成才之路人教A版数学必修2-
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求体对角线长，则球的表面积易求．
第一章 1.3 1.3.2
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[解析] 由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，则长 方体的体对角线为 2a2＋a2＋a2＝ 6a，又长方体的外接球的 直径 2R 等于长方体的体对角线，所以 2R＝ 6a，则 S 球＝4πR2
3．与球的关的组合体问题 (1) 若一个长方体内接于一个半径为 R 的球，则 2R ＝ a2＋b2＋c2(a、b、c 分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内 接于球，则 2R＝ 3a(a 为正方体的棱长)； (2)半径为 R 的球内切于棱长为 a 的正方体的每个面， 则 2R ＝a.
第一章
1.3
1.3.2
●课标展示 1．了解球的体积和表面积公式． 2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．
第一章
1.3
1.3.2
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●温故知新 旧知再现 在初中，我们已经学习了圆的概念和周长、面积公式，即 圆是“在平面内到定点的距离等于定长的点的集合”，周长 c 2πr ，面积S＝_____ πr2 ，其中r是圆的半径，而球面是“在 ＝_______ 空间中到定点的距离等于定长的点的集合”．以半圆的直径所 球 ，半 在直线为旋转轴，半圆旋转一周，形成的旋转体叫做 ___ 球心 ，半圆的________ 半径 叫球的半径． 圆的圆心叫_______
(3)两个半径为 1 的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半
[分析] (1)求球的体积和表面积的关键是什么？
(2)两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？
(3)两个铁球熔化为一个球后，哪一个量是不变的？
第一章
1.3
1.3.2
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第一章 1.3 1.3.2
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规律总结：三视图中球的有关计算问题 (1)由三视图求简单组合体的表面积或体积时，最重要的是 还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体 积． (2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与 拼接，避免重叠和交叉等．
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[分析] 表面积．
[解析]
显然该几何体是球的一个内接正方体，则该正方
体的体对角线为球的直径，据此得出球的半径，即可求得球的
依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且
该正方体的棱长为 2.设该球的直径为 2R，则 2R＝ 22＋22＋22 ＝2 3，所以该几何体的表面积为 4πR2＝4π( 3)2＝12π.
●典例探究 球的表面积与体积
32 (1)球的体积是 3 π，则此球的表面积是( A．12π 16 C． 3 π B．16π 64 D． 3 π
)
第一章
1.3
1.3.2
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(2)两个球的体积之比是 8∶27，那么这两个球的表面积之 比是( ) B．4∶9 D． 8∶ 27 A．2∶3 C． 2∶ 3 径为________．
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的
直径或半径，关键是根据 “ 切点 ” 和 “ 接点 ” ，作出轴截面 图，把空间问题转化为平面问题来计算．
第一章
1.3
1.3.2
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(3)此类问题的具体解题流程：
第一章
1.3
1.3.2
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(2013· 福建 ) 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合
体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且 图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ________．
[答案] 12π
第一章 1.3 1.3.2
1.3
1.3.2
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(2)设木星和地球的半径分别为 r、R. 依题意，有 4πr2＝120×4πR2，解得 r＝2 30R. 4 3 4 3 π r π 2 30 R V木 3 3 所以 ＝4 ＝ 4 ＝240 30. V地 3 3 π R π R 3 3 故木星的体积约是地球体积是 240 30倍．
题时要先根据俯视图来确定几何体的上、下部分形状，然后根
据侧视图与正视图确定几何体的形状，并根据有关数据计算．
第一章
1.3
1.3.2
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[解析] 由三视图知，此几何体是一个半径为 1 的半球和 一个棱长为 2 的正方体组成， (1)S＝S 半球＋S 正方体表面积－S 圆 1 ＝2×4π×12＋6×2×2－π×12 ＝24＋π(m2) (2)V＝V 半球＋V 正方体 1 4 ＝2×3π×13＋23 2 ＝8＋3π(m3)
4 3 32 [解析] (1)3πR ＝ 3 π， 故 R＝2， 球的表面积为 4πR2＝16π. (2)体积之比是 8∶27，则半径之比是 2∶3，表面积之比是 4∶9. 4 8 4 3 (3)两个小铁球的体积为 2×3π×1 ＝3π，即大铁球的体积3 8 3 π×R ＝3π，所以半径为 2.
3
[答案] (1)B (2)B (3) 2
9 [答案] 9π，2π.
[解析] 2R＝ 22＋12＋22， 3 4 3 9 2 ∴R＝2，S＝4πR ＝9π，S＝3πR ＝2π.
第一章
1.3
1.3.2
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互动课堂
第一章
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1.3.2
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第一章
1.3
1.3.2
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(2012· 广东 ) 某几何体的三视图如图所示 ，它的体积为
( )
A．72π
B．48π
C．30π
D．24π
第一章 1.3 1.3.2
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＝4π
6 2 2 ＝ 6π a . a 2
[答案] B
第一章
1.3
1.3.2
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规律总结： 常见的几何体与球的切、接问题的解决
策略： (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意 球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性， 球心总在几何的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
成才之路 · 数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
空间几何体
第一章
空间几何体
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第一章
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.2 球的体积和表面积
有关球的切、接问题
(2010· 全国高考 ) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( A．3πa2 C．12πa2 B．6πa2 D．24πa2 )
[ 分析 ]
条件中给出的是长方体的外接球，求球的表面
积，关键是求其半径，确定球心．据长方体与球的对称性可
知，球心是长方体的体对角线的中点，由长方体的三条棱长可
第一章
1.3
1.3.2
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●自我检测 1．半径为3的球的体积是( A．9π C．27π ) B．81π D．36π
[答案] D
4 [解析] V＝3π×33＝36π.
第一章
1.3
1.3.2
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第一章
1.3
1.3.2
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新知导学 1．球的体积
4 3 球的半径为R，那么它的体积V＝__________. 3πR
2．球的表面积
2 4π R 球的半径为R，那么它的表面积S＝__________.
第一章
1.3
1.3.2
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2．半径为 2的球的表面积等于________．
[答案] 8π
[解析] S＝4π×( 2)2＝8π.
第一章
1.3
1.3.2
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3 ．一个长、宽、高分别为 2,1,2 的长方体，则它的外接球 的表面积为________，体积为________．
第一章
空间几何体
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1
预习导学
3
随堂测评
2
互动课堂
4
课后强化作业
第一章
1.3
1.3.2
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预习导学
第一章
1.3
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第一章
1.3
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随堂测评
第一章
1.3
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1 ．已知球的大圆周长为 6π ，则它的表面积和体积分别是 ( ) A．36π，144π C．144π，36π B．36π，36π D．144π，144π
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[知识拓展]
对球的表面积与体积公式的几点认识：
(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相 关，给定 R 都有唯一确定的 S 和 V 与之对应，故表面积和体积 是关于 R 的函数． (2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式 的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法 是不一样的． (3) 球的表面积恰好是球的大圆 (过球心的平面截球面所得 的圆)面积的 4 倍．
迎刃而解了．
(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方， 两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．
第一章
1.3
1.3.2
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(1)已知球的表面积为64π，求它的体积． (2)木星的表面积约为地球表面积的 120 倍，木星的体积约 是地球体积的多少倍？
3
第一章
1.3
1.3.2
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规律总结：求球的表面积与体积的方法： (1) 把握住球的表面积公式 S 球 ＝ 4πR2 ，球的体积公式 V球 ＝ πR3 是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的 条件．把握住这两点，球的体积与表面积计算的相关题目也就
[答案] C
[分析] 由三视图可知该几何体是组合体，分析三视图中 各数据的含义是解题的关键．
[解析] 该几何体是圆锥和半球体的组合体， 则它的体积 V 1 1 4 2 ＝V 圆锥＋V 半球体＝3π×3 ×4＋2×3π×33＝30π.
第一章
1.3
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第一章
1.3
1.3.2
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根据三视图计算球的体积与表面积
某个几何体的三视图如图所示(单位：m)
第一章
1.3
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(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． [分析] 本题条件中给出的是几何体的三视图及数据，解
[分析]
公式求解．
借助公式，求出球的半径，再根据表面积或体积
第一章
1.3
1.3.2
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[解析] (1)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4. 4 3 4 256 3 ∴V 球＝3πR ＝3π×4 ＝ 3 π.
第ຫໍສະໝຸດ Baidu章
第一章 1.3 1.3.2
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[解析] 由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，则长 方体的体对角线为 2a2＋a2＋a2＝ 6a，又长方体的外接球的 直径 2R 等于长方体的体对角线，所以 2R＝ 6a，则 S 球＝4πR2
3．与球的关的组合体问题 (1) 若一个长方体内接于一个半径为 R 的球，则 2R ＝ a2＋b2＋c2(a、b、c 分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内 接于球，则 2R＝ 3a(a 为正方体的棱长)； (2)半径为 R 的球内切于棱长为 a 的正方体的每个面， 则 2R ＝a.
第一章
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●课标展示 1．了解球的体积和表面积公式． 2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．
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●温故知新 旧知再现 在初中，我们已经学习了圆的概念和周长、面积公式，即 圆是“在平面内到定点的距离等于定长的点的集合”，周长 c 2πr ，面积S＝_____ πr2 ，其中r是圆的半径，而球面是“在 ＝_______ 空间中到定点的距离等于定长的点的集合”．以半圆的直径所 球 ，半 在直线为旋转轴，半圆旋转一周，形成的旋转体叫做 ___ 球心 ，半圆的________ 半径 叫球的半径． 圆的圆心叫_______
(3)两个半径为 1 的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半
[分析] (1)求球的体积和表面积的关键是什么？
(2)两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？
(3)两个铁球熔化为一个球后，哪一个量是不变的？
第一章
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第一章 1.3 1.3.2
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规律总结：三视图中球的有关计算问题 (1)由三视图求简单组合体的表面积或体积时，最重要的是 还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体 积． (2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与 拼接，避免重叠和交叉等．
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[分析] 表面积．
[解析]
显然该几何体是球的一个内接正方体，则该正方
体的体对角线为球的直径，据此得出球的半径，即可求得球的
依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且
该正方体的棱长为 2.设该球的直径为 2R，则 2R＝ 22＋22＋22 ＝2 3，所以该几何体的表面积为 4πR2＝4π( 3)2＝12π.
●典例探究 球的表面积与体积
32 (1)球的体积是 3 π，则此球的表面积是( A．12π 16 C． 3 π B．16π 64 D． 3 π
)
第一章
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(2)两个球的体积之比是 8∶27，那么这两个球的表面积之 比是( ) B．4∶9 D． 8∶ 27 A．2∶3 C． 2∶ 3 径为________．
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的
直径或半径，关键是根据 “ 切点 ” 和 “ 接点 ” ，作出轴截面 图，把空间问题转化为平面问题来计算．
第一章
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(3)此类问题的具体解题流程：
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(2013· 福建 ) 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合
体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且 图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ________．
[答案] 12π
第一章 1.3 1.3.2
1.3
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(2)设木星和地球的半径分别为 r、R. 依题意，有 4πr2＝120×4πR2，解得 r＝2 30R. 4 3 4 3 π r π 2 30 R V木 3 3 所以 ＝4 ＝ 4 ＝240 30. V地 3 3 π R π R 3 3 故木星的体积约是地球体积是 240 30倍．
题时要先根据俯视图来确定几何体的上、下部分形状，然后根
据侧视图与正视图确定几何体的形状，并根据有关数据计算．
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[解析] 由三视图知，此几何体是一个半径为 1 的半球和 一个棱长为 2 的正方体组成， (1)S＝S 半球＋S 正方体表面积－S 圆 1 ＝2×4π×12＋6×2×2－π×12 ＝24＋π(m2) (2)V＝V 半球＋V 正方体 1 4 ＝2×3π×13＋23 2 ＝8＋3π(m3)
4 3 32 [解析] (1)3πR ＝ 3 π， 故 R＝2， 球的表面积为 4πR2＝16π. (2)体积之比是 8∶27，则半径之比是 2∶3，表面积之比是 4∶9. 4 8 4 3 (3)两个小铁球的体积为 2×3π×1 ＝3π，即大铁球的体积3 8 3 π×R ＝3π，所以半径为 2.
3
[答案] (1)B (2)B (3) 2
9 [答案] 9π，2π.
[解析] 2R＝ 22＋12＋22， 3 4 3 9 2 ∴R＝2，S＝4πR ＝9π，S＝3πR ＝2π.
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(2012· 广东 ) 某几何体的三视图如图所示 ，它的体积为
( )
A．72π
B．48π
C．30π
D．24π
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＝4π
6 2 2 ＝ 6π a . a 2
[答案] B
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规律总结： 常见的几何体与球的切、接问题的解决
策略： (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意 球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性， 球心总在几何的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
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空间几何体
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1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.2 球的体积和表面积
有关球的切、接问题
(2010· 全国高考 ) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( A．3πa2 C．12πa2 B．6πa2 D．24πa2 )
[ 分析 ]
条件中给出的是长方体的外接球，求球的表面
积，关键是求其半径，确定球心．据长方体与球的对称性可
知，球心是长方体的体对角线的中点，由长方体的三条棱长可
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1.3
1.3.2
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[答案] D
4 [解析] V＝3π×33＝36π.
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新知导学 1．球的体积
4 3 球的半径为R，那么它的体积V＝__________. 3πR
2．球的表面积
2 4π R 球的半径为R，那么它的表面积S＝__________.
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2．半径为 2的球的表面积等于________．
[答案] 8π
[解析] S＝4π×( 2)2＝8π.
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3 ．一个长、宽、高分别为 2,1,2 的长方体，则它的外接球 的表面积为________，体积为________．
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1 ．已知球的大圆周长为 6π ，则它的表面积和体积分别是 ( ) A．36π，144π C．144π，36π B．36π，36π D．144π，144π
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[知识拓展]
对球的表面积与体积公式的几点认识：
(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相 关，给定 R 都有唯一确定的 S 和 V 与之对应，故表面积和体积 是关于 R 的函数． (2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式 的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法 是不一样的． (3) 球的表面积恰好是球的大圆 (过球心的平面截球面所得 的圆)面积的 4 倍．
迎刃而解了．
(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方， 两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．
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(1)已知球的表面积为64π，求它的体积． (2)木星的表面积约为地球表面积的 120 倍，木星的体积约 是地球体积的多少倍？
3
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规律总结：求球的表面积与体积的方法： (1) 把握住球的表面积公式 S 球 ＝ 4πR2 ，球的体积公式 V球 ＝ πR3 是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的 条件．把握住这两点，球的体积与表面积计算的相关题目也就
[答案] C
[分析] 由三视图可知该几何体是组合体，分析三视图中 各数据的含义是解题的关键．
[解析] 该几何体是圆锥和半球体的组合体， 则它的体积 V 1 1 4 2 ＝V 圆锥＋V 半球体＝3π×3 ×4＋2×3π×33＝30π.
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根据三视图计算球的体积与表面积
某个几何体的三视图如图所示(单位：m)
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(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． [分析] 本题条件中给出的是几何体的三视图及数据，解
[分析]
公式求解．
借助公式，求出球的半径，再根据表面积或体积
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[解析] (1)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4. 4 3 4 256 3 ∴V 球＝3πR ＝3π×4 ＝ 3 π.
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