丢番图方程

丢番图方程

丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；即形式如，其中所有的a j、b j和c 均是整数，若其中能找到一组整数解m1,m2...m n者则称之有整数解。

丢番图问题有数条等式，其数目比未知数的数目少；丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。

3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图曾对这些方程进行研究。

丢番图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等。

一次不定方程

一次不定方程是形式如a1x1 + a2x2 + ... + a n x n = c的方程，一次不定方程有整数解的充要条件为： (a1,...,a n)须是c的因子，其中(a1,...,a n)表示a1,...,a n 的最大公因子。

若有二元一次不定方程ax+ by= c，且(a,b) | c，则其必有一组整数解x1,y1，并且还有以下关系式：

∙x = x1 + [b / (a,b)]t

∙y = y1− [a / (a,b)]t

t为任意整数，故此一次不定方程有无限多解。请参见贝祖等式。

丢番图分析

经典问题

∙有解答吗？

∙除了一些显然易见的解答外，还有哪些解答？

∙解答的数目是有限还是无限？

∙理论上，所有解答是否都能找到？

∙实际上能否计算出所有解答？

希尔伯特第十问题

1900年，希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年，一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理（Matiyasevich's theorem）说明：一般来说，丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是，不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程式否有解，甚至，在任何兼容于 Peano 算数的系统当中，都能具体构造出一个丢番图方程，使得没有任何办法可以判断它是否有解。

现代研究

∙丢番图集是递归可枚举集。

∙常用的方法有无穷递降法和哈赛原理。

∙丢番图逼近研究了变量为整数，但系数可为无理数的不等式。