专题三 培优点13 数列中的奇、偶项问题
高中数学：数列通项的奇偶项问题
中学数学：数列通项的奇偶项问题
在日常学习考试中，我们常常会遇到数列求和问题，通常的做法是先求出数列通项解析式，推断数列性质，再依据公式求和，这是大多数同学都能驾驭并娴熟运用的。
但也常常会遇到依据给出的条件，依据正常解题思路无法精确求出解析式的状况，这时，我们必需要学会巧用奇偶分析法求出通项解析式，或者选择放弃求通项解析式，采纳分类探讨法探讨，肯定会收到意想不到的效果。
同样的方法探讨偶数项的通项公式：
我们看到，不管n为奇数还是偶数，通项公式的形式是相同的。
在采纳奇偶分析法探讨数列的通项时，我们采纳了累加法.这个方法简洁易用，不简洁犯错。
当然，因为奇数项成等差，偶数项也成等差，你也可以利用等差数列的通项公式干脆写稀奇数项和偶数项的通项公式，前提是项数不要搞错。
下面，思索一个一般化的问题：
请思索2分钟，再往下看。
看下面的简图：
把等差数列的各项放在数轴上，那么等差数列可理解为随意相邻两项的距离为定值(假设入>0)。
可是，由题我们只能确定间隔一项的两项距离为定值，如何做到符合等差数列的要求呢?
其实也简洁，假如我们使得第1项和第2项的距离为入/2，自然地，第2项和第3项的距离就为入/2，第3项和第4项的距离
也为入/2，依次往下，多米诺骨牌效应......。
数列奇偶知识点总结
数列奇偶知识点总结等差数列等差数列又称等差数列，是指数列中相邻两项之间的差是一个常数的数列。
设数列为{an}，则对任意n∈N，如果存在常数d，使得an+1-an=d，则称为等差数列，其中d称为公差。
等差数列的一般形式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
等差数列的性质：1. 根据等差数列的定义可知，等差数列是由首项和公差唯一确定的。
2. 等差数列的前n项和Sn的表达式为Sn=(a1+an)n/2。
3. 等差数列的性质决定了它们的和是一个常数，即Sn为一个恒定值。
等比数列等比数列又称等比数列，是指数列中相邻两项之间的比是一个常数的数列。
设数列为{an}，则对任意n∈N，如果存在常数q，使得an+1/an=q，则称为等比数列，其中q称为公比。
等比数列的一般形式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
等比数列的性质：1. 根据等比数列的定义可知，等比数列是由首项和公比唯一确定的。
2. 等比数列的前n项和Sn的表达式为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，当q≠1时。
3. 当公比q的绝对值小于1时，等比数列的前n项和有上确界，当q的绝对值大于1时，等比数列的前n项和趋于无穷大。
4. 当q的绝对值小于1时，等比数列的和为Sn=a1/(1-q)，当q的绝对值大于1时，等比数列的和为无穷大。
奇数列和偶数列奇数列和偶数列是指数列中的元素为奇数或偶数的数列。
奇数列和偶数列都是无限数列。
奇数列的一般形式为an=2n-1，而偶数列的一般形式为an=2n。
奇数列和偶数列的通项公式可以通过数列的定义得到。
奇数列和偶数列的性质：1. 奇数列中的每个元素都是奇数，而偶数列中的每个元素都是偶数。
2. 奇数列和偶数列之间是不相交的，即奇数列中的元素不可能在偶数列中出现，反之亦然。
以上就是关于数列中奇偶知识点的总结和介绍，数列是数学中非常重要的概念，了解并掌握数列的性质和规律有利于我们在数学问题中的求解和分析。
数列的奇偶项问题教学
数列的奇偶项问题教学同学们，今天咱们来唠唠数列里一个特别有趣的事儿——奇偶项问题。
这就好比数列这个大家族里，突然分成了两个小帮派，一个是奇数项组成的帮派，一个是偶数项组成的帮派。
一、为啥要研究奇偶项呢？你们想啊，数列有时候就像一个调皮的小怪兽，它的规律不是那么一目了然的。
有时候整个数列看起来乱乱的，但是当我们把它的奇数项和偶数项单独拎出来看的时候，哇塞，就像给这个小怪兽打了一针镇定剂，规律一下子就清晰了。
比如说，有些数列的奇数项可能是一个等差数列，而偶数项可能是一个等比数列呢。
这就像是这个数列在玩一种特别的游戏，奇数项和偶数项有各自的玩法。
二、怎么识别奇偶项问题呢？这就像是侦探找线索一样。
当你看到数列的通项公式或者递推公式里，有那种和项数的奇偶性有关的东西，那你就得小心喽，这很可能就是奇偶项问题在向你招手呢。
比如说，递推公式里有类似“当n为奇数时，an + 1 = f(an)”，“当n为偶数时，an + 1 = g(an)”这样的描述，或者通项公式里有根据n是奇数还是偶数而有不同表达式的情况，这就像是数列在给你发送信号：“我这里有奇偶项的秘密哦！”三、具体例子来一波1. 通项公式的奇偶项咱们来看个例子哈，an = {n, n为奇数；2n, n为偶数}。
这个数列就很直白地告诉我们它的奇偶项规律了。
奇数项就是n，那就是1、3、5、7……这样的数；偶数项呢，就是2n，那就是2×2 = 4，2×4 = 8，2×6 = 12……这样的数。
你看，奇数项和偶数项就像两条不同轨道上的小火车，各自按照自己的速度和方向行驶。
2. 递推公式的奇偶项再看这个递推公式：当n为奇数时，an + 1 = an + 2；当n为偶数时，an + 1 = 2an。
咱们从第一项a1 = 1开始。
因为1是奇数，所以a2 = a1 + 2 = 1+ 2 = 3。
现在2是偶数了，那么a3 = 2a2 = 2×3 = 6。
高考数学专题复习--数列中的奇、偶项问题课件(干货)
类型2 求数列的和
例2 （1）（2022·宁夏石嘴山一中5月适应性考试）
528
解析：当 为奇数时， , ,两式相减得 ;当 为偶数时， , ,两式相加得 .所以 .
（2）已知数列 <m></m> 满足 <m></m> ,则数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和 <m></m> _ _________________.
解析：因为 ,当 为偶数时 ,当 为奇数时 .所以
对于通项公式分奇、偶不同的数列 求 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把 看作一项，求出 ，再求 .
1.（2022·河南郑州二模）已知数列 满足 , ， ，则数列 的第2 022项为( )
2.（2022·江苏南京高三学情调研）已知正项等比数列 的前 项和为 , ,且 , , 成等差数列.
（2）已知数列 <m></m> 满足 <m></m> , <m></m> ，则数列 <m></m> 的通项公式为____________.
解析：由题意， ,① ,②由②-①得， ,由 , ,所以 .当 为奇数时， ,当 为偶数时， .综上所述， .
数列中的奇、偶项问题的常见题型
类型1 求数列的通项公式
例1 （1）数列 <m></m> 满足 <m></m> , <m></m> 且 <m></m> ，则 <m></m> 的通项公式为_ _________________________.
数列中的奇偶项问题课件-2025届高三数学一轮复习
(1)若数列{an}是等差数列,求数列{bn}的前100项和S100;
【解析】(1)因为{an}为等差数列,且a1=1,a2=2,
所以公差d=1,所以an=n.
+1 − = 1, 为奇数,
1, 为奇数,
所以bn=
即bn=
+1 + = 2 + 1, 为偶数,
2 + 1, 为偶数,
=3- ,
1 +
1
2
1−2
1−2
3 1
4
又2−1 =2 -2 =3- - =3- ,
2 2
2
3
3−
所以Sn=
3−
22
, 为偶数,
4
+1
2 2
, 为奇数.
谢谢观赏！！
所以2−1 =1,所以2 =4n-2,
1, 为奇数,
综上所述,an=
2 − 2, 为偶数.
视角二
已知条件明确的奇偶项问题
, 为奇数,
[例2]已知数列{an}的前n项和为Sn,an=
1
( ) 2 , 为偶数,
2
求Sn.
【解析】方法一:当n为偶数时,Sn=a1+a2+…+an=(a1+a3+…+−1 )+(a2+a4+…+an)
4
2
4
2
−1
(+1)2
1
+ 1 − ( ) 2 , 为奇数,
4
2
综上,Sn=
2
1
+ 1 − ( ) 2 , 为偶数.
4
2
2
高考数学培优---数列奇偶项问题
8.若数列 满足 ，且 ，若数列 单调递增，则 的取值范围为.
且每隔两项的和为9，7，5，3，1， ， ，为递减，
可得 ， ， ， ， ， ，
则当 取最大值时 或13．
例2设数列 的前 项和为 ，已知 ，则 _______．
【答案】－2
【解析】由 得，
两式相减得，
即 ，所以
两式相减得，
又将 代入 得，
所以 .
例3数列 满足 ，前16项和为540，则 ______________.
【巩固训练】
1.数列 满足 ，则其前 项和为________.
2.已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 .
3.设 为数列 的前பைடு நூலகம்项和， 则
（1） _____； （2） ．
4.已知数列 的前 项和为 ，对任意 ， 且
恒成立，则实数 的取值范围是．
5.各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且 ，则 ．
6.设数列 满足 ， 数列 前n项和是 ，对任意的 ， ，若 ，当n是偶数时， 的表达式是___________．
【答案】
【分析】对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论.
【解析】 ，
当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
设数列 前 项和为 ，
，
.
点评：本题综合考查数列的递推公式的应用、数列的并项求和、分类讨论思想和数学计算能力.
高考数学培优---数列奇偶项问题
【典型题示例】
例1数列 满足 ，且 ．记数列 的前 项和为 ，则当 取最大值时 为
数列中的奇偶项问题
数列中的奇偶项问题例1、（12宁波一模）已知数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=. （1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+（2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+=121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+（2）①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列.②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，则12211321n n n a a --=+=⨯-， 因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k t ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =. 例2、（14宁波二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．（I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ． 解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分 230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分（Ⅱ）14 32n n n n c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++ =212(444)6(14)222214n n n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分 当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-……………13分 点评:根据结论1退而求之.（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++ 1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． ……………13分 12222,221n n n n n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………14分 点评：分清项数，根据奇偶进行分组求和。
数列奇偶项问题解题技巧
数列奇偶项问题解题技巧
数列奇偶项问题是数列中常见的一类问题，通常要求我们根据数列中奇偶项的特点来确定数列某一项的值或者数列的通项公式。
下面给出数列奇偶项问题的解题技巧。
1.观察数列前几项，看看能否找到规律。
如果数列前几项有明显的规律，可以推测出数列的通项公式。
2.判断数列中奇偶项的取值情况。
如果数列中奇偶项的取值有明显的差别，可以通过奇偶性对数列进行分类讨论，进而确定数列的通项公式。
3.利用数列的性质进行推理。
如等差数列、等比数列等，可以通过利用数列的性质，将数列进行变形，进而求出数列中某一项的值或者数列的通项公式。
4.利用递推式求解。
如果数列可以表示为递推式，那么可以通过递推式来求出数列中某一项的值或者数列的通项公式。
5.利用数学工具求解。
对于比较复杂的数列问题，可以借助数学工具，如数学归纳法、数列极限等来求解。
总之，对于数列奇偶项问题，要善于观察数列的特点，灵活运用解题技巧，才能较为高效地解决问题。
新高考数学总复习数列中的奇、偶项问题专题课件
(1)因为[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0， 所以[3＋(－1)2n-1]a2n＋1－2a2n－1＋2[(－1)2n-1－1]＝0， 即a2n＋1－a2n－1＝2. 又bn＝a2n－1，所以bn＋1－bn＝a2n＋1－a2n－1＝2， 所以{bn}是以b1＝a1＝1为首项，2为公差的等差数列， 所以bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.
方法总结
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利 用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列．数列通项中 含有(－1)n时要注意分类讨论思想在数列求和中的应用．
集训冲关
数列{an}的通项公式为an＝(－1)n-1·(4n－3)，则它的前100项之和S100＝ __－__2_0_0__．
7＋2(n－1)＋3 3n2＋5n－10
(n－1)·
2
＝
2
，
3n2＋5n－10
n2－3n－10 (n－5)(n＋2)
∴Tn － Sn ＝
2
－ (n2 ＋ 4n) ＝
2
＝
2
＞
0(n≥7)，
∴n(n≥7)为奇数时，Tn＞Sn.
综上可知，当 n＞5 时，Tn＞Sn.
方法总结 利用递推公式先将奇数项与偶数项之间的关系进行分离并求解，然后利 用递推公式逐步建立首项与相关项k＋1，k∈N)， (2)设 bn＝2an＋1·4(an＋1)2(n＝2k，k∈N*)，
求数列{bn}的前 2n 项和
T2n.
－2n2·n2(n＝2k＋1，k∈N)， (2)由(1)知，bn＝2n4·n2(n＝2k，k∈N*)，
∴在数列{bn}的前 2n 项和 T2n 中，
＝a1＋2an－1·n2－6·n2＋2·a2＋2 an·n2
数列中的奇偶项问题(微专题)(解析版)
数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.【解析】【小问1详解】∵na n+1-n+1a n=1,∴a n+1n+1-a nn=1n-1n+1,a n+1+1n+1=a n+1n，所以a n+1n是常数列，即a n+1n=a1+11=3,∴a n=3n-1；【小问2详解】由(1)知，a n是首项为2，公差为3等差数列，由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4，b2n=2a2n+1=12n+4，设数列b2n-1，b2n的前50项和分别为T1，T2，所以T1=50b1+b992=25×298=7450，T2=50×b2+b1002=25×620=15500，所以b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950；综上，a n=3n-1，b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见详解(2)S2n=2n-1n19+n34n+3【详解】(1)当n=1时，可得a1=1，当n≥2时，由a1+3a2+⋯+2n-1a n=n，则a1+3a2+⋯+2n-3a n-1=n-1n≥2，上述两式作差可得a n=12n-1n≥2，因为a1=1满足a n=12n-1，所以a n的通项公式为a n=12n-1，所以1a n=2n-1，因为1a n-1a n-1=2n-1-2n-3=2(常数)，所以1a n是一个等差数列．(2)c n=2n-119,n为奇数12n-12n+3,n为偶数 ，所以C1+C3+⋯C2n-1=1+5+9+⋯4n-319=2n-1n19，C2+C4+⋯C2n=1413-17+17-111+⋯+14n-1-14n+3=n34n+3所以数列c n的前2n项和S2n=2n-1n19+n34n+3．2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．【答案】(1)a1=12，a2=4；1024是数列a n的第342项(2)S2n-1=4n6+3n2-5n+116【详解】(1)由a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数可得a1=12，a2=4．令2n-2=1024=210，解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；令3n-2=1024，解得：n=342，符合题意．因此，1024是数列a n的第342项．(2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-2+a2n-1=12+4+2+10+⋅⋅⋅+6n-8+22n-3=12+2+⋅⋅⋅+22n-3+4+10+⋅⋅⋅+6n-8=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116．另解：由题意得a2n-1=22n-3，又a2n+1a2n-1=4，所以数列a2n-1是以12为首项，4为公比的等比数列．a2n=6n-2，又a2n+2-a2n=6，所以数列a2n是以4为首项，6为公差的等差数列．S2n-1为数列a2n-1的前n项和与数列a2n的前n-1项和的总和．故S2n-1=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116.3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.【答案】(1)a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)证明见解析.【详解】(1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1,所以a2n+1+1=2a2n-1+1,因为a1+1=2≠0,所以数列a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1,而a2n=2a2n-1=2n+1-2,所以a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)方法一：由(1)得T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-1=32ni=12i+1-12i-12i+1-1<32ni=12i+12i-12i+1-1=3ni=12i2i-12i+1-1=3ni=112i-1-12i+1-1=31-12n+1-1<3方法二：因为2n-1≥2n-1n∈N*,所以T2n=∑ni=11a2i-1+1a2i=32∑n i=112i-1≤32∑n i=112i-1=31-12n<34(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列{b n}满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n an +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =2n -1,b n =3n (2)T 2n =3⋅9n 8-116n +12-724【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5S 9=81 ，即a 1+2d =59a 1+9×82d =81 ，∴a 1=1,d =2，∴a n =2n -1.∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3，①∴a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n -1b n -1=n -2 ⋅3n +3n ≥2 ，②所以①-②得，a n b n =2n -1 ⋅3n ，∴b n =3n n ≥2 .当n =1时，a 1b 1=3,b 1=3，符合b n =3n .∴b n =3n .(2)T 2n =c 1+c 2+c 3+⋯+c 2n ，依题有：T 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1 +1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2.记T 奇=b 1+b 3+⋯+b 2n -1，则T 奇=3(1-32n )1-32=32n +1-38.记T 偶=1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2，则T 偶=12d 1a 2-1a 4 +1a 4-1a 6 +⋯+1a 2n -1a 2n +2=12d 1a 2-1a 2n +2=1413-14n +3 .所以T 2n =32n +1-38+1413-14n +3 =3⋅9n 8-116n +12-7245(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n (2)T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数【详解】(1)因为a n 是等比数列，公比为q ≠-1，则a 4=a 1q 3,a 5=a 1q 4，a 7=a 1q 6,a 8=a 1q 7，所以a 4+a 5a 7+a 8=a 1q 3+a 1q 4a 1q 6+a 1q 7=1q 3=127，解得q =3，由S 4=a 3+93，可得a 11-34 1-3=9a 1+93，解得a 1=3，所以数列a n 的通项公式为a n =3n ．(2)由(1)得b n =-n ,n 为奇数3n ,n 为偶数，当n 为偶数时，T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =b 1+b 3+⋅⋅⋅+b n -1 +b 2+b 4+⋅⋅⋅+b n =-1+3+⋅⋅⋅+n -1 +32+34+⋅⋅⋅+3n=-n2⋅1+n -12×+91-9n 21-9=983n -1 -n 24；当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1=983n +1-1 -n +1 24-3n +1=18×3n +1-98-n +1 24；综上所述：T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数.题型二、含有(-1)n 类型2【2020年新课标1卷文科】数列{a n }满足a n +2+(-1)n a n =3n -1，前16项和为540，则a 1=【答案】7【解析】a n +2+(-1)n a n =3n -1，当n 为奇数时，a n +2=a n +3n -1；当n 为偶数时，a n +2+a n =3n -1.设数列a n 的前n 项和为S n ，S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70)+(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41)=8a 1+392+92=8a 1+484=540，∴a 1=7.故答案为：7.1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1、3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =-1 n ⋅2a 2n +1log ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列{a n }是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-⋯-2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +⋯+-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+⋯+-1 n ⋅2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+⋯+-1 n +1⋅2n +1 所以2T n =3+2[-1 2+-1 3+⋯+-1 n ]--1 n +12n +1 ，=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n=n+1-1n-1，n∈N*2【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2题型三、a n+a n+1类型3(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．【解析】(1)已知S n=a n2+n2+1，n∈N*当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当n=2时，a1+a2=a22+5，a2=2，所以a1+a2=6．因为S n=a n2+n2+1①，所以S n+1=a n+12+n+12+1②．②-①得，a n+1=a n+12-a n2+n+12-n2，整理得a n+a n+1=4n+2，n∈N*，所以a n+1+a n+2-a n+a n+1=4n+1+2-4n+2=4(常数)，n∈N*，所以a n+a n+1是首项为6，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，a n-1+a n=4n-1+2=4n-2，n∈N*，n≥2．当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+⋯+a n-1+a n=n26+4n-22=n2+n；当n为奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n-1+a n=4+n-1210+4n-22=n2+n+2．综上所述，S n=n2+n,当n为偶数时n2+n+2,当n为奇数时1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.【答案】(1)a n=n,n=2k-1,k∈Zn-1,n=2k,k∈Z，bn=3n-1；(2)58n-59n8.【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n82(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n8。
数列中的奇偶项问题
数列中的奇偶项问题例1、（12一模）已知数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=.（1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+（2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列.②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，则12211321n n n a a --=+=⨯-，因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k t ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =. 例2、（14二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-……………13分点评:根据结论1退而求之.（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． ……………13分12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………14分点评：分清项数，根据奇偶进行分组求和。
数列奇偶项解题方法和技巧
数列奇偶项解题方法和技巧
数列是数学中的一个重要概念，常用于各种数学问题的解答中。
在数列中，奇偶项是指数列中的元素按照奇数和偶数进行分类。
解决数列中奇偶项问题的方法和技巧可以帮助我们更好地理解和解
答数学问题。
下面是一些常见的方法和技巧：
1. 观察数列的规律：观察数列中奇数和偶数项的变化规律。
可以通过列举数列的前几项来发现规律，或者根据已知条件进行推导。
例如，可以观察奇数项和偶数项之间的关系，判断它们是否有相同的增长模式或者差异。
2. 利用数列的性质：对于一些特殊的数列，可以利用数列的性质来解决问题。
例如，对于递推数列，可以利用递推关系式来求解奇偶项。
对于等差数列，可以利用等差关系式来求解奇偶项。
3. 使用数学工具和技巧：数学中有一些常用的工具和技巧可以帮助我们解决奇偶项问题。
例如，可以使用等差数列的求和公式来求解奇数项或偶数项的和。
可以使用数列的通项公式来计算奇数项或偶数项的值。
4. 分类讨论：对于一些复杂的问题，可以将数列中的奇偶项进行分
类讨论。
例如，可以分别讨论奇数项和偶数项的性质，然后将它们的结果进行合并或比较。
需要注意的是，解决数列中奇偶项问题的方法和技巧并不是唯一的，具体的解题方法应根据问题的具体情况进行选择。
在解题过程中，需要灵活运用数学知识和技巧，进行分析和推导，以找到解题的思路和方法。
总之，数列奇偶项问题的解题方法和技巧可以帮助我们更好地理解数列的性质和规律，提高解题的效率和准确性。
通过不断练习和积累经验，我们可以更好地运用这些方法和技巧来解答各种数列问题。
高考总复习二轮数学精品课件 专题2 数列 培优拓展(三) 数列中的奇、偶项问题
(2)证明 由(1)可得
[5+(2+3)]
2
Sn=
=n
+4n.
2
当 n 为奇数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6
=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3
=[-1+3+…+(2n-7)+(2n-3)]+[14+22+…+(4n+2)]
由 bn=
得 b1=a1-6,b2=2a2=2(a1+d),b3=a3-6=a1+2d-6.
2 ,为偶数,
则由 S4=32,T3=16,
得
4×3
41 + 2 ×
= 32,
(1 -6) + 2(1 + ) + (1 + 2-6) = 16,
1 = 5,
解得
= 2.
所以 an=a1+(n-1)d=2n+3.
2
=
(-1)
>0,所以
2
2
Tn>Sn.
2
增分技巧对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时,我们可以分别求
出奇数项的和与偶数项的和,也可以把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再求S2k-1
=S2k-a2k.
对点训练
(1)(2023山东聊城一模)已知数列{an}满足a1+a3=2a2, an+1=
数列中的奇偶项问题
数列中的奇偶项问题例1、（12一模）已知数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=.（1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+（2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列.②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，则12211321n n n a a --=+=⨯-，因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k t ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =. 例2、（14二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-……………13分点评:根据结论1退而求之.（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． ……………13分12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………14分点评：分清项数，根据奇偶进行分组求和。
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培优点13 数列中的奇、偶项问题
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列．
例 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)
n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *. (1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式；
(2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .
解 (1)因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，
所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0，
即a 2n ＋1－a 2n －1＝2，
又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2，
所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，
所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *.
(2)对于[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，
当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0，
即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12
为公比的等比数列； 当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以
T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )
＝⎣⎡⎦⎤n ×1＋12n (n －1)×2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12
＝n 2＋1－12
n ，n ∈N *.
(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n ·a n ＋1＝f (n ))；
②含有(－1)n 的类型；
③含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型；
④已知条件明确的奇偶项问题．
(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看作一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .
1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －
1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )
A ．200
B ．－200
C ．400
D ．－400
答案 B
解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n ·n ，若对任意的正整数n ，使得(a n ＋1－p )·(a n －p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n n －(－1)n －1(n －1)＝(－1)n (2n －1)． 因为对任意的正整数n ，(a n ＋1－p )(a n －p )<0恒成立，
所以[(－1)n ＋1(2n ＋1)－p ][(－1)n (2n －1)－p ]<0.
①当n 是正奇数时，化为[p －(2n ＋1)][p ＋(2n －1)]<0，解得1－2n <p <2n ＋1， 因为对任意的正奇数n 都成立，取n ＝1时，
可得－1<p <3.
②当n 是正偶数时，化为[p －(2n －1)][p ＋(1＋2n )]<0，
解得－1－2n <p <2n －1，
因为对任意的正偶数n 都成立，取n ＝2时，
可得－5<p <3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧
－1<p <3，－5<p <3，解得－1<p <3.
所以实数p 的取值范围是(－1,3)．
3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.
(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)求S n .
解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，
所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，
所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12
a n . 因为
b n ＝a 2n ＋a 2n －1，
所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1
＝12， 所以数列{b n }是公比为12
的等比数列． 因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n ，n ∈N *. (2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12
为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12
为公比的等比数列， 所以a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1，a 2n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，
所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫12112
n +-，n 为奇数，⎝⎛⎭⎫122n
，n 为偶数.
(3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12
＝3－32n ， 又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，
所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－232n ，n 为偶数，3－1
242n +，n 为奇数.。