概率统计习题 7.1 演示文稿1
02教学课件_7.1.2 全概率公式
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8， (1)由全概率公式得：
3 P(A)＝i＝∑1P(Bi)P(A|Bi)
＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86， (2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝P（B1P）（PA（）A|B1）＝0.20×.806.95≈0.220 9，
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)． 为求P(Ai)，设Hi＝{飞机被第i人击中}，i＝1，2，3， 则P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，故
P(A1)＝P(H1－H 2－H 3＋－H 1H2－H 3＋－H 1－H 2H3) ＝P(H1)P(－H 2)P(－H 3)＋P(－H 1)P(H2)P(－H 3)＋P(－H 1)P(－H 2)P(H3)＝0.36， P(A2)＝P(H1H2－H 3＋H1－H 2H3＋－H 1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(－H 3)＋P(H1)P(－H 2)P(H3)＋ P(－H 1)P(H2)P(H3)＝0.41，
提示 两者的最大不同是处理的对象不同，其中全概率公式用来计算复杂事件的 概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率，也就是说， 全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算条件概率的.
题型一 全概率公式 【例1】 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，
P(B2|A)＝P（B2P）（PA（）A|B2）＝0.30×.860.9≈0.314 0， P(B3|A)＝P（B3P）（PA（）A|B3）＝0.50×.860.8≈0.465 1， 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最 小．
概率统计第七章1-2
P(|U|>u1-α/2)=α
φ(x)
U检验
α/2
- u1-αΒιβλιοθήκη 2 u1-α/2接受域α/2
X
否定域
否定域
双侧统计检验
该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。
② H0:μ≤μ0(已知); H1:μ>μ0 （右侧检验） 1) 提出原假设和备择假设: H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0, X 0 在H0下有 2) 对统计量: U / n X 0 X , / n / n X 0 X 对给定的α有 { u1 } { u1 } / n / n X 0 X 所以 P( u1 ) P( u1 ) / n / n 3) 故 拒绝条件为U> u1-α
c u u0.05 1.645
由
X 110 4/5
1.645
X 108.648
即区间( ,108.648 ) 为检验的拒绝域 称 X 的取值区间 (108.648,+) 为检验的接受域
四、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值 我们可以做出判断： 当 x 108.684 或 u 1.645 时，则拒绝H 0 即接收 H1 ；
H 0 : p 4%
vs
H1 : p 4%
二、选择检验统计量 由样本对原假设进行判断总是通过一 个统计量完成的，该统计量称为检验统计 量。 找出在原假设 H 0 成立条件下,该统计量 所服从的分布。
三、选择显著性水平，给出拒绝域形式 小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据实 际问题的要求而定,如取α =0.1,0.05,0.01等, α 为检验的显著性水平(检验水平). 根据所要求的显著性水平α ,描写小概率事件的 统计量的取值范围称为该原假设的拒绝域(否定 域),一般用W表示；一般将 W 称为接受域。 拒绝域的边界称为该假设检验的临界值.
概率论与数理统计复习7章
( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 = 1 − α 即P 2 <σ2 < 2 χα 2 ( n − 1) χ1−α 2 ( n − 1) ( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 置信区间为： 2 , χα 2 ( n − 1) χ12−α 2 ( n − 1)
则有：E ( X v ) = µv (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k ) 其v阶样本矩是：Av = 1 ∑ X iv n i =1
n
估计的未知参数，假定总体X 的k阶原点矩E ( X k ) 存在，
µ θ , θ ,⋯ , θ = A k 1 1 1 2 µ2 θ1, θ 2 ,⋯ , θ k = A2 用样本矩作为总体矩的估计，即令： ⋮ µ θ , θ ,⋯ , θ = A k k k 1 2 ɵ ɵ ˆ 解此方程即得 (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k )的一个矩估计量 θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k
+∞
−∞
xf ( x ) dx = ∫ θ x θ dx =
1 0
令E ( X ) = X ⇒
θ +1
θ
ˆ = X ⇒θ =
( )
X 1− X
θ +1
2
θ
7.2极大似然估计法
极大似然估计法： 设总体X 的概率密度为f ( x,θ ) (或分布率p( x,θ )),θ = (θ1 ,θ 2 ,⋯ ,θ k ) 为 未知参数，θ ∈ Θ, Θ为参数空间，即θ的取值范围。设 ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 是 样本 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )的一个观察值：
i =1 n
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
高中试卷-专题7.1 条件概率与全概率公式(含答案)
专题7.1 条件概率与全概率公式姓名：班级：重点条件概率的公式及其应用。
难点全概率公式的应用。
例1-1．同时抛掷一个红骰子和一个蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A ，“两个骰子的点数之积为奇数”为事件B ，则=)|(A B P （ ）。
A 、61B 、41C 、31D 、21【答案】D 【解析】21)(=A P ，若A 、B 同时发生，则蓝色骰子向上点数为偶数，则412121)(=⨯=AB P ，∴21)()()|(==A P AB P A B P ，故选D 。
例1-2．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则=)|(A B P （ ）。
A 、31B 、74C 、32D 、43【答案】A【解析】由已知得73)(272324=+=C C C A P 、71)(2723==C C AB P ，则31)()()|(==A P AB P A B P ，故选A 。
例1-3．某市气象台统计，2022年3月1日该市市区下雨的概率为154，刮风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，则=)|(B A P （ ）。
5B 、83C 、21D 、43【答案】D【解析】由题意可知154)(=A P 、152)(=B P 、101)(=AB P ，利用条件概率的计算公式可得：43)()()|(==B P AB P B A P ，故选D 。
例1-4．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则=)|(B A P （ ）。
A 、92B 、83C 、43D 、98【答案】A【解析】事件AB ：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，∴其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为33A ，事件B ：甲选羽毛球，∴其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为33，∴92434)()()|(43433===A B P AB P B A P ，故选A 。
《概率论与数理统计》7
未知参数 , ,, 的函数.分别令
12
k
L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
或令
i
ln L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
i
由此方程组可解得参数 i 的极大似然估计值 ˆi.
例5 设X~b(1,p), X1, X2 , …,Xn是来自X的一个样本,
求参数 p 的最大似然估计量.
解 E( X ) ，E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
由矩估计法,
【注】
X
1
n
n i 1
X
2 i
2
2
ˆ X ,
ˆ
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
对任何总体,总体均值与方差的矩估计量都不变．
➢常见分布的参数矩估计量
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为
7-1
第七章
参数估计
统计 推断
的 基本 问题
7-2
参数估 计问题
(第七章）
点估计 区间估 计
假设检 验问题 (第八章）
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量.
当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计.
例如，X ~N ( , 2),
若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出
k = k(A1, A2 , …, A k)
用i 作为i的估计量------矩估计量.
例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知，
X1, X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量．
解 E(X ) a b , D(X ) (b a)2
《概率统计习题》PPT课件
1. 有 人 对 3.1415926 的 小 数 点 后 800 位 数 字 中 数 字
0， 1 ， 2 ， ， 9 出 现 的 次 数 进 行 了 统 计 ， 结 果 如 下
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
次 数 74 92 83 79 80 73 77 75 76 91
6.13 1.53 0.31 0.06
100
编辑ppt
（ ni npi )2 / npi 0 .8 7 1 0 0.2801 0.0202 1.5982 0.1444 1.5358 0.06
2=3.7258
5
若取
0
.0
5，
查
表
知
，
2 1-
(
k
-
r
-
1
)
=
( 2 0.95
5
)
=
1
1
.
0
7
0
5
,
故 拒 绝 域 为 W={ 2 11.0705}.
水 平 为 0.05下 可 以 认 为 每 个 数 字 出 现 概 率 相 同 的 结 论 成 立 。
此 处 检 验 的 p值 为 p=P( 2(9) 50125),可 以 用 统 计 软 件 算 出 ，
譬 如 ， 可 在 Matlab中 使 用 如 下 命 令 1-chi2cdf(50125,9),给
检 验 问 题 。 此 处 总 体 取 值 杯 分 成 7类 ， 在 原 假 设 下 ， 每 类
出现的概率为
p i
i i!
e ,i
0 , 1,
, 5,
p6
i6
i i!
e .
高中数学新人教A版选择性必修第三册 第七章 7.1.1 条件概率 7.1.2 全概率公式 课件
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
2.概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,假设P(A)>0,那么
P(AB)=P(A)P(B|A).我们称该式为概率的乘法公式.
名师点析对于条件概率需注意的问题
(1)利用条件概率公式求P(B|A)时一定要注意P(A)>0.
(2)事件B在“事件A已发生〞这个附加条件下发生的概率与没有
孩子呢.〞在回家的路上妈妈告诉达娜:“这个家庭有两个孩子,只
知道有一个是女孩,另一个不太清楚.〞于是达娜在想,另一个孩子
也是女孩的可能性有多大呢?是50%的概率吗?你能帮达娜分析一
下吗?
激趣诱思
知识点拨
一、条件概率
1.定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=P(AB)
这个附加条件发生的概率一般是不相同的.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)P(B|A)与P(AB)有何区别?
(2)假设事件A,B互斥,那么P(B|A)是多少?
提示:(1)P(B|A)的值是事件AB发生相对于事件A发生的概率的大小;
而P(AB)是事件AB发生相对于原来的总空间而言,一般
P(B|A)≠P(AB).
P(AB )
P(B|A)=
答案:C
P(A)
=
1
10
4
15
3
= .
8
激趣诱思
知识点拨
二、条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.
设P(A)>0,那么
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是两个互斥事件,那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
概率论与数理统计课后习题答案 第七章
习题 7.2 1. 证明样本均值 是总体均值
证:
的相合估计
由定理
知 是 的相合估计
2. 证明样本的 k 阶矩
是总体 阶矩
证:
的相合估计量
3. 设总体 (1)
(2)
是
的相合估计
为其样品 试证下述三个估计量
(3)
都是 的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证:
都是 的无偏估计
故 的方差最小.
大?(附
)
解: (1) 的置信度为 的置信区间为
(2) 的置信度为 故区间长度为
的置信区间为
解得
四、某大学从来自 A,B 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的
.假设两市新生身高分别服从正态分布:
,
其中 未知 试求
的置信度为 0.95 的置信区间.(附:
解:
.从该车床加工的零件中随机抽取
4 个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2.
试求: (1)样本方差 ;(2)总体方差 的置信度为 95%的置信区间.
(附:
解: (1)
(2) 置信度 的置信区间为
三、设总体
抽取样本
为样本均值
(1) 已知
求 的置信度为 的置信区间
(2) 已知
问 要使 的置信度为 的置信区间长度不超过 ,样本容量 n 至少应取多
施磷肥的
620 570 650 600 630 580 570 600 600 580
设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均
亩产之差作区间估计(
).
解:
查表知
概率统计-习题及答案(7)
TX0n3.252 3.2550.3430。
S*0.013038
对0.05，查t分布表可得t1(n 1) t0.975(4)2.7764。
因为T0.3430 2.7764，接受H0：3.25。
7.3 问题相当于要检验H0：20。
n
25，S*2
404.77，S2n 1S*2388.58，n
2nS225388.58
24.286。
2
0
202
对
0.05，查
2
分布表可得
22(n 1)
2
02.025(24) 12.401,
122(n
2
1)02.975(24)39.364，
因为12.401
224.286 39.364
， 接受
H0：20。
S*11(m/s)，求
2和
的水平为 95% 的置信区间。
7.15 设总体～N(
2
1,12)，～N(2,
2
22)，其中
1，2都未知， 但已知1
2，
(X1,X2, , Xm)，(Y1, Y2, ,Yn)分别是， 的样本，两个样本相互独立，请根
据 6.7 节的定理 6.8 ，推导出一个在本题条件下，求1 2的水平为1的置信区间 的公式。
7.16设用原料A和原料B生产的两种电子管的使用寿命(单位：小时)分别为～22
N(1,12)和～N(2,22)，其中1，2都未知，但已知1 2。现对这两种 电子管的使用寿命进行测试，测得结果如下：
原料A
1460，1550，1640， 1600，1620，1660，1740，1820
概率论与数理统计 7.1 数理统计中的基本概念
独立同分布
样本 X1, X2, …, Xn 可以看成是独立同分布( i.i.d ) 的数r.v理.,统计 其共同分布即为总体分布。
设总体X具有分布函数F(x), X1, X2, …, Xn为取自该总体 的容量为n的样本，则样本联合分布函数为
n
F (x , ..., x ) F (x )
1
n
i
i 1
请注意 : 设X1, X2 , Xn是来自总体X的一个样本, x1, x2 ,
xn是一个样本的观察值,则g( x1, x2 , xn )也是统 计量g(X1, X2 , Xn )的观察值.
几个常见统计量
样本平均值
X
1 n
n i 1
Xi
样本方差
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
它反映了总体 方差的信息
数理统计
总体的三层含义：
• 研究对象的全体； • 数据； • 分布 —随机变量X。
统计中，总体这个概念 的要旨是：总体 就是一个概率分布.
数理统计
例5.1.1 考察某厂的产品质量，以0记合格品，以1记 不合格品，则
总体 = {该厂生产的全部合格品与不合格品} = {由0或1组成的一堆数}
若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率），则该 总体可由一个二点分布表示：
简单随机样本
数理统计
• 要使得推断可靠，对样本就有要求，使样本能很好地 代表总体。通常有如下两个要求：
• 随机性: 总体中每一个个体都有同等机会被选入样 本 -- Xi 与总体X 有相同的分布。
独立性: 样本中每一样本的取值不影响其它样本的取值 -- X1, X2, …, Xn 相互独立。
17概率统计作业答案与提示7.1-7.3
概率作业17：第七章第1—3节
2 2 0.975 (10) 3.25 12 (10) 4.5 0.025 (10) 20.5
样本值在置信区间内，即小概率事件没有发生，假设成立， 因此，可以认为该日生 产的铜丝折断力的标准差也是4 公斤.
4.设某次考试的学生成绩 服从正态分布，从中随 机地抽取36位 考生的成绩，算得平均 成绩为66.5分，标准差为 分。 15 （）问在显著水平 0.05下，是否可以认为这次 1 考试全体考生大 的平均成绩为 分？ 70 （ ）在显著水平 0.05下，是否可以认为这次 2 考试考生的成绩的 方差为 2 。 16
2 其中： 2
( n 1) S
2 0
2
2
2
2 ~ 2 ( n 1)
2 2 2 查表求 (n 1) 0.025 (35) 54, 2 (n 1) 0.975 (35) 20.4, 2 1 2
2 由n 36, x 66.5, 0 70, s 15, 计算 2 ;
35 15 2 其中： 30.76 2 2 0 16 2 2 2 ( n 1) 20.4 2 ( n 1) 30.76 ( n 1) 54
2 2
1 2 2
( n 1) S 2
小概率事件没有发生， 即假设成立 可以认为考生成绩的方 , 差是16 2 。
S S t ( 8) X t (8)) 1 n 2 n 2
X 0 其对立事件即超出置信 区间的事件为 P t (8) ， ＝ S n 2 也就是P ( t t (8)) ,
查表求t (8) t0.025 (8) 2.31
东华大学《概率论与数理统计》课件 第七章 假设检验
1. 2为已知, 关于的检验(U 检验 )
在上节中讨论过正态总体 N ( , 2 ) 当 2为已知时, 关于 = 0的检验问题 :
假设检验 H0 : = 0 , H1 : 0 ;
我们引入统计量U
=
− 0 0
，则U服从N(0,1)
n
对于给定的检验水平 (0 1)
由标准正态分布分位数定义知，
~
N (0,1),
由标准正态分布分位点的定义得 k = u1− / 2 ,
当 x − 0 / n
u1− / 2时, 拒绝H0 ,
x − 0 / n
u1− / 2时,
接受H0.
假设检验过程如下:
在实例中若取定 = 0.05, 则 k = u1− / 2 = u0.975 = 1.96, 又已知 n = 9, = 0.015, 由样本算得 x = 0.511, 即有 x − 0 = 2.2 1.96,
临界点为 − u1− / 2及u1− / 2.
3. 两类错误及记号
假设检验是根据样本的信息并依据小概率原
理，作出接受还是拒绝H0的判断。由于样本具有 随机性，因而假设检验所作出的结论有可能是错
误的. 这种错误有两类:
(1) 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而 作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃
设 1,2, ,n 为来自总体 的样本,
因为 2 未知, 不能利用 − 0 来确定拒绝域. / n
因为 Sn*2 是 2 的无偏估计, 故用 Sn* 来取代 ,
即采用 T = − 0 来作为检验统计量.
Sn* / n
当H0为真时,
− 0 ~ t(n −1),
Sn* / n
由t分布分位数的定义知
7.1条件概率课件(人教版)
2 1 2 1 3 1 7
P A
5 2 5 2 5 2 10
2 1 2
P AB
5 2 10
2
C.
9
P AB 2
P B A =
P A 7
例题练习
思考题2（1）100件产品中有6件次品，现从中不放回地任取3件产
品，在前两次抽到正品的条件下，第三次抽到次品的概率为（
n A 6 2
1
D.
2
例题练习
例2：（2）甲、乙两名同学各自独立地解答同一个问题，他们能
2
1
够正确解答该问题的概率分别为 和 ，在这个问题已被解答正确
5
2
的前提下，甲、乙两名同学都能正确解答该问题的概率为（）
2
A.
7
1
B.
5
A：问题已被正确解答
9
D.
10
B：甲、乙两名同学都能正确解答该问题
A：灯泡来自甲厂
P A 0.7
P B|A 0.95
B：灯泡合格
P AB P A P B | A 0.665
例题练习
思考题3 某项设计游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，
只有两个目标都射中才能过关，某选手射中第一个目标的概
率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个
（1）根据条件概率的概念：在事件A产生的前提下，事
件B产生的概率为
P AB
P B A =
P A
（2）利用缩小样本空间进行计算：在古典概型里，将
本来的样本空间Ω缩小为已知的事件A，将本来的事件B
缩小为AB。利用古典概型计算概率，
概率论与数理统计(理工类第四版)吴赣昌主编课后习题答案第七章
写在前面：由于答案是一个个复制到word中，比较耗时耗力，故下载收取5分，希望需要的朋友给予理解和支持！PS：网上有一些没经我同意就将我的答案整合、转换成pdf，放在文库里的，虽然是免费的，但是窃取了我的劳动成果，希望有心的朋友支持我一下，下载我的原版答案。
第七章假设检验7.1 假设检验的基本概念习题1样本容量n确定后，在一个假设检验中，给定显著水平为α，设此第二类错误的概率为β，则必有(). (A)α+β=1;(B)α+β>1;(C)α+β<1;(D)α+β<2.解答：应选(D).当样本容量n确定后，α,β不能同时都很小，即α变小时，β变大；而β变小时，α变大.理论上，自然希望犯这两类错误的概率都很小，但α,β的大小关系不能确定，并且这两类错误不能同时发生，即α=1且β=1不会发生，故选(D).习题2设总体X∼N(μ,σ2),其中σ2已知，若要检验μ,需用统计量U=X¯-μ0σ/n.(1)若对单边检验，统计假设为H0:μ=μ0(μ0已知),H1:μ>μ0,则拒绝区间为；(2)若单边假设为H0:μ=μ0,H1:μ<μ0,则拒绝区间为(给定显著性水平为α,样本均值为X¯,样本容量为n,且可记u1-α为标准正态分布的(1-α)分位数).解答：应填(1)U>u1-α;(2)U<uα.由单侧检验及拒绝的概念即可得到.习题3如何理解假设检验所作出的“拒绝原假设H0”和“接受原假设H0”的判断？解答：拒绝H0是有说服力的，接受H0是没有充分说服力的. 因为假设检验的方法是概率性质的反证法，作为反证法就是必然要“推出矛盾”，才能得出“拒绝H0”的结论，这是有说服力的，如果“推不出矛盾”，这时只能说“目前还找不到拒绝H0的充分理由”，因此“不拒绝H0”或“接受H0”，这并没有肯定H0一定成立. 由于样本观察值是随机的，因此拒绝H0，不意味着H0是假的，接受H0也不意味着H0是真的，都存在着错误决策的可能.当原假设H0为真，而作出了拒绝H0的判断，这类决策错误称为第一类错误，又叫弃真错误，显然犯这类错误的概率为前述的小概率α:α=P(拒绝H0|H0为真);而原假设H0不真，却作出接受H0的判断，称这类错误为第二类错误，又称取伪错误，它发生的概率β为β=P(接受H0|H0不真).习题4犯第一类错误的概率α与犯第二类错误的概率β之间有何关系？解答：一般来说，当样本容量固定时，若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往会增大.要它们同时减少,只有增加样本容量n.在实际问题中,总是控制犯第一类错误的概率α而使犯第二类错误的概率尽可能小.α的大小视具体实际问题而定，通常取α=0.05,0.005等值.习题5在假设检验中，如何理解指定的显著水平α?解答：我们希望所作的检验犯两类错误的概率尽可能都小，但实际上这是不可能的. 当样本容量n固定时，一般地，减少犯其中一个错误的概率就会增加犯另一个错误的概率. 因此，通常的作法是只要求犯第一类错误的概率不大于指定的显著水平α,因而根据小概率原理，最终结论为拒绝H0较为可靠，而最终判断力接受H0则不大可靠，其原因是不知道犯第二类错误的概率β究竟有多少，且α小，β就大，所以通常用“H0相容”，“不拒绝H0”等词语来代替“接受H0”，而“不拒绝H0”还包含有再进一步作抽样检验的意思.习题6在假设检验中，如何确定原假设H0和备择假设H1?解答：在实际中，通常把那些需要着重考虑的假设视为原假设H0，而与之对应的假设视为备择假设H1.(1)如果问题是要决定新方案是否比原方案好，往往将原方案取假设，而将新方案取为备择假设；(2)若提出一个假设，检验的目的仅仅是为了判断这个假设是否成立，这时直接取此假设为原假设H0即可.习题7假设检验的基本步骤有哪些?解答：根据反证法的思想和小概率原理，可将假设检验的步骤归纳如下:(1)根据问题的要求，提出原理假设H0和备择假设H1.(2)根据检验对象，构造检验统计量T(X1,X2,⋯,Xn),使当H0为真时,T有确定的分布.(3)由给定的显著水平α,查统计量T所服从的分布表，定出临界值λ,使P(∣T∣>λ)=α,或P(T>λ1)=P(T<λ2)=α/2,从而求出H0的拒绝域:∣T∣>λ或T>λ1,T<λ2.(4)由样本观察值计算统计量T的观察值t.(5)作出判断，将t的值与临界值比较大小作出结论:当t∈拒绝域量时，则拒绝H0，否则，不拒绝H0，即认为在显著水平α下，H0与实际情况差异不显著.习题8假设检验与区间估计有何异同?解答：假设检验与区间估计的提法虽不同，但解决问题的途径是相通的. 参数θ的置信水平为1-α的置信区间对应于双边假设检验在显著性水平α下的接受域；参数θ的置信水平为1-α的单侧置信区对应于单边假设检验在显著性水平α下的接受域.在总体的分布已知的条件下，假设检验与区间估计是从不同的角度回答同一个问题. 假设检验是判别原假设H0是否成立，而区间估计解决的是“多少”(或范围),前者是定性的，后者是定量的.习题9某天开工时，需检验自动包装工作是否正常. 根据以往的经验，其装包的质量在正常情况下服从正态分布N(100,1.52)(单位:kg).现抽测了9包，其质量为:99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.0，100.5.问这天包装机工作是否正常？将这一问题化为假设检验问题. 写出假设检验的步骤(α=0.05).解答：(1)提出假设检验问题H0:μ=100,H1:μ≠100;(2)选取检验统计量U:U=X¯-1001.59,H0成立时, U∼N(0,1);(3)α=0.05,uα/2=1.96,拒绝域W={∣u∣>1.96};(4)x¯≈99.97,∣u∣=0.06.因∣u∣<uα/2=1.96,故接受H0，认为包装机工作正常.习题10设总体X∼N(μ,1),X1,X2,⋯,Xn是取自X的样本. 对于假设检验H0:μ=0,H1:μ≠0,取显著水平α,拒绝域为W={∣u∣>uα/2},其中u=nX¯,求:(1)当H0成立时, 犯第一类错误的概率α0;(2)当H0不成立时(若μ≠0),犯第二类错误的概率β.解答：(1)X∼N(μ,1),X¯∼N(μ,1/n),故nX¯=u∼N(0,1).α0=P{∣u∣>uα/2∣μ=0}=1-P{-uα/2≤u≤uα/2}=1-[Φ(uα/2)-Φ(-uα/2)]=1-[(1-α2)-α2]=α,即犯第一类错误的概率是显著水平α.(2)当H0不成立，即μ≠0时，犯第二类错误的概率为β=P{∣u∣≤uα/2∣E(X)=μ}=P{-uα/2≤u≤uα/2∣E(X)=μ}=P{-uα/2≤nX¯≤uα/2∣E(X)=μ}=P{-uα/2-nμ≤n(X¯-μ)≤uα/2-nμ∣E(X)=μ}=Φ(uα/2-nμ)-Φ(-uα/2-nμ).注1当μ→+∞或μ→-∞时，β→0.由此可见，当实际均值μ偏离原假设较大时，犯第二类错误的概率很小，检验效果较好.注2当μ≠0但接近于0时，β≈1-α.因α很小，故犯第二类错误的概率很大，检验效果较差.7.2 单正态总体的假设检验习题1已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484.如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55(α=0.05)?解答：本问题是在α=0.05下检验假设H0:μ=4.55,H1:μ≠4.55.由于σ2=0.1082已知，所以可选取统计量U=X¯-4.550.108/9,在H0成立的条件下，U∼N(0,1),且此检验问题的拒绝域为∣U∣=∣X¯-4.550.108/9∣>uα/2,这里u=4.484-4.550.108/9≈-1.833,uα/2=1.96.显然∣u∣=1.833<1.96=uα/2.说明U没有落在拒绝域中，从而接受H0,即认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55.习题2要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时. 已知该种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布，试在显著性水平α=0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为μ,μ未知，即需检验假设H0:μ≥1000,H1:μ<1000.解答：检验假设H0:μ≥1000,H1:μ<1000.这是单边假设检验问题. 由于方差σ2=0.05,故用u检验法. 对于显著性水平α=0.05,拒绝域为W={X¯-1000σ/n<-uα.查标准正态分布表，得u0.05=1.645.又知n=25,x¯=950,故可计算出x¯-1000σ/n=950-1000100/25=-2.5.因为-2.5<-1.645,故在α=0.05下拒绝H0,认为这批元件不合格.习题3打包机装糖入包，每包标准重为100kg.每天开工后，要检验所装糖包的总体期望值是否合乎标准(100kg).某日开工后，测得9包糖重如下(单位：kg):99.398.7100.5101.298.399.799.5102.1100.5打包机装糖的包得服从正态分布，问该天打包机工作是否正常(α=0.05)?解答：本问题是在α=0.05下检验假设H0:μ=100,H1:μ≠100.由于σ2未知，所以可选取统计量T=X¯-100S/n,在H0成立的条件下，T∼t(n-1),且此检验问题的拒绝域为∣T∣=∣X¯-100S/n∣>tα/2(n-1),这里t=x¯-100s/n≈99.978-1001.2122/9≈-0.0544,t0.025(8)=2.306.显然∣t∣=0.0544<2.306=t0.025(8),即t未落在拒绝域中，从而接受H0,即可以认为该天打包工作正常.习题4机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准含量为500g,标准差不得超过10g.某天开工后，随机抽取9袋，测得净重如下(单位：g):497,507,510,475,515,484,488,524,491,试在显著性水平α=0.05下检验假设：H0:μ=500,H1:μ≠500.解答：x¯=499,s≈16.031,n=9,t=(x¯-μ0)sn=499-50016.0319=-0.1871,α=0.05,t0.025(8)=2.306.因∣t∣<t0.025(8),故接受H0,认为该天每袋平均质量可视为500g.习题5从清凉饮料自动售货机，随机抽样36杯，其平均含量为219(mL),标准差为14.2mL,在α=0.05的显著性水平下，试检验假设：H0:μ=μ0=222,H1:μ<μ0=222.解答：设总体X∼N(μ,σ2),X代表自动售货机售出的清凉饮料含量，检验假设H0:μ=μ0=222(mL),H1:μ<222(mL).由α=0.05,n=36,查表得t0.05(36-1)=1.6896,拒绝域为W={t=x¯-μ0s/n<-tα(n-1).计算t值并判断：t=219-22214.2/36≈-1.27>-1.6896,习题6某种导线的电阻服从正态分布N(μ,0.0052).今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s=0.008Ω,对于α=0.05,能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?解答：本问题是在α=0.05下检验假设H0:σ2=0.0052,H1:σ2≠0.0052.选取统计量χ2=n-1σ2S2,在H0成立的条件下，χ2∼χ2(n-1),且此检验问题的拒绝域为χ2>χα/22(n-1)或χ2<χ1-α/22(n-1).这里χ2=9-10.0052s2=80.0052×0.0082=20.48,χ0.9752(8)=2.18,χ0.0252(8)=17.5.显然χ2落在拒绝域中，从而拒绝H0,即不能认为这批导线电阻的标准差仍为0.005.习题7某厂生产的铜丝，要求其折断力的方差不超过16N2.今从某日生产的铜丝中随机抽取容量为9的样本，测得其折断力如下(单位：N):289,286,285,286,285,284,285,286,298,292设总体服从正态分布，问该日生产的铜线的折断力的方差是否符合标准(α=0.05)?解答：检验问题为H0:σ2≤16,H1:σ2>16,n=9,s2≈20.3611,χ2=8×s216≈10.181,α=0.05,χ0.052(8)=15.507.因χ2<χ0.052(8)=15.507,故接受H0,可认为铜丝的折断力的方差不超过16N2.习题8过去经验显示，高三学生完成标准考试的时间为一正态变量，其标准差为6min.若随机样本为20位学生，其标准差为s=4.51,试在显著性水平α=0.05下，检验假设：H0:σ≥6,H1:σ<6.解答：H0:σ≥6,H1:σ<6.α=0.05,n-1=19,s=4.51,χ0.952(19)=10.117.拒绝域为W={χ2<10.117}.计算χ2值χ2=(20-1)×4.51262≈10.74.因为10.74>10.117,故接受H0,认为σ≥6.习题9测定某种溶液中的水分，它的10个测定值给出s=0.037%,设测定值总体服从正态分布，σ2为总体方差，σ2未知，试在α=0.05水平下检验假设：H0:σ≥0.04%,H1:σ<0.04%.解答：在α=0.05下，拒绝域为W={(n-1)S2σ02<χ1-α2(9).查χ2分布表得χ0.952(9)=3.325.计算得(n-1)s2σ02=(10-1)×(0.037\per)2(0.04\per)2≈7.7006>3.325,未落入拒绝域，故接受H0.sw=(5-1)×(1.971)2+(4-1)×(1.167)25+4-2≈1.674.查表得t0.005(7)=1.895.算得t=2.86-2.075-01.67415+14≈0.699<1.895.因为0.699<1.895,故不拒绝H0,认为此药无效.习题3据现在的推测，矮个子的人比高个子的人寿命要长一些.下面给出美国31个自然死亡的总统的寿命，将他们分为矮个子与高个子2类，列表如下：矮个子总统8579679080高个子总统6853637088746466606078716790737177725778675663648365假设2个寿命总体均服从正态分布且方差相等，试问这些数据是否符合上述推陈出推测(α=0.05)?解答：设μ1，μ2分别为矮个子与高个子总统的平均寿命，则检验问题为H0:μ1≤μ2,H1:μ1>μ2,n1=5,x¯=80.2,s1≈8.585,n2=26,y¯≈69.15,s2≈9.315,sw=4×8.5852+9.315229≈9.218,n1n2n1+n2≈2.048,t=(80.2-69.15)9.218×2.048≈2.455,α=0.05,t0.05(29)=1.6991,因t>t0.05(29)=1.6991,故拒绝H0,认为矮个子总统的寿命比高个子总统寿命长.习题4在20世纪70年代后期人们发现，酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA).到了20世纪80年代初期，人们开发了一种新的麦芽干燥过程，下面给出了分别在新、老两种过程中形成的NDMA含量(以10亿份中的份数计):故拒绝H0,认为新、老过程中形成的NDMA平均含量差大于2.习题5有两台车床生产同一种型号的滚珠. 根据过去的经验，可以认为这两台车床生产的滚珠的直径都服从正态分布. 现要比较两台车床所生产滚珠的直径的方差，分别抽出8个和9个样品，测得滚珠的直径如下(单位:mm).甲车床xi:15.014.515.215.514.815.115.214.8乙车床yi:15.215.014.815.215.015.014.815.114.8问乙车床产品的方差是否比甲车床的小(α=0.05)?解答：以X,Y分别表示甲，乙二车床产品直径.X∼N(μ1,σ12),Y∼N(μ2,σ22),X,Y独立. 检验假设H0:σ12=σ22,H1:σ22<σ22.用F检验法, 在H0成立时F=S12S22∼F(n1-1,n2-1).由已知数据算得x¯≈15.01,y¯≈14.99,s12≈0.0955,s22≈0.0261,n1=8,n2=9,α=0.05.拒绝域为Rα={F>Fα(n1-1,n2-1)}.查F分布表得F0.05(8-1,9-1)=3.50.计算F值F=s12/s22=0.0955/0.0261≈3.66.因为3.66>3.50,故应否定H0,即认为乙车床产品的直径的方差比甲车床的小.习题6某灯泡厂采用一项新工艺的前后，分别抽取10个灯泡进行寿命试验. 计算得到:采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460小时. 样本标准差为56小时；采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550小时，样本标准差为48小时. 设灯泡的寿命服从正态分布，是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高(α=0.01)?解答：(1)检验假设H0:σ12=σ22,H1:σ12≠σ22.应选取检验统计量F=S12/S22,若H0真, 则F∼F(m-1,n-1);对于给定的检验水平α=0.01,查自由度为(9,9)的F分布表得F0.005(9,9)=6.54;已知m=n=10,s1=56,s2=48,由此得统计量F的观察值为F=562/482≈1.36;因为F<F0.005(9,9),所以接受原假设H0,即可认为这两个总体的方差无显著差异.(2)检验假设H0′:μ1=μ2,H1′:μ1<μ2.按上述关于双总体方差的假设检验的结论知这两个总体的方差未知但相等,σ12=σ22,所以应选取检验统计量:T=X¯-Y¯(m-1)S12+(n-1)S22m+n-2(1m+1n),若H0′真，则T∼t(m+n-2);对给定的检验水平α=0.01,查自由度为m+n-2=18的t分布表得临界值计算t值t=z¯-0sz/n=-0.1-00.141/5≈-1.59>-2.776,故接受H0:μz=0,即在α=0.05下，认为两种分析方法所得的均值结果相同.7.4 关于一般总体数学期望的假设检验习题1设两总体X,Y分别服从泊松分布P(λ1),P(λ2),给定显著性水平α,试设计一个检验统计量，使之能确定检验H0:λ1=λ2,H1:λ1≠λ2的拒绝域，并说明设计的理论依据.解答：因非正态总体，故宜用大样统计，设X¯=1n1∑i=1n1Xi,S12=1n1-1∑i=1n1(Xi-X¯)2;Y¯=1n2∑i=1n2Yi,S22=1n2-1∑i=1n2(Yi-Y¯)2.\because(X¯-Y¯)-(λ1-λ2)S12n1+S22n2→N(0,1)∴可选用样本函数u=(X¯-Y¯)-(λ1-λ2)S12n1+S22n2作为拒绝域的检验统计量.习题2设某段高速公路上汽车限制速度为104.6km/h,现检验n=85辆汽车的样本，测出平均车速为x¯=106.7km/h,已知总体标准差为σ=13.4km/h,但不知总体是否服从正态分布. 在显著性水平α=0.05下，试检验高速公路上的汽车是否比限制速度104.6km/h显著地快？解答：设高速公路上的车速为随机变量X,近似有X∼N(μ,σ2),σ=13.4km/h,要检验假设H0:μ=μ0=104.6,H1:μ>104.6.α=0.05,n=85,uα=u0.05=1.645.拒绝域W={u=x¯-μ0σ/n>uα.由x¯=106.7,σ=13.4,μ0=104.6,n=85得u=106.7-104.613.4/85≈1.44<1.645.因为1.44<1.645,所以接受H0,即要α=0.05显著性水平下，没有明显的证据说明汽车行驶快于限制速度.习题3某药品广告上声称该药品对某种疾病和治愈率为90%,一家医院对该种药品临床使用120例，治愈85人，问该药品广告是否真实(α=0.02)?解答：设该药品对某种疾病的治愈率为p,随机变量X为X={1,临床者使用该药品治愈0,反之则X∼b(1,p),问题该归结为检验假设：H0:p=0.9,H1:p≠0.9.由于n=120足够大，可以用u检验法，所给样值(x1,x2,⋯,x120)中有85个1，35个0，所以x¯=1120∑i=1120xi=1120∑i=1851=85120≈0.71,又p0=0.9,以之代入统计量U得U的观察值为∣u∣=∣0.71-0.9∣0.9×0.1120=6.94>u0.01=2.33,故拒绝H0,即认为该药品不真实.习题4一位中学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视.”她认为她所领导的学校，学生看电视时间明显小于该数字. 为此，她向她的学校的100名初中学生作了调查，得知平均每周看电视的时间x¯=6.5小时，样本标准差为s=2小时，问是否可以认为这位校长的看法是对的(α=0.05)?解答：检验假设H0:μ=8,H1:μ<8.由于n=100,所以T=X¯-μS/n近似服从N(0,1)分布，α=0.05,u0.05=1.645.又知x¯=6.5,s=2,故计算得t=6.5-82/100=-7.5,否定域W={X¯-8S/n<-u0.05.因为-7.5<-1.645,故否定H0,认为这位校长的看法是对的.习题5已知某种电子元件的使用寿命X(h)服从指数分布e(λ),抽查100个元件，得样本均值x¯=950(h),能否认为参数λ=0.001(α=0.05)?解答：由题意知X∼e(λ),E(X)=1/λ,D(X)=1/λ2,故当n充分大时u=x¯-1/λ1nλ=(x¯-1λ)λn=(λx¯-1)n(0,1).现在检验问题为H0:λ=0.001,H1:λ≠0.001,样本值u=(0.001×950-1)×100=0.5,α=0.05,u0.025=1.96.因∣u∣<u0.025=1.96,故接受H0,即可认为参数λ=0.001(即元件平均合适用寿命为1000h).习题6某产品的次品率为0.17,现对此产品进行新工艺试验，从中抽取400检查，发现次品56件，能否认为这项新工艺显著地影响产品质量(α=0.05)?解答：检验问题为H0:p=0.17,H1:p≠0.17,由题意知⌢p=mn=56400=0.14,u=(⌢p-p0)p0q0n=0.14-0.170.17×0.83×400≈-1.597,α=0.05,u0.025=1.96.因∣u∣<u0.025=1.96,故接受H0,即认为新工艺没有显著地影响产品质量.习题7某厂生产了一大批产品，按规定次品率p≤0.05才能出厂，否则不能出厂，现从产品中随机抽查50件，发现有4件次品，问该批产品能否出厂(α=0.05)?解答：问题归结为在α=0.05下，检验假设H0:p≤0.05,H1:p>0.05.这是一个单侧检验问题，用u检验法，H0的拒绝域为U=X¯-p0p0(1-p0)n>uα.已知n=50,p0=0.05,x¯=450=0.08,代入U的表达式得u=0.08-0.050.05×0.9550≈0.97<uα=u0.05=1.645,故接受H0,即认为这批产品可以出厂.习题8从选区A中抽取300名选民的选票，从选区B中抽取200名选民的选票，在这两组选票中，分别有168票和96票支持所提候选人，试在显著水平α=0.05下，检验两个选区之间对候选人的支持是否存在差异. 解答：这是两个比率的比较问题，待检假设为H0:p1=p2,H1:p1≠p2.由题设知n=300,μn=168,m=200,μm=96,p1 =168320=0.56,p2 =96200=0.48,p=μn+μmm+n=264500=0.528.U0∼=p1 -p2 p(1-p)(1n+1m)=0.56-0.480.528×0.472×1120≈1.755,由P{∣U∼∣>1.96}=α=0.05,得拒绝域∣U∼∣>1.96,因为U0∼=1.755<1.96,故接受H0,即两个选区之间无显著差异.7.5 分布拟合检验Ai k概率pi npi频数fi(fi-npi)2(fi-npi)2npiA001/108085250.3125A111/108093169 2.1125A221/108084160.2A331/10807910.0125A441/10807840.05A551/108069121 1.5125A661/108074360.45A771/10807181 1.0125A881/108091121 1.5125A991/108076160.2∑18007.375由于当H0为真时，χ2=∑i=0k(fi-npi)2npi∼χ2(k-1-r),且此检验问题的拒绝域为χ2≥χα2(k-1-r).这里χ2=7.375,查表知χ0.052(10-1-0)=χ0.052(9)=16.9,显然χ2=7.375<16.9=χ0.052(9),即χ2未落在拒绝域中，所以接受H0,即认为这个正20面体是由均匀材料制面的.习题2根据观察到的数据疵点数0 1 2 3 4 5 6频数fi 14 27 26 20 7 3 3检验整批零件上的疵点数是否服从泊松分布(α=0.05).解答：设X表示整批零件上的疵点数，则本问题是在α=0.05下检验假设H0:P{X=i}=λie-λi!,i=0,1,2,⋯.由于在H0中参数λ未具体给出，所以先估计λ的值. 由极大似然估计法得λ =x¯=1100(0×14+1×27+2×26+3×20+4×7+5×3+6×3)=2.将试验的所有可能结果分为7个互不相容的事件A0,A1,⋯,A7, 当H0成立时，P{X=i}有估计值p0=P{X=0}=e-2≈0.135335,p1=P{X=1}=2e-2≈0.27067,p2=P{X=2}=2e2≈0.270671,p3=P{X=3}≈0.180447,p4=P{X=4}=2/3e-2≈0.090224,p5=P{X=5}=4/15e-2≈0.036089, p6=P{X=6}=4/45e-2≈0.0120298. 列表如下：Ai k 概率pi npi 频数fi (fi-npi)2 (fi-npi)2npiA0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 0 1 2 3 4 5 6 0.1353350.270671 0.270671 0.180447 0.090224 0.036089 0.0120298 13.5335 27.0671 27.0672 18.0447 9.02243.60891.2029813.83428 14 27 26 2073313 0.2176 0.0045 1.1387 3.8232 0.6960 0.01608 0.000166 0.04207 0.2118740.050310∑1000.3205当H0为真时，χ2=∑i=0k(fi-npi)2npi ∼χ2(k-1-r),且此检验问题的拒绝域为χ2≥χα2(k-1-r), 这里χ2=0.3205, 查表知χ0.052(5-1-1)=χ0.052(3)=7.815. 显然 χ2=0.3205<7.815=χ0.052(3).即χ2未落在拒绝域中，接受H0, 故可认为整批零件上的疵点数服从泊松分布.习题3检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为错误个数fi123456 ≥7含fi 个错误的页数 36 4019221问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布(取α=0.05)? 解答：检验假设H0: 一页的印刷错误个数X 服从泊松分布， P{X=i}=λie -λi!,i=0,1,2,⋯.H0 不成立. 先估计未知参数λλ =x¯=1/100(0×36+1×40+2×19+3×2+4×0+5×2+6×1)=1. 在H0成立下p =P{X=i}=(λ )ie -λ i !=e-1i!,i=0,1,2,⋯. 用χ2检验法χ2=∑i=1k(fi -np )2np ∼χ2(k -r-1). 本题中r=1, 其中fi 为频数. H0的拒绝域为 Rα={χ2>χα2(k -r-1)}. 列表计算如下：n=100, 对每个{X=i}计算 p ,np ,fi -np ,(fi -np )2/(np )(i=1,2,⋯,7). 要求每一个np ≥5.计算χ2值χ2=0.0170+0.2801+0.0202+1.1423=1.4596.习题6下表记录了2880个婴儿的出生时刻：试问婴儿的出生时刻是否服从均匀分布U[0,24](显著性水平α=0.05)?解答：原假设H0:F0(x), 由F0(x)算得pi=F0(i)-F0(i-1)=124,npi=2880×124=120 (i=1,2,⋯,24),于是χ2=∑i=124(fi-npi)2npi≈40.47,对α=0.05, 自由度n-1=23, 查χ2-分布表，得χα2(n-1)=35.17,因为χ2=40.47>35.17, 所以拒绝H0, 即可以认为婴儿出生时刻不服从均匀分布U[0,24].总习题解答习题1下面列出的是某工厂随机选取的20只部件的装配时间(min):9.8,10.4,10.6,9.6,9.7,9.9,10.9,11.1,9.6,10.2,10.3,9.6,9.9,11.2,10.6,9.8,10.5,10.1,10.5,9.7.设装配时间的总体服从正态分布N(μ,σ2),μ,σ2均未知，是否可以认为装配时间的均值显著地大于10(取α=0.05)?解答：检验假设H0:μ≤μ0=10,H1:μ>10.已知n=20,α=0.05,由数据算得x¯=10.2,s≈0.5099.因σ2未知，故用t检验法，拒绝域为W={X¯-μ0S/n>tα(n-1).计算得x¯-μ0s/n=10.2-100.5099/20≈1.7541.查t分布表得t0.05(19)=1.7291.因为1.7541>1.7291,故拒绝H0,可以认为装配时间的均值显著地大于10.习题2某地早稻收割根据长势估计平均亩产为310kg,收割时，随机抽取了10块，测出每块的实际亩产量为x1,x2,⋯,x10,计算得x¯=110∑i=110xi=320.如果已知早稻亩产量X服从正态分布N(μ,144),显著性水平α=0.05,试问所估产量是否正确？解答：这是一个正态分布总体，方差已知，对期望的假设检验问题，如果估计正确，则应有μ=310,因此我们先将问题表示成两个假设：①H0:μ=310,H1:μ≠310.接下来就要分析样本值来确定是接受H0,还是接受H1.当H0为真时，统计量②U=X¯-31012/10∼N(0,1),从而有③P{∣U∣>1.96}=0.05,拒绝域为(-∞,-1.96)∪(1.96,+∞).④计算U0=∣320-310∣12/n≈2.64>1.96,即拒绝H0,也就是有理由不相信H0是真的，故认为估产310kg不正确.习题3设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，样本标准差为15分，问在显著水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.(1)设这次考试全体考生的平均成绩X∼N(μ,σ2)，则待检验假设H0:μ=70,备择假设H1:μ≠70;(2)在H0成立条件下选择统计量T=X¯-μ0S/n∼t(n-1);(3)在显著性水平0.05下，查t分布表，找出临界值tα/2(n-1)=t0.025(35)=2.0301,则拒绝域为(-∞,-2.0301)∪(2.0301,+∞);(4)计算t=∣66.5-70∣15/36=1.4∈(-2.0301,2.0301),故接受H0,因此可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.习题4设有来自正态总体的容量为100的样本，样本均值x¯=2.7,μ,σ2均未知，而∑i=1n(xi-x¯)2=225,在α=0.05水平下，检验下列假设(1)H0:μ=3,H1:μ≠3;(2)H0:σ2=2.5,H1:σ2≠2.5.解答：(1)由题意知n=100,x¯=2.7,s=199×225≈1.508,t=(2.7-3)1.508×100≈-1.9894,α=0.05,t0.025(99)≈t0.025(100)=1.984.因∣t∣=1.9894>t0.025(99)=1.984,故拒绝H0,即认为μ≠3.(2)由题意知χ2=∑i=1n(x1-x¯)22.5=2252.5=90,α=0.05,χ0.0252(99)≈χ0.0252(100)=129.56,χ0.9752(99)≈χ0.9752(100)=74.22,因χ0.9752(99)<χ2=90<χ0.0252(99),故接受H0,即可以认为σ2=2.5.习题5设某大学的男生体重X为正态总体，X∼N(μ,σ2),欲检验假设：H0:μ=68kg,H1:μ>68kg.已知σ=5,取显著性水平α=0.05,若当真正均值为69kg时，犯第二类错误的概率不超过β=0.05,求所需样本大小.解答：由第一类、第二类错误及分位数的定义，易于证明：对于某个给定的δ>0(∣μ-μ0∣≥δ)，样本容量n应满足：n≥(uα+uβ)2σ2δ2.因为α=β=0.05,故uα=uβ=1.645,对其对立假设μ=69而言，取δ=1,则n=(uα+uβ)2σ2δ2=(1.645+1.645)2×251≈270.6,故取n=271.某装置的平均工作温度据制造厂家称不高于190∘C.今从一个由16台装置构成的随机样本测得工作温度的平均值和标准差分别为195∘C和8∘C，根据这些数据能否说明平均工作温度比制造厂所说的要高？（设α=0.05,并假设工作温度近似服从正态分布.）解答：设X为工作温度，则X∼N(μ,σ2).①待检假设H0:μ≤190,备择假设H1:μ>190;②在H0成立条件下，选择统计量T=X¯-μ0S/n≈t(n-1);③在显著性水平0.05下，查t分布表，找出临界值tα(n-1)=t0.05(15)=1.75,拒绝域为(1.75,+∞);④计算t=X¯-μ0S/n=195-1908/16=2.5>1.75,所以否定原假设H0,说明平均工作温度比制造厂所说的要高.习题7电工器材厂生产一批保险丝，抽取10根试验其熔断时间，结果为42657578715957685455假设熔断时间服从正态分布，能否认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于80(α=0.05)?解答：①待检假设H0:σ2≤80,备择假设H1:σ2>80;②在H0成立时，选取统计量χ2=(n-1)S2σ02∼χ2(n-1);③由α=0.05,n-1=9,查χ2分布表，χα2(n-1)=χ0.052(9)=16.919;④计算样本值：x¯=110(42+65+75+78+71+59+57+68+54+55)=62.4,s2=19∑i=110(xi-x¯)2≈121.8,χ2=9×121.880≈13.7∈(0,16.919).故接受原假设H0即在α=0.05下，可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于80.习题8某系学生可以被允许选修3学分有实验物理课和4学分无实验物理课，11名学生选3学分的课，考试平均分数为85分，标准差为4.7分；17名学生选4学分的课，考试平均分数为79分，标准差为6.1分. 假定两总体近似服从方差相同的正态分布，试在显著性水平α=0.05下检验实验课程是否能使平均分数增加8分？解答：设有实验的课程考分X1∼N(μ1,σ12),无实验的课程考分X2∼N(μ2-σ22).假定σ12=σ22=σ2未知，检验假设H0:μ1-μ2=8,H1:μ1-μ2≠8.由题意知，选用t检验统计量，则拒绝域为W={∣x1¯-x2¯-(μ1-μ2)sw1n1+1n2∣>tα/2(n1+n2-2),其中sw2=(n1-1)s12+(n2-1)s22n1+n2-2.由x1¯=85,x2¯=79,n1=11,n2=17,s1=4.7,s2=6.1,算出sw=(11-1)×4.72+(17-1)×6.1211+17-2≈5.603.从而算出t值为t=85-79-85.603111+117≈-0.92,由α=0.05,查表得t0.025(11+17-2)=t0.025(25)=2.056,因为∣t∣=0.92<2.056,故接受H0,认为μ1-μ2=8.习题9某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出50名，测得平均身高174.34厘米；从不经常参加体育锻炼的男生中随机地选50名，测得平均身高172.42厘米. 统计资料表明两种男生的身高都服从正态分布，其标准差分别为5.35厘米和6.11厘米，问该校经常参加锻炼的男生是否比不常参加锻炼的男生平均身高要高些(α=0.05)?解答：设X,Y分别表示常锻炼和不常锻炼男生的身高，由题设X∼N(μ1,5.352),Y∼N(μ2,6.112).①待检假设H0:μ1≤μ2,备择假设H1:μ1>μ2;②选取统计量U=X¯-Y¯σ12n+σ22m∼(H0成立)N(0,1);③对于α=0.05,查标准正态分布表，uα=u0.05=1.64;则拒绝域为(1.64,+∞)；④计算u=174.34-172.425.35250+6.11250≈1.67>1.64,故否定原假设H0,即表明经常体育锻炼的男生平均身高比不经常体育锻炼的男生平均身高高些.习题10在漂白工艺中要改变温度对针织品断裂强力的影响，在两种不同温度下分别作了8次试验，测得断裂强力的数据如下(单位：kg):70∘C:20.818.819.820.921.519.521.021.280∘C:17.720.320.018.819.020.120.219.1判断两种温度下的强力有无差别(断裂强力可认为服从正态分布α=0.05)?解答：(1)本问题是在α=0.05下检验假设μ1=μ2,为此需要先检验σ12=σ22是否成立.H01:σ12=σ22,H11:σ12≠σ22.选取统计量F=S12S22,在H01成立的条件下，F∼F(n1-1,n2-1),且此检验问题的拒绝域为F>Fα/2(n1-1,n2-1)或F<F1-α/2(n1-1,n2-1).这里F=s12s22≈0.90550.8286≈1.0928,F0.025(7,7)=4.99,F0.975(7,7)=1F0.025(7,7)=14.99≈0.2004.显然F0.975(7,7)=0.2004<1.0928<4.99=F0.025(7,7).说明F未落在拒绝域中，从而接受H01,即认为两温度下的强力的方差没有显著变化，亦即σ12=σ22. (2)再检验假设H0ʹ:μ1=μ2,H0ʹ:μ1≠μ2,在H0ʹ成立的条件下，T=X1¯-X2¯(n1-1)S12+(n2-1)S22n1+n2-21n1+1n2∼t(n1+n2-2),且此检验问题的拒绝域为∣T∣>tα/2(n1+n2-2),这里T≈20.4-19.47×0.9055+7×0.82868+8-218+18≈2.148,显然∣T∣=2.148>2.145=t0.025(14).说明T落在拒绝域中，从而拒绝H0,即认为两种温度下的断裂强力有显著差别.习题11一出租车公司欲检验装配哪一种轮胎省油，以12部装有Ⅰ型轮胎的车辆进行预定的测试. 在不变换驾驶员的情况下，将这12部车辆换装Ⅱ型轮并重复测试，其汽油耗量如下表所示(单位：km/L).汽车编号i123456789101112Ⅰ型胎(xi)4.24.76.67.06.74.55.76.07.44.96.15.2Ⅱ型胎(yi)4.14.96.26.96.84.45.75.86.94.76.04.9假定两总体均服从正态分布，试在α=0.025的显著性水平下，检验安装Ⅰ型轮胎是否要双安装Ⅱ型轮胎省油？解答：设两种轮胎汽油消耗量之差为随机变量D,则取值为zi=xi-yi=0.1,-0.2,0.4,0.1,-0.1,0.1,0,0.2,0.5,0.2,0.1,0.3.设Z∼N(μz,σz2),σz2未知. 若消耗油相同，则μz=0;若Ⅰ型比Ⅱ型轮胎省油，则μz>0,于是检验假设H0:μz=0,H1:μz>0.由题意知z¯≈0.142,s≈0.198,n-1=12-1=11.α=0.025,查t分布表得t0.025(11)=2.201.所以，拒绝域为W={t>2.201}.由于样本值t=z¯-0s/n=0.142-00.198/12≈2.48>2.201,故拒绝H0:μz=0,即说明Ⅰ型轮胎省油.习题12有两台机器生产金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量n1=60，n2=40的样本，测得部件重量(以kg计)的样本方差分别为s12=15.46，s22=9.66. 设两样本相互独立，两总体分别服从分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22).μi,σi2(i=1,2)均未知，试在α=0.05水平下检验假设H0:σ12≤σ22,H1:σ12>σ22.解答：在α=0.05下，检验假设H0:σ12≤σ22,H1:σ12>σ22,经计算p=1100×10(45+2×17+3×4+4×1+5×1)=1/10,故检验假设为H0:X∼B(10,1/10),即p =P{X=i}=C10i(1/10)i(9/10)10-i,i=0,1,2,⋯,10.为了使np ≥5,将xi≥3合并，于是k=4,r=1.计算χ2的观察值，计算结果如下表：[200,300) [300,+∞)435843.466.9-0.4-8.90.0041.184∑300300 1.8631其中理论概率pi=p{ti≤T≤ti+1}=∫titi+1f(t)dt(i=1,2,3),p4=1-∑i=13pi,例如p1=P{T<100}=∫01000.005e-0.005tdt=1-e-0.5≈0.393.由k=4,未知参数个数r=0,查表知χα2(k-r-1)=χ0.052(3)=7.815.因χ2=1.8631<χ0.052(3)=7.815.故接受H0,即可认为灯泡的寿命服从该指数分布.习题16关于正态总体X∼N(μ,1)的数学期望有如下二者必居其一的假设，H0:μ=0,H1:μ=1.考虑检验规则：当X¯≥0.98时否定假设H0接受H1,其中X¯=(X1+⋯+X4)/4,而X1,⋯,X4是来自总体X的简单随机样本，试求检验的两类错误概率α和β.解答：易见，在假设“H0:μ=0”成立的条件下，X¯∼N(0,1/4),2X¯∼N(0,1);在假设“H1:μ=1”成立的条件下，X¯∼N(1,1/4),2(X¯-1)∼N(0,1).因此，由定义得α=P{X¯≥0.98∣μ=0}=P{2X¯≥1.96∣μ=0}=0.025,β=P{X¯<0.98∣μ=1}=P{2(X¯-1)<-0.04∣μ=1}=0.4840.习题17考察某城市购买A公司牛奶的比例，作假设H0:p=0.6,H1:p<0.6,随机抽取50个家属，设x为其中购买A公司牛奶的家庭数，拒绝域W={x≤24}.(1)H0成立时，求第一类错误的α;(2)H1成立且p=0.4时，求第二类错误的β(0.4);又当p=0.5时，求第二类错误的β(0.5).解答：由定义知(1)α=P{x≤24∣p=0.6}=Φ(24-50×0.650×0.6×0.4)≈Φ(-1.73)=1-Φ(1.73)=1-0.9528=0.0418.(2)β(0.4)=P{x>24∣p=0.4}=1-Φ(24-50×0.450×0.4×0.6)≈1-Φ(1.15)=1-0.8749=0.1251;。
《概率论与数理统计》课件第七章 参数估计
03
若存在, 是否惟一?
添加标题
1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10
比
11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
添加标题
问那个估计量最有效?
添加标题
解 ⑴
添加标题
由于
添加标题
验证
添加标题
都是
添加标题
的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.
故
D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
添加标题
高三数学(理科)二轮(专题7)《概率与统计1-7-1》ppt课件
[命题方向] 1．排列组合的简单应用.2.排列组合的综合应用．
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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高考专题复习 ·数学（理）
析热点 高考 聚集
研思想 方法 提升
课时 跟踪
1．(2014年重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品
训练
类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是
提升
课 时 讨论．其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从 x1，x2，x3，x4，x5
跟踪
训 练 中任取一个让其等于 1 或－1，其余等于 0，于是有 C15C12＝10 种情况；
其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从 x1，x2，x3，x4，x5 中任取两
()
A．72
B．120
C．144
D．168
山
东
解析：依题意，先仅考虑 3 个歌舞类节目互不相邻的排法种数为 A33 金
太 A34＝144，其中 3 个歌舞类节目互不相邻但 2 个小品类节目相邻的排法种 阳
书 数为 A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为 144－24＝120，选 B. 业
C．145 D．146
解析：分四种情况进行讨论：
(1)a3 是 0，a1 和 a2 有 C25种排法，a4 和 a5 有 C25种排法，则五位自然
山 东
数中“凹数”有 C25C25＝100 个；(2)a3 是 1，有 C24C24＝36 个；(3)a3 是 2，
金 太
有 C23C23＝9 个；(4)a3 是 3，有 C22C22＝1 个．由分类加法计数原理知五位
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P( x 0.6 | H 0 ) P(10 x 6 | H 0 )
1 k 4 10 k ( )( ) ( ) 5 5 k 5 1 k 4 5 10 0.0328 5 ( ) ( ) 5 5 0.0328 0.0264 0.0064,
10 k 10
习题与题解7.1
1.解(1)由定义知, 犯第一类错误的概率为
a p ( x 2.6 | H 0 ) P ( X 2 1/ 20 2.6 2 1/ 20 } 1 (2.68) 0.0037,
这是因为在H 0 成立下, x N (2,1/ 20).而犯第二类错误的概率为
注:从这个例子可以看出,要使得 与 都趋于0, 必须n 才可实现,这一结论在一般场合仍成立, 即要使得 与同时很小, 必须样本量n很大.由于 样本量n 很大在实际中常常是不可行的,故一般 情况下人们不应要求 与同时很小.
2.设x,..., x是来自0 1总体b(1, p)的样本, 考虑如下检验问题
H 0 : p 0.2
vs
H1 : p 0.4,
取拒绝域为W {x 0.5}, 求该检验犯两类错误的概率.
2 1 4 =P(x 0.5|H 0 )=P(10x 5|H 0 )= (10 )( ) k ( )10 k 0.0328. k 5 5 k=5 2 k 3 10k P( x 0.5 | H1 ) P(10 x 5 | H1 ) ( )( ) ( ) 0.6331. 5 5 k 0
=P(x,2.6|H1 )=P(
=1-(1.79)=0.0367
x-3 1/20
<
2.6-3 1/20
)=(-1.79)
这是因为在H1成立下, x N (3,1/ 20). (2)若使犯第二类错误的概率满足
=P(x<2.6|H 1 ) P (
x 3 1/ n
2.6 3 1/ n
H0 : 3
vs
H1 : 3,
拒绝域取为W {x( n ) 2.5}, 求检验犯第一类错误的最大值 , 若要使得该取 值 不超过0.05,n 至少应取多大?
解均匀分布U (0, )的最大次序统计量x( n )的密度函数为
f n ( x)
{
nx
n 在 6.5出犯第二类错误的概率为
x 6.5 2 0.48) 0.5 (0.96) (2.96) (0.96) (2.96) 1 0.83. P(| x 6 |) 0.98 | 6.5) P(2 1.48
.设总体为均匀分布U (0, ), x1 ,..., xN 是样本, 考虑检验问题
解
1 在H 0 为真的条件下, x (6, ),因而由 4 P(|x-6| c| =6)=0.05, 得 P( x-6 c )=1- (2c)=0.025 0.5 0.5
也就是(2c) 0.975,2c 1.96, 所以当c 0.98时, 检验的显著性水平为0.05.
10 k 4 10
解x1 ,...,x10 b(1, p)则10 x b(10, p), 于是犯两类错误的概率分别为
讨论:这里 =0.0328已经很小了，但 0.6331却很大, 在样本量n=10 为W={x0.6} 则这时检验犯两类错误的概率分别为
固定下,若要使 更下则回导致 更大,为说明这一点,我们试着将拒绝域改变
5.在假设检验问题中, 若检验结果是接受原假设,则检验可能犯哪一类错 误?若检验结果是拒绝原假设,则又可能犯哪一类错误? 解 若检验结果是接受原假设,可能有两种情况:其一是原假设为真, 此时检验是真确的,未犯错误,其二是原假设不真,此时检验结果错了,这种 错误是接受了不真的原假设,为第二类错误,鼓此检验可能犯第二类错误.
这一现象在一般场合也是对的,即在样本量n固定下, 减小 必导致增大 ,减小 也必导致增大 .
3.设x1 ,..., x16是来自正态分布总体N( ,4)的样本,考虑检验问题 H0: =6 vs H1: 6, 拒绝域取为W={|x-6| c},是求c使得检验的显著性水平为0.05,并求该检 验在 =6.5处犯第二类错误的概率.
其他,
是的严减函数,故其最大值在 =3处达到,即 2.5 n =(3)=( ), 3
因而检验犯第一类错误的概率为 x n 1 2.5 ( ) P( xn 2.5 | H 0 ) n n dx ( ) n ,
若要使得 (3) 0.05, 则要求nln(2.5 / 3) ln0.05, 这给出n 16.43, 即n至 少为17.
) 0.01
即1 (
0.4
1/ n 取34, 才能使检验犯第一类错误的概率 0.01.
) 0.01, 或(0.4 n ) 2.23,由此给出n 33.93, 因而n最小应
(3) 在样本量为n时,检验犯第一类错误的概率为 x 2 2.6 2 =P(x 2.6|H 0 ) P( ) 1 (0.6 n ), 1/ n 1/ n 当n 时, (0.6 n ) 1,即 0. 检验犯第二类错误的概率为 x 2 2.6 3 P( x 2.6 | H1 ) P( ) (0.4 n ) 1 (0.4 n ) 1/ n 1/ n 当n 时, (0.4 n ) 1,即 0.
P ( x 0.6 | H1 ) P (10 x 6 | H1 ) 2 k 3 10 k ( )( ) ( ) 5 5 k 0 2 5 3 5 10 0.6331 (5 )( ) ( ) 5 5 0.6331 0.2007 0.8338.
10 k 5