大学物理质点运动时间空间
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大学物理与实验(I)2时间空间与运动学
(1)平动 )
(2)本身线度 << 其活动范围 )
地球
太阳
地球绕太阳公转
三,时间 空间 时间是物体运动过程的持续性和顺序性的反映 时间是物体运动过程的持续性和顺序性的反映 持续性 空间是物体运动过程的广延性或物体形状, 空间是物体运动过程的广延性或物体形状,相 广延性 对位置的反映 对位置的反映
o t
o t
vz = v0z + ∫ az (t )dt
o
v =vxi + vy j + vz k
例1:一质点在(X,Y)平面内运动, 一质点在( , )平面内运动, 一质点在 运动方程为: 运动方程为:
r (t ) = 2ti + (2 t ) j
2
(SI )
求: (1)质点的轨迹; )质点的轨迹; (2)在最初 内质点的位移和平均 )在最初2S内 速度; 速度; (3)在第2S时质点的速度和加速度. )在第 时质点的速度和加速度.
t dx ∴∫ = ∫ dt 0 1+ 2x 0 x
1 ln(1+ 2x) = t 2
1 2t ∴x = (e 1) 2
d x 2t a = 2 = 2e dt
2
平面内运动, [例4]一质点在xOy平面内运动,运动方 4]一质点在 y=19(1)写出质点任意 程为x=2t,y=19-2t2.(1)写出质点任意 时刻的位置矢量, 时刻的位置矢量,速度矢量和加速度矢 (2)写出轨迹方程 写出轨迹方程; 量;(2)写出轨迹方程; 2 解 : 1) (
d x(t) 1 2 ∵ v(t) = = 2+t + t dt 2 x( t ) t 1 2 ∴∫ d x(t ) = ∫ (2 + t + t )dt x0 0 2
大学物理第1章质点运动学
大学物理第1章质点运动学质点运动学是物理学中研究物体运动的学科，它是物理学的一个重要分支，是学习物理的基础之一。
一、质点运动学的概念质点运动学是研究质点运动的学科，它把物体看作质点，即把物体看成一个点，而不考虑其体积大小。
质点运动学的主要研究内容包括：位置、速度、加速度等运动量的描述，以及运动的曲线形状、动量、能量等方面的分析。
二、质点的运动质点的运动可以分为匀速运动和非匀速运动两种情况。
1.匀速运动匀速运动是指质点在单位时间内沿着同一直线等距离地移动的运动。
匀速运动的速度大小是恒定的，可以用速度公式v=d/t来计算。
2.非匀速运动非匀速运动是指质点在单位时间内沿任意曲线路径移动的运动。
非匀速运动中质点的速度大小是变化的，需要用微积分的方法进行分析和计算。
三、质点运动中的基本物理量在质点运动中，需要描述质点的运动状态和变化情况。
主要的量包括：1.位置位置是指质点在空间中所处的位置，通常使用坐标表示。
我们可以通过坐标系建立一个参照系，来描述质点的位置。
2.位移位移是指质点从一个位置到另一个位置的距离和方向，通常用符号Δr表示。
位移的大小可以用位移公式Δr=r2-r1来计算。
3.速度速度是指质点在单位时间内所改变的位置，通常用符号v 表示。
速度的大小可以用速度公式v=Δr/Δt来计算。
4.加速度加速度是指质点在单位时间内速度所改变的量，通常用符号a表示。
加速度的大小可以用加速度公式a=Δv/Δt来计算。
四、质点的曲线运动在质点运动中，一些运动路径可能是曲线运动。
曲线运动的路径通常可以用弧长s、曲率半径r、圆心角等来表征。
1.弧长弧长是指质点在曲线路径上所走过的曲线长度，通常用符号s表示。
弧长的大小可以用弧长公式s=rθ来计算。
2.曲率半径曲率半径是指曲线在任一点上的曲率半径，通常用符号r 表示。
曲率半径可以根据曲线的形状计算得出。
3.圆心角圆心角是指质点所在的路径所对应的圆所对应的圆心角度数，通常用符号θ表示。
大学物理第1章质点运动学
则有
ax 2 R cost;
a y 2 R sint
加速度的大小
2 2 2 2 2 2 a ax a2 ( R cos t ) ( R sin t ) R y
根据矢量的点积运算，分别计算
v r [(R sint )i (R cost ) j ] [(R cost )i ( R sint ) j ] 0 2 2 v a [(R sint )i (R cost ) j ] [( R cost )i ( R sint ) j ] 0
大学物理
第一章 质点运动学
1.1 运动学的一些基本概念 1.1.1、参考系(reference frame)和坐标系(coordinate) 参考系：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。 （运动描述的相对性） 坐标系：直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等. 说明 在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然 1.1.2、时间和空间的计量 1、时间及其计量 时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间测量的 标准单位是秒。1967年定义秒为铯—133原子基态的两个超精细 能级之间跃迁辐射周期的9192631770倍。量度时间范围从宇宙 年龄1018s(约200亿年）到微观粒子的最短寿命 10-24s.极限的时 间间隔为普朗克时间10-43s,小于此时间，现有的时间概念就不适 用了。
运动学中的两类问题
1、已知质点的运动学方程求质点的速度、加速度等问
题常称为运动学第一类问题．
r r (t )
微分
v, a
2、由加速度和初始条件求速度方程和运动方程的问题称 为运动学的第二类问题．
a , v0 , r0
大学物理-质点运动学
空间曲线上的任意点都存在密切面，而且 是唯一的。
空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段 弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。
曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的 曲率，用表示。
描述点运动的弧坐标法
密切面与自然轴系
自然轴系
B(副法线) N(主法线)
自然轴系P－TNB P－空间曲线上的动点；
描述点运动的直角坐标法
例题3
几点讨论
2、关于P点运动的性质：何时 作加速度运动？何时作减速度 运动？
这一问题请同学们自己研究。
第1章 质点运动学
描述点运动的弧坐标法
描述点运动的弧坐标法
弧坐标要素与运动方程 密切面与自然轴系 速度 加速度
描述点运动的弧坐标法
弧坐标要素与运动方程
x
rA
O
r
B
rB
y
速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。 速度的矢量式：
v v x i v y j vz k
dx dy dz vx , vy , vz dt dt dt
速度的三个坐标分量：
速度的大小：
2 2 2 v v vx v y vz
（ 2） 令
b x2 x1 为影长
db l dx2 v dt h dt
代入
l b x2 h
以
dx 2 hv 0 dt h l
得
lv 0 v hl
描述点运动的直角坐标法
椭圆规机构
例 题3
＝常数， ω＝
OA AB AC l , BP d
求：P点的运动方程、速度、加速度。
•
速率
1
在t时间内，质点所经过路程 s 对时间的变化率
空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段 弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。
曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的 曲率，用表示。
描述点运动的弧坐标法
密切面与自然轴系
自然轴系
B(副法线) N(主法线)
自然轴系P－TNB P－空间曲线上的动点；
描述点运动的直角坐标法
例题3
几点讨论
2、关于P点运动的性质：何时 作加速度运动？何时作减速度 运动？
这一问题请同学们自己研究。
第1章 质点运动学
描述点运动的弧坐标法
描述点运动的弧坐标法
弧坐标要素与运动方程 密切面与自然轴系 速度 加速度
描述点运动的弧坐标法
弧坐标要素与运动方程
x
rA
O
r
B
rB
y
速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。 速度的矢量式：
v v x i v y j vz k
dx dy dz vx , vy , vz dt dt dt
速度的三个坐标分量：
速度的大小：
2 2 2 v v vx v y vz
（ 2） 令
b x2 x1 为影长
db l dx2 v dt h dt
代入
l b x2 h
以
dx 2 hv 0 dt h l
得
lv 0 v hl
描述点运动的直角坐标法
椭圆规机构
例 题3
＝常数， ω＝
OA AB AC l , BP d
求：P点的运动方程、速度、加速度。
•
速率
1
在t时间内，质点所经过路程 s 对时间的变化率
大学物理——第1章-质点运动学
沿逆时针方向转动角位移取正, 沿顺时针方向转动角位移取负.
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
大学物理总复习
0 冲击，
角达水平位置。设 m与m1的碰撞为完全非弹 /2
性的，m1=4m，m2=m，L=1m，取，求
？ 0
O
L/2 A m1
分析：碰撞过程中系统动量是否守恒， 角动量是否守恒？碰撞之后一起运动 m 的过程，系统机械能是否守恒？
B
L/2 m2
10
解：取杆及 m 组成的系统为研 究对象，碰撞过程中，轴对系统
B 都垂直的直线上的投影以相同速度切 割磁场线运动时产生的电动势，这一投 影长度称之为导线的有效切割长度。
× × × × L × × ×
× × × × × × ×
× × × × × × ×
31
N
B
★ 直线电流的磁场
dB 方向均沿 x 轴的负方向
dB
z
D
2
0 Idl sin
质点组的动能定理
内力的功
dW内 F1 dr12 0
W外 W内 Ek E k0 W外 W内 Ek
功能原理
W外 W非内 Ek Ep Em
9
例3-5 如图，杆OB可绕水平光滑轴O转动，杆长L，质量不计， 杆的中点A和底端B处附有两个质量为m1和m2的小球，最初杆 静止于平衡位置，令一质量为m的粘性球以水平速度 恰能使杆转过
E 的大小都相等，方向沿径向。
取高斯面：作同心高斯球面
+ + +
+
S +1
O
+R+ +
r
+
+ + +
球内区域 r < R ，作高斯球面 S1
E dS 0
大学物理(1.4.2)--相对运动
质点的运动轨迹与所选取的参考系有关。
本节讨论在两个以恒定速度作相对运动的坐标系中，质点的位移、速度与坐标系的关系。
一、时间与空间在牛顿力学范围内，时间与空间的测量与参考系的选取无关，这就是时间的绝对性和空间的绝对性。
1．时间的绝对性在两个作相对直线运动的参考系中，时间的测量与参考系无关。
2．空间的绝对性在两个作相对直线运动的参考系中，长度的测量与参考系无关。
3．经典力学的时空观1）绝对空间：空间两点之间的距离不管从哪个坐标系测量，结果都是相同的；2）绝对时间：同一运动所经历的时间在不同的坐标系中测量都是相同的。
经典力学的时空观是和大量日常生活经验相符合的。
二、相对运动1. 描述运动的相对性在牛顿力学范围内，运动质点的位移、速度和运动轨迹则与参考系的选取有关，即运动的描述具有相对性。
例子：图1 不同的观察者观察的结果不同2. 速度关系1)位移的关系：设有两个参考系，S 系(O xy 坐标系)，静止不动；S'系(O'x'y '坐标系)，以速度u 相对于S 系匀速运动。
在Δt 时间内，S'（动系）沿x 轴相对于S （静）系的位移为t u r ∆∆ ＝0；假设质点在S 系中，位移为r ∆，质点在S'系中，位移为r '∆ ，二者关系为 0r r r ∆∆∆+'=或 tu r r ∆+'∆=∆ (2)速速速速速tr t r t r ∆∆∆∆∆∆0 +'=速速速速 u v v +'=——Galileo 速速速速速速速速v 速速速速速速速速速速速S 速速速速速v’速速速速速速速速速速速S'速速速速速u 速速速速速速S'速速速速S 速速速速速图2相对运动的研究。
大学物理第1章质点运动学的描述
t 4s
t0
0 2 4
t 2s 4
2
t 2s
x/m
6
-6 -4 -2
例3 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体B的 速率为多少？ 解 建立坐标系如图, 物体A 的速度
1. 5 arctan 56.3 1
（2） 运动方程
x(t ) (1m s )t 2m
y(t ) ( m s )t 2m
1 4 2 2
1
由运动方程消去参数
1 -1 2 y ( m ) x x 3m 4
轨迹图
t 4s
6
t 可得轨迹方程为
y/m
三、位置变化的快慢——速度
速度是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是矢量。
速率是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是标量。 1 平均速度 在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
B
y
r r (t t) r (t)
r (t t)
s r
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
二、位置矢量、运动方程、位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
y
y j
r xi yj zk
j k 式中 i 、 、 分别为x、y、z
xA xB xB x A
yB y A
o
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移.
t0
0 2 4
t 2s 4
2
t 2s
x/m
6
-6 -4 -2
例3 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体B的 速率为多少？ 解 建立坐标系如图, 物体A 的速度
1. 5 arctan 56.3 1
（2） 运动方程
x(t ) (1m s )t 2m
y(t ) ( m s )t 2m
1 4 2 2
1
由运动方程消去参数
1 -1 2 y ( m ) x x 3m 4
轨迹图
t 4s
6
t 可得轨迹方程为
y/m
三、位置变化的快慢——速度
速度是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是矢量。
速率是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是标量。 1 平均速度 在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
B
y
r r (t t) r (t)
r (t t)
s r
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
二、位置矢量、运动方程、位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
y
y j
r xi yj zk
j k 式中 i 、 、 分别为x、y、z
xA xB xB x A
yB y A
o
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移.
大学物理-质点运动学学
v
t
上式可变为
即
dv 6t dt
dv 6tdt
左右两边同时积分，利用初 始条件 t = 0时，v =12，得：
x
0
dx (12 3t 2 )dt
0
t
x 12t t 3
*已知质点的运动方程为 2 3 r (0.5 t ) i (3 t t ) j (m), 则它的加速度的大小和方向分别为： A） 1 36t 2 arctan 6t C） 1 36t arctan3t B） 1 36t arctan6t D） 1 36t 2 arctan 3t
解：(1) 从运动方程中消去时 间,得轨迹方程
x2 y 1 9 (2) r (3) x3i y 3 j 9i 8 j (m)
平均速度
r 3i 3 j v 3i 3 j m/s t 2 1
dx dy j 3 i 2t j (4) v i dt dt dv a 2 j m/s 2 dt
不 知 云 与 我 俱 东 。
卧 看 满 天 云 不 动 ，
百 里 榆 堤 半 日 风 。
飞 花 两 岸 照 船 红 ，
宋襄 邑 陈 道 与 中 义 ]
[
是 船 行 。
仔 细 看 山 山 不 动 ，
看 山 恰 似 走 来 迎 ，
满 眼 风 波 多 闪 烁 ，
是 船 行 。
柔 橹 不 施 停 却 棹 ，
练习：一质点坐平面曲线运动， t = 2s时的位置矢量： 已知其运动方程为 r (2) x2i y2 j 8i 18 j (m) 2 x 4t , y 2 4t (SI) 第2 内的位移 求：(1)质点运动的轨迹方程；(2) t = 3s时的位置矢量；(3)第2 内的 r r (2) r (1) 4i 12 j (m) 位移和平均速度；(4) t = 2s时的 第2 内的平均速度 速度和加速度。 r 4i 12 j 解：(1) 从运动方程中消去时间, v t 2 1 4i 12 j m/s 得轨迹方程 2 dr dx dy x i j 4i 8t j (4) v y 2 dt dt dt 4 dv (2) t = 3s时的位置矢量 a 8 j m/s 2 dt r (3) x3i y3 j 12i 38 j (m) 当 t = 2s时 (3) t = 1s时的位置矢量： v 4 i 16 j m/s a 8 j (m/s 2 ) r (1) x1i y1 j 4i 6 j (m)
第一章 质点运动学
z
r rA rB
B
y
平均速度的方向与t时间内位移的方向一致。
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
A
2. 瞬时速度(速度) 能精细地描述 z 质点在某时刻的运动情况。 r dr v lim O t d t t 0 x 速度的方向为轨道上质点所在
处的切线方向。
r rA rB
B
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
v
r
2 z
y
A
B
v vx i v y j vz k
速度的大小： v v
dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
速度(speed)----描述质点运动的快慢和方向。
定义：单位时间内质点所发生的位移。 1. 平均速度(mean speed) 设质点：
A
t 时刻： A, rA t t 时刻: B, rB O 位移: r x r 平均速度： v 单位：ms-1 t
大小： r
单位矢量：i , j , k
2 2
r
x y z
2
x y z 方向： cos cos cos r r r
cos cos cos 1
2 2 2
特性：矢量性、 瞬时性、相对性
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
2. 运动方程(equation of motion): 质点运动时位置随时 间变化的规律。 z
ax 0 (2) x : vx 5 y : v y 15 10t a y 10 g
大学物理之质点运动学
矢量性：注意矢量和标量的区别。 相对性：对不同参照系有不同的描述。
3．运动学方程是运动学的核心，包含了运动的全部信息。
运动学的两类问题 运动方程是运动学问题的核心 1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度 以及加速度
r r t
dr v dt
2 dv d r a 2 dt dt
第一章 质点运动学 §1-1 质点、参考系 、坐标系
一、质点
1. 引入 质点的概念是考虑主要因素而忽略次要因素引入的一个理想 化的力学模型，使研究的问题得到简化。 2. 概念
质点是一个理想化的力学模型，当物体的大小和形状忽略不 计时，可以把物体当做只有质量没有形状和大小的点。 3.说明 一个物体能否当做质点，并不取决于它的实际大小，而是 取决于研究问题的性质。
大小：
方向：
2）相对性： 例如：坐在运动汽车中的人，选车厢为参考系，人位 移为零，但如选择地面为参考系位移不为零。 3）单位：米(m) 2.位移与路程的区别 位移是矢量：是指位置矢量的变化； 路程是标量：是指运动轨迹的长度。
思考：位移的大小什么时候与路程相等？
3. 区分：
三、速度（描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量 ）
速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向
切向加速度：
dv d s a e 2 e h dt dt
2
讨论
de dt
O
Δ
e t t
e e (t t ) - e (t )
当： t 0 , 0 有
e e
s
求：1、任意时刻 t 速度
2、切向加速度的大小
1-2-6 圆周运动及其角量描述
平面极坐标系
大学工程物理 第一章质点力学
例 题
质点作直线运动，运动方程为（ ）： 质点作直线运动，运动方程为（SI）：
x = 12t − 6t
2
时质点的位置、 求 （1）t=4s时质点的位置、速度和加速度； ） 时质点的位置 速度和加速度； （2）质点通过原点时的速度和加速度； ）质点通过原点时的速度和加速度； （3）质点速度为零时所在的位置。 ）质点速度为零时所在的位置。 解：（1）由运动方程可得速度及加速度表达式为： ）由运动方程可得速度及加速度表达式为： dx υ = = 12 − 12t dt dυ a= = −12 dt 时质点的位置、 在t=4s时质点的位置、速度和加速度分别为： 时质点的位置 速度和加速度分别为： -48m、-36m/s和-12m/s2。 、 和
dr = 2i − 2t j 解： v = dt
t = 0 v0 = 2i
t = 2 v2 = 2i − 4 j
−4 = −63 26′ 2
大小： v2 = 22 + 42 = 4.47m / s 大小： 方向： θ = arctan 方向：
v θ为 2与x轴的夹角
轴作直线运动，其位置坐标 坐标与时间的 例 一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的 题 关系为 x=10+8t-4t2,求： x=10+8t质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 （1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 =0、 秒时的速度。 （2）质点在t=0、1、2秒时的速度。 解：（） 时刻 1 t
= ∆xi + ∆yj + ∆zk
注 意 a) b)
位移是矢量， 位移是矢量，有大小和方向
Δr r1 o z A r2
∆ r 与∆r 的区别
为标量， ∆r为标量，∆r 为矢量
大学物理第一章习题答案
21
站在台秤上，当你蹲下时台秤的读数如何变？如何解释？
台秤的示数为台秤对人的支持力。当人静止站在台秤上时， 台秤对人的支持力等于人的重力。当人蹲下时有向下的加速 度，按牛顿第二定律有
mg N ma N mg ma mg
N
可见，当人蹲下时台秤对人的支持力 小于人的重力，示数减小，当人停止 运动后回复为原值。
7
1-23：用绳子系一小球使之在竖直平面内做圆周运动，指出绳 内张力最大和最小的位置。
解：小球做圆周运动时满足
T mg ma
m
在法向投影得 绳子上的张力为
v T mg cos man m R v2 T m mg cos R
2
o
T
mg
显然，当夹角为 0 时（最上方）绳子上的张力最小，夹角为 π 时（最下方）绳子上的张力最大。
t1
r
都不相等。
r1
r
ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ ˆ r1 x1 i y1 j z1k , r2 x2 i j z k 2 2 O ˆ (y y )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r ( x2 x1 )i 2 1 j ( z 2 z1 )k xi yj zk | r | x 2 y 2 z 2 , r r2 r1 x2 2 y2 2 z2 2 ) x12 y12 z12
3
1-2：说明建立参照系、坐标系的必要性，对于描述质点的运 动而言，参照系应如何选择？ 为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物体作为参照， 才能确定物体的运动特征，参照物不同，物体的运动形式就 可能不同，因此必须指明参照系。 只有选择了坐标系，才能把物体的运动特征定量表示出来。 坐标系一般固定于参照系上。 在描述质点运动的问题中，参照系可以任意选择，没有任何 限制，但要注意解决问题是否方便。
大学物理学(第二版) 第01章 运动学
P2 (x2 , y2 , z2 )
注意 r r 位矢长度的变化
r x22 y22 z22 x12 y12 z12
讨论 （1）位移与位置矢量
位移表示某段时间内质点位置的变 化,是个过程量;位置矢量表示某个时
y
s
p1
'
s r
p2
刻质点的位置,是个状态量. （2）位移与路程
r(t1) r(t2)
(2)选取不同的参考系或在同一参考系上建立不同的坐标系时,
它的方向和数值一般是不同的,故具有相对性.
(3)在质点运动过程中位矢是随时间而改变的,故还具有瞬时性.
2.运动方程
运动方程：质点在运动时,其位置矢量的大小和方向均随时间
发生变化,对于任一时刻t,都有一个完全确定的位置矢量与之
对应,也就是说,位置矢量是时间t的函数,即 r r(t)
2.路程 质点所经过的实际运动轨迹的长度为质点所经历的路
程，记作△S .
位移的物理意义
A)确切反映物体在空间中位置的 变化,与路径无关，只决定于质
y P1 rs P2
点的始末位置.
B）反映了运动的矢量性和叠加性.
r
xi
yj
zk
r x2 y2 z2
z
r(t1)
r
r(t2 )
O
x P1(x1, y1, z1)
P1P2 两点间的路程s是不唯一的,可 O
z 以是 s 或 s ，而位移 r 是唯一的.
x
一般情况下,位移与路程并不相等:只有当质点作单方向的
直线运动时,路程与位移的大小才是相等的;此外,在 t 0的
第1章 质点运动学
本章内容
1.1 质点 参考系 坐标系 时空 1.2 描述质点运动的物理量 1.3 加速度为恒矢量时的质点运动 1.4 曲线运动 1.5 运动描述的相对性 伽利略坐标变换
大学物理学(上册)第1章 质点运动学
须在参考系上固连某种坐标系,这样,物体在某时刻的位置
即可用一组坐标表示.可见坐标系不仅在性质上具有参考系
的作用,而且还具有数学抽象作用.最常用的坐标系有:直角
坐标、球坐标、极坐标、柱坐标、自然坐标等.对物体运动
的描述决定于参考系而不是坐标系.
y
A
K
y
O
x
z
z
x 直角坐标系
K
r θ
A
O
x
极坐标系
O
y
o法向 sz
r x22 y22 z22 x12 y12 z12
讨论 （1）位移与位置矢量
位移表示某段时间内质点位置的变 化,是个过程量;位置矢量表示某个时
y
s' s p1 r
p2
刻质点的位置,是个状态量. （2）位移与路程
r(t1) r (t2 )
P1P2 两点间的路程 s是不唯一的,可 O
2）轨道方程表示为 x2 y2 r 2
1.2.2 位移与路程
y
A r B
rA
rB
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
1.位移 经过时间间隔 t 后,质点位置矢量发生变化,由始
点A指向终点B 的有向线段AB称为点A到B 的位移矢量 r.位
因为 v(t) v(t dt)
所以 dv 0 dt
而 a a 0 所以
v(t)
O
dv
v(t dt)
a dv dt
例 设质点的运动方程为
r t xti y t j
大学物理 第一章 质点运动学
是否等于瞬时速率？ t 时刻位矢
瞬时速度的大小是否
r
等于瞬时速率？
A
r
r1
B t 时间内位移
x
t +t 时刻位矢
平面直角坐标系中的瞬时速度（简称速度）
v lim r dr
t0 t
dt
r(t) x(t)i y(t) j
v d r
dx
i
d
y
j
y
vy
v
dt dt dt
vx
vxi vy j
力 学
§1-1 参照系 &坐标系 质点 §1-2 位移、速度和加速度 §1-3 圆周运动 §1-5 牛顿运动定律 §1-6 牛顿运动定律的应用举例
1. 运动的绝对性 绝对静止的物体是没有的
地球自转 太阳表面的运动
太阳随银河系运动
为了确定一个物体的位置和描述一个物体的机
械运动，必须另选一个物体或内部无相对运动的物
3. 坐标系 为了定量地描述物体相对于参考系的 运动情况，要在参考系上选择一个固定的坐标系
坐标系选定后，运动物体A 中任一点 P 的位置
就可以用它在此坐标系中的坐标来描述
运动物体
运动参考系
y
A P(x,y,z)
运动物体
O
z 参考系
x
地面参考系
常用坐标系： 平面直角坐标系和自然坐标系
一、质点 一般情况下，运动物体的形状和大小都可能变化
y
y z koj
r
i
x
*P
x
方向的单位矢量.
z
位矢r 的值为
r
xi
yj
zk
r r x2 y2 z2
位矢 r 的方向余弦
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dr
dt
dx2 dt
ddyt2
练习1 一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的 关系为 x=10+8t-4t2,求：
（1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度。
（2）质点在t=0、1、2秒时的速度。 解：（ 1 ） t时x 刻 1 0 8 t 4 t2
t t 时 ( x x 刻 ) 1 8 ( t 0 t ) 4 ( t t ) 2
t 时间内, 质点的平均速度 z
x
v r t
r(tΔt)r(t)平均速度 v
Δt
与 r同方向.
➢瞬时速度
当 t 0 时平均速度的极限叫做瞬时速度，简
称速度，即在某时刻或某位置处质点位矢对时间的变
化v 率. lim rdr t 0t dt
y
B s
r(tt)
当 t0时, drds
v
ds dt
et
O
•描述物质运动具有相对性 参考系: 为确定物理位置和描述物体运动而选为依 据的一个或一组彼此相对静止的物体.
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运 动描述的相对性.
（1） 参考系的引入是由于运动相对性的需要。 （2）参考系的选择是任意的，对不同的参考系质点运动
形式不同。 （3）通常我们选地面或固定于地面的物体为参考系。
t内位 x 移 8 t 8 t为 t 4 (t)2
x vt1 t2 t8 8 t1 4 (t2 t1)
v018044(ms)方 向 x轴 与正 向 相
v128844(ms)方向 x轴 与正向相
（2）vt
dx88t dt
代入 t = 0 , 1 , 2 得：
v0 8ms v10 v2 8ms
arctan4 6326 为v2与x轴2的 夹 角
4. 加速度
反映速度变化快慢和速度方向变化的物理量.
➢平均加速度 某段时间内, 单位时间的速
y vA
vB
度增量即平均加速度.
B
A
a v a 与 v 同方向. O
t
➢瞬时加速度
vA
x
v
Δt 0时平均加速度的极限.
vB
alimvdv t0 t dt
五、 运动的叠加性
一个运动可以看成由几个独立进行的运动叠加而
成，并且描述其中任何分运动的矢量叠加都满足平行
四边形法则. 反之，一个运动可以按平行四边形法则 分解成若干个分运动.
例如：一只横渡流
速均匀分布的河流的船. v水对岸
船对水的速度
v船对水
v船对岸 v船对水
水对岸的速度
v水对岸
v船对岸
a ax2ay2 Rω2
v2 R
例变化：，设初质位点置沿为x轴x0作，匀初变速速度直为线v0运.动试，用加积速分度法a不求随出质时点间
的速度公式和运动方程.
解：因为质点做直线运动, a d v dt
所以 dvadt
对上式两边做积分运算,
dvadt
得 vatC1 将初始条件带入上式, 确定积分常数 C1 v0
2.4140 1
研究地球自转
vR
地球上各点的速度相差很大， 因此，地球自身的大小和形状 不能忽略，这时不能作质点处 理。
二、参考系和坐标系
为什么要选用参考系 例如：匀速运动车厢内某人竖直下抛一小球，观
察小球的运动状态。
车厢内的人： 竖直下落 地面上的人： 抛物运动
孰是孰非？
•物质运动具有绝对性
关系式称为轨迹方程.
f(x,y,z)0
七、 例题
质点运动学两类基本问题
➢由质点的运动方程求得质点在任一时刻的速度和加 速度（通过求导计算）；
➢已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 求质 点速度及其运动方程（通过积分计算）.
求导
r(t)
v (t )
积分
求导 a(t)
积分
例：已知质点的运动方程是r R ct o i R st i j，n
物理理论指出，空间和时间都有下限：分别为
普朗克长度10-35 m和普朗克时间10-43 s 。
牛顿的绝对时空观 ：空间和时间是不依赖于物质的 独立的客观存在。 爱因斯坦的相对论时空观 ：相对论时空观，时间与 空间客观存在，与运动密不可分。
四、 描述质点运动的物理量
y
1. 位置矢量 确定质点P某一时刻在坐
所以速度公式为 vv0 at
由速度定义, 有 v d x dt
所以 d xv d t(v 0a)d tt
对上式两边积分运算:
dx(v0a)d tt
得
xv0t
1at2 2
C2
将初始条件带入上式, 确定积分常数 C2 x0
运动方程为
xx0 v0t12at2
1-2 质点运动的描述之二
预习要点
1. 领会切向加速度和法向加速度的概念及物理意义； 理解切向加速度、法向加速度和总加速度的关系.
物体在空间的位置随时间变化的运动称为 机械运动。
1-1 质点运动的描述之一
一、质点
物体：具有大小、形状、质量和内部结构的物质形态。
一般情况下，物体各部分的运动不相同，在运动 的过程中大小、形状可能改变，这使得运动问题变得 复杂。
某些情况下，物体的大小、形状不起作用，或者 起次要作用而可以忽略其影响——简化为质点模型。
叫做自然坐标系（natural coordinates）。
沿轨迹上各点， 自然坐标轴的方 位是不断地变化 着的。
质点速度的方向沿着轨迹的切向，表示为
vvtet vet
ds dt
et
a
dv dt
dv dt
et
v
det dt
de t de n
det dt
ddt en en
v R
en
addvt et R 1v2en
2. 领会圆周运动中角位移、角速度和角加速度的概念 以及它们之间的关系. 了解线量和角量的关系.
*3. 认识同一质点在不同坐标系中的位置矢量关系式、 速度关系式和加速度关系式.
一、切向加速度和法向加速度
在质点的运动轨迹上任一点建立如下坐标系，其
中一根坐标 轴沿轨迹在该点 P 的切线方向，该方向单 位矢量用 et 表示；另一坐标轴沿 该点轨迹的法线并指 向曲线凹侧，相应单位矢量用 en表示，这种坐标系就
与 x轴正向相同 此时转向 与 x轴 正 向 相 反
练习2:设质点做二维运动： r 2 ti (2 t2 ) j 求t=0秒及t=2秒时质点的速度，并求后者的大
小和方向。
解： v dr2i2tj
dt
t 0v 0 2 i t 2v 2 2 i 4 j
大小： 方向：
v222424.4m 7/s
1.平均速度与平均速率的区别
•平均速度为物体发生的位移与时间 之比；为矢量。
v
r
t
•平均速率为物体经过的 路程与时间之比；为标量。
s
B
v s t
A
r
2. 速度与速率的区别
•速度为位矢r对时间的一次导数，为矢量：
v dr dx idy j dt dt dt
•速率为速度的大小，为标量：
v
|
v|
坐标系: 固定于参考系上的一条或一组带有刻度的有向线段。 在选定的参考物上建立固定的坐标系，可精确描述物体的
运动.
常用坐标系：
直角坐标系（ x , y , z ）, 球坐标系（ r,θ, ）, 柱坐标系（ , , z ）,平面极坐标系(r,)，自然坐标系 ( s ).
在同一参考系中选用不同的坐标系，运动形式相同而描述形 式不同。
第一章 质点的运动 时间 空间
第一章 质点运动 时间 空间
1-0 第一章教学基本要求 1-1 质点运动的描述之一 1-2 质点运动的描述之二 1-3 经典时空观及其局限性 *41-04 第 相四 对章论教时学空基观本念要求
教学基本要求
一、掌握位矢、位移、速度和加速度等概念. 二、能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度和 加速度.
加速度的方向就是时间t趋近于零时，速度增量v的
极限方向。加速度与速度的方向一般不同。
加速度与速度的夹角为0或180，质点做直线运动。
加速度与速度的夹角等于90，质点做圆周运动。
加速度与速度的夹角小于90，速率增大。 加速度与速度的夹角大于轨迹曲线凹的一边
vx
dx dt
Rω sin
ωt
vy
dy dt
Rω cos ωt
v vx2 vy2 Rω
ax
dvx dt
Rω2 cosωt
ay
dvy Rω2 dt
sin ωt
a ax2ay2 Rω2
a a x i a y j 2 ( R c t i o R ss t j ) i n 2 R
式中R 、是常数.
y
求: （1）质点轨道方程； （2）质点的速度和加速度.
解：（1） 运动学方程的分量式是
x R c ot,sy R s itn
y •P(x, y)
R
ωt
x
Ox
由 x R c ot,sy R s itn 中消去时间参量t，
得到轨迹方程
x2y2 R2
（2）将 x R c ot,sy R s itn 对时间求导
讨论
1. 位移的物理意义 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关，只
决定于质点的始末位置，是描述状态变化的物理量.
2. 位移与路程
P1P2 两 点 间 的 路 程 是 不
y
唯 位移一 的r,是可唯以一是的.s或 s ' ,而
P1
路程一，般即情况r位移s大；小只不有等于当
质点做单方向的直线运动时，