人教B版高中数学高一必修5练习1.1.1正弦定理(一)

第一章 解三角形

§1.1 正弦定理和余弦定理

1．1.1 正弦定理(一)

一、基础过关

1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是

( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A

C ．ab sin C ＝bc sin B

D ．a sin C ＝c sin A

2．在△ABC 中，若A ＝30°，B ＝60°，b ＝3，则a 等于

( ) A ．3 B ．1 C ．2 D.12

3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为

( ) A ．直角三角形

B ．等腰直角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰三角形

4．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为

( ) A.π3

B.π6

C.π3或23

π D.π6或56π 5．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则2sin A －sin B sin C

＝________. 6．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13

，则a ＝________. 7．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B .

8．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .

二、能力提升

9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，

则角A 的大小为

( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6

10．在△ABC 中，sin A ＝34

，a ＝10，则边长c 的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭

⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝

⎛⎦⎤0，403

11．在△ABC中，若tan A＝1

3，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.

12．在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，求A 的值．

三、探究与拓展

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，求角C的大小．

答案

1．D 2.B 3.A 4.C 5.25 6.523

7．解 ∵a sin A ＝c sin C

， ∴a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°

＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)

＝105°.

又∵b sin B ＝c sin C

， ∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°

＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 8．证明 因为左边＝4R 2sin 2A ·sin 2B ＋4R 2sin 2B ·sin 2A

＝8R 2sin 2A sin B cos B ＋8R 2sin 2B sin A cos A

＝8R 2sin A sin B (sin A cos B ＋cos A sin B )

＝8R 2sin A sin B sin(A ＋B )

＝8R 2sin A sin B sin C

＝2·(2R sin A )·(2R sin B )·sin C

＝2ab sin C ＝右边，

∴等式成立．

9．D 10.D 11.102

12．解 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，

又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，

即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，

化简得：sin A ＝

33cos A ， ∴tan A ＝33

，∴A ＝30°.

13．解 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C ) ＝3sin(30°＋C ) ＝3⎝⎛⎭

⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.