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江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题附答案解析

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人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1

人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。

江苏省盐城市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题-含答案解析

江苏省盐城市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题-含答案解析

江苏省盐城市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知复数z满足z⋅i=1+i(其中i是虚数单位)，则z=______．【答案】1−i【解析】解：由z⋅i=1+i，得z=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i．故答案为：1−i．把给出的等式两边同时乘以i，然后由复数代数形式的除法运算化简求值．本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．2.过抛物线y2=4x的焦点且与对称轴垂直的弦长为______．【答案】4【解析】解：抛物线y2=4x的焦点(1,0)，可得：y2=4，解得y=±2．可得：对称轴垂直的弦长为：4．故答案为：4．求出抛物线的焦点坐标，然后求解对称轴垂直的弦长．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.命题“∀x>0，x2+3x+1>0“的否定为______．【答案】∃x∈R，x2+3x+1≤0【解析】解：∵命题“∀x>0，x2+3x+1>0”，∴命题“∀x>0，x2+3x+1>0”的否定为：∃x∈R，x2+3x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+3x+1≤0．命题“∀x∈R，2x2−3x+4>0”，是一个全称命题，其否定命题一定是一个特称命题，由全称命题的否定方法，我们易得到答案．对命题“∃x∈A，P(X)”的否定是：“∀x∈A，￢P(X)”；对命题“∀x∈A，P(X)”的否定是：“∃x∈A，￢P(X)”，即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是特称命题．4.点P(2,0)到双曲线x29−y216=1的渐近线的距离为______．【答案】85【解析】解：双曲线x29−y216=1的渐近线方程为y=±43x，即4x±3y=0，则点(2,0)到4x−3y=0的距离d=√42+(−3)2=85，故答案为：85先求出渐近线方程，再根据点到直线的距离公式即可求出．本题考查了双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，属于基础题．5. 已知直线的参数方程为{x =1+12ty =1+√32t (t 为参数)，则其倾斜角为______． 【答案】π3【解析】解：直线的参数方程为{x =1+12ty =1+√32t (t 为参数)， 消去参数t ，化为普通方程是y −1=√3(x −1)， 则该直线的斜率为√3，倾斜角为π3． 故答案为：π3．把直线的参数方程化为普通方程，求出它的斜率和倾斜角的大小． 本题考查了直线的参数方程与普通方程的转化问题，是基础题．6. 已知命题p 为真命题，命题q 为假命题，则在下列命题中：①￢q ；②p ∧q ；③p ∨q 是真命题的有______个. 【答案】2【解析】解：若命题p 为真命题，命题q 为假命题， 则￢q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题， 则真命题的是①③，有2个， 故答案为：2根据复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假判断，根据￢p 与p 真假性相反，p ∧q 同真为真，其他为假，p ∨q 同假为假，其余为真的结论是解决本题的关键．7. p ：“复数z =(m 2−m)+mi(m ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数”是q ：“m =1”的______条件.(请在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充分必要”选择一个最为恰当的答案填写在横线上) 【答案】充要【解析】解：若复数z =(m 2−m)+mi(m ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数，则{m ≠0m2−m=0，即{m ≠0m=1或m=0，得m =1，即p 是q 的充要条件， 故答案为：充要根据纯虚数的定义求出m 的取值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合纯虚数的定义求出m是解决本题的关键．8.已知直线a，b和平面α满足：①a//b，②a⊥α，③b⊥α，若从其中选出两个作为条件，余下一个作为结论，可以得到______个真命题．【答案】3【解析】解：构成的命题有①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①，若a//b，a⊥α，则b⊥α成立，即①②⇒③是真命题，若a//b，b⊥α，则a⊥α成立，即①③⇒②是真命题若a⊥α，b⊥α，则a//b成立，即②③⇒①是真命题，故可以得到3个真命题，故答案为：3根据条件可以构成三个命题①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①，根据空间直线和平面平行和垂直的性质进行判断即可．本题主要考查命题的真假关系，结合空间直线平行于直线平面垂直的性质和判定定理是解决本题的关键．9.从装有大小完全相同的2个白球、3个黑球的口袋中随机取出两个小球，记取出白球的个数为随机变量ξ，则P(ξ=1)的值为______．【答案】0.6【解析】解：从装有大小完全相同的2个白球、3个黑球的口袋中随机取出两个小球，基本事件总数n=C52=10，记取出白球的个数为随机变量ξ，ξ=1包含的基本事件个数m=C21C31=6，则P(ξ=1)=mn =610=0.6．故答案为：0.6．基本事件总数n=C52=10，记取出白球的个数为随机变量ξ，ξ=1包含的基本事件个数m=C21C31=6，由此能求出P(ξ=1)．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是四条棱AB，BC，CD，DA上的中点，则四棱锥A1−EFGH体积为______．【答案】43【解析】解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是四条棱AB，BC，CD，DA上的中点，∴EFGH是边长为√2的正方形，点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2，∴四棱锥A1−EFGH体积为：V A1−EFGH =13×d×S正方形EFGH=13×2×√2×√2=43．故答案为：43．推导出EFGH是边长为√2的正方形，点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2，由此能求出四棱锥A1−EFGH体积．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.已知抛物线y2=16x上任意一点到双曲线x2a2−y2b2=1右焦点的距离比到左准线的距离大1，则a2=______．【答案】12【解析】解：抛物线y2=16x中，p=8，焦点为F(4,0)，准线方程为x=−4；由题意知双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点为F(4,0)，左准线方程为x=−3，∴c=4，且−a2c=−3，解得a2=12．故答案为：12．利用抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，由题意知双曲线的右焦点坐标与左准线方程，由此求出c和a2．本题考查了抛物线方程与双曲线方程的应用问题，是基础题．12.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2，以F1F2为斜边的等腰直角三角形PF1F2与椭圆有两个不同的交点M，N，且MN=13F1F2，则该椭圆的离心率为______．【答案】√5−√2【解析】解：∵以F1F2为斜边的等腰直角三角形PF1F2与椭圆有两个不同的交点M，N，且MN=13F1F2，∴N(13c,23c)∵PF1+PF2=√(c3−c)2+(2c3)2+√(c3+c)2+(2c3)2=2a．2√2c 3+2√5c3=2a，∴e=ca =√5+√2=√5−√2．故答案为：√5−√2．可得N(13c,23c)，利用PF 1+PF 2=√(c 3−c)2+(2c 3)2+√(c 3+c)2+(2c 3)2=2a.可得2√2c 3+2√5c3=2a ，即可求解．本题考查了椭圆的离心率，属于中档题．13. 在三角形内，我们将三条边的中线的交点称为三角形的重心，且重心到任一顶点的距离是到对边中点距离的两倍类比上述结论：在三棱锥中，我们将顶点与对面重心的连线段称为三棱锥的“中线”，将三棱锥四条中线的交点称为它的“重心”，则棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的______倍. 【答案】3【解析】解：在四面体ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE ，BE ，且M ，N 分别为△ACD ，△BCD 的重心，AN ，BM 交于点G ， 在△ABE 中，M ，N 分别为AE ，BE 的三等分点，则EMAE =ENBE =13， 所以MN//AB ，AB =3MN ， 所以AG =3GN ，故棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的3倍， 故答案为：3由类比推理及线线平行的判定及运用可得：在△ABE 中，M ，N 分别为AE ，BE 的三等分点，则EMAE =ENBE =13，即MN//AB ，AB =3MN ，即AG =3GN ，故棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的3倍，得解． 本题考查了类比推理及线线平行的判定及运用，属中档题．14. 已知椭圆x 24+y 23=1的右焦点为F ，A 为椭圆在第一象限内的点，连接AF 并延长交椭圆于点B ，连接AO(O 为坐原点)并延长交椭圆于点C ，若S △ABC =3，则点A 的坐标为______． 【答案】(1,32)【解析】解：由题意可得F(1,0)，设AB 的方程为x =my +1， 联立椭圆方程可得(4+3m 2)y 2+6my −9=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=−6m4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2，|y 1−y 2|2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=36m 2(4+3m 2)2+364+3m 2， 由O 为AC 的中点，且△ABC 的面积为3， 可得△ABO 的面积为32，S △ABO =S △AOF +S △BOF =12⋅|OF|⋅|y 1−y 2|=32， 即有|y 1−y 2|=3， 可得36m 2(4+3m 2)2+364+3m 2=9， 化为9m 4+m 2=0，即m =0，则AB⊥x轴，可得A(1,32)，故答案为：(1,32).求得F(1,0)，)，设AB的方程为x=my+1，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及完全平方公式，结合题意可得S△ABO=S△AOF+S△BOF=12⋅|OF|⋅|y1−y2|=32，即有|y1−y2|=3，平方.后由韦达定理，解方程可得m=0，可得A的坐标本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共9小题，共130.0分）15.已知直线l：{y=1+2tx=1+t(t为参数)，曲线C：ρ2−8ρsinθ+15=0．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l距离的最小值．【答案】解：(1)∵直线l：{y=1+2tx=1+t(t为参数)，∴直线l的普通方程为2x−y−1=0，∵曲线C：ρ2−8ρsinθ+15=0．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2−8y+15=0．(2)曲线C是以C(0,4)为圆心，以r=12√64−60=1为半径的圆，圆心C(0,4)到直线l的距离d=|2×0−4−1|√4+1=√5，∴曲线C上的点到直线l距离的最小值为√5−1．【解析】(1)直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的普通方程，由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．(2)曲线C是以C(0,4)为圆心，以r=1为半径的圆，圆心C(0,4)到直线l的距离d=√5，由此能求出曲线C上的点到直线l距离的最小值．本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．(1)求证：BN//平面A1MC；(2)若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C.【答案】证明：(1)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AB//A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB//A1N.所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M//BN.又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN//平面A1MC；(2)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM.又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC.又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C.【解析】(1)欲证明BN//平面A1MC，只需推知A1M//BN；(2)根据直三棱柱的特征和线面垂直的判定与性质来证明线线垂直．本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与平面间垂直、平行的判定、性质、定义是解答本题的关键．17.设f(x)=x2−2ax+1，g(x)=sinx．(1)若∀x∈[0,1]都有f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；]，都有f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．(2)若∃x1∈(0,1]，使得对∀x2∈[0,π2【答案】解：(1)∀x∈[0,1]都有f(x)≥0恒成立，故x2−2ax+1≥0对∀x∈[0,1]恒成立，①x=0时，1≥0恒成立，故a∈R，②x∈(0,1]时，2a≤x+1对∀x∈(0,1]恒成立，x故2a≤2(当且仅当x=1时“=”成立)，故a≤1，综上，a≤1；]，g(x)=sinx，(2)∵x2∈[0,π2故g(x2)的最大值是1，]，都有f(x1)≥g(x2)恒成立，∵∃x1∈(0,1]，使得对∀x2∈[0,π2∴∃x1∈(0,1]，使得f(x1)≥1恒成立，即∃x1∈(0,1]，使得x12−2ax1+1≥1恒成立，故∃x1∈(0,1]，使得x1≥2a成立，即2a≤1，解得：a≤1．2【解析】(1)问题转化为x2−2ax+1≥0对∀x∈[0,1]恒成立，通过讨论x的范围，结合不等式的性质求出a 的范围即可；(2)求出g(x)的最大值，问题转化为∃x∈(0,1]，使得x2−2ax+1≥1恒成立，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．18. 设(1+2x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若展开式中第4项与第5项二项式系数最大．(1)求n ；(2)求最大的系数a i ；(3)是否存在正整数m ，使得a m+2+4a m =4a m+1成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)若展开式中第4项与第5项二项式系数最大，即C n 3=C n 4，则n =7． (2)设(1+2x)7展开式中第r +1项T r+1是系数最大的项，则T r+1=C 7r 2r x r ， 由不等式组{C 7r 2r≥C 7r−12r−1C 7r 2r≥C 7r+12r+1，解得{r ≤163r≥133，且r ∈N ，∴r =5，所以a i =C 7525=672．(3)因为(1+2x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，所以a m =C 7m 2m ， 因为a m+2+4a m =4a m+1，所以C 7m+22m+2+4C 7m 2m =4C 7m+12m+1， 所以7!(m+2)!(5−m)!2m+2+47!m!(7−m)!2m =47!(m+1)!(6−m)!2m+1， 由此方程可得：1(m+1)(m+2)+1(6−m)(7−m)=2(m+1)(6−m)， 解得：m =1或4．综上：存在m =1或4，使得a m+2+4a m =4a m+1成立． 【解析】(1)由题意利用二项式系数的性质，求得n 的值．(2)展开式中第r +1项T r+1是系数最大的项，列出不等式组求得r 的值，可得最大的系数a i ． (3)假设存在正整数m ，使得a m+2+4a m =4a m+1成立，解出m 的值，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，组合数的计算公式，属于中档题．19. (请用空间向量求解)已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AA 1=3，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1上的点，且满足AE =2EA 1，CF =2FC 1． (1)求异面直线EC 1，DB 1所成角的余弦值； (2)求面EB 1C 1与面FAD 所成的锐二面角的余弦值．【答案】解：(1)在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形， 所以AD ，DC ，DD 1两两垂直，以A 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，……………………………………………………………………(2分)又因AB =1，AA 1=3，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1上的点， 且满足AE =2EA 1，CF =2FC 1AB =1，AA 1=3，所以D(0,0，0)，E(1,0，2)，C 1(0,1，3)，B(1,1，3)，A(1,0，0)，F(0,1，2)，B 1(1,1，3)，所以EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,3)，…………………………………………………(4分) 设异面直线EC 1，DB 1所成角为θ,θ∈(0,π2], 所以cosθ=|cos〈EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|−1+1+3|√3√1+1+9=√3311，………………………………(7分) 所以异面直线EC 1，DB 1所成角的余弦值为√3311. ………………………………………………(8分)(2)EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1),EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)， 设平面EB 1C 1的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ ， 则{EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 1⃗⃗⃗⃗ EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 1⃗⃗⃗⃗ ，所以{−x 1+y 1+z 1=0y 1+z 1=0，令z 1=1，所以n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)，……(10分)平面FAD 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ ，则{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 2⃗⃗⃗⃗ DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 2⃗⃗⃗⃗ ，所以{y 2+2z 2=0x 2=0，令z 2=1，所以n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1)，…………(12分) 所以cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 〉=|0+2+1|√2√5=3√1010，………………………………………………(14分) 所以面EB 1C 1与面FAD 所成的锐二面角的余弦值为3√1010.………………………(15分) 【解析】(1)推导出AD ，DC ，DD 1两两垂直，以A 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EC 1，DB 1所成角的余弦值．(2)求出平面EB 1C 1的一个法向量和平面FAD 的一个法向量，利用向量法能求出面EB 1C 1与面FAD 所成的锐二面角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 甲乙二人进行定点投篮比赛，已知甲、乙两人每次投进的概率均为12，两人各投一次称为一轮投篮．(1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；(2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望． 【答案】解：(1)乙在前3次投篮中，恰好投进2个球为事件A ，则P(A)=C 32(12)2(1−12)=38；……………………………………(3分)答：乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率为38；………………………………(4分) (2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量ξ， 则ξ的取值为0，1，2，3；设前3轮投篮中，甲进球个数为X ，则X 的取值为0，1，2，3，计算P(X =0)=(1−12)3=18，P(X =1)=C 31⋅12⋅(1−12)2=38， P(X =2)=C 32⋅(12)2⋅(1−12)=38，P(X =3)=(12)3=18；所以P(ξ=0)=(18)2+(38)2+(38)2+(18)2=516，………………………………(6分) P(ξ=1)=2×18×38+2×38×(18+38)=1532，……………………………………(8分) P(ξ=2)=4×18×38=316，………………………………………(10分) P(ξ=3)=2×18×18=132；………………………………………(12分)所以ξ的分布列为； ξ 0 12 3 P5161532316132数学期望为E(ξ)=1532+38+332=1516.………………………………………………(15分) 【解析】(1)利用n 次独立重复实验恰有k 次发生的概率公式计算即可； (2)由题意知随机变量ξ的取值，计算对应的概率值， 写出分布列，再求出数学期望值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．21. 已知点P(1,2)是抛物线y 2=4x 上的一点，过点P 作两条直线l 1与l 2，分别与抛物线相交于异于点P 的A 、B 两点．(1)若直线AB 过点(2,0)且△PAB 的重心G 在x 轴上，求直线AB 的斜率； (2)若直线AB 的斜率为1且△PAB 的垂心H 在x 轴上，求直线AB 的方程．【答案】解：(1)设直线AB的方程为x=my+2，设A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)因为△PAB的重心G在x轴上，所以y1+y2=−2，将直线AB代入抛物线y2=4x方程可得：y2−4my−8=0，所以y1+y2=4m=−2，解得：m=−12，所以直线AB的斜率是−2．(2)若直线AB的斜率为1，则直线PH的方程是y−2=−(x−1)，所以H(3,0)，若直线AB的斜率为1，则设直线AB的方程为x=y+t，将直线AB代入抛物线y2=4x方程可得：y2−4y−4t=0，所以y1+y2=4，y1y2=−4t，且△=16+16t>0，因为BH⊥AP，所以y2x2−3⋅y1−2x1−1=−1(∗)，将x1=y1+t，x2=y2+t代入(∗)得2y1y2+(t−3)(y1+y2)+t2−4t+3=0，将y1+y2=4，y1y2=−4t代入上面方程可得：t2−8t−9=0，由此方程解得：t=9或t=−1(舍)，所以直线AB的方程是x−y−9=0．【解析】(1)设直线AB的方程为x=my+2，设A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，根据重心的性质，以及根与系数，根据斜率公式即可求出，(2)分类讨论，根据韦达定理和斜率公式即可求出．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．22.已知A，B分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)右顶点和上顶点，且直线AB的斜率为−√22，右焦点F到直线AB的距离为√6−√33．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y=kx+m(m>1)与椭圆交于M，N两点，且直线BM、BN的斜率之和为1，求实数k的取值范围．【答案】解：(1)∵k AB=ba =√22，∴a=√2b，则b=c，直线AB：bx+ay−ab=0，∴|b−√2b|√3=√6−√33，∴a=√2，b=1．因此，椭圆C的方程为x22+y2=1；(2)设点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立{y =kx +m x 22+y 2=1，消去y 并整理得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0， ∴△>0，由韦达定理得x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−22k 2+1． ∵k BM +k BN =2kx 1x 2+(m−1)(x 1+x 2)x 1x 2=1，∴(2k −1)x 1x 2+(m −1)(x 1+x 2)=0，∴2k =m +1>2，∴k >1，又∵△>0，∴2k 2>m 2−1，综上所述，0<k <2．因此，实数k 的取值范围是(0,2)．【解析】(1)先由直线AB 的斜率得出a =√2b ，于是得出c =b ，再由点F 到直线AB 的距离，得出b 的值，从而可求出a 的值，从而可写出椭圆C 的方程；(2)设点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由直线BM 、BN 的斜率之和为1，结合韦达定理得出k 与m 所满足的关系式，结合m 的范围，可得出k 的范围，再由△>0，得出k 的另一个范围，两者取交集可得出实数k 的取值范围．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．23. 已知平面上一个圆可以将平面分成两个部分，两个圆最多可以将平面分成4个部分，设平面上n 个圆最多可以将平面分成f(n)个部分．(1)求f(3)，f(4)的值；(2)猜想f(n)的表达式并证明；(3)证明：2n ≥f(n)．【答案】解：(1)由已知有：f(3)=8，f(4)=14，(2)f(n)=n 2−n +2下面用数学归纳法证明：①当n =1时，f(1)=12−1+2=2结论成立；②假设n =k 时，结论成立，即平面上k 个圆最多可以将平面分成k 2−k +2个部分，那么当n =k +1时，第k +1个圆与前k 个圆最多有2k 个交点，即此第k +1个圆最多被这2k 个交点分成2k 条圆弧段，由于每增加一个圆弧段，可将原来的区域分成两个区域，因此第k +1个圆使平面增加了2k 个区域，所以f(k +1)=f(k)+2k =k 2−k +2+2k =(k +1)2−(k +1)+2，综合①②得：即平面上n 个圆最多可以将平面分成n 2−n +2个部分，即命题得证(3)证明：①当n =1或2或3时，2n −n 2+n −2=0，即2n ≥f(n)，②n ≥4且n ∈N ∗时，设a n =n 2−n+22n ，则a n+1−a n=(n+1)2−(n+1)+22n+1−n2−n+22n=−n2+3n2n+1，设g(n)=−n2+3n=−(n−32)2+94，因为n≥4，所以g(n)≤−42+3×4=−4<0，所以a n+1−a n=−n2+3n2n+1<0所以n≥4时，数列{a n}是单调递减数列，所以a n=n2−n+22n ≤42−4+224=1416<1，所以2n>n2+n−2，综合①②得：2n≥n2+n−2．故不等式得证．【解析】(1)由题意可知：f(3)=8，f(4)=14，(2)猜想f(n)=n2−n+2并用数学归纳法证明可得解：(3)证明：讨论①当n=1或2或3时，2n−n2+n−2=0，②n≥4且n∈N∗时，用数列单调性的证明方法定义法证明即可本题考查了归纳推理、数学归纳法及数列单调性的证明，属难度较大的题型．。

2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1679)

2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1679)

天柱县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知函数f （x ）=x 2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a 的取值范围（ ） A ．[1，+∞） B ．[0.2} C ．[1，2] D ．（﹣∞，2]2． 已知双曲线的渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．（，+∞） B ．（1，）C ．（2．+∞）D ．（1，2）3． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．∁I M ∪∁I ND ．∁I M ∩∁I N4． 若向量=（3，m ），=（2，﹣1），∥，则实数m 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．2D ．65． f （）=，则f （2）=（ ）A ．3B ．1C ．2D ．6． 复数z=（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ）A ．（4，1，1）B ．（﹣1，0，5）C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）8． 若f （x ）=﹣x 2+2ax 与g （x ）=在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1]B ．[0，1]C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]9． 已知向量(,1)a t =，(2,1)b t =+，若||||a b a b +=-，则实数t =（ ） A.2- B.1- C. 1 D. 2【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力． 10．设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的取值范围是（）A．3,12e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B．33,24e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C．33,24e⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．3,12e⎡⎫⎪⎢⎣⎭1111]11．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(371)

2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(371)

永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ）A ．50x -<<或5x >B ．5x <-或5x >C ．55x -<<D ．5x <-或05x <<2． 抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．33． 已知函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，则a 的值等于（ ） A ．8B ．1C ．5D ．﹣14． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假5． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜06． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也非必要条件7． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=18． 线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A ．AB ⊂αB ．AB ⊄αC ．由线段AB 的长短而定D ．以上都不对9． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．210．已知函数，函数，其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设复数z 满足z （1+i ）=2（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣iD ．﹣1+i12．已知α，β为锐角△ABC 的两个内角，x ∈R ，f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，则关于x 的不等式f （2x ﹣1）﹣f （x+1）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）B ．（，2）C ．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D ．（﹣，2）二、填空题13．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）．①设A ，B 为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P 的轨迹为双曲线；②设A ，B 为两个定点，若动点P 满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线﹣=1与椭圆有相同的焦点．14．对于集合M ，定义函数对于两个集合A ，B ，定义集合A △B={x|f A （x ）fB （x ）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为 ．15．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ=5，则点（4，）到直线l 的距离为 ．16．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .17．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________． 18．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B为 .三、解答题19．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女总计（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．附：K2=P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.63520．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．21．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中.k R ∈ （1）当3k =时，求函数()f x 在[]0,5上的值域； （2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.22．如图，M 、N 是焦点为F 的抛物线y 2=2px （p ＞0）上两个不同的点，且线段MN 中点A 的横坐标为，（1）求|MF|+|NF|的值；（2）若p=2，直线MN 与x 轴交于点B 点，求点B 横坐标的取值范围．23．（本小题满分12分）已知平面向量(1,)a x =，(23,)b x x =+-，()x R ∈. （1）若//a b ，求||a b -；（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.24．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.12． 【答案】A【解析】解：由，得3x 2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直线4x+3y ﹣8=0与抛物线y=﹣x 2无交点．设与直线4x+3y ﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0联立，得3x 2﹣4x ﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m ）=16+12m=0，得m=﹣．所以与直线4x+3y ﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x 2相切的直线方程为4x+3y ﹣=0．所以抛物线y=﹣x 2上的一点到直线4x+3y ﹣8=0的距离的最小值是=．故选：A ．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．3． 【答案】B【解析】解：∵函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，令3x+2=2，解得x=0，∴a=2×0+1=1．故选：B．4．【答案】B【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．5．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x﹣1|无解，∵﹣|x﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x﹣1|≤1，∴﹣m≤0或﹣m＞1，解得m≥0或m＞﹣1故选：A．6．【答案】A【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∴A=，∴sinA=，当sinA=，∴A=或A=，故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，故选：A7．【答案】C【解析】解：如图，++（）．故选C．8．【答案】A【解析】解：∵线段AB在平面α内，∴直线AB上所有的点都在平面α内，∴直线AB与平面α的位置关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α故选A．【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．9．【答案】D【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1．下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2．故选；D．10．【答案】D【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h （x ）的图象如图：当x ≤0时，h （x ）=2+x+x 2=（x+）2+≥，当x ＞2时，h （x ）=x 2﹣5x+8=（x ﹣）2+≥，故当=时，h （x ）=，有两个交点，当=2时，h （x ）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，即h （x ）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b ∈（，4），故选：D ．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．11．【答案】A【解析】解：∵z （1+i ）=2，∴z===1﹣i ．故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．12．【答案】B【解析】解：∵α，β为锐角△ABC 的两个内角，可得α+β＞90°，cos β=sin （90°﹣β）＜sin α，同理cos α＜sin β，∴f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；故选：B．二、填空题13．【答案】②③．【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．故正确的命题为②③．故答案为：②③．【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．14．【答案】{1，6，10，12}．【解析】解：要使f A（x）f B（x）=﹣1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，所以A△B={1，6，10，12}．故答案为{1，6，10，12}．【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．15．【答案】3．【解析】解：直线l的方程为ρcosθ=5，化为x=5．点（4，）化为． ∴点到直线l 的距离d=5﹣2=3．故答案为：3．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．16．【答案】1 【解析】试题分析：两直线垂直满足()02-12=⨯+⨯a ，解得1=a ，故填：1. 考点：直线垂直【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，当两直线垂直时，需满足02121=+b b a a ，当两直线平行时，需满足01221=-b a b a 且1221c b c b ≠，或是212121c c b b a a ≠=，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直121-=k k ，两直线平行时，21k k =，21b b ≠.117．【答案】2 【解析】18．【答案】4π 【解析】考点：正弦定理．【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K2的观测值为：k==≈3.030．∵3.030＜3.841，∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图中可知：“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，其中a i（i=1，2，3）表示男性，b j （j=1，2）表示女性．设A表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A包括7个基本事件：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．∴P（A）=．【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD又OC=OB，所以△BOD≌△COD∴∠OCD=∠OBD=90°即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…（其他方法亦可）21．【答案】（1）[]1,21;（2）2k ≥.【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得()'f x =()()31x x k --，再分1k ≤和1k >两种情况进行讨论；试题解析：（1）解：3k = 时，()32691f x x x x =-++则()()()23129313f x x x x x =-+=--' 令0f x '=得121,3x x ==列表由上表知函数()f x 的值域为[]1,21（2）方法一：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增 所以()()()min 31113132f x f k k ==-+++= 即53k =（舍） ②当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增所以()()()322min 313132f x f k k k k k ==-+++= 化简得：32340k k -+= 即()()2120k k +-=所以1k =-或2k =（舍）注：也可令()3234g k k k =-+则()()23632g k k k k k =='-- 对()()1,2,0k g k ∀∈'≤()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减所以()02g k <<不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥方法二：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意 …………8分 ②当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增所以()()min 23f x f <=不符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增 所以()()()min 23f x f k f =<=不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥ 22．【答案】【解析】解：（1）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=8﹣p ，|MF|=x 1+，|NF|=x 2+， ∴|MF|+|NF|=x 1+x 2+p=8；（2）p=2时，y 2=4x ，若直线MN 斜率不存在，则B （3，0）；若直线MN 斜率存在，设A （3，t ）（t ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则代入利用点差法，可得y 12﹣y 22=4（x 1﹣x 2）∴k MN =，∴直线MN 的方程为y ﹣t=（x ﹣3），∴B 的横坐标为x=3﹣，直线MN 代入y 2=4x ，可得y 2﹣2ty+2t 2﹣12=0△＞0可得0＜t 2＜12，∴x=3﹣∈（﹣3，3），∴点B 横坐标的取值范围是（﹣3，3）． 【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．【答案】（1）2或2）(1,0)(0,3)-．【解析】试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量,a b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且,a b 不共线，由此可得范围．试题解析：（1）由//a b ，得0x =或2x =-， 当0x =时，(2,0)a b -=-，||2a b -=， 当2x =-时，(2,4)a b -=-，||25a b -=.（2）与夹角为锐角，0a b ∙>，2230x x -++>，13x -<<，又因为0x =时，//a b ， 所以的取值范围是(1,0)(0,3)-.考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．【名师点睛】由向量的数量积cos a b a b θ⋅=可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos 0θ>，但当cos 0θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是0a b a b⋅>且,a b 不同向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是0a b a b⋅<且,a b 不反向．24．【答案】【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．。

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)

2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-，0），C（，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．19.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题10.【答案】（-∞，-]∪[，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a，如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥．故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC是半径，为定值1，要使三角形PAC的面积最小，则PC最小，|PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB面积最小，则P为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x-y+5=0【解析】解：∵∠B、∠C的平分线分别是x=0，y=x，∴AB与BC对于x=0对称，AC与BC对于y=x对称．∴A（3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC上，A关于y=x的对称点A''（-1，3）也在直线BC上．代入两点式方程可得，故所求直线BC的方程：2x-y+5=0．故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A关于x=0，y=x，的对称点的坐标，都在直线BC上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，）∪（，+∞）【解析】解：由于对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，故以MN为直径的圆与直线l：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．因为A（0，a），C（，0），故∠MAC=60°，AD=AC=a．△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=（a+b）．得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2-m，2-n），则，即，解得m=-1，n=2．即A（-1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为=，即：x+2y-3=0．（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，设圆的半径为R，则由，求得R2=5，故所求圆的方程为x2+y2=5．【解析】（1）依题意可设A（m，n）、B（2-m，2-n），分别代入直线l1 和l2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l的距离d，设圆的半径为R，则由，求得R的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB为等腰梯形，PB=3，DC=1，PA=1，则PA⊥AD，CD⊥AD．又因为面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，CD⊂面ABCD，故CD⊥面PAD．又因为CD⊂面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．（2）所求的点M即为线段PB的中点，证明如下：设三棱锥M-ACB的高为h1，四棱锥P-ABCD的高为h2当M为线段PB的中点时，=．所以=所以截面AMC把几何体分成的两部分V PDCMA：V M-ACB=2：1．（3）当M为线段PB的中点时，直线PD与面AMC不平行．证明如下：（反证法）假设PD∥面AMC，连接DB交AC于点O，连接MO．因为PD⊂面PDB，且面AMC∩面PBD=MO，所以PD∥MO．因为M为线段PB的中点时，则O为线段BD的中点，即．面AB∥DC，故，故矛盾．所以假设不成立，故当M为线段PB的中点时，直线PD与平面AMC不平行．【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD⊥面PAD；（2）已知V多面体PDCMA ：V三棱锥M-ACB体积之比为2：1，求出V M-ACB：V P-ABCD体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M点位置．（3）利用反证法证明当M为线段PB的中点时，直线PD与平面AMC不平行．本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由得圆心C为（3，2），∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为：（x-3）2+（y-2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，∴ ∴，∴2k（4k+3）=0∴k=0或者，∴所求圆C的切线方程为：y=3或者．即y=3或者3x+4y-12=0．（2）∵圆C的圆心在在直线l：y=2x-4上，所以，设圆心C为（a，2a-4），则圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1，又∵MA=2MO，∴设M为（x，y）则整理得：x2+（y+1）2=4设为圆D，∴点M应该既在圆C上又在圆D上即：圆C和圆D有交点，∴1≤CD≤3，∴，由5a2-12a+8≥0得a∈R，由5a2-12a≤0得，综上所述，a的取值范围为：，．【解析】（1）求出圆心C为（3，2），圆C的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k即可得到切线方程．（2）设圆心C为（a，2a-4），圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1，设M为（x，y）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。

2018-2019学年江苏省苏州市高二下学期期末数学试题(解析版)

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2018-2019学年江苏省苏州市高二下学期期末数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{﹣3，0}，B ＝{0，2}，则集合A ∪B ＝_____【答案】{﹣3，0，2}【解析】根据两集合并集的概念进行求解即可.【详解】∵集合{3,0}A =-，{0,2}B =，∴集合{3,0,2}A B ⋃=-．故答案为：{}3,0,2-.【点睛】本题考查的是集合间的并集的运算，是基础题.2．已知复数z 12i i+=（i 是虚数单位），则复数z 的模为____【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算及模的运算，化简即可.【详解】 12iz i+∴=，∴||z =12i i +12i i +==【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算及复数模的运算，是基础题.3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线223x y -=1的右焦点的坐标是______ 【答案】（2，0）【解析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论.【详解】 双曲线2213x y -=中，23a =，21b =， ∴2224c a b =+=，解得2c =，∴双曲线右焦点的坐标是(2,0)．故答案为：()2,0.【点睛】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据,,a b c 之间的关系是解决本题的关键. 4．函数f （x ）＝log 2（x +1）的定义域为_____．【答案】{x |x ＞﹣1}【解析】利用对数的真数大于0，即可得解.【详解】()()2log 1f x x =+函数的定义域为：{|10}x x +>,解得：{|1}x x >-，故答案为：{|1}x x >-.【点睛】本题主要考查对数函数定义域，考查学生对对数函数定义的理解，是基础题.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px 经过点（4，2），则实数p 的值为_______．【答案】12【解析】将点代入即可得到实数p 的值.【详解】抛物线22y px =经过点(4,2)，可得48p =， 解得12p =． 故答案为：12. 【点睛】 本题考查的是抛物线方程，是基础题.6．已知向量a =（m ，3），b =（2，1），满足（a b +）•b =6，则实数m 的值为_____【答案】﹣1【解析】先计算两个向量的和，得到的结果再和第三个向量相乘即可.【详解】向量(,3)a m =，(2,1)b =，则(2,4)a b m +=+r r ，又()6a b b +⋅=r r r ，所以2(2)46m ++=，解得1m =-．故答案为：1- .【点睛】本题主要考查的是向量加法，数量积的坐标运算，是基础题.7．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥α”是“m ∥n ”的____条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）【答案】必要不充分【解析】根据直线与平面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义即可判断结论.【详解】,m n αα⊄⊂，由m a P ,可得m n 或m 与n 异面，由m n ，可得m a P ．∴“m a P ”是“m n ”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分.【点睛】本题主要考查直线、平面的位置关系和充分条件与必要条件的应用问题,是基础题. 8．曲线y ＝（kx +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则实数k 的值为______【答案】﹣3【解析】求出函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可.【详解】(1)y kx =+x e 的导数为(1)x y kx k e '=++，可得切线的斜率为12k +=-，即3k =-．故答案为：3-.【点睛】本题主要考查导数的概念及其几何意义，是基础题.9．在△ABC 中，已知tanA ＝1，cosB 35=，则tanC 等于______ 【答案】7【解析】由条件利用两角和的正切公式求得()tan A B +的值，即可得tan C 的值.【详解】解：ABC △中，已知tan 1A =，3cos 5B =,4sin 5B ∴==, sin 4tan cos 3B B B ∴==， tanC ∴＝tan[()]tan()A B A B π-+=-+71tanA tanB tanAtanC+=-=-， 故答案为：7.【点睛】本题考查的是同角三角函数基本关系式和两角和的正切，考查学生计算能力，是基础题. 10．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点．沿图中虚线折起，使B ，C ，D 三点重合，则围成的几何体的体积为_____【答案】13【解析】由题意知图形折叠为三棱锥，直接求出三棱锥的体积即可.【详解】以,,AE EF AF 为折痕，折叠这个正方形，使点,,B C D 重合于一点p ，得到一个四面体，如图所示．∵在折叠过程中，始终有AB BE ⊥，AD DF ⊥，即AP PE ⊥ ，AP PF ⊥，所以AP EFP ⊥平面． 四面体的底面积为：12EFP S PE PF =⋅V ，高为2AP = ∴四面体A EFP -的体积：111112323A EFP V -=⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：13. 【点睛】本题主要考查三棱锥的体积，考查学生对翻折问题的理解，是中档题.11．设等差数列{}n a 的公差0d ≠，14a d =，若是1a 与2k a 的等比中项，则k 的值为 .【答案】3【解析】【详解】由14a d =，若是1a 与2k a 的等比中项得： 22212111=((1))((21))(3)4(23)k k a a a a k d a a k d k k ⇒+-=+-⇒+=+31k k ⇒==-或（舍） 故答案为3.12．已知函数f （x ）322040x x x x x -⎧=⎨-+⎩，＜，＞，若方程f （x ）＝ax 恰有三个不等的实数根，则实数a 的取值范围是_______【答案】1＜a ＜4【解析】分段解方程0x <时只有一解得出a 的范围，0x >时有两解，对应求出a 的范围，最后求出它们的交集即可.【详解】若0x <，可得2x ax -=，即201x a=<-，解得1a >； 由0x >，可得324x x ax -+=，可得240x x a -+=，有两个不等的正根， 可得1640a ∆=->，0a >，解得04a <<，方程()f x ax =恰有三个不等的实数根，可得14a <<．故答案为：14a <<.本题主要考查的是函数性质的应用，以及分类讨论思想及一元二次方程在给定范围内的有两解求参数范围的解题思想，是中档题.13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1与圆O ：x 2+y 2＝1相切于点A ，过点B （1，0）作直线l 2垂直l 1，垂足为M ，则点M 横坐标的最大值为_______．【答案】54【解析】设出A 点坐标，写出切线1l 方程，同时可以写出2l 的方程，联立两直线方程解出交点的横坐标，根据A 点横坐标的取值范围可得点M 横坐标的最大值.【详解】设()0,o A x y ，当00y ≠时，100l x k y =-， 可得100:1l x x y y +=．（00y =时也满足）…①，直线2000:0l x y y x y -+=…②由①②可得2200001M x y x x x =+=-++．∵011x -≤≤，∴当012x =时，2001x x -++取得最大值54． 故答案为：54. 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，直线与直线的交点的求法，是中档题.14．已知函数f （x ）＝xlnx +ax 2﹣（2a +1）x 在x ＝1处取得极大值，则实数a 的取值范围是_______【答案】（ 12，+∞） 【解析】先求导，然后对a 进行讨论，使得()'1f 的左侧对应的值大于零，右侧对应的值小于零，即可求出实数a 的取值范围.由'()ln 22f x x ax a =-+，可得'(1)0f =．①当102a <<时，112a>，由（1）知()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增， 可得当(0,1)x ∈时，()0f x <，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >． 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在12a内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意．②当12a =时，112a=，()f x 在(0,1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，()0,()f x f x ≤单调递减，不合题意．③当12a >时1012a <<，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减， 当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0,()f x f x >单调递增， 当(1,)x ∈+∞时'()0,()f x f x <单调递减．所以()f x 在1x =处取极大值，符合题意．综上可知，正实数a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 故答案为：1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意导函数()'f x 在0x x =时存在极值，则()'00f x =，且0x 两侧的导函数异号，学生往往忽视验证两侧的导数是否异号，是难题.二、解答题15．已知函数f （x ）＝sin 2x 2x ． （1）求f （56π）的值． （2）求函数f （x ）在x ∈[0，2π]上的值域．【答案】（1）12-；（2）302⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】根据二倍角公式化简()f x ,(1)将56x π=代入即可；(2)求出26x π-的范围，再根据正弦函数图像即可的值域.【详解】2()sin f x x =121222262cos x x x sin x π-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭． （1）53116222f sin ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，， ∴12162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，3()0,2f x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， ∴函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，, 【点睛】 本题主要考查二倍角公式的应用，以及正弦三角函数图像的应用，是基础题. 16．在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB ，CD ，EF 相互平行，四边形ABEF 是梯形．已知CD ＝EF ，AD ⊥平面ABEF ，BE ⊥AF ．（1）求证：DF ∥平面BCE ；（2）求证：平面ADF ⊥平面BCE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】(1)证明四边CDFE 是平行四边形,再用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用线面垂直得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明.【详解】证明：（1）,,AB CD EF Q 相互平行，四边形ABEF 是梯形．CD EF =， ∴四边形CDFE 是平行四边形，DF CE ∴P ，DF BCE ∴⊄平面 ，CE BCE ⊂平面，∴DF BCE P 平面（2）∵AD ⊥平面ABEF ，BE ⊂平面ABEF ，BE AD ∴⊥,BE AF ⊥Q ,AF A AD =,∴BE ⊥平面ADF ，∵BE ⊂平面BCE ，∴平面ADF ⊥平面BCE .【点睛】本题主要考查的是线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，是中档题.17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 5＝30．（1）求a n ；（2）设数列{1n S }前n 项和为T n ，当T n 20192020=时，求n 的值． 【答案】（1）a n ＝2n ；（2）2019【解析】(1) 根据题意算出首相和公差，即可得到通项公式；(2) 由(1)可以算出n S ，可得1n S ，然后利用列项求和，即可求得n 的值. 【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，24a =，530S =．14a d ∴+=，1455302a d ⨯+⋅=, 解得12a d ==． 22(1)2n a n n =+-=∴．（2）由（1）可得()()2212n n n S n n +==+．⇒1111n S n n =-+． 数列{1n S }前n 项和为n T ＝1111112231n n -+-++-=+L 111n -+， 当20192020n T =时，12019112020n -=+，∴2019n =． 【点睛】本题考查的是等差数列通项公式和前n 项和公式，以及列项求和,考查学生的计算能力，是中档题18．如图所示，我国某海岸线可看作由圆弧AB 和射线BC 连接而成，其中圆弧AB 所在圆O 的半径为12海里，圆心角为120°，规定外轮除特许外，不得进入离我国海岸线12海里以内的区域．在港口A 处设有观察站，外轮一旦进入规定区域，观察站会接收到预警信号，现从A 处测得一外轮在北偏东60°，距离港口x 海里的P 处，沿直线P A 方向航行．（1）当x ＝30时，分别求出外轮到海岸线BC 和弧AB 的最短距离，并判断观察站是否接收到预警信号？（2）当x 为何值时，观察站开始接收到预警信号？【答案】（1）最短距离为12，不能接收到预警信号；（2）【解析】(1)根据已知条件求出点P 到射线BC 的距离，和到圆弧AB 的最小值，再与12海里进行比较即可得判断;(2)由(1)知 P 到弧AB 的距离比P 到射线BC 的距离小，所以只要列出点P 到圆弧AB 的最小值为12的关系式即可求x 的值.【详解】（1）以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，当30x =时，由直角三角形中30PAC ︒∠=，可得P 到BC 的距离为15，此时21)P 即21)，可得P 到弧AB 的最短距离为||121212OP -=>，可得判断观察站不能接收到预警信号；（2）当P 到弧AB 的距离为12 ，由于P 到BC 的距离大于12，设nP A x =，可得12P x x ⎫-+⎪⎪⎝⎭，且(A -，可得1212OP '-=24=，解得6x =+，当x 为6+【点睛】本题主要考查的是点与圆位置关系，点到线的距离，考查学生对点到圆上点的距离的最值的理解，是中档题.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的右顶点为（2，0），离心率为2，P 是直线x ＝4上任一点，过点M （1，0）且与PM 垂直的直线交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆的方程；（2）若P 点的坐标为（4，3），求弦AB 的长度；（3）设直线P A ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：是否存在常数λ，使得k 1+k 3＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2（3）存在，λ＝2，计算见解析 【解析】(1)根据题意可知c ，再由离心率公式可得a ，然后根据222b a c =-得出b ，即可得椭圆的方程；(2)根据P 点的坐标写出直线AB 方程，与椭圆联立解得,A B 坐标，利用两点间距离公式即可求得弦AB 的长度；(3)先假设存在，后分直线AB 斜率存在和不存在两种情况进行求解，直线AB 斜率不存在时容易的R λ∈,直线AB 斜率存在时，设,A B 点坐标，与椭圆联立，再分别求出123,,k k k ，进行化简整理即可得到λ的值.【详解】（1）由题知2a =，2c e a ==，c ∴=2221b a c =-=，∴椭圆方程为2214x y +=． （2）(1,0)M Q ，(4,3)P1MP k ∴=，∵直线AB 与直线PM 垂直，∴1AB k =-，∴直线AB 方程0(1)y x -=--，即1y x =-+， 联立22114y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2580x x -=0x ∴=或85, (0,1)A ∴，83,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，||AB∴= （3）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=．当直线AB 的斜率不存在时，其方程为1x =，代入椭圆方程得A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，此时(4,0)P ，易得1320k k k +==,当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y代入椭圆方程得（1+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣4＝0，12x x ∴+22814k k=+，21224414k x x k -=+， 直线PM 方程为()11y x k =--，则34,P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 21k k=-, 11134y k k x +=-, 23234y k k x +=-, 132k k k λ+=,121233144y y k k x x k λ++⎛⎫+=- ⎪--⎝⎭， 即()()()()12211233()4444y x y x k k x x k λ⎛⎫+-++- ⎪⎝⎭=---， 化简得：()()1221121212324416x y x y x x k k x x x x kλ+++-=--++，将12x x +22814k k=+，21224414k x x k -=+，()111y k x =-，()221y k x =-，代入并化简得：2k kλ-=- 2λ∴=．综上：2λ=．【点睛】本题考查的是椭圆标准方程基本量的运算以及椭圆的几何性质、直线与椭圆的应用和圆锥曲线中的定值问题，是难题.20．已知函数f （x ）＝2x 3﹣3ax 2+1．（1）若a ＝﹣1，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）有且只有2个不同的零点，求实数a 的值；（3）若函数y ＝|f （x ）|在[0，1]上的最小值是0，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数f （x ）的增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞），减区间为（﹣1，0） （2）1（3）[1，+∞）【解析】(1)求出()f x 的导数,解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;(2)通过讨论a 的范围,确定函数的单调性, 函数()f x 有且只有2个不同的零点即可求得a 的值;(3)通过讨论a 的范围,确定函数的单调性,再根据函数()y f x =在[]0,1上的最小值是0并结合图像可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）1a =-时，32()231f x x x =++．2()666(1)f x x x x x =+=+当(,1)x ∈-∞-，(0,)+∞时，()0f x >,当(1,0)x ∈-时，()0f x <，故函数()f x 的增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，减区间为(1,0)-．（2）2()666()f x x ax x x a =-=-，(0)10=>f①0a =时，()f x 在R 上单调递增，不存在两个零点；②0a <时，()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞递增，在(,0)a 递减．其图象如下：函数()f x 不存在2个不同的零点；③0a >时，()f x 在(,0)-∞，(,)a +∞递增，在(0,)a 递减．其图象如下：(1)130f a -=--<只需()0f a =，1a =即可综上，函数()f x 有且只有2个不同的零点，实数a 的值为1.（3）①0a =时，()f x 在[0,1]上单调递增，min ()(0)1f x f ==，不符合题意； ②0a <时，()f x 在(0,1)递增，min ()(0)1f x f ==，不符合题意；③0a >时，()f x 在(,0)-∞，(,)a +∞递增，在(0,)a 递减．()f x 图象如下：要使函数()y f x =在[0,1]上的最小值是0，只需(1)330f a =-≤，1a ⇒>, 故实数a 的取值范围为[1,)+∞．【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性，极值与最值以及根据极值与最值求参数该范围问题，是难题.。

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷(优质解析)

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷(优质解析)

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题：∃x∈R，x2−x+1=0的否定是______．【答案】∀x∈R，x2−x+1≠0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以∃x∈R，x2−x+1=0的否定是：∀x∈R，x2−x+1≠0．故答案为：∀x∈R，x2−x+1≠0．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用．2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=8x的焦点坐标为______．【答案】(2,0)【解析】解：抛物线y2=8x的开口向右，P=4，所以抛物线的焦点坐标(2,0)．故答案为：(2,0)．直接利用抛物线的标准方程，求解抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.在平面直角坐标系xOy中，三点A(1,0)，B(a,3)，C(0,2)共线，则实数a的值为______．【答案】−12【解析】解：由题意得：3−0 a−1=2−00−1，解得：a=−12，故答案为：−12．根据斜率的公式以及三点共线得到关于a的方程，解出即可．本题考查了三点共线问题，考查直线的斜率问题，是一道常规题．4.在平面直角坐标系xOy中，方程x22−k +y2k−1=1表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是______．【答案】(−∞,1)∪(2,+∞)【解析】解：若方程x22−k +y2k−1=1表示的曲线为双曲线，则(2−k)(k−1)<0，即(k−2)(k−1)>0，解得k<1，或k>2，即k∈(−∞,1)∪(2,+∞)，故答案为：(−∞,1)∪(2,+∞)．由双曲线方程的特点可得(2−k)(k−1)<0，解之可得k的范围．本题考查双曲线的简单性质，得出(25−k)(16+k)<0是解决问题的关键，属基础题．5.在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)在直线x+y−4=0上，则OP的最小值为______．【答案】2√2【解析】解：∵在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)在直线x+y−4=0上，∴OP的最小值为点O(0,0)到直线x+y−4=0的距离：d=√2=2√2．故答案为：2√2．OP的最小值为点O(0,0)到直线x+y−4=0的距离．本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(2,2)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为______．【答案】x2+(y−1)2=5【解析】解：A(−2,0)，B(2,2)，则以线段AB为直径的圆的圆心为C(0,1)，半径为r=12|AB|=12×√(2+2)2+(2−0)2=√5，∴所求的圆的标准方程为x2+(y−1)2=5．故答案为：x2+(y−1)2=5．求出线段AB的中点为圆心，半径为12|AB|，再写出圆的标准方程．本题考查了圆的标准方程与应用问题，是基础题．7.函数f(x)=e x−x的单调递增区间为______．【答案】(0,+∞)【解析】解：函数f(x)=e x−x的导数为f′(x)=e x−1，由f′(x)>0，即e x−1>0，e x>1=e0，解得x>0，故答案为：(0,+∞)．求出函数的导数，由导数大于0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间．本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题．8.已知直线l，m及平面α，l⊄α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的______条件.(请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空)【答案】必要不充分【解析】解：由“l⊥α“则直线l垂直平面α中的任意直线，又m⊂α，则“l⊥m”，即“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件，由“l⊥m”，则直线l不一定垂直平面α，即“l⊥m”是“l⊥α”的不充分条件，即“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件由线面垂直的性质定理可知：若“l⊥α“则直线l垂直平面α中的任意直线，又l⊄α，m⊂α，得：“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件，由线面垂直的判定定理可知：若“l⊥m”，则直线l不一定垂直平面α，本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属简单题9.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在“堑堵”ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，若“阳马”B−A1ACC1的体积为20cm3，则“堑堵”ABC−A1B1C1的体积为______cm3．【答案】30【解析】解：如图，连接A1C，根据等底等高，易得：V B−AA1C =V B−A1C1C=V A1−BCC1=V A1−BC1B1，∵B−A1ACC1的体积为20cm3，∴ABC−A1B1C1的体积为30cm3，故答案为：30．连接A1，C，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，问题得解．此题考查了三棱柱，三棱锥的体积，难度不大．10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点.若AB⊥CF，则该椭圆离心率为______．【答案】√5−12【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点.若AB⊥CF，可得：−ba ⋅bc=−1，可得b2=ac=a2−c2，可得e2+e−1=0，e∈(0,1)，解得e=√5−12．故答案为：√5−12．利用已知条件AB⊥CF，推出方程求出椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中：①若m//α，n//α，则m//n；②若m⊥α，m⊥n，则n//α；③若m⊂β，α//β，则m//α．正确命题的序号是______．【答案】③【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中，若m//α，n//α，则m与n相交、平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故②错误；在③中，若m⊂β，α//β，则由面面平行的性质定理得m//α，故③正确．故答案为：③．在①中，m与n相交、平行或异面；在②中，n//α或n⊂α；在③中，由面面平行的性质定理得m//α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知y=kx+b是函数f(x)=lnx+x的切线，则2k+b的最小值为______．【答案】ln2+2【解析】解：根据题意，直线y=kx+b与函数f(x)=lnx+x相切，设切点为(m,lnm+m)，函数f(x)=lnx+x，其导数f′(x)=1x +1，则f′(m)=1m+1，则切线的方程为：y−(lnm+m)=(1m +1)(x−m)，变形可得y=(1m+1)x+lnm−1，又由切线的方程为y=kx+b，则k=1m+1，b=lnm−1，则2k+b=2m +2+lnm−1=lnm+2m+1，设g(m)=lnm+2m +1，其导数g′(m)=1m−2m2=m−2m2，在区间(0,2)上，g′(m)<0，则g(m)=lnm+2m+1为减函数，在(2,+∞)上，g′(m)>0，则g(m)=lnm+2m+1为增函数，则g(m)min=g(2)=ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；故答案为：ln2+2．根据题意，设切线的坐标为(m,lnm+m)，求出函数f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的方程为：y−(lnm+m)=(1m +1)(x−m)，变形可得y=(1m+1)x+lnm−1，分析可得k=1m+1，b=lnm−1，进而可得2k+b=2m +2+lnm−1=lnm+2m+1，设g(m)=lnm+2m+1，求出g′(m)，利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g(m)的最小值，即可得答案．本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=r2和点A(0,−√3)，B(0,√3)，若在圆C上存在点P，使得∠APB=60∘，则半径r的取值范围是______．【答案】[2√5−2,4√2+2]【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,−√3)，B(0,√3)，使得∠APB =60∘， 可知P 在以AB 为弦的一个圆上，圆的圆心在AB 的中垂线上，半径为：12×2√3sin60∘=2，则P 的方程为：(x −1)2+y 2=22， 或：(x +1)2+y 2=22，已知圆C ：(x −3)2+(y −4)2=r 2，若在圆C 上存在点P 和，使得∠APB =60∘，就是两个圆有公共点，可得：√(3−1)2+42≤r +2，并且r −2≤√(3+1)2+42解得r ∈[2√5−2,4√2+2]． 故答案为：[2√5−2,4√2+2]．点A(0,−√3)，B(0,√3)，求出点P 的轨迹方程，使得∠APB =60∘，通过两个圆的位置关系转化求解半径r 的取值范围．本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．14. 若函数f(x)=(x −1)(x −a)2−a +1有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(−∞,1−3√32)∪(1+3√32,+∞) 【解析】解：f(x)=(x −1)(x −a)2−a +1，∴f′(x)=(x −a)(3x −a −2)令f′(x)=0，解得x =a 或x =a+23，∵f(x)=(x −1)(x −a)2−a +1有三个不同的零点， ∴f(x)极大值f(x)极小值<0， ∴f(a)f(a+23)<0，即(−a +1)[(a+23−1)(a+23−a)2−a +1]<0，整理可得(a−1)2(4(a−1)2−2727)>0，即4(a −1)2−27>0， 解得a <1−3√32或a >1+3√32故答案为：(−∞,1−3√32)∪(1+3√32,+∞) 求出导函数，利用函数的极值的符号，列出不等式组求解即可．本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用.函数的导数的应用，极值的求法，考查分析问题解决问题的能力．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等腰梯形ABCD ，AB//DC ，AD =BC =4，AB =8，DC =6.以A ，B 为焦点的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)过C ，D 两点．(1)求双曲线的方程；(2)写出该双曲线的离心率和渐近线方程．【答案】解：(1)等腰梯形ABCD，AB//DC，AD=BC=4，AB=8，DC=6，等腰梯形的高为√42−12=√15，可得A(−4,0)，B(4,0)，C(3,√15)，D(−3,√15)，则CA=√72+15=8，CB=√12+15=4，由2a=CA−CB=4，即a=2，又AB=8，即c=4，b=√c2−a2=2√3，则双曲线的方程为x24−y212=1；(2)双曲线的离心率e=ca=2；渐近线方程为y=±√3x.【解析】(1)由勾股定理求得等腰梯形的高，求出A，B，C，D的坐标，可得CA，CB的距离，由双曲线的定义可得a，再由a，b，c的关系可得b，即可得到双曲线的方程；(2)由离心率公式和渐近线方程即可得到所求．本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查待定系数法和方程思想，以及运算能力，属于基础题．16.如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AM=12MC，DN=12NF．(1)证明：MN//平面BCF；(2)证明：MN⊥DC．【答案】解：PC，(1)证明：取DC的三等分点P，使DP=12∵AM=1MC，2∴MP//AD，∴MP//BC，∴MP//平面FBC，NF，∵DN=12∴NP//FC，∴NP//平面FBC，∴平面MNP//平面FBC，∴MN//平面FBC；(2)∵CD⊥CB，CD⊥CF，∴CD⊥平面FBC，∴CD⊥平面MNP，∴CD⊥MN，即MN⊥DC【解析】(1)取DC的三等分点P，通过平面MNP平行平面FCB可得线面平行；(2)利用DC垂直平面FBC，易证．此题考查了线面平行，线面垂直等，难度不大．17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2+2x−4y+3=0．(1)若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；(2)已知点P(x1,y1)为直线y=2x−6上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若PM=√2PO，求点P的坐标．【答案】解：(1)根据题意，圆C切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，则设切线方程为x+y=a(a≠0)，又圆C：(x+1)2+(y−2)2=2，其圆心C(−1,2)，半径r=√2，=√2，则有√1+1解可得：a=−1或a=3，故所求切线方程为x+y+1=0或x+y−3=0；(2)根据题意，由于PM为切线且M为切点，则PM2=PC2−MC2，又由PM=√2PO，则2PO2=PC2−MC2，若点P(x1,y1)，O(0,0)，MC=r=√2，则(x1+2)2+(y1−2)2−2=2(x12+y12)，变形可得：x12+y12−2x1+4y1−3=0，①，点P(x1,y1)为直线y=2x−6上一点，则y1=2x1−6，②联立①②可得：{y1=2x1−6x12+y12−2x1+4y1−3=0，变形可得：5x12−18x1+9=0，解可得x1=35或x1=3；当x1=35时，y1=−245，此时P的坐标为(35,−245)，当x1=3时，y1=0，此时P的坐标为(3,0)则P的坐标为(35,−245)或(3,0)．【解析】(1)根据题意，利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；(2)根据题意，由直线与圆的位置关系可得PM2=PC2−MC2，又由PM=√2PO，则2PO2=PC2−MC2，代入点的坐标可得(x1+2)2+(y1−2)2−2=2(x12+y12)，变形可得：x12+y12−2x1+4y1−3=0，①，又由点P(x1,y1)为直线y=2x−6上一点，则y1=2x1−6，②，联立①②，解可得x1的值，进而计算可得y1的值，即可得答案．本题考查直线与圆的方程以及应用，涉及直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，属于基础题．18.光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2(k1,k2均为正常数).如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上(不含A，B).若物体P到光源A的距离为x．(1)试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；(2)当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？【答案】解：(1)若物体P到光源A的距离为x，则物体P到光源B的距离为10−x，∵P在线段AB上且不与A，B重合，故0<x<10，∵光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，故P点受A光源的照度为：8k1k2x2，P点受B光源的照度为：k1k2(10−x)2，故问题P收到A，B两光源的总照度y=8k1k2x2+k1k2(10−x)2，x∈(0,10)；(2)∵f(x)=8k1k2x2+k1k2(10−x)2，x∈(0,10)，∴f′(x)=2k1k2(3x−20)(3x2−60x+400)x3(10−x)3，令f′(x)=0，解得：x=203，当0<x <203时，f′(x)<0，故f(x)在(0,203)递减， 当203<x <10时，f′(x)>0， 故f(x)在(203,10)递增， 故当x =203时，f(x)取极小值，且是最小值，故在线段AB 上距光源A 为203处，物体P 受到A ，B 两光源的总照度最小． 【解析】(1)反比求出P 点受A 光源的照度，P 点受B 光源的照度，求和即可；(2)求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，右准线方程为x =4√33． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且点A 在第三象限内.M 为椭圆C 的上顶点，记直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2．①若直线l 经过原点，且k 1−k 2=54，求点A 的坐标；②若直线l 过点(−2,−1)，试探究k 1+k 2是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】解：(1)∵椭圆的离心率为√32，右准线方程为x =4√33， ∴{ca=√32a 2c=4√33，解得{a =2c =√3． 又∵b =√a 2−c 2=1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；(2)①设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M 为椭圆的上顶点，则M(0,1)， ∵直线l 经过原点，由椭圆对称性可知，B(−x 1,−y 1)， ∵点A(x 1,y 1)在椭圆上，∴x 124+y 12=1，即y 12−1=−x 124．∵k 1=y 1−1x 1，k 2=y 2−1x 2=y 1+1x 1．∴k 1k 2=y 1−1x 1⋅y 1+1x 1=y 12−1x 12=−14．∴{k 1−k 2=54k 1k 2=−14，解得{k 1=1k 2=−14或{k 1=14k 2=−1．∵点A 在第三象限角，∴k 1>12，则k 1=1． 则直线MA 的方程为y =x +1．联立{x 24+y 2=1y =x +1，解得{y 1=1x 1=0或{x 2=−85y 2=−35，∴A(−85,−35). ②直线l 过点(−2,−1)，设其方程为y +1=k(x +2)．联立方程组{x 24+y 2=1y =kx +2k −1，消去y 可得(4k 2+1)x 2+8k(2k −1)x +16k(k −1)=0．当△>0时，由韦达定理可知，x 1+x 2=−8k(2k−1)4k 2+1，x 1x 2=16k(k−1)4k 2+1．∴k 1+k 2=y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 1y 2+x 2y 1−(x 1+x 2)x 1x 2=2k +2(k −1)(x 1+x 2)x 1x 2=2k +2(k−1)×[−8k(2k−1)]16k(k−1)=2k +(1−2k)=1．【解析】(1)由已知列关于a ，c 的方程组，求解可得a ，c 的值，再由隐含条件求得b ，则椭圆C 的标准方程可求；(2)①设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M 为椭圆的上顶点，则M(0,1)，由椭圆对称性可知B(−x 1,−y 1)，由点A(x 1,y 1)在椭圆上，得到y 12−1=−x 124，求出k 1⋅k 2，结合k 1−k 2=54，可得k 1=1，则直线MA 的方程可求，再与椭圆方程联立即可求得A 的坐标；②直线l 过点(−2,−1)，设其方程为y +1=k(x +2)，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可得到k 1+k 2是定值．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20. 已知函数f(x)=alnx +b(x −1)(x −2)，其中a ，b ∈R ．(1)当b =1时，若f(x)在x =2处取得极小值，求a 的值； (2)当a =1时．①若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，求b 的取值范围； ②若存在实数x 0>1，使得f(x 0)<0，求b 的取值范围． 【答案】解：(1)当b =1时，f(x)=alnx +(x −1)(x −2)， f′(x)=ax +2x −3，∵f(x)在x =2处取极小值，故f′(2)=0，解得：a =−2， 此时，f′(x)=(2x+1)(x−2)x，当x ∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)递减， 当x ∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)递增， 故f(x)在x =2处取极小值， 故a =−2符合题意；(2)当a =1时，∵f(x)=lnx +b(x −1)(x −2)， ∴f′(x)=2bx 2−3bx+1x，令g(x)=2bx2−3bx+1，①∵f(x)在(1,2)递增，∴f′(x)≥0在(1,2)恒成立，即g(x)≥0在(1,2)恒成立，1∘当b=0时，则g(x)=1，满足题意，2∘当b≠0时，g(x)的对称轴是x=34<1，故{g(2)≥0g(1)≥0，解得：−12≤b<0或0<b≤1，综上，实数b的范围是[−12,1]；②1∘当b=0时，f(x)=lnx，与题意不符，2∘当b<0时，取x0=3−1b，则x0>1，令ℎ(x)=lnx−x+1，则ℎ′(x)=1x−1，当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，故ℎ(x)≤ℎ(1)=0，即lnx≤x−1，故f(x0)=lnx0+b(x0−1)(x0−2)≤(x0−1)+b(x0−1)(x0−2)=2b−1<0，故b<0符合题意；3∘当0<b≤1时，∵g(x)=2bx2−3bx+1在(1,+∞)递增且g(1)=1−b≥0，故f′(x)=g(x)x≥0在(1,+∞)恒成立，故f(x)在(1,+∞)递增，故f(x)≥f(1)=0恒成立，与题意不符；4∘当b>1时，∵g(1)=1−b<0，g(2)=2b+1>0，由零点存在性原理可知，存在x1∈(1,2)，使得g(x1)=0，故当x∈(1,x1)时，f′(x)<0，f(x)递减，取x0=x1>1，则f(x0)<f(1)=0，符合题意，综上，实数b的范围是(−∞,0)∪(1,+∞)．【解析】(1)代入b的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点，从而求出a的值即可；(2)代入a的值，①求出函数的导数，通过讨论b的范围求出函数的单调区间，从而确定b的范围即可；②通过讨论b的范围，求出函数的导数，结合函数的单调性确定b的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查分类讨论思想，转化思想以及函数恒成立问题，是一道综合题，。

苏州市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

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苏州市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0，则当+取得最小值时，实数a 的值是（）A ．B ．C ．或D ．32． 设集合,,则( )A BC D3． 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．4． 已知双曲线，分别在其左、右焦点，点为双曲线的右支上2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F P 的一点，圆为三角形的内切圆，所在直线与轴的交点坐标为，与双曲线的一条渐M 12PF F PM (1,0)，则双曲线的离心率是（ ）CA B ．2CD5． 已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=1相切，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．6． 拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107． 已知函数，，若，则（ ）A1B2C3D-18． 已知数列是各项为正数的等比数列，点、都在直线上，则数列{}n a 22(2,log )M a 25(5,log )N a 1y x =-的前项和为（）{}n a n A ．B ．C ．D ．22n-122n +-21n-121n +-9． 函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）21()ln 2f x x x ax =++03=-y x a A.B. C. D. ),0(+∞)2,(-∞),2(+∞]1,(-∞【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力．10．已知三棱锥A ﹣BCO ，OA 、OB 、OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）A ．B ．或36+C ．36﹣D ．或36﹣11．命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2则a ＞b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．复数Z=（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（）A ．（1，3）B ．（﹣1，3）C ．（3，﹣1）D ．（2，4）二、填空题13．已知一个动圆与圆C ：（x+4）2+y 2=100相内切，且过点A （4，0），则动圆圆心的轨迹方程 ．14．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．　15．某种产品的加工需要 A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答）16．如图所示，圆中，弦的长度为，则的值为_______．C AB 4AB AC ×【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．17．在中，有等式：①；②；③；④ABC ∆sin sin a A b B =sin sin a B b A =cos cos a B b A =.其中恒成立的等式序号为_________.sin sin sin a b cA B C+=+18．如果椭圆+=1弦被点A （1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．三、解答题19．已知集合A={x|x ＜﹣1，或x ＞2}，B={x|2p ﹣1≤x ≤p+3}．（1）若p=，求A ∩B ；（2）若A ∩B=B ，求实数p 的取值范围．20．已知等差数列{a n }中，a 1=1，且a 2+2，a 3，a 4﹣2成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．21．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若O为AD的中点，且CD⊥A1O（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．　22．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．24．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x ）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？苏州市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵a+b=3，b＞0，∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．①当0＜a＜3时，+==+=f（a），f′（a）=+=，当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．∴当a=时，+取得最小值．②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），f′（a）=﹣=﹣，当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．∴当a=﹣时，+取得最小值．综上可得：当a=或时，+取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2．【答案】C【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C。

吴江区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

吴江区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

吴江区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（ ）A ．[5，10]B ．（5，10）C ．[3，12]D ．（3，12）2． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）A ．该几何体体积为B ．该几何体体积可能为C ．该几何体表面积应为+D ．该几何体唯一3． 若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （）=（ ）A ．2或0B ．0C ．﹣2或0D ．﹣2或24． 奇函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，若f （﹣1）=0，则不等式f （x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞） C ．（﹣1，0）∪（0，1） D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）5． 函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（0，1）6． 函数f （x ）=x 3﹣3x 2+5的单调减区间是（ ）A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（0，1）D ．（0，5）7． 直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．8． 若函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞） B ．[0，3] C ．（﹣3，0]D ．（﹣3，+∞）9． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则=（ ）A ．3B ．4C ．D ．1310．在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（ ） A ．7049 B ．7052 C ．14098 D ．1410111．复数z=（其中i 是虚数单位），则z的共轭复数=（ ） A．﹣iB．﹣﹣i C．+iD．﹣+i12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f <<二、填空题13．设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．14．设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有_________个．15．设函数则______；若，，则的大小关系是______．16．无论m 为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过定点 ． 17．设x ，y满足约束条件，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．18．曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 ．三、解答题19．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）(不等式选做题)设，且，则的最小值为（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则20．已知函数且f（1）=2．（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．21．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：（I）AB∥平面EFG；（II）平面EFG⊥平面ABC．22．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC ． （Ⅰ）若a=b ，求cosB ； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC 的面积．23．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为23π，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且//CD AO ，设AOC θ∠=．（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，观光道路最长？24．设a ＞0，是R 上的偶函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．吴江区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b）即解得：x=3，y=1即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b）∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3（a﹣b）≤6∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10故选A【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键．2．【答案】C【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为的正三角形组成故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+•（）2=．故选：C．【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．3．【答案】D【解析】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ），∵f（+x）=f（﹣x），可知函数的对称轴为x==，根据三角函数的性质可知，当x=时，函数取得最大值或者最小值．∴f（）=2或﹣2故选D．4．【答案】A【解析】解：根据题意，可作出函数图象：∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）故选A．5．【答案】C【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，又f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=30+0=1＞0，∴f（﹣1）f（0）＜0，可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）．故选：C．【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．6．【答案】A【解析】解：∵f（x）=x3﹣3x2+5，∴f′（x）=3x2﹣6x，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故选：A．【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．7．【答案】A【解析】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为，∴tanα=，∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．8．【答案】D【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，易知当x=0时上式不成立；故a==2x﹣，令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；故作g（x）=2x﹣的图象如下，，g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，故结合图象可知，a＞﹣3时，方程a=2x﹣有且只有一个解，即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，故选：D．9．【答案】D【解析】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，=4，∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8也成等比数列，且S8=4S4，∴（S8﹣S4）2=S4×（S12﹣S8），即9S42=S4×（S12﹣4S4），解得=13．故选：D．【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．10．【答案】B【解析】解：∵a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），∴（a n+1﹣2）（a n﹣2）=2，当n≥2时，（a n﹣2）（a n﹣1﹣2）=2，∴，可得a n+1=a n﹣1，因此数列{a n}是周期为2的周期数列．a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，∴S2015=1007（3+4）+3=7052．【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．11．【答案】C【解析】解：∵z==，∴=．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．12．【答案】A【解析】考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111]二、填空题.13．【答案】[3,6]【解析】14．【答案】1【解析】【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】设设，则因为，所以，所以因此，存在唯一的点M，使成立。

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(含精品解析)

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(含精品解析)

2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+√3=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为√2a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-√3a，0），C（√3a，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；√5的圆的方程．（2）以O为圆心且被l截得的弦长为8519.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=√2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1 即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】√15a3【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题 10.【答案】（-∞，-43]∪[52，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a ， 如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB 有交点， 则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥． 故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）． 由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】2√65【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC 是半径，为定值1，要使三角形PAC 的面积最小，则PC 最小， |PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB 面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB 面积最小，则P 为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC ，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x -y +5=0【解析】解：∵∠B 、∠C 的平分线分别是x=0，y=x ，∴AB 与BC 对于x=0对称，AC 与BC 对于y=x 对称． ∴A （3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC 上， A 关于y=x 的对称点A''（-1，3）也在直线BC 上． 代入两点式方程可得，故所求直线BC 的方程：2x-y+5=0． 故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A 关于x=0，y=x ，的对称点的坐标，都在直线BC 上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，4−√3014）∪（4+√3014，+∞） 【解析】解：由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l ：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k 的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．AC=a．因为A（0，a），C（√3a，0），故∠MAC=60°，AD=12△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=3（a+b）．2得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），则{2(2−m)+(2−n)−6=0m−n+3=0，即{2m +n =0m−n=−3，解得m =-1，n =2．即A （-1，2），又l 过点P （1，1），用两点式求得AB 方程为y−12−1=x−1−1−1，即：x +2y -3=0． （2）圆心（0，0）到直线l 的距离d =|0+0−3|√1+4=3√5，设圆的半径为R ，则由R 2=d 2+(4√55)2， 求得R 2=5，故所求圆的方程为x 2+y 2=5．【解析】（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），分别代入直线l 1 和l 2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l 的距离d ，设圆的半径为R ，则由，求得R 的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB 为等腰梯形，PB =3，DC =1，PA =1，则PA ⊥AD ，CD ⊥AD ．又因为面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，故CD ⊥面PAD ．又因为CD ⊂面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． （2）所求的点M 即为线段PB 的中点，证明如下： 设三棱锥M -ACB 的高为h 1，四棱锥P -ABCD 的高为h 2当M 为线段PB 的中点时，ℎ1ℎ2=MB PB =12．所以V M−ACBVp−ABCD=13S MCB ℎ113S ABCD ℎ2=13所以截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V M -ACB =2：1．（3）当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与面AMC 不平行．证明如下：（反证法）假设PD ∥面AMC ，连接DB 交AC 于点O ，连接MO ． 因为PD ⊂面PDB ，且面AMC ∩面PBD =MO ，所以PD ∥MO ． 因为M 为线段PB 的中点时，则O 为线段BD 的中点，即DOOB =11． 面AB ∥DC ，故DOOB =DCAB =12，故矛盾．所以假设不成立，故当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD ⊥面PAD ；（2）已知V 多面体PDCMA ：V 三棱锥M-ACB 体积之比为2：1，求出V M-ACB ：V P-ABCD 体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M 点位置．（3）利用反证法证明当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由{y =x −1y=2x−4得圆心C 为（3，2），∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：（x -3）2+（y -2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx -y +3=0， ∴√k 2+1=1∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k （4k +3）=0∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3．即y =3或者3x +4y -12=0．（2）∵圆C 的圆心在在直线l ：y =2x -4上， 所以，设圆心C 为（a ，2a -4），则圆C 的方程为：（x -a ）2+[y -（2a -4）]2=1， 又∵MA =2MO ，∴设M 为（x ，y ）则√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2整理得：x 2+（y +1）2=4设为圆D ， ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即：圆C 和圆D 有交点，∴1≤CD ≤3，∴|2−1|≤√a 2+[(2a −4)−(−1)]2≤|2+1|， 由5a 2-12a +8≥0得a ∈R ， 由5a 2-12a ≤0得0≤a ≤125，综上所述，a 的取值范围为：[0，125]． 【解析】（1）求出圆心C 为（3，2），圆C 的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 即可得到切线方程．（2）设圆心C 为（a ，2a-4），圆C 的方程为：（x-a ）2+[y-（2a-4）]2=1，设M 为（x ，y ）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。

2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题 (答案+解析)

2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题 (答案+解析)

2018-2019学年高二上学期期末考试一、单选题1．与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是（ ）A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--= D ．224680x y x y ++-+= 2．下列说法中正确的是（ ） A ．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则” B ．命题“，”的否定“，”C ．若为假命题，则，均为假命题D ．“”是“直线：与直线：平行”的充要条件 3．已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )A ．B ．C ．D ．4．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“”表示除以的余数，若输入的值分别为和，则执行该程序输出的结果为( )A ．B ．C ．D ．5．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( )A ．B ．C ．D ．6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，在1AF B ∆中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．在直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ． 9．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )A ．B ．C ．D ．10．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ） A ．254+ B ．9 C ．7 D ．252+点，若，则实数的值为（）A．B．C．2 D．312．已知双曲线22221x ya b-=的左、右顶点分别为,A B，P为双曲线左支上一点，ABP∆为等腰三角形且外接圆的半径为5a，则双曲线的离心率为（）A．155B．154C．153D．152二、填空题13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．14．过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆C的离心率等于______．15．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.三、解答题16．设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；17．为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了组昼夜温差与颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5温差（）10 11 13 12 8发芽数（颗）23 25 30 26 16经分析，这组数据具有较强的线性相关关系，因此该小组确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组数据求出线性回归方程，再用没选取的组数据进行检验.（1）若选取的是第组的数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）18．在一次商贸交易会上,某商家在柜台前开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有个红球和个白球的袋中无放回地取出个球,当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.(1)求甲乙恰有一人中奖的概率;(2)若甲计划在之间赶到,乙计划在之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.19．已知圆与圆关于直线+1对称．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程.20．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．21．已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题1．与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是（ ）A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--= D ．224680x y x y ++-+= 【答案】B【解析】试题分析：把原圆的方程写成标准方程为()()222310x y -++=，由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为：()()22223x y r -++=，把1,1x y ==-代入所设方程，得：()()22221213,5r r -+-+=∴=，所以所求的圆的方程为()()22235x y -++=，化简为：22-4680x y x y +++=，故选B.【考点】1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的. 2．下列说法中正确的是（ ） A ．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实B．命题“，”的否定“，”C．若为假命题，则，均为假命题D．“”是“直线：与直线：平行”的充要条件【答案】A【解析】根据命题的条件、结论及逆否命题的定义判断；根据特称命题的否定是全称命题判断，根据复合命题的真值表判断；根据平行线的性质判断.【详解】否定“若，则方程有实数根”条件与结论，再将否定后的条件与结论互换可得其逆否命题为“若方程无实数根，则”，正确；命题“，”的否定“，”，不正确；若为假命题，则至少有一个是假命题，不正确；“直线：与直线：平行”的充要条件是“或”,不正确，故选A.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查逆否命题的定义、特称命题的否定、复合命题的真值表、平行线的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.3．已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据焦点坐标求得、双曲线的渐近线方程，结合，利用待定系数法进行求解即可.【详解】对应的双曲线方程为，双曲线的一个焦点是，且，则，则，则，则，即双曲线的方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，属于基础题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.4．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“”表示除以的余数，若输入的值分别为和，则执行该程序输出的结果为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输.【详解】若输入的值分别为,则,不满足条件，循环；，余数为13 ,即，不满足条件，循环；，余数为0 ,即，满足条件，输出，故选A.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 5．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据抛物线的定义可求出的横坐标，代入抛物线方程解出的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，代入抛物线方程解得，，故选A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决..6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，利用对立事件概率计算公式，结合古典概型概率公式能求出向上的点数之和小于10的概率.【详解】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：共6个,出现向上的点数之和小于10的概率为，故选D.【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用以及对立事件概率计算公式的应用，属于中档题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.1AF B ∆中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】D【解析】由椭圆的定义得12128{8AF AF BF BF +=+=两式相加得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=16，又因为在△AF 1B 中，有两边之和是10， 所以第三边的长度为：16-10=6 故选D ． 8．在直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【详解】延长到点,使得,连接,则是平行四边形，可得,根据异面直线所成角的概念可知，所成的锐角即为所求的异面直线所成的角， 设三棱柱的棱长为1，则，在中，根据余弦定理可得，所以异面直线与所成角的余弦值为,故选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.9．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离 .【详解】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，取，得，点到平面的距离为，故选D.【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.10．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ） A ．254+ B ．9 C ．7 D ．252+ 【答案】B【解析】试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心1(1)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心5(4)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+;5(4)F ，关于x 轴的对称点)5(4F '-，，2241515()()PF PE PF PE EF -='-≤'=-+-+=，故4PF PE -+ 的最大值为549+= ，故选：B ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值． 11．已知抛物线的焦点为，直线与C 交于A 、B （A 在轴上方）两点，若，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．3【答案】D【解析】试题分析：由得或，即，，又，所以，，显然，即．故选D ．【考点】直线与抛物线的位置关系，向量的数乘．【名师点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． （3）直线与抛物线相交问题，如果含有参数，一般采用“设而不求”方法，但象本题则是直接把直线方程与抛物线方程联立方程组解得交点坐标，再进行相减的运算．12．已知双曲线22221x y a b-=的左、右顶点分别为,A B ， P 为双曲线左支上一点，ABP ∆为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为（ ）A ．155 B ．154 C ．153 D ．152【答案】C【解析】由题意知等腰ABP ∆中， ||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角．∵ABP ∆外接圆的半径为5a ， ∴225sin aa θ=， ∴5sin 5θ=， 25cos 5θ=， ∴25254253sin22,cos22155555θθ⎛⎫=⨯⨯==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭． 设点P 的坐标为(),x y ，则118cos2,sin255a ax a AP y AP θθ=+===， 故点P 的坐标为118,55a a ⎛⎫⎪⎝⎭．由点P在椭圆上得2222118551a aa b⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，整理得2223ba=，∴221513c bea a==+=．选C ．点睛：本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P的坐标是解题的突破口．在得到点P的坐标后根据点在椭圆上可得,a b间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．二、填空题13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．【答案】30【解析】由频率分布直方图得,分数在内的频率为：，分数在内的人数为：，故答案为.14．过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆C的离心率等于______．【答案】【解析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为,可得，结合即可求出椭圆的离心率.【详解】设，则①，②，是线段的中点，，直线的斜率是，所以，①②两式相减可得，即，，，故答案为.【点睛】本题考查椭圆的离心率，以及“点差法”的应用，属于中档题. 对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.15．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.【答案】2或【解析】设是的中点，连接，在平面内作，则，可证明平面，连接，则是与平面所成的角，设，利用平面所成的角的正弦值为，列方程求解即可.【详解】设是的中点，连接，平面，，为正三角形，，平面，在平面内作，则，平面，连接，则是与平面所成的角，设，在直角三角形中，，求得，，平面所成的角的正弦值为，,解得或，即的长为2或，故答案为2或.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及直线与平面所成的角，属于难题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.三、解答题16．设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】（1）利用的判别式小于零即可得结果；（2）化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.【详解】（1）命题是真命题，则若，，的取值范．（2）若命题是真命题，设，令，，当时取最大值，，又因为“”为真命题，“”为假命题，所以一真一假.①若真假，，且，则得；②若假真，则得，且，得．综上，实数的取值范围为或.【点睛】本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查函数的定义域、值域以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.17．为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了组昼夜温差与颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5温差（）10 11 13 12 8发芽数（颗）23 25 30 26 16经分析，这组数据具有较强的线性相关关系，因此该小组确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组数据求出线性回归方程，再用没选取的组数据进行检验.（1）若选取的是第组的数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）【答案】（1）（2）可靠【解析】(1)根据所给的数据,先做出的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程；(2)根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的.【详解】（1）由题意：，,．，故回归直线方程为：．(2)当时，，当时，，所以（1）中所得的回归直线方程是可靠的. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.18．在一次商贸交易会上,某商家在柜台前开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有个红球和个白球的袋中无放回地取出个球,当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.(1)求甲乙恰有一人中奖的概率;(2)若甲计划在之间赶到,乙计划在之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.【答案】（1）（2）【解析】(1)利用古典概型概率公式分别求出甲中奖与乙中奖的概率，利用对立事件的概率公式求出甲不中奖与乙不中奖的概率，然后利用独立事件概率公式、互斥事件的概率公式求解即可；(2)设甲乙到达时间分别为9:00起第小时,则.甲乙到达时间为正方形区域,甲比乙先到则需满足，利用线性规划以及几何概型概率公式可得结果.【详解】(1)记“甲取得三个球同色”为事件A,“乙取得三个球同色”为事件B,“甲乙恰有一人中奖”为事件C.所以A与B相互独立，记两红球为1,2号,四个白球分别为3,4,5,6号,从6个球中抽取3个的所有可能情况有个基本事件.其中事件A包括个基本事件故，所以所以.(2)设甲乙到达时间分别为9:00起第x,y小时,则0≤x≤,≤y≤1.甲乙到达时间(x,y)为图中正方形区域,甲比乙先到则需满足x<y,为图中阴影部分区域.设甲比乙先到为事件B,则P(B)=1-=.【点睛】本题主要考查古典概型、“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.19．已知圆与圆关于直线+1对称．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程.【答案】（1）;（2）或.【解析】（1）将圆化为标准方程，求出其圆心和半径，并求出圆心关于直线+1对称点的坐标，从而可得结果；（2）先验证斜率不存在时，直线符合题意；斜率存在时，由可求得的夹角，可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列方程可得到直线的斜率，由点斜式可得结果.【详解】（1）圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，圆心C1（2，0），半径r1=2，设圆的标准方程为，∵圆C1与圆C2关于直线y=x+1对称，所以，解得．故圆的方程为.（2），所以易得点到直线的距离为,当的斜率不存在时，的方程为，符合要求；当的斜率存在时，设的方程为，由得,故的方程为；综上，的方程为或.【点睛】本题主要圆的方程，直线的点斜式方程的应用，属于中档题.在解题过程中需要用“点斜式”、“斜截式”设直线方程时，一定不要忘记讨论直线斜率不存在的情况，这是解析几何解题过程中容易出错的地方.20．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)先证明平面FBC∥平面EAD，即证明FC∥平面EAD.(2)利用向量法求二面角A－FC－B的余弦值．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，∴AD∥BC，DE∥BF．∵AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，又AD∩DE＝D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，∴平面FBC∥平面EAD，又FC⊂平面FBC，∴FC∥平面EAD．(2)连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF为等边三角形，∵O为BD中点．所以FO⊥BD，O为AC中点，且F A＝FC，∴AC⊥FO，又AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD，∴OA、OB、OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，则BD＝2，OB＝1，OA＝OF＝，∴O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，F(0,0，)，∴＝(，0，)，＝(，1,0)，设平面BFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有∴令x＝1，则n＝(1，－，－1)，∵BD⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为＝(0,1,0)．∵二面角A－FC－B为锐二面角，设二面角的平面角为θ，∴cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，∴二面角A－FC－B的余弦值为．【点睛】（1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理计算能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）21．已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)由题意可求得b=1，a =，则椭圆方程为；(2)假设直线存在，设出直线的斜截式方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意和韦达定理可得满足题意的直线存在，直线方程为.试题解析：（1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a =故椭圆方程为（2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心设P（,）,Q（,）因为M（0,1），F（1,0），故，故直线l的斜率于是设直线l的方程为由得由题意知△＞0，即＜3，且由题意应有，又故解得或经检验，当时，△PQM不存在，故舍去；当时，所求直线满足题意综上，存在直线l，且直线l的方程为点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

江苏省昆山市2018-2019学年第一学期期中考试高二数学(解析版)

江苏省昆山市2018-2019学年第一学期期中考试高二数学(解析版)

昆山市2018-2019学年第一学期期中考试高二数学一、填空题1.已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为________.【答案】1【解析】【分析】根据直线倾斜角的定义可得，解出即可.【详解】∵倾斜角为90°的直线经过点，，∴，解得，故答案为1.【点睛】本题考查了倾斜角的应用，考查了基本概念，属于基础题．2.已知直线和直线平行，则的值为__________【答案】2【解析】【分析】根据直线平行的等量关系，解得结果.【详解】由题意得，所以，（-1舍）.【点睛】本题考查直线平行，考查基本分析求解能力，属基础题.3.若长方体的三个面的对角线分别为，则长方体的对角线长度为______________【答案】【解析】【详解】设长方体长宽高为，则，所以，即对角线长为.【点睛】本题考查长方体对角线长，考查基本分析求解能力，属基础题.4.直线被圆截得的弦长等于_______________【答案】【解析】根据垂径定理求弦长.【详解】因为，所以，因此圆心到直线距离为，弦长为【点睛】本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5.圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为_____________【答案】【解析】【分析】设圆标准方程形式，根据条件列方程组，解得结果.【详解】设,则，解得，所以圆的标准方程为.【点睛】本题考查圆得标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6.半径为的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为和，则这两个平面之间的距离是______________【答案】1或7【解析】【分析】先根据条件得球心到两平面距离，再根据两平面位置关系得结果.【详解】由题意得球心到两平面距离分别为，因此这两个平面之间的距离是或【点睛】本题考查球相关性质，考查基本分析求解能力，属基础题.7.过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线斜率为_______________【答案】8【解析】根据中点坐标公式求得弦端点坐标，再根据斜率公式求结果.【详解】设截得的线段AB,则，因为点为AB中点,所以，从而直线斜率为【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.8.如图，在棱长为的正方体中，四面体 D 的体积等于________【答案】【解析】【分析】根据割补法得结果.【详解】四面体 D 的体积等于正方体体积减去四个小三棱锥体积，即.【点睛】本题考查锥体体积，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，空间四边形中，平面，为1的等边三角形，，，为棱AC上的一个动点，则的最小值为_____________【答案】【解析】【分析】先展开，再在平面内利用余弦定理得结果.【详解】先将平面展开到平面,则的最小值为此时BD,.【点睛】本题考查利用展开图求距离最值，考查基本分析求解能力，属基础题.10.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是________________【答案】【解析】【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得PA+PB 的最大值．【详解】由题意可得A（0，0），由于直线mx﹣y﹣m+3=0，即 m（x﹣1）﹣y+3=0，显然经过定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ．∵|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]，∴|PA|+|PB|=sinθ+cosθ=2[sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴当θ+=时，2sin（θ+）取得最大值为 2，故答案为：2．【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属中档题．11.关于异面直线，有下列四个命题①过直线有且只有一个平面，使得②过直线有且只有一个平面，使得③在空间存在平面，使得，④在空间不存在平面，使得，其中，一定正确的是______________【答案】①③④【解析】【分析】根据异面直线定义说明命题正确①③④，举反例说明命题②错误.【详解】①过直线上任一点P作直线平行线,则直线必相交，即确定一个平面，因为若存在平面，使得，则，与为异面直线矛盾，故过直线有且只有一个平面，使得；②当时可得，这与不一定垂直矛盾，所以②错；③过直线上任一点P作直线平行线,则直线必相交，即确定一个平面，过直线上任一点Q作直线平行线,则直线必相交，即确定一个平面，因此平面平面，再任作平面，使得，，即得，；④若，，则,与为异面直线矛盾，所以不存在平面，使得，；综上，正确的是①③④【点睛】本题考查线面位置关系，考查基本分析判断与论证能力，属中档题.12.已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P做圆O的两条切线，切点为A、B，使得，则实数的取值范围是_____________【答案】【解析】设P(x，y)，sin∠OPA＝sin30°＝，则x2＋y2＝4 ①.又P在圆M上，则(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1 ②.由①②得1≤≤3，所以≤a≤.13.已知P为平面内一点，且，若，，则点P的横坐标等于________【答案】【分析】先根据条件化简得方程组，解得点P的横坐标.【详解】设，则由，得，即，解得【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若实数：满足，，则的最大值为_____________【答案】【解析】【分析】根据条件结构特征，转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系，再根据圆的几何性质求最值.【详解】因为，，所以在单位圆上，且因为，所以，因为,其中为AB中点.又因为,所以,即的最大值为【点睛】本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质，考查综合分析转化求解能力，属难题.二、解答题15.已知直线经过点且斜率为（1）求直线的一般式方程（2）求与直线平行，且过点的直线的一般式方程（3）求与直线垂直，且过点的直线的一般式方程【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先写点斜式方程，再化一般式，（2）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（3）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果.【详解】(1)(2)设所求方程为因为过点，所以(3) 设所求方程为因为过点，所以【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.16.如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为的内接圆柱（1）试用表示圆柱的高（2）当为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据比例关系求结果，（2）先列圆柱的全面积函数关系式，再根据二次函数性质求最值.【详解】（1）（2）圆柱的全面积当时，答：当时，圆柱的全面积最大，最大全面积为【点睛】本题考查圆柱全面积以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.17.如图，在直三棱柱中，点D为AB中点，，若,求证：（1）（2）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接交于，则根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果，（2）根据线面垂直判定定理依次证得即得结论.【详解】连接交于，连接DE,因为直三棱柱，所以四边形为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以,因为，所以（2）因为四边形为矩形，所以,又,所以,因为所以，因为四边形为矩形，，所以四边形为正方形，,因为所以.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18.如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，△为等边三角形，是中点，平面与棱交于点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（III）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，直接写出的值.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（Ⅰ）由为正方形，可得．再由线面平行的判定可得平面.．再由面面平行的性质可得；（Ⅱ）由为正方形，可得．结合面面垂直的性质可得平面．从而得到.．再由已知证得．由线面垂直的判定可得平面；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，利用等积法把用表示，则的值可求．【详解】（I）证明：因为正方形，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面平面，所以.（II）证明：因为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.因为为等边三角形，是中点，所以.因为平面，平面，，所以平面.（III）解：由（Ⅰ）知，则．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.如图，已知圆O的方程为，过点的直线与圆O交于点、，与负半轴交于点。

江苏省宿迁市2018-2019学年高二上学期期期末考试数学试题+扫描版含答案

江苏省宿迁市2018-2019学年高二上学期期期末考试数学试题+扫描版含答案
所以实数 满足 或 或 ，即 或
所以实数 的取值范围为 ..........................14分
16.解:(1) ， ， ....................................3分
(2) ...................9分
(3) .....................................13分
将 代入上述方程得： ............2分
解得 .............................................4分
则圆 的方程为 ..................................6分
(2)设点 的坐标为 ，
因为 ，所以
化简得： .................................................8分
所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程是 ，即 ....2分
(2)因为函数 ，所以
1°当 时， ，所以 在 上单调递增.
所以函数 在 上的最小值是 ............................4分
2°当 时，令 ，即 ，所以
令 ，即 ，所以
（i）当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 在 上的最小值是
（ii）当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调
递增，所以 在 上的最小值是
（iii）当 ，即 时， 在 上单调递减，
所以 在 上的最小值是 ............................7分
综上所述，当 时， 在 上的最小值是
当 时， 在 上的最小值是
当 时， 在 上的最小值是 ...................8分

2018-2019学年江苏省苏州市高二第一学期期末数学试卷〖详解版〗

2018-2019学年江苏省苏州市高二第一学期期末数学试卷〖详解版〗

2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）命题：∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝8x的焦点坐标为．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，三点A（1，0），B（a，3），C（0，2）共线，则实数a的值为．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，则OP的最小值为．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的标准方程为．7．（5分）函数f（x）＝e x﹣x的单调递增区间为．8．（5分）已知直线l，m及平面α，l⊄α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）9．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在“堑堵”ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，若“阳马”B﹣A1ACC1的体积为20cm3，则“堑堵”ABC﹣A1B1C1的体积为cm3．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，则该椭圆离心率为．11．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若m⊂β，α∥β，则m∥α．正确命题的序号是．12．（5分）已知y＝kx+b是函数f（x）＝lnx+x13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，B（0，），若在圆C上存在点P，使得∠14．（5分）若函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD＝BC ＝4，AB＝8，DC＝6．以A，B为焦点的双曲线（a＞0，b＞0）过C，D两点．（1）求双曲线的方程；（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程．16．（14分）如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AM＝MC，DN＝NF．（1）证明：MN∥平面BCF；（2）证明：MN⊥DC．17．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．（1）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；（2）已知点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若PM＝PO，求点P的坐标．18．（15分）光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2（k1，k2均为正常数）．如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上（不含A，B）．若物体P到光源A的距离为x．（1）试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；（2）当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，右准线方程为x＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A在第三象限内．M 为椭圆C的上顶点，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．①若直线l经过原点，且k1﹣k2＝，求点A的坐标；②若直线l过点（﹣2，﹣1），试探究k1+k2是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）＝alnx+b（x﹣1）（x﹣2），其中a，b∈R．（1）当b＝1时，若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的值；（2）当a＝1时．①若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求b的取值范围；②若存在实数x0＞1，使得f（x0）＜0，求b的取值范围．2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．2．【解答】解：抛物线y2＝8x的开口向右，P＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）．故答案为：（2，0）．3．【解答】解：由题意得：＝，解得：a＝﹣，故答案为：﹣．4．【解答】解：若方程表示的曲线为双曲线，则（2﹣k）（k﹣1）＜0，即（k﹣2）（k﹣1）＞0，解得k＜1，或k＞2，即k∈（﹣∞，1）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．5．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，∴OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离：d＝＝2．故答案为：2．6．【解答】解：A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的圆心为C（0，1），半径为r＝|AB|＝×＝，∴所求的圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝5．故答案为：x2+（y﹣1）2＝5．7．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣x的导数为f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＞0，即e x﹣1＞0，e x＞1＝e0，解得x＞0，故答案为：（0，+∞）．8．【解答】解：由“l⊥α“则直线l垂直平面α中的任意直线，又m⊂α，则“l⊥m”，即“l ⊥m”是“l⊥α”的必要条件，由“l⊥m”，则直线l不一定垂直平面α，即“l⊥m”是“l⊥α”的不充分条件，即“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件9．【解答】解：如图，连接A1C，根据等底等高，易得：＝，∵B﹣A1ACC1的体积为20cm3，∴ABC﹣A1B1C1的体积为30cm3，故答案为：30．10．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，可得：•＝﹣1，可得b2＝ac＝a2﹣c2，可得e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得e＝．故答案为：．11．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；在③中，若m⊂β，α∥β，则由面面平行的性质定理得m∥α，故③正确．故答案为：③．12．【解答】解：根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）＝+1，则f′（m）＝+1，则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（+1）（x﹣m），变形可得y＝（+1）x+lnm﹣1，又由切线的方程为y＝kx+b，则k＝+1，b＝lnm﹣1，则2k+b＝+2+lnm﹣1＝lnm++1，设g（m）＝lnm++1，其导数g′（m）＝﹣＝，在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm++1为减函数，在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm++1为增函数，则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；故答案为：ln2+2．13．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（0，），B（0，），使得∠APB＝60°，可知P在以AB为弦的一个圆上，圆的圆心在AB的中垂线上，半径为：＝2，则P的方程为：（x﹣1）2+y2＝22，或：（x+1）2+y2＝22，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，若在圆C上存在点P和，使得∠APB＝60°，就是两个圆有公共点，可得：≤r+2，并且解得r∈[﹣2，4+2]．故答案为：[﹣2，4+2]．14．【解答】解：f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1，∴f′（x）＝（x﹣a）（3x﹣a﹣2）令f′（x）＝0，解得x＝a或x＝，∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1有三个不同的零点，∴f（x）极大值f（x）极小值＜0，∴f（a）f（）＜0，即（﹣a+1）[（﹣1）（﹣a）2﹣a+1]＜0，整理可得（a﹣1）2（）＞0，即4（a﹣1）2﹣27＞0，解得a＜1﹣或a＞1+故答案为：（﹣∞，1﹣）∪（1+，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．【解答】解：（1）等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD＝BC＝4，AB＝8，DC＝6，等腰梯形的高为＝，可得A（﹣4，0），B（4，0），C（3，），D（﹣3，），则CA＝＝8，CB＝＝4，由2a＝CA﹣CB＝4，即a＝2，又AB＝8，即c＝4，b＝＝2，则双曲线的方程为﹣＝1；（2）双曲线的离心率e＝＝2；渐近线方程为y＝±x．16．【解答】解：（1）证明：取DC的三等分点P，使DP＝，∵，∴MP∥AD，∴MP∥BC，∴MP∥平面FBC，∵，∴NP∥FC，∴NP∥平面FBC，∴平面MNP∥平面FBC，∴MN∥平面FBC；（2）∵CD⊥CB，CD⊥CF，∴CD⊥平面FBC，∴CD⊥平面MNP，∴CD⊥MN，即MN⊥DC17．【解答】解：（1）根据题意，圆C切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，则设切线方程为x+y＝a（a≠0），又圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2，其圆心C（﹣1，2），半径r＝，则有＝，解可得：a＝﹣1或a＝3，故所求切线方程为x+y+1＝0或x+y﹣3＝0；（2）根据题意，由于PM为切线且M为切点，则PM2＝PC2﹣MC2，又由PM＝PO，则2PO2＝PC2﹣MC2，若点P（x1，y1），O（0，0），MC＝r＝，则（x1+2）2+（y1﹣2）2﹣2＝2（x12+y12），变形可得：x12+y12﹣2x1+4y1﹣3＝0，①，点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6上一点，则y1＝2x1﹣6，②联立①②可得：，变形可得：5x12﹣18x1+9＝0，解可得x1＝或x1＝3；当x1＝时，y1＝﹣，此时P的坐标为（，﹣），当x1＝3时，y1＝0，此时P的坐标为（3，0）则P的坐标为（，﹣）或（3，0）．18．【解答】解：（1）若物体P到光源A的距离为x，则物体P到光源B的距离为10﹣x，∵P在线段AB上且不与A，B重合，故0＜x＜10，∵光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，故P点受A光源的照度为：，P点受B光源的照度为：，故问题P收到A，B两光源的总照度y＝+，x∈（0，10）；（2）∵f（x）＝+，x∈（0，10），∴f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝，当0＜x＜时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）递减，当＜x＜10时，f′（x）＞0，故f（x）在（，10）递增，故当x＝时，f（x）取极小值，且是最小值，故在线段AB上距光源A为处，物体P受到A，B两光源的总照度最小．19．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，右准线方程为x＝，∴，解得．又∵，∴椭圆C的标准方程为；（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），M为椭圆的上顶点，则M（0，1），∵直线l经过原点，由椭圆对称性可知，B（﹣x1，﹣y1），∵点A（x1，y1）在椭圆上，∴，即．∵，＝．∴．∴，解得或．∵点A在第三象限角，∴k1＞，则k1＝1．则直线MA的方程为y＝x+1．联立，解得或，∴A（）．②直线l过点（﹣2，﹣1），设其方程为y+1＝k（x+2）．联立方程组，消去y可得（4k2+1）x2+8k（2k﹣1）x+16k（k﹣1）＝0．当△＞0时，由韦达定理可知，，．∴＝＝＝＝2k+（1﹣2k）＝1．20．【解答】解：（1）当b＝1时，f（x）＝alnx+（x﹣1）（x﹣2），f′（x）＝+2x﹣3，∵f（x）在x＝2处取极小值，故f′（2）＝0，解得：a＝﹣2，此时，f′（x）＝，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）在x＝2处取极小值，故a＝﹣2符合题意；（2）当a＝1时，∵f（x）＝lnx+b（x﹣1）（x﹣2），∴f′（x）＝，令g（x）＝2bx2﹣3bx+1，①∵f（x）在（1，2）递增，∴f′（x）≥0在（1，2）恒成立，即g（x）≥0在（1，2）恒成立，1°当b＝0时，则g（x）＝1，满足题意，2°当b≠0时，g（x）的对称轴是x＝＜1，故，解得：﹣≤b＜0或0＜b≤1，综上，实数b的范围是[﹣，1]；②1°当b＝0时，f（x）＝lnx，与题意不符，2°当b＜0时，取x0＝3﹣，则x0＞1，令h（x）＝lnx﹣x+1，则h′（x）＝﹣1，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）递增，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，故f（x0）＝lnx0+b（x0﹣1）（x0﹣2）≤（x0﹣1）+b（x0﹣1）（x0﹣2）＝2b﹣1＜0，故b＜0符合题意；3°当0＜b≤1时，∵g（x）＝2bx2﹣3bx+1在（1，+∞）递增且g（1）＝1﹣b≥0，故f′（x）＝≥0在（1，+∞）恒成立，故f（x）在（1，+∞）递增，故f（x）≥f（1）＝0恒成立，与题意不符；4°当b＞1时，∵g（1）＝1﹣b＜0，g（2）＝2b+1＞0，由零点存在性原理可知，存在x1∈（1，2），使得g（x1）＝0，故当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，取x0＝x1＞1，则f（x0）＜f（1）＝0，符合题意，综上，实数b的范围是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．。

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷(解析版)

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷(解析版)

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题：，的否定是______．【答案】，【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，的否定是：，．故答案为：，．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用．2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点坐标为______．【答案】【解析】解：抛物线的开口向右，，所以抛物线的焦点坐标．故答案为：．直接利用抛物线的标准方程，求解抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.在平面直角坐标系xOy中，三点，，共线，则实数a的值为______．【答案】【解析】解：由题意得：，解得：，故答案为：．根据斜率的公式以及三点共线得到关于a的方程，解出即可．本题考查了三点共线问题，考查直线的斜率问题，是一道常规题．4.在平面直角坐标系xOy中，方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】解：若方程表示的曲线为双曲线，则，即，解得，或，即，故答案为：．由双曲线方程的特点可得，解之可得k的范围．本题考查双曲线的简单性质，得出是解决问题的关键，属基础题．5.在平面直角坐标系xOy中，点在直线上，则OP的最小值为______．【答案】【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点在直线上，的最小值为点到直线的距离：．故答案为：．OP的最小值为点到直线的距离．本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.在平面直角坐标系xOy中，，，则以线段AB为直径的圆的标准方程为______．【答案】【解析】解：，，则以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为，所求的圆的标准方程为．故答案为：．求出线段AB的中点为圆心，半径为，再写出圆的标准方程．本题考查了圆的标准方程与应用问题，是基础题．7.函数的单调递增区间为______．【答案】【解析】解：函数的导数为，由，即，，解得，故答案为：．求出函数的导数，由导数大于0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间．本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题．8.已知直线l，m及平面，，，则“”是“”的______条件请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空【答案】必要不充分【解析】解：由““则直线l垂直平面中的任意直线，又，则“”，即“”是“”的必要条件，由“”，则直线l不一定垂直平面，即“”是“”的不充分条件，即“”是“”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件由线面垂直的性质定理可知：若““则直线l垂直平面中的任意直线，又，，得：“”是“”的必要条件，由线面垂直的判定定理可知：若“”，则直线l不一定垂直平面，本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属简单题9.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在“堑堵”中，，若“阳马”的体积为，则“堑堵”的体积为______．【答案】30【解析】解：如图，连接，根据等底等高，易得：，的体积为，的体积为，故答案为：30．连接，C，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，问题得解．此题考查了三棱柱，三棱锥的体积，难度不大．10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点若，则该椭圆离心率为______．【答案】【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点若，可得：，可得，可得，，解得．故答案为：．利用已知条件，推出方程求出椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面下列命题中：若，，则；若，，则；若，，则．正确命题的序号是______．【答案】【解析】解：由m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，则m与n相交、平行或异面，故错误；在中，若，，则或，故错误；在中，若，，则由面面平行的性质定理得，故正确．故答案为：．在中，m与n相交、平行或异面；在中，或；在中，由面面平行的性质定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知是函数的切线，则的最小值为______．【答案】【解析】解：根据题意，直线与函数相切，设切点为，函数，其导数，则，则切线的方程为：，变形可得，又由切线的方程为，则，，则，设，其导数，在区间上，，则为减函数，在上，，则为增函数，则，即的最小值为；故答案为：．根据题意，设切线的坐标为，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的方程为：，变形可得，分析可得，，进而可得，设，求出，利用函数的导数与单调性的关系，分析可得的最小值，即可得答案．本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：和点，，若在圆C上存在点P，使得，则半径r的取值范围是______．【答案】【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点，，使得，可知P在以AB为弦的一个圆上，圆的圆心在AB的中垂线上，半径为：，则P的方程为：，或：，已知圆C：，若在圆C上存在点P和，使得，就是两个圆有公共点，可得：，并且解得．故答案为：．点，，求出点P的轨迹方程，使得，通过两个圆的位置关系转化求解半径r的取值范围．本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．14.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：，令，解得或，有三个不同的零点，，极大值极小值，即，整理可得，即，解得或故答案为：求出导函数，利用函数的极值的符号，列出不等式组求解即可．本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用函数的导数的应用，极值的求法，考查分析问题解决问题的能力．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，，，，以A，B为焦点的双曲线过C，D两点．求双曲线的方程；写出该双曲线的离心率和渐近线方程．【答案】解：等腰梯形ABCD，，，，，等腰梯形的高为，可得，，，，则，，由，即，又，即，，则双曲线的方程为；双曲线的离心率；渐近线方程为【解析】由勾股定理求得等腰梯形的高，求出A，B，C，D的坐标，可得CA，CB的距离，由双曲线的定义可得a，再由a，b，c的关系可得b，即可得到双曲线的方程；由离心率公式和渐近线方程即可得到所求．本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查待定系数法和方程思想，以及运算能力，属于基础题．16.如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且，．证明：平面BCF；证明：．【答案】解：证明：取DC的三等分点P，使，，，，平面FBC，，，平面FBC，平面平面FBC，平面FBC；，，平面FBC，平面MNP，，即【解析】取DC的三等分点P，通过平面MNP平行平面FCB可得线面平行；利用DC垂直平面FBC，易证．此题考查了线面平行，线面垂直等，难度不大．17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：．若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；已知点为直线上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若，求点P的坐标．【答案】解：根据题意，圆C切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，则设切线方程为，又圆C：，其圆心，半径，则有，解可得：或，故所求切线方程为或；根据题意，由于PM为切线且M为切点，则，又由，则，若点，，，则，变形可得：，，点为直线上一点，则，联立可得：，变形可得：，解可得或；当时，，此时P的坐标为，当时，，此时P的坐标为则P的坐标为或．【解析】根据题意，利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；根据题意，由直线与圆的位置关系可得，又由，则，代入点的坐标可得，变形可得：，，又由点为直线上一点，则，，联立，解可得的值，进而计算可得的值，即可得答案．本题考查直线与圆的方程以及应用，涉及直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，属于基础题．18.光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为，与光源距离的平方成反比，比例系数为均为正常数如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上不含A，若物体P到光源A的距离为x．试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？【答案】解：若物体P到光源A的距离为x，则物体P到光源B的距离为，在线段AB上且不与A，B重合，故，光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，故P点受A光源的照度为：，P点受B光源的照度为：，故问题P收到A，B两光源的总照度，；，，，令，解得：，当时，，故在递减，当时，，故在递增，故当时，取极小值，且是最小值，故在线段AB上距光源A为处，物体P受到A，B两光源的总照度最小．【解析】反比求出P点受A光源的照度，P点受B光源的照度，求和即可；求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．19.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为．求椭圆C的标准方程；已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A在第三象限内为椭圆C的上顶点，记直线MA，MB的斜率分别为，．若直线l经过原点，且，求点A的坐标；若直线l过点，试探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【答案】解：椭圆的离心率为，右准线方程为，，解得．又，椭圆C的标准方程为；设，，M为椭圆的上顶点，则，直线l经过原点，由椭圆对称性可知，，点在椭圆上，，即．，．．，解得或．点A在第三象限角，，则．则直线MA的方程为．联立，解得或，直线l过点，设其方程为．联立方程组，消去y可得．当时，由韦达定理可知，，．．【解析】由已知列关于a，c的方程组，求解可得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆C的标准方程可求；设，，M为椭圆的上顶点，则，由椭圆对称性可知，由点在椭圆上，得到，求出，结合，可得，则直线MA的方程可求，再与椭圆方程联立即可求得A的坐标；直线l过点，设其方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可得到是定值．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.已知函数，其中a，．当时，若在处取得极小值，求a的值；当时．若函数在区间上单调递增，求b的取值范围；若存在实数，使得，求b的取值范围．【答案】解：当时，，，在处取极小值，故，解得：，此时，，当时，，递减，当时，，递增，故在处取极小值，故符合题意；当时，，，令，在递增，在恒成立，即在恒成立，当时，则，满足题意，当时，的对称轴是，故，解得：或，综上，实数b的范围是；当时，，与题意不符，当时，取，则，令，则，当时，，递增，当时，，递减，故，即，故，故符合题意；当时，在递增且，故在恒成立，故在递增，故恒成立，与题意不符；当时，，，由零点存在性原理可知，存在，使得，故当时，，递减，取，则，符合题意，综上，实数b的范围是．【解析】代入b的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点，从而求出a的值即可；代入a的值，求出函数的导数，通过讨论b的范围求出函数的单调区间，从而确定b的范围即可；通过讨论b的范围，求出函数的导数，结合函数的单调性确定b的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查分类讨论思想，转化思想以及函数恒成立问题，是一道综合题，。

2018-2019学年江苏省苏州市八年级(上)期末数学试卷(解析版)

2018-2019学年江苏省苏州市八年级(上)期末数学试卷(解析版)

2018-2019学年江苏省苏州市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列四个图标中，轴对称图案为（）A．B．C．D．2．（2分）下面四个实数中，是无理数的为（）A．0B．C．﹣2D．3．（2分）最“接近”（﹣1）的整数是（）A．0B．1C．2D．34．（2分）如图，在△ABC中，AD＝BD＝AC，∠B＝25°，则∠DAC为（）A．70°B．75°C．80°D．85°5．（2分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x与y＝3x﹣4的图象交于点P，则点P 的坐标为（）A．（﹣1，1）B．（1，﹣1）C．（2，﹣2）D．（﹣2，2）6．（2分）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③，2，．以每组数据分别作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的为（）A．①B．①②C．①③D．②③7．（2分）等腰三角形的底边长为24，底边上的高为5，它的腰长为（）A．10B．11C．12D．138．（2分）已知m为任意实数，则点A（m，m2+1）不在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限9．（2分）如图，函数y＝﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，∠BAO的平分线AC与y轴交于点C，则点C的纵坐标为（）A．B．C．2D．10．（2分）如图，已知P（3，2），B（﹣2，0），点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，）11．（2分）π﹣30.14．（填“＞”、“＜”或“＝”）12．（2分）27的立方根为．13．（2分）已知一次函数y＝kx+1的图象经过点P（﹣1，0），则k＝．14．（2分）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B、E，AE、BC相交于点F，AB ＝BC．若AB＝8，CF＝2，则CD＝．15．（2分）如图，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，2），则不等式kx+b＞mx+n的解集为．16．（2分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ADB为等边三角形，则∠ADC＝°．17．（2分）如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D 的对应点D′恰好在线段BE上．若AD＝3，DE＝1，则AB＝．18．（2分）如图，已知点A（a，0）在x轴正半轴上，点B（0，b）在y轴的正半轴上，△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC上的中点，若OD＝，则a+b＝．三、解答题（本大题共10小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.）19．（5分）计算：（﹣）2﹣+（﹣1）0．20．（5分）某人平均一天饮水1980毫升．（1）求此人30天一共饮水多少毫升？（2）用四舍五入法将（1）中计算得到的数据精确到10000，并用科学记数法表示．21．（5分）如图，已知AB⊥BC，AE⊥BE，CD⊥BE，垂足分别为B、E、D，AB＝BC．求证：BE＝CD．22．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数．23．（6分）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长为1，△ABC三个顶点都在格点上．（1）写出点A、B、C的坐标；（2）直线l经过点A且与y轴平行，画出△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1，连接BC1，求线段BC1的长．24．（6分）如图，在△ABD和△ABC中，∠ADB＝∠ACB＝90°，点E为AB中点，AB ＝8，CD＝4，点E、F关于CD成轴对称，连接FD、FC．（1）求证：△FDC为等边三角形；（2）连接EF，求EF的长．25．（8分）如图，已知直线l1：y＝kx+2与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，OA ＝1．直线l2：y＝﹣2x+4与x轴交于点D，与l1交于点C．（1）求直线l1的函数表达式；（2）求四边形OBCD的面积．26．（8分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥AB，AD＝2，AB+CD＝4，点E为BC的中点．（1）求四边形ABCD的面积；（2）若AE⊥BC，求CD的长．27．（8分）如图，在边长为12cm的正方形ABCD中，M是AD边的中点，点P从点A出发，在正方形边上沿A→B→C→D的方向以大于1cm/s的速度匀速移动，点Q从点D出发，在CD边上沿D→C方向以1cm/s的速度匀速移动，P、Q两点同时出发，当点P、Q相遇时即停止移动．设点P移动的时间为t（s），正方形ABCD与∠PMQ的内部重叠部分面积为y（cm2）．已知点P移动到点B处，y的值为96（即此时正方形ABCD与∠PMQ的内部重叠部分面积为96cm2）．（1）求点P的速度；（2）求y与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．28．（8分）如图①，A、B两个圆柱形容器放置在同一水平桌面上，开始时容器A中盛满水，容器B中盛有高度为1dm的水，容器B下方装有一只水龙头，容器A向容器B匀速注水．设时间为t（s），容器A、B中的水位高度h A（dm）、h B（dm）与时间t（s）之间的部分函数图象如图②所示．根据图中数据解答下列问题：（1）容器A向容器B注水的速度为dm3/s（结果保留π），容器B的底面直径m ＝dm；（2）当容器B注满水后，容器A停止向容器B注水，同时开启容器B的水龙头进行放水，放水速度为dm3/s．请在图②中画出容器B中水位高度h B与时间t（t≥4）的函数图象，说明理由；（3）当容器B注满水后，容器A继续向容器B注水，同时开启容器B的水龙头进行放水，放水速度为2πdm3/s，直至容器A、B水位高度相同时，立即停止放水和注水，求容器A向容器B全程注水时间t．（提示：圆柱体积＝圆柱的底面积×圆柱的高）2018-2019学年江苏省苏州市八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列四个图标中，轴对称图案为（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念解答．【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2分）下面四个实数中，是无理数的为（）A．0B．C．﹣2D．【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解．【解答】解：A、0是有理数，故选项错误；B、是无理数，故选项正确；C、﹣2是有理数，故选项错误；D、是有理数，故选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义．初中常见的无理数有三类：①π类；②开方开不尽的数，如；③有规律但无限不循环的数，如0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）．3．（2分）最“接近”（﹣1）的整数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】先估计的大小，进而解答即可．【解答】解：∵，∴，∴最“接近”（﹣1）的整数是0，故选：A．【点评】此题考查无理数的大小估计，关键是根据无理数对进行估计解答．4．（2分）如图，在△ABC中，AD＝BD＝AC，∠B＝25°，则∠DAC为（）A．70°B．75°C．80°D．85°【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠DAC的度数即可．【解答】解：∵△ABD中，AD＝BD，∠B＝25°，∴∠BAD＝25°，∴∠ADC＝25°×2＝50°，∵AD＝AC，∴∠C＝50°，∴∠DAC＝180°﹣50°×2＝80°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．5．（2分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x与y＝3x﹣4的图象交于点P，则点P 的坐标为（）A．（﹣1，1）B．（1，﹣1）C．（2，﹣2）D．（﹣2，2）【分析】联立两一次函数的解析式求出x、y的值即可得出P点坐标．【解答】解：解得，，∴点P的坐标为（1，﹣1），故选：B．【点评】本题考查的是两条直线相交或平行问题．正确的得出方程组的解是解答此题的关键．6．（2分）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③，2，．以每组数据分别作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的为（）A．①B．①②C．①③D．②③【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：①22+32≠42，故不能构成直角三角形；②42+32＝52，故能构成直角三角形；③（）2+22＝（）2，故能构成直角三角形；故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．7．（2分）等腰三角形的底边长为24，底边上的高为5，它的腰长为（）A．10B．11C．12D．13【分析】根据题意画出图形，根据等腰三角形的性质得出BD的长，由勾股定理求出AB 的长即可．【解答】解：如图所示，∵△ABC是等腰三角形，且AB＝AC，AD是底边BC的高，∴BD＝BC＝×24＝12，∴AB＝＝＝13．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．8．（2分）已知m为任意实数，则点A（m，m2+1）不在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【分析】根据非负数的性质判断出点A的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵m2≥0，∴m2+1＞0，∴点A（m，m2+1）不在第三、四象限．故选：D．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．9．（2分）如图，函数y＝﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，∠BAO的平分线AC与y轴交于点C，则点C的纵坐标为（）A．B．C．2D．【分析】过点C作CF⊥BA，由题意可得AO＝4，BO＝3，根据“AAS”可证△ACF≌△ACO，可得CO＝CF，AO＝AF＝4，再根据勾股定理可求OC的长，即可得点C的纵坐标．【解答】解：如图，过点C作CF⊥BA，∵y＝﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，∴点A坐标为（4，0），点B坐标为（0，3），∴AO＝4，BO＝3，在Rt△ABO中，AB＝＝5，∵AC平分∠BAO，∴∠FAC＝∠OAC，且AC＝AC，∠CFA＝∠COA＝90°，∴△ACF≌△ACO（AAS）∴CO＝CF，AO＝AF＝4∴BF＝1，在Rt△BCF中，BC2＝BF2+CF2，∴（3﹣CO）2＝1+CO2，∴CO＝故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关的性质定理进行推理是本题的关键．10．（2分）如图，已知P（3，2），B（﹣2，0），点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，可得四边形ABNM是平行四边形，根据当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP 的长，即BN+PM的最小值等于AP长，可得PM、MN、NB长度之和最小，再根据待定系数法求得AP的解析式，即可得到点M的坐标．【解答】解：如图，将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，则BN＝AM，∴四边形ABNM是平行四边形，∴MN＝AB＝1，∴当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM 的最小值等于AP长，此时PM、MN、NB长度之和最小，∵P（3，2），B（﹣2，0），AB＝1，∴A（﹣1，0），设AP的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝x+，令x＝0，则y＝，即M（0，），故选：A．【点评】本题主要考查了最短路线问题以及待定系数法的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，）11．（2分）π﹣3＞0.14．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】直接得出π的近似值，进而得出答案．【解答】解：∵π≈3.14159，∴π﹣3≈0.14159，∴π﹣3＞0.14．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确得出π的近似值是解题关键．12．（2分）27的立方根为3．【分析】找到立方等于27的数即可．【解答】解：∵33＝27，∴27的立方根是3，故答案为：3．【点评】考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．13．（2分）已知一次函数y＝kx+1的图象经过点P（﹣1，0），则k＝1．【分析】将点P坐标代入解析式可求k的值．【解答】解：∵一次函数y＝kx+1的图象经过点P（﹣1，0），∴0＝﹣k+1∴k＝1故答案为：1【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式．14．（2分）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B、E，AE、BC相交于点F，AB ＝BC．若AB＝8，CF＝2，则CD＝10．【分析】先利用垂直得到∠ABF＝∠CEF＝90°，再证明∠A＝∠C，然后根据“ASA”可以判断△ABF≌△CBD，从而得到BF＝BD，求出BC，BD，利用勾股定理即可解决问题．【解答】证明：∵CB⊥AD，AE⊥DC，∴∠ABF＝∠CEF＝90°，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBD中，∴△ABF≌△CBD（ASA），∴BF＝BD，∵AB＝BC＝8，CF＝2，∴BF＝BD＝8﹣2＝6，在Rt△BCD中，CD＝＝＝10，故答案为10．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（2分）如图，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，2），则不等式kx+b＞mx+n的解集为x＞1．【分析】观察函数图象得到，当x＞1时，一次函数y＝kx+b的图象都在一次函数y＝mx+n 的图象的上方，由此得到不等式kx+b＞mx+n的解集．【解答】解：不等式kx+b＞mx+n的解集为x＞1．故答案为：x＞1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．16．（2分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ADB为等边三角形，则∠ADC＝135°．【分析】利用等腰三角形的性质分别求出∠ADB，∠BDC即可解决问题．【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BA＝BD，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴BD＝BC，∠CBD＝30°，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°，故答案为135．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（2分）如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D 的对应点D′恰好在线段BE上．若AD＝3，DE＝1，则AB＝5．【分析】由折叠的性质可得AD＝AD'＝3，DE＝D'E＝1，∠DEA＝∠D'EA，根据矩形的性质可证∠EAB＝∠AEB，即AB＝BE，根据勾股定理可求AB的长．【解答】解：∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD＝AD'＝3，DE＝D'E＝1，∠DEA＝∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA＝∠EAB，∴∠EAB＝∠AEB，∴AB＝BE，∴D'B＝BE﹣D'E＝AB﹣1，在Rt△ABD'中，AB2＝D'A2+D'B2，∴AB2＝9+（AB﹣1）2，∴AB＝5故答案为：5【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．18．（2分）如图，已知点A（a，0）在x轴正半轴上，点B（0，b）在y轴的正半轴上，△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC上的中点，若OD＝，则a+b＝2．【分析】作CP⊥x轴于点P，由余角的性质得到∠OBA＝∠PAC，根据全等三角形的性质得到AP＝OB＝b，PC＝OA＝a．于是得到C点坐标是（a+b，a），求得D（，），根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图：作CP⊥x轴于点P，∴∠APC＝90°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠CAP＝90°，∴∠OBA＝∠PAC，在△OBA和△PAC中，，∴△OBA≌△PAC（AAS），∴AP＝OB＝b，PC＝OA＝a．由线段的和差，得OP＝OA+AP＝a+b，即C点坐标是（a+b，a），∵B（0，b），C（a+b，a），∵D是BC的中点，得D（，），∵OD＝，∴（）2+（）2＝2，∴a+b＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．三、解答题（本大题共10小题，共64分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.）19．（5分）计算：（﹣）2﹣+（﹣1）0．【分析】直接利用立方根以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3﹣2+1＝2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（5分）某人平均一天饮水1980毫升．（1）求此人30天一共饮水多少毫升？（2）用四舍五入法将（1）中计算得到的数据精确到10000，并用科学记数法表示．【分析】（1）用天数乘以日饮水量即可求得总饮水量；’（2）先用科学记数法表示，然后根据近似数的精确度求解．【解答】解：（1）∵平均一天饮水1980毫升，∴30天一共饮水30×1980＝59400毫升；（2）59400≈6×104（精确到10000）．【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．21．（5分）如图，已知AB⊥BC，AE⊥BE，CD⊥BE，垂足分别为B、E、D，AB＝BC．求证：BE＝CD．【分析】欲证明BE＝CD，只要证明△ABE≌△BCD（AAS）即可解决问题；【解答】证明：∵AB⊥BC，AE⊥BE，CD⊥BE，∴∠AEC＝∠CDB＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD，在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD（AAS），∴BE＝CD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．22．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数．【分析】依据线段垂直平分线的性质，可得∠A＝∠ABD＝2∠CBD，设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠CBD＝α，依据三角形内角和定理，即可得到∠A的度数．【解答】解：∵DE为AB的垂直平分线，∴∠A＝∠ABD，又∵∠ABD＝2∠CBD，∴∠A＝∠ABD＝2∠CBD，设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠CBD＝α，又∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，即α+α+α＝90°，解得α＝36°，∴∠A＝36°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．23．（6分）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长为1，△ABC三个顶点都在格点上．（1）写出点A、B、C的坐标；（2）直线l经过点A且与y轴平行，画出△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1，连接BC1，求线段BC1的长．【分析】（1）依据△ABC三个顶点的位置，即可得到点A、B、C的坐标；（2）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1，依据勾股定理进行计算，即可得出线段BC1的长．【解答】解：（1）A（1，1），B（3，4），C（4，2）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；由勾股定理可得，BC1＝＝．【点评】本题主要考查了勾股定理以及轴对称性质的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．24．（6分）如图，在△ABD和△ABC中，∠ADB＝∠ACB＝90°，点E为AB中点，AB ＝8，CD＝4，点E、F关于CD成轴对称，连接FD、FC．（1）求证：△FDC为等边三角形；（2）连接EF，求EF的长．【分析】（1）首先证明CD＝DE＝EC，再证明FD＝FC＝DC即可．（2）连接EF，设EF交CD于点O．分别求出OE，OF即可解决问题．【解答】（1）证明：连接DE，EC．∵∠ADB＝∠ACB＝90°，AE＝EB，∴DE＝EC＝AB＝4，∵CD＝4，∴DE＝EC＝CD＝4，∴△DEC是等边三角形，∵E，F关于CD对称，∴DF＝DE，FC＝CE，∴DF＝FC＝CD，∴△DFC是等边三角形，（2）解：连接EF，设EF交CD于点O．∵△DCE，△DFC都是等边三角形，边长为4，∴FD＝FC＝ED＝EC，∴EF⊥CD，∴OE＝×4＝2，OF＝×4＝2，∴EF＝4．【点评】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．25．（8分）如图，已知直线l1：y＝kx+2与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，OA ＝1．直线l2：y＝﹣2x+4与x轴交于点D，与l1交于点C．（1）求直线l1的函数表达式；（2）求四边形OBCD的面积．【分析】（1）由已知得到A（﹣1，0），把（﹣1，0）代入y＝kx+2即可得到结论；（2）解方程组得到C （，3），根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵OA ＝1，∴A （﹣1，0），把（﹣1，0）代入y ＝kx +2得，k ＝2，∴直线l 1的函数表达式为：y ＝2x +2；（2）解得，∴C （，3），∵B （0，2），∴OB ＝2，当y ＝0时，﹣2x +4＝0，∴x ＝2，∴D （2，0），∴AD ＝3，∴四边形OBCD 的面积＝S △ACD ﹣S △AOB ＝×3×3﹣×1×2＝．【点评】本题考查了两条直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．26．（8分）如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AD ＝2，AB +CD ＝4，点E 为BC 的中点．（1）求四边形ABCD 的面积；（2）若AE ⊥BC ，求CD 的长．【分析】（1）作辅助线，构建三角形全等，将四边形ABCD 的面积转化为三角形DAF 的面积来解答；（2）连接AC ，设CD ＝x ，根据勾股定理列方程可解答．【解答】解：（1）如图1，连接DE 并延长，交AB 的延长线于F ，∵DC ∥AB ，∴∠C ＝∠EBF ，∵CE ＝BE ，∠DEC ＝∠FEB ，∴△DCE ≌△FBE （ASA ），∴BF ＝DC ，∵AB +CD ＝4，∴AB +BF ＝4＝AF ，∴S 四边形ABCD ＝S 四边形ABED +S △DCE ＝S 四边形ABED +S △EBF ＝S △DAF ＝＝＝4；（2）如图2，连接AC ，∵CE ＝BE ，AE ⊥BC ，∴AC ＝AB ，设CD ＝x ，则AB ＝AC ＝4﹣x ，Rt △ACD 中，由勾股定理得：CD 2+AD 2＝AC 2，x 2+22＝（4﹣x ）2，x ＝，∴CD ＝．【点评】本题考查了直角梯形的性质，还考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能正确作辅助线是解此题的关键．27．（8分）如图，在边长为12cm的正方形ABCD中，M是AD边的中点，点P从点A出发，在正方形边上沿A→B→C→D的方向以大于1cm/s的速度匀速移动，点Q从点D出发，在CD边上沿D→C方向以1cm/s的速度匀速移动，P、Q两点同时出发，当点P、Q相遇时即停止移动．设点P移动的时间为t（s），正方形ABCD与∠PMQ的内部重叠部分面积为y（cm2）．已知点P移动到点B处，y的值为96（即此时正方形ABCD与∠PMQ的内部重叠部分面积为96cm2）．（1）求点P的速度；（2）求y与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据正方形的性质得到∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝12，AM＝AD＝6，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）分三种情况：当点P在边AB上时，当点P在边BC上时，当点P在边CD上时，列函数关系式即可．【解答】解：（1）∵在边长为12cm的正方形ABCD中，M是AD边的中点，∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝12，AM＝AD＝6，∴根据题意得，12×12﹣×12×6﹣×6t＝96，解得：t＝4，∴点P的速度为＝3cm/s；（2）当点P在边AB上时，y＝12×12﹣×6×3t﹣×6t＝144﹣12t（0≤t≤4）；当点P在边BC上时，y＝×（24﹣3t）×12+×6×（12﹣t）＝180﹣21t（4＜t≤8）；当点P在边CD上时，y＝×（36﹣4t）×6＝﹣12t+108（8＜t≤9）；综上所述，y与t的函数关系式为：y＝．【点评】本题考查了正方形的性质，根据实际问题列函数关系式，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．28．（8分）如图①，A、B两个圆柱形容器放置在同一水平桌面上，开始时容器A中盛满水，容器B中盛有高度为1dm的水，容器B下方装有一只水龙头，容器A向容器B匀速注水．设时间为t（s），容器A、B中的水位高度h A（dm）、h B（dm）与时间t（s）之间的部分函数图象如图②所示．根据图中数据解答下列问题：（1）容器A向容器B注水的速度为dm3/s（结果保留π），容器B的底面直径m＝2dm；（2）当容器B注满水后，容器A停止向容器B注水，同时开启容器B的水龙头进行放水，放水速度为dm3/s．请在图②中画出容器B中水位高度h B与时间t（t≥4）的函数图象，说明理由；（3）当容器B注满水后，容器A继续向容器B注水，同时开启容器B的水龙头进行放水，放水速度为2πdm3/s，直至容器A、B水位高度相同时，立即停止放水和注水，求容器A向容器B全程注水时间t．（提示：圆柱体积＝圆柱的底面积×圆柱的高）【分析】（1）注水速度＝注水体积÷注水时间，圆柱体积＝圆柱的底面积×圆柱的高，代入公式求解即可．（2）放水时间＝放水体积÷放水速度，求出时间补全图象．（3）圆柱的高＝圆柱体积÷圆柱的底面积，代入公式求解．【解答】解：（1）由图象可知，4秒，A容器内水的高度下降了1dm，V＝sh＝π（）2•1＝3π，则注水速度u＝＝，由图象可知，4秒，B容器内水的高度上升了3dm，B容器增加的水的体积等于A容器减少的水的体积，V1＝sh＝π（）2•3＝，∴＝3π，∴d＝2．故答案为；2．（2）注满后B容器中水的总体积为：4π，∵放水速度为dm3/s，∴放空所需要的时间为：4π÷（）＝16．（3）A容器内水的高度：B容器内水的高度：∴＝解得，t＝6，∴容器A向容器B全程注水时间t为6s．【点评】此题考查了一次函数与注水的相关问题，注水速度＝注水体积÷注水时间，圆柱体积＝圆柱的底面积×圆柱的高，这两个公式为解题关键．。

2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1690)

2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1690)

铁门关市第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42． 若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+，则当14x y+取最小值时，CM CN ⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33． 函数f （x ）=ax 2+bx 与f （x ）=log x （ab ≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 下列命题正确的是（ ）A ．很小的实数可以构成集合.B ．集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合.C ．自然数集 N 中最小的数是.D ．空集是任何集合的子集.5． 若实数x ，y 满足不等式组则2x+4y 的最小值是（ ）A ．6B ．﹣6C ．4D ．26． 已知函数1)1(')(2++=x x f x f ，则=⎰dx x f 1)(（ ）A ．67-B ．67C ．65D ．65- 【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等.7． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的面积的最大值为4，则此时△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形8． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k ∈Z ）（ ）A ．k360°+463°B ．k360°+103°C ．k360°+257°D ．k360°﹣257°9． 已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017等于（ ） A ．2017 B ．﹣8 C ．D ．10．某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）A ．80B ．40C ．60D ．2011．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A ．四棱柱B ．四棱锥C ．三棱台D ．三棱柱12．设函数F （x ）=是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ）对于x ∈R 恒成立，则（ ） A ．f （2）＞e 2f （0），f B ．f （2）＜e 2f （0），f C ．f （2）＞e 2f （0），fD ．f （2）＜e 2f （0），f二、填空题13．经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为 ．14．-23311+log 6-log 42（）= . 15．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．16．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为 ．17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）＝lnx －mx（m ∈R ）在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________．18．已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=（ ）A ．2B ．3C ．2D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．三、解答题19．已知f （x ）=|﹣x|﹣|+x|（Ⅰ）关于x 的不等式f （x ）≥a 2﹣3a 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若f （m ）+f （n ）=4，且m ＜n ，求m+n 的取值范围．20．2015年第7届女足世界杯在加拿大埃德蒙顿联邦体育场打响，某连锁分店销售某种纪念品，每件纪念品的成本为4元，并且每件纪念品需向总店交3元的管理费，预计当每件纪念品的售价为x元（7≤x≤9）时，一年的销售量为（x﹣10）2万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件纪念品的售价x的函数关系式L（x）；（Ⅱ）当每件纪念品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．21．设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最大值；（Ⅲ）当时，g（x）≤t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．22．已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域；（2）判断并证明f（x）的奇偶性；（3）求证：f（）=﹣f（x）．23．已知函数f（x）=lg（2016+x），g（x）=lg（2016﹣x）（1）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明．（2）求使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合．24．已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．铁门关市第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：设数列{a n }的公差为d ，则由a 1+a 5=10，a 4=7，可得2a 1+4d=10，a 1+3d=7，解得d=2， 故选B ．2． 【答案】D 【解析】试题分析：由题知(1)CB BM CM CB xCA y =-=+-，BA CA CB =-；设BM k B A =，则,1x k y k =-=-，可得1x y +=，当14x y+取最小值时，()141445x yx y x y x y y x⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，最小值在4y x x y =时取到，此时21,33y x ==，将()1,CN 2CM xCA yCB CA CB =+=+代入，则()22111233322233x y CM CN xCA yCB CA CB x y +⎛⎫⋅=++⋅=+=+= ⎪⎝⎭.故本题答案选D.考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式． 3． 【答案】 D【解析】解：A 、由图得f （x ）=ax 2+bx 的对称轴x=﹣＞0，则，不符合对数的底数范围，A 不正确；B 、由图得f （x ）=ax 2+bx 的对称轴x=﹣＞0，则，不符合对数的底数范围，B 不正确；C 、由f （x ）=ax 2+bx=0得：x=0或x=，由图得，则，所以f （x ）=log x在定义域上是增函数，C 不正确；D 、由f （x ）=ax 2+bx=0得：x=0或x=，由图得，则，所以f（x ）=logx 在定义域上是减函数，D 正确．【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力．4． 【答案】D 【解析】试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D是正确，故选D.考点：集合的概念；子集的概念.5．【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点C时，直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即C（3，﹣3），此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．6．【答案】B7．【答案】A【解析】解：∵（acosB+bcosA）=2csinC，∴（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，∴sinC=2sin2C，且sinC＞0，∴sinC=，∵a+b=8，可得：8≥2，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）∵△ABC的面积的最大值S△ABC=absinC≤=4，∴a=b=4，则此时△ABC的形状为等腰三角形．故选：A．8．【答案】C【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k∈Z）即：k360°+257°，（k∈Z）故选C【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．9．【答案】D【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x+4）=f（x），即函数的周期是4．∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1），∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，∴f（1）=f（﹣1）=，∴a2017=f（1）=，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．10．【答案】B【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，∴三年级要抽取的学生是×200=40，故选：B．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．11．【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，直角梯形的上下底分别为3和4，直角腰为1，棱柱的侧棱长为1，故选A.考点：三视图【方法点睛】本题考查了三视图的问题，属于基础题型，三视图主要还是来自简单几何体，所以需掌握三棱锥，四棱锥的三视图，尤其是四棱锥的放置方法，比如正常放置，底面就是底面，或是以其中一个侧面当底面的放置方法，还有棱柱，包含三棱柱，四棱柱，比如各种角度，以及以底面当底面，或是以侧面当底面的放置方法，还包含旋转体的三视图，以及一些组合体的三视图，只有先掌握这些，再做题时才能做到胸有成竹.12．【答案】B【解析】解：∵F（x）=，∴函数的导数F′（x）==，∵f′（x）＜f（x），∴F′（x）＜0，即函数F（x）是减函数，则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜e2f（0），f，故选：B二、填空题13．【答案】x=﹣3．【解析】解：经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为：x=﹣3．故答案为：x=﹣3．14．【答案】33 2【解析】试题分析：原式=233331334log log16log16log1622+=+=+=+=。

2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题+答案

2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题+答案

参考答案一、选择题，每小题5分，共60分.1-12、CDACD ACBBA BD二、填空题，每小题5分，共20分.13. 2 14. 85 15. 18 16. ②③ 三、解答题，共70分.17. 解：（Ⅰ）由题意知)5,8(),21,1(A D - ∴ k AD =2118215=+-………………………………3′ ∴ 直线AD 的方程为)8(215-=-x y ………………………5′ 即 x-2y+2=0 ………………………………6′（Ⅱ）由已知得 k BC =21)6(432-=---- ……………………………7′ ∴ k AE =2 ………………………………9′∴ 直线AE 的方程为y-5=2(x-8) ……………………………11′即 2x-y-11=0 ……………………………12′18. 解：（Ⅰ）6)108642(51=++++=x 10)5.475.91316(51=++++=y ………2′ 45.165)1006436164(3004556575232ˆ2-=⨯-++++-++++=b ………………………4′ 7.186)45.1(10ˆ=⨯--=a………………………5′ ∴ y 关于x 的回归直线方程为7.1845.1ˆ+-=x y……………………6′ （Ⅱ）由题意知 )2.1775.105.0(7.1845.12+--+-=x x x z=5.13.005.02++-x x ……………………9′∴ 3)05.0(23.0=-⨯-=x 时，z 最大. ∴ x=3时，销售利润取最大值. ……………………12′19. 解：（Ⅰ）如图 ………1′已知AO m m A PA O PO ⊥⊂⊥,,,ααα于交平面于 ……………………3′ 求证：PA m ⊥ ……………………………4′证明：PAO m AO m m PO m PO 平面又平面∵⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα PA m ⊥∴ ……………………………8′（Ⅱ）逆命题：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直. ………………………10′逆命题是真命题 ……………………………12′20. 解：（Ⅰ）由题意知，直线AB 的方程为y-2=k(x-0) 即y=kx+2 ……………………1′代入圆方程，整理得： 036)124()1(22=+-++x k x k ………………3′∵ A 、B 是不同两点， ∴ △=036)1(4)124(22>⋅+--k k ……………4′解得 043<<-k ∴ k 的取值范围为)0,43(- ……………………6′ （Ⅱ）∵ P （0,2）， Q （6,0） ∴ )2,6(-=PQ ……………………7′设 A(x 1，y 1) B(x 2，y 2), 由（Ⅰ）知2211412kk x x +-=+ ∴ 221212114124)(22k k x x k kx kx y y ++=++=+++=+ ∴ )14121412(22k k k k OB oA +++-=+， ……………………9′ 要OB OA +与PQ 共线，则221412214126k k k k +-⋅-=++⋅解得 43-=k ……………………11′ 由（Ⅰ）知)0,43(-∈k ∴ 不存在常数k ，使OB OA +与PQ 共线. ……………………12′21. 解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O ，连接EO∵ 正方形ABCD ，∴⇒⎭⎬⎫中点是中点是PC E AC O （Ⅱ）z y,x ,DP DC,DA,D 分别为为原点，射线以轴的正半轴建立直角坐标系设PD =DC=1,易知：D （0，0，0），A （1，0，0），C （0，1，0），B （1，1，0），P（0，0，1）∴ )1,1,1(),21,21,0(),21,21,0(--==PB DE E EFD PB EF PB DE PB PB DE 平面∵又⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥∴=⋅,0 ……………………7′ （Ⅲ）由（Ⅱ）可知：)0,0,1(),0,1,0(),1,1,1(-==--=BC AB PB设平面PAB 的法向量为m=（x,y,z ）,则⎩⎨⎧==+--00x y z y ∴x=z,y=0，取m =(1,0,1) ……………………9′ 同理可得平面PCB 的法向量n =(0,1,1)21221,cos =⋅>=<n m ∴ ︒60的夹角为与n m ……………………11′EDB PA EDB PA EDB EO PA EO 平面∥平面平面∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ ……………3′结合图形可知，二面角A —PB —C 为120° ……………………12′22. 解：（Ⅰ）区域D 如图……………………2′)1(01---=+=x y x y z 即连线的斜率与定点为动点)0,1(),(z -P y x ……………………4′∴ 2)1(002z =---=PB k 的最大值为 ……………………5′ （Ⅱ）由（Ⅰ）知A （2,0），B （0,2），C （4,4）设 △ABC 的外接圆方程为022=++++F Ey Dx y x 代入各点得⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=++04432024024F E D F E F D ……………………7′ 解得： 314-==E D 316=F ∴ △ABC 的外接圆方程为0316********=+--+y x y x ………………10′。

学易金卷：段考模拟君之2019学年高二理科数学上学期期末原创卷04(考试版)

学易金卷：段考模拟君之2019学年高二理科数学上学期期末原创卷04(考试版)

高二理科数学试题 第1页（共6页） 高二理科数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前|学科网试题命制中心2018-2019学年上学期期末原创卷04高二理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教必修3+选修2-1。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需的时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为 A ．分层抽样，简单随机抽样 B ．简单随机抽样，分层抽样 C ．分层抽样，系统抽样D ．简单随机抽样，系统抽样2．若点(1,2)P --在抛物线y =ax 2(a ∈R ,a ≠0)的准线上，则实数a 的值为 A ．8B ．18C ．4D ．143．用秦九韶算法计算多项式6532()25238103,4f x x x x x x x =++-+-=-时，4v 的值为 A ．92B ．1529C ．602D ．148-4．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数4, 5.6x y ==，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是 A ．0.44y x =+B ． 1.20.7y x =+C ．0.68y x =-+D ．0.78.2y x =-+5．已知命题p :方程22153x y k k+=+-表示椭圆，命题q :-5<k <3，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是 A ．34B ．23C ．12D ．137．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与x 2+(y -2)2=1没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1,+∞)D ．(2,+∞)8．有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计,通过分层抽样抽取一些样本进行数据分析,如果在区间[2,4)内抽取2个样本,那么在区间[10,12)内应抽取的样本个数为A ．2B ．4C ．6D ．99．2018年平昌冬季奥运会于2月9日~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P ，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟在长为8，宽为5的长方形内随机取了N 个点，经统计，落入五环及其内部的点数为，圆环半径为1，则比值的近似值为A ．325πnNB ．32πnNC ．8πnND ．5π32nN。

2018-2019学年江苏省宿迁市高二上学期期期末考试数学试题 扫描版

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高二数学参考答案与评分标准1.错误！未找到引用源。

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令 f′（x）＝0，解得 x＝a 或 x
，
∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1 有三个不同的零点，
∴（x）极大值 f（x）极小值＜0，
∴f（a）f（ ）＜0，
-7-
即（﹣a+1）[（
1）（
a）2﹣a+1]＜0，
整理可得（a﹣1）2（
）＞0，
即 4（a﹣1）2﹣27＞0 且 a ,
解得 a＜1 或 a＞1
【答案】 或
【解析】
【分析】
由双曲线方程的特点可得（2﹣k）（k﹣1）＜0，解之可得 k 的范围．
【详解】若方程
表示的曲线为双曲线，
则（2﹣k）（k﹣1）＜0，即（k﹣2）（k﹣1）＞0，
解得 k＜1 或 k＞2，
故答案为：k＜1 或 k＞2．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程的应用，得出（2﹣k）（k﹣1）＜0 是解决问题的关键，属于基础题．
半径为 r |AB|
，
∴所求的圆的标准方程为 x2+（y﹣1）2＝5．
故答案为：x2+（y﹣1）2＝5．
【点睛】本题考查了圆的标准方程与应用问题，考查了两点间的距离公式，是基础题．
7.函数
的单调递增区间为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导数，由导数大于 0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间． 【详解】函数 f（x）＝ex﹣x 的导数为 f′（x）＝ex﹣1，
【答案】（1）
（2）离心率 ,渐近线方程为
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理求得等腰梯形的高，求出 A，B，C，D 的坐标，可得 CA，CB 的距离，由双曲线的定义可得
a，再由 a，b，c 的关系可得 b，即可得到双曲线的方程；
（2）由离心率公式和渐近线方程即可得到所求．
【详解】（1）因为等腰梯形 ，
要条件，
反之，当 l 时， 内仍有直线与 l 垂直，
即“l⊥m”可能有 l 成立，所以“l⊥m”是“l⊥ ”的不充分条件，
即“l⊥m”是“l⊥ ”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分条件
-3-
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属于简单题. 9. 九章算术 是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年 例如：“堑堵”指底面为直角 三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥 如图，在“堑
，
，
，
.
所以
，，
，
.
-8-
所以 因为
，
.
，所以 .
又因为 ， 为双曲线
所以
.
（ ， ）的焦点，所以
，所以 .
所以双曲线的方程为
.
（2）由（1）知，
所以双曲线的离心率
.
又
双曲线的渐近线方程为
.
【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查待定系数法和方程思想，以及运算能力，属于基础题．
16.如图，AC，DF 分别为正方形 ABCD 和正方形 CDEF 的对角线，M，N 分别是线段 AC，DF 上的点，且
析可得 k
1，b＝lnm﹣1，代入化简得到 lnm
1，设 g（m）＝lnm
数的导数与单调性的关系，分析可得 g（m）的最小值，即可得答案．
1，求出 g′（m），利用函
【详解】根据题意，直线 y＝kx+b 与函数 f（x）＝lnx+x 相切，设切点为（m，lnm+m），
函数 f（x）＝lnx+x，其导数 f′（x） 1，则 f′（m）
江苏省苏州市
2018-2019 学年高二上学期期末考试数学试卷
一、填空题.
1.命题：
，
的否定是______．
【答案】 【解析】 试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“
”的否定是“
”. 考点：全称命题与特称命题.
2.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线
的焦点坐标为______．
【答案】
【解析】
和点
，
，若在圆 C 上存在点 P，
使得 【答案】
，则半径 r 的取值范围是______．
【解析】
【分析】
点 A（0， ），B（0， ），求出点 P 的轨迹方程，使得∠APB＝60°，通过两个圆的位置关系转化成求解
半径 r 的取值范围．
【详解】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0， ），B（0， ），使得∠APB＝60°，
【详解】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，F 分别是椭圆 点 B，C 分别是椭圆的上、下顶点．若 AB⊥CF，
可得： • 1，可得 b2＝ac＝a2﹣c2，
可得 e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得 e
．
故答案为： ．
的右顶点和右焦点，
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意垂直条件的合理转化，考查转化思想 以及计算能力． 11.设 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面 下列命题中：
题．
17.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：
．
若圆 C 的切线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，且截距不为零，求切线 l 的方程；
已知点 标．
为直线
上一点，由点 P 向圆 C 引一条切线，切点为 M，若
，求点 P 的坐
【答案】（1） 【解析】 【分析】
- 10 -
或
；（2）点 的坐标为
，
．
证明： 平面 BCF；
证明：
．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）取 DC 的三等分点 P，通过平面 MNP∥平面 FCB 可得线面平行；
（2）利用 DC 垂直平面 FBC，得到 CD⊥平面 MNP，易证．
【详解】(1)取 DC 的三等分点 P，使 DP ，
-9-
∵
，
∴MP∥AD，
在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则 g（m）＝lnm
1 为增函数，
则 g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即 2k+b 的最小值为 ln2+2；
故答案为：ln2+2．
【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．
-6-
13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：
可知 P 在以 AB 为弦的一个圆上，圆的圆心在 AB 的中垂线即 x 轴上，半径为： 得圆心到 y 轴的距离为 1，所以圆心坐标为（-1，0）或（1，0） 则 P 的方程为：（x﹣1）2+y2＝22， 或：（x+1）2+y2＝22， 已知圆 C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，若在圆 C 上存在点 P，使得∠APB＝60°，
2，由垂径定理可
就是两个圆有公共点，可得：
r+2，并且
解得 r∈[
故答案为：[ 2，4 2]．
【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．
2，4
2]．
14.若函数
有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是___．
【答案】 【解析】 【分析】 求出导函数，利用函数的极值的符号，列出不等式组求解即可． 【详解】f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1， ∴f′（x）＝（x﹣a）（3x﹣a﹣2）
1，
则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（ 1）（x﹣m），变形可得 y＝（ 1）x+lnm﹣1， 又由切线的方程为 y＝kx+b，
则k
1，b＝lnm﹣1，
则 2k+b
2+lnm﹣1＝lnm
1，
设 g（m）＝lnm
1，其导数 g′（m）
，
在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则 g（m）＝lnm
1 为减函数，
或.
（1）根据题意，利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求 系数即可； （2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得 PM2＝PC2﹣MC2，又由 PM PO，则 2PO2＝PC2﹣MC2，代入点的 坐标变形可得：x12+y12﹣2x1+4y1﹣3＝0，①，又由点 P（x1，y1）为直线 y＝2x﹣6 上一点，则 y1＝2x1﹣6，②，联立①②，解可得 x1 的值，进而计算可得 y1 的值，即可得答案．
5.在平面直角坐标系 xOy 中，点 在直线
上，则 OP 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
OP 的最小值为点 O（0，0）到直线 x+y﹣4＝0 的距离．
【详解】∵在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（x，y）在直线 x+y﹣4＝0 上，
∴OP 的最小值为点 O（0，0）到直线 x+y﹣4＝0 的距离：
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】
由线面垂直的性质定理可知：若“l⊥ 又 m⊂ ，得：“l⊥m”是“l⊥ ”的必要条件，反之，当 l 时，
内仍有直线与 l 垂直，得“l⊥m”时，可能直线 l ，所以不充分.
【详解】由“l⊥ “则直线 l 垂直平面 中的任意直线，又 m⊂ ，则“l⊥m”，即“l⊥m”是“l⊥ ”的必
堵”
中，
，若“阳马”
的体积为 ，则“堑堵”
的体积为
______ ．
【答案】30 【解析】 【分析】 连接 A1，C，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，则可求解． 【详解】如图，连接 A1C， 根据等底等高，易得：
， ∵B﹣A1ACC1 的体积为 20cm3， ∴ABC﹣A1B1C1 的体积为 30cm3， 故答案为：30．
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