江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题附答案解析

由 f′（x）＞0，即 ex﹣1＞0，ex＞1＝e0，
解得 x＞0，
故答案为：（0，+∞）．
【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题．
8.已知直线 l，m 及平面 ， ， ，则“ ”是“ ”的______条件 请用“充分不必要”、“必要
不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空
在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则 g（m）＝lnm
1 为增函数，
则 g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即 2k+b 的最小值为 ln2+2；
故答案为：ln2+2．
【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．
-6-
13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：
半径为 r |AB|
，
∴所求的圆的标准方程为 x2+（y﹣1）2＝5．
故答案为：x2+（y﹣1）2＝5．
【点睛】本题考查了圆的标准方程与应用问题，考查了两点间的距离公式，是基础题．
7.函数
的单调递增区间为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导数，由导数大于 0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间． 【详解】函数 f（x）＝ex﹣x 的导数为 f′（x）＝ex﹣1，
d
2．
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
6.在平面直角坐标系 xOy 中，
， ，则以线段 AB 为直径的圆的标准方程为______．
【答案】 【解析】 【分析】
-2-
求出线段 AB 的中点为圆心，半径为 |AB|，再写出圆的标准方程． 【详解】A（﹣2，0），B（2，2）， 则以线段 AB 为直径的圆的圆心为 C（0，1），
题．
17.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：
．
若圆 C 的切线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，且截距不为零，求切线 l 的方程；
已知点 标．
为直线
上一点，由点 P 向圆 C 引一条切线，切点为 M，若
，求点 P 的坐
【答案】（1） 【解析】 【分析】
- 10 -
或
；（2）点 的坐标为
和点
，
，若在圆 C 上存在点 P，
使得 【答案】
，则半径 r 的取值范围是______．
【解析】
【分析】
点 A（0， ），B（0， ），求出点 P 的轨迹方程，使得∠APB＝60°，通过两个圆的位置关系转化成求解
半径 r 的取值范围．
【详解】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0， ），B（0， ），使得∠APB＝60°，
∴MP∥BC，
∴MP∥平面 FBC，
∵
，
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∴NP∥FC，
∴NP∥平面 FBC，
∴平面 MNP∥平面 FBC，
∴MN∥平面 FBC；
（2）∵CD⊥CB，CD⊥CF，
∴CD⊥平面 FBC，
∴CD⊥平面 MNP，
∴CD⊥MN，
即 MN⊥DC
【点睛】本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，考查了面面平行及线面垂直的性质定理，属于基础
【答案】 【解析】 【分析】 根据斜率的公式以及三点共线得到关于 a 的方程，解出即可． 【详解】由题意得：
， 解得：a ，
-1-
故答案为： ． 【点睛】本题考查了三点共线问题，考查直线的斜率问题，属于基础题．
4.在平面直角坐标系 xOy 中，方程
表示的曲线是双曲线，则实数 k 的取值范围是____．
析可得 k
1，b＝lnm﹣1，代入化简得到 lnm
1，设 g（m）＝lnm
数的导数与单调性的关系，分析可得 g（m）的最小值，即可得答案．
1，求出 g′（m），利用函
【详解】根据题意，直线 y＝kx+b 与函数 f（x）＝lnx+x 相切，设切点为（m，lnm+m），
函数 f（x）＝lnx+x，其导数 f′（x） 1，则 f′（m）
故答案为：（﹣∞，1 ）∪（1 ，+∞） 【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用．函数的导数的应用，极值的求法，考查分析问题、
解决问题的能力．
二、解答题.
15.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知等腰梯形 ABCD，
，
，
，
以 A，B
为焦点的双曲线
过 C，D 两点．
求双曲线的方程； 写出该双曲线的离心率和渐近线方程．
堵”
中，
，若“阳马”
的体积为 ，则“堑堵”
的体积为
______ ．
【答案】30 【解析】 【分析】 连接 A1，C，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，则可求解． 【详解】如图，连接 A1C， 根据等底等高，易得：
， ∵B﹣A1ACC1 的体积为 20cm3， ∴ABC﹣A1B1C1 的体积为 30cm3， 故答案为：30．
江苏省苏州市
2018-2019 学年高二上学期期末考试数学试卷
一、填空题.
1.命题：
，
的否定是______．
【答案】 【解析】 试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“
”的否定是“
”. 考点：全称命题与特称命题.
2.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线
的焦点坐标为______．
【答案】
【解析】
要条件，
反之，当 l 时， 内仍有直线与 l 垂直，
即“l⊥m”可能有 l 成立，所以“l⊥m”是“l⊥ ”的不充分条件，
即“l⊥m”是“l⊥ ”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分条件
-3-
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属于简单题. 9. 九章算术 是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年 例如：“堑堵”指底面为直角 三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥 如图，在“堑
，
，
，
.
所以
，，
，
.
-8-
所以 因为
，
.
，所以 .
又因为 ， 为双曲线
所以
.
（ ， ）的焦点，所以
，所以 .
所以双曲线的方程为
.
（2）由（1）知，
所以双曲线的离心率
.
又
双曲线的渐近线方程为
.
【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查待定系数法和方程思想，以及运算能力，属于基础题．
16.如图，AC，DF 分别为正方形 ABCD 和正方形 CDEF 的对角线，M，N 分别是线段 AC，DF 上的点，且
【分析】
利用抛物线的标准方程，可得 p,进而可求解焦点坐标．
【详解】抛物线 y2＝8x 的开口向右，P＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.
3.在平面直角坐标系 xOy 中，三点 ， ， 共线，则实数 a 的值为___．
可知 P 在以 AB 为弦的一个圆上，圆的圆心在 AB 的中垂线即 x 轴上，半径为： 得圆心到 y 轴的距离为 1，所以圆心坐标为（-1，0）或（1，0） 则 P 的方程为：（x﹣1）2+y2＝22， 或：（x+1）2+y2＝22， 已知圆 C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，若在圆 C 上存在点 P，使得∠APB＝60°，
【点睛】本题考查了三棱柱的结构及体积的求法，将其分割成三个三棱锥是解题的关 键，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题．
10.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，F 分别是椭圆
-4-
的右顶点和右焦点，点 B，C
分别是椭圆的上、下顶点 若
，则该椭圆离心率为______．
【答案】 【解析】 【分析】 利用已知条件 AB⊥CF，利用斜率之积为-1，列出方程，求出椭圆的离心率即可．
2，由垂径定理可
就是两个圆有公共点，可得：
r+2，并且
解得 r∈[
故答案为：[ 2，4 2]．
【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．
2，4
2]．
14.若函数
有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是___．
【答案】 【解析】 【分析】 求出导函数，利用函数的极值的符号，列出不等式组求解即可． 【详解】f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1， ∴f′（x）＝（x﹣a）（3x﹣a﹣2）
【答案】 或
【解析】
【分析】
由双曲线方程的特点可得（2﹣k）（k﹣1）＜0，解之可得 k 的范围．
【详解】若方程
表示的曲线为双曲线，
则（2﹣k）（k﹣1）＜0，即（k﹣2）（k﹣1）＞0，
解得 k＜1 或 k＞2，
故答案为：k＜1 或 k＞2．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程的应用，得出（2﹣k）（k﹣1）＜0 是解决问题的关键，属于基础题．
在 中，若 ， ，则 或 ，故 错误；
在 中，若 ， ，则由面面平行的性质定理得 ，故 正确．
故答案为： ．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解
能力，是中档题．
12.已知
是函数
的切线，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，设切线的坐标为（m，lnm+m），求出函数 f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分
5.在平面直角坐标系 xOy 中，点 在直线
上，则 OP 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
OP 的最小值为点 O（0，0）到直线 x+y﹣4＝0 的距离．
【详解】∵在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（x，y）在直线 x+y﹣4＝0 上，
∴OP 的最小值为点 O（0，0）到直线 x+y﹣4＝0 的距离：
，
．
证明： 平面 BCF；
证明：
．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）取 DC 的三等分点 P，通过平面 MNP∥平面 FCB 可得线面平行；
（2）利用 DC 垂直平面 FBC，得到 CD⊥平面 MNP，易证．
【详解】(1)取 DC 的三等分点 P，使 DP ，
-9-
∵
，
∴MP∥AD，
或.
（1）根据题意，利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求 系数即可； （2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得 PM2＝PC2﹣MC2，又由 PM PO，则 2PO2＝PC2﹣MC2，代入点的 坐标变形可得：x12+y12﹣2x1+4y1﹣3＝0，①，又由点 P（x1，y1）为直线 y＝2x﹣6 上一点，则 y1＝2x1﹣6，②，联立①②，解可得 x1 的值，进而计算可得 y1 的值，即可得答案．
【详解】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，F 分别是椭圆 点 B，C 分别是椭圆的上、下顶点．若 AB⊥CF，
可得： • 1，可得 b2＝ac＝a2﹣c2，
可得 e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得 e
．
故答案为： ．
的右顶点和右焦点，
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意垂直条件的合理转化，考查转化思想 以及计算能力． 11.设 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面 下列命题中：
若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ． 正确命题的序号是______． 【答案】 【解析】 【分析】
-5-
在 中， 与 相交、平行或异面；在 中， 或 ；在 中，由面面平行的性质定理得 ．
【详解】解：由 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，知：
在 中，若 ， ，则 与 相交、平行或异面，故 错误；
1，
则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（ 1）（x﹣m），变形可得 y＝（ 1）x+lnm﹣1， 又由切线的方程为 y＝kx+b，
则k
1，b＝lnm﹣1，
则 2k+b
2+lnm﹣1＝lnm
1，
设 g（m）＝lnm
1，其导数 g′（m）
，
在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则 g（m）＝lnm
1 为减函数，
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】
由线面垂直的性质定理可知：若“l⊥ 又 m⊂ ，得：“l⊥m”是“l⊥ ”的必要条件，反之，当 l 时，
内仍有直线与 l 垂直，得“l⊥m”时，可能直线 l ，所以不充分.
【详解】由“l⊥ “则直线 l 垂直平面 中的任意直线，又 m⊂ ，则“l⊥m”，即“l⊥m”是“l⊥ ”的必
【答案】（1）
（2）离心率 ,渐近线方程为
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理求得等腰梯形的高，求出 A，B，C，D 的坐标，可得 CA，CB 的距离，由双曲线的定义可得
a，再由 a，b，c 的关系可得 b，即可得到双曲线的方程；
（2）由离心率公式和渐近线方程即可得到所求．
【详解】（1）因为等腰梯形 ，
令 f′（x）＝0，解得 x＝a 或 x
，
∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1 有三个不同的零点，
∴f（x）极大值 f（x）极小值＜0，
∴f（a）f（ ）＜0，
-7-
即（﹣a+1）[（
1）（
a）2﹣a+1]＜0，
整理可得（a﹣1）2（
）＞0，
即 4（a﹣1）2﹣27＞0 且 a ,
解得 a＜1 或 a＞1