【数学】2012新题分类汇编：选修4系列(高考真题+模拟新题)

选修4系列(高考真题+模拟新题)
课标理数5.N1[2011·北京卷] 如图1－2，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .
图1－2
给出下列三个结论：
①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ； ②AF ·AG ＝AD ·AE ； ③△AFB ∽△ADG .
其中正确结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 课标理数5.N1[2011·北京卷] A 【解析】 因为AD 、AE 、BC 分别与圆O 切于点D 、E 、F ，所以AD ＝AE ，BD ＝BF ，CF ＝CE ，又AD ＝AB ＋BD ，所以AD ＝AB ＋BF ，同理有AE ＝CA ＋FC .又BC ＝BF ＋FC ，所以AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ，故①正确；对②，由切割线定理有：AD 2＝AF ·AG ，又AD ＝AE ，所以有AF ·AG ＝AD ·AE 成立；对③，很显然，∠ABF ≠∠AGD ，所以③不正确，故应选A.
图1－2
课标理数15.N1[2011·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－2，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.
课标理数15.N1[2011·广东卷] 35 【解析】 因为P A 为圆O 切线，所以∠P AB ＝∠ACB ，又∠APB ＝∠BAC ，
所以△P AB ∽△ACB ，所以PB AB ＝AB
CB
，所以AB 2＝PB ·CB ＝35，所以AB ＝35.
课标文数15.N1[2011·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－3，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，
图1－3
E 、
F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．
课标文数15.N1[2011·广东卷] 7∶5
图1－4
【解析】 图1－4延长AD 与BC 交于H 点，由于DC ∥EF ∥AB ，又DC AB ＝2
4
，
所以S △HDC S △HAB ＝416，同理S △EFH S △HAB ＝916
，所以S △HDC ∶S 梯形DEFC ∶S 梯形EFBA ＝4∶5∶7，
所以梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7∶5.
图1－2
课标理数11.N1[2011·湖南卷] 如图1－2，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．
课标理数11.N1[2011·湖南卷] 23
3
【解析】 连结AO 与AB ，因为A ，E 是半圆上的三
等分点，所以∠ABO ＝60°，∠EBO ＝30°.
因为OA ＝OB ＝2，所以△ABO 为等边三角形．又因为∠EBO ＝30°，∠BAD ＝30°，所以
F 为△ABO 的中心，易得AF ＝23
3
.
课标理数22.N1[2011·课标全国卷]
图1－11
如图1－11，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．
(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆； (2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．
故AD ＝2，AB ＝12.
取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .
由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC ，
从而HF ＝AG ＝5，DF ＝1
2
(12－2)＝5，
故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.
课标理数22.N1[2011·辽宁卷] 选修4－1：几何证明选讲
图1－11
如图1－11，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，EC ＝ED.
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
课标理数22.N1[2011·辽宁卷] 【解答】(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA，所以CD ∥AB.
图1－12
(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC.从而∠FED＝∠GEC.
连结AF，BG，则△EF A≌△EGB，故∠F AE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠F AB＝∠GBA，
所以∠AFG＋∠GBA＝180°，
故A，B，G，F四点共圆．
课标文数22.N1[2011·辽宁卷] 如图1－10，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线
图1－10
与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
课标文数22.N1[2011·辽宁卷] 【解答】(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.
图1－11
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.
故∠ECD＝∠EBA.
所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，
从而∠FED＝∠GEC.
连接AF ，BG ，则△EF A ≌△EGB ，故∠F AE ＝∠GBE . 又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠F AB ＝∠GBA . 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆．
课标文数22.N1[2011·课标全国卷] 如图1－10，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．
图1－10
已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．
(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆； (2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 课标文数22.N1[2011·课标全国卷]
图1－11
【解答】 (1)证明：连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ， 即AD AC ＝AE
AB
，又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB ，
即∠ACB 与∠EDB 互补，所以∠CED 与∠DBC 互补， 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．
(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.
取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .
由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC ，从而HF ＝AG ＝5，DF ＝1
2
(12－2)＝5.
故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.
课标理数15.[2011·陕西卷] (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)
N4A.(不等式选做题)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是____________．
图1－5
N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，
y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则
|AB |的最小值为________．
课标理数15.(1)N4[2011·陕西卷] a ≥3或a ≤－3
【解析】 令t ＝|x ＋1|＋|x －2|得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3. 课标理数15.(2)N1[2011·陕西卷] 42 【解析】 在Rt △ADC 中，CD ＝82；在Rt △ADC
与Rt △ABE 中，∠B ＝∠D ，所以△ADC ∽△ABE ，故AB AD ＝BE CD ，BE ＝AB
AD
×CD ＝4 2.
课标理数15.(3)N3[2011·陕西卷] 3 【解析】 由C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，
y ＝4＋sin θ消参得(x －3)2＋(y
－4)2＝1；由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB |≥3，最小值为3.
课标文数15.[2011·陕西卷] N4A.(不等式选做题)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．
图1－7
N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，
则|AB |的最小值为________．
课标文数15A.N4[2011·陕西卷] (－∞，3] 【解析】 由绝对值的几何意义得|x ＋1|＋|x －2|≥3，要使得|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，则a ≤3，即a ∈(－∞，3]．
课标文数15B.N1[2011·陕西卷] 2 【解析】 根据图形由∠ACD ＝90°，∠B ＝∠D ，得A ，B ，C ，D 四点共圆，连接BD ，则∠DBA ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，所以∠BDA ＝30°＝∠BCA .
因为AE ⊥BC ，AE ＝1
2
AC ＝2.
课标文数15C.N3[2011·陕西卷] 1 【解析】 由C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ消参得(x －3)2＋y 2＝1，由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2
＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB |≥1，最小值为1.
课标数学21.[2011·江苏卷]
【选做题】 本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
答．．．
若多做，则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
图1－7
N1 A ．选修4－1：几何证明选讲
如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．
N2 B ．选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.
N3 C ．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4－2t ，
y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4 D ．选修4－5：不等式选讲
解不等式x ＋|2x －1|<3. 课标数学21.[2011·江苏卷] N1 A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．
【解答】 证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D .连结BD ，CE .
因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．
从而∠ABD ＝∠ACE ＝π
2
，所以BD ∥CE ，
于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1
r 2
.
所以AB ∶AC 为定值．
N2 B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求 解能力．
【解答】 A 2
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3 24 3.
设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤12，从而⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2. 解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12.
N3 C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．
【解答】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.
故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝1
2
(x －4)，即x －2y －4＝0.
N4 D ．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．
【解答】 原不等式可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12
.
所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪
－2<x <43.
课标理数12.N1[2011·天津卷] 如图1－6所示，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．
图1－6
课标理数12.N1[2011·天津卷]
7
2
【解析】 设AF ＝4k (k >0)，则BF ＝2k ，BE ＝k . 由DF ·FC ＝AF ·BF ，得2＝8k 2，即k ＝1
2
.
∴AF ＝2，BF ＝1，BE ＝12，AE ＝7
2
，
由切割线定理得CE 2＝BE ·EA ＝12×72＝7
4
，
∴CE ＝7
2
.
课标文数13.N1[2011·天津卷] 如图1－5，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．
图1－5
课标文数13.N1[2011·天津卷]
7
2
【解析】 设AF ＝4k (k >0)，则BF ＝2k ，BE ＝k . 由DF ·FC ＝AF ·BF 得2＝8k 2，即k ＝1
2
.
∴AF ＝2，BF ＝1，BE ＝12，AE ＝7
2
，
由切割线定理得CE 2＝BE ·EA ＝12×72＝7
4
，
∴CE ＝7
2
.
课标理数21.[2011·福建卷] N2(1)选修4－2：矩阵与变换
设矩阵M ＝⎝⎛⎭⎫
a 00
b (其中a >0，b >0)．
①若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －
1；
②若曲线C ：x 2＋y 2
＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24
＋y 2＝1，求
a ，
b 的值．
N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α为参数)．
①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正
半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫4，π
2，判断点P 与直线l 的位置关系； ②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；
②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．
课标理数21.[2011·福建卷] 【解答】 N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M －
1＝⎝⎛⎭⎫x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1
＝⎝⎛⎭⎫1 00 1.
又M ＝⎝⎛⎭⎫2 00 3，所以⎝⎛⎭⎫2 00 3⎝⎛⎭⎫x 1 y 1x 2 y 2＝⎝⎛⎭
⎫1 00 1. 所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝1
3
.
故所求的逆矩阵M －
1＝错误!.
②设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．
则⎝⎛⎭⎫a 00 b ⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫x ′y ′，即⎩
⎪⎨⎪⎧
ax ＝x ′by ＝y ′.
又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′2
4
＋y ′2＝1.
则a 2x 24
＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．
又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2＝4，
b 2＝1.
又a >0，b >0，所以⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，
b ＝1.
N3(2)①把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭
⎫4，π
2化为直角坐标， 得P(0,4)．
因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． ②因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为
d ＝|3cos α－sin α＋4|
2＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋42
＝2cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
6＋2 2. 由此得，当cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. N4(3)①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x<1， 所以M ＝{x|0<x<1}．
②由①和a ，b ∈M 可知0<a<1,0<b<1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b.
N
3 C ．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4－2t ，
y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4 D ．选修4－5：不等式选讲
解不等式x ＋|2x －1|<3. 课标数学21.[2011·江苏卷] N1 A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．
【解答】 证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D .连结BD ，CE .
因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．
从而∠ABD ＝∠ACE ＝π
2
，所以BD ∥CE ，
于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1
r 2
.
所以AB ∶AC 为定值．
N2 B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求 解能力．
【解答】 A 2
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3 24 3.
设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤12，从而⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2. 解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12.
N3 C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．
【解答】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.
故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝1
2
(x －4)，即x －2y －4＝0.
N4 D ．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．
【解答】 原不等式可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1<0，x －(2x －1)<3.
解得12≤x <43或－2<x <12
.
所以原不等式的解集是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
－2<x <43.
课标理数 5.N3[2011·安徽卷] 在极坐标系中，点⎝⎛⎫2，π
3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )
A ．2 B.4＋π2
9
C.1＋π2
9
D. 3
课标理数 5.N3[2011·安徽卷] D 【解析】 点⎝⎛⎭
⎫2，π
3的直角坐标为⎩
⎨⎧
x ＝ρcos θ＝2cos π
3
＝1，
y ＝ρsin θ＝2sin π
3
＝ 3.
圆ρ＝2cos θ 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，圆
心(1,0)到点(1，3)的距离为 3.
课标理数3.N3[2011·北京卷] 在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A.⎝⎛⎭⎫1，π2
B.⎝
⎛⎭⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π) 课标理数3.N3[2011·北京卷] B 【解析】 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方
程为x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标方程为⎝
⎛⎭⎫1，－π
2，故应选B.
课标理数21.[2011·福建卷] N2(1)选修4－2：矩阵与变换
设矩阵M ＝⎝⎛⎭⎫
a 00
b (其中a >0，b >0)．
①若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －
1；
②若曲线C ：x 2＋y 2
＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24
＋y 2＝1，求
a ，
b 的值．
N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α为参数)．
①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正
半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫4，π
2，判断点P 与直线l 的位置关系； ②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；
②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．
课标理数21.[2011·福建卷] 【解答】 N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M －
1＝⎝⎛⎭⎫x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1
＝⎝⎛⎭⎫1 00 1.
又M ＝⎝⎛⎭⎫2 00 3，所以⎝⎛⎭⎫2 00 3⎝⎛⎭⎫x 1 y 1x 2 y 2＝⎝⎛⎭
⎫1 00 1. 所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝1
3
.
故所求的逆矩阵M －1
＝错误!.
②设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．
则⎝⎛⎭⎫a 00 b ⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＝x ′by ＝y ′.
又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′2
4
＋y ′2＝1.
则a 2x 24
＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．
又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2
＝1，故⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝1. 又a >0，b >0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
N3(2)①把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭
⎫4，π
2化为直角坐标， 得P(0,4)．
因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． ②因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为
d ＝|3cos α－sin α＋4|
2＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋42
＝2cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
6＋2 2. 由此得，当cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. N4(3)①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x<1， 所以M ＝{x|0<x<1}．
②由①和a ，b ∈M 可知0<a<1,0<b<1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b.
课标理数14.N3[2011·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为
⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ
y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54t 2y ＝t
(t ∈R )，它们的交点坐标为________． 课标理数14.N3[2011·广东卷] ⎝⎛⎭⎫1，255 【解析】 把参数方程⎩⎨⎧
x ＝5cos θ，y ＝sin θ
化为标准
方程得x 25
＋y 2
＝1(y ≥0)，把⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54t 2，y ＝t
化为标准方程得y 2
＝4
5
x (x >0)，联立方程
⎩⎨⎧
x 25
＋y 2
＝1，y 2
＝45x ，
得x ＝1或x ＝－5(舍去)，
把x ＝1代入y 2＝45x 得y ＝255或y ＝－255(舍去)，所以交点坐标为⎝
⎛⎭⎫
1，255.
课标理数9.N3[2011·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos α，
y ＝1＋sin α(α
为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．
课标理数9. N3[2011·湖南卷] 2 【解析】 曲线C 1的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos α，
y ＝1＋sin α化为普通方程：
x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0,1)，r ＝1，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0化为普通方程：x －y ＋1＝0，
则圆心在曲线C 2上，直线与圆相交，故C 1与C 2的交点个数为2.
课标文数9.N3[2011·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎨⎧
x ＝2cos α，
y ＝3sin α(α
为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．
课标文数9.N3[2011·湖南卷] 2 【解析】 曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos α，
y ＝3sin α，
化为普通
方程：x 24＋y 2
3
＝1 ①，
曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0化为普通方程：x －y ＋1＝0 ②.
联立①，②得7x 2＋8x －8＝0，此时Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C 1与C 2的交点个数为2.
课标理数15.N3[2011·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
课标理数15.N3[2011·江西卷] 【答案】 x 2＋y 2－4x －2y ＝0
【解析】 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θy ＝ρsin θ ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝y
ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ得，ρ
＝2y ρ＋4x
ρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.
课标理数23.N3[2011·课标全国卷] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)
M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →
，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程；
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，
射线θ＝π
3
与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.
课标理数23.N3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫
x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以
⎩
⎨⎧
x
2＝2cos α，y 2
＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α，
y ＝4＋4sin α.
从而C 2的参数方程为 ⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π
3，
射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π
3
.
所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝2 3.
课标理数23.N3[2011·辽宁卷] 选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos φ，
y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数
方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，
射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π
2
时，这
两个交点重合．
(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；
(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π
4
时，l 与C 1，C 2的交点分别
为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．
课标理数23.N3[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆． 当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)． 因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.
当α＝π
2
时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )．
因为这两点重合，所以b ＝1.
(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2
＝1和x 29
＋y 2＝1.
当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.
当α＝－π
4
时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称．因此四
边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′＋2x )(x ′－x )2＝2
5
.
课标文数23.N3[2011·辽宁卷] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos φ，y ＝sin φ，(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，
这两个交点间的距离为2，当α＝π
2
时，这两个交点重合．
(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；
(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π
4
时，l 与C 1，C 2的交点分别
为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．
课标文数23.N3[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．
当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.
当α＝π
2
时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所
以b ＝1.
(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2
＝1和x 29
＋y 2＝1.
当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.
当α＝－π
4
时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四
边形A 1A 2B 2B 1为梯形．
故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′＋2x )(x ′－x )2＝2
5
.
课标文数23.N3[2011·课标全国卷] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数) M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →
，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程；
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π
3
与C 1的异于极点的交点
为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.
课标文数23.N3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫
x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以
⎩
⎨⎧
x
2＝2cos α，y 2
＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α，
y ＝4＋4sin α.
从而C 2的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α，
y ＝4＋4sin α，(α为参数)
(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π
3，
射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π
3
.
所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.
课标理数15.[2011·陕西卷] (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)
N4A.(不等式选做题)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是____________．
图1－5
N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则
|AB |的最小值为________．
课标理数15.(1)N4[2011·陕西卷] a ≥3或a ≤－3
【解析】 令t ＝|x ＋1|＋|x －2|得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3. 课标理数15.(2)N1[2011·陕西卷] 42 【解析】 在Rt △ADC 中，CD ＝82；在Rt △ADC
与Rt △ABE 中，∠B ＝∠D ，所以△ADC ∽△ABE ，故AB AD ＝BE CD ，BE ＝AB
AD
×CD ＝4 2.
课标理数15.(3)N3[2011·陕西卷] 3 【解析】 由C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，
y ＝4＋sin θ消参得(x －3)2＋(y
－4)2＝1；由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2
＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB |≥3，最小值为3.
课标文数15.[2011·陕西卷] N4A.(不等式选做题)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．
图1－7
N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则
|AB |的最小值为________．
课标文数15A.N4[2011·陕西卷] (－∞，3] 【解析】 由绝对值的几何意义得|x ＋1|＋|x －2|≥3，要使得|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，则a ≤3，即a ∈(－∞，3]．
课标文数15B.N1[2011·陕西卷] 2 【解析】 根据图形由∠ACD ＝90°，∠B ＝∠D ，得A ，B ，C ，D 四点共圆，连接BD ，则∠DBA ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，所以∠BDA ＝30°＝∠BCA .
因为AE ⊥BC ，AE ＝1
2
AC ＝2.
课标文数15C.N3[2011·陕西卷] 1 【解析】 由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ
消参得(x －3)2＋y 2＝1，由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB |≥1，最小值为1.
课标数学21.[2011·江苏卷]
【选做题】 本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．．
若多做，则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
图1－7
N1 A ．选修4－1：几何证明选讲
如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．
N2 B ．选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.
N3 C ．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝5cos φ，
y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4－2t ，
y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4 D ．选修4－5：不等式选讲
解不等式x ＋|2x －1|<3. 课标数学21.[2011·江苏卷] N1 A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．
【解答】 证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D .连结BD ，CE .
因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．
从而∠ABD ＝∠ACE ＝π
2
，所以BD ∥CE ，
于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1
r 2
.
所以AB ∶AC 为定值．
N2 B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求 解能力．
【解答】 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤3 24 3.
设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2
α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2. 解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12.
N3 C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．
【解答】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以
右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.
故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝1
2
(x －4)，即x －2y －4＝0.
N4 D ．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．
【解答】 原不等式可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1<0，x －(2x －1)<3.
解得12≤x <43或－2<x <12
.
所以原不等式的解集是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
－2<x <43.
课标理数11.N3[2011·天津卷] 已知抛物线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝8t 2
，
y ＝8t (t 为参数)．若斜率
为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.
课标理数11.N3[2011·天津卷] 2 【解析】 由抛物线的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝8t 2
，
y ＝8t ， 消去t ，得
y 2＝8x ，∴焦点坐标为(2,0)．
∴直线l 的方程为y ＝x －2.
又∵直线l 与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切，
∴r ＝|4－2|12＋1
2＝ 2. 课标理数21.[2011·福建卷] N2(1)选修4－2：矩阵与变换
设矩阵M ＝⎝⎛⎭⎫
a 00
b (其中a >0，b >0)．
①若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －
1；
②若曲线C ：x 2＋y 2
＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24
＋y 2＝1，求
a ，
b 的值．
N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α为参数)．
①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正
半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫4，π
2，判断点P 与直线l 的位置关系； ②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；
②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．
课标理数21.[2011·福建卷] 【解答】 N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M －
1＝⎝⎛⎭⎫x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1
＝⎝⎛⎭⎫1 00 1.
又M ＝⎝⎛⎭⎫2 00 3，所以⎝⎛⎭⎫2 00 3⎝⎛⎭⎫x 1 y 1x 2 y 2＝⎝⎛⎭
⎫1 00 1.
所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝1
3
.
故所求的逆矩阵M －1
＝错误!.
②设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．
则⎝⎛⎭⎫a 00 b ⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫x ′y ′，即⎩
⎪⎨⎪⎧
ax ＝x ′by ＝y ′. 又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′2
4
＋y ′2＝1.
则a 2x 24
＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．
又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2
＝1，故⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝1. 又a >0，b >0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
N3(2)①把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭
⎫4，π
2化为直角坐标， 得P(0,4)．
因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． ②因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为
d ＝|3cos α－sin α＋4|
2＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋42
＝2cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
6＋2 2. 由此得，当cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. N4(3)①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x<1， 所以M ＝{x|0<x<1}．
②由①和a ，b ∈M 可知0<a<1,0<b<1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b.
课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭
⎫1
x 2＋4y 2的最小值为________．
课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 9 【解析】 方法一：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝1＋4x 2y 2＋1x 2
y 2
＋4≥5＋24x 2y 2×1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1
x 2y
2时，“＝”成立．
方法二：利用柯西不等式：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2≥⎝⎛⎭⎫x ×1x ＋1y ×2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y
2时，等号成立．
课标理数15.N4[2011·江西卷] (2)(不等式选做题)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．
课标理数15.N4[2011·江西卷] 【答案】 5 【解析】 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取得最大值5.
课标文数15.N4[2011·江西卷] 对于x ∈R ，不等式||x ＋10－||x －2≥8的解集为________． 课标文数15.N4[2011·江西卷] [0，＋∞) 【解析】 由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－10，－x －10＋x －2≥8或⎩⎪⎨⎪⎧ －10<x ≤2，x ＋10＋x －2≥8或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥2，x ＋10－x ＋2≥8，解得x ∈[0，＋∞)．
课标理数24.N4[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；
(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 课标理数24.N4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.
故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为 {x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得 |x －a |＋3x ≤0.
此不等式可化为不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩
⎪⎨⎪⎧
x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩
⎪⎨⎪⎧
x <a ，x ≤－a 2.
因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪
x ≤－a 2. 由题设可得－a
2
＝－1，故a ＝2.
课标理数24.N4[2011·辽宁卷] 选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；
(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．
课标理数24.N4[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－3， x ≤2，2x －7， 2＜x ＜5，
3， x ≥5.
当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3.
所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，
当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；
当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．
综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．
课标文数24.N4[2011·辽宁卷] 已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；
(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集． 课标文数24.N4[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－3， x ≤2，2x －7， 2＜x ＜5，
3， x ≥5.
当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，
当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；
当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．
综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．
课标文数24.N4[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；
(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 课标文数24.N4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1， 故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为 {x |x ≥3或x ≤－1}．
(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式可化为不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩
⎪⎨⎪⎧
x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩
⎪⎨⎪⎧
x <a ，x ≤－a 2.
因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎭⎬⎫x ≤－a 2. 由题设可得－a
2
＝－1，故a ＝2.
课标理数15.[2011·陕西卷] (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)
N4A.(不等式选做题)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是____________．
图1－5
N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，
y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则
|AB |的最小值为________．
课标理数15.(1)N4[2011·陕西卷] a ≥3或a ≤－3
【解析】 令t ＝|x ＋1|＋|x －2|得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3. 课标理数15.(2)N1[2011·陕西卷] 42 【解析】 在Rt △ADC 中，CD ＝82；在Rt △ADC
与Rt △ABE 中，∠B ＝∠D ，所以△ADC ∽△ABE ，故AB AD ＝BE CD ，BE ＝AB
AD
×CD ＝4 2.
课标理数15.(3)N3[2011·陕西卷] 3 【解析】 由C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，
y ＝4＋sin θ消参得(x －3)2＋(y
－4)2＝1；由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB |≥3，最小值
为3.
课标文数15.[2011·陕西卷] N4A.(不等式选做题)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．
图1－7
N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则
|AB |的最小值为________．
课标文数15A.N4[2011·陕西卷] (－∞，3] 【解析】 由绝对值的几何意义得|x ＋1|＋|x －2|≥3，要使得|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，则a ≤3，即a ∈(－∞，3]．
课标文数15B.N1[2011·陕西卷] 2 【解析】 根据图形由∠ACD ＝90°，∠B ＝∠D ，得A ，B ，C ，D 四点共圆，连接BD ，则∠DBA ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，所以∠BDA ＝30°＝∠BCA .
因为AE ⊥BC ，AE ＝1
2
AC ＝2.
课标文数15C.N3[2011·陕西卷] 1 【解析】 由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ
消参得(x －3)2＋y 2＝1，由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB |≥1，最小值为1.
课标数学21.[2011·江苏卷]
【选做题】 本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
答．．．
若多做，则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
图1－7
N1 A ．选修4－1：几何证明选讲
如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．
N2 B ．选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.
N3 C ．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4－2t ，
y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．。