清华大学2015年自主招生数学试题及答案解析

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清华大学2015年自主招生考试

数学试题

一、选择题

1.设复数z=cos 23π+isin 23

π,则2

111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件

(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要

3.设A 、B 是抛物线y=2

x 上两点,O 是坐标原点,若OA ⊥OB,则( )

(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥

(C)直线AB 过抛物线y=2

x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1),且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②

()f x +()f y =()1x y f xy

++,x 、y ∈(-1,1),则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数

5.如图,已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点,则F(x)=f (x)−kx 有（ ）

(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点

6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2,∠C=3

π,且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ）

(A)b=2a (B)△ABC 的周长为 (C)△ABC (D)△ABC 的外接圆半径为

7.设函数2()(3)x f x x e =-,则（ ）

(A)()f x 有极小值,但无最小值 (B) ()f x 有极大值,但无最大值

(C)若方程()f x =b 恰有一个实根,则b>

36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根,则0

6e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=},B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=,已知

A∩B={(11,x y ),(22,x y )},则（ ）

(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-=

(C)12x x +=a ,12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +

9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3,则5x+4y+3z 的最小值为（ ）

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

10.设数列{n a }的前n 项和为n S ,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得n S =m a ,则（ ）

（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列

（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n,总存在正整数m,使得n a =m S

11.运动会上,有6名选手参加100米比赛,观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是（ ）

(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁

12.长方体ABCD −1111A B C D 中,AB=2,AD=A 1A =1,则A 到平面1A BD 的距离为（ ）