二次函数与一元二次方程

复习

1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；② ；③；④若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( )

A.①②

B.②③

C.①②④

D.②③④

2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：① ；②

；③ ；④．其中正确的结论是( )

A.①②③

B.②③④

C.①②④

D.①②③④

3.已知二次函数的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：①

②b-2a=0；③；④ ．

其中正确的是( )

A.③

B.②③

C.③④

D.①②

4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：

A.①②

B.②③

C.①②④

D.①②③④

二次函数与一元二次方程（讲义）

➢ 课前预习

学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应

的二元一次方程组的解．

3

则一次函数 y =3x -3 与y =-3x +3的交点 P 的坐

标是 _______ ．

请思考：一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的根，可否看作是二次函数y = ax 2 +bx +c 与 x 轴交点的横 坐标，即方程组

y = ax + bx + c 的解中

x 的值.

y =0

2. 两函数值比大小主要是借助数形结合，通过找交点、画直线、定左右来确定取值范围．比如：

1. 如：已知方程组

y -3x +3=0

2 y +

3 x - 6 = 0

4

的解为

x =

3 ，

y =1

以下结论：① ；② ；③c-a=2；④方程 有两个相等的实数根．其中正

交点在（0，2）的下方．则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ）

（1）如图所示，函数 y 1=|x |和y 2 = 1 x + 4的图象相交于（-1，1），（2，2）两点．当 y 1>y 2时，x 的 取值范围是（ ）

A ．x >1

B ．-1

C ．-11

D ．x <-1 或 0

知识点

__________ 是研究函数、方程、不等式等的一种重要手段． 1. 方程的根是对应的两个 交点的 ． 特别地，一元二次方程 ax 2+bx +c =0 的根是二次函数 ______ 的图象与 _______ 交点的横坐标，当 Δ

0时，二次函数图象与x 轴有 ____ 个交点；当Δ = 0时，与x 轴有 _ 个交点；当Δ < 0时， 与x 轴 ____ 交点．

2. 函数间求交点坐标，函数值比大小等问题通常是借助数形结合，以构造的方法将函数问题转化为 方

程问题解决．

➢ 精讲精练

1. 如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象与 x 轴分别交于 A （-1，0），

B （3， 0）两点，与y 轴交于点

C （0，-3），一次函数y = x - 3的图象与抛物线交于B ，C 两点． 1）一元二次方程 ax 2+bx +c =0 的根为 ____________ ． 当 ax 2+bx +c >0 时，x 的取值范围为 ____________ ． 当 ax 2+bx +c ≤0 时，x 的取值范围为 ___________ ． 2）方程 ax 2 + bx + c = x - 3的根为 ____________ ． 当 ___________时，一次函数值大于二次函数值． 3）该二次函数的表达式为 ________________ ． 1）一元二次方程-x 2+8x -12=3的根为 _________ ，直线y =3 与抛物线 y =-x 2+8x -12的交点 坐标为 _______，不等式-x 2+8x -12>3 的解集为 _______________ ． 2）直线 y =2x -1 与抛物线 y =x 2-x +1 的交点坐标为 ______ ， 不等式 x 2-x +1≥2x -1 的解集为 ________________ ．

（3）若二次函数的图象经过点 A （4，0），B （-2，0），C （0，4），则该二次函数的表达式为 ． 3. 已知二次函数y = x 2 + 2x + m 的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为 _____ ；若二次函

数y =x 2+2x +m 的图象与坐标轴有三个交点，则m 的取值范围为 __________ ；若y =x 2+2x +m 的

求两个函数的交点坐标就是求对 应方程组的解．

2.

相 交 于 点 A （ 1 ， 2 ）

函数值总为正数，则图象顶点在第___ 象限，m的取值范围是________ ．

4.若二次函数y = （m -1）x2+ 2x的图象与直线y = x -1没有交点，则m的取值范围是_____ ．

k

5.如图，二次函数y = ax2+ bx与反比例函数y = - k的图象交于一点P，那么关于x的方程

x

k

ax2+bx+ =0的解为 _________ ；若一元二次方程ax2+ bx + m = 0有实数根，则m的取值范围为x

6.用“描点法”画二次函数y = ax2+ bx + c的图象时，列了如下表格：

x…-2-1012…

y…3430-5…

______________ ．

7.设一元二次方程（x-1）（x-2）=m（m0）的两根分别为，，且，则，满足（）

A．1 2 B．12

C．1 2 D．1且2

8.已知二次函数y = （x - m）（x -n）+1（m n）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两

点，且x1x2，则实数x1，x2，m，n的大小关系为____ ．

9.若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1，x2，且x1x2，有下列结论：①x1= 2，x2= 3；

②m-1；③二次函数y = （x - x1）（x - x2）+ m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，

0）．其中正确的是．

10.已知抛物线y=x2-（4m+1）x+2m-1 与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交

点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，-1）的下方，那么m的取值范围是_ ．11.已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2-bx-c=0 在-3

围内有解，则c的取值范围是（）

A．c≥-1 B．-1≤c<3 C．3

12.函数y = x2- x + m（m0 ）的图象如图所示，如果x = a时y0 ，那么x = a -1时，函数值（

）