高级中学数学基本不等式知识点归纳及理解练习知识题

高中数学基本不等式的巧用

1．基本不等式：ab ≤

a ＋

b 2

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )； (4)

a 2＋

b 22

≥⎝ ⎛⎭

⎪

⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数

设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为

a ＋

b 2

，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为

两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24

.(简记：和定积最大)

一个技巧

运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是

2

2

⎭

⎪⎪a ＋b 22

(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

两个变形 (1)

a 2＋

b 22

≥⎝ ⎭

⎪⎪a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2)

a 2＋

b 22

≥

a ＋

b 2

≥ab ≥

2

1

a ＋

1

b

(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．

这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

应用一：求最值 例1：求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋1

2x 2

（2）y ＝x ＋1

x

解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数 例1. 当

时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离

例3. 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。

。

技巧四：换元

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a

f x x x

=+的单调性。例：求函数2

y =

的值域。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

（1）231

,(0)x x y x x ++=

> （2）12,33

y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈

2．已知01x <<，求函数y =.；3．2

03

x <<

，求函数y =. 条件求最值

1.若实数满足2=+b a ，则b

a

33+的最小值是 .

变式：若44log log 2x y +=，求11

x y

+的最小值.并求x ,y 的值

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且

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1x y

+=，求x y +的最小值。 变式： （1）若+

∈R y x ,且12=+

y x ，求y

x

11+的最小值

(2)已知+

∈R y x b a ,,,且1=+y

b x a ，求y x +

的最小值

技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋

y 2

2

＝1，求x

1＋y 2 的最大值.

技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1

ab

的最小值.

技巧九、取平方

5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.

应用二：利用基本不等式证明不等式

1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a

++>++222

1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

应用三：基本不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y >>且

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1x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=

⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .

解：（1）y ＝3x 2＋1

2x

2 ≥2

3x 2·1

2x

2 ＝

6 ∴值域为[ 6 ，+∞）