地理空间数学基础
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第2章 地理空间数学基础-修改
海福特（Hayford） （中国1953年以前采用）
克拉索夫斯基 （Красовбкий） （中国1954年北京坐标系 采用）
1940
6378245
6356863
1:298.3
地球形状与地球椭球
• 在实际建立地理空间坐标系统的时候，还需要指定一个大 地基准面将参考椭球体与大地体联系起来，在大地测量学 中称之为椭球定位 • 定位指依据一定的条件，将具有给定参数的椭球与大地体 的相关位置确定下来
– 高斯投影是具有国际性的一种地图投影，适合于幅员 广大的国家或地区，它按经线分带进行投影，各带坐 标系、经纬网形状、投影公式及变形情况都是相同的， 也利于全球地图拼接
– 高斯投影的不足之处在于长度变形较大，导致面积变 形也较大
– 1:2.5至1:50万比例尺地形图采用经差6˚分带，1:1万比 例尺地形图采用经差3˚分带
常用地图投影概述
• 高斯—克吕格投影
– 6˚带是从0度子午线起，自西向东每隔经差6˚为一投影 带，全球分为60带
– 3˚带是从东经1˚30'分的经线开始，每隔3˚为一带，全 球划分为120个投影带
3º 9º 69º 75º 81º 87º 93º 99º 105º 111º 117º 123º 129º 135º
• 中央经线和中央纬线将坐标系分成4个象限，点的 坐标值有正、负之分，为了避免出现负的坐标值， 将横坐标东移、纵坐标北移形成伪原点，使得所 有点落在东北象限内，坐标值为正
常用地图投影概述
• 高斯—克吕格投影
– 横轴切圆柱等角投影
– 中央经线和赤道为互相垂直的直线，其他经线均为凹 向，并对称于中央经线的曲线，其他纬线均是以赤道 为对称轴的向两极弯曲的曲线，经纬线成直角相交
第二章 地理空间数学基础(1)
设椭球面上有一个角，其两边与主方向交成相等的角；在 变形椭圆上角投影为角'，角投影为'。
以表示角度最大变形：
a b sin( ') ab
a b sin 2 ab
结论：当已知某点的主方向长度比时，即可求得该点的最大角度变形
2.2 空间数据投影
三、地图投影的变形
5. 面积比
若经纬线的方向与 主方向重合，则： P=m·n
2.2 空间数据投影
四、地图投影的分类
1. 按地图投影的构成方法分类
几何投影（方位投影、圆柱投影、圆锥投影） 非几何投影（伪方位、伪圆柱、伪圆锥、多圆锥） 等角投影 等积投影 任意投影
2. 按投影变形性质的分类
2.2 空间数据投影
在地理学研究及地图学的小比例尺 制图中，通常将椭球体当成正球体看 ，采用地心经纬度。
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
o
x
I 象限 P（x,y）
2.平面坐标系
平面直角坐标系：笛卡尔坐标系 便于计算 平面极坐标系：某些投影（如圆锥投影、方位投影）往 往用极坐标系表示地图上的点位。
P （ρ，α） ρ α o y
圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。
2.2 空间数据投影
四、地图投影的分类
1. 按地图投影的构成方法分类
圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆 锥面展为平面而成。
sin( ') ab tan 将两式相除，得： cos cos ' a
sin( ') a b sin( ') a b
以表示角度最大变形：
a b sin( ') ab
a b sin 2 ab
结论：当已知某点的主方向长度比时，即可求得该点的最大角度变形
2.2 空间数据投影
三、地图投影的变形
5. 面积比
若经纬线的方向与 主方向重合，则： P=m·n
2.2 空间数据投影
四、地图投影的分类
1. 按地图投影的构成方法分类
几何投影（方位投影、圆柱投影、圆锥投影） 非几何投影（伪方位、伪圆柱、伪圆锥、多圆锥） 等角投影 等积投影 任意投影
2. 按投影变形性质的分类
2.2 空间数据投影
在地理学研究及地图学的小比例尺 制图中，通常将椭球体当成正球体看 ，采用地心经纬度。
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
o
x
I 象限 P（x,y）
2.平面坐标系
平面直角坐标系：笛卡尔坐标系 便于计算 平面极坐标系：某些投影（如圆锥投影、方位投影）往 往用极坐标系表示地图上的点位。
P （ρ，α） ρ α o y
圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。
2.2 空间数据投影
四、地图投影的分类
1. 按地图投影的构成方法分类
圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆 锥面展为平面而成。
sin( ') ab tan 将两式相除，得： cos cos ' a
sin( ') a b sin( ') a b
第二章 地理空间数学基础
2、投影的实质
建立地球椭球面上的点的地理坐标（L，B）与平面上对
应点的平面坐标（x，y）之间的函数关系：
x f1 ( L, B) y f 2 ( L, B)
地球椭球面 B,L x， y 地图平面
地图投影
二、地图投影的变形
1、投影变形的性质 观察地球体经纬线的
长度、面积和角度特征。
地图投影的变形具体表现： 长度(距离)变形 角度(形状)变形 面积变形
其优点：
①椭球体参数精度高； ②定位采用的椭球体面与我国大地水准面符合得好； ③大地网精度高；
④坐标统一，精度优良，可以直接满足1:5000甚至更大
比例尺测图的需要。
三角测量
导 线 测 量
支导线
国家平面控制网
O
国家平面控制网含三角点、导线点 共154348个，构成1954北京坐标 系、1980西安坐标系两套系统。
3、我国常用的地图投影
①我国1：100万地形图采用兰勃特Lambert投影(正轴等
角割圆锥) ；
②我国大部分省区图以及大多数这一比例尺的地图也多采用 Lambert投影和属于同一投影系统的Albers投影(正轴等积 割圆锥投影)； ③我国基本比例尺地形图除1：100万外均采用高斯—克吕 格投影为地理基础；
用来代替大地体的椭球体称地球椭球体。
b a a
x2 y2 z2 2 2 1 2 a a b
椭球体三要素:长轴a(赤道半径)、短轴b(极半径)和椭球扁率f。
3、地球体的数学表面——地球椭球体
地球椭球体参数：
• 长半径： a（赤道半径）
b a
• 短半径： b（极半径）
• 扁率： f=(a-b)/a • 第一偏心率： e2=(a2- b2)/ a2 • 第二偏心率： e’2=(a2- b2)/ b2
第2章 地理空间数学基础
空间数据投影
• 面积变形与面积比
– 面积比—地面上微分面积投影后的大小dF’与其相应的 实地面积dF的比称为面积比 – P=dF′/dF – 面积变形指面积比与1的差值。用符号Vp表示，那么 – Vp=P-1
– Vp=0,投影后面积没有变形；Vp<0，投影后面积缩小； Vp>0，投影后面积增加
空间数据投影
球面坐标系统的建立
• 天文地理坐标系
λ
ψ
图2.4天文地理坐标系
球面坐标系统的建立
• 大地地理坐标
– 依托地球椭球用定义原点和轴系以及相应基本参考面 标示较大地域地理空间位置的参照系，简称大地坐标
– 点在大地坐标系中的位置以大地纬度与大地经度表示
球面坐标系统的建立
• 空间直角坐标系
– 参心空间直角坐标系是在参考椭球上建立的三维直角 坐标系O-XYZ – 坐标系的原点位于椭球的中心，Z轴与椭球的短轴重合， X轴位于起始大地子午面与赤道面的交线上，Y轴与XZ 平面正交 – 由于观测范围的限制，不同的国家或地区要求所确定 的参考椭球面与局部大地水准面最密合 – 由于参考椭球不是唯一的，因此参心空间直角坐标系 也不是唯一的
– 第三类是地球椭球面
• 大地体非常接近旋转椭球，而后者的表面是一个是一个规则的 数学曲面，因此选择一个旋转椭球作为地球理想的模型，称为 地球椭球或参考椭球
地球形状与地球椭球
x y z 2 2 1 2 a a b
a为长半径，近似等于地球赤道半径；b为极轴半径， 近似等于南极（北极）到赤道面的距离。
1940
6378245
6356863
1:298.3
地球形状与地球椭球
• 在实际建立地理空间坐标系统的时候，还需要指定一个大 地基准面将参考椭球体与大地体联系起来，在大地测量学 中称之为椭球定位 • 定位指依据一定的条件，将具有给定参数的椭球与大地体 的相关位置确定下来
第2章 地理空间数学基础
通常情况： 通常所说的高程是以平均海面为起算基准 面，所以高程也称为标高或者海拔高。 高程基准: 高程基准是推算国家统一高程控制网中所 有水准高程的起算依据，包括一个水准基 面和 一个永久性水准原点。 水准基面： 大地水准面，也是重力等位面，平均海 面。
相关概念： 地面点到大地水准面的高程，称为绝对高程。如图所示， P0P0‘为大地水准面，地面点A和B到P0P0’的垂直距离 HA和HB为A、B两点的绝对高程。地面点到任一水准面 的高程，称为相对高程。如图中，A、B两点至任一水准 面P1P1‘的垂直距离HA’和HB‘为A、B两点的相对高程。 地面点之间的高程差值，称为高差。
• 按坐标单位划分：
– 角度单位坐标系统
天文坐标系（大地体） 大地坐标系（参考椭球）
– 线性单位坐标系统
空间直角坐标系（参心、地心）
（1）天文地理坐标系 模型：大地体 坐标原点：地心（地球质量中心） 天文纬度：测站垂线方向与地球平均赤道 面的交角，以φ表示。 • 天文经度：首天文子午面与测站天文子午 面的夹角，以λ表示。 • • • •
实质：
建立地图平面上点的坐标（x, y）与地球椭球面上对应点的坐标 (,)之间的函数关系。准确表示地物的地理位臵。一般通式为：
x f1 ( , ) y f 2 ( , )
• 对于较小区域范围，可以视地表为平面，认为投影没有变 形。 • 对于较大区域范围，由于地球椭球体表面是曲面，而地图 通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时首先要把曲面展 为平面，然而球面是个不可展的曲面，即把它直接展为平 面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这种具有破裂或褶 皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所以必须采用特殊 的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或褶皱的平面。那 么图形必将在某些地方被拉伸，某些地方被压缩，因此投 影变形是不可避免的。
05-GIS_P2地理空间数学基础345小节
2.3.1 空间坐标转换基本概念
不同来源的空间数据一般会存在地图投影与地理坐 标的差异，
为了获得一致的数据，必须进行空间坐标的转换。
空间坐标转换是把空间数据从一种空间参考系映射 到另一种空间参考系中。
空间坐标转换有时也称投影变换。投影变换是地图 制图的基础理论之一，主要用来解决换带计算、地图 转绘、图层叠加、数据集成等问题。
如何从不同视角、从宏观或中观或微观的尺度 来观察、认识自然现象、自然过程或社会经济事件，
获取有关数据、信息， 进而分析评价它们，
为规划决策、解决问题服务， 已成为人们认识自然、认识社会、改造自然，促进社会经
济进步和发展的重要论题。
所谓尺度，在概念上是指研究者选择观察（测）世界的窗口。
选择尺度时必须考虑观察现象或研究问题的具体情况。
①（B，L）84转换为（X，Y，Z）84(大地坐标到直角坐标的转换)； ②（X，Y，Z）84转换为（ X，Y，Z ）80（坐标基准的转换，即参
考椭球转换。该过程可以通过前节所叙述的7参数或简化3参数法实现）；
③ (X,Y,Z ) 80转换为(B,L) 80 (直角坐标到大地坐标的转换）； ④ (B,L) 80转换为(x,y)80 （投影，高斯一克吕格投影公式计算）。
2.3.3 投影解析转换
1. 相同地理坐标基准下的坐标变换 2. 不同地理坐标基准下的坐标变换
1.相同地理坐标基准下的坐标变换
如果参与转换的空间参考系的投影公式存在严密或近似的解 析关系式，就可以
建立两坐标系的解析关系式。 应用建立的解析关系式，直接计算出当前空间参考系
下的空间坐标(x,y,z)在另一种空间参考系中的坐标值（
实现两种投影坐标间的变换（x，y）→（X，Y）。
《地理空间数学基础》PPT课件
黄海海面
1952-1979年平 均海水面为0米
水准原点 1985国家高
程基准，
72.2604米
青岛市观象山上国家水准原点
国家高程控制网是确定地貌地物海拔高程的坐标 系统，按控制等级和施测精度分为一、二、三、四等网。 目前提供使用的1985国家高程系统共有水准点成果114041 个，水准路线长度为416619．1公里。
地心空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心。
WGS-84坐标系——“World Geodetic System”(世界大地坐标系）是美 国国防局为进行GPS导航定位于1984年建立的地心坐标系，1985年投入使 用，采用WGS-84椭球。
平面坐标系统=球面坐标系统+投影规则
一 地理空间参考
（三）高程基准
而对于制图区域广大的大国地图、大洲地图、 半球图、世界图等，则需要慎重地选择投影。
2. 制图比例尺
不同比例尺地图对精度要求的不同，导致 在投影选择上亦各不相同。以我国为例，大比例 尺地形图，由于要在图上进行各种量算及精确定 位，因此应选择各方面变形都很小的地图投影， 比如分带投影的横轴等角椭圆柱投影（如高斯— 克吕格投影）。而中小比例尺的省区图，由于概 括程度高于大比例尺地形图，因而定位精度相对 降低，选用正轴等角、等积、等距的圆锥投影即 可满足用图要求。
圆柱投影：投影面为圆柱 圆锥投影：投影面为圆锥 方位投影：投影面为平面
正轴投影投影面中心轴与地轴相互重
斜轴投影：投影面中心轴与地轴斜向相
横轴投影：投影面中心轴与地轴相互垂
二 空间数据投影
（四）常用地图投影概述
1 高斯-克吕格投影 2 通用墨卡托投影（UTM-Universal Transverse
第2讲 地理空间数学基础
2.4地图投影的分类
变形性质 地图投影 构成方法
等积投影 等角投影 任意投影
几何投影
方位投影 圆锥投影 圆柱投影 伪方位投影 伪圆锥投影 为圆柱投影 多圆锥投影
非几何投影
地图投影的分类（1）
按地图投影的构成方法分类 （1 ）几何投影 把椭球面上的经纬线网投影到几何面 上，然后将几何面展为平面而得到。
X N’
O
Y
S’
A高斯-克吕格投影——投影分带
高斯-克吕格投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了 控制变形，我国地形图采用分带方法，即将地球按一定间隔的经差 （6°或3°）划分为若干相互不重叠的投影带，分别投影。
3º 9º 69º 75º 81º 87º 93º 99º 105º 111º 117º 123º 129º 135º
a) 按投影面的形状
– 圆锥投影 – 圆柱投影 – 方位投影
正 轴 方位 圆柱 圆锥
斜 轴
横 轴
b) 按投影面与地球自转轴间的方位关系
– 正轴投影 – 横轴投影 – 斜轴投影
c) 按投影面与地球的位置关系
– 相切投影 – 相割投影
（2）非几何投影
– – – – 可分为： 伪方位投影 伪圆柱投影 伪圆锥投影 多圆锥投影 ，根据某些条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。
极不规则，无法用数学表面进行描述 不规则性、动态性、不唯一性 不规则性、相对唯一性 标准数学曲面 1952：海福特椭球 1953：克拉索夫斯基椭球 1978：1975年国际椭球
1.1地球椭球
大地水准面和大地体
水准面和大地水准面图
旋转椭球/地球椭球 • 参数：
– 长半径：a – 短半径：b – 扁率：f=(a-b)/a
第二章地理空间数学基础
地面点沿法线至参考椭 球面的距离
S
我国常用的大地坐标系
大地坐标系 北京54坐标系 参考椭球 克拉索夫斯基椭球体 坐标原点 原苏联西部的普尔 科夫
西安80坐标系
WGS84坐标系
IUGG（16届）椭球体 陕西泾阳 1975 IUGG（17届）椭球体 地球质心 国家参考椭球（修改 半径）
本地坐标系
§2.1.3 高程系统
2.1.4 常用的地图投影
我国1:1万-1：50 万的地形图采用高 斯—克吕克投影 (Gauss-Krüger)
我国1：500——1： 5000的图，采用城 市平面局域投影 英美国家常用横轴 墨卡托投影（UTM）
一、高斯-克吕格平面直角坐标系
（1）. 高斯投影的概念 （2）. 高斯投影的分带和编号 （3）. 高斯平面直角坐标系 （4）. 高斯投影的关系式
2.1.4
GIS中的地理参照系
地球自然表面点位坐标系的确定包括两个方面的内容： 一是地面点在地球椭球体面上的投影位臵，采用地理坐 标系；二是地面点至大地 水准面上的垂直距离，采用高 程系。
一．地理参照系
1、基本概念：
高程（绝对高程、海拔） -----地面点到大地水 准面的铅垂距离。 假定（相对）高程----地面点到假定水准面 的铅垂距离。 高差-----两点间的高 程之差。
2.高程系统与高程基准
2、我国高程系统与高程基准
我国国家高程系统：黄海高程系 我国国家高程基准：1956年黄海高程系 1985年国家高程基准
移轴纵线
中央经线
赤道
500km
4、高斯投影的关系式
高斯-克吕格投影正解公式：
（B,L）→(X,Y)，原点纬度 0，中央经度L0
S
我国常用的大地坐标系
大地坐标系 北京54坐标系 参考椭球 克拉索夫斯基椭球体 坐标原点 原苏联西部的普尔 科夫
西安80坐标系
WGS84坐标系
IUGG（16届）椭球体 陕西泾阳 1975 IUGG（17届）椭球体 地球质心 国家参考椭球（修改 半径）
本地坐标系
§2.1.3 高程系统
2.1.4 常用的地图投影
我国1:1万-1：50 万的地形图采用高 斯—克吕克投影 (Gauss-Krüger)
我国1：500——1： 5000的图，采用城 市平面局域投影 英美国家常用横轴 墨卡托投影（UTM）
一、高斯-克吕格平面直角坐标系
（1）. 高斯投影的概念 （2）. 高斯投影的分带和编号 （3）. 高斯平面直角坐标系 （4）. 高斯投影的关系式
2.1.4
GIS中的地理参照系
地球自然表面点位坐标系的确定包括两个方面的内容： 一是地面点在地球椭球体面上的投影位臵，采用地理坐 标系；二是地面点至大地 水准面上的垂直距离，采用高 程系。
一．地理参照系
1、基本概念：
高程（绝对高程、海拔） -----地面点到大地水 准面的铅垂距离。 假定（相对）高程----地面点到假定水准面 的铅垂距离。 高差-----两点间的高 程之差。
2.高程系统与高程基准
2、我国高程系统与高程基准
我国国家高程系统：黄海高程系 我国国家高程基准：1956年黄海高程系 1985年国家高程基准
移轴纵线
中央经线
赤道
500km
4、高斯投影的关系式
高斯-克吕格投影正解公式：
（B,L）→(X,Y)，原点纬度 0，中央经度L0
GIS概论2_地理空间数学基础
地图投影的分类
根据美国著名地图投影学家J.P.Snyder统计， 全世界地图投影种类现有256种，依据不同的目的和 要求，可以采用不同的分类指标对如此繁多的地图 投影进行分类。
分类1：基于投影面与球面相关位置的分类； 分类2：基于投影方法的分类； 分类3：基于投影方程的分类； 分类4：基于投影变形的分类。
●上世纪70年代末建立新的80坐标系时，采 用IUGG（国际大地测量与地球物理联合会） 椭球体；
●1984年定义的世界大地坐标系（WGS84） 使用的椭球体长、短半径则分别为6378.137 和6356.7523，扁率为1：298.26。
定位坐标系：平面系统
直接建立在球体上的地理坐标，用 经度和纬度表达地理对象位置
高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）
高斯－克吕格投影是由高斯于19世纪20年代拟定，后经克 吕格补充而形成的一种地图投影方式。在英美国家称为横轴墨 卡托投影
属于横轴等角切圆柱投影。这种投影是将椭圆柱 面套在地球椭球的外面，并与某一子午线相切（此子 午线叫中央子午线或中央经线），椭圆柱的中心轴通 过地球椭球的中心，然后用等角条件将中央子午线东 西两侧各一定经差范围内的地区投影到柱面上，并将 此柱面展成平面，即获得高斯投影
这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的 数学方法，称为地图投影。
坐标系
选定了一个一定大小的椭球体，并确定了它与大 地水准面的相关位置，就确定了一个坐标系。
地图投影的目的
地图投影的目的：
是通过将不可展的球面投影到一个可 展曲面上，然后将该曲面展开成为一个平 面，来保证空间信息在地域上的连续性、 完整性和可测度性。
分割3°带原则上与6°带相同，只是从东经1°30´（即 1.5°E）起，每隔3°带为1个投影带。
第二章地理空间数学基础
(一) 地球空间参考
法线与赤道面的交角， 叫做A点的纬度ψ 。 过A点的子午面与通过 英国格林尼治天文台 的子午面所夹的二面 角，叫做A点的经度λ 。
(一) 地球空间参考
天文坐标系（地心坐标系）
O是质心 OP为地球自转轴 KK’为垂线 G点为格林威治天文起始子午面
φ天文纬度 λ天文经度
PS：地表面并不是大地水准面，所以在大地测量学中将高程列入天文坐标中！
3
(一) 地球空间参考
1. 地球形状与地球椭球
1).地球的自然表面：
是一个起伏不平， 十分不规则的表面，包 括海洋底部，高山高原 在内的固体地球表面。 不适合于数学建模。
4
(一) 地球空间参考
2).大地水准面： 大地水准面：地球表面的72%
被流体状态的海水所覆盖，可以 假设当海水处于完全静止的平衡 状态时，从海平面延伸到所有大 陆下部，而与地球重力方向处处 正交的一个连续、闭合的水准面 ，这就是大地水准面。
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(一) 地球空间参考
3).地球椭球面：地球椭球几何定义
X 2 Y2 Z2 椭球方程： 2 2 2 1 a a b
O是椭球中心，ＮＳ为旋转轴， a 为长半轴，b 为短半轴
子午圈：包含旋转轴的平面与椭球
面相截所得的椭圆。
赤道：通过椭球中心的平行圈。
8
(一) 地球空间参考
4). 数学模型：
水准面：一个重力等位面。
大地体：大地水准面包围的形状
是一个水准椭圆。
5
(一) 地球空间参考
6
(一) 地球空间参考
3).地球椭球面： 地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学
07-GIS_P2地理空间数学基础2小节
为负变形， 5)同一纬线上等经差的线段长度相等，两条纬线间的
经线长度处处相等。
返回章首
TIP 球面坐标系统的建立介绍这么多。 主要介绍: 投影的分类 我国常用的两种投影
End.
定义：地图投影就是指建立地球表面（或其他星球表面或天球 面）上的点与投影平面（即地图平面）上点之间的一一对应关系的 方法。即建立之间的数学转换公式。
它将作为一个不可展平的曲面投影到一个平面的基本方法，保 证了空间信息在区域上的联系与完整。这个投影过程将产生投影变 形，而且不同的投影方法具有不同性质和大小的投影变形。
相等；不同地点的局部比例尺，是随着经、纬度的变动而改变的。
(2)等(面)积投影，投影面上任何图形面积经主比例尺放大以后
与实地上相应图形面积保持不变。与等积投影相反，保持等积就
不能同时保持等角。
(3)任意投影。任意投影为既不等角也不等积的投影，其中还有
一类“等距（离）投影”，在标准经纬线上无长度变形，多用于 中小学教学图。
投影条件：
1）中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对 称轴。
2）等角投影。
3）中央经线上没有长度变形。
特点： 1) 中央经线上无变形； 2) 同一条纬线上，离中央线线越远，变形越大； 3) 同一条经线上，纬度越低，变形越大； 4) 等变形线为平行于中央经线的直线。
Guess-Krüger projection的最大变形在赤道边缘 处，为了控制变形，我国采用了6°和3°分带。
第2章 地理空间数学基础
GIS原理
第2章 地理空间数学基础
1. 地球空间参考 2. 空间数据投影 3. 空间坐标转换 4. 空间尺度 5. 地理格网
The End
球面点的位置用地理坐标（λ，φ）表示，而平面上点的位置 是直角坐标（χ，у）或极坐标（r，）表示，如要将地球表面上 的点转移到平面上，必须采用一定的方法来确定地理坐标与平面 直角坐标或极坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与 点之间函数关系的数学方法，就是地图投影（Map Projection ）方法。
经线长度处处相等。
返回章首
TIP 球面坐标系统的建立介绍这么多。 主要介绍: 投影的分类 我国常用的两种投影
End.
定义：地图投影就是指建立地球表面（或其他星球表面或天球 面）上的点与投影平面（即地图平面）上点之间的一一对应关系的 方法。即建立之间的数学转换公式。
它将作为一个不可展平的曲面投影到一个平面的基本方法，保 证了空间信息在区域上的联系与完整。这个投影过程将产生投影变 形，而且不同的投影方法具有不同性质和大小的投影变形。
相等；不同地点的局部比例尺，是随着经、纬度的变动而改变的。
(2)等(面)积投影，投影面上任何图形面积经主比例尺放大以后
与实地上相应图形面积保持不变。与等积投影相反，保持等积就
不能同时保持等角。
(3)任意投影。任意投影为既不等角也不等积的投影，其中还有
一类“等距（离）投影”，在标准经纬线上无长度变形，多用于 中小学教学图。
投影条件：
1）中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对 称轴。
2）等角投影。
3）中央经线上没有长度变形。
特点： 1) 中央经线上无变形； 2) 同一条纬线上，离中央线线越远，变形越大； 3) 同一条经线上，纬度越低，变形越大； 4) 等变形线为平行于中央经线的直线。
Guess-Krüger projection的最大变形在赤道边缘 处，为了控制变形，我国采用了6°和3°分带。
第2章 地理空间数学基础
GIS原理
第2章 地理空间数学基础
1. 地球空间参考 2. 空间数据投影 3. 空间坐标转换 4. 空间尺度 5. 地理格网
The End
球面点的位置用地理坐标（λ，φ）表示，而平面上点的位置 是直角坐标（χ，у）或极坐标（r，）表示，如要将地球表面上 的点转移到平面上，必须采用一定的方法来确定地理坐标与平面 直角坐标或极坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与 点之间函数关系的数学方法，就是地图投影（Map Projection ）方法。
2 第二章 地理空间数学基础
地球模型
2. 坐标系统
参心 空间直角坐标系
地心地固 空间直角坐标系
坐标参考系统—平面系统
直接建立在球体上的地理坐标
用经度和纬度表达地理对象位置
投 影
建立在平面上的直角坐标系统
用（x，y）表达地理对象位置
3. 高程基准
A
H´A
任意水准面 HA
大地水准面 铅垂线
hAB
H´B HB
黄海海面
1952-1979年平 均海水面为0米
比例尺的含义
– 制图区域较小，采用各方面变形都较小的地图投影，图上各处的比例是一致的，故 此时比例尺的含义是图上长度与相应地面长度的比例；
– 制图区域较大时，地图投影比较复杂，地图上长度因地点和方向的不同而有所变化， 这种地图比例尺一般是指在地图投影时，对地球半径缩小的比率， 称为主比例尺。 地图经过投影后，体现在图上只有个别点线没有长度变形，也就是说，只有在这些 长度没有变形的点或线上，才可用地图上注明的比例尺
Y’
Y
O
x=x’+ a
y=y’+ b
2）坐标系旋转
X
P x’sin θ x’cos θ
y’sin θ
Y
O
y’cos
x = θx’cosθ+ y’sin θ
y = y’cosθ- x’sin θ
3）坐标平移和旋转
X
X”
P O’ O
由坐标平移可知： x=x”+a
y=y”+b 由坐标旋转可知：
x”= x’cosθ+ y’sin θ
GIS中，地理数据的显示可根据用户的需要而指定投影方 式，但当所显示的地图与国家基本地图系列的比例尺一致时， 一般采用国家基本系列地图所用的投影。
第2章_地理空间数学基础
X2
其中 X 、 Y 、 Z 为两空间直角坐标系坐标原点的平移参数， X 轴、Y 轴、Z 轴旋转的角度， m 为尺度变化参数。
z 、 y 、 z 分别表示绕
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3.投影解析转换
同一地理坐标基准下的坐标变换 如果参与转换空间参考系的投影公式， 1）存在精确解析关系式：直接进行坐标换算； 2）不存在精确解析关系式：采用间接变换，即先将一种投影的平面坐 标换算为球面大地坐标，然后再对球面大地坐标计算出另一种投影下的平 面坐标，从而实现两种投影坐标间的变换。
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青岛观象山水准原点
中华人民共和国大地原点，是1980年国家大地 坐标系起算点。大地原点位于陕西省泾阳县永 乐店北洪流村。
深度基准是指海图图载水深及其相关要素的起算面。通常取当地平均海面
向下一定深度为这样的起算面，即深度基准面。
平均海面
L
深度基准面
Z
海底
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2.2 空间数据投影
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不同地理坐标基准下的坐标变换
主要包括： • 地理坐标基准的变换； • 坐标值的变换； 实现整个坐标转换的基本过程为（以WGS 84坐标和1980西安坐标的
转换为例）： a.（B，L）84转换为（X,Y,Z）84，即空间大地坐标到空间直角坐标的转换； b.（X,Y,Z）84转换为（X,Y,Z）80，坐标基准的转换，即参考椭球转换。该
3.兰勃特等角投影(Lambert Conformal Conic)
在双标准纬线下是“正轴等角割圆锥投影”。设想用一个正圆锥割于球
面两标准纬线，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开， 即为兰勃特投影平面。墨卡托(Mercator)投影是它的一个特例。
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克拉索夫斯基
1940 6,378,245 1:298.3
苏联
1967年大地坐标系 1967 6,378,160 1:298.247 1971年国际第二个推荐值
1975年大地坐标系 1975 6,378,140 1:298.257 1975年国际第三个推荐值
1980年大地坐标系 1979 6,378,137 1:298.257 1979年国际第四个推荐值
x2 a2
y2 a2
z2 b2
1
主要参数：长轴、短轴、扁率
b a
旋转椭球体是地球表面几何模型中最简单一类模型， 为世界各国普遍采用作为测量工作的基准。
我国目前一般采用克拉索夫斯基椭球体作为地球表面
几何模型。
地理空间数学基础
国际主要的椭球参数
椭球名称
年代
德兰勃（Delambre） 1800
长半径/m 6,375,653
第2章 地理信息系统 §2.2 地理空间数学基础
地理空间数学基础
本章内容：
一 地理空间参考 二 空间数据投影 三 空间坐标转换 四 空间尺度
地理空间数学基础
一 地理空间参考
解决地球的空间定位与数学描述问题。
（一）地球形状与地球椭球 （二）坐标系统 （三）高程基准
地理空间数学基础
一 地理空间参考
地理空间数学基础
平面坐标系统=球面坐标系统+投影规则
地理空间数学基础
一 地理空间参考
（三）高程基准
1 绝对高程。地面点沿垂线方向至大地水准面的 距离称为绝对高程或称海拔。
高程基准是推算国家统一高程控制网的水准原点的 起算依据，它包括一个水准基面和一个永久性水准 原点。
我国高程基准：
1956年黄海高程系（水原点高程为72.289m）
地理空间数学基础
陕西泾阳县永乐镇石际寺村大地原点
地理空间数学基础
国家大地控制网
地理空间数学基础
大地坐标系
1954北京坐标系——采用克拉索夫斯基椭球，
实质上是由原苏联普尔科沃为原点的1942年坐标 系的延伸。
1980西安坐标系——采用1975国际椭球，以 陕西省泾阳县永乐镇大地原点为起算点。
地理空间数学基础
2006年5月，为更好地利用水准原点这一独特的资源， 经国家测绘局批准，由专家精确移植水准原点信息数 据，在青岛银海大世界内（也叫银海国际游艇俱乐部 内）建起了“中华人民共和国水准零点”。这也是全 国唯一的水准零点标志。
地理空间数学基础
2 相对高程。地面点沿铅垂线方向至任意假定的 水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高程。
天文坐标系
坐 球面坐标系统 大地坐标系
标
空间直角坐标系
系 平面坐标系统 统
地理空间数学基础
球面坐标系统：天文坐标系
表示地面点在大地水准面上的位置，它的基准面 是大地水准面，它用天文经度λ和天文纬度φ两个 参数来表示地面点在大地体上的位置。
K( λ,φ)
天文坐标地理系空间数学基础
球面坐标系统：大地坐标系
扁率 1：334.0
附注 法国
埃弗瑞斯(Everest) 1830 6,337,276 1:300.801
英国
贝赛尔(Bessel)
1841 6,377,397 1:299.152
德国
克拉克(Clarke)
1880 6,378,249 1:293.459
英国
海福特(Hayford) 1910 6,378,388 1:297.0 1942年国际第一个推荐值
1985年国家高程基准（国家水准原点高程为
72.260m)
地理空间数学基础
黄海海面
1952-1979年平 均海水面为0米
水准原点 1985国家高
程基准， 72.2604米
地理空间数学基础
青岛市观象山上国家水准原点
地理空间数学基础
国家高程控制网是确定地貌地物海拔高程的坐标系统， 按控制等级和施测精度分为一、二、三、四等网。目前提 供使用的1985国家高程系统共有水准点成果114041个， 水准路线长度为416619．地1理公空间里数学。基础
（一）地球形状与地球椭球
自然地球表面
是一个起伏不平，十分 不规则的表面，最高点 珠峰（8848.13米）， 最深处马里亚那海沟 （-11034米。这个高低 不平的表面无法用数学 公式表达，也无法进行 计算。
自然地球表面
那么如何准确表达地球上每一点的绝对位置呢？ ——找出一个规则的曲地理面空间来数学代基础替地球的自然表面。
大地测量中以参考椭球面为基准面建立起来 的坐标系。地面点的位置用大地经度L、大地 纬度B和大地高程来表示。
P(L,B,H)
B L
地理空间数学基础
大地坐标系
大地经、纬度是根据起始大地点（大地原点， 该点的大地经纬度与天文经纬度一致）的大地坐标， 按大地测量所得的数据推算而得的。
由于天文坐标和大地坐标选用的基准线和基准 面不同，所以同一点的天文坐标与大地坐标不一样， 不过这种差异很小，在普通测量工作中可以忽略。
地理空间数学基础
从地球自然表面 大地水准面 地球椭球面
海面
椭球体
大地水准面
地球表面
地理空间数学基础
大地基准面：
大地基准面是利用特定椭球体对特定地区地球 表面的逼近。因此每个国家或地区均有各自的大 地基准面。
椭球体与大地基准面之间的关系是一对多的关系
地理空间数学基础
一 地理空间参考
（二）坐标系统
3 高差。地面上任意两点的高程(绝对高程或相对 高程)之差称为高差。
地理空间数学基础
本章内容：
一 地理空间参考 二 空间数据投影 三 空间坐标转换 四 空间尺度
球面坐标系统：空间直角坐标系（参 心、地心）
参心空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的 中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午 面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X 轴呈90度夹角。
地心空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心。 地理空间数学基础
WGS-84坐标系——“World Geodetic System”(世界大地坐标系）是美国国防局 为进行GPS导航定位于1984年建立的地 心坐标系，1985年投入使用，采用WGS84椭球。
大地水准面
假设，当海水处于完全静止的平衡状态时，存 在着一个从海平面延伸到所有大陆下部、而与地球 重力方向处处正交的一个连续、闭合的水准面，这 就是大地水准面。
以大地水准面为基准，可以用水准仪完成地球 自然表面上任一点高程的测量。
地理空间数学基础
地球椭球面 —— 规则的数学曲面
基于大地水准面建立地 球椭球体模型：