(2)0f x f x -+->的解集为 ． 16．（5分）在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，3BF FA =，且CE EF ⊥．若PB =P ABC -的外接球的体积为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．共6小题，共70分． 17．（10分）设集合{3A =，5}，2{|50}B x x x m =-+=，满足{2A B =，3，5}．（Ⅰ）求集合B ；（Ⅱ）若集合{|10}C x ax =-=，且满足BC C =，求所有满足条件的a 的集合．18．（12分）在ABC ∆中，已知(1,6)M 是BC 边上一点，边AB ，AC 所在直线的方程分别为270x y -+=，60x y -+=．（Ⅰ）若AM BC ⊥，求直线BC 的方程；（Ⅱ）若|||BM CM =，求直线BC 在x 轴上的截距．19．（12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M ，E 分别为11A D ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：1//MB 平面1C DE ； （Ⅱ）求证：DE ⊥平面11BCC B ； （Ⅲ）求三棱锥1M C DE -的体积．20．（12分）已知圆C 经过点(2,0)A ，与直线2x y +=相切，且圆心C 在直线210x y +-=上．（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点(0,1)，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．21．（12分）2020年，突如其来的新冠肺炎疫情席卷全球，此次疫情传播速度之快、感染范围之广、防控难度之大均创历史之最．面对疫情，我国政府快速应对，在这次疫情大考的实践中凸显了中国社会主义制度的优越性，在向全球提供支援及分享抗疫经验中体现出了大国担当的责任和情怀．据报载，截至目前，我国有5种疫苗正在开展三期临床试验．如图为某种疫苗在按规定的剂量使用后，每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的近似曲线，其中，OM ，MN 为线段，且MN 所在直线的斜率为12-．当3t 时，y 与t 之间满足：1()3t a y -=（其中a 为常数）．（Ⅰ）结合图象，写出使用后y 与t 之间的函数关系式()y f t =，其中0t >；（Ⅱ）根据进一步的测定：每毫升血液中含药量不少于13微克时治疗有效，求使用一次治疗有效的时间范围．22．（12分）已知函数()2x x e ae f x --=是奇函数，()2x xe be g x --=偶函数．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求证：22[()][()]1g x f x -=；（Ⅲ）若方程2[()]()30g x f x --=在[1)ln ，)+∞上有一个实数根，求的取值范围．2020-2021学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{|1}A x x =>-，{|2}B x x =<，则()(R A B =⋃ ) A ．{|1}x x >- B ．{|1}x x -C ．{|1}x x <-D ．{|12}x x -<【解答】解：{|1}A x x =>-，{|2}B x x =<，{|2}R B x x ∴=，(){|1}R AB x x =>-．故选：A ．2．（5分）函数1()(1)2f x ln x x =-+-的定义域为( ) A ．(0，2)(2⋃，)+∞ B ．[0，2)(2⋃，)+∞ C ．(1，2)(2⋃，)+∞D ．[1，2)(2⋃，)+∞【解答】解：要使函数有意义，则1020x x ->⎧⎨-≠⎩，即12x x >⎧⎨≠⎩，即函数的定义域为(1，2)(2⋃，)+∞， 故选：C ．3．（5分）已知0.30.3a -=，0.33b -=，3log 0.3c =，则( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【解答】解：0.300.30.31a -=>=， 0.300331b -<=<=， 33log 0.3log 10c =<=，a b c ∴>>．故选：A ．4．（5分）下列说法中错误的是( )A ．空间中，“一条直线在平面内”也可以说“平面经过这条直线”B ．空间中，直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行C．空间中，两个平面之间的位置关系有且只有三种：两个平面平行、两个平面相交和两个平面垂直D．空间中两条直线的位置关系有且只有三种：相交直线、平行直线和异面直线【解答】解：空间中，“一条直线在平面内”也可以说“平面经过这条直线”，故A正确；空间中，直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行，故B正确；空间中，两个平面之间的位置关系有且只有两种：两个平面平行，两个平面相交，垂直是相交的特殊情况，故C错误；空间中两条直线的位置关系有且只有三种：相交直线、平行直线和异面直线，故D正确．故选：C．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是43，则(a )A．[3]3B．1C．2D．2【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；如图所示：故114323V a a a =⨯⋅⋅⋅=，整理得38a =，所以2a =． 故选：D ．6．（5分）若直线20x y -+=与圆22()2x m y -+=有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．[3-，1]B ．[1-，3]C ．[4-，0]D ．[0，4]【解答】解：由圆22()2x m y -+=， 则圆心坐标为(,0)C m，半径为r直线20x y -+=与圆22()2x m y -+=有公共点，∴2，解得40m -．∴实数m 的取值范围为[4-，0]．故选：C ．7．（5分）已知3log 21a =，则2(a = ) A ．13B ．1C ．2D ．3【解答】解：3log 21a =，∴231log 32a log ==， 23223log a ∴==．故选：D ．8．（5分）阿波罗尼乌斯(Apollonius ，约前262~约前190)是古希腊时期的数学家、天文学家．师从于欧几里得，他结合前人的研究成果，在没有现代数学符号系统的支持下，以超越常人的智慧写出了经典之作《圆锥曲线论》．该书共八卷，传下来七卷，其中给出了解析几何的大部分内容的论断和证明．在其第七卷《平面轨迹》中提出：如果一个移动的点与两定点之间距离的比是常量（且不等于1)，则它的轨迹是一个圆．现在已知两个定点的坐标分别为(1,0)A -，(2,0)B ，动点P 满足||2||PA PB =，则P 点轨迹方程为( ) A ．22650x y x +-+=B ．22670x y x +-+=C ．221070x y x +-+=D ．2214503x y x +-+= 【解答】解：设(,)P x y ，由动点P 满足||2||PA PB =，得： 2222(1)||2||(2)x y PA PB x y++==-+，化简得：22224(2)4(1)x y x y -+=++， 整理得：22650x y x +-+=， 故选：A ．9．（5分）如图，在正方体ABCD A B C D -''''中，线段B D ''上有两个动点E ，F ，若线段EF 长度为一定值，则下列结论中错误的是( )A ．AC BE ⊥B ．BD ⊥平面ABEC ．//EF 平面ABCDD ．三棱锥B AEF -的体积为定值【解答】解：连结BD ，底面ABCD 是正方形，故AC BD ⊥， 又DD '⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，故DD AC '⊥，又BD 和DD '是平面BB D D ''中两条相交直线， 所以AC ⊥平面BB D D ''，而BE 是平面BB D D ''内的直线， 因此AC BE ⊥成立， 故选项A 正确；若BD ⊥平面ABE ，又AB ⊂平面ABE ， 所以BD AB ⊥， 但显然45ABD ∠=︒， 所以BD ⊥平面ABE 不成立， 故选项B 错误；正方体ABCD A B C D -''''中，平面//ABCD 平面A B C D ''''，又EF ⊂平面A B C D ''''， 所以//EF 平面ABCD ，故选项C正确；因为点A到平面BEF的距离也是点A到平面BB D D''的距离，等于正方体面对角线的一半，即三棱锥B AEF-的高为定值，而BEF∆的边EF为定值，高为正方体的棱长，故BEF∆的面积为定值，故13B AEF BEFV S AA-∆=⋅'为定值，故选项D正确．故选：B．10．（5分）在三棱锥P ABC-中，PA PB=，过P作PO⊥平面ABC，O为垂足，M为AB 的中点，则下列结论中肯定成立的是()A．OCA OCB∠=∠B．OA OB=C．OC AB⊥D．C，O，M三点共线【解答】解：连结OM，MP，因为PO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PO AB⊥，又因为PA PB=且M为AB的中点，所以PM AB⊥，又PO PM P=，PO，PM⊂平面POM，故AB⊥平面POM，又OM⊂平面POM，所以AB OM⊥，M为AB的中点，所以OA OB=．因为点C的位置无法确定，所以选项A，C，D不一定成立．故选：B．11．（5分）已知点0(Q x ，1)，若在圆22:1O x y +=上存在点P ，使得60OQP ∠=︒，则0x 的取值范围是( ) A ．1[3-，1]3B ．1[2-，1]2C ．2[2-，2]2D ．3[-，3] 【解答】解：由题意画出图形如图：点0(Q x ，1)， 要使圆22:1O x y +=上存在点P ，使得60OQP ∠=︒，则OQP ∠的最大值大于或等于60︒时一定存在点P ，使得60OQP ∠=︒， 而当QP 与圆相切时OQP ∠取得最大值， 此时1OP =，||3||tan 60OP Q P '==︒． 图中只有Q '到Q ''之间的区域满足3||QP ， 0x ∴的取值范围是3[-，3]． 故选：D ．12．（5分）已知函数()2f x lnx x =+-的零点为a ，记函数g （a ）2lna a =+-，若g （a ）0>恒成立，则正整数的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()10f x x'=+>，故()f x 在(0,)+∞递增， 而f （1）10=-<，f （2）20ln =>， 故12a <<，由g （a ）202lna a lna a =+->=+-得：2224a <+<+=， 故正整数的最大值为3， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）空间中，线段PQ 的端点坐标分别为(1，4，7)-，(3，4-，5)，则线段PQ 的中点M 的坐标为 (2，0，1)- ．【解答】解：因为线段PQ 的端点坐标分别为(1，4，7)-，(3，4-，5)， 所以线段PQ 的中点M 的坐标为(2，0，1)-． 故答案为：(2，0，1)-．14．（5分）已知函数4,(0)()21,(0)x x x f x x +<⎧=⎨-⎩，若f （a ）3=，则a 的值为 1-或2 ．【解答】解：根据题意，4,(0)()21,(0)x x x f x x +<⎧=⎨-⎩，若0a <时，f （a ）43a =+=，则1a =-， 若0a 时，f （a ）213a =-=，则2a =， 综合可得：1a =-或2， 故答案为：1-或2． 15．（5分）已知函数2()121x f x =-+，则不等式(21)(2)0f x f x -+->的解集为 (1,)+∞ ． 【解答】解：函数2()121x f x =-+的定义域为R ， 且222122()111()21212121x x xx x x f x f x -⨯--=-=-==-+=-++++， 所以()f x 为奇函数，且()f x 在R 上单调递增，则不等式(21)(2)0f x f x -+->等价于(21)(2)(2)f x f x f x ->--=-， 所以212x x ->-， 解得1x >，即不等式的解集为(1,)+∞． 故答案为：(1,)+∞．16．（5分）在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，3BF FA =，且CE EF ⊥．若PB =P ABC -的外接球的体积为 36π ．【解答】解：在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC === ABC ∆为正三角形，设ABC ∆的中心为O ，由题意，11,44AE AP AF AB ==， 故//EF PB ，又CE EF ⊥，故CE PB ⊥，连结PO ，BO ，正三棱锥的定义可知，PO ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 故PO AC ⊥，又BO AC ⊥，BOPO O =，BO ，PO ⊂平面POB ，故AC ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， 所以PB AC ⊥，PB CE ⊥，CEAC C =，CE ，AC ⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 故PB PA ⊥，PB PC ⊥，故PBC ∆，PAB ∆，PAC ∆为等腰直角三角形，则BC AB AC ====，设外接球的球心为M ，则M 在PO 上，所以PM M B R ==，又2PO ==，则22222(2)8PM R OM OB R ==+=-+， 解得3R =，故外接球的体积为334433633R πππ=⨯=．故答案为：36π．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．共6小题，共70分． 17．（10分）设集合{3A =，5}，2{|50}B x x x m =-+=，满足{2A B =，3，5}．（Ⅰ）求集合B ；（Ⅱ）若集合{|10}C x ax =-=，且满足B C C =，求所有满足条件的a 的集合．【解答】解：（Ⅰ）{3A =，5}，{2AB =，3，5}，2B ∴∈，且2{|50}B x x x m =-+=，4100m ∴-+=，解得6m =，2{|560}{2B x x x ∴=-+==，3}； （Ⅱ）BC C =，C B ∴⊆，且{|1}C x ax ==，∴①0a =时，C =∅，满足C B ⊆；②0a ≠时，1{}C a=，则12a =或3，解得12a =或13，∴满足条件的a 的集合为：11{0,,}32．18．（12分）在ABC ∆中，已知(1,6)M 是BC 边上一点，边AB ，AC 所在直线的方程分别为270x y -+=，60x y -+=．（Ⅰ）若AM BC ⊥，求直线BC 的方程；（Ⅱ）若|||BM CM =，求直线BC 在x 轴上的截距．【解答】解：（Ⅰ）联立方程27060x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得1x =-，5y =，故点(1,5)A -，又(1,6)M ， 所以6511(1)2AM-==--，因为AM BC ⊥， 所以2BC=-，又M 为BC 边上的一点，所以直线BC 的方程为62(1)y x -=--，即280x y +-=； （Ⅱ）因为|||BM CM =，所以点M 为BC 的中点， 设点(,)B m n ，(,)C a b ，则有2m a +=，12n b +=， 点B 在直线AB 上，点C 在直线AC 上，且(1,5)A -， 所以有552,111n b m a --==++， 解得3m =-，1n =，5a =，11b =， 故点(3,1)B -，(5,11)C ， 所以直线BC 的方程为1311153y x -+=-+，即54190x y -+=， 令0y =，解得195x =， 故直线BC 在x 轴上的截距为195． 19．（12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M ，E 分别为11A D ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：1//MB 平面1C DE ； （Ⅱ）求证：DE ⊥平面11BCC B ； （Ⅲ）求三棱锥1M C DE -的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，M ，E 分别为11A D ，BC 的中点，1//MB DE ∴，1MB ⊂/平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ， 1//MB ∴平面1C DE ．（Ⅱ）证明：直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形， 1CC ∴⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，1DE CC ∴⊥，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，E 为BC 的中点．DE BC ∴⊥， 1BCCC C =，BC ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，DE ∴⊥平面11BCC B ．（Ⅲ）解：直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，12AA AB ==， 60BAD ∠=︒，M ，E 分别为11A D ，BC 的中点，DE ⊥平面11BCC B ， 1C ∴到平面DME 的距离是1C 到1B E 的距离d ，11111122B E d B C CC ⨯⨯=⨯⨯，即2211212222d ⨯+⨯=⨯⨯， 解得5d =，∴三棱锥1M C DE -的体积为：1113M C DE C MDE MDE V V d S --∆==⨯⨯112555325=⨯⨯⨯⨯=．20．（12分）已知圆C 经过点(2,0)A ，与直线2x y +=相切，且圆心C 在直线210x y +-=上．（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点(0,1)，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．【解答】解：（1）因为圆心C 在直线210x y +-=上，可设圆心为(,12)C a a -． 则点C 到直线2x y +=的距离2d =．据题意，||d AC =，则22(2)(12)2a a =-+-，解得1a =．所以圆心为(1,1)C -，半径2r d ==， 则所求圆的方程是22(1)(1)2x y -++=． （2）k 不存在时，0x =符合题意；k 存在时，设直线方程为10kx y -+=，圆心到直线的距离211k =+，34k ∴=-，∴直线方程为3440x y +-=．综上所述，直线方程为0x =或3440x y +-=．21．（12分）2020年，突如其来的新冠肺炎疫情席卷全球，此次疫情传播速度之快、感染范围之广、防控难度之大均创历史之最．面对疫情，我国政府快速应对，在这次疫情大考的实践中凸显了中国社会主义制度的优越性，在向全球提供支援及分享抗疫经验中体现出了大国担当的责任和情怀．据报载，截至目前，我国有5种疫苗正在开展三期临床试验．如图为某种疫苗在按规定的剂量使用后，每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的近似曲线，其中，OM ，MN 为线段，且MN 所在直线的斜率为12-．当3t 时，y 与t 之间满足：1()3t a y -=（其中a 为常数）．（Ⅰ）结合图象，写出使用后y 与t 之间的函数关系式()y f t =，其中0t >；（Ⅱ）根据进一步的测定：每毫升血液中含药量不少于13微克时治疗有效，求使用一次治疗有效的时间范围．【解答】解：（Ⅰ）①当01t <时，直线OM 的方程为4y t =，当1t =时，4y =，即点(1,4)M ，②当13t <时，代入点M 的坐标，得到直线MN 的方程为14(1)2y t -=--，即1922y t =-+，当3t =时，3y =，即点(3,3)N ，③当3t >时，代入点N 的坐标，得到313()3a -=，解得：4a =，∴41()3t y -=，44,0119(),13221(),33t t t f t t t t -⎧⎪<⎪⎪∴=-+<⎨⎪⎪>⎪⎩．（Ⅱ）令143t =，得112t =，即5t =分钟，令411()33t -=，得5t =，即5t =小时，∴使用一次治疗有效的时间范围为用药后的5分钟到5小时之间的时间．22．（12分）已知函数()2x x e ae f x --=是奇函数，()2x x e be g x --=偶函数．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求证：22[()][()]1g x f x -=；（Ⅲ）若方程2[()]()30g x f x --=在[1)ln ，)+∞上有一个实数根，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为函数()2x x e ae f x --=是奇函数，则1(0)02af -==，解得1a =，因为()2x x e be g x --=偶函数，所以()()g x g x -=，即22x x x xe be e be ----=， 所以(1)()0x x b e e -+-=恒成立，即1b =-；（Ⅱ）证明：22222222[()][()]144x x x x e e e e g x f x --+++--=-=；（Ⅲ）由（Ⅱ）知22[()][()]1g x f x =+，则22[()]()3[()]()20g x f x f x f x --=--=， 令()t f x =，[2t ∈，)+∞，方程2[()]()30g x f x --=在[1)ln ，)+∞上有一个实数根，()f x 在R 上单调递增，可转化为2()2h t t t =--在[2，)+∞上有一个零点，而(0)2h =-，开口向上，所以只需h （2）0，--，即1，即4220所以的取值范围为[1，)+∞．。
河南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合,集合,则=( ){}2|4A x x =>{}23|B y y x ==-+A B ⋂A ．B ．()2,3(]2,3C ． D ．()(],22,3-∞- ()(),22,3-∞-⋃【答案】C【分析】求出集合,利用交集的定义求解即可.,A B 【详解】因为或,,{}{242A x x x x ==<-}2x >{}{}2|33B y y x y y ==-+=≤所以或. {2A B x x ⋂=<-}23x <≤故选:C.2．命题“，”的否定为（ ） 0x ∃≥210x -≥A ．， B ．， 0x ∀<210x -<0x ∃≥210x -≥C ．， D ．，0x ∃≥210x -<0x ∀≥210x -<【答案】D【分析】利用含有一个量词命题的否定的定义求解.【详解】解：因为命题“，”是存在量词命题， 0x ∃≥210x -≥所以其否定是全称量词命题，即为，， 0x ∀≥210x -<故选：D3．函数，若，则（ ） 3()tan 2f x ax bx x =--+()1f m =()f m -=A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3【答案】C【分析】先求出，再整体代入即得解.3tan 1am bm m --=-【详解】由题得，()3tan 21f m am bm m =--+=3tan 1am bm m ∴--=-所以.()33tan 2(tan )2123f m am bm m am bm m +-=-++=---+=+=故选：C4．若函数在上不单调，则实数取值范围是（ ） 231y x mx m =-+-[3,4]-m A ． B ．C ．D ．[6,8]-(6,8)-(,6][8,)-∞-⋃+∞(,6)(8,)-∞-⋃+∞【答案】B【分析】利用二次函数的对称轴与所给区间的关系即可得解. 【详解】因为二次函数的对称轴方程为，且在上不单调， 231y x mx m =-+-2mx =[3,4]-所以，解得， 342m-<<68m -<<故选：B5．已知函数，若，则不等式的解集为（ ）()32log 12313x x a x f x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩()1f a =()28(2)f x f x -<A ． B ． C ． D ．(2,4)-(2,)-+∞(4,2)-(1,4)-【答案】A【分析】先由，求得，再判断其单调性，然后由，利用其单调性求()1f a =()f x ()28(2)f x f x -<解.【详解】解：因为函数，且，()32log 12313x x a x f x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩()1f a =当时，，解得， 1a ≥3log 1a a +=1a =当时，，解得（舍去）， 1a <22313a -+=1a =所以，32log 1,1()23,13x x x f x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩当时，单调递增；1x ≥3()log 1f x x =+当时，，单调递增，且， 1x <22()33x f x -=+1232log 1133-+=+所以在R 上递增，()f x 因为，()28(2)f x f x -<所以，即， 282x x -<2280x x --<解得， 24-<<x 故选：A6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数的单位：天）的Logistic 模型：，其中为最大()(I t t ()()0.24531e t K I t --=+K 确诊病例数．当时，则t 约为（ ） ()0.8I t K =()ln 4 1.39≈A ．48B ．72C ．63D ．59【答案】D【分析】根据题意得到，再两边取对数求解即可.0.24(53)()0.81e t K I t K --==+【详解】由题意得：，0.24(53)()0.81e t KI t K --==+即， 0.24(53)e41t --=两边取对数得， 10.24(53)ln ln 4 1.394t --==-≈-即， 0.24(53) 1.39t -≈解得， 59t ≈故选：D.7．锐角三角形的内角A ，B ，C 满足：，则有（ ） cos sin 2cos sin A B B C =A ． B ． sin 2cos 0B C -=sin 2cos 0B C +=C ． D ．sin 2sin 0B C -=sin 2sin 0B C +=【答案】C【分析】由三角恒等变换化简可得，得出，再由诱导公式即可得解. A B =π2C B =-【详解】因为， cos sin 2cos sin A B B C =所以， 2cos sin cos cos sin A B B B C =又，所以， π02B <<cos 0B ≠所以， 2cos sin sin sin()sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+即，又为锐角， in 0()s A B -=,A B 所以，故，A B =π2C B =-所以，， sin sin(π2)sin 2C B B =-=cos cos(π2)cos 2C B B =-=-故， sin 2sin 0B C -=故选：C 8．已知，则等于（ ） 1124m m+=+2log m m A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4【答案】C【分析】首先根据已知条件得到，再根据求解即128mm ⋅=()2222log log 2log log 2m m m m m m +=+=⋅可.【详解】因为，所以，即.1124m m+=128m m =128mm ⋅=所以. ()222221log log 2log log 2log 38m mm m m m +=+=⋅==-故选：C二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合和表示同一个集合 {}1,2A =(){}1,2B =B ．函数的单调增区间为()f x [3,1]--C ．若，则用a ，b 表示2log 3a =2log 5b =303log 401b a b +=++D ．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，()f x (,0)(0,)-∞+∞ 0x >21()1f x x x=+-0x < 21()1f x x x=--+【答案】BC【分析】对于A ，根据集合的定义即可判断；对于B ，利用复合函数的单调性即可判断；对于C ，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D ，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.【详解】对于A ，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，{1,2}A ={(1,2)}B =所以A 选项错误；对于B ，根据解得函数的定义域为， 2320x x --≥()f x =[3,1]-令则，232t x x =--y =为二次函数，开口向下，对称轴为，232t x x =--()2121x -=-=-⨯-所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，232t x x =--[]3,1--[]1,1-函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数，y =()f x =[]3,1--所以B 选项正确；对于C ，因为，，根据对数的换底公式可得2log 3a =2log 5b =，所以C 选项正确；22223022222log 40log (58)log log 83log 40log 30log (352155)log 3log log 2b a b ⨯++==+==⨯⨯+++对于D ，因为当时，，可令，则，所以 0x >21()1f x x x=+-0x <0x ->， 2211()()11()f x x x x x-=-+-=---又因为是定义在上的奇函数，所以与题干结果不()f x (,0)(0,)-∞+∞ 21()()1f x f x x x=--=-++符，所以D 选项错误； 故选：BC.10．下列函数中，最小正周期为的是（ ） πA ． B ．|sin |y x =πtan 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ． D ．cos ||y x =πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】依次判断选项中的函数周期即可得到答案。
2023-2024学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题1(含答案)
2023-2024学年河南省郑州市高一上册期末数学试题一、单选题1．命题“∀x ∈R ，|x |+x 2≥0”的否定是（）A ．∀x ∈R ，|x |+x 2<0B ．∀x ∈R ，|x |+x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|+20x <0D ．∃x 0∈R ，|x 0|+20x ≥0【正确答案】C【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“x ∀∈R ，20x x +≥”的否定是“0x ∃∈R ，2000x x +<”.故选：C.2．已知全集U =R ，集合{|14}A x x x =<->或，23{|}B x x =-≤≤，那么阴影部分表示的集合为A ．4{|}2x x -≤<B ．{|34}x x x ≤≥或C ．{|21}x x -≤≤-D ．{|13}x x -≤≤【正确答案】D【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U C A B ⋂，求出U C A ，计算得到答案【详解】阴影部分表示的集合为()U C A B ⋂，{|14}A x x x =- 或{|14}U C A x x ∴=-≤≤{|23}B x x =-≤≤ (){|13}U C A B x x ∴⋂=-≤≤故选D本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题3．已知函数3,2,()(1),2,x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩则(6)f 等于（）A ．－2B ．0C ．1D ．2【正确答案】A【分析】根据分段函数，根据分段函数将(6)f 最终转化为求()1f 【详解】根据分段函数可知：()()()()()(6)543212f f f f f f ======-故选：A4．对于实数a ，b ，c 下列命题中的真命题是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b >>，则11a b>C ．若0a b <<，则b a a b >D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b <【正确答案】D【分析】通过不等式的性质一一验证即可.【详解】对于选项A ：若a b >，当0c =时，22ac bc =，故选项A 错误；对于选项B ：若0a b >>，可得0b aab -<，则11ab<，故选项B 错误；对于选项C ：若0a b <<，则22a b >，则b aa b<，故选项C 错误，对于选项D ：若11a b >，则0b a ab->，又a b > ，则0a >，0b <，故选项D 正确；故选：D.5．“2,3k k πθπ=+∈Z ”是“sin 2θ=”的（）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】由sin 2θ=等价于2,3k k πθπ=+∈Z ，或22,3k k πθπ=+∈Z ，再根据充分、必要条件的概念，即可得到结果.【详解】因为sin 2θ=，所以2,3k k πθπ=+∈Z ，或22,3k k πθπ=+∈Z ，所以“2,3k k πθπ=+∈Z ”是“sin 2θ=”的充分而不必要条件.故选:B.6．函数f(x)＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【正确答案】B【详解】试题分析：根据零点存在性定理，因为，所以函数零点在区间（3，4）内，故选择B 零点存在性定理7．已知α为钝角，且1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C ．D 【正确答案】C先求出cos 123πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用和角的余弦公式计算求解.【详解】∵α为钝角，且1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴cos 123πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴5cos cos 12123πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin123123ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123=-=故选：C本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．函数()()2121531xa x a x f x a x ⎧-+<=⎨-≥⎩在R 上单调递减的一个充分不必要条件是（）A ．20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】先求出()f x 在R 上单调递减的a 的范围，则充分不必要条件为102a <<的非空真子集.【详解】函数()()2121531xa x ax f x a x ⎧-+<=⎨-≥⎩在R 上单调递减，则2100121253a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥-⎩，解得：102a <<，则()f x 在R 上单调递减的一个充分不必要条件为102a <<的非空真子集，所以A 正确，故选：A.二、多选题9．下列函数是奇函数的有（）A ．ln y x =B ．sin y x =C ．1y x x=+D ．2xy =【正确答案】BC【分析】通过奇函数的定义()()0f x f x +-=，以及定义域关于原点对称分析各个选项【详解】因为ln y x =的定义域为(0,)+∞，不符合奇函数定义，A 错误；通过奇函数的定义()()0f x f x +-=，sin sin()0x x +-=，且定义域关于原点对称，B 正确；1()f x x x=+，所以()()0f x f x +-=，且定义域关于原点对称，C 正确；()2x g x =，所以()()0g x g x +-≠，D 错误；故选：BC10．已知函数()sin 2xf x =，则以下结论恒成立的是（）A ．()()f x f x -=-B ．()()f x f x -=C ．(2)()f x f x π-=D ．()()f x f x ππ+=-【正确答案】ACD利用诱导公式逐个验证即可得答案【详解】解：对于A ，B ，()sin()sin ()22x xf x f x -=-=-=-，所以A 正确，B 错误；对于C ，2(2)sinsin(sin ()222x x xf x f x πππ--==-==，所以C 正确；对于D ，因为()sinsin()cos 2222xx x f x πππ++==+=，()sin sin()cos 2222x x xf x πππ--==-=，所以()()f x f x ππ+=-，所以D 正确，故选：ACD11．已知角α的终边经过点()sin120,tan120P,则（）A．cos α=B．sin α=C ．tan 2α=-D．sin cos αα+=【正确答案】ACD【分析】先化简点P 坐标,再根据三角函数的定义,求得sin α,cos α,进而求得tan ,sin cos ααα+的值即可判断选项.【详解】解:由题知()sin120,tan120P ,即P ⎝,因为角α的终边经过点P ,所以sin ,5α=-cos ,5α=sin tan 2cos ααα==-,sin cos 555α+α=-+=-.故选:ACD12．函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是（）A ．图象C 关于直线11π12x =对称；B ．图象C 关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称；C ．由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ；D ．函数()f x 在区间π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数.【正确答案】ABD【分析】利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解.【详解】对于A ，由()ππ2πZ 32x k k -=+∈，得()π5πZ 212k x k =+∈，所以()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴方程为()π5πZ 212k x k =+∈，当1k =时，π5π11π21212x =+=，所以图象C 关于直线11π12x =对称，故A 正确；对于B ，由2π2ππ3sin 23sin π=0333f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图象C 关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，将3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得π2ππ3sin 23sin 23sin 2()333y x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≠-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，由()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈，得()π5πππZ 1212k x k k -≤≤+∈，所以()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个增区间，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()21xf x =-,则()1f -=__________.【正确答案】1-【分析】根据0x >时函数解析式,将1x =代入即可求()1f ,根据奇函数()()011f f +-=代入即可求得()1f -.【详解】解:由题知()f x 是定义在R 上的奇函数,()()110f f ∴+-=,当0x >时,()21xf x =-,()11f ∴=,()11f ∴-=-.故答案为:-114．已知函数()()2lg 72f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【正确答案】49,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】转化为2720ax x ++>恒成立，分0a =与0a ≠两种情况，列出不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】由题意得：2720ax x ++>恒成立，当0a =时，720x +>，解得：27x >-，定义域为不是R ，舍去；当0a ≠时，要满足0Δ4980a a >⎧⎨=-<⎩，解得：498a >，综上：实数a 的取值范围是49,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为.49,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x +是奇函数，()01f =，则()()()()()21012f f f f f -+-+++=__________.【正确答案】1-【分析】由奇函数的定义，()1f x +是奇函数，所以有()()11f x f x -+=-+，分别令x 取0和1-，即可求出()1f 与()2f 的值，再利用()f x 为偶函数，可求出()1f -与()2f -的值，然后代入式中求解即可.【详解】∵()1f x +是奇函数，∴()()11f x f x -+=-+，令0x =，得()()0101f f -+=-+，即()()11f f =-，∴()10f =，令=1x -，得()()()1111f f --+=--+，即()()201f f =-=-，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()221f f -==-，()()110f f -==，∴()()()()()()()21012101011f f f f f -+-+++=-++++-=-.故答案为.1-16．已知函数()()6sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<为偶函数，点()()12,6,,6A x B x -是函数()f x 图象上的两点，若12x x -的最小值为3，则()2f =__________.【正确答案】3-【分析】根据函数的奇偶性确定π2ϕ=，再根据12x x -的最小值为3确定函数最小正周期，求得2π3ω=，即得函数解析式，即可求得答案.【详解】因为函数()()6sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<为偶函数，故()()6sin 6sin x x ωϕωϕ-+=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x ωϕωϕωϕωϕ-+=+，所以sin cos 0x ωϕ=，sin x ω不恒等于0，故cos 0ϕ=，而0πϕ<<，则π2ϕ=，点()()12,6,,6A x B x -是函数()f x 图象上的两点，12x x -的最小值为3，则()f x 的最小正周期为6，则2ππ63ω==，故()πππ36sin 6co 3s 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故()6cos2π233f ==-，故3-四、解答题17．求值：（1）1103231338⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（2）24log 32log 0.252lg 42lg5⋅+++【正确答案】（1）32-（2）1792【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）根据对数的运算法则及性质化简求值.【详解】（1）1103231338⎛⎫--+⎪⎝⎭13271()18=-+133312(12⨯=--+32=-（2）24log 32log 0.252lg 42lg5⋅+++421log 32221log ln 2lg 4lg 54e =++++-1281lg10022=-+++-1792=本题主要考查了指数运算，对数运算，属于中档题.18．已知1,sin cos 225x x x ππ-<<+=.(1)求2sin cos sin 1tan x x x x⋅++的值(2)求sin cos x x -的值.【正确答案】（1）1225-（2）75-【分析】（1）由1sin cos 5x x +=两边平方可得sinxcosx ，利用同角关系2sin cos sin sinxcosx 1tan x x xx⋅+=+；（2）由（1）可知cosx 0sinx 0＞，＜，从而sin cos x x -=【详解】（1）∵1sin cos 5x x +=.∴112sinxcosx 25+=，即12sinxcosx 25=-()2sin cos sin 1tan 1sinx cosx sinx x x x sinx x cosx+⋅+=++，()12sinxcosx 25sinxcosx cosx sinx sinx cosx +===-+（2）由（1）知12sinxcosx 25=-＜0，又22x ππ-<<∴cosx 0sinx 0＞，＜，∴7sin cos 5x x -===-本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和整体代入的思想，属于中档题．19．设命题()2:240p x m x m +-+=方程有两个不相等的实数根；命题q ：对所有的23x ≤≤，不等式22413x x m -+≥恒成立.(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题,p q 一真一假，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1){4m m 或1}m <(2){|3m m <-或13m ≤≤或4}m >【分析】（1）根据命题p 为真命题，由2(24)44(1)(4)0m m m m ∆=--=-->求解；（2）先由命题q 为真命题求得m 的范围，再根据命题,p q 一真一假求解.【详解】（1）解：若命题p 为真命题，则2Δ(24)44(1)(4)0m m m m =--=-->，解得4m >或1m <，所以实数m 的取值范围为{4m m 或1}m <.（2）若命题q 为真命题，则当23x ≤≤时，()2229x m -≥-恒成立.当2x =时，()22y x =-取得最小值0，则209m ≥-，即29m ≤，解得3 3.m -≤≤当p 真q 假时，1433m m m m <<⎧⎨<-<⎩或或，得3m <-或4m >，当p 假q 真时，得33m -≤≤且14m ≤≤，解得13m ≤≤.综上，实数m 的取值范围为{|3m m <-或13m ≤≤或4}m >.20．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x 万件产品，还需另外投入原料费及其他费用()f x 万元，产量不同其费用也不同，且()21,010,29lg 41,10.x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪+-≥⎩已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出.(1)写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？【正确答案】(1)()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩(2)当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元【分析】（1）根据题意，建立函数关系式；（2）利用函数单调性求出最大值，即可得到答案.【详解】（1）当010x <<时，()2211838322W x x x x x =--=-+-.当10x ≥时，()()89lg 413lg 38W x x x x x x =-+--=--+.故()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩（2）当010x <<时，()()22118382922W x x x x =-+-=--+，所以当8x =时，()W x 取得最大值，且最大值为29；当10x ≥时，()lg 38W x x x =--+，此时()W x 单调递减，所以当10x =时，()W x 取得最大值，且最大值为27.综上，当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元.21．已知22()()21x x a a f x x ⋅+-=∈+R 是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性，并用定义证明之；(3)解关于t 的不等式()23(2)0f t f t -+<．【正确答案】(1)1；(2)函数()(())f x g h x =在R 上是增函数，证明见解析；(3){31}t t -<<。
2022-2023学年河南省郑州市第一中学高一上学期期末数学试题(解析版)
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
同理 ，解得 ，当且仅当 时，等号成立.
对于A， ，
所以 ，当 时，等号成立，所以A错误；
对于B， ，当 时，等号成立，所以B正确；
对于C， ，当且仅当 时，等号成立，所以C正确；
对于D，设 ，பைடு நூலகம் ，所以 ，
即 ，则 ，得 ，
解得 ，所以D正确.
故选：BCD.
12.设函数 的定义域为 ，且满足 ， ，当 时， .则下列说法正确的是（）
A.
B.当 时， 的取值范围为
C. 为奇函数
D.方程 仅有3个不同实数解
【答案】BC
【解析】
【分析】根据 ，推导出 ，所以 的周期为8，可判断A；根据函数性质求出 ， ，当 时， ，从而确定 的取值范围，可判断B；根据 得到 关于 中心对称，从而 关于原点中心对称，即 为奇函数，可判断C；画出 与 的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程 的根的个数，可判断D.
【详解】解：由二次函数图象开口向下知： ，对称轴为 ，即 ，故 .
又因为 ，
所以 .
故选：ACD.
11.已知 为正数， ，则下列说法正确的是（）
A. B. 的最小值为1
C. 最小值为8D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 结合基本不等式，求得 的最大值， 的最小值，判断选项正误.
【详解】因为 ， 为正数， ，
对于B，函数 偶函数，故B正确：
对于C，因为 是第一象限角，所以 ，所以 ，所以 是第一象限或第三象限角，故C正确；
对于D，取 ， ，满足 、 是第一象限的角，且 ，而 ．故D错误．
故选：BC．
10.二次函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（）
河南省郑州市2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，
外接球的表面积的值为 ,
故答案为：
【点睛】本题考查球的内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于容易题.
16.高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， .已知函数 ，则函数 的值域是_________.
则故 取得最小值，为 ，
当 时，函数值最大为 ．
即函数取值范围是 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题.
二､填空题
13.已知集合M满足 ，则满足条件的集合M有_________个.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案.
【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的最值，函数在实际问题中的应用，属于中档题.
22.已知函数 为奇函数，其中a为常数.
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）判断函数 在 上的单调性，并证明；
（Ⅲ）对任意 ，都有 恒成立.求实数m的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 在 上为增函数，证明见解析（Ⅲ）
7.已知 ，若 ，则t=（ ）
A. 16B. 8C. 4D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数 为单调函数，令 ，求出 即可.
【详解】 , ,
令 ,
,
,
即 ，
2019-2020学年河南省郑州市高一数学上学期期末考试数学试题含解析
D.经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直
〖答 案〗C
〖解 析〗
〖分析〗
对于A，利用确定平面的定理的推论可判断正误；对于B，根据反证法即确定平面的性质即可判断；对于C,根据异面直线的的定义判定即可；对于D,利用反证法思想及线面垂直的性质可判断.
〖详 解〗A中若直线a､b相交，则直线a､b确定一个平面符合确定一个平面的条件，正确；
6.如下图一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A.8B. C.2D.4
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
由三视图可知几何体为高是2的四棱锥，且底面为正方形，利用棱锥体积公式求解即可.
〖详 解〗由三视图知，几何体是底面为正方形的四棱锥，且有一个侧面垂直底面，
四棱锥的高为2，
所以 ，
故选：B
〖点 睛〗本题主要考查了三视图，棱锥的体积，属于容易题.
〖详 解〗 ，
，
是R上的奇函数，
，
，
故选：D
〖点 睛〗本题主要考查了函数的周期性，奇函数的性质，属于中档题.
10.已知圆M： ，过直线l： 上任意一点P向圆引切线PA，切点为A，则 的最小值为（ ）
A.1B.2C.3D.4
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
根据题意，可得 ,当 最小时， 最小，而当 垂直于直线l时最小，求出 的最小值，可得答案.
5.已知圆 的圆心在直线 上，则该圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
分析〗
根据圆的一般方程化为标准方程，根据直线过圆心求出m,即可计算半径得面积.
详解〗 ,
,
河南省郑州市高一数学上学期期末考试试题(含解析)新人教A版
注意事项：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考试时间120分钟，满分150分。
考生应先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡。
参考公式：334R V π=球 , 24R S π=球 , 其中R 为球的半径。
Sh V 31=锥体 ，其中S 为锥体的底面积，h 是锥体的高。
Sh V =柱体 ，其中S 为柱体的底面积，h 是锥体的高。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合{}12<≤-=x x A ，{}20≤<=x x B ，则B A ⋂=（ ）A . {}22≤≤-x xB . {}02<≤-x x C . {}10<<x x D . {}21≤<x x2. 下列函数中，在R 上单调递增的是（ ）A . x y =B . x log y 2=C . 3x y = D . xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21D 、xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21在R 上单调递减，故不正确,故选C ．考点：函数单调性的判断与证明．3. 经过点()()42-,m N ,m M ，的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ） A . 1 B . 4 C . 1或3 D . 1或44. 如果直线m //直线n ,且m //平面α,那么n 与α的位置关系是（ ）A . 相交B . n //αC . n ⊂αD . n //α或n ⊂α5. 设32-=a ，8173log b = ，132-⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则（ ）A . c b a >>B . c b a <<C . c a b <<D . a c b <<6. 如图是一个简单的组合体的直观图与三视图，一个棱长为4的正方体，正上面中心放一个球，且球的一部分嵌入正方体中，则球的半径是（ ）A .21 B . 1 C . 23D . 27. 若直线()()()0122>=-++a a y a x a 与直线()()02321-=+++y a x a 互相垂直，则a 等于（ ）A . 1B . -1C .±1 D. -28. ()00y ,x M 为圆()0222>=+a a y x 内异于圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系为（ ）A . 相切B . 相交C . 相离D .相切或相交 【答案】C 【解析】试题分析：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r =a ， 由M 2200x y a +< 则圆心到已知直线的距离222200a a d a r ax y -=>==+，所以直线与圆的位置关系为：相离．故选C. 考点：直线与圆的位置关系．9. 直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，则AB 的最小值是（ ）A . 32B .22C .2D . 110. 已知A ba==53,且211=+ba ，则A 的值是（ ） A .15 B .15 C . ±15 D .22511. 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点E ,、F ，且21=EF ,则下列结论中错误的是（ ）A . BE AC ⊥B .平面ABCD //EFC . 三棱锥BEF A -的体积为定值D . AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等D ．由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确，故D 是错误的．综上应选D.考点：棱柱的结构特征．12. 已知()()⎩⎨⎧≥<--=113x ,x log x ,a x a x f a，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A . ⎪⎭⎫⎢⎣⎡323, B .()31, C . ()10, D . ()∞+，1第II 卷 （非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 棱长为2的正方体的外接球的表面积为 ．14. 已知函数()⎩⎨⎧≤>=020-3x ,x ,x log x f x ，则()()13-+f f ＝ ．15. 集合(){}422=+=y x y ,x A ，()()(){}22243r y x y ,x B =-+-=，其中0>r ,若B A ⋂中有且仅有一个元素，则r 的值是 ．16. 一条直线经过点()22，-A ，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 ．【答案】2x +y +2=0或x +2y -2=0； 【解析】试题分析：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ,则有S =12|a ·b |=1.∴ab =±2.设直线的方程是x y a b +=1.∵直线过点(-2,2),代入直线方程得22a b -==1,即b =22aa +.∴ab =222a a +=±2,解得1,2,2 1.a ab b =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或∴直线方程是12x y +--=1或21x y+=1,即2x +y +2=0或x +2y -2=0. 考点：直线的一般式方程．三．解答题（本大题共６小题，共７０分。
2020-2021学年河南省郑州市高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）已知集合A={x|x＞-1}，B={x|x＜2}，则A∪（∁R B）=（）A.{x|x＞-1}B.{x|x≥-1}C.{x|x＜-1}D.{x|-1＜x≤2}的定义域为（）2.（单选题，5分）函数f（x）=ln（x-1）+ 1x−2A.（0，2）∪（2，+∞）B.[0，2）∪（2，+∞）C.（1，2）∪（2，+∞）D.[1，2）∪（2，+∞）3.（单选题，5分）已知a=0.3-0.3，b=3-0.3，c=log30.3，则（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.a＞c＞bD.c＞a＞b4.（单选题，5分）下列说法中错误的是（）A.空间中，“一条直线在平面内”也可以说“平面经过这条直线”B.空间中，直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行C.空间中，两个平面之间的位置关系有且只有三种：两个平面平行、两个平面相交和两个平面垂直D.空间中两条直线的位置关系有且只有三种：相交直线、平行直线和异面直线5.（单选题，5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是4，则a=（）3A. 23√3B.1C. √2D.26.（单选题，5分）若直线x-y+2=0与圆（x-m）2+y2=2有公共点，则实数m的取值范围是（）A.[-3，1]B.[-1，3]C.[-4，0]D.[0，4]7.（单选题，5分）已知alog32=1，则2a=（）A. 13B.1C.2D.38.（单选题，5分）阿波罗尼乌斯（Apollonius，约前262～约前190）是古希腊时期的数学家、天文学家．师从于欧几里得，他结合前人的研究成果，在没有现代数学符号系统的支持下，以超越常人的智慧写出了经典之作《圆锥曲线论》．该书共八卷，传下来七卷，其中给出了解析几何的大部分内容的论断和证明．在其第七卷《平面轨迹》中提出：如果一个移动的点与两定点之间距离的比是常量（且不等于1），则它的轨迹是一个圆．现在已知两个定点的坐标分=2，则P点轨迹方程为（）别为A（-1，0），B（2，0），动点P满足|PA||PB|A.x2+y2-6x+5=0B.x2+y2-6x+7=0C.x2+y2-10x+7=0x+5=0D.x2+y2- 1439.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，线段B'D′上有两个动点E，F，若线段EF长度为一定值，则下列结论中错误的是（）A.AC⊥BEB.BD⊥平面ABEC.EF || 平面ABCDD.三棱锥B-AEF的体积为定值10.（单选题，5分）在三棱锥P-ABC 中，PA=PB ，过P 作PO⊥平面ABC ，O 为垂足，M 为AB 的中点，则下列结论中肯定成立的是（ ）A.∠OCA=∠OCBB.OA=OBC.OC⊥ABD.C ，O ，M 三点共线11.（单选题，5分）已知点Q （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点P ，使得∠OQP=60°，则x 0的取值范围是（ ）A.[- 13 ， 13 ]B.[- 12 ， 12 ]C.[- √22 ， √22 ]D.[- √33 ， √33 ]12.（单选题，5分）已知函数f （x ）=lnx+x-2的零点为a ，记函数g （a ）=lna+2a-k ，若g （a ）＞0恒成立，则正整数k 的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.413.（填空题，5分）空间中，线段PQ 的端点坐标分别为（1，4，-7），（3，-4，5），则线段PQ 的中点M 的坐标为___ ．14.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x +4，(x ＜0)2x −1，(x ≥0) ，若f （a ）=3，则a 的值为___ ． 15.（填空题，5分）已知函数f （x ）=1-22x +1 ，则不等式f （2x-1）+f （x-2）＞0的解集为___ ．16.（填空题，5分）在正三棱锥P-ABC 中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，PE=3EA ，BF=3FA ，且CE⊥EF ．若PB=2 √3 ，则三棱锥P-ABC 的外接球的体积为___ ．17.（问答题，10分）设集合A={3，5}，B={x|x 2-5x+m=0}，满足A∪B={2，3，5}． （Ⅰ）求集合B ；（Ⅱ）若集合C={x|ax-1=0}，且满足B∩C=C ，求所有满足条件的a 的集合．18.（问答题，12分）在△ABC中，已知M（1，6）是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别为2x-y+7=0，x-y+6=0．（Ⅰ）若AM⊥BC，求直线BC的方程；（Ⅱ）若|BM=|CM|，求直线BC在x轴上的截距．19.（问答题，12分）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1=AB=2，∠BAD=60°，M，E分别为A1D1，BC的中点．（Ⅰ）求证：MB1 || 平面C1DE；（Ⅱ）求证：DE⊥平面BCC1B1；（Ⅲ）求三棱锥M-C1DE的体积．20.（问答题，12分）已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y=2相切，且圆心C在直线2x+y-1=0上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．21.（问答题，12分）2020年，突如其来的新冠肺炎疫情席卷全球，此次疫情传播速度之快、感染范围之广、防控难度之大均创历史之最．面对疫情，我国政府快速应对，在这次疫情大考的实践中凸显了中国社会主义制度的优越性，在向全球提供支援及分享抗疫经验中体现出了大国担当的责任和情怀．据报载，截至目前，我国有5种疫苗正在开展三期临床试验．如图为某种疫苗在按规定的剂量使用后，每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的．当t≥3时，y与t之间满近似曲线，其中，OM，MN为线段，且MN所在直线的斜率为- 12足：y=（13）t-a（其中a为常数）．（Ⅰ）结合图象，写出使用后y与t之间的函数关系式y=f（t），其中t＞0；（Ⅱ）根据进一步的测定：每毫升血液中含药量不少于13微克时治疗有效，求使用一次治疗有效的时间范围．22.（问答题，12分）已知函数f（x）= e x−ae−x2是奇函数，g（x）= e x−be−x2偶函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求证：[g（x）]2-[f（x）]2=1；（Ⅲ）若方程[g（x）]2-kf（x）-3=0在[ln（√2 +1），+∞）上有一个实数根，求k的取值范围．。
2022-2023学年河南省重点高中高一数学第一学期期末统考试题含解析
【点睛】诱导公式的记忆方法：奇变偶不变，符号看象限.
10、C
【解析】将5个函数的解析式化简后，根据相等函数的判定方法分析，即可得出结果.
【详解】（1） 与 定义域相同，对应关系不同，不是同一函数；
（2） 与 的定义域相同，对应关系一致，是同一函数；
（3） 与 定义与相同，对应关系不同，不是同一函数；
当 时， ，
∴函数 在 上的最大值是 ，
由 ，得 ， 的最大值不是 ；
2、B
【解析】若函数 的定义域和值域都为R，则 .
解得 或3.
当 时， ，满足题意；
当 时， ，值域为{1}，不满足题意.
故选B.
3、A
【解析】结合图象利用五点法即可求得函数解析式.
【详解】由图象可得 解得 ，
因为 ，所以 ．又因为 ，所以
考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）
（2）
（3）见详解.
【解析】【小问1详解】
因为 ，所以 即 ，所以 ，
所以 的不动点为 ；
解 ， ，
所以 ，
因为 是 的解，所以上述四次方程必有因式 ，
利用长除法或者双十字相乘法因式分解得 ，
（2）若 与 均恰有两个不动点，求a的取值范围；
（3）若 有两个不动点， 有四个不动点，证明：不存在函数 满足
18．已知 ， 、 、 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为 、 、
（1）若 ，求角 的值；
（2）当 时，求 的值
19．已知函数 的图象经过点 其中
（1）求a的值；
（2）若 ,求x的取值范围.
2022-2023学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题(含解析)
2022-2023学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|11A x x =-<<，{}02B x x =≤≤，则A B = （）A ．(12]-，B ．(12)-，C ．[01)，D ．[01]，【正确答案】C【分析】由交集的定义计算．【详解】由已知{|01}[0,1)A B x x =≤<= ．故选：C ．2．函数1()lg(2)3f x x x =-+-的定义域是（）A ．(2)+∞，B ．(23)，C ．(3)+∞，D ．(23)(3)+∞ ，，【正确答案】D【分析】由题可得2030x x ->⎧⎨-≠⎩，即得.【详解】∵1()lg(2)3f x x x =-+-，∴2030x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >，且3x ≠，所以函数的定义域为(2,3)(3,)+∞ .故选：D.3．已知ln 3a =，0.43-=b ，0.53c -=，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a>>【正确答案】A【分析】根据对数的单调性，指数函数的单调性，求解即可.【详解】因为ln 3ln e 1a =>=，0.50.4331c b --=<=<，所以a b c >>．故选：A4．用二分法求函数32()22f x x x x =+--的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f （1）＝–2，f （1.5）＝0.625，f （1.25）≈–0.984，f （1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是A ．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）D ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.3125）【正确答案】C【分析】根据已知能的特殊函数值，可以确定方程32220x x x +--=的根分布区间，然后根据精确要求选出正确答案.【详解】由由二分法知，方程32220x x x +--=的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）．故选C ．本题考查了二分法的应用，掌握二分法的步骤是解题的关键.5．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm 【正确答案】D【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为1r ，2r ，相同的圆心角为θ，则1216080r r θ==，得122r r =，又因为1240r r -=，所以180r =，240r =，该扇形玉雕壁画面积1211111608016080804048002222S r r =⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=（2cm ）．故选：D ．6．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，点(1,3)P -在角α的终边上，则sin cos 2sin 3cos αααα-=-（）A ．34-B ．34C ．49-D ．49【正确答案】D【分析】先根据三角函数的定义求出tan α，然后采用弦化切，代入tan α计算即可【详解】因为点(1,3)P -在角α的终边上，所以tan 3α=-sin cos tan 13142sin 3cos 2tan 32(3)39αααααα----===--⨯--故选：D7．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增D ．图像关于直线12x π=-成轴对称【正确答案】B【分析】根据函数tan(2)tan(233y x x ππ=-+=--，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：函数tan(2)tan(2)33y x x ππ=-+=--，当512x π=时，521232πππ⨯-=，所以图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，选项B 正确；函数的最小正周期为2T π=，所以A 错误；当,312x ππ⎛-∈⎫-⎪⎝⎭时，2,32x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以函数在,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以C 错误；正切函数不是轴对称函数，所以D 错误．故选：B ．8．下列有关命题的说法错误的是（）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x R ∈，均有210x x ++≥【正确答案】C【分析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程2440kx x ++=有一根判断；D.由命题p 的否定为全称量词命题判断.【详解】A.令223t x x =-++，由2230x x -++>，解得13x -<<，由二次函数的性质知：t 在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又lg y t =在()0,∞+上递增，由复合函数的单调性知：()2lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增，故正确；B.当1x =时，2x -4x +3=0成立，故充分，当2x -4x +3=0成立时，解得1x =或3x =，故不必要，故正确；C.若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当0k =时，=1x -，当0k ≠时，16160k ∆=-=，解得1k =，所以0k =或1k =，故错误；D.因为命题p .存在0x R ∈，使得20010x x ++<是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即⌝p 任意x R ∈，均有210x x ++≥，故正确；故选：C二、多选题9．下列化简结果正确的是（）A ．1cos 22sin 52sin 22cos522︒︒-︒︒=B ．1sin15sin 30sin 754︒︒︒=C ．cos15sin152︒-︒=D ．tan 24tan 361tan 24tan 36︒+︒=-︒︒【正确答案】ACD【分析】由正弦、余弦、正切函数的和差角公式逐一判断可得选项.【详解】解：对于A ，()1cos 22sin 52sin 22cos 52sin 5222sin 302︒︒-︒︒=-==，故A 正确；对于B ，11111sin15sin 30sin 75cos15sin15sin 30sin 30sin 3022228︒︒︒=︒︒︒=⋅=⨯⨯= ，故B 不正确；对于C ，()cos15sin15451530︒-︒=-== ，故C 正确；对于D ，()tan 24tan 36tan 24+36tan 601tan 24tan 36︒+︒=︒︒=︒=-︒︒D 正确，故选：ACD.10．下列四个命题正确的有（）A ．已知π3cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭值为35B ．若22a x a y ≥，则x y≥C ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角D ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π【正确答案】ACD【分析】利用诱导公式可以判断A ；利用特值法可以判断B ；对C 先判断α的象限，再判断2α的象限；对D ，作出函数的图象，再由图象进行判断．【详解】A.因为π3cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5ππππsin sin cos 3π3co 26s 66αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎝⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎝=⎪⎭⎭⎭，故选项A 正确；B ．当0a =，1,2x y ==时，满足22a x a y ≥，但不能得到x y ≥，故选项B 错误；C ．2sin sin tan 0cos αααα⋅=> 且cos tan sin 0ααα⋅=<，∴cos 0,sin 0αα><，α\为第四象限角，所以32ππ2π2π,Z 2k k k α+<<+∈,所以3ππππ,Z 42k k k α+<<+∈，∴2α为第二或第四象限角，故选项C 正确；D ．作出1|cos |2y x =+的图象如图所示，由图象可得此函数为周期函数且最小正周期为2π，故选项D 正确；故选：ACD11．下列说法正确的有（）A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是1-B ．若x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3C ．若0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是2D ．()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，()10f =，则不等式()0f x x>的解集为()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】AB【分析】对于A ，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B ，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C ，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D ，根据题意可得函数在(),0∞-上单调递减，从而可得不等式()0f x x>等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，从而可得出答案【详解】对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->，所以()1122112121x x x x +=-++=---()()11121212111212x x x x⎡⎤-++-⋅-⋅+=-⎢⎥--⎣⎦≤，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，故1221x x +-的最大值为1-，故A 正确；对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=，10x +>，0y z +>，所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，所以()4411115531313y z x x y z x y z ⎡+⎡⎤++=++≥+=⎢⎢⎥++++⎢⎣⎦⎣，当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+，即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立，所以411x y z+++的最小值为3，故B 正确；对于C ，因为0x >，0y >，所以2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-（舍去）或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，因为函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，所以函数在(),0∞-上单调递减，又因(1)0f =，所以(1)0f -=，不等式()0f x x >等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，即()()01x f x f >⎧⎨>⎩或()()01x f x f <⎧⎨<-⎩，所以10x -<<或1x >，即不等式()0xf x >的解集为()(1,01,)-⋃+∞，故D 错误故选：AB12．定义运算：a b ad bc cd=-，将函数()cos sin x f x xωω=的图像向左平移23π个单位，所得图像关于原点对称，若01ω<<，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．对任意的x R ∈，都有()23f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 在()0,π上是增函数D ．由2sin y x ω=的图像向右平移3π个单位长度可以得到()f x 图像【正确答案】AC【分析】依题意得()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据奇函数可得12ω=，可判断A ；判断3x π=是否为对称轴可判断B ；当()0,x π∈时，有13236x πππ-<-<，可判断C ；根据平移性质可判断D ．【详解】依题意得()cos sin 2sin 3sin xf x x x x x ωπωωωω⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，()f x 图像向左平移23π个单位得22sin 33y x ππω⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数所以2,33k k Z πωππ-=∈，又01ω<<，得12ω=故()12sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其最小正周期为4π，A 正确；由于12sin 2sin 132336f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3x π=不是对称轴，故B 错；当()0,x π∈时，有13236x πππ-<-<，由于sin y x =在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在()0,π上是增函数，故C 正确；由2sin y x ω=的图像向右平移3π个单位长度可以得到()12sin 23y x f x π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故D 错；故选：AC三、填空题13．幂函数()()222mm m f x x =+-在区间()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为______．【正确答案】3-【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.【详解】因函数()()222mm m f x x =+-是幂函数，则2221m m +-=，解得m =1或m =-3，又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，则0m <，所以实数m 的值为-3.故-314．已知sin α＋cos α＝713，α∈(－π，0)，则tan α＝________.【正确答案】512-.由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sin α和cos α的值，可得tan α的值.【详解】因为sin α＋cos α＝713，①所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169，即2sin αcos α＝120169-.因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，所以sin α－cos α＝1713==-，与sin α＋cos α＝713联立解得sin α＝－513，cos α＝1213，所以tan α＝sin 5cos 12αα=-.故答案为.512-该题考查的是有关三角函数恒等变换化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，在解题的过程中，注意sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα++⋅这三个式子是知一求二，属于简单题目.15．已知函数π()cos ln(4f x x x =+⋅+在区间[]2022,2022-上的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +=____________．【正确答案】π4【分析】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，()g x 时奇函数，可得()g x 在max min ()()0g x g x +=，据此可求M ＋m ，从而求出()f M m +.【详解】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，∴()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，∴设()g x 在[]2022,2022-上有最大值max ()g x ，有最小值min ()g x .∵()(cos ln g x x x -⋅-＝，∴()())cos ln 0g x g x x x x ⎡⎤+-=⋅=⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在[]2022,2022-上为奇函数，∴max min ()()0g x g x +=，∴max min ππ(),()44M g x m g x =+=+，∴π2M m +=，()ππ24f M m f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故π416．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()()sin 0πy A x B ωϕϕ=++<<，则下列说法正确的是________．①该函数的周期是16．②该函数图象的一条对称轴是直线14x =③该函数的解析式是()π3π10sin 2002484y x x ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭④这一天的函数关系式也适用于第二天【正确答案】①②【分析】根据图象确定函数的最小正周期及14x =时，函数取得最大值，判断①②正确；由于2ππ8T ω==，故可取π8ω=-，从而该函数的解析式不一定是()π3π10sin 2002484y x x ⎛⎫=++≤≤ ⎝⎭，③错误；这一天的函数关系式只适用于当天，④错误.【详解】由图象可得：函数最小正周期()146216T =-⨯=，①正确；故2ππ8T ω==，不妨令A >0，且3010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：1020A B =⎧⎨=⎩，由图象可得：当14x =时，函数取得最大值，故该函数图象的一条对称轴是直线14x =，②正确；不妨取π8ω=-，则π10sin 208y x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，将()6,10代入得：3π10sin 20104ϕ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，解得：π4ϕ=，故③错误；这一天的函数关系式只适用于当天，不一定适合第二天，④错误.故①②四、解答题17．化简求值：(1))120431818-⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)2log 32122log 1lg 25lg ln 4⎛⎫++-⋅ ⎪⎝⎭【正确答案】(1)5；(2)4.【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简计算即得；（2）利用对数的运算性质化简计算即得.【详解】（1）)()()1211204333443181=22218---⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭2415=+-=；（2）2log 321122log 1lg 25lg ln 30lg10031442⎛⎫++-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭.18．已知全集U =R ，集合{}13A x x =<≤，集合{}21B x m x m =<<-．条件①U A B =∅ ð；②x A ∈是x B ∈的充分条件；③12,x A x B ∀∈∃∈，使得12x x =．(1)若1m =-，求A B ⋂；(2)若集合A ，B 满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m 的取值范围．【正确答案】(1){}12x x <＜(2)∞（-,-2）或{}|2m m -＜【分析】（1）可将1m =-带入集合B 中，得到集合B 的解集，即可求解出答案；（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合A 与集合B 之间的关系，即可完成求解.【详解】（1）当1m =-时，集合{}22B x x =-<<，集合{}13A x x =<≤，所以{}12A B x x ⋂=<＜；（2）i.当选择条件①时，集合{}21B x m x m =<<-，当B =∅时，U A B A =≠∅ ð，舍；当集合B ≠∅时，即集合21m m -＜，13m ＜时，{}|21U B x x m x m =≤≥-或ð，此时要满足U A B =∅ ð，则2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2，结合13m ＜，所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；ii.当选择条件②时，要满足x A ∈是x B ∈的充分条件，则需满足在集合B ≠∅时，集合A 是集合B 的子集，即2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2，所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；iii.当选择条件③时，要使得12,x A x B ∀∈∃∈，使得12x x =，那么需满足在集合B ≠∅时，集合A 是集合B 的子集，即2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2，所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；故，实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜.19．已知角α在第二象限，且4tan 3α=-．(1)求23112tan()sin 2sin(3)sin 2ππααπαπα⎡⎤⎢⎥⎛⎫--+⎢⎥ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值；(2)若cos()αβ-=，且αβ-为第一象限角，求sin β的值．【正确答案】(1)145-【分析】（1）利用同角三角函数关系可求解得43sin ,cos 55αα==-，利用诱导公式化简原式可得原式2(sin cos )αα=--，代入即得解；（2）利用同角三角函数关系可得sin()αβ-=sin[(]sin )ααββ=--，利用两角差的正弦公式，即得解【详解】（1）因为4tan 3α=-，且α在第二象限，故22sin 4cos 3sin cos 1sin 0cos 0αααααα⎧=-⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪<⎪⎩，所以43sin ,cos 55αα==-，原式2112(tan )cos sin cos αααα⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos 2(sin cos )sin cos αααααααα-=-⋅=--145=-（2）由题意有sin()0αβ->故sin()10αβ-===，sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---4351051050⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭．20．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．(1)根据如图所示的直角坐标系，将点P 到水面的距离h （单位：m ，在水面下，h 为负数）表示为时间t （单位：s ）的函数，并求13t =时，点P 到水面的距离；(2)在点P 从0P 开始转动的一圈内，点P 到水面的距离不低于4m 的时间有多长？【正确答案】(1)()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2m (2)4s【分析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h 关于时间t 的函数，和13t =时的函数值；（2）先确定定义域[]0,12t ∈，再求解不等式，得到26t ≤≤，从而求出答案.【详解】（1）筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为52ππ606⨯=()rad /s ，故()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当13t =时，()13ππ134sin 2266h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故点P 到水面的距离为2m（2）点P 从0P 开始转动的一圈，所用时间012t =，令()ππ4sin 2466h t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，其中[]0,12t ∈，解得：26t ≤≤，则624-=，故点P 到水面的距离不低于4m 的时间为4s.21．已知()π2sin cos 23cos 44f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递减区间：（2）若函数()()42sin 2g x f x k x =--在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围.【正确答案】（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭.（1）化简()f x ，利用正弦函数的递减区间列式可解得结果；（2）转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象可得结果.【详解】（1）()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos244x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos44x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭sin 222x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令3222232k x k πππππ+≤+≤+，Z k ∈，解得：71212k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，∴()f x 的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知，函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()g x =2sin 242sin 23x k x π⎛⎫+-- ⎪⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点等价于12sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2326k x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一实根，设()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，依题意可知2y k =与()y h x =的图象有唯一交点，函数()h x 在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如图：由图可知实数k 应满足11222k -<≤或21k =-，∴1144k -<≤或12k =-，故实数k 的取值范围11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭.关键点点睛：转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象求解是解题关键.22．已知函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值;(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-;(3)设()()()2log 20x g x a a a =⋅+≠，若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1-(2)()(),20,-∞-⋃+∞(3)()2,1【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；（3）由函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，可得1222x x xa a ⋅+=+有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.【详解】（1）函数的定义或为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.()()f x f x ∴-=，即()()22og 41lo l g 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+，1k ∴=-；（2）()()222411log 41log log 222x xx x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当0x ≥时，21x ≥，122x xy =+单调递增，()f x \在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0-∞上单调递减；()()211f m f m +>- ，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为()(),20,-∞-⋃+∞；（3） 函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，()()()()22241log 2log 41log 2x x xx g x a a f x x ⎛⎫+∴=⋅+==+-= ⎪⎝⎭，即4112222x xx x x a a +⋅+==+，20x a a ⋅+>，设20x t =>，则1at a t t +=+，即()2110a t at -+-=，又2x t =在R 上单调递增，所以方程()2110a t at -+-=有两个不等的正根；()()210Δ411001101a a a a a a -≠⎧⎪=--⨯->⎪⎪∴⎨->-⎪⎪->⎪-⎩，解得21a <<，即a的取值范围为()2,1-.。
2022-2023学年河南省郑州市高一年级上册学期期末考试数学试卷
2022-2023学年河南省郑州一中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求）1．若集合，，则 {|1}A x x =>2{|230}B x x x =-- (A B = )A ．，B ．，C ．，D ．，(13][13][1-1)[1-)+∞2． sin 20cos 40sin 70sin 40(︒︒+︒︒=)A ．BC ．D14123．设函数，若是奇函数，则（3）的值是 2()2,0()log (1),0g x x f x x x +>⎧=⎨-⎩ ()f x g ()A ．2B ．C ．4D ．2-4-4．函数的图象是 2()(4)||f x x ln x =--()A ．B ．C ．D ．5．已知，，，则，，的大小关系为 2log 3a =0.42b -= 2.10.5c =a b c ()A ．B ．C ．D ．a b c<<a c b<<c b a<<c a b<<6．下列命题中正确的个数是 ()①命题“，”的否定是“，”；x R ∃∈210x +<x R ∀∈210x + ②函数的零点所在区间是；9()f x lgx x=-(9,10)③若，则；34παβ+=tan tan tan tan 1αβαβ+-=④命题，命题，命题是命题的充要条件．:3p x 2:11q x - p q A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”，每天进步一点点，前进不止一小点．今日距离高考还有936天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是，936(11%)+1%高考时是；而把看作是每天“退步”率都是．高考时是9361.0111086.79≈936(11%)-1%．若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过 天（参考9360.990.000082≈()数据：，101 2.0043lg ≈99 1.9956)lg ≈A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天8．已知函数，的最小正周期为2，且函数图像过点，()sin()(0f x x ωϕω=+>||)ϕπ<1(,1)3若在区间，内有4个零点，则的取值范围为 ()f x [2-]a a ()A ．B ．C ．D ．1117[,)661117(,661723[,)661723(,]66二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题中正确的是 ()A ．存在实数，使αsin cos 1αα⋅=B ．函数是偶函数3sin()2y x π=+C ．若是第一象限角，则是第一象限或第三象限角α2αD ．若，是第一象限角，且，则αβαβ>sin sin αβ>10．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是 2y ax bx c =++()A ．B ．C ．D ．20a b +=420a b c ++<930a b c ++<0abc <11．已知，为正数，，则下列说法正确的是 a b 8a b ab ++=()A ．B ．的最小值为1log ()1ab a b +>11a b+C ．的最小值为8D ．的最小值为22a b +2a b +312．设函数的定义域为，且满足，，当()y f x =R ()(2)f x f x =-()(2)f x f x -=--，时，．则下列说法正确的是 (1x ∈-1]2()1f x x =-+()A ．(2022)1f =B ．当，时，的取值范围为，[4x ∈6]()f x [1-0]C ．为奇函数(1)y f x =-D ．方程仅有3个不同实数解9()log (1)f x x =+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．点是第 象限角终边上的点．(sin1919,cos1919)A ︒︒14．函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 27x y a -=+A A ()f x ()f x =．15．将函数的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向3sin()12y x π=+左平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在，上有且6π()y f x =()f x k =[0x ∈11]3π仅有两个实数根，则的取值范围为 ．k 16．已知，，若存在实数，，使得成立，则的取a R ∈0b >[0x ∈1)2|2|2ax b a bx -- ab值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设全集，集合，集合，其U R =4{|0}1xA x x -=>+22{|210}B x x ax a =-+-<中．a R ∈（1）当时，求；4a =U A B （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．U x A ∈ U x B ∈ a 18．（12分）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴xOy αO x重合，它的终边过点，角的终边逆时针旋转得到角的终边．34(,)55P -α4πβ（1）求的值；tan β（2）求的值．cos()αβ+19．（12分）已知函数．3()log f x x =（1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析()g x R 0x >()()g x f x =()g x 式；（2）已知集合．239{|3log 20log 30}A x x x =-+ ①求集合；A ②当时，函数的最小值为，求实数的值．x A ∈()()()39a x x h x f f =⋅2-a 20．（12分）已知，且的最小正周期为．()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=⋅-+>()f x π（1）求关于的不等式的解集；x ()1f x >（2）求在，上的单调区间．()f x [0]π21．（12分）某城市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）()P x x 的函数关系近似满足为常数，且，日销售量（单位：件）与时()10(kP x k x=+0)k >()Q x 间（单位：天）的部分数据如表所示：x x1015202530()Q x 5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④．()Q x ax b =+()||Q x a x m b =-+()x Q x a b =⋅()log b Q x a x =⋅请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时()Q x 间的变化关系，并求出该函数的解析式；x （2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．()f x ()f x22．（12分）已知函数，，集合．22()22f x x x a a =--+()a R ∈{|()0}A x f x = （1）若集合中有且仅有3个整数，求实数的取值范围；A a （2）集合，若存在实数，使得，求实数的取值范围．{|(())0}B x f f x b =+ 1a A B ⊆b2022-2023学年河南省郑州一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求）1．【解答】解：，，{|1}A x x => {|13}B x x =- ，．(1A B ∴= 3]故选：．A 2．【解答】解：，sin 20cos 40sin 70sin 40sin 20cos 40cos 20sin 40sin(2040)sin 60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故选：．D 3．【解答】解：函数，若是奇函数，2()2,0()log (1),0g x x f x x x +>⎧=⎨-⎩ ()f x 则（3）（3），f g =22(3)log (13)2f +=--=-+=-可得（3），g 4=-故选：．D 4．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，2()(4)||f x x ln x =--{|0}x x ≠有，则函数为偶函数，排除，2()(4)||()f x x ln x f x -=--=()f x AD 在区间上，，，则，排除，(0,1)240x ->||0ln x lnx -=<()0f x <C 故选：．B 5．【解答】解：，22log 3log 21a =>=，在上单调递减，0.40.420.5b -== 0.5x y =R ，0.4 2.10.50.5b c ∴=>=，，01b << 01c <<．a b c ∴>>故选：．C 6．【解答】解：①，特称命题的否定为全称命题，命题“，”的否定是“x R ∃∈210x +<，”正确；x R ∀∈210x +②，函数在上单调递减，又，9()f x lgx x =-(0,)+∞91(9)190,(10)101010f lg f =->=-=-<则（9），由函数零点存在性定理可知，函数在上存在零点，正确；f (10)0f <()f x (9,10)③，，则，错误；tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==--tan tan tan tan 1αβαβ+-=-④，由，可得，即，解得或，211x - 2(1)01x x --- 301x x -- 1x <3x 所以命题是命题的充分不必要条件，错误．p q 故选：．B 7．【解答】解：设经过天后，“进步”的值是“退步”的值的100倍，x 则，即天．1.011000.99x x = 1.010.99221002301.010.9910199x log lg lg lg lg ===≈--故选：．D 8．【解答】解：由最小正周期，可得．22T πω==ωπ=因为函数图象过点，，()f x 1(31)所以，所以，，sin()13πϕ+=232k ππϕπ+=+k Z ∈因为，所以时，，||ϕπ<0k =6πϕ=所以．()sin()6f x x ππ=+当，时，，，[2x ∈-]a [266x ππππ+∈-+6a ππ+因为在，内有4个零点，()f x [2-]a 所以，所以，236a ππππ+< 111766a <所以的取值范围为．a 1117[,66故选：．A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【解答】解：对于，由，得，即，故错误；A sin cos 1αα⋅=1sin 212α=sin 221α=>对于，函数是偶函数，故正确；B 3sin()cos 2y x x π=+=-对于，若是第一象限的角，则，，则，可得C α222k k ππαπ<<+k Z ∈24a k k πππ<<+是第一象限或第三象限角，故正确；2α对于，若，，满足条件，是第一象限角，且，但D 390α=︒30β=︒αβαβ>，故错误．sin sin αβ=故选：．BC 10．【解答】解：由图象知，抛物线开口向下，所以，令，则，0a <0x =0y c =>二次函数的对称轴为，所以，故正确；12bx a=-=20a b +=A 因为对称轴为，所以与对应的函数值相等，1x =2x =0x =由图可得时，，则时，则，故错误；0x =0y >2x =420y a b c =++>B 因为对称轴为，所以与对应的函数值相等，1x =1x =-3x =由图可得时，，则时，，故正确；1x =-0y <3x =930y a b c =++<C 因为，，所以，则，故正确；12bx a=-=0a <0b >0abc <D 故选：．ACD11．【解答】解：因为，8a b ab +=- 04ab < 且，解得，当且仅当时取等号，28()(2a b ab a b +=-+ 4a b + a b =，当且仅当时取等号，所8:log ()1log log (1)log 10ab abab ab a b A a b ab ab++-==-= 2a b ==以，故错误，log ()1ab a b + A ，当且仅当时取等号，故正确，118:11a b B a b ab ab++==- 2a b ==B，当且仅当时取等号，故正确，:228a b C +== 2a b ==C ：由已知可得，则D 81ba b-=+228282(1)3(1)99222(1)3331111b b b b b a b b b b b b b -+++-+++=+===++--=++++ ，当且仅当，时取等号，故正确，1b =-1a =-D 故选：．BCD 12．【解答】解：因为，所以，()(2)f x f x -=--()(2)f x f x =---因为，故，所以，()(2)f x f x =-(2)(2)f x f x -=---[2(2)][(2)2]f x f x --=----即，所以，所以，()(4)f x f x =--(4)(8)f x f x -=--()(8)f x f x =-所以的周期为8，因为，所以（6），()y f x =202282526=⨯+(2022)f f =因为，，()(2)f x f x =-()(2)f x f x -=--所以（6）（2），f (26)(4)(42)f f f f =-=-=--=-(22)(0)f f =--=-因为，时，，所以，故（6），(1x ∈-1]2()1f x x =-+2(0)011f =-+=f (0)1f =-=-错误；A 当，，，，所以，[4x ∈5]4[0x -∈1]22()(4)[(4)1](4)1[1f x f x x x =--=---+=--∈-，0]当，，，，，，(5x ∈6]2[4x -∈-3)-246[0x x -+=-∈1)所以，，22()(2)(24)(6)[(6)1](6)1[1f x f x f x f x x x =-=--+=--=---+=--∈-0)综上：当，时，的取值范围为，，正确；[4x ∈6]()f x [1-0]B 因为，所以关于对称，()(2)f x f x -=--()f x (1,0)-故关于原点中心对称，所以为奇函数，正确；(1)y f x =-(1)y f x =-C 画出与的图象，如下：()y f x =9()log (1)g x x =+显然两函数图象共有4个交点，其中，所以方程仅有4个不同实数48x =9()log (1)f x x =+解，错误．D故选：．BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：为第二象限的角，19193360119︒=⨯︒+︒ ，，sin19190∴︒>cos19190︒<是第四象限角终边上的点，(sin1919,cos1919)A ︒︒故答案为：四．14．【解答】解：对于函数函数，当时，，27x y a -=+2x =8y =所以，(2,8)A 设，把点的坐标代入该幂函数的解析式中，，()f x x α=A 3823()f x x αα=⇒=⇒=故答案为：．3x 15．【解答】解：根据题意可得，11()3sin[()3sin()261226f x x x πππ=++=+作出函数在，上的图象，如下：()f x [011]3π，，，，3(0)2f =11(03f π=()3max f x =()3min f x =-因为方程在，上有且仅有两个实数根，()f x k =[0x ∈11]3π所以或，332k 30k - 所以的取值范围为，，．k [3-30][23]16．【解答】解：由于，故不等式两边同时除以，得，令0b >b 2|2|2a ax x b b--，,()a t t R b=∈即不等式在，上有解，2|2|2tx t x -- [0x ∈1)去掉绝对值即得，即，即在，22222x t tx t x --- 222222x t tx tx t x ⎧--⎨--⎩ 2222122221x t x x t x x ⎧+⎪⎪+⎨-⎪=--⎪-⎩[0x ∈上有解，1)设，，，即，且即可．222(),()221x f x g x x x +==--+[0x ∈1)()min t f x ()min t g x 因为，，所以，[0x ∈1)21[1,2),(1,2]2x x +∈∈+由22222[(1)22(1)]2()2[(1)2]2[22]411(1)x x x f x x x x x +++-+===++--=-+++ ，当且仅当，即时，等号成立，211x x +=+1[0,1)x =∈故，即，故，()4f x()4min f x =-4t 由在，上，，即，，故，()22g x x =--[0x ∈1)4222x -<--- ()(4g x ∈-2]-2t - 综上，的取值范围为，即的取值范围为．t 4,)-+∞ab4,)-+∞故答案为：．4,)-+∞四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）由题可得，，，，(1,4)A =-(U A ∴=-∞ 1][4- )+∞又当时，，4a =2{|8150}(3,5)B x x x =-+<=，；[4U A B ∴= 5)（2）是的充分不必要条件，U x A ∈ U x B ∈ ，U U A B ∴ ，22{|210}{|11}B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+ ，，，(U B ∴=-∞ 1][1a a -+ )+∞，解得，∴1141a a --⎧⎨+⎩03a 的取值范围为，．a ∴[03]18．【解答】解：（1）由的终边过点，可得，，α34(,55P -4sin 5α=3cos 5α=-，4tan 3α=-将角的终边逆时针旋转得到角的终边，α4πβ则；411tan 13tan tan(441tan 713παβαα-+=+===--+（2）因为sin sin(cos )4πβααα=+=+=，cos cos(sin )4πβααα=+=-=所以34cos()cos cos sin sin ()(55αβαβαβ+=-=-⨯-=19．【解答】解：（1）因为函数，当时，，3()log f x x =0x >3()()log g x f x x ==时，，；0x <0x ->3()log ()g x x -=-又因为为上的奇函数，所以，，()g x R ()()g x g x -=-3()()log ()g x g x x =--=--综上，函数的解析式为；()g x 33log ,0()0,0log (),0x x g x x x x >⎧⎪==⎨⎪--<⎩（2）①不等式可化为，2393log 20log 30x x -+ 2333log 10log 30x x -+ 即，33(3log 1)(log 3)0x x-- 解得，31log 33x，27x 所以集合，；A =27]②因为函数，2333333()()()log ()log ()(log )(log 2)log (2)log 23939a a x x x x h x f f x a x x a x a =⋅=⋅=--=-++设，则，，3log t x =1[3t ∈3]所以函数化为，()h x 2222(2)()(2)2[24a a s t t a t a t +-=-++=--当，即时，函数在，上是增函数，2123a + 43a - ()s t 1[33]所以的最小值为，解得（不合题意，舍去）；()h x 155()()2339min s t s a ==-=-1315a =-当，即时，函数在，上是减函数，232a + 4a ()s t 1[33]所以的最小值为（3），解得；()h x ()min s t s =32a =-=-5a =当，即时，函数在，上有最小值，12332a +<<433a -<<()s t 1[33]2()2a s +所以的最小值为，()h x 22(2)()()224min a a s t s ++==-=-解得或（不合题意，舍去）；2a =-2a =+综上，实数的值为5．a 2-20．【解答】解：（1）()4cos sin()16f x x x πωω=⋅-+，14cos cos )12cos 22sin(2)26x x x x x x πωωωωωω=-+=-=-由的最小正周期为，可得，解得，()f x π22ππω=1ω=因为，所以，()1f x >1sin(2)62x π->所以，，解得，，5222666k x k πππππ+<-<+k Z ∈62k x k ππππ+<<+k Z ∈所以不等式的解集为，，；(6k ππ+2k ππ+k Z ∈（2）由，，解得，，222262k x k πππππ--+ k Z ∈63k x k ππππ-+ k Z ∈由，1，可得在，的增区间为，，，；0k =()f x [0]π[0]3π5[6π]π由，，解得，，3222262k x k πππππ+-+ k Z ∈536k x k ππππ++ k Z ∈由，可得在，的减区间为，．0k =()f x [0]π[3π5]6π21．【解答】解：（1）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故选②，()||Q x a x m b =-+则，解得，，，|10|50|15|55|20|60|25|55|30|50a mb a m b a m b a m b a m b -+=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪-+=⎪⎩1a =-20m =60b =故函数解析式为；()|20|60Q x x =--+（2）由题意，，40,120()|20|6080,2030x x Q x x x x +⎧=--+=⎨-<⎩，即，(10)(10)50(10)50510k Q P ⋅=+=1k =则，1(10)(40),120()()()1(10)(80),2030x x x f x P x Q x x x x ⎧++⎪⎪=⋅=⎨⎪+-<⎪⎩当时，元；120x40()40110401441f x x x =+++= 当时，，在，上为减函数，2030x < 80()79910f x x x =-+(2030]则元．8()4993f x 综上所述，该工艺品的日销售收入的最小值为441元．()f x 22．【解答】解：（1）由，22()22()(2)f x x x a a x a x a =--+=-+-由于对称轴为，所以，集合中有且仅有3个整数，所以集合的3个整()f x 1x =1A ∈A A 数只可能是0，1，2，若即时，集合与题意矛盾，所以；2a a =-1a ={|()0}{1}A x f x == 1a ≠若即时，集合，，2a a <-1a <{|()0}[A x f x a == 2]a -则，解得，10223a a -<⎧⎨-<⎩10a -< 若即时，集合，，2a a >-1a >{|()0}[2A x f x a ==- ]a 则，解得，12023a a -<-⎧⎨<⎩23a < 综上所述实数的取值范围是，，；a (1-0][2 3)（2）若即时，集合，2a a =-1a ={|()0}{|()(2)0}{1}A x f x x x a x a ==-+-= ，{|(())0}{|()1}B x f f x b x f x b =+=+= 因为，所以即（1）解得，A B ⊆1B ∈f 1b +=1b =若即时，集合，，2a a <-1a <{|()0}[A x f x a == 2]a -则{|(())0}{|()2}{|()2}B x f f x b x a f x b a x a b f x a b =+=+-=--- 设集合，，因为，即，，，如图所示，1[B x =2]x A B ⊆[a 12][a x -⊆2]x 则，即，得，(1)20a b f a b -⎧⎨--⎩ 22120a b a a a b ⎧--+-⎨--⎩ 212a a b a -+- 所以可得，所以，所以，212a a a -+- 11a - 11a -< 22(1)3a ---= 又因为，221331(244a a a -+=-+ 所以即．231234a ab a -+- 334b 综上所述的取值范围是．b 3[,3]4。
河南省郑州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
高一数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|ln 0}B x x =>，则A B = （）A.{1}B.{2} C.{2,2}- D.{1,0,1}-【答案】B 【解析】【分析】求出集合B 中元素范围，再求A B ⋂即可.【详解】{|ln 0}{|ln ln1}{|1}B x x x x x x =>=>=>，又{2,1,0,1,2}A =--，{2}A B ∴⋂=.故选：B.2.若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（）A.1a <1bB.a 2>b 2C.21a c +>21bc + D.a |c |>b |c |【答案】C 【解析】【分析】举特例即可判断选项A ，B ，D ，利用不等式的性质判断C 即可作答.【详解】当a =1，b =-2时，满足a >b ，但11a b >，a 2<b 2，排除A ，B ；因211c +>0，a >b ，由不等式性质得2211a b c c >++，C 正确；当c =0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，故选：C3.英国浪漫主义诗人Shelley (雪莱)在《西风颂》结尾写道“,?IfWintercomes canSpringbefarbehind ”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为24等份，每等份为一个节气.2019年12月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（）A.4π B.3πC.3π-D.4π-【答案】A 【解析】【分析】找到每一等份的度数，进而可得答案．【详解】解：由题可得每一等份为22412ππ=，从冬至到次年立春经历了3等份，即3124ππ⨯=.故答案为：A.【点睛】本题考查角的运算，是基础题.4.若0.70.6a =，0.60.7b =，lg13c =，则下列结论正确的是（）A.b c a >>B.c a b>> C.a b c>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数三种函数的单调性即可判断大小.【详解】函数0.6x y =在()0,∞+上单调递减，函数0.6y x =在()0,∞+上单调递增，0.70.60.60.60.60.60.711a b ∴=<<=<=，又lg13lg101c =>=，c b a ∴>>.故选：D.5.已知函数()y f x =的表达式为()3log f x x =．若0m n <<且()()f m f n =，则2m n +的取值范围为（）A.()1,+∞；B.[)1,+∞；C.()+∞；D.)⎡+∞⎣．【答案】D 【解析】【分析】由对数的运算性质与基本不等式求解即可【详解】因为()()f m f n =，所以33log log m n =，故33log log m n =或33log log m n =-．若33log log m n =，则m n =（舍去）；若33log log m n =-，则1m n=，又0m n <<，所以01m n <<<，因此22m n n n +=+≥（等号当且仅当2n n=，即n =，即2m n +的取值范围是)⎡+∞⎣．故选：D ．6.函数()n 1l 1xx f x -=-的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】分析出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，利用特殊值法结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数()n 1l 1x x f x -=-的定义域为{}1x x ≠，()()()ln 21ln 12112x x f x f x x x ----===---，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，排除BC 选项，312ln 022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，排除A 选项.故选：D.7.将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到一个偶函数的图象，则||ϕ的最小值为（）A.π12 B.π6C.π4D.5π12【答案】A 【解析】【分析】先利用辅助角公式化简，然后利用平移的规则得到π2sin 223y x ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，进而令ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈可得ϕ的值，最后根据绝对值最小得答案.【详解】由已知πsin 222sin 23y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，其沿x 轴向左平移ϕ个单位后得,()ππ2sin 22sin 2233y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭，因为π2sin 223y x ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭为偶函数，ππ2π,Z 32k k ϕ∴+=+∈，即ππ,Z 122k k ϕ=+∈，当0k =时，||ϕ最值，且为π12.故选：A.8.设函数1,[1,)()2(2),(,1)x x f x f x x ⎧-∈-+∞=⎨+∈-∞-⎩，若对任意的[,)x m ∈+∞，都有()4f x ≥-，则m 的最小值是（）A.4-B.6- C.132-D.112-【答案】D 【解析】【分析】作图函数的图象，数形结合即可求解【详解】作出f （x ）的部分图象，如图所示.当(6,5)x ∈--时，f （x ）=8（x +5）.令f （x ）=-4，解得112x =-.数形结合可得，若对任意的[,)x m ∈∞，都有()4f x ≥-，则m 的最小值是112-.故选：D二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.下列说法正确的是（）A.“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件B.“0xy >”是“0x y +>”的必要不充分条件C.命题“x ∃∈R ，210x +≠”的否定是“x ∀∈R ，210x +=”D.2114x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值为14【答案】AC 【解析】【分析】对A 、B ：根据充分、必要条件结合不等式性质分析判断；对C ：根据特称命题的否定分析判断；对D ：根据指数函数的单调性分析判断.【详解】对A ：若“22ac bc >”，则20c >，即210c>，故a b >；若“a b >”，则2c ≥0，故22ac bc ≥，当且仅当0c =时等号成立；综上所述：“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件，A 正确；对B ：若“0xy >”，不能得出0x y +>，例如1x y ==-，则10,20xy x y =>+=-<；若“0x y +>”，不能得出0xy >，例如2,1x y ==-，则10,20x y xy +=>=-<；综上所述：“0xy >”是“0x y +>”的既不充分也不必要条件，B 错误；对C ：命题“x ∃∈R ，210x +≠”的否定是“x ∀∈R ，210x +=”，C 正确；对D ：∵211x -+≤，且14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内单调递减，则211414x -+⎫⎪⎭≥⎛⎝，当且仅当211x -+=，即0x =时等号成立，∴2114x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的最小值为14，D 错误.故选：AC.10.已知实数a ，b 满足等式20222023a b =，下列式子可以成立的是（）A.0a b ==B.0a b << C.0a b<< D.0b a<<【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数函数图象分析判断.【详解】设202220023a b k =>=，分别作出,20222023x x y y ==的函数图象，如图所示：当1k =，则0a b ==，A 成立；当01k <<，则0a b <<，B 成立，C 不成立；当1k >时，则0b a <<，D 成立.故选：ABD.11.已知()cos 5αβ+=-，4cos 25α=-，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是（）A.3sin 25α=B.()cos αβ-=C.cos cos 10αβ= D.1tan tan 3αβ=【答案】AC 【解析】【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解.【详解】因为()54cos ,cos255αβα+=-=-(,αβ为锐角),故3sin25α==,故A 正确;因为()25sin 5αβ+=,所以()()cos cos 2αβααβ⎡⎤-=-+⎣⎦()cos2cos ααβ=++()sin2sin ααβ+453555⎛⎫⎛⎫=-⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故B 错误;由()cos cos cos αβαβ-=sin sin αβ+=()cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=-,故cos cos αβ=()()115255cos cos 225510αβαβ⎛⎫⎡⎤++-=-+= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭,故C 正确;且()1sin sin [cos 2αβαβ=-()1255cos ]255αβ⎡⎤⎛-+=--=⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以tan tan 3αβ=,故D 错误.故选:AC.12.已知20ax bx c ++>的解集是(2,3)-，则下列说法中正确的是（）A.若c 满足题目要求，则有20232022c c >成立B.1234a b -+的最小值是4C.函数()2lg 1y bx ax =++的值域为R ，则实数b 的取值范围是[4,)+∞D.当2c =时，2()36f x ax bx =+，[,]x m n ∈的值域是[3,1]-，则n m -的取值范围是[2,4]【答案】ACD 【解析】【分析】根据三个二次之间的关系分析可得0,,6a b a c a <=-=-，对A ：根据指数函数的单调性分析判断；对B ：根据基本不等式分析运算；对C ：根据对数函数分析判断；对D ：根据二次函数的性质运算判断.【详解】若20ax bx c ++>的解集是(2,3)-，则方程20ax bx c ++=的根为2,3-，且a<0，可得16ba c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得060b a c a =->⎧⎨=->⎩，对A ：∵0c >，则02023202320231,20220202220222022cc cc⎛⎫⎛⎫=>=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴20232022c c >，A 正确；对B ：∵()1212112448343434334333a b b b b b -=+=++-≥=+++，当且仅当()11234334b b +=+，即23b =时等号成立，∴1234a b -+的最小值是83，B 错误；对C ：函数()2lg 1y bx ax =++的值域为R ，则函数21y bx ax =++的值域包含()0,∞+，且0b >，可得22Δ440b a b b b >⎧⎨=-=-≥⎩，解得4b ≥，C 正确；对D ：当2c =时，则11,33a b =-=，2()2f x x x =-+，令2()21f x x x =-+=，解得1x =；令2()23f x x x =-+=-，解得=1x -或3x =；若()f x 在[,]x m n ∈上的值域是[3,1]-，则113m n =-⎧⎨≤≤⎩或113m n -≤≤⎧⎨=⎩，可得24n m ≤-≤，故n m -的取值范围是[]2,4，D 正确.故选：ACD.【点睛】易错点睛：注意理解以下两种情况：（1）()()2lg 0y ax bx c a =++≠的值域为R ，则0Δ0a >⎧⎨≥⎩；（2）()()2lg 0y ax bx ca =++≠的定义域为R ，则0Δ0a >⎧⎨<⎩.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）.13.用二分法研究函数f (x )=x 3+3x -1的零点时，第一次经计算(0)0,(1)0f f <>，可得其中一个零点x 0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x 0∈___________(填区间).【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据零点存在性定理判断零点所在区间.【详解】311153102228f ⎛⎫⎛⎫=+⨯-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1002f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，所以下一次计算可得010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭14.已知某扇形的圆心角为3rad ，周长为10cm ，则该扇形的面积为________2cm ．【答案】6【解析】【分析】求出弧的半径和弧长后可得面积.【详解】设扇形半径为r ，弧长为l ，则3210lr l r ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得26r l =⎧⎨=⎩，扇形面积为1162622S lr ==⨯⨯=．故答案为：6．15.函数22(0,1)x y a a a +=->≠的图像恒过定点P ，若(){},10,0P x y mx ny mn ∈++=，则12m n+的最小值________.【答案】8【解析】【分析】首先求定点()2,1P --，再利用“1”的变换，利用基本不等式求最小值.【详解】函数22x y a +=-，所以函数恒过点()2,1--,即210m n --+=，即21m n +=，则()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当4n m m n=时，即2n m =时，等号成立，12m n +的最小值为8，此时221n m m n =⎧⎨+=⎩，解得14m =，12n =.故答案为：816.已知函数()f x 和()g x 是定义在R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()22f x g x ax x +=++，则()f x =__；若对于任意1212x x <<<，都有()()12122g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是__．【答案】①.x②.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由题意，根据构造方程的思想，结合奇偶函数的性质，可得函数解析式；根据单调性的定义，整理不等式，构造函数，分0a =和0a ≠两种情况，结合一次函数和二次函数的性质，可得答案.【详解】根据题意，2()()2f x g x ax x +=++，则2()()2f x g x ax x -+--=+，两式相加可得2()()()()24f x f x g x g x ax +-++-=+，又由()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，所以22()24g x ax =+，即2()2g x ax =+，()f x x =．若对于任意1212x x <<<，都有1212()()2g x g x x x ->--，变形可得112212[()2][()2]0g x x g x x x x +-+>-，令()()2h x g x x =+，则()()2h x g x x =+在(1,2)上单调递增；所以2()()222h x g x x ax x =+=++，若0a =，则()22h x x =+在(1,2)上单调递增，满足题意；若0a ≠，则2()22h x ax x =++是对称轴为1x a=-的二次函数，若()h x 在(1,2)上单调递增，只需011a a >⎧⎪⎨-⎪⎩ 或012a a<⎧⎪⎨-⎪⎩ ，解得0a >或102a -<，综上，12a -．即a 的取值范围为：1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．故答案为：x ；1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）化简：πsin 3sin(π)tan()211π2cos cos(5π)tan(3π)2αααααα⎛⎫+⋅--⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭；（2）求值：4log 3100.2561.5(2023)82-⨯+⨯-.【答案】（1）32；（2）110【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简计算即可；（2）利用指数，对数的运算性质计算即可.【详解】（1）()()()()()()()πsin 3sin πtan cos 3sin tan 3211π2sin cos tan 22cos cos 5πtan 3π2αααααααααααα⎛⎫+⋅--⋅- ⎪⋅⋅-⎝⎭=-⋅-⋅-⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭＝；（2）4log 3100.2561.5(2023)82-⨯+⨯-213631632log 34422212223233⨯⨯⎛⎫=⨯+⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭22242733=++⨯-+110=.18.已知集合2{|1327},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>.（1）求()R B A ⋃ð；（2）已知集合{|11}C x a x a =-<<+，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}3x x ≤；（2）1a ≤.【解析】【分析】（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合,A B ，然后由集合的运算法则计算．（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．【详解】解：（1）{}03A x x =≤≤，{}2B x x =>，{}2R B x x =≤ð，(){}3RB A x x ⋃=≤ð.（2）当C =∅时，11a a -≥+，即0a ≤成立；当C ≠∅时，11100113a a a a a -<+⎧⎪-≥⇔<≤⎨⎪+≤⎩成立.综上所述，1a ≤．【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在A B ⊆中，要注意A =∅的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．19.已知函数()()21f x x a x a =-++.（1）当2a =时，求关于x 的不等式()0f x >的解集；（2）若()20f x x +≥在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(-∞，1） （2，)∞+.（2）(,3⎤-∞+⎦.【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）原不等式等价于20x ax x a -++≥在(1,)+∞上恒成立，分离参数得21x x a x +≤-，令1(0)t x t =->，利用基本不等式和不等式恒成立思想可得答案.【小问1详解】解：当2a =时，则2()32f x x x =-+，由()0f x >，得2320x x -+>，令2320x x -+=，解得1x =，或2x =，∴原不等式的解集为(-∞，1） （2，)∞+；【小问2详解】解：由()20f x x +≥即20x ax x a -++≥在(1,)+∞上恒成立，从而有：21x xa x +≤-，令1(0)t x t =->，则22(1)12331x x t t t x t t++++==++≥+-t =时取等号，∴3a ≤+故实数a 的取值范围是(,3⎤-∞⎦.20.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中02ω<≤，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件.条件①：函数()f x 最小正周期为π；条件②：函数()f x 图像关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；条件③：函数()f x 图像关于π12x =对称.求：（1）函数()f x 的单调递增区间；（2）函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.【答案】（1）()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z（2）最大值为1，最小值为【解析】【分析】（1）根据题意结合正弦函数的性质求()f x 的解析式，进而求()f x 的单调递增区间；（2）由x 的范围求得π23x +的范围，结合正弦函数求()f x 的最值.【小问1详解】若选①②：∵函数()f x 最小正周期为π，则2ππTω==，解得2ω=±，且02ω<≤，故2ω=，故()()sin 2f x x ϕ=+，又∵函数()f x 图像关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则11ππ,3k k ϕ-+=∈Z ，解得11ππ,3k k ϕ=+∈Z ，由π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则10k =，π3ϕ=，故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ，解得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；若选①③：∵函数()f x 最小正周期为π，则2ππTω==，解得2ω=±，且02ω<≤，故2ω=，故()()sin 2f x x ϕ=+，∵函数()f x 图像关于π12x =对称，则22πππ,62k k ϕ+=+∈Z ，解得22ππ,3k k ϕ=+∈Z ，由π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20k =，π3ϕ=，故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ，解得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；若选②③：∵函数()f x 图像关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则11ππ,6k k ωϕ-+=∈Z ，由(]0,2ω∈，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得πππ,632ωϕ⎛⎫-+∈- ⎪⎝⎭，则10k =，即π06ωϕ-+=，又∵函数()f x 图像关于π12x =对称，则22πππ,122k k ωϕ+=+∈Z ，由(]0,2ω∈，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得π2π0,123ωϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则20k =，即ππ122ωϕ+=，故π06ππ122ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2π3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ，解得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .【小问2详解】由（1）可得：()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取到最大值1；当π4π233x +=，即π2x =时，()f x 取到最小值2；∴函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为1，最小值为.21.近年来，中国自主研发的长征系列运载火箭的频频发射成功，标志着中国在该领域已逐步达到世界一流水平.设火箭推进剂的质量为M （单位：t ），去除推进剂后的火箭有效载荷质量为m （单位：t ），火箭的飞行速度为v （单位：km /s ），初始速度为0v （单位：km /s ），已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：0ln 1M v v m ω⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，其中ω是火箭发动机喷流相对火箭的速度.假设00km /s v =，25t m =.（参考数据：16.73e261.56≈，ln80 4.382≈）.（1）若3km /s ω=，当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7km /s ）时，求相应的M ；（精确到小数点后一位）（2）如果希望火箭飞行速度达到16.7km /s ，但火箭起飞质量的最大值为2000t ，请问ω的最小值为多少？（精确到小数点后一位）【答案】（1）6514.0t （2）3.8【解析】【分析】（1）根据题意可得3ln 125M v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令16.7v =运算求解；（2）根据题意可得25ln25M v ω+=⋅，令16.7v =整理可得()16.7ln 25ln 25M ω+=+，解不等式()ln 25ln 2000M +≤即可得结果.【小问1详解】由题意可得：3ln 125M v ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令3ln 116.725M v ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则16.7325e 16514.0M ⎛⎫=-≈ ⎪⎝⎭（t ），故当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7km /s ）时，相应的M 为6514.0t.【小问2详解】由题意可得：25ln 1ln 2525M M v ωω+⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭，令25ln16.725M v ω+=⋅=，则()16.7ln 25ln 25ln 2000M ω+=+≤，∴16.716.83.8ln 2000ln 25ln 80ω≥=≈-，故ω的最小值为3.8.【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．22.已知函数2()21g x ax ax b =-++（0a ≠，1b <），在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x=．（1）求常数a ，b 的值；（2）方程()2213021xxf k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1a =，0b =（2）0k >【解析】【分析】（1）对开口方向进行讨论，利用所给的在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的两个未知数；（2）可直接对方程进行化简、换元法令21xt =-，结合函数图象21xt =-可得()()223120t k t k -+++=有两个根1t 、2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =以及一元二次方程根的分布及树形结合思想即可获得问题的解答.【小问1详解】解：因为()()222111g x ax ax b a x b a =-++=-++-对称轴为1x =，当0a >时，()g x 在[]2,3上为增函数，故()()34961412144110g a a b a g a a b b ⎧=-++==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎪⎩⎩⎩；当a<0时，()g x 在[]2,3上为减函数，故()()31961112444143g a a b a g a a b b ⎧=-++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎪⎩⎩⎩，∵1b <，∴1a =，0b =.【小问2详解】解：由（1）可得2()21g x x x =-+，则()1()2g x f x x x x==+-，所以方程()2213021xx f k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭化为()122123021x x k k +-+-+=-，即()()2212321120x x k k --+-++=，210x-≠，令21xt -=，则方程化为()()223120t k t k -+++=（0t ≠），∵方程()122123021xxk k +-+-+=-有三个不同的实数解，∴由21xt =-的图象知()()223120t k t k -+++=有两个根1t 、2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =，记()()()22312t t k t k ϕ=-+++，则()()012010k k ϕϕ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩或()()01201023012k k kϕϕ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，∴0k >，∴实数k 的取值范围是(0,)+∞．。
河南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}2|log 1A x x =<{}|11B x x =-<<A ．B ．C ．D ． A B B A A B =A B ⋂≠∅【答案】D【分析】根据对数函数的单调性化简集合，逐一判断各选项即可.A 【详解】由，解得，所以，又，2log 1x <02x <<()0,2A ={}|11B x x =-<<对于A ： 不成立，A 错；A B 对于B ： 不成立，B 错；B A 对于C ：不成立，C 错；A B =对于D ：，D 正确．()0,1A B ⋂=≠∅故选：D2．（ ）sin 70sin10cos10cos 70︒︒+︒︒=A ．B ．CD ．1212-【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】． ()1sin 70sin10cos10cos 70cos 7010cos 602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=故选：A.3．已知，则的值为（ ） tan 2α=6sin cos 3sin 2cos αααα+-A ．B ．C ．D ． 4-134134-134±【答案】B【分析】根据题意，利用同角三角函数之间的关系即可求得结果.【详解】由，分子分母同时除以，可得： tan 2α=6sin cos 3sin 2cos αααα+-cos α. 6sin cos 6tan 1621133sin 2cos 3tan 23224αααααα++⨯+===--⨯-故选：B.4．方程的解所在的一个区间是（ ）lg 3x x +=A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】C【分析】令，由零点存在定理判断区间 ()lg 3f x x x =+-【详解】令，则单调递增，()lg 3f x x x =+-()f x 由，，()22lg 23lg 210f =+-=-<()33lg 33lg 30f =+-=>∴方程的解所在一个区间是．lg 3x x +=()2,3故选：C ．5．函数①；②，；③，中，奇函数的个2πcos 2y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin y x =[]0,2πx ∈sin 2y x =[]π,πx ∈-数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据奇函数的定义，对选项逐一判断即可.【详解】根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除②； []0,2πx ∈对于①，，是奇函数； 22πcos sin 2y x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-对于③，，是偶函数．sin 2y x =()()sin 2sin 2f x x x f x -=-==故选：B ．6．已知函数的定义域为R ，且，当时，，则()f x ()()10f x f x +-=01x ≤≤()sin πf x x =74f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A B C ．1 D 【答案】A【分析】根据题意得到的周期为1，从而，代入求解即可. ()f x 7731444f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【详解】因为，所以，函数的周期为1，()()10f x f x +-=()()1f x f x +=()f x所以 7733π1sin 4444f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A ．7．已知使不等式成立的任意一个x ，都不满足不等式，则实数a 的取值()210x a x a +++≤20x +≤范围为（ ）A ．B ．C ．D ．(),1-∞-(],1-∞-[)2,-+∞(),2-∞【答案】D【分析】由得，因为使不等式成立的任意一个x ，都不满足不等20x +≤2x ≤-()210x a x a +++≤式，所以不等式的解集是的子集．讨论解出不等式的解集，20x +≤()210x a x a +++≤()2,-+∞a 从而利用集合的包含关系即可求解【详解】由得，20x +≤2x ≤-因为使不等式成立的任意一个x ，都不满足不等式，()210x a x a +++≤20x +≤所以不等式的解集是的子集．()210x a x a +++≤()2,-+∞由，得，()210x a x a +++≤()()10x a x ++≤当，，符合题意；1a ={}()12,x ∈-⊆-+∞当，，则，；1a >[](),12,x a ∈--⊆-+∞2a ->-12a <<当，，符合题意，1a <[]()1,2,x a ∈--⊆-+∞综上所述，实数a 的取值范围为．(),2-∞故选：D ．8．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，()m y ()s t ()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且1t 2t ()31230t t t t <<<，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）122t t +=235t t +=A ．B ．C ．1sD ． 1s 32s 34s 3【答案】C 【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解. 2π3ω=2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭t 【详解】因为，，，所以，又，所以， 122t t +=235t t +=31t t T -=3T =2πT ω=2π3ω=则，由可得， 2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0.5y >2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以， π2π5π2π2π,Z 636k t k k ϕ+<+<+∈，， 135333,Z 42π42πk t k k ϕϕ+-<<-+∈531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s ．故选：C ．二、多选题9．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）0a b <<0c d <<A ．B ．C ．D ． a c b d +<+ac bd >d c a a >22a ab b >>【答案】ABD【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的同向可加性、同向同正可乘性、传递性即可求解.【详解】由不等式的同向可加性知选项A 正确；因为，，所以，，所以，故选项B 正确； 0a b <<0c d <<0a b ->->0c d ->->ac bd >因为，，所以，故选项C 错误； 0c d <<10a <d c a a<因为，所以，，所以，故选项D 正确．0a b ->->2a ab >2ab b >22a ab b >>故选：ABD ．10．（多选）下列三角函数值中符号为负的是（ ）A ．B ．C ．D ． sin100︒()cos 220-︒()tan 10-cos π【答案】BCD【分析】根据各交所在象限判断三角函数的正负情况.【详解】因为，所以角是第二象限角，所以；因为90100180︒<︒<︒sin100︒sin1000︒>，角是第二象限角，所以；因为，所270220180-︒<-︒<-︒220-︒()cos 2200-︒<71032ππ-<-<-以角是第二象限角，所以；；10-()tan 100-<cos 10π=-<故选：BCD ．11．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ϕϕ>则的值可以是（ ）ϕA ．B ．C ．D ． π12π32π37π12【答案】AD【分析】根据三角函数图象的平移变换求出变换后的解析式，再根据所得图象关于原点对称，即可求出答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ϕπsin 226y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭象，该图象关于原点对称，所以， π2π,6k k ϕ-=∈Z 即，所以的值可以是，． ππ,212k k ϕ=+∈Z ϕπ127π12故选：AD ．12．某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭表并填入的部分数据如下表：则下列说法正确的是（ ）A ．都有成立x ∀∈R ()()2πf x f x +=-B ． ()f x ≥()π2π,π2πZ 3k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．的图象关于点中心对称 ()f x π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．在区间上单调递增 ()f x ππ,212⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】首先求出. 可以化简证明选项A 正确；解不等式得()π23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选项B 错误；求出函数图象的对称中心，即得选项C 错误；求出()π4π,π4πZ 3x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦函数的单调递增区间即得选项D 正确．【详解】由题意得，解得，，．ππ327π3π32A ωϕωϕ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩12ω=π3ϕ=A =()π23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，，故A 正确； ()()2ππππ2ππ232323x x x f x f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于B ，由，所以， ()f x ≥π1sin 232x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ππ5π2π2π,Z 6236x k k k +≤+≤+∈得，故B 错误； ()π4π,π4πZ 3x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦对于C ，令，解得， ππ,Z 23x k k +=∈2π2π,Z 3x k k =-∈所以函数的对称中心为，当时，，不满足题意，故C ()f x 2π2π,0,Z 3k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭2ππ2π33k -=12k =错误；对于D ，， πππ2π,2π,Z 2322x k k k ⎛⎫+∈-++∈ ⎪⎝⎭所以，所以是函数的一个单调递增区间， 5ππ4π,4π,Z 33x k k k ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝⎭5ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 又，，因此函数在上单调递增，故D 正确． π5π23->-ππ123<()f x ππ,212⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：AD ．三、填空题13．计算：______． 201log 6210.0428-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭【答案】0【分析】直接利用指数对数的运算法则求解.【详解】因为，，， 1120.040.25--==0118⎛⎫-= ⎪⎝⎭2log 626=所以. 201log 6210.04251608-⎛⎫+--=+-= ⎪⎝⎭故答案为：014．已知，，请写出一个使为假命题的实数的值，______．0:p x ∃∈R 200430x ax -+<p a =a 【答案】0（答案不唯一）【分析】利用命题的否定来找到一个满足条件即可.【详解】由题意，，为真命题，:p x ⌝∀∈R 2430x ax -+≥当时，恒成立，满足题意，0a =224330x ax x -+=+≥故答案为：0（答案不唯一）.15．若，则______． π2sin 43θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2θ=【答案】 19-【分析】化，从而平方即可. )π2sin sin cos 43θθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【详解】因为，所以)π2sin sin cos 43θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭sin cos θθ+=，即，． 228sin cos 2sin cos 9θθθθ++=81sin 29θ+=1sin 29θ=-故答案为： 19-四、双空题16．记表示不超过x 的最大整数，例如，，已知函数则[]x []2.32=[]1.52-=-()[]2,0,,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩______；若函数恰有3个零点，则实数a 的取值范围是______． ()()1f f -=()()log a g x f x x =-【答案】 0 【分析】直接代入可求得；有3个零点方程有3个()()1f f -()()log a g x f x x =-⇔()log a f x x =不同的实数根，即的图象与函数的图象有3个交点，数形结合可求.()f x log a y x =【详解】； ()()111022f f f ⎛⎫⎡⎤-=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦有3个零点方程有3个不同的实数根，即的图象与函数()()log a g x f x x =-⇔()log a f x x =()f x 的图象有3个交点，log a y x =由题可知当，显然不成立，所以，做出与的图象如图．01a <<1a >()f x log a y x =两函数图象在y 轴的左侧只有1个交点，故y 轴右边有2个交点，则1log 22log 32log 43a aa <≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩a ≤<故答案为：0；五、解答题17．（1）求的值；tan 255 （2）求的值．tan 22.5 【答案】（1）；（221-【分析】（1）利用诱导公式利两角和的正切公式计算即可；（2）换元法及二倍角公式化简求值即可.【详解】（1）()()tan 255tan 18075tan 75tan 4530︒=︒+︒=︒=︒+︒ tan 45tan 3021tan 45tan 30︒+︒===-︒︒（2）设，tan 22.5x =︒则， 222tan 22.52tan 4511tan 22.51x x ︒︒===-︒-即，2210x x +-=解得1x =-±又，tan 22.50x =︒>所以．tan 22.51︒=18．已知，．1p ≤:1q x a -≤≤(1)若q 是p 的必要非充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若，且p ，q 至少有一个成立，求x 的取值范围．1a =【答案】(1)[)2,+∞(2)[]1,2-【分析】（1）解出集合A ，由p ，q 的推断关系得集合A ，B 的关系，得a 的取值范围. （2）求出p ，q 都不成立时a 的取值范围，其补集即为所求.【详解】（1）设，，{}{}1|12A x x x =≤=≤≤{}|1B x x a =-≤≤因为q 是p 的必要非充分条件，所以A 是B 的真子集，则，2a ≥所以实数a 的取值范围为．[)2,+∞（2）当时，，，1a =:12p x ≤≤:11q x -≤≤当p ，q 都不成立时， 或，且或同时成立，1x <2x >1x <-1x >解得或，1x <-2x >故p ，q 至少有一个成立时，x 的取值范围为．[]1,2-19．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．(1)若； 01x ≤≤114≤(2)若，则． 0ab ≠2b a a b+≥【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用基本不等式即可证明；（2）讨论和两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可.0ab >0ab <【详解】（1）证明：因为，所以，， 01x ≤≤01≤≤10≥， 2114≤=时，等号成立． 1=14x =（2）证明：因为，当时，， 0ab ≠0ab >2b a b a a b a b +=+≥=当且仅当时等号成立． 0a b =≠当时，， 0ab <2b a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=-+-≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时等号成立．0a b =-≠综上，若，则成立，当且仅当时等号成立． 0ab ≠2b a a b+≥220a b =≠20．已知．()211f x x -=-(1)求函数的解析式；()f x (2)若函数，求的单调区间．()()ln g x f x =()g x 【答案】(1)()22f x x x =+(2)单调增区间为，单调递减区间为()0,∞+(),2-∞-【分析】（1）由配凑法或换元法即可求；（2）由复合函数单调性判断.【详解】（1）因为，()()()2211121f x x x x -=-=-+-设，则，所以．1t x =-()22f t t t =+()22f x x x =+（2），由或， ()()()2ln ln 2y g x f x x x ===+2202x x x +>⇒<-0x >设，则，220u x x =+>ln y u =当时，，因为其对称轴为，(),2x ∞∈--22u x x =+=1x -则此时单调递减，单调递增，所以在单调递减； ()u x ln y u =()g x (),2-∞-当时，单调递增，单调递增，所以在单调递增． ()0,x ∈+∞22u x x =+ln y u =()g x ()0,∞+所以的单调增区间为，单调递减区间为．()g x ()0,∞+(),2-∞-21．已知函数（，且），对，． ()824x x x a f x a ⋅+=⋅a ∈R 0a ≠x ∀∈R ()()22f x f x =-(1)求a 的值；(2)若，关于x 的不等式恒成立，求实数m 的取值范围．0a >()()2f x mf x ≥【答案】(1)或11-(2)(],1-∞【分析】（1）根据题意代入运算求解；（2）利用换元法结合基本不等式可得，题意转化为当时恒成立，根据222x x s -=+≥2m s s≤-2s ≥恒成立问题结合函数单调性分析运算.【详解】（1）由题意可得：，， ()821224x x x x x a f x a a-⋅+==+⋅⋅()122x x f x a --=+⋅∵，即， ()()22f x f x =-22112222x x x x a a --⎛⎫⎛⎫+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得，则， 2221214444x x x x a a a a --++⋅=++⋅()211440x x a -⎛⎫--= ⎪⎝⎭且不恒为0，则，解得， 44x x --2110a -=1a =±故实数a 的值为或1．1-（2）因为，所以，0a >1a =则，， ()22x x f x -=+()()222222222x x x x f x --=+=+-令，则，当且仅当，即时，等号成立，22x x s -=+2s ≥=22-=x x 0x =∵恒成立，等价于当时恒成立，等价于当时恒成立， ()()2f x mf x ≥22s ms -≥2s ≥2m s s≤-2s ≥令， ()()22h x x x x=-≥对，且，[)12,2,x x ∀∈+∞12x x <因为一次函数与反比例函数在上都是增函数， y x =2y x=-[)2,+∞则，可得， 121222,x x x x <-<-121222x x x x -<-即，所以在上单调递增， ()()12h x h x <()2h x x x=-[)2,+∞则，即当时，取最小值1， ()()21h x h ≥=2s =()22s s s-≥所以，即实数m 的取值范围为．1m £(],1-∞【点睛】结论点睛：1.恒成立问题：，，等价于；x M ∀∈()f x a ≥()min f x a ⎡⎤≥⎣⎦，，等价于.x M ∀∈()f x a ≤()max f x a ⎡⎤≤⎣⎦2．存在性问题：，，等价于；x M ∃∈()f x a ≥()max f x a ⎡⎤≥⎣⎦，，等价于.x M ∃∈()f x a ≤()min f x a ⎡⎤≤⎣⎦22．已知函数的最小正周期为．()()22sin cos 0f x x x x ωωωω=+>π(1)求的解析式；()f x(2)若关于x 的方程在区间上有相异两解 ()f x a =+π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,x x 求：①实数a 的取值范围；②的值． ()12sin x x +【答案】(1) ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)①，② )212【分析】（1）根据三角恒等变换公式将化简，然后由的最小正周期为，解得，即可()f x ()f x πω得到函数的解析式；()f x （2）将方程有两解转化为函数图像有两个交点，然后结合图像即可求得的范围，然后由正弦函a 数的对称性即可得到的值.()12sin x x +【详解】（1）()22sin cos f x x x x ωωω=+πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭因为的最小正周期为，所以，解得． ()f x π2ππ2ω=1ω=所以． ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）①，即． ()f x a =+π2sin 23x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭关于x 的方程在区间上有相异两解，， ()f x a =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x也即函数与的图像在区间上有两个交点， π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y a =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦由，得， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增，在上单调递减，且， 2sin y x =ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦π24π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2sin 3做出在上的图像如图， 2sin y x =π4π,33⎡⎤⎢⎣⎦由图可知，要使函数与的图像在区间， π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y a =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2a ≤<所以实数a 的取值范围为． )2②由（1）和正弦函数的对称性可知与关于直线对称， 1π23x +2π23x +π2x =则有，所以， 12ππ22π33x x +++=12π6x x +=所以的值为． ()12sin x x +12。
2021-2022学年河南省郑州市第七十中学高一数学理上学期期末试题含解析
2021-2022学年河南省郑州市第七十中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. —个几何体的三视图及其尺寸如右，则该几何体的表面积为A． B． C． D．参考答案：C2. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=15，b=10，A=60°，则sinB等于（）A．﹣B．C．D．﹣参考答案：C【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理即可计算得解sinB的值．【解答】解：∵a=15，b=10，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB===．故选：C．3. 把函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，后将每个点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变所得图象的函数关系式为ks5u （）A． B．C． D．参考答案：A4. 已知f（x）=ax3+bx+5，其中a，b为常数，若f（﹣9）=﹣7，则f（9）=（）A．17 B．7 C．16 D．8参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由条件求得729a+9b的值，从而求得f（9）=729a+9b+5的值．【解答】解：f（x）=ax3+bx+5，其中a，b为常数，若f（﹣9）=﹣729a﹣9b+5=﹣7，∴729a+9b=12，则f（9）=729a+9b+5=12+5=17，故选：A．5. 点P从点(1，0)出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标是( )A. (?，)B. (?，?)C. (?，?)D. (?，)参考答案：C6. 已知a，b表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若α∥β，a?α，b?β，则a∥bB．若a⊥α，a与α所成角等于b与β所成角，则a∥bC．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b参考答案：D7. 设函数，集合，设，则（）A． B． C． D．参考答案：D略8. 已知集合，则（）A、 B、 C、 D、参考答案：D9. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（）A．B．C．D．参考答案：B 10. 若向量，，满足，则实数k=（）A．－1 B．1 C．4 D．0参考答案：B，，，，解得，故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 正方体的内切球和外接球的半径之比为参考答案：12. 若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是▲参考答案：13. （6分）已知函数f（x）=+a（a∈R），若a=1，则f（1）=；若f（x）为奇函数，则a= ．参考答案：；0.考点：函数的零点；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）把a=1代入函数f（x）的解析式，再求出f（1）的值；（2）利用奇函数的性质：f（﹣x）=﹣f（x），列出方程化简后，利用分母不为零和恒成立求出a的值．解答：（1）当a=1时，函数f（x）=+1，则f（1）=+1=；（2）因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即+a=﹣（+a），则﹣﹣=2a，化简得2a（x﹣a）（x+a）=2a恒成立，因为x≠±a，所以（x﹣a）（x+a）≠0，即a=0，故答案为：；0．点评：本题考查函数的函数值，函数奇偶性的应用，以及恒成立问题，注意函数的定义域，考查化简能力．14. 已知单调递减数列的前项和为，，且，则_____.参考答案：【分析】根据，再写出一个等式：，利用两等式判断并得到等差数列的通项，然后求值.【详解】当时，，∴．当时，，①，②①②，得，化简得，或，∵数列是递减数列，且，∴舍去．∴数列是等差数列，且，公差，故．【点睛】在数列中，其前项和为，则有：，利用此关系，可将与的递推公式转化为关于的等式，从而判断的特点.15. 已知都为正实数，且用表示中的最大值，记M，则M的最小值为__________，此时，参考答案：，16. 两个骰子的点数分别为，则方程有两个实根的概率为______参考答案：略17. 从集合A到集合B的映射f：x→x2+1，若A={﹣2，﹣1，0，1，2}，则B中至少有个元素．参考答案：3【考点】映射．【专题】分类讨论；函数思想；函数的性质及应用．【分析】根据映射的定义，分别求出A中元素对应的值，进行判断即可．【解答】解：当x=±1时，x2+1=1+1=2，当x=±2时，x2+1=4+1=5，当x=0时，x2+1=0+1=1，故B中至少有1，2，5三个元素，故答案为：3【点评】本题主要考查映射的定义，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
河南省郑州市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
2020-2021学年上期期末考试高一数学试题卷注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1A x x =>-，{}2B x x =<，则()R AC B =（ ） A. {}1x x >- B. {}1x x ≥- C. {}1x x <- D. {}12x x -<≤ 2. 函数1()ln(1)2f x x x =-+-的定义域为（ ） A. ()()0,22,+∞ B. [)()0,22,+∞ C. ()()1,22,+∞ D. [)()1,22,+∞3. 已知0.30.3a -=，0.33b -=，3log 0.3c =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D. c a b >>4. 下列说法中错误．．的是（ ） A. 空间中，“一条直线在平面内”也可以说“平面经过这条直线”B. 空间中，直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行C. 空间中，两个平面之间的位置关系有且只有三种：两个平面平行，两个平面相交和两个平面垂直D. 空间中，两条直线的位置关系有且只有三种：相交直线、平行直线和异面直线5. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是43，则a =（ ）A.B. 1C.D. 26. 若直线20x y -+=与圆22()2x m y -+=有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A. []3,1-B. []1,3-C. []4,0-D. []0,4 7. 已知3log 21a =，则2a =（ ） A. 13 B. 1 C. 2 D. 38. 阿波罗尼乌斯（Apollonius ，约前262~约前190）是古希腊时期的数学家、天文学家.师从于欧几里得，他结合前人的研究成果，在没有现代数学符号系统的支持下，以超越常人的智慧写出了经典之作《圆锥曲线论》.该书共八卷，传下来七卷，其中给出了解析几何的大部分内容的论断和证明.在其第七卷《平面轨迹》中提出：如果一个移动的点与两定点之间距离的比是常量（且不等于1），则它的轨迹是一个圆.现在已知两个定点的坐标分别为()1,0A -，()2,0B ，动点P 满足2PA PB =，则P 点轨迹方程为（ ） A. 22650x y x +-+=B. 22670x y x +-+=C. 221070x y x +-+=D. 2214503x y x +-+= 9. 如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，线段''B D 上有两个动点E ，F ，若线段EF 长度为一定值，则下列结论中错误．．的是（ ）A. AC BE ⊥B. BD ⊥平面ABEC. //EF 平面ABCDD. 三棱锥B AEF -的体积为定值10. 在三棱锥P ABC -中，PA PB =，过P 作PO ⊥平面ABC ，O 为垂足，M 为AB 的中点，则下列结论中肯定成立的是（ ）A. OCA OCB ∠=∠B. OA OB =C. OC AB ⊥D. C ，O ，M 三点共线 11. 设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得60OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A. ,33⎡-⎢⎣⎦B. []1,1-C. ⎡⎣D. ⎡⎣ 12. 已知函数()ln 2f x x x =+-的零点为a ，记函数()ln 2g a a a k =+-，若()0g a >恒成立，则正整数k 的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 空间中，线段PQ 的端点坐标分别为()1,4,7-，()3,4,5-，则线段PQ 的中点M 的坐标为________.14. 已知函数()()4,0()21,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，若()3f a =，则a 的值为________. 15. 已知函数2()121x f x =-+，则不等式()()2120f x f x -+->的解集．．为________. 16. 在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，3BF FA =，且CE EF ⊥.若PB =P ABC -的外接球的体积为_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设集合{}3,5A =，{}250B x x x m =-+=，满足{}2,3,5AB =. （Ⅰ）求集合B ； （Ⅱ）若集合{}10C x ax =-=，且满足B C C =，求所有满足条件的a 的集合.18. 在ABC △中，已知()1,6M 是BC 边上一点，边AB ，AC 所在直线的方程分别为270x y -+=，60x y -+=.（Ⅰ）若AM BC ⊥，求直线BC 的方程； （Ⅱ）若BM CM =，求直线BC 在x 轴上的截距.19. 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M ，E 分别为11A D ，BC 的中点.（Ⅰ）求证：1//MB 平面1C DE ；（Ⅱ）求证：DE ⊥平面11BCC B ；（Ⅲ）求三棱锥1M C DE -的体积.20. 已知圆E 同时满足下面三个条件：①过点()2,0，②与直线2x y +=相切，③圆心在直线210x y +-=上.（Ⅰ）求圆E 的方程；（Ⅱ）已知直线l 经过点()0,1，并且被圆E 截得的弦长为2，求直线l 的方程.21. 2020年，突如其来的新冠肺炎疫情席卷全球，此次疫情传播速度之快、感染范围之广、防控难度之大均创历史之最.面对疫情，我国政府快速应对，在这次疫情大考的实践中凸显了中国社会主义制度的优越性，在向全球提供支援及分享抗疫经验中体现出了大国担当的责任和情怀.据报载，截至目前，我国有5种疫苗正在开展三期临床试验.下图为某种疫苗在按规定的剂量使用后，每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的近似曲线，其中，OM ，MN 为线段，且MN 所在直线的斜率为12-.当3t ≥时，y 与t 之间满足：13t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中a 为常数）.（Ⅰ）结合图象，写出使用后y 与t 之间的函数关系式()y f t =，其中0t >；（Ⅱ）根据进一步的测定：每毫升血液中含药量不少于13微克时治疗有效，求使用一次治疗有效的时间范围. 22. 已知函数()2x x e ae f x --=是奇函数，()2x xe be g x --=是偶函数. （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求证：[][]22()()1g x f x -=；（Ⅱ）若方程[]2()()30g x kf x --=在))ln 1,⎡+∞⎣上有一个实数根，求k 的取值范围.郑州市2020—2021学年上期期末考试参考答案高一年级 数学一、选择题1-5：ACACD6-10：CDABB 11-12：AC 二、填空题13. ()2,0,1- 14. -1，2 15. ()1,+∞ 16. 36π三、解答题17. 解：（1）∵{}2,3,5A B =，∴2B ∈，∴6m =，∴{}2,3B =.（2）∵B C C =，∴C B ⊆，∴C 的可能情形为C =∅，{}2C =，{}3C =，{}2,3C =，若C ≠∅，则0a =，若{}2C =，则12a =， 若{}3C =，则13a =， 若{}2,3C =，显然不满足题意.∴a 的取值集合为110,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭.18. 解：（1）由27060x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得15x y =-⎧⎨=⎩，即()1,5A -，又()1,6M ，所以()651112AM k -==--， 由题意知AM 为BC 边长的高，所以2BC k =-，()1,6M 为BC 边上一点，所以BC l ：()621y x -=--，所以直线BC 的方程为280x y +-=.（2）设点B 的坐标为(),a b ，由题意知()1,6M 为BC 的中点，得点C 的坐标为()2,12a b --，又点B 与点C 分别在直线AB 和AC 上，所以()()27021260a b a b -+=⎧⎪⎨---+=⎪⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩， 所以点B 的坐标为()3,1-，()55:6144BC BM k k y x ==-=-， 所以直线BC 的方程为54190x y -+=.所以直线BC 在x 轴上的截距为195-. 19. 解：证明：（1）取AD 的中点为N ，连接1A N ，NE .则四边形11A NEB 为平行四边形， ∴11//B E A N ，∵1//MD A N ，∴1//MD B E ，∴四边形1MDEB 为平行四边形，∴1//MB DE ，又1MB ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ，∴1//MB 平面1C DE .（2）连接BD ，∵底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，∴BCD △为等边三角形，又∵E 为BC 的中点，∴DE BC ⊥，又1DE CC ⊥，1BC CC C =，∴DE ⊥平面11B BCC .（3）∵1//MB 平面1C DE ，∴111M C DE B C DE V V --=，由等体积法，可得：1111B C DE D C B E V V --=，又112C B E S =△，∴1111112333D C BE C B E V S DE -=⋅=⨯=△，∴13M C DE V -=. 20. 解：（1）设圆心的坐标为(),12O a a -，=.化简，得2210a a -+=，解得1a =.∴()1,1O -，半径r == ∴圆C 的方程为()()22112x y -++=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为10kx y -+=1=，解得34k =-， ∴直线l 的方程为3440x y +-=.综上所述，直线的方程为0x =或者3440x y +-=.21. 解：（1）当01t <<，设y kt =，将()1,4M 代入可得4k =；由12MN k =-可知线段MN 所在的直线方程为()1412y t -=--， 即290t y +-=，∴()3,3N .将点N 代入13t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭可得4a =，所以：()()()()4401191322133t t t f t t t t -⎧⎪<<⎪⎪=-+≤<⎨⎪⎪⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩.（2）当01t <<时，由143t ≥得112t ≥，故1112t ≤<. 当13t ≤<时，由19322t -+≥可得3t ≤，故13t ≤<. 当3t >时，由41133t -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可得5t ≤，故35t <≤， 综上满足条件的t 的范围是1512t ≤≤. 22. 解：（1） ()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-恒成立， ∴()()10x x e e a -+-=，∴1a =，∵()g x 是偶函数，∴()()g x g x -=恒成立，∴()()10x x e e b --+=，∴1b =-.（2） []222(4)2x x e e g x -++=，[]222(4)2x x e e f x -+-=， ∴[][]222222()()22144x x x x e e e g x f x e --+++-=-=-. （3）记()t f x =，函数()f x在))ln 1,⎡+∞⎣上单调递增，∴)()()ln 11t f x f =≥=， 由（2）证，可得[][]22()1()g x f x =+，∴原问题转化为方程220t kt --=在[)1,+∞上有一个实数根， 即2k t t=-在[)1,+∞上有一个实数根， 记()2h t t t =-，易知()h t 在[)1,+∞单调递增， ∴()11k h ≥=-.。
河南省郑州市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题
D．“ 0
<
q
<
π 3
”是“ 0
<
sin q
<
3 ”的充分不必要条件 2
三、填空题
13．已知幂函数
y
=
f
(x)
过点
æ çè
1 8
,
1 2
ö ÷ø
，则该幂函数解析式为
.
14．已知一个手表慢了 10 分钟，如果转动分针将其校准，则分针应转动
rad ．
15．已知函数 y
=
f (x) 为奇函数， g(x)
=
A．
B．
试卷第11 页，共33 页
C．
D．
5．已知实数 x > 0, y > 0 满足 x + y = xy ，则 x + 4 y 的最小值为（ ）
A． 8
B． 9
C． 7
D．10
6．已知
a
,
b
Î
æ çè
0,
π 2
ö ÷ø
，若
sin
æçèa
+
π4ö 2 ÷ø
=
5
,
cos
b5
=
13
，则
cos(a
+
b
【详解】当
x
>
0
时，若
x
³
1 x
，则
x2
³1
，解得
x
³
1或
x
£
-1（舍去），
若
x
<
1 x
，则
x2
<1
，解得 0
<
x
<1，
2023-2024学年河南省郑州市高一上册期末调研数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省郑州市高一上册期末调研数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,2,3,4,1,2,4,6,8A B ==，则A B ⋃=（）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,4,6,8C ．{}1,2,3,4,6,8D ．{}1,2,6,8【正确答案】C【分析】根据并集的定义求得正确答案.【详解】已知集合{}{}1,2,3,4,1,2,4,6,8A B ==，所以{}1,2,3,4,6,8⋃=A B .故选：C2．下列函数既是奇函数又在()1,1-上是增函数的是（）A ．sin y x =B ．2y x=-C ．2y x =D ．ln y x=【正确答案】A【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，因为sin y x =是奇函数又在(1,1)-上是增函数，所以A 正确.对于B ，因为2y x=-定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以在()1,0-和()0,1是增函数，所以B 错误.对于C ，因为2y x =是偶函数不是奇函数，所以C 错误.对于D ，因为ln y x =定义域为()0,∞+不具备奇偶性，所以D 错误.故选：A3．若2x >，则12x x +-的（）A ．最小值为0B ．最大值为4C ．最小值为4D ．最大值为0【正确答案】C【分析】结合拼凑法和基本不等式即可求解【详解】因为2x >，所以20x ->，则11222422x x x x ⎛⎫+=-++≥= --⎝⎭，当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号，此时取得最小值4，故选：C ．4．已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则满足()()211f x f -<的x 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．(),1-∞C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()0,1【正确答案】D【分析】根据函数的单调性和奇偶性求解.【详解】由于()f x 是偶函数，∴()()f x f x =又因为[)0,x ∞∈+时，()f x 为增函数，所以()()()21211f x f x f -=-<，有211x -<，即1211,01x x -<-<<<；故选：D.5．设0.80.90.80.8,0.8,0.9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．a c b >>D ．c a b>>【正确答案】D【分析】根据指数函数的单调性比较,a b 的大小，由幂函数的性质比较,a c 的大小，即可得答案.【详解】解：令()0.8x f x =，由指数函数的单调性可知()f x 在R 上单调递减，又因为0.80.9<，所以(0.8)(0.9)f f >，即0.80.90.80.8>，所以a b >，令0.8()g x x =，由幂函数的性质可知0.8()g x x =在(0,)+∞上单调递增，又因为0.80.9<，所以(0.8)(0.9)g g <，所以0.80.90.80.8<，即a c <，所以b a c <<.故选：D.6．已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，为了得到sin2y x =的图象，可将()y f x =的图象（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【正确答案】C【分析】根据图象求出()f x 的解析式，再根据图象的平移法则即可得答案.【详解】解：由题意可得7ππ4()π123T =-=，所以2ππω=，2ω=，又因为ππ()sin(2)133f ϕ=⨯+=，所以2ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，所以π2π-,Z 6k k ϕ=∈，又因为2πϕ<，所以π0,6k ϕ==-，所以()ππsin 2sin 2(612f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以只需将()f x 的图象向左平移π12个单位，即可得sin2y x =的解析式.故选：C.7．若1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79B ．13C ．79-D ．13-【正确答案】C 【分析】由22(2)33ππαπα-=-+有2cos(2)cos(2)33ππαα-=-+，利用二倍角余弦公式，结合已知三角函数值，可求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由22(2)33ππαπα-=-+，即2cos(2)cos[(2)]cos(2)333πππαπαα-=-+=-+，而227cos(2)12sin ()339ππαα-=--=，∴7cos 239πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.故选：C.8．已知当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最小值，则sin cos sin cos θθθθ+=-（）A ．13-B ．13C ．15D ．15-【正确答案】B【分析】根据已知条件，利用辅助角公式，结合三角函数的诱导公式，求出tan 2θ=-，再根据商数求解即可．【详解】由函数()()2sin cos sin cosf x x x x x x α⎫=--⎪⎭，其中cos α=sinα=所以当π2π+,Ζ2x k k θα==-∈，函数()f x 取得最小值为所以sin cosθα=-=，cos sin θα=，所以tan 2θ=-，所以sin cos tan 1211sin cos tan 1213θθθθθθ++-+===----．故选：B ．二、多选题9．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3x x <-∣或4}x >，则下列结论正确的有（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{6}xx <-∣C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为14xx ⎧<-⎨⎩∣或13x ⎫>⎬⎭【正确答案】AD【分析】根据不等式20ax bx c ++>解集为{3x x <-∣或4}x >，可判断a 的正负，确定3,4-是20ax bx c ++=的两根，从而求出12b ac a=-⎧⎨=-⎩，由此一一判断每个选项，可得答案.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >,结合二次函数2y ax bx c =++和一元二次方程20ax bx c ++=以及不等式的关系，可得0a >，且3,4-是20ax bx c ++=的两根，A 正确；则3434b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，故12b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以0bx c +>即120,12ax a x -->∴<-，即0bx c +>的解集为{12}xx <-∣，B 错误；由于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >,故1x =时，20ax bx c ++<，即0a b c ++<，C 错误；由以上分析可知不等式20cx bx a -+<即2120ax ax a -++<，因为0a >，故211210,4x x x -∴<-->或13x >，故不等式20cx bx a -+<的解集为14xx ⎧<-⎨⎩∣或13x ⎫>⎬⎭，D 正确，故选：AD10．下列说法正确的有（）A ．终边在y 轴上的角的集合为ππ,Z 2k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣B ．若α为第一象限角，则2α也为第一象限角C ．已知,0x y >，且141x y+=，则x y +的最小值为9D ．已知幂函数()()1af x k x =+的图象过点()2,4，则3k a +=【正确答案】AC【分析】根据终边在y 轴上的角的集合为π{|πZ}2k k θθ=+∈，可判定选项A ，根据特殊值或倍半角的范围可判定选项B ，利用“1“的代换和基本不等式可判定选项C ，利用幂函数的定义和性质可判定选项D.【详解】对于A 项，由终边在y 轴上的角的集合为π{|πZ}2k k θθ=+∈，，故选项A 正确；对于B 项，若362α=︒，则1812α=︒，故选项B 不正确；对于C 项，因为()144559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当26y x ==时等号成立，所以x y +的最小值为9，故选项C 正确；因为幂函数()()1af x k x =+的图象过点()2,4，所以11k +=，24a =，即0,2k a ==，所以2k a +=，故选项D 不正确．故选：AC11．关于函数()22cos 1f x x x =-+有下述四个结论，其中结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线5π6x =对称C ．()f x 的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增【正确答案】ABCD【分析】根据二倍角余弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的对称性、单调性、周期公式进行求解即可.【详解】()2π2cos 1sin 2cos 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以选项A 正确；因为5π5ππ2sin 22666f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线5π6x =对称，因此选项B 正确；因为7π7ππ2sin 2012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，因此选项C 正确；ππππππ0,2,,366222x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⇒-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，因此选项D 正确，故选：ABCD12．设函数()2ln ,08,0x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有四个零点分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A ．016m <<B ．124x x +=-C ．341x x ⋅=D ．16341612,e e x x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭【正确答案】ACD【分析】根据题意，函数()y f x =与y m =有四个交点，横坐标分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，进而数形结合，结合对数运算，依次讨论各选项即可得答案.【详解】因为()()g x f x m =-有四个零点，所以函数()y f x =与y m =有四个交点，横坐标分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，作出函数()f x 的图象，如图所示，由图可得016m <<，故A 正确；12428x x +=-⨯=-，故B 错误；3401x x <<<，所以34ln 0,ln 0x x <>由34ln ln x x =，得34ln ln x x -=，所以3434ln ln ln 0x x x x +==，所以341x x ⋅=，故C 正确；由ln 16x -=，得161ex =，由ln 16x =，得16e x =，所以16341611e ex x <<<<，34331x x x x +=+，由双勾函数的单调性可得函数1y x x =+在161,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以16343163112,e e x x x x ⎛⎫+=+∈+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．已知扇形的面积为24cm ，该扇形圆心角的弧度数是1，则扇形的弧长为__________cm .【正确答案】【分析】根据面积公式以及弧长公式即可求解.【详解】设扇形的半径以及弧长分别为R l ，,故由面积公式可得21142R R 创=�所以弧长为αl R ==，故14．求值：28π19πsincos 34⎛⎫+-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】【分析】利用诱导公式化简即可求出答案.【详解】28π19π4π19π4π3πsincos sin 8π+cos 4πsin cos 343434⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3πsin πcos 342⎛⎫⎛⎫=++=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为.15．在ABC 中，已知515cos 1317A B ==，则cos C =__________.【正确答案】21221【分析】根据同角的三角函数关系求得sin sin A,B 的值，利用诱导公式结合两角和的余弦公式，即可求得答案.【详解】在ABC 中，已知515cos ,cos 1317A B ==，故,A B 为锐角，则sin ,sin 1281317A B ==,故cos cos(π)cos(cos cos sin sin )A C A B A BB A B =--=-+=-+5151221131713122871-⨯+==,故2122116．已知函数()()2222,log 21x x f x ax g x +=-=-，若对任意的[]12,1x ∈-，总存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x <成立，则实数a 的范围为__________.【正确答案】3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭##332a -<<.【分析】由题意可得()()11max max f x g x <.后通过讨论a 可确定()f x 最大值，通过单调性可确定()g x 最大值，即可得答案.【详解】任意的[]12,1x ∈-，总存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x <，等价于()()maxmax f x g x <，()222222133log log log 1212121x x x x xg x ⎛⎫+-+⎛⎫===+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，则()g x 在[]2,3x ∈上单调递减，则()()max 21g x g ==.当0a =，()12f x =-，因12>-，则0a =满足题意；当0a >，()2f x ax =-在[]2,1x ∈-上单调递增，则()()max 12f x f a ==-，故1203a a >-⇒<<；当a<0，()2f x ax =-在[]2,1x ∈-上单调递减，则()()max 222f x f a =-=--，故312202a a >--⇒-<<.综上可得实数a 的范围为3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为.3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题17．（1）计算：5log 25lg25lg4log ++-（2）若角α终边经过点()1,2，求sin2,cos2αα的值.【正确答案】（1）52；（2）4sin25α=，3cos25α=-.【分析】（1）根据对数的运算法则及性质计算结果即可；（2）由角α终边经过的点，求出角α的正弦及余弦，再根据二倍角公式求得结果.【详解】（1）53log 223355lg25lg4log 2lg100log 32222++-=+-=+-=.（2）角α终边经过点()1,2，则可得sinαα=，4sin22sin cos 5ααα∴==，223cos22cos 1155αα=-=-=-.18．已知集合{}{}2870,121A xx x B x m x m =-+≤=+≤≤-∣∣.(1)若3m =，求A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“”x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1){}45A B xx ⋂=≤≤∣(2)4m ≤【分析】（1）分别求出集合A 、B ，然后根据并集的运算即可得出答案；（2）由题得B 是A 的真子集，分B =∅时，B ≠∅时，两种情况分别求出m 的范围，然后取并集即可.【详解】（1）{}{}287017∣∣=-+≤=≤≤A x x x x x .当3m =时，{}45B x x =≤≤∣，{}45A B x x ∴⋂=≤≤∣.（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，于是得B 是A 的真子集，①当B =∅时，211,2m m m -<+∴<；②当B ≠∅时，由B 真包含于A 得21111217m m m m -≥+⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩（等号不能同时成立），24m ∴≤≤.综上，4m ≤.19．已知()21x b f x a =+-是其定义域上的奇函数，且()13f -=-.(1)求()f x 的解析式和定义域；(2)判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并根据定义证明.【正确答案】(1)()2121x f x =+-，定义域为{}0x x ≠(2)单调递减，证明见解析【分析】（1）由函数为奇函数可得()()11f f =--，即可求得,a b ，从而可得函数解析式，再根据分母不等于零即可得函数的定义域；（2）任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，利用作差法判断()()12,f x f x 的大小即可得出结论.【详解】（1）根据题意，()21xb f x a =+-是其定义域上的奇函数，所以()()11f f =--，又由()123f a b -=-=-，有()13f a b =+=，解得1,2a b ==，经验证()2121x f x =+-符合要求，则()2121x f x =+-，定义域为{}0x x ≠；（2）()f x 在区间()0,∞+上的单调递减，理由如下：对任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()()2112121212222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=+-+=-= ⎪------⎝⎭，因为2x y =在()0,∞+单调递增，且120x x <<，所以21121120,20,220x x x x --->>>，所以()()120f x f x ->，所以()f x 在区间()0,∞+上的单调递减.20．函数()23cos 3cos (0)2f x x x x ωωωω=⋅+->，且函数()f x 图象与直线0y =的两个相邻交点之间的距离为π.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)先将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π12个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象.当,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.【正确答案】(1)5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)2⎡⎢⎣【分析】（1）由题意求出()f x 的解析式，再由2π22π,Z π23π2πk x k k -≤+≤+∈，解不等式即可求出函数()f x 的单调递增区间；（2）由三角函数的平移和伸缩变换求出()g x ，由正弦函数的图象与性质求解即可.【详解】（1）()233cos 3cos cos222223f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫⋅+-=+=+ ⎪⎝⎭.因函数()f x 图象与直线y =的两个相邻交点之间的距离为π，因此函数()f x 的周期πT =，有2π22T ω==，所以1ω=.所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由2π22π,Z π23π2πk x k k -≤+≤+∈，可得5ππππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知：()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为ππ3x -≤≤，所以ππ7π666x -≤+≤，则1πsin 126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以()g x 在π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎢⎣21．已知函数()4log 4x f x =⋅(1)求函数()f x 的值域；(2)解关于x 的不等式()3f x >；(3)若对任意的[]2,4x ∈，不等式()22log 10f x a x -⋅+≥恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[)1,-+∞(2){02xx <<∣或32}x >(3)0a ≤【分析】（1）根据对数的运算性质可化简()()222log 6log 8,f x x x =-+由换元法结合二次函数的性质即可求解，（2）由一元二次不等式以及对数不等式即可求解，（3）分离参数，结合基本不等式求解最值即可求解.【详解】（1）因为()f x 定义域为()0,∞+，则()()()()22222221log 2log log 2log 4log 6log 8,2416x x f x x x x x =⋅=--=-+设()2log R x t t =∈，则2268(t 3)11y t t =-+=--≥-，所以()f x 值域为[)1,-+∞.（2）不等式可化为2683t t -+>，即2650t t -+>解得1t <或5t >即2log 1x <或2log 5x >，解得02x <<或32x >所以不等式的解集为{02xx <<∣或32}x >（3）因为()22log 40f x a x -⋅+≥，所以()()222log 1log 3log 10x x a x -⋅--+≥，设2log x t =，则[]1,2t ∈，原问题化为对任意[]21,2,440t t t at ∈-+-≥，即44a t t ≤+-，因为4440t t +-≥=（当且仅当2t =即4x =时，取等号），即44t t+-的最小值为0，所以0a ≤.22．如图所示，ABCD 是一块边长为200米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为180米的扇形草地，P 是弧TS 上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在BC 和CD 上的长方形停车场PQCR ，设PAB α∠=，长方形PQCR 的面积为S .(1)试建立S 关于α的函数关系式；(2)当α为多少时，S 最大，并求最大值.【正确答案】(1)=PQCR S ()π4000036000sin cos 32400sin cos 02ααααα⎛⎫-++≤≤ ⎪⎝⎭(2)π4，56200-【分析】（1）由题意表示出200180cos ,200180sin PQ PR αα=-=-，利用矩形面积公式即可求得答案；（2）利用换元法令cos sin t αα=+，将矩形面积化为关于t 的函数，结合二次函数性质，即可求得答案.【详解】（1）延长RP 交AB 于M ，设π02PAB ∠αα⎛⎫=≤≤ ⎝⎭，则180cos ,180sin AM MP αα==，200180cos ,200180sin PQ PR αα=-=-，()()200180cos 200180sin PQCR S αα∴=--()π4000036000sin cos 32400sin cos 02ααααα⎛⎫=-++≤≤ ⎪⎝⎭.（2）设cos sin t αα=+，则π2sin 4t α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由π02α≤≤，可得ππ3π[,]444α+∈，故212,cos sin 2t t αα-⎡∈=⎣，()221400003600032400200811801192PQCR t S t t t -∴=-+⨯=-+2101620038009t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，该函数图像的对称轴为109t =，∴当2t =，即π4x =时，PQCR S 有最大值56200360002-.。
2023-2024学年河南省郑州市高一上学期期末数学模拟试题(含答案)
2023-2024学年河南省郑州市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．命题“x ∀∈R ，212x x >-”的否定是（）A ．x ∀∈R ，212x x <-B ．x ∀∈R ，212x x ≤-C ．x ∃∈R ，212x x ≤-D ．x ∃∈R ，212x x<-【正确答案】C【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.【详解】原命题的否定为x ∃∈R ，212x x ≤-.故选：C.2．函数()()01f x x =-的定义域为（）A ．[]0,2B ．[]1,2C ．[)(]0,11,2 D ．()()0,11,2U 【正确答案】C【分析】利用具体函数定义域的求法，结合指数幂的性质求解即可.【详解】因为()()01f x x =+-，所以()2010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得021x x ≤≤⎧⎨≠⎩，故01x ≤<或12x <≤，所以()f x 的定义域为.[)(]0,11,2 故选：C.3．下列命题为假命题的是（）A ．若a b >，则a c b c ->-B ．若0a b >>，0c d >>，则0ac bd >>C ．若0a b >>，则2a ab >D ．若a b >，c d >，则a c b d->-【正确答案】D【分析】对于ABC ，利用不等式的性质即可判断其命题为真；对于D ，举反例即可判断其命题为假，由此解答即可.【详解】对于A ，因为a b >，所以()()a c b c +->+-，即a c b c ->-，则选项A 中命题为真，故A 错误；对于B ，因为0a b >>，0c d >>，所以由不等式的性质得0ac bd >>，则选项B 中命题为真，故B 错误；对于C ，因为0a b >>，则0a >，所以2a ab >，则选项C 中命题为真，故C 错误；对于D ，令1,0,1,0a b c d ====，则a b >，c d >，但0a c b d -==-，故选项D 中命题为假，故D 正确.故选：D.4．已知角α的终边经过点()1,2P -，则()cos απ+的值为（）A B ．5-C D ．5-【正确答案】A【分析】先根据角α的终边，可求出cos α，再利用诱导公式化简求解出结果.【详解】由角α的终边经过点()1,2P -，利用三角函数的定义求出cos α=-所以()cos cos 5παα+=-=，故选：A5．已知32log a =0.010.3b =，c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c a b<<D ．a c b<<【正确答案】B【分析】结合指数函数、对数函数性质可大致判断()()1,2,0,1,a b ∈∈2c =，进而比大小.【详解】因为332log log 8a ==，3331log 3<log 8log 92=<=，0.0100.31b <=<，故()()1,2,0,1,a b ∈∈22c ===，所以b a c <<.故选：B.6．函数()21xx e f x e =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的符号确定正确选项.【详解】()f x 的定义域为{}|0x x ≠，由()()()22222111x x x xxxx x e e e e f x f x e e e e ----⋅-====----⋅，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除CD 选项.由于()21>01ef e =-，排除B 选项.故选：A7．已知()0,πα∈，()0,πβ∈，()3sin 4αβ-=，tan 5tan αβ=-，则αβ+=（）A ．1π6B ．11π6C ．7π6D ．5π6【正确答案】D【分析】利用正弦函数的和差公式与三角函数的商数关系得到关于sin cos ,cos sin αβαβ的方程组，进而结合三角函数的正负情况求得αβ+的取值范围，再次利用正弦函数的和差公式求得()sin αβ+的值，由此得到αβ+的值.【详解】因为()3sin 4αβ-=，所以3sin cos cos sin 4αβαβ-=，又因为tan 5tan αβ=-，即tan 5tan αβ=-，则sin sin 5cos cos αβαβ=-⨯，故sin cos 5cos sin 0αβαβ+=，联立3sin cos cos sin 4sin cos 5cos sin 0αβαβαβαβ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得5sin cos 81cos sin 8αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因为()0,πα∈，()0,πβ∈，所以sin 0,sin 0αβ>>，又5sin cos 08αβ=>，1cos sin 08αβ=-<，所以cos 0α<，cos 0β>，所以π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3π22αβ<+<，因为()511sin sin cos cos sin 882αβαβαβ+=+=-=，所以5π6αβ+=.故选：D.8．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t分钟后的温度T 满足()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，h 称为半衰期，其中a T 是环境温度．若25a T =℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：lg 20.30≈，lg11 1.04≈）（）A ．9分钟B ．10分钟C ．11分钟D ．12分钟【正确答案】B【分析】根据已知条件代入公式计算可得1110211h⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.【详解】解：由题意，25a T =℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得()11752580252h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以11501025511h⎛⎫== ⎪⎝⎭，又水温从75℃降至45℃，所以()1452575252t h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即12022505th⎛⎫==⎪⎝⎭，所以11110222115tt t hh ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以10112lg22lg 2120.315log 101051lg111 1.04lg 11t -⨯-===≈=--，所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.故选：B.二、多选题9．当()0,1x ∈时，幂函数a y x =的图像在直线y x =的上方，则a 的值可能为（）A ．13B ．2-CD ．3【正确答案】AB【分析】由题意，转化为当01x <<时，a x x >恒成立，解不等式即可．【详解】解：由题意，转化为当01x <<时，a x x >恒成立，两边取对数得lg lg a x x >，由01x <<得lg 0x <，∴1a <，故选：AB.10．已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．12sin cos 25θθ=-B ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．7sin cos 5θθ-=-D ．4tan 3θ=-【正确答案】ABD【分析】对于AC ，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求，从而得以判断；对于B ，结合选项A 中结论，判断得cos 0θ<，从而求得θ的取值范围，由此判断即可；对于D ，利用选项C 中的结论求得sin ,cos θθ，进而求得tan θ，据此解答即可.【详解】对于A ，因为1sin cos 5θθ+=，所以()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 25θθθθθθθθ+=++=+=，所以12sin cos 25θθ=-，故A 正确；对于B ，由选项A 知12sin cos 025θθ=-<，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，故cos 0θ<，所以ππ2θ<<，即π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，由选项B 可知，sin 0θ>，cos 0θ<，所以sin θcos θ0->，因为()2221249sin cos sin 2sin cos cos 122525θθθθθθ⎛⎫-=-+=-⨯-= ⎪⎝⎭，所以7sin cos 5θθ-=，故C 错误；对于D ，因为1sin cos 5θθ+=，7sin cos 5θθ-=，所以43sin ,cos 55θθ==-，故sin 4tan cos 3θθθ==-，故D 正确.故选：ABD.11．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且()1y f x =+为偶函数．当[]0,1x ∈时，()()22log 22x f x a x =-+，下列结论正确的是（）A ．1a =-B ．1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()30f =D ．()()()()12320231f f f f ++++= 【正确答案】BC【分析】对于A ，利用()f x 的奇偶性得到()00f =，代入()f x 即可求得1a =，由此判断即可；对于BC ，利用()1f x +的奇偶性与换元法得到()()2f t f t -=+，进而得到()()2f t f t +=-，从而利用赋值法即可得解；对于D ，由选项BC 中的结论可推得()f x 是周期函数，进而推得()0f n =，从而得以判断.【详解】对于A ，因为()y f x =是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，又因为当[]0,1x ∈时，()()22log 22xf x a x =-+，所以()022log 2020a -⨯+=，解得1a =，所以1a =，()()22log 22xf x x =-+，故A 错误；对于B ，因为()1y f x =+为偶函数，所以()()11f x f x -+=+，令1x t -+=-，则1x t =+，所以()()2f t f t -=+，令12t =-，则1132222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为()()f t f t -=-，所以()()2f t f t +=-，令1t =，则()()()12log 212220312f f =-⨯+=-=-=，故C 正确；对于D ，因为()()2f t f t +=-，所以()()()42f t f t f t +=-+=，所以()f x 是4T =的周期函数，则()()400f f ==，令0=t ，则由()()2f t f t +=-得()()200f f =-=，故()()()()12340f f f f ====，所以由()f x 的周期性可知()0f n =，Z n ∈，所以()()()()12320230f f f f ++++= ，故D 错误.故选：BC.12．已知函数())ln1f x x x =+++.则下列说法正确的是（）A ．()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的图象关于点()0,1对称C ．函数()f x 在定义域上单调递减D ．若实数a ，b 满足()()2f a f b +>，则0a b +>【正确答案】ABD【分析】利用函数解析式，求解可得()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可判断A ，利用()()2f x f x -+=可判断B ，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C ，根据函数的单调性和对称中心可判断D.【详解】对于A 选项，对任意的x ∈R 0x x x >+≥，所以函数())ln1f x x x =++的定义域为R ，又因为()())()1]ln()1f x f x x x x x -+=+-++++22ln(1)22x x =+-+=，所以()()()1lg3lg lg3lg323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B 选项，因为函数()f x 满足()()2f x f x -+=，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())lnh x x =，该函数的定义域为R ，()()))()22ln ln ln 10h x h x x x x x -+=-+=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x =为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数1y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，故C 不正确；对于D 选项，因为实数a ，b 满足()()2f a f b +>，则()()()2f a f b f b >-=-，可得a b >-，即0a b +>，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为150︒，半径为3，则扇形的面积是____________【正确答案】154π【分析】根据扇形的面积公式求解即可．【详解】由题意得扇形圆心角的弧度数为56π，所以扇形的面积为215153264S ππ=⨯⨯=．故答案为154π．利用公式212S r α=求扇形的面积时，要注意式中的圆心角α的单位是弧度，这是解题中容易出现错误的地方，属于简单题．14．已知()e lg5xf x =，则()()1e f f +=______.【正确答案】lg5【分析】分别令e 1x =和e ，求出对应的x ，然后代入求()()1f f +e 即可.【详解】令e 1x =，则0x =，令e e x =，则1x =，所以()()1e 0lg51lg5lg5f f +=⨯+⨯=.故答案为.lg 515．已知2:8150p x x -+<，()():250q x m x m --<，其中0m >.若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是______.【正确答案】312m ≤≤【分析】解出,p q 的范围，并设{}|A x x p =∈、{}|B x x q =∈，根据q 是p 的必要不充分条件，得出AB ，根据集合包含关系即可得出.【详解】解28150x x -+<可得35x <<，即:35p x <<，因为0m >，所以52m m >，解()()250x m x m --<可得25m x m <<，即:25q m x m <<.设{}{}||35A x x p x x =∈=<<，{}{}||25,0B x x q x m x m m =∈=<<>，因为若q 是p 的必要不充分条件，所以AB ，所以有2355m m ≤⎧⎨≥⎩，且不能同时取等号，所以312m ≤≤.故答案为.312m ≤≤16．设函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>．()0f =π2π063f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为______．【正确答案】43##113【分析】先由()0f =1π2π3k ϕ=+或12π2π3k ϕ=+，又由π2π063f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭得到()f x 关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，从而得到2ππ4k ωϕ+=，分类讨论ϕ的取值情况，结合12,k k 的取值范围即可求得ω的最小值.【详解】因为()()sin f x x ωϕ=+，()02f =，所以sin 2ϕ=，则1π2π3k ϕ=+或12π2π3k ϕ=+，1k Z ∈，因为π2π063f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π2πππ26324-+==⨯，若要使ω最小，则结合正弦函数的对称性可知()f x 关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πsin 04ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2ππ4k ωϕ+=，2k Z ∈，当1π2π3k ϕ=+时，12ππ2ππ43k k ω++=，则211243k k ω=-+-，其中1k Z ∈，2k Z ∈，因为0ω>，所以211203k k -+->，则21123k k ->，又212Z k k -∈，所以()21min21k k -=，则()21min min122433k k ω⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，故min 83ω=；当12π2π3k ϕ=+时，12π2π2ππ43k k ω++=，则212243k k ω=-+-，其中1k Z ∈，2k Z ∈，因为0ω>，所以212203k k -+->，则21223k k ->，又212Z k k -∈，所以()21min 21k k -=，则()21min min212433k k ω⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，故min 43ω=；综上.min 43ω=故答案为.43关键点睛：本题通过sin ϕ=则1π2π3k ϕ=+或12π2π3k ϕ=+，1k Z ∈，再利用π2π063f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到函数关于π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，从而将点代入函数解析式得πsin 04ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则得到2ππ4k ωϕ+=，2k Z ∈，最后对1π2π3k ϕ=+或12π2π3k ϕ=+，1k Z ∈分类讨论即可.四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}R 5321A x x =∈-≤-≤，集合(){}2R log 21B x x =∈-≤.(1)求A B ⋂，A B ⋃；(2)求()R B A ⋃ð.【正确答案】(1){}01A B x x ⋂=≤≤，{}12A B x x ⋃=-≤<；(2)()R {2B A x x ⋃=≥ð或1}x ≤【分析】（1）由对数函数单调性解不等式得集合B ，根据集合的交集、并集运算求解；（2）根据补集运算、并集运算求解即可.【详解】（1）由题意得，{}11A x x =-≤≤，不等式()2log 2102202x x x -≤⇔<-≤⇔≤<，可得{}02B x x =≤<，∴{}01A B x x ⋂=≤≤，{}12A B x x ⋃=-≤<；（2）由（1）知，R {0B x x =<ð或2}x ≥∴()R {2B A x x ⋃=≥ð或1}x ≤.18．已知22m n +=．(1)当0m >，0n >时，求12m n+的最小值；(2)当1m >-，0n >时，求121m n++的最小值．【正确答案】(1)92(2)3【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】（1）因为0m >，0n >，22m n +=，则()1212m n +=，所以()21121225121922252m n n m n m n m n m +⎭=++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭，当且仅当22n mm n=且22m n +=，即23m n ==时，等号成立，所以1922m n +≥，故12m n +的最小值为92.（2）因为1m >-，0n >，22m n +=，则()11213m n ++=，10m +>，所以()()11112321125131221m n n m m n m n m n ⎡⎤⎛⎫++=⎢⎥ ++=++⎪⎝++⎭++⎣⎦5133⎡≥=⎢⎢⎣+，当且仅当()2121m nm n+=+且22m n +=，即0,1m n ==时，等号成立，所以3121m n+≥+，故121m n ++的最小值为3.19．设()()()log 2log 4a a f x x x =++-（0a >，且1a ≠）.(1)若()23f =，求实数a 的值及函数()f x 的定义域；(2)求函数()f x 的值域.【正确答案】(1)2a =，()2,4-(2)①当1a >时，函数()f x 的值域为(],2log 3a -∞，②当01a <<时，函数()f x 的值域为[)2log 3,a +∞.【分析】（1）根据()23f =求得a ，根据函数定义域的求法求得()f x 的定义域.（2）先求得()f x 的定义域，结合二次函数的知识求得()f x 的值域.【详解】（1）因为()()()()log 2log 40,1a a f x x x a a =++->≠，且()23f =，所以()2log 4log 23log 23a a a f =+==，解得2a =，所以()()()22log 2log 4f x x x =++-的定义域需满足2040x x +>⎧⎨->⎩，解得24-<<x ，即函数()f x 的定义域为()2,4-.（2）()()()()()()22log 2log 4log 28log 19a a a a f x x x x x x =++-=-++=--+，由24-<<x ，根据二次函数的性质可得()20199x <--+≤，①当1a >时，log a y x =在()0,∞+上递增，函数()f x 的值域为(],2log 3a -∞，②当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上递减，函数()f x 的值域为[)2log 3,a +∞.20．已知221sin cos sin 222ααα=-．(1)求2sin 2cos 2αα+的值；(2)已知()0,πα∈，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，26tan tan 10ββ--=，求αβ+的值．【正确答案】(1)1(2)5π4【分析】（1）利用正余弦函数的倍角公式与三角函数的商数关系，结合齐次式法即可得解；（2）先解二次方程，结合β的取值范围求得tan β，再结合（1）中结论求得αβ+的取值范围，从而利用正切函数的和差公式即可求得αβ+的值．【详解】（1）因为221sin cos sin cos 222αααα=-=，易知cos 0α≠，所以sin tan 2cos ααα==，所以222sin 2cos 24sin cos cos sin αααααα+=+-22224sin cos cos sin sin cos αααααα+-=+22224tan 1tan 42121tan 121ααα+-⨯+-===++.（2）因为26tan tan 10ββ--=，所以()()3tan 12tan 10ββ+-=，解得1tan 3β=-或1tan 2β=，因为π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1tan 3β=-，又因为tan 20α=>，()0,πα∈，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π3π,22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为()12tan tan 3tan 111tan tan 123αβαβαβ-++===-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭，所以5π4αβ+=.21．函数()2π22sin cos 2sin 14f x x x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，x ∈R ．(1)把()f x 的解析式改写为()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>的形式；(2)求()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间11π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(3)把()y f x =图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数()y g x =的图像，再把函数()y g x =图像上所有的点向右平移π4个单位长度，得到函数()y h x =的图像，若函数()y h x =区间[]0,m 上至少有30个零点，求m 的最小值．【正确答案】(1)()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)最小正周期为π，()f x的最大值为2-.(3)89π3【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式整理即可；（2）根据（1），结合公式求解最小正周期，利用整体代换法求解值域；（3）由题知()y h x x =+-+5π2π,Z 3x k k =+∈或π2π,Z 3x k k =+∈，再根据周期性求解即可.【详解】（1）解：()2π22sin cos 2sin 14f x x x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭π2sin 2cos 24x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ππ2244x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）解：由（1）知()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，因为11π0,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,443x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππsin sin 2sin 442x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 2124x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以224x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭所以，当ππ242x -=，即3π8x =时，()f x 取得最大值当ππ244x -=-，即0x =时，()f x 取得最小值2-；（3）解：由题知()π4y g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()π2y h x x x ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，所以函数()y h x x =+-+所以，令()0y h x x =+-+，即1cos 2x =，所以5π2π,Z 3x k k =+∈或π2π,Z 3x k k =+∈，因为函数()y h x =+[]0,m 上至少有30个零点，且周期为2π所以5π89π2π1433m ≥+⨯=，即m 的最小值为89π3.22．设a ∈R ，已知函数()22x x af x a+=-为奇函数.(1)求实数a 的值；(2)若a<0，判断并证明函数()f x 的单调性；(3)在（2）的条件下，函数()f x 在区间[](),m n m n <上的值域是()2,2m nk k k ⎡⎤⋅⋅∈⎣⎦R ，求k 的取值范围.【正确答案】(1)1-或1(2)()f x 在R 上单调递增，证明见解析(3)(0,3-【分析】（1）直接根据奇函数定义()()f x f x -=-，代入解析式即可求出参数a 的值；（2）由（1）知，当a<0时，得1a =-，代入解析式中，利用单调性的定义即可证明函数的单调性；（3）首先根据函数单调性可得()()2,2,m n f m k f n k ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩，即212,21212,21m mm nn n k k ⎧-=⋅⎪⎪+⎨-⎪=⋅⎪+⎩，令20x t =>，将原问题转化为()2110kt k t +-+=在()0,∞+上有两个不同实根，然后根据二次函数根的分布与系数关系求解参数的取值范围即可.【详解】（1）由函数()f x 为奇函数，有()()0f x f x -+=，有1220122x x x xa a a a +++=--，有()()1122022x xx x a a a a ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有221212022x xx x a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+--⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有21a =，得1a =±.①当1a =时，()2121xx f x +=-，定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()1112211212x x x xf x f x ++-===---，符合题意；②当1a =-时，()2121x x f x -=+，定义域为R ，()()1112211212x x x xf x f x ---===-++，符合题意.由上知1a =-或1；（2）当a<0时，有1a =-，即()f x 定义域为R ，结论为：()f x 在R 上单调递增.设R 上任意两个实数1x ，2x ，且12x x <.()()()()()()()()()()()1221121212121212212121212222121212121212121x x x x x x x x x x x x x x f x f x -+--+----=-==++++++，而21220x x ->，1210x +>，2210x +>，∴()()()12122202121x x x x -<++，即()()12f x f x <得证，则()f x 在R 上单调递增；（3）由m n <知22m n <，由()2,2m n k k k ⎡⎤⋅⋅∈⎣⎦R 知22m nk k ⋅<⋅，所以0k >，由（2）知()f x 在R 上单调递增，结合题意有()()2,2,mnf m k f n k ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩得212,21212,21m m mn n n k k ⎧-=⋅⎪⎪+⎨-⎪=⋅⎪+⎩，即m ，n 是21221x x x k -=⋅+的两个不同实根，令20x t =>，则()2110kt k t +-+=在()0,∞+上有两个不同实根，有()212120,140,10,10,k k k k t t k t t k >⎧⎪∆=-->⎪⎪-⎨+=>⎪⎪=>⎪⎩可得03k <<-故实数k的取值范围为(0,3-.。
高中数学 2022-2023学年河南省郑州市高一(上)期末数学试卷
2022-2023学年河南省郑州市基石中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（每小题5分，共计40分）A ．π4，1B ．0，0C ．π2，不存在D ．不存在，不存在1．（5分）直线y +2=0的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．627B ．637C ．647D ．6572．（5分）已知a =（2，-1，3），b =（-1，4，-2），c =（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ）→→→→→→A ．-a +b −c B ．a −b +c C ．12a -b +12c D ．-12a -b -12c 3．（5分）如图，在三棱锥O -ABC 中，点D 是棱AC 的中点，若OA =a ，OB =b ，OC =c ，则BD 等于（）→→→→→→→→→→→→→→→→→→→A ．（x -2）2+y 2=2B ．（x -2）2+（y -1）2=1C ．（x -3）2+（y -4）2=9D ．（x -3）2+（y +1）2=84．（5分）过点A （3，1）的圆C 与直线x -y =0相切于点B （1，1），则圆C 的方程为（ ）A ．（1，+∞）B ．（1，2）C ．（12，1）D ．（0，1）5．（5分）如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不正确6．（5分）已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AA 1=2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为（ ）7．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）二、多选题（每小题5分，共计20分）A ．(0，5+14)B ．(5+14，1)C ．(0，5−12)D ．(5−12，1)√√√√A ．该几何体是四棱台B ．该几何体是棱柱，面ABCD 是底面C ．EG ⊥HCD ．面EFGH 与面ABCD 所成锐二面角为45°8．（5分）如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型如图所示的六面体，其中四边形ADEH 和BCFG 为直角梯形，A 、D 、C 、B 为直角顶点，其他四个面均为矩形，AB =BG =3，FC =4，BC =1，下列说法正确的是（ ）A ．过点P 且截距相等的直线与直线l 一定垂直B ．过点P 且与坐标轴围成的面积为2的直线有4条C ．点P 关于直线l 的对称点坐标为（0，2）D ．直线l 关于点P 对称直线方程为x -y -1=09．（5分）已知点P （1，1）与直线l ：x -y +1=0，下列说法正确的是（ ）A ．椭圆的焦点坐标为（2，0）、（-2，0）B ．椭圆C 的长轴长为22C ．直线l 的方程为x +y -3=0D ．|AB |=43310．（5分）已知椭圆C ：x 24+y 28=1内一点M （1，2），直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）√√A ．已知三棱锥O -ABC ，点P 为平面ABC 上的一点，且OP =12OA +m OB −n OC （m ,n ∈R ），则m −n =12B ．已知向量u ，v 不共线，若a =u +v ，b =3u +2v ，c =2u −3v ，则a ，b ，c 共面C ．已知向量a ∥b ，则存在向量可以与a ，b 构成空间的一个基底11．（5分）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→三、填空题（每小题5分，共计20分）四、解答题（本题共计70分）D ．已知空间两点A （1，0，2），B （2，-2，-1），若向量CD ∥AB ，且|CD |=27，则CD =2AB→→→√→√→A ．AC 1=126B ．BD ⊥平面ACC 1C ．向量B 1C 与AA 1的夹角是60°D ．直线BD 1与AC 所成角的余弦值为6612．（5分）如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）√→→√13．（5分）i ，j ，k 是三个不共面的向量，AB =i −2j +2k ，BC =2i +j −3k ，CD =λi +3j −5k ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为．→→→→→→→→→→→→→→→14．（5分）已知圆C 1：x 2+（y -a ）2=9与圆C 2：（x -a ）2+y 2=1有四条公共切线，则实数a 的取值可能是．（填序号）①-3；②-2；③22；④23．√√15．（5分）已知点P （x ,y ）满足x 2-8x +y 2-4y +16≤0，则y x 的取值范围是 ．16．（5分）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AD ，B 1D 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的余弦值为 ．17．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （2，1），B （-2，3），C （-3，0）．（1）求BC 边所在直线的方程；（2）求BC 边上的高AD 所在直线的方程．18．（12分）已知△ABC 的三个顶点分别为A （0，1），B （2，1），C （0，5），求：（1）BC 边上中线AD 所在直线的方程（D 为BC 中点）；（2）BC 边的垂直平分线的方程；（3）求△ABC 的外接圆方程．19．（12分）已知直线l ：kx +y +k +2=0（k ∈R ）．（1）证明：直线l 一定经过第三象限；（2）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 点，当点P （1，0）离直线l 最远时，求△PAB 的面积．20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，AF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AD =2，AB =AF =2EF =1，点P 为棱DF 的中点．（Ⅰ）求证：BF ∥平面APC ；（Ⅱ）求直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值；（Ⅲ）求点E 到平面APC 的距离．21．（12分）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上．已知焦距为2的椭圆C ：x2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，从F 2发出的一条不与x 轴重合的光线，在椭圆上依次经M ，N 两点反射后，又回到点F 2，这个过程中光线所经过的总路程为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN ：x -my +1=0，且满足F 1M =λF 1N ，若−53≤λ≤−1，求实数m 的取值范围．→→22．（12分）等腰梯形ABCD ，2AB =2BC =CD ，∠ABC =120°，点E 为CD 的中点，沿AE 将△DAE 折起，使得点D 到达F 位置．（1）当FB =BC 时，求证：BE ⊥平面AFC ；（2）当BF =62BC 时，过点F 作FG ，使FG =λAB (λ>0)，当直线BG 与平面BEF 所成角的正弦值为1510时，求λ的值．√→√。
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河南省郑州市2019-2020学年高一上学期期末考试高一数学试题卷注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
考试时间120分钟，满分150分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ＝{x|1<x<3}，集合B ＝{x|y ，则A ∩B ＝ A.{x|1<x ≤2} B.{x|1<x<3} C.{x|2≤x<3} D.{x|1<x<2}2.过两点A(0，y)，，－3)的直线的倾斜角为60°，则y ＝ A.－9 B.－3 C.5 D.63.下列四个命题中错误的是A.若直线a 、b 相交，则直线a 、b 确定一个平面B.若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D.经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 4.设 1.50.4111(),(),ln542a b c ===，则下列关系正确的是 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b5.已知圆x 2＋y 2－2mx －(4m ＋2)y ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心在直线x ＋y －7＝0上，则该圆的面积为A.4πB.2πC.πD.2π 6.如下图一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A.8B.83C.2D.4 7.已知f(2x)＝x ＋3，若f(t)＝3，则t ＝ A.16 B.8 C.4 D.18.如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中CN 与BM 所成角为A.30°B.45°C.60°D.90°9.已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x ＋4)＝f(x)恒成立，且f(1)＝1，则f(3)＋f(4)＋f(5)的值为A.－1B.1C.2D.010.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝8，过直线l ：x －y －2＝0上任意一点P 向圆引切线PA ，切点为A ，则|PA|的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.411.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，则异面直线BC 1与CD 1所成角的余弦值为 101510 D.1212.已知函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程f(x)＝k 有4个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则4232144()x x x x x ++的取值范围是 A.(－7，2] B.[－7，2) C.(2，2] D.[2，2)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13.已知集合M 满足{3，4}⊆M ⊆{3，4，5，6}，则满足条件的集合M 有_________个。
14.已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋y ＋1＝0互相垂直，则a ＝_________。
15.若正四面体ABCD 的棱长为2，则该正四面体的外接球的表面积为_________。
16.高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.4]＝－4，[2.7]＝2。
已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数y ＝[f(x)]的值域是_________。
三、解答题(本题共6小题，共70分) 17.(本小题满分10分)已知直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点为M 。
(I)求过点M 且与直线l 3：3x －y ＋1＝0平行的直线l 的方程；(II)若直线l '过点M ，且点P(0，4)到l '的距离为5，求直线l '的方程。
18.(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|－2≤x ≤5}，N ＝{x|a ＋1≤x ≤2a ＋1}。
(I)若a ＝1，求M ∩(RN )；(II)M ∪N ＝M ，求实数a 的取值范围。
19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为棱PB 的中点，O 为AC 与BD 的交点。
(I)求证：PD//面EAC ；(II)求二面角C －OE －B 的大小。
20.(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线y ＝x 上，且圆C 与直线l ：x －y ＋2＝0相切于点A(0，2)。
(I)求圆C 的标准方程；(II)若直线l '过点P(0，3)且被圆C 所截得弦长为2，求直线l '的方程。
21.(本小题满分12分)近年来，中美贸易摩擦不断。
特别是美国对我国华为的限制。
尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G 。
然而这并没有让华为却步。
华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲。
今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机。
通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x(千部)手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝210200,040100008019450,40x x x x x x ⎧+<<⎪⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完。
(I)求出2020年的利润Q(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)； (II)2020年产量x 为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ (说明：当a>0时，函数y ＝x ＋ax在(0单调递减，在)单调递增) 22.(本小题满分12分) 已知函数134()log 4axf x x -=-为奇函数，其中a 为常数。
(I)求常数a 的值；(II)判断函数f(x)在x ∈(－∞，－4)上的单调性，并证明；(III)对任意x ∈(－∞，－5]，都有1()()2xf x m ≤+恒成立，求实数m 的取值范围。
郑州市2019-2020学年上期期末考试高一数学 参考答案二． 填空题：13. 4 14. 1 15. 3π 16. {}1,0,1- 三．解答题：17. 解：（I ）联立2302380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩,解得：()1,2M .2分所以：与3l 平行的的直线方程为：()231y x -=-，4分整理得：310x y --=.5分（II ）当斜率不存在时，不合题意；7分当斜率存在时，设():21l y k x -=-，即：20kx y k -+-= .=，解得：24410k k -+= ，12k =；9分所以，所求直线的方程为：230x y -+=. 10分18. 解：（I ）当1a =时，{}|23N x x =≤≤ ，{}|23R CN x x x =<>或 .2分.故 }5322|{)(≤<<≤-=x x x N C M R 或 .4分（II ）,M N M N M=∴⊆6分1,N ︒=∅ ,121a a +>+，即：0a <; 8分2,N ︒≠∅，即：0a ≥.12,215a N M a +≥-⎧⊆∴⎨+≤⎩，解得：02a ≤≤.10分综上：2a ≤.12分,OC BOC ⊂OB BOC ⊂19. 解：(I)由题可得：O 是BD 的中点，因为E 为棱PB 的中点， 所以：//EO PD.2分又因为：,PD EAC EO EAC ⊄⊂面面；4分所以：//PD EAC 面.6分（II ）//,,EO PD EO ABCD EO BO ∴⊥∴⊥面,EO CO ⊥，8分面 面 , OBOC O =.则BOC ∠为二面角B OE C --的平面角.10分ABCD BO AC ∴⊥四边形为菱形，, 90,BOC ∴∠=∴二面角B OE C --的大小为90.12分20. 解：(I)由题可设圆心(),C a a ，显然0,a ≠则21CA a k a-==-，解得：1a =，2分所以圆心的坐标：()1,1C，r AC ==4分 所以圆的标准方程为:()()22112x y -+-=.6分(II)当直线的斜率存在时，可设直线/l 的方程：3y kx =+，即：30kx y -+=.由题得：1d === ，解得：34k =-，8分所求直线l 的方程为：34120x y +-= .9分当直线l 的斜率不存在时,直线0:/=x l ，满足题意；11分 故：所求直线的方程为：34120x y +-=或0x =.12分21.解：（I ）当040x << 时 :()()228001020025010600250Q x x x x x x =-+-=-+-;2分当40x ≥时：()100001000080080194502509200Q x x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭. 4分()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩6分（II ）当040x <<时，()()210308750Q x x =--+，()()max 308750Q x Q ∴==万元；8分当40x ≥时，()100009200Q x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ，当且仅当100x =时，()()max 1009000Q x Q ==万元.10分所以，2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元.12分 22.解：()134log I)4(axf x x -=-为奇函数, ()()2211123334416log log log 04416ax ax a x f x f x x x x -+-∴+-=+==----恒成立，2分即：21,1-1a a a =∴==或,3分检验得：-1a =；4分（II ）由（I ）得：()134log 4x f x x +=-=138log 14x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，令()814g x x =+- , ()1212,,4,x x x x ∀∈-∞-<，则： ()()()()()21121212128888811444444x x g x g x x x x x x x -⎛⎫-=+-+=-= ⎪------⎝⎭.()()()121212,,4,,x x x x g x g x ∈-∞-<∴>.()13log f t t =是减函数，()()111233log log g x g x ∴< ，即：()()12f x f x <.所以()f x 在(),4x ∈-∞-上为增函数.8分（III ）()12xf x m ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭恒成立，即：()()12xm f x h x ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭恒成立.由（II ）知：()h x 在(],5x ∈-∞-上为增函数，所以()()max 530m h x h ≥=-=-，所以m 的取值范围是：[)30,-+∞.12分。