人教B版高中数学高一必修5练习1.1.1正弦定理(一)

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§1.1.1-1 正弦定理(一)

C 180 ( A B) 180 (40 64 ) 76 ,
a sin C 20sin 76 c 30(cm). sin A sin 40
(2) 当B≈116°时，
C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24 ,
§1.1.1-1 正弦定理(一)
ห้องสมุดไป่ตู้
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
§1.1.1-1 正弦定理(一)
解直角三角形需要用到的知识
①三角形内角和定理： A B C 180 ② 锐角三角函数：
a b a sin A ,cos A ,tan A ; c c b a b b sin B ,cos B ,tan B . c c a
2013-1-16 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 5
§1.1.1-1 正弦定理(一)
证法三:
(向量知识来证明)
过A作单位向量 j 垂直于AC AC CB AB，两边同乘以向量 j , B a j ( AC CB ) j AB c j 则：j AC j CB j AB A b j AC cos 90 j CB cos(90 C ) j AB cos(90 A)
2013-1-16
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
12
§1.1.1-1 正弦定理(一)
如何应用正弦定理？（一）已知两边一对角，可求其它边和角！(SSA) （二）已知两角一对边，可求 B 其它边和角！(AAS) C a c b A
D
问题：已知任意两角和一边，能否求其它边和角?
2013-1-16 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 9

【数学】1.1.1《正弦定理》课件(新人教B版必修5)

对任意三角形,这个等式都会成立吗对任意三角形这个等式都会成立吗? 这个等式都会成立吗怎么证明这个结论？怎么证明这个结论？
（一）正弦定理的证明方法一(向量法) 方法一(向量法)
已知: ABC中，CB=a,AC=b,AB=c. 求证: 求证
a b c = = s in A s in B s in C
\ a = s in A b = s in B c s in C
90
0
即等式对任意三角形都成立
B a c A b C
证法二：(等积法) 证法二：等积法) 在任意斜 ABC当中作AD⊥BC于D
c h a
A
b
∴ S ∆ABC = 1 a h 2 B ∵ h = b sin C ∴ S ∆ABC = 1 a b sin C 2
已知在Δ a,b和例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B 已知在中
解：∵c=10 A=450,C=300
a c 10sin 450 a sin A = =10 由 sin A = 得 a= 0 sin C sin 30 sin C b c 由 = sin B sin C
A+ B C sin = cos 2 2
cos( A + B ) = − cos C
3、边角关系：、边角关系： 1）大边对大角，大角对大边，等边对等角）大边对大角，大角对大边， 0,则 sin A = a , cos A = b 2）在直角三角形）在直角三角形ABC中,C=90 则中
c c
二、展示目标
请同学们思考两个问题：请同学们思考两个问题： 1.为什么会出现两个解？为什么会出现两个解？为什么会出现两个解 2.当a=1时C有几个解；当a= 有几个解；当时有几个解几个解；几个解；当a=3时C有几个解时有几个解

精品教育2018高中数学(人教B版)必修五学案：第一章 1.1.1 正弦定理(一) Word版含答案

1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．[知识链接]下列说法中，正确的有________．(1)在直角三角形中，若C 为直角，则sin A ＝a c .(2)在△ABC 中，若a ＞b ，则A ＞B .(3)在△ABC 中，C ＝π－A －B .(4)利用AAS 、SSA 都可以证明三角形全等．(5)在△ABC 中，若sin B ＝22，则B ＝π4. 答案 (1)(2)(3)解析根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为π，(3)正确；AAS 可以证明三角形全等，SSA 不能证明，(4)不正确；若sin B ＝22，则B ＝π4或3π4，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确． [预习导引]1．在Rt △ABC 中的有关定理在Rt △ABC 中，C ＝90°，则有：(1)A ＋B ＝90°，0°<A <90°，0°<B <90°；(2)a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)；(3)a sin A ＝c ；b sin B ＝c ；c sin C＝c . 2．正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这个比值是其外接圆的直径2R .3．解三角形一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．要点一正弦定理的推导与证明例1 在锐角△ABC 中，证明：a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 证明如图，在锐角△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，有CD b ＝sin A ，CD a＝sin B .∴CD ＝b sin A ＝a sin B ．∴a sin A ＝b sin B. 同理，b sin B ＝c sin C .∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C成立．规律方法从正弦定理可以推出它的常用变形有：(1)a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C. (2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C. (3)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B .(4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .跟踪演练1 在钝角△ABC 中，如何证明a sin A ＝b sin B ＝c sin C仍然成立？证明如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，则CD b ＝sin A ，即CD ＝b sin A ；CD a ＝sin(180°－B )＝sin B ，即CD ＝a sin B .因此b sin A ＝a sin B ，即a sin A ＝b sin B. 同理可证，b sin B ＝c sin C .因此a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 要点二已知两角及一边解三角形例2 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝20，A ＝30°，C ＝45°；(2)a ＝8，B ＝60°，C ＝75°.解 (1)∵A ＝30°，C ＝45°；∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝20sin 105°sin 30°＝40sin(45°＋60°) ＝10(6＋2)；c ＝a sin C sin A ＝20sin 45°sin 30°＝202， ∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2.(2)A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝a sin A，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．规律方法已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪演练2 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，求边c .解由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)．要点三已知两边及一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形：(1)a ＝1，b ＝3，A ＝30°；(2)a ＝3，b ＝1，B ＝120°.解 (1)根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32. ∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c ＝b sin C sin B ＝3sin 60°＝2；当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1.(2)根据正弦定理，sin A ＝a sin B b ＝3sin 120°1＝32>1. 因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．规律方法已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪演练3 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝2，c ＝6，C ＝π3；(2)a ＝2，c ＝6，A ＝π4. 解 (1)∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22. ∵c >a ，∴C >A .∴A ＝π4. ∴B ＝5π12，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1. (2)∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝32. 又∵a <c ，∴C ＝π3或2π3. 当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A＝3＋1. 当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A＝3－1.1．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定答案 A解析由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔a >b ⇔A >B .2．在△ABC 中，一定成立的等式是( )A ．a sin A ＝b sin BB ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b sin A 答案 C解析由正弦定理a sin A ＝b sin B，得a sin B ＝b sin A ，故选C. 3．在△ABC 中，已知A ＝150°，a ＝3，则其外接圆的半径R 的值为( )A ．3B. 3 C ．2D ．不确定答案 A解析在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝3sin 150°＝6＝2R ，∴R ＝3.4．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案 B解析由sin A ＝sin C 知a ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________.答案 2 5解析由正弦定理，得c ＝a sin C sin A＝2a ＝2 5.1．正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2．正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．。

2018版高中数学人教B版必修五学案：第一单元 1.1-1 正弦定理一含答案精品

1．1.1正弦定理(一)学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理的推导思考1如图，在Rt△ABC中，asin A、bsin B、csin C各自等于什么？思考2在一般的△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C还成立吗？课本是如何说明的？梳理在任意△ABC中，都有asin A＝bsin B＝csin C，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆或向量来证明．知识点二正弦定理的呈现形式1.asin A＝____________＝__________＝2R (其中R 是____________)； 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A ；3．sin A ＝a2R ，sin B ＝________，sin C ＝________.知识点三解三角形一般地，把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的______．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．类型一定理证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．反思与感悟 (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c .求证：asin A ＝2R .类型二用正弦定理解三角形例2 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：a ＝20，A ＝30°，C ＝45°.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理： ①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．类型三边角互化命题角度1 化简证明问题例3 在任意△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0.命题角度2 运算求解问题例4 在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，求△ABC 的周长的最大值．反思与感悟利用a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 或正弦定理的变形公式a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)能够使三角形边与角的关系相互转化．跟踪训练3 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，求a ∶b ∶c 的值．1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.1. 定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)．2. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．答案精析问题导学知识点一思考1a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立，课本采用边AB 上的高CD ＝b sin A＝a sin B 来证明．知识点二 1.b sin B c sin C △ABC 外接圆的半径 3.b 2Rc 2R知识点三元素解三角形题型探究类型一例1 证明如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ， CDa＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝b sin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 跟踪训练1 证明连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角∠A ′＝∠A .∵A ′B 为直径，长度为2R ，∴∠A ′CB ＝90°，∴sin A ′＝BC A ′B ＝a2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二例2 解 ∵A ＝30°，C ＝45°， ∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝20sin 105°sin 30°＝40sin(45°＋60°) ＝10(6＋2)，c ＝a sin C sin A ＝20sin 45°sin 30°＝202，∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2. 跟踪训练2 解根据三角形内角和定理， A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三命题角度1例3 证明由正弦定理，令a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，k >0.代入得左边＝k (sin A sin B －sin A sin C ＋sin B sin C －sin B sin A ＋sin C sin A －sin C sin B ) ＝0＝右边，所以等式成立．命题角度2例4 解设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b . 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2 3. ∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， a ＋b ＋c ＝3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3＋23sin B ＋23⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B＝3＋33sin B ＋3cos B ＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， ∴当B ＝π3时，△ABC 的周长有最大值9.跟踪训练3 解 ∵A ＋B ＋C ＝π， A ∶B ∶C ＝1∶2∶3， ∴A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ＝12，sin B ＝32，sin C ＝1.设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ＝k 2，b ＝k sin B ＝32k ，c ＝k sin C ＝k ，∴a ∶b ∶c ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.当堂训练1．C 2.B 3.25 4.π3或2π3。

(新课标)高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B版必修5

2017春高中数学第1章解三角形 1。

1 正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B 版必修5基础巩固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。

3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C．错误!D．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(3，－1）,n＝(cos A,sin A），若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A、B的大小分别为错误!（ C ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．π3，错误!D．错误!，错误![解析]∵m⊥n,∴错误!cos A－sin A＝0,∴tan A＝错误!,则A＝错误!。

【优化方案】2012高中数学第1章1.1.1第一课时正弦定理课件新人教B版必修5

(2)根据三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，根据三角形内角和定理 C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°，＝－＋＝－＋＝，根据正弦定理，根据正弦定理， 1 2× × 2 asinB 2sin30° b＝＝＝＝＝ 2，， sinA sin45° 2 2 6＋ 2 ＋ 2× × 4 asinC 2sin105° 2sin75° c＝＝＝＝＝＝ sinA sin45° sin45° 2 2 3＋1. ＋
分析】【分析】我们可先确定满足条件的三角形的个数，然后再求解．个数，然后再求解．
是钝角，【解】 (1)∵A＝107°是钝角，且 a＞b， ∵ ＝是钝角＞，这样的三角形有且只有一个． ∴这样的三角形有且只有一个． 26sin107° ∵sinB＝＝ ≈0.507，， 49 ∴B≈30°，∴C≈43°. ≈ ， ≈ a c 49 c 又∵ ＝，∴ ＝， sinA sinC sin107° sin43° 49sin43° ∴c＝＝ ≈35(cm)．． sin107° 故 B≈30°，C≈43°，c≈35 cm. ≈ ， ≈ ， ≈
π ∴sinB＋sinC＝sinB＋sin( －B) ＋＝＋ 3 3 π 1 ＝ sinB＋ cosB＝sin(B＋ )．＋＝＋． 2 3 2 π π π 2π 又 0＜B＜，∴ ＜B＋＜ . ＜＜＋ 3 3 3 3 π 3 ∴ ＜sin(B＋ )≤1. ＋ ≤ 3 2 3 的取值范围是( 故 sinB＋sinC 的取值范围是，1]．＋． 2
正弦定理的简单应用
例3
如图，平分∠ 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠
DAB. BC sinD 求证： . 求证：CD＝ sinB

高三数学必修5课件：正弦定理(1)(2)

思考：对于一般三角形，上述结论是否成立思考：对于一般三角形，
在锐角三角形中，在锐角三角形中，
作CD ⊥ AB于点D
CD = sin A,即CD = b sin A b CD = sin B,即CD = a sin B a
∴ b sin A = a sin B a b a c 即 = 同理： = sin A sin B sin A sin C a b c ∴ = = sin A sin B sin C
Da 同理 ∴
S∆ABC = absin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2 abc a b c ∴ = = = 2S∆ABC sin A sin B sin C
1 1 S∆ABC = acsin B = absinC 2 2 1 S∆ABC = bcsin A 2 1 1 1
a b c ∴ = = sin A sin B sin C
由以上三种情况的讨论可得：由以上三种情况的讨论可得：正弦定理：在一个三角形中，各边的长和正弦定理：在一个三角形中，它所对角的正弦的比相等，它所对角的正弦的比相等，即
a b c = = sin A sin B sin C
思考：思考：用“向量”的方法如何证明“正弦定理向量”的方法如何证明“
∆ABC中，b = 3 , B = 60 0 , c = 1, 求a和A, C
C = 30 , A = 90 , a = 2
1.1.1 正弦定理
第二节
思考：思考：正弦定理可以解哪些类问题已知两角和任一边， ①已知两角和任一边，求其他两边及一角。有唯一解）求其他两边及一角。（有唯一解）已知两边和其中一边对角， ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。求另一边的对角。何时有一解，二解，无解) （何时有一解，二解，无解

《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修5【配套备课资源】1.1.1(一)

1.1.1（一）
b＋c＝4k 则c＋a＝5k a＋b＝6k
本课时栏目开关
.
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
答案 B
研一研·问题探究、课堂更高效
a－ccos B sin B 例2 在△ABC中，求证：＝ . sin A b－ccos A a b c 证明因为＝＝＝2R， sin A sin B sin C 所以 2Rsin A－2Rsin Ccos B sinB＋C－sin Ccos B 左边＝＝ 2Rsin B－2Rsin Ccos A sinA＋C－sin Ccos A sin Bcos C sin B ＝＝＝右边． sin Acos C sin A
小结
a b c 综上所述，对于任意△ABC，＝＝＝2R sin A sin B sin C
恒成立．
研一研·问题探究、课堂更高效
典型例题
1.1.1（一）
例1 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于 A．1∶2∶3
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(
)
B．2∶3∶4 D．1∶ 3∶2
C．3∶4∶5
解析 ∵A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶2∶3，
π π π ∴A＝，B＝，C＝， 6 3 2 1 3 ∴sinA＝，sinB＝，sinC＝1. 2 2
研一研·问题探究、课堂更高效
a b c 设＝＝＝k(k＞0)，则 sin A sin B sin C k 3 a＝ksinA＝；b＝ksinB＝ k；c＝ksinC＝k； 2 2 1 3 ∴a∶b∶c＝ ∶ ∶1＝1∶ 3∶2，故选D. 2 2 答案 D

高中数学人教B版数学必修5同步课件：1-1-1正弦定理

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1.有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于直角三角形； ③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值； ④在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝a:b:c.
其中正确的个数是( A．1 C．3
[答案] A
) B．2 D．4
[解析]
因为正弦定理适用于任意三角形，故①、②不正
知能自主梳理
1.正弦定理在一个三角形中，各________的长和它所对角的________的 ________相等，即________＝________＝________.
2．正弦定理的变形公式 bsinA (1)a＝ sinB ＝________________， asinB b＝ sinA ＝______________， asinC c＝ sinA ＝________________.
[答案] C
[解析]
a b 由正弦定理，得＝， sinA sinB 2× 3 2 2 ＝ . 2 3
asinB ∵sinA＝＝ b ∵a<b，∴A<B， ∴A＝45° .
3．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，若∠A＝105° ，∠B＝45° ，b＝2 2，则c＝________.
[解析] 由a＝c＝ 6＋ 2可知， 1 ∠C＝∠A＝75° ，∴∠B＝30° ，sinB＝ . 2 又sinA＝sin75° ＝sin(30° ＋45° ) ＝sin30° cos45° ＋cos30° sin45° 2＋ 6 1 2 3 2 ＝2× 2 ＋ 2 × 2 ＝ 4 . 1 2＋ 6×2 a sinB 由正弦定理，得b＝＝＝ 2， sinA 2＋ 6 4 故选A.
a b c (5)角化边公式：sinA＝，sinB＝，sinC＝ . 2R 2R 2R a b c (6) ＝＝＝________________＝2R.其中，R 为△ sinA sinB sinC ABC 外接圆的半径． 3．解三角形一般地，我们把三角形的三个________和它的对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的________求________的过程叫做解三角形．

正弦定理-高二数学人教版(必修5)

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即____________．正弦定理对任意三角形都成立．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的____________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．K 知识参考答案：1．sin sin sin a b c ==A B C2．元素解三角形K —重点正弦定理的变形和推广、正弦定理在解三角形中的应用 K —难点三角形解的个数的探究、三角形形状的判断K —易错解三角形时要明确角的取值范围，同时注意对角的讨论正弦定理的常见变形及推广（1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c ======．（2）sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++．（3）::sin :sin :sin a b c A B C =．（4）正弦定理的推广：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC △外接圆的半径．（1）已知△ABC 中，sin :sin :sin =1:2:3A B C ，则a:b:c =_____________；（2）已知△ABC 中，∠A =60︒，3a ，则++sin +sin +sin a b cA B C=_____________．【答案】（1）1:2:3；（2）2．【解析】（1）根据正弦定理的变形，可得=sin :sin :sin =1:2:3a:b:c A B C ．（2）方法1：设=sin sin a b A B ==(>0)sin ck k C，则有sin sin sin a k Ab k Bc k C ===，，，从而sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c k A k B k C k A B C A B C ++++++++==，又32sin sin60a k A ===︒，所以sin sin sin a b c A B C ++++=2．方法2：根据正弦定理的变形，可得2sin sin sin sin a b c aA B C A++++==．【名师点睛】熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达到事半功倍的效果．在ABC △中，求证：22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=．【答案】证明见解析．【解析】设ABC △外接圆的半径为R ，则2sin ,2sin ,a R A b R B == 于是222222sin 2sin 2(2sin )sin 2(2sin )sin 28sin sin (sin cos cos sin )8sin sin sin 22sin 2sin sin 2sin ,a Bb A R A B R B A R A B A B A B R A B CR A R B C ab C +=+=+==⋅⋅⋅=所以22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=．【解题技巧】===2sin sin sin a b c R A B C的两种变形的应用：（1）（边化角）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；（2）（角化边）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===．正弦定理在解三角形中的应用、三角形解的个数的探究1．正弦定理可以用来解决下列两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 2．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例）（1）从代数角度来看①若sin sin 1b AB=a >，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； ②若sin sin 1b AB=a=，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b AB=a<，则满足条件的三角形的个数为1或2．注：对于（3），由sin 0sin 1b AB=a<<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”、“三角形内角和等于180°”等进行讨论．（2）从几何角度来看①当A 为锐角时：一解一解两解无解②当A 为钝角或直角时：一解一解无解无解（1）已知在ABC △中，10,45,30c A C ==︒=︒，则a =_______，b =_______，B =_______；（2）已知在ABC △中，3,60,1b B c ==︒=，则a =_______，A =_______，C =_______；（3）已知在ABC △中，6,45,2c A a ==︒=，求b 和,B C ．【答案】（1）102，5652+，105︒；（2）2，90︒，30︒；（3）见解析．【解析】（1）10,45,30180()105c A C B A C ==︒=︒∴=︒-+=︒，，由sin sin a c A C =，得sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯︒===︒，由sin sin b c B C =，得sin 10sin10562205652sin sin 304c B b C ⨯︒+===⨯=+︒．（2）∵sin 1sin 601,sin sin sin 23b c c B C B C b ⨯︒=∴===， ,60,b c B C B >=︒∴<，C 为锐角，30,90C A ∴=︒=︒，∴222=+=c b a ．（3）sin 6sin 453,sin sin sin 22a c c A C A C a ⨯︒=∴===， sin ,60c A a c C <<∴=︒或120︒，∴当60C =︒时，sin 6sin 7575,31sin sin 60c B B b C︒=︒===+︒，当120C =︒时，sin 6sin1515,31sin sin 60c B B b C ︒=︒===-︒． 31,75,60b B C ∴=+=︒=︒或31,15,120b B C =-=︒=︒．【解题技巧】（1）已知三角形的两角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，由正弦定理可计算出三角形的另两边．（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求这个角是锐角，①当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角；②当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，再分别求解即可；③然后由三角形内角和定理求出第三个角；④最后根据正弦定理求出第三条边．三角形形状的判断判断三角形形状的常用方法——边化角，已知条件中同时包含边角关系，判断三角形形状时，将边化为角，从三角变换的角度来研究角的关系和特征，进而判断三角形的形状．一般来说，这种方法能够判断的三角形都是特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形．在ABC △中，已知sin sin sin a b Ba B A+=-，且cos()cos 1cos 2A B C C -+=-，则ABC △是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】B【解析】设ABC △的外接圆半径为R ，由正弦定理的推广，得sin 2a A R =，sin 2bB R=，代入sin sin sin a b B a B A +=-，可得a b ba b a+=-，即22b a ab -=．因为cos()cos 1cos 2A B C C -+=-，所以2cos()cos()2sin A B A B C -++=，即2sin sin sin A B C =．由正弦定理的推广可得2()222a b cR R R⋅=，所以2ab c =，由22b a ab -=及2ab c =可得222b a c =+，所以ABC △是直角三角形．故选B ．【名师点睛】注意到a ，b ，c 在条件式中是齐次线性关系，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角．通过角的特征或者关系来判断三角形的形状．忽略角的取值范围而出错在ABC △中，若3C B =，求cb的取值范围．【错解】由正弦定理，可得22sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin c C B B B B B B B B b B B B +===+=-， 220cos 1,14cos 13B B ≤<∴-≤-<，由0,0b c >>，可得03cb<<．故cb的取值范围为(0,3)．【错因分析】错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为(0,180)︒︒．【正解】由正弦定理可得22sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin c C B B B B B B B B b B B B +===+=-， 2180,3,045,cos 12A B C C B B B ++=︒=∴︒<<︒<<， 214cos 13B ∴≤-<，即13cb<<，故cb的取值范围为(1,3)．【名师点睛】解三角形时要注意三角形的内角为正角且必须满足三角形内角和定理，这是解题中的隐含条件，应特别注意．忽略对角的讨论而出错已知在ABC △中，4,22,30,a b B ===︒ 求角,A C 和边c ．【错解】由正弦定理sin sin a b A B =可得422sin sin 30A =︒， 2sin ,452A A ∴==︒，1803045105C ∴=︒-︒-︒=︒，62,sin105sin sin 4c b C B +=︒=，sin 232sin b C c B ∴==+．【错因分析】错解中由正弦定理求出角A 的正弦值后误认为角A 是锐角，从而导致错误．【正解】由正弦定理,sin sin a b A B =得422sin sin 30A =︒， 2sin ,2A ∴=,45a b A >∴=︒或135︒．当45A =︒时，1803045105C =︒-︒-︒=︒，62sin ,sin105,232sin sin 4sin c b b Cc C B B+=︒=∴==+；当135A =︒时，1803013515C =︒-︒-︒=︒，62sin ,sin15,232sin sin 4sin c b b Cc C B B-=︒=∴==-．综上，45,105,232A C c =︒=︒=+或135,15,232A C c =︒=︒=-．【名师点睛】在ABC △中，已知两边和其中一边的对角解三角形时，可先用正弦定理求出另一边的对角，此时解的个数可能不确定，应注意讨论，避免漏解导致错误．1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，83,6,60a b A ===︒，则sin B = A ．2B 6C 2D 32．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =45B =︒，2b =，则A =A ．30︒或150︒B ．30︒C ．150︒D ．45︒3．在ABC △中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝A ．B ．CD 4．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A :B :C ＝1:2:3，则a :b :c ＝A ．1:2:3B ．C ．D ．5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =，4B π∠=，tan A =，则a =A ．210B ．C ．10D ．26．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定7．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，15,18,30a b A ===︒，则此三角形解的个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．不能确定8．已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A :cos B ＝b :a ，则ABC △是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若8a =，60B =︒，75C =︒，则b =______________．10．在ABC △中，角A ，C 的对边分别为a ，c ，其中1=a ，33=c 3A π=，则角=C ______________．11．在ABC △中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则ABC △的周长为______________． 12．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，己知A −C =90°，a +c =2b ，求C ．13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B = A 5 B 5C 5 D 5 14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π,3,23A a b ===，则B = A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π215．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π3,6,3a b A ===，则角B 等于 A ．π4B ．3π4C ．π4或3π4D ．以上都不正确16．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC △是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos cos A B Ca b c==，则ABC △是 A ．有一内角是30°的三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形18．在ABC △中，已知31,6,15b c B =-==︒，则边长a =A ．31+或2B ．31+C ．2D ．2319．在ABC △中，已知2AB AC =，30B =︒，则A =______________．20．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ．为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ∠=︒，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得45DBC ∠=︒．根据以上数据计算可得cos θ=______________．21．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π72cos 42CAD AC ADB ∠==∠=，，．（1）求sin C 的值；（2）若5BD =，求AD 的长．22．（2017山东理）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B =D ．2B A =23．（2017新课标全国Ⅰ文）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π324．（2017新课标全国Ⅱ文）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B =______________．25．（2017新课标全国Ⅲ文）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C =60°，b ，c =3，则A =______________．26．（2018北京理）在△ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-．（1）求A ∠；（2）求AC 边上的高．1．【答案】D【解析】∵83,6,60a b A ===，由sin sin a b A B =得sin 3sin .8b A B a ==故选D ． 2．【答案】B【解析】在ABC △中，由sin sin a b A B =得21sin sin sin 4522a A Bb ===︒，由于a b <，所以A B <，所以30A =︒，故选B ． 3．【答案】B【解析】由正弦定理得23sin 60sin 45AC =︒︒，所以AC ＝23sin 452 2.sin 60︒=︒故选B ．4．【答案】C【解析】因为在ABC △中，A ＋B ＋C ＝π，且A :B :C ＝1:2:3，所以A ＝6π，B =3π，C =2π，由正弦定理的变形，得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C 13=1=22：：1:3:2．故选C ．6．【答案】B【解析】由已知可得2sin cos cos sin sin B C B C A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴sin 1A =，∴π2A =，三角形为直角三角形．故选B ． 7．【答案】C【解析】由正弦定理可得sin 18sin 303sin 155b A B a ︒===，因为b a >，所以30B A >=︒，所以角B 可能是锐角，也可能是钝角，所以此三角形有两解，故选C ．8．【答案】D【解析】由正弦定理可得cos sin cos sin A b BB a A==，即sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B ，即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝2π，故ABC △是等腰或直角三角形．故选D ．9．【答案】46【解析】∵60B =︒，75C =︒，∴45A =︒，∵sin sin a bA B=，∴82322b=，∴46b =． 10．【答案】π6【解析】由正弦定理可得313πsin sin 3C =，即212333sin =⨯=C ，所以π6C =或5π6，又a c <，所以π6C =．12．【答案】o =15C ．【解析】由正弦定理可得sin sin 2A C B +=，又由于o o90=180()A C B A C -=-+，，故cos sin 2)C C A C +=+o 22)22C C =+=，即22sin cos 2,22C C C +=o cos(45)cos 2C C -=．因为o o 090C <<，所以o 2=45C C -，即o =15C ． 13．【答案】B【解析】由正弦定理，得sin sin a A b B =，所以a ＝52b 可化为sin sin A B ＝52．又A ＝2B ，所以sin 2sin B B ＝52，所以cos B ＝54．故选B ． 14．【答案】D【解析】在ABC △中，由正弦定理可得2πsin sin sin 133b B A a ==⨯=，又0πB <<，所以B =π2，故选D ． 15．【答案】 A【解析】在ABC △中，∵π3,6,3a b A ===，∴36πsin sin sin sin 3a b A B B =⇒=2sin 2B ⇒=，又63b a =<=，∴π03B A <<=，∴π4B =，故选A ．16．【答案】D【解析】由正弦定理和已知条件可得sin sin cos 2sin cos sin cos C A B A A B A -=-，所以sin()sin cos 2sin cos sin cos ,A B A B A A B A +-=- 即cos (sin sin )0A B A -=，所以cos 0A =或sin sin 0B A -=，即90A =︒或=A B ．故ABC △是等腰三角形或直角三角形．故选D ．18．【答案】A【解析】由正弦定理可得，sin 63sin 231c B C b ===-，在ABC △中，c b >，60C ∴=或120．当60C =时，105A =︒，sin 6sin10531sin c A a C ︒∴===；当120C =时，45A =︒，此时sin 6sin 452sin c A a C ︒∴===．综上，可得31a =或2．故选A ．19．【答案】105︒或15︒【解析】由正弦定理得sin sin AB AC C B =，得sin 2sin 2sin 302AB B C AC ==︒=，由AB AC >，得C B >，所以45C =︒或135︒，从而105A =︒或15︒．21．【答案】（1）45；（2）22．【解析】（1）因为2cos ADB ∠=72sin ADB ∠= 又π4CAD ∠=，所以π4C ADB =∠-，所以πππ722224sin sin()sin coscos sin 4445C ADB ADB ADB =∠-=∠⋅-∠⋅==．（2）在ACD △中，由sin sin AD ACC ADC =∠，可得sin 22sin AC C AD ADC⋅==∠． 22．【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A ． 23．【答案】B【解析】由sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=可得sin cos cos sin sin sin A C A C A C ++-sin cos 0A C =，即πsin (sin cos )2sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =．由正弦定理sin sin a c A C =可得223πsin sin 4C =，即1sin 2C =，因为c a <，所以C A <，所以π6C =，故选B ． 24．【答案】π3【解析】由正弦定理可得12sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 2B B A C C A A C B B =+=+=⇒=π3B ⇒=． 25．【答案】75︒【解析】由正弦定理sin sin b c B C=，可得36sin 22sin 32b C Bc ⨯===，结合b c <可得45B =︒，则18075A B C =︒--=︒. 26．【答案】（1）π3A ∠=；（2）AC 边上的高为332．【解析】（1）在△ABC 中，因为1cos 7B =-，所以π(,)2B ∈π，所以243sin 1cos 7B B =-=．由正弦定理7sin sin sin a b A B A =⇒=8437，所以3sin 2A =．因为π(,)2B ∈π，所以π(0,)2A ∈，所以π3A ∠=（2）在△ABC 中，3114333sin sin()sin cos sin cos ()272714C A B A B B A =+=+=⨯-+⨯=．如图所示，在△ABC 中，sin h C BC =，所以3333sin 7142h BC C =⋅=⨯=，所以AC 边上的高为332．。

人教新课标版数学高二-人教数学必修五练习1.1.1正弦定理

课后巩固作业（一）(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.一个三角形的两个内角为45°和30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为( )（A ）（B ）（C ）（D ）2.已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C=3∶2∶1，那么对应的三边之比a ∶b ∶c=( )(A)3∶2∶1 (B)3∶2∶1 (C)3∶2∶1 (D)2∶3∶13.（2011· 浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB ，则sinAcosA+cos 2B=( ) (A)12 (B)12(C)-1 (D)14.已知在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )(A)x>2 (B)x<2二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2011·新课标全国高考)在△ABC 中，B=60°，AB+2BC 的最大值为_______.6.在△ABC 中，若ab c A B C cos cos cos 222==，则△ABC 一定是______三角形. 三、解答题(每小题8分，共16分)7.已知在△ABC 中，A=30°，求c.8.在△ABC 中，若sinA=2sinBcosC ，且sin 2A=sin 2B+sin 2C ，试判断三角形的形状.【挑战能力】（10分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知A-C=90°，b ，求C.答案解析1.【解析】选C.设30°角所对的边长为x ，由正弦定理得4x sin45sin30=︒︒，得14x 2⨯== 2.【解析】选D.由A ∶B ∶C=3∶2∶1及A+B+C=180°，可解得A=90°，B=60°，C=30°，∴a ∶b ∶c=sinA ∶sinB ∶sinC=1∶12,即a ∶b ∶c=2∶1.3.【解题提示】用正弦定理统一到角的关系上，再用同角三角函数的平方关系即可解决.【解析】选D.由acosA=bsinB 可得sinAcosA=sin 2B,所以sinAcosA+cos 2B=sin 2B+cos 2B=1.4.【解析】选C.由题设条件可知x>2且xsin45°<2，∴.5.【解题提示】利用三角函数知识化简AB+2BC ，统一角变量，然后求最大值.【解析】令AB=c,BC=a,由正弦定理得：a c AC 2,sinA sinC sinB 2==== ∴c=2sinC,a=2sinA ，且A+C=120°，∴AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(120°-C)=12sinC 4sinC 22++）sin(C+ϕ)(其中tan ϕ=2). ∴当C+ϕ=90°时，AB+2BC 取最大值为.答案：6.【解析】由正弦定理及ab c A B C cos cos cos 222==可得sinA sinB sinC==，A B Ccos cos cos222即A B C==，sin sin sin222又A，B，C为三角形内角,∴A=B=C，∴三角形为等边三角形.答案：等边【方法技巧】判断三角形的形状需注意的问题：利用正弦定理判断三角形的形状时，主要就是利用正弦定理的变形：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（R为三角形外接圆的半径）把角化为边，再利用三角恒等变换的知识化简即可.7.【解题提示】先由正弦定理求出B，再根据三角形内角和定理求出C，从而求出c.【解析】由正弦定理得bsinA===sinBa又∵b>a，∴B＞A，所以B=60°或120°，当B=60°时，C=90°，∴当B=120°时，C=A=30°，∴c=a=5，综上可知8.【解析】∵A、B、C是三角形的内角，∴A=π-(B+C)，∴sinA=sin(B+C)=sinBcos C+cosBsinC=2sinBcosC.∴sinBcosC-cosBsinC=0，∴sin(B-C)=0,又∵0<B<π,0<C<π，∴-π<B-C<π，∴B=C.又∵sin2A=sin2B+sin2C,且a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，(R为△ABC外接圆的半径)可得a2=b2+c2,∴A是直角，∴△ABC是等腰直角三角形.【误区警示】化简过程中，在利用两角和差的正弦公式时容易出现错误，需要引起注意.【挑战能力】【解题提示】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合A-C=90°,得到sinA=cosC ，即可求解. 【解析】由A-C=90°，得A为钝角且sinA=cosC，利用正弦定理，b 可变形为sinB，又∵sinA=cosC，∴sin(C+45°)，sin(C+45°sinB，又A、B、C是△ABC的内角，故C+45°=B或（C+45°)+B=180°(舍去)，所以A+B+C=（90°+C)+（C+45°)+C=180°.所以C=15°.。

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解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3, 求a :b :c.【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。

Q A:B :C1: 2: 3,而A B C .解：A, B ,C ,6 3 21 3a :b :sin A: sin B : sinC sin : sin : sin : :1 1: 3 :2.6 3 2 2 2【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。

例2 在ABC 中，已知c= 2+ 6 ，C=30°，求a+b 的取值范围。

【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。

解：∵C=30°，c= 2+ 6 ，∴由正弦定理得：a b c2 6 sin A sin B sin C sin 30,∴a=2( 2+ 6 )sinA,b=2( 2+ 6 )sinB=2( 2+ 6 )sin（150°-A） .∴a+b=2( 2+ 6 )[sinA+sin(150 °-A)]= 2( 2+ 6 ) ·2sin75 °·cos(75 °-A)= 22 6 cos(75 °-A)①当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值22 6 =8+43 ；②∵A=180°-(C+B)=150 °-B, ∴A＜150°，∴0°＜A＜150°, ∴-75 °＜75°-A＜75°，∴cos75 °＜cos(75 °-A) ≤1，∴＞22 6 cos75 °=22 6 ×6 24= 2+ 6 .综合①②可得a+b 的取值范围为( 2+ 6 ,8+ 4 3 >考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中， 2a ·tanB=2b ·tanA，判断三角形ABC的形状。

人教B版高中数学必修五 1.1正弦定理和余弦定理(5必修)

1.1正弦定理和余弦定理（数学5必修）1.2应用举例1.3实习作业[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（）A ．2B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1．在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。

三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

人教B版人教B版高中数学必修五第1章1.1.1正弦定理(人教实验B版).docx

1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理（人教实验B 版必修5）建议用时实际用时满分实际得分 45分钟100分一、选择题（每小题6分，共24分） 1.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则 cos B=（）A. B. C. D.2.已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a,b,c 是三角形中各内角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是（） A.b ＋c ＝2a B.b ＋c 2a C.b ＋c ≤2a D.b ＋c ≥2a3.在△ABC 中，，则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形4. 在三角形ABC 中，若A=60°，a= 3，则=（） A. B. C. D.二、填空题（每小题6分，共24分）5.在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长是 .6. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C +c cos B =a sin A ，则△ABC 的形状为 .（填锐角三角形，直角三角形，钝角三角形）7.一只船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°、距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为 .8.如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为________．三、解答题（共52分）9.（16分）已知在△ABC 中，10c =，45A =，30C =，解三角形.10.（18分）在△ABC 中，6c =，2a =，45A =，求b 和,B C ．11.（18分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B =b ．求角A 的大小.1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理参考答案1.A 解析：依题意得0°B 60°，由正弦定理得sin sin a bA B=得 sin B ＝sin b Aa＝33，cos B ＝＝63，故选A. 2.C 解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos 2A ＝－12，又因为A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°. 所以2b c a +＝sin sin 2sin B CA + ＝2sincos 223B C B C+-＝cos2B C-≤1，即b ＋c ≤2a.故选C.3.A 解析：因为，又因为，得sin A ＝sin B ＝sin C ，∴ A ＝B ＝C ，∴ a ＝b ＝c .故为等边三角形,答案为A ． 4.D 解析：由比例性质和正弦定理可知==2.5. 63 解析：由sin sin c b C B =，得b ＝sin sin c B C ＝sin 45sin 60︒︒＝63. ∵ 角B 最小，∴ 最短边是b .6. 直角三角形解析：△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵ b cos C +c cos B =a sin A ，则由正弦定理可得 sin B cos C +sin C cos B =sin A sin A ，即 sin （B +C ）=sin A sin A ，可得sin A =1，故A = ，故三角形为直角三角形，故填直角三角形. 7.1726 海里/时解析：如图，由题意知∠MPN ＝75°＋45°＝120°， ∠PNM ＝45°.在△PMN 中，由正弦定理，得sin120sin 45MN PM︒︒=，∴ MN ＝68×3222＝346（海里）. 又由M 到N 所用的时间为 14－10＝4(小时)，∴ 船的航行速度v ＝3464＝1726(海里/时)．8.2 解析：在△AOB 中，由正弦定理得＝1， ∴ sin ∠AOB ＝AB.∵ ∠AOB=∠A 1OB 1， ∴ sin ∠AOB= sin ∠A 1OB 1. 在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝＝＝2. 9.解：sin sin a cA C=， ∴ sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===， ∵ 180()105B A C =-+=，sin sin b cB C=， ∴ sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯+====⨯=+． 10.解：∵sin sin a cA C=， ∴ sin 6sin 453sin 22c A C a ⨯===. ∵ 0180C ︒<<， ∴ 60C =或120C =，当60C =时，75B =，sin 6sin 7531sin sin 60c B b C ===+；当120C =时，15B =，sin 6sin1531sin sin 60c B b C ===-. ∴ 31,75,60b B C =+==或31,15,120b B C =-==．11. 解：由2a sin B =b ，利用正弦定理得： 2sin A sin B =sin B . ∵ sin B ≠0，∴ sin A = ，又A 为锐角，则A = .。

人教版数学高二B版必修5同步训练1.1.1正弦定理

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，下列等式恒成立的是（） A.a+sinA=b+sinB B.bsinC=csinA C.absinC=bcsinB D.asinC=csinA 解析：根据正弦定理可知有CcA a sin sin =，asinC=csinA. 答案：D2.在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=4∶1∶1，则 a ∶b ∶c 等于（） A.3∶1∶1 B.2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1 解析：根据正弦定理有CcB b A a sin sin sin ==，a ∶b ∶c=sinA ∶sinB ∶sinC.由已知得A=120°, B=30°,C=30°，a ∶b ∶c=sin120°∶sin30°∶sin30°=3∶1∶1.答案：D3.在△ABC 中,已知a=3,b=4,c=5，则sinA=____________，sinB=____________，sinC=____________，A a sin =_____________，B b sin =____________，C csin =___________.由此可以看出A a sin ___________B b sin ___________Ccsin (两横线上填符号“=”或“≠”）.解析：由已知条件可以判断，这个三角形是以∠C 为直角的直角三角形，可知，sinA=ca，sinB=cb，从而这两个三角函数值可求出，继而后几个空也不难填出.答案：53 54 1 51 51 51= =4.在△ABC 中，已知a=2，A=45°,则CB A cb a sin sin sin ++++=______________.解析：∵R A a 2sin ==2，∴22sin sin sin ==++++R CB A cb a .答案：210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.不解三角形，下列判断中正确的是（） A.a=7,b=14,A=30°,有两解 B.a=30,b=25,A=150°,有一解 C.a=6,b=9,A=45°,有两解 D.b=9,c=10,B=60°,无解解析：在A 中，a=bsinA ，故有一解；在B 中，A ＞90°,a ＞b ，故有一解；在C 中，a ＜bsinA ，无解；在D 中，c ＞b ＞csinB ，有两解. 答案：B2.已知△ABC 的外接圆的半径是3，a=3,则∠A 等于（）A.30°或150°B.30°或60°C.60°或120°D.60°或150° 解析：根据正弦定理得R Aa2sin =，sinA=R a 2=12，0°＜A ＜180°,∴A=30°或150°. 答案：A3.在△ABC 中，已知A=30°，C=105°，则2a ∶b=___________. 解析：由题意知，B=180°-30°-105°=45°，由正弦定理CcB b A a sin sin sin ===2R ，∴245sin 30sin 2sin sin 22=︒︒==B A b a . 答案：24.在△ABC 中，已知CB A cb a sin sin sin -+-+=2，则其外接圆的直径为___________.解析：根据正弦定理有C c B b A a sin sin sin ===CB A cb a sin sin sin -+-+=2R （其中R 是其外接圆的半径），故由已知得2R=2. 答案：25.在△ABC 中，已知cosA=54，cosB=135,则a ∶b ∶c=___________. 解析：由已知及同角三角函数间的关系得sinA=53,sinB=1312，sinC=sin ［π-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=6563，由正弦定理得a ∶b ∶c=sinA ∶sinB ∶sinC=13∶20∶21.答案：13∶20∶216.已知△ABC 中，22tan tan ba B A =,试判断这个三角形的形状. 解：∵22tan tan b a B A =,∴B A BB A A22sin sin cos sin cos sin =,得sin2B=sin2A. 于是2B=2A 或2B=π-2A ，即A=B 或A+B=2π. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在△ABC 中，已知sin 2A=sin 2B+sin 2C ，则△ABC 的形状一定是（） A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析：由正弦定理及已知条件得a 2=b 2+c 2，从而可知该三角形是直角三角形. 答案：B2.在△ABC 中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sinA ∶sinB ∶sinC 等于（） A.6∶5∶4 B.7∶5∶3 C.3∶5∶7 D.4∶5∶6解析：由已知设b+c=4k(k ＞0)，则c+a=5k,a+b=6k ，由此解得a=k 27，b=k 25,c=k 23，由正弦定理得sinA ∶sinB ∶sinC=a ∶b ∶c=7∶5∶3.答案：B3.在△ABC 中，a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的情况是（） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解解析：∵ bsin A≈70.7＜a,且b ＞a ， ∴有两解，选B. 答案：B4.在△ABC 中，a,b,c 分别是A 、B 、C 的对边长.若A=105°，B=45°，b=22,则c=___________. 解析：由题可知C=180°-105°-45°=30°，由正弦定理得C Bbc C c B b sin sin ,sin sin ===2. 答案：25.在△ABC 中，已知a=3,b=4,C=60°，则△ABC 的面积为__________.解析：先找出b 边上的高h=asinC=3sin60°，S △ABC =12absinC=12×3×4sin60°=33. 答案：336.在△ABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求边c.解：∵,sin sin BbA a =，∴sinA=23sin =b B a . 又∵b ＜a ，∴B ＜A ，∴A=60°或120°.当A=60°时，C=75°，c=22645sin 75sin 2sin sin +=︒︒=B Cb ; 当A=120°时，C=15°，c=22645sin 75sin 2sin sin -=︒︒=BCb . 7.在△ABC 中，已知sinA=53，cosB=135,求sinC 的值. 解：∵cosB=135＞0,0＜B ＜π, ∴B 是锐角，sinB=1312.∵sinA=53＜1312,∴A ＜B,A 是锐角，cosA=54.又sinC=sin ［π-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinC=6563131********=⨯+⨯.8.已知三个城市的中心位置A 、B 、C 刚好分别位于一个锐角三角形的三个顶点处，并且另一城市的中心位置O 到这三个城市A 、B 、C 的距离相等（假定这四个城市的中心位置位于同一平面上），且△BOC 、△COA 、△AOB 的面积的关系为S △BOC +S △AOB =2S △COA ，试判断tanAtanC 是否为定值，说明理由.解：∵O 到这三个城市A,B,C 的距离相等 ∴O 是锐角△ABC 的外心，∴∠BOC=2∠A,∠AOB=2∠C,∠AOC=2∠B. 设其外接圆的半径为R ，则有S △BOC =A R 2sin 212,S △COA =B R 2sin 212， S △AOB =C R 2sin 212.由已知S △BOC +S △AOB =2S △COA ，sin2A+sin2C=2sin2B ， 2sin(A+C)cos(A-C)=4sinBcosB.又sin(A+C)=sin B≠0，∴cos(A-C)=2cosB=-2cos(A+C)， ∴cosAcosC+sinAsinC=-2cosAcosC+2sinAsinC, ∴tanAtanC=3,即tanAtanC 为定值3.9.(2006高考湖南卷，理16)如右图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.(1)证明sinα+cos2β=0;(2)若AC=3DC,求β的值. (1)证明：如下图，∵α=2π-(π-2β)=2β-2π, ∴sin α=sin (2β-2π)=-cos 2β. 即sin α+cos 2β=0．（2）解：在△ADC 中，由正弦定理得βαβπαsin 3sin )sin(sin DCDC AC DC =⇒-=. ∴sin β=3sin α 由(1)得sin α=-cos 2β，∴sin β=3-cos 2β=3-(1-2sin 2β), 即32sin 2β-sin β3-=0.解得sin β=23或sin β=33-． ∵0＜β＜2π,∴sin β=23⇒β=3π.10.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m ，速度为180 km(千米)/h （小时），飞机先看到山顶的俯角为15°，如右图，经过420 s （秒）后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取2=1.4，3=1.7）.解：如图,∵∠A=15°,∠DBC=45°, ∴∠ACB=30°,AB=180 km/h×420 s=21 000（m ）. ∴在△ABC 中,ACBABA BC ∠=sin sin . ∴BC=2121000·sin15°=10 500(26-) ∵CD ⊥AD,∴CD=BCsin ∠CBD=BC×sin45°=10 500(26-)×22=10 500(13-)=10 500(1.7-1)=7 350.山顶的海拔高度=10 000-7 350=2 650（米）。

正弦定理教案

必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计辽宁辽化高中张彦彦一、教材分析正弦定理是高中新教材人教B版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。

提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。

在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（1）已知两角和一边，解三角形：（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。

二、学情分析本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。

高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。

三、教学目标1.知识与技能：(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题2.过程与方法：通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观：(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.四、教学重点、难点教学重点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用教学难点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.五、学法与教法学法与教学用具学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。

人教版高中数学必修五课时作业21：1.1.1 正弦定理

1.1.1 正弦定理1．在△ABC 中，一定成立的式子是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A2．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( )A ．π3B ．π6C ．π3或2π3D ．π6或5π63．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若A ＝60°，c ＝6，a ＝6，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解4．在△ABC 中，若c ＝3，C ＝60°，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝( )A ．6B ．2 3C ．2D ． 35．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 的形状是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC 中，若a ＝3，cos A ＝－12，则△ABC 的外接圆的半径为________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，B ＝2A ，cos A ＝63，则b ＝________．8．在△ABC 中，若B ＝π4，b ＝2a ，则C ＝________．9．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .10．如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长．参考答案1．【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得a sin B ＝b sin A .2．【解析】由正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ，所以sin A (2sin B －3)＝0.因为0<A <π，0<B <π，所以sin A ≠0，sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3. 3．【解析】由等边对等角可得C ＝A ＝60°，由三角形的内角和可得B ＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．4．【解析】利用正弦定理的推论，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝c sin C ＝3sin 60°＝2.5．【解析】将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)代入已知条件，得sin 2A tan B ＝sin 2B tan A ，则sin 2A sin B cos B ＝sin A sin 2Bcos A.因为sin A sin B ≠0，所以sin A cos B ＝sin Bcos A，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．6．【解析】由cos A ＝－12，得sin A ＝1－cos 2A ＝32，设△ABC 的外接圆的半径为R ，由正弦定理，有2R ＝asin A ＝23，即△ABC 的外接圆的半径为 3.【答案】 37．【解析】因为cos A ＝63，所以sin A ＝33，因为B ＝2A ，所以sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ＝223，又b sin B ＝asin A ，所以b ＝2 6.【答案】2 68．【解析】在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝2a sin π4＝2a 22＝2a ，所以sin A ＝12，所以A ＝π6或56π.因为b ＝2a ＞a ，所以B ＞A ，即A ＜π4，所以A ＝π6，所以C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝712π.【答案】712π9．解：因为c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，所以B ＝180°－(A ＋C )＝105°.由a sin A ＝c sin C ，得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 由b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°＝20×6＋24＝56＋5 2. 10．解：在△BCD 中，∠DBC ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，33sin 60°＝BC sin 45°，可得BC ＝116，在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝116×tan 30°＝11 2.。

高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.1正弦定理

§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C分别等于什么？答案a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 还成立吗？答案在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立．梳理在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这就是正弦定理．特别提醒：正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝csin C.(√)2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×)类型一正弦定理的证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解证明如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知，CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝bsin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，证明：asin A＝2R .考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解证明连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角A ′＝A .∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二已知两角及一边解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，解三角形．考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝10sin 60°sin 30°＝10 3. 又C ＝180°－(30°＋60°)＝90°. ∴c ＝a sin C sin A ＝10sin 90°sin 30°＝20.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解根据三角形内角和定理，得A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解三角形．考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1；当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. 引申探究若把本例中的条件“A ＝45°”改为“C ＝45°”，则角A 有几个值？解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝2·226＝33.∵c ＝6>2＝a ，∴C >A .∴A 为小于45°的锐角，且正弦值为33，这样的角A 只有一个．反思与感悟已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边．跟踪训练3 在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝________. 考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 105°或15°解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 C解析由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a sin B ＝b sin A ，故选C.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案 B解析由sin A ＝sin C 及正弦定理，知a ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6D ．4考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 C解析易知A ＝45°，由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A＝8×3222＝4 6. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 π3或2π3解析由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝3×222＝32，又A ∈(0，π)，a >b ，∴A >B ，∴A ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________. 考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 2 5解析由正弦定理，得c ＝a sin Csin A＝2a ＝2 5.1. 正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2. 正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57 考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案 A解析根据正弦定理，得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 B解析由题意有a sin A ＝b ＝bsin B，则sin B ＝1，又B ∈(0，π)，故角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 B解析由正弦定理知sin A a ＝sin Cc ，∴sin C c ＝cos Cc，∴cos C ＝sin C ，∴tan C ＝1，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3 考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 B解析 ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°. 由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 D解析由正弦定理，得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a >b ，∴A >B ，又∵A ＝60°，∴B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 6．在△ABC 中，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 B解析由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B ，∴sin B ＝12，由a >b ，得A >B ，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴B ＝π6. 故C ＝π2，由勾股定理得c ＝2.7．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于( )A.310B.1010C.55D.31010 考点用正弦定理解三角形题点正弦定理解三角形综合答案 D解析如图，设BC 边上的高为AD ，不妨令AD ＝1.由B ＝π4，知BD ＝1.又AD ＝13BC ＝BD ，∴DC ＝2，AC ＝12＋22＝ 5.由正弦定理知，sin ∠BAC ＝sin B ·BC AC ＝225·3＝31010.8．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 B解析由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.二、填空题9．在△ABC 中，若C ＝2B ，则cb的取值范围为________．考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理、三角变换解三角形答案 (1,2)解析因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1.因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝_____.考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案2113解析在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.11．锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A >B .则下列三个不等式中成立的是______． ①sin A >sin B ； ②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B . 考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理、三角变换解三角形答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立．函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立．在锐角三角形中，∵A ＋B >π2，∴0<π2－B <A <π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，则有sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ，同理sin B >cos A ，故③成立．三、解答题12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，求B .考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝22， ∵a >b ，∴A >B .∴B 只有一解，∴B ＝45°.四、探究与拓展14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若△ABC 有两解，则x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2,22)D ．(2，2)考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 C解析因为△ABC 有两解，所以a sin B <b <a ，即x sin 45°<2<x ，所以2<x <22，故选C.15．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°；(2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解 (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°，讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103，∴a <b sin A ，∴本题无解．(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°，∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，∴b sin A <a <b ，∴本题有两解．由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝2 3.。

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第一章解三角形
§1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.1 正弦定理(一)
一、基础过关
1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是
( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A
C ．ab sin C ＝bc sin B
D ．a sin C ＝c sin A
2．在△ABC 中，若A ＝30°，B ＝60°，b ＝3，则a 等于
( ) A ．3 B ．1 C ．2 D.12
3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为
( ) A ．直角三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰三角形
4．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为
( ) A.π3
B.π6
C.π3或23
π D.π6或56π 5．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则2sin A －sin B sin C
＝________. 6．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13
，则a ＝________. 7．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B .
8．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .
二、能力提升
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，
则角A 的大小为
( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6
10．在△ABC 中，sin A ＝34
，a ＝10，则边长c 的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭
⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝
⎛⎦⎤0，403
11．在△ABC中，若tan A＝1
3，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
12．在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，求A 的值．
三、探究与拓展
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，求角C的大小．
答案
1．D 2.B 3.A 4.C 5.25 6.523
7．解 ∵a sin A ＝c sin C
， ∴a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°
＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)
＝105°.
又∵b sin B ＝c sin C
， ∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°
＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 8．证明因为左边＝4R 2sin 2A ·sin 2B ＋4R 2sin 2B ·sin 2A
＝8R 2sin 2A sin B cos B ＋8R 2sin 2B sin A cos A
＝8R 2sin A sin B (sin A cos B ＋cos A sin B )
＝8R 2sin A sin B sin(A ＋B )
＝8R 2sin A sin B sin C
＝2·(2R sin A )·(2R sin B )·sin C
＝2ab sin C ＝右边，
∴等式成立．
9．D 10.D 11.102
12．解 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，
又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，
即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，
化简得：sin A ＝
33cos A ， ∴tan A ＝33
，∴A ＝30°.
13．解 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C ) ＝3sin(30°＋C ) ＝3⎝⎛⎭
⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.。