第3章复变函数的积分
复变函数 第三章 复变函数的积分
{ u [ x ( t ), y ( t )] i [ v [ x ( t ), y ( t )]]}( x ' ( t ) iy ' ( t )) dt
i v x t,y () t) xt ' () u (()() x ty t) yt ' () } d t {(()
f[ z ( t)] z '( t) dt fz ( ) d z f [ z ( t ) ] zt ' ( ) d t
C
( 3 . 6 )
用(3.6)式计算复变函数的积分,是从积分路径的 参数方程着手,称为参数方程法.
例3.1 计算 z d z ,C : 从原点到点 3 4 i 的直线 . C y x3 t, 0t 1 , 解 直线方程为 A y 4 t ,
C C
u ( x , y ) d x v ( x , y ) d y iv ( x , y ) d x u ( x , y ) d y
C C
C
f ( z )d z
结 论 1 : 当是 fz () 连 续 函 数 , C 是 光 滑 曲 线 时 , () d z 一 定 存 在 。 fz 结 论 2 : () d z 可 以 通 过 两 个 二 元 实 函 数 的 fz
k k
证明 令 z x iy x x x y y y k k k k k k 1 k k k 1
n
k n k k k k k k
n
u (k, x v(k, y k) k k) k
k 1 k 1 n n
k 1 n
06第三章复变函数的积分
第三章复变函数的积分复变函数的积分(简称复积分)是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的许多重要性质都可以通过积分形式反映出来。
§1.复积分的概念一.复积分的定义与计算1.有向曲线设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C 理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A 到B 作为曲线C 的正向,那么B 到A 就是曲线C 的负向,2.复积分的概念定义:设C 为z 平面上一条以A 为起点,以B 为终点的简单光滑曲线,复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上有定义.在曲线C 上任. -C 记为取B z z z A n == ,,10将C 分为n 个小弧段,(k k k y i x z +=,k k k k k y i x z z z ∆+∆=-=∆-1)在每个小弧段上任取一点k k k i ηξς+=,作和式(),z f S nk k k n ∑=∆=1ς设,max k z ∆=λ若当0→λ时,该式的极限存在,且与小弧段的分法及k ς的取法无关,则称此极限值为复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上从A 到B 的复积分,记作()⎰c dz z f ;若曲线方向改为由B 到A ,则积分记作()⎰-c dz z f ;当C 为简单闭曲线时,则此积分记作()⎰c dz z f .(规定逆时针方向为C 的正向)定理3.1设()()()y x v i y x u z f ,,+=在光滑曲线C 上连续,则积分()⎰c dz z f 存在,且为()()()()().,,,,⎰⎰⎰++-=cccdy y x u dx y x v i dyy x v dx y x u dz z f 此式说明,复积分的计算问题可以转化为二元实函数的曲线积分来处理。
(注:上式在形式上可看做函数()v i u z f +=与微分dy i dx dz +=相乘后得到的,这样便于记忆)特别地,若C 的参数方程为:()()()t y i t x t z +=(()()B b z A a z ==,),则有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()()[]()[]().,,,,,,,,,,dt t z t z f dtt y i t x t y t x v i t y t x u t dy t y t x u t dx t y t x v i t dy t y t x v t dx t y t x u dyy x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f bababab accc'='+'+=++-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例1计算dz z c⎰,其中C 是如图所示:x1i1c 2c 3c (1)从点1到点i 的直线段1c ;(2)从点1到点0的直线段2c ,再从点0到点y的直线段i 的直线段3c 所连接成的折线段c =2c +3c .问题:影响积分的因素有哪些?例2计算()⎰-c nzz dz0,其中n 为任何整数,C 为以0z 为中心,r 为半径的圆周.例3计算⎰czdz 其中C 为从原点到点3+4i 的直线段.二.复积分的基本性质(1)()()[]()()⎰⎰⎰±=±c c c dz z g dz z f dz z g z f ;(2)()()⎰⎰=ccdz z f k dz z kf ;(3)()()⎰⎰--=c cdz z f dz z f ;(4)()()()⎰⎰⎰+=21c c c dz z f dz z f dz z f ,其中21C C C +=;(5)()()⎰⎰≤≤ccML ds z f dz z f .(积分估值)例4设C 为从原点到点3+4i 的直线段,试求积分⎰-ci z dz模的一个上界。
复变函数 第三章 复变函数的积分
u iv d x id y
c
F x t , y t r t d t
c
u d x vd y i vd x u d y
c
一个复积分的实质是
两个实二型线积分
f x t , y t z t dt
c
dx
A x , y
d r dz
dy
x x t t y y t
复积分
f
z u x , y iv x , y
f
z x iy , d z d x id Nhomakorabeay
c
z dz
复积分存在的一个充分条件:
设函数 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ) 在逐段光滑 的曲线上 C 连续, 则 f z d z 必 存 在 .
c
f ( z ) 连续 u ( x , y ), v ( x , y ) 连续
C
udx vdy 与 vdx udy 存在
|zz0|=R全部在C的内部, 且R <.
f ( z)
0
z z
C
d z
K
f ( z) z z0
z z0
dz
zz
K
f ( z0 )
0
dz
K
f ( z ) f ( z0 )
dz
C
z
K
R z0
D
2 π if ( z 0 )
第三章 复变函数的积分
β
β
例 3:计算积分
z 2 dz 其中 C 为 ∫
C
y
2+ i
(1) 从原点 z = 0 到 z = 2 + i 的直线 . (2) 从原点 z = 0 到 z = 2, 再从 z = 2 到 z = 2 + i 的直线 .
C1
C2
C3
2 y
x
例 4:计算 I 1 =
∫ zdz 和 I
C1
2
=
∫ zdz .
C2
如图所示, 其中 C 1 , C 2 如图所示,均以为起点 z = − 1 沿单位圆周到终点 z = − 1.
C1
−1
C2
O
1
x
例4: 求 解:
1 ∫C ( z − z0 )n+1 dz , C 为以 z0 为中心, r 为半 径的正向圆周, n 为整数.
y
积分路径的参数方程为
(1)
(5)
e z dz = e z + C ; ∫
2
n
n +1
2
不定积分具有如下性质: 不定积分具有如下性质:
∫ [ f ( z ) ± g ( z )]dz = ∫ f ( z )dz ± ∫ g ( z )dz.
∫ k f ( z )dz = k ∫ f ( z )dz.
例1: 计算 :
(1) ∫ ( 3 z 2 − 2 z )dz (2)∫ (cos 2 z + shz )dz
3.1.2 定积分 有向曲线: 有向曲线 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们 y B 就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线 有向曲线. 就把 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到 作为曲线 的正向, 作为曲线C 如果 到B作为曲线 的正向 那么B到 就是曲线 的负向, 就是曲线C 那么 到A就是曲线 的负向 记为 C − . A x o 关于曲线方向的说明: 关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从 y P 起点到终点的方向. 起点到终点的方向. P 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线正向的定义: P 简单闭曲线C 简单闭曲线 的正向是指当曲线上的点P P o 顺此方向前进时, 顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始 点的左方. 终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向. 与之相反的方向就是曲线的负方向.
3第三章 复变函数的积分
第三章 复变函数的积分复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。
解析函数的许多重要性质,诸如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题,却是通过解析函数的复积分表示证明的,这是复变函数论在方法上的一个特点。
同时,复变函数积分理论既是解析函数的应用推广,也是后面留数计算的理论基础。
§3.1 复变函数积分的概念1 积分的定义复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。
今后除特别声明,当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线,其中逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。
在第一章中曾定义了曲线的方向,这里回顾并作更仔细些的说明:对于光滑或逐段光滑的开曲线,只要指明了其起点和终点,从起点到终点,也就算规定了该曲线的正方向C ;对于光滑或逐段光滑的闭曲线C ,沿着曲线的某方向前进,如果C 的内部区域在左方,则规定该方向为C 的正方向(就记为C ),反之,称为C 的负方向(记为-C )(或等价地说,对于光滑或逐段光滑的闭曲线,规定逆时针方向为闭曲线的正方向,顺时针为方向为闭曲线的负方向);若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==,)(βα≤≤tt 为实参数,则规定t 增加的方向为正方向,即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。
定义3.1.1 复变函数的积分 设有向曲线C :)(t z z =,βα≤≤t ,以)(αz a =为起点,)(βz b =为终点,)(z f 沿C 有定义。
在C 上沿着C 从a 到b 的方向(此为实参数t 增大的方向,作为C 的正方向)任取1-n 个分点:b z z z z a n n ==-,,,,110 ,把曲线C 分成n 个小弧段。
在每个小弧段上任取一点k ζ,作和∑=∆=nk k k n z f S 1)(ζ,其中1--=∆k k k z z z ,记{}n z z ∆∆=,,max 1 λ,若0→λ时(分点无限增多,且这些弧段长度的最大值趋于零时),上述和式的极限存在,极限值为J (即不论怎样沿C 正向分割C ,也不论在每个小弧段的什么位置上取k ζ,当0→λ时n S 都趋于同一个数J ),则称)(z f 沿C 可积,称J 为)(z f 沿C (从a 到b )的积分,并记为⎰=Cdz z f J )(,即为(3.1.1)C 称为积分路径,⎰Cdz z f )(表示沿C 的正方向的积分,⎰-C dz z f )(表示沿C 的负方向的积分。
第3章 复变函数的积分1
2 柯西-古萨定理
一般说来,复变函数的积分值不仅依赖于积 分的起点和终点,而且与积分路径有关,下面 我们讨论复变函数的积分与定理 如果函数f(z)在单连域内处处解析, f(z) 那么函数沿内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即:
∫ f ( z) = 0
因而上面的两个面积分均为零,从而证明了单通区域的柯西定理
单通区域柯西定理推论
推论一: 如果函数 f (z ) 在单连域内处处解析, ∫ c f (z )dz 那末积分 与连结从起点到终点的 C 路线 无关. 推论二:设 l 为单通区域 B 的边界线, f (z)在区 域B 内解析,在 B = B + l 上连续,则:
= −[z cos z − sin z ] = sin 1 − cos1 0
1
例7 计算
解:
∫π
3πi
− i
e 2 z dz
1 e 2 z dz = ∫ e 2 z d (2 z ) ∫πi 2 −πi −
3πi
3πi
1 2 z 3πi 1 6πi = e = e − e −2πi = 0. − πi 2 2
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫∫ (
l s
∂Q ∂P − )dxdy ∂x ∂y
将回路积分化成面积分 ,得: ∂v ∂u ∂u ∂v f ( z ) = − ∫∫ ( ) dxdy + i ∫∫ ( ) dxdy + − ∫l ∂x ∂y ∂x ∂y s s
由于f ( z )在B 上解析,其实部u和虚部v在B 上满足柯西 − 黎曼条件 ∂u ∂v = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x
l l1 ( 逆时针 ) l2 ( 逆时针 )
第三章 复变函数的积分
第三章 复变函数的积分复变函数的积分(简称复积分)是研究解析函数的有力工具,解析函数许多重要的性质都需要利用复积分来证明.本章主要介绍复变函数积分的定义、性质与基本计算方法,解析函数积分的基本定理——柯西-古萨定理及其推广,柯西积分公式及其推论以及解析函数与调和函数的关系.柯西-古萨定理和柯西积分公式是复变函数的理论基础,以后各章都直接地或间接地用到它们.§3.1 复变函数积分的概念1.复变函数积分的定义在介绍复变函数积分的定义之前,首先介绍有向曲线的概念.设平面上光滑或分段光滑曲线C 的两个端点为A 和B .对曲线C 而言,有两个可能方向:从点A 到点B 和从点B 到点A .若规定其中一个方向(例如从点A 到点B 的方向)为正方向,则称C 为 有向曲线.此时称点A 为曲线C 的起点,点B 为曲线C 的终点.若正方向指从起点到终点的方向,那么从终点B 到起点A 的方向则称为曲线C 的负方向,记作C -.定义3.1 设C 为一条光滑或分段光滑的有向曲线,其中A 为起点,B 为终点.函数f (z )在曲线C 上有定义.现沿着C 按从点A 到点B 的方向在C 上依次任取分点:A =z 0,z 1,…,z n -1,z n =B ,图3.1将曲线C 划分成 n 个小弧段.在每个小弧段1k k z z -(k =1,2,…,n )上任取一点,k ξ,并作和式1().nn k k k S f z ξ==∆∑其中1k k k z z z -∆=-.记λ为n 个小弧段长度中的最大值.当λ趋向于零时,若不论对曲线C 的分法及点k ξ的取法如何,n S 极限存在,则称函数f (z )沿曲线C 可积,并称这个极限值为函数f (z )沿曲线C 的积分.记作1()d lim (),nkkk Cf z z f z λξ→==∆∑⎰f (z )称为被积函数,f (z )d z 称为被积表达式.若C 为闭曲线,则函数f (z )沿曲线C 的积分记作()d Cf z z ⎰.2.复变函数积分的性质性质3.1(方向性)若函数f (z )沿曲线C 可积,则()d ()d .CC f z z f z z -=-⎰⎰ (3.1)性质3.2(线性性)若函数f (z )和g (z )沿曲线C 可积,则(()())d ()d ()d ,CCCf zg z z f z z g z z αβαβ+=+⎰⎰⎰ (3.2)其中αβ,为任意常数.性质3.3(对积分路径的可加性)若函数f (z )沿曲线C 可积,曲线C 由曲线段12,,,n C C C ,依次首尾相接而成,则12()d ()d ()d ()d .nCC C C f z z f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰⎰(3.3)性质3.4(积分不等式)若函数f (z )沿曲线C 可积,且对z C ∀∈,满足()f z M ≤, 曲线C 的长度为L ,则()d ()d ,CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰(3.4)其中d d s z ==, 为曲线C 的弧微分.事实上,记k s ∆为z k -1与z k 之间的弧长,有111()()().nn nkkk k k k k k k f zf z f s ξξξ===∆≤∆≤∆∑∑∑令0λ→,两端取极限,得到()d ()d .CCf z z f z s ≤⎰⎰又由于11(),nnk k k k k f s M s ML ξ==∆≤∆=∑∑所以有()d ()d .CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰3.复变函数积分的基本计算方法定理3.1 若函数f (z )=u (x,y )+iv (x,y )沿曲线C 连续,则f (z )沿C 可积,且()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x v y =-++⎰⎰⎰ (3.5)证明:设11,,,,k k k k k k k k k k k k z x iy i x x x y y y ξζη--=+=+∆=-∆=-则11111()()()().k k k k k k k k k k k k k z z z x iy x iy x x i y y x i y -----∆=-=+-+=-+-=∆∆从而1111()((,)(,))()((,)(,))((,)(,)).nnkk k k k k k k k k nk k k k k k k nk k k k k k k f z u iv x i y u x v y i v x u y ξζηζηζηζηζηζη====∆=+∆+∆=∆-∆+∆+∆∑∑∑∑上式右端的两个和数是两个实函数的第二类曲线积分的积分和.已知f (z ) 沿C 连续,所以必有u 、v 都沿C 连续,于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在()d Cf z z ⎰,且()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x u y =-++⎰⎰⎰注(3.5)式可以看作是f (z )=u +iv 与d z =d x +i d y 相乘后得到:()d ()(d d )d d d d d d d d d .CCCCCf z z u iv x i y u x iv x iu y v yu x v y i v x u x u y =++=++-=-+++⎰⎰⎰⎰⎰定理3.1给出的条件仅仅是积分()d Cf z z ⎰存在的充分条件.该定理告诉我们,复变函数积分的计算问题可以化为其实部和虚部两个二元实函数第二类曲线积分的计算问题.下面介绍另一种计算方法--- 参数方程法.设C 为一光滑或为分段光滑曲线,其参数方程为()()()(),z z t x t iy t a t b ==+≤≤参数t =a 时对应曲线C 的起点,t =b 时对应曲线C 的终点.设f (z )沿曲线C 连续,则(())((),())((),())()().f z t u x t y t iv x t y t u t iv t =+=+由定理3.1有()d d d d d (()()()())d (()()()())d ,CCCb baaf z z u x v y i v x u yu t x t v t y t t i u t y t v t x t t =-++''''=-++⎰⎰⎰⎰⎰容易验证Re((())())()()()(),Im((())())()()()().f z t z t u t x t v t y t f z t z t u t y t v t x t '''=-'''=+所以()d (())()d .baCf z z f z t z t t '=⎰⎰(3.6)例3.1 分别沿下列路径计算积分2d Cz z ⎰和Im()d Cz z ⎰.(1) C 为从原点(0,0)到(1,1)的直线段;(2) C 为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段. 解: (1) C 的参数方程为:z =(1+i )t, t 从0到1 .11222033310d ((1))d((1))(1)((1))d (1)(1).33Cz z i t i t i i t t t i i =++=++⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰(2) 这两直线段分别记为C 1和C 2,C 1的参数方程为:y =0, x 从0到1; C 2的参数方程为:x =1, y 从0到1.1122203312103d d (1)d(1)33122(1)1.3333Cz z x x iy iy x y i y iy i i i i =+++⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭-+=+--==⎰⎰⎰ ()111000Im()d 0d d 1i d .2Ciz z x y y i y y =++==⎰⎰⎰⎰ 例3.2 计算积分d Czz z⎰,其中C 为图3.2所示半圆环区域的正向边界.图3.2解:积分路径可分为四段,方程分别是:C 1:z =t (-2≤ t ≤ -1); C 2:z =,i e θθ从π到0; C 3:z =t (1≤ t ≤ 2);C 4:z =2,i e θθe 从0到π.于是有123412π2π10d d d d d e 2e d e d d 2d e 2e24411.333CC C C C i i i i i i z z z z z z z z z z z z z z zt t t i t ie t t θθθθθθθθ----=+++=+++=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例3.3 计算积分101d ()n Cz z z +-⎰,其中C 为以z 0为中心,r 为半径的正向圆周,n 为整数.解:曲线C 的方程为:0(02π)i z z re θθ=+≤≤.从而有2π11(1)002π2πd e ()e d ed .e i n n i n Cin n in nzir I z z r i i r r θθθθθθ+++-==-==⎰⎰⎰⎰图3.3当n =0时,2πd 2πI i i θ==⎰当n ≠0时,2π(cos sin )d 0niI n i n rθθθ=-=⎰.所以有0102π,0;d 0,0.()n z z ri n zn z z +-==⎧=⎨≠-⎩⎰ (3.7) 由此可见,该积分与积分路线圆周的中心和半径无关,在后面还要多次用到这个结果,需记住.§3.2 柯西-古萨定理(C auchy-Gour s at)及其推广1.柯西-古萨定理首先我们来看看上一节所举的例题,例3.1中被积函数f (z )=z 2在z 平面上处处解析,它沿连接起点与终点的任何路径的积分值相同,也就是说,该积分与路径无关.即沿z 平面上任何闭曲线的积分为零.而例3.1中另一被积函数()Im()f z z =在z 平面上处处不解析,其积分值依赖于连接起点与终点的路径.由例3.3得积分1d 2π0Cz i z z =≠-⎰,曲线C 表示圆周:|z -z 0|=r >0.其中被积函数01()f z z z =-在z 平面上除去点z 0外处处解析,但这个区域是复连通区域.由此可见,积分值与路径是否无关,可能与被积函数的解析性及区域的单连通性有关.其实,在实函数的第二类曲线积分中就有积分值与路径无关的问题.由于复变函数的积分可以用相应的两个实函数的第二类曲线积分表示,因此对于复积分与路径无关的问题,我们很自然地会想到将其转化为实函数积分与路径无关的问题来讨论.假设函数f (z )=u +iv 在单连通域D 内处处解析,f '(z )在D 内连续,由第二章2.3节中的(2.9)式知u,v 对x,y 的偏导数在D 内连续.设z =x +iy ,C 为D 内任一条简单闭曲线.则由(3.5)式,有()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x u y =-++⎰⎰⎰记G 为C 所围区域,由格林(Green)公式有d d d d ,G Cv u u x v y x y x y ⎛⎫∂∂-=-- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 由于f (z )=u +iv 在D 内解析,所以u 、v 在D 内处处都满足柯西-黎曼方程,即,.u v v ux y x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 因此d d d d 0.CCu x v y v x u y -=-=⎰⎰从而()d 0.Cf z z =⎰下面的定理告诉我们去掉条件“f '(z )在D 内连续”条件,这个结论也成立.这是复变函数中最基本的定理之一.定理3.2(柯西-古萨定理) 若函数f (z )是单连通域D 内的解析函数,则f (z )沿D 内任一条闭曲线C 的积分为零,即()d 0.Cf z z =⎰注:其中曲线C 不一定要求是简单曲线.事实上,对于任意一条闭曲线,它都可以看成是由有限多条简单闭曲线衔接而成的,如图3.4.图3.4这个定理是由柯西提出来的,后来由古萨给出证明.由于证明过程较复杂,我们略去其证明.由柯西-古萨定理可以得到如下两个推论:推论3.1 设C 为z 平面上的一条闭曲线,它围成单连通域D ,若函数f (z )在D D C=上解析,则()d 0.Cf z z =⎰推论3.2 设函数f (z )在单连通域D 解析,则f (z )在D 内积分与路径无关.即积分()d Cf z z⎰不依赖于连接起点z 0与终点z 1的曲线C ,而只与z 0、z 1的位置有关.证明:图3.5设C 1和C 2为D 内连接z 0 与z 1的任意两条曲线.显然C 1和2C -连接成D 内一条闭曲线C .于是由柯西-古萨定理,有12()d ()d ()d 0.CC C f z z f z z f z z -=+=⎰⎰⎰即12()d ()d .C C f z z f z z =⎰⎰2.原函数由推论\re f {cor2可知,解析函数在单连通域D 内的积分只与起点z 0 和终点z 1有关,而与积分路径无关.因此,函数f (z )沿曲线C 1和C 2的积分又可以表示为1212()d ()d ()d .z z C C f z z f z z f z z ==⎰⎰⎰固定下限z 0,让上限z 1在区域D 内变动,并令z 1=z ,则确定了一个关于上限z 的单值函数()()d .zz F z f ξξ=⎰ (3.8)并称F (z )为定义在区域D 内的积分上限函数或变上限函数.定理3.3 若函数f (z )在单连通域D 内解析,则函数F (z )必在D 内解析,且有F '(z )=f (z ). 证明:若D 内任取一点z ,以z 为中心作一个含于D 内的小圆B ,在B 内取点(0)z z z +∆∆≠,则由(3.8)式有()()()d ()d .z zzz z F z z F z f f ξξξξ+∆+∆-=-⎰⎰因为积分与路径无关,所以()d z zz f ξξ+∆⎰的积分路径可取从z 0到z 再从z 到z z +∆,其中从z 0到z 取与()d zz f ξξ⎰的积分路径相同.于是有()()()d .z zzF z z F z f ξξ+∆+∆-=⎰由于f (z )是与积分变量ξ无关的值,故()d ()d ().z zz zzzf z f z f z z ξξ+∆+∆==∆⎰⎰从而()()1()()d()1(()())d .z zz z zzF z z F z f z f f z z zf f z zξξξξ+∆+∆+∆--=-∆∆=-∆⎰⎰又f (z )在D 内解析,显然f (z )在D 内连续.所以对于任给的0ε>,必存在0δ>,使得当z ξδ-<(且ξ落在圆B 内),即当z δ∆<时,总有()()<f f z ξε-.图3.6由复积分的性质\re f {ji f e n xi n g z hi4,有()()1()(()())d 1()()d 1.z zzz zzF z z F z f z f f z z zf f z z z zξξξξεε+∆+∆+∆--=-∆∆≤-∆≤∆=∆⎰⎰即0()()lim()z F z z F z f z z ∆→+∆-=∆,也就是()()F z f z '=.与实函数相似,复变函数也有原函数的概念及类似于牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式的积分计算公式.定义3.2 若在区域D 内,()z ϕ的导数等于f (z ),则称()z ϕ为f (z )在D 内的原函数. 由定理定理3.3可知,变上限函数0()()d zz F z f ξξ=⎰为f (z )的一个原函数.那么函数f (z )的全体原函数可以表示为()()z F z C ϕ=+,其中C 为任意常数.事实上,因为(()())()()()()0z F z z F z f z f z ϕϕ'''-=-=-=,所以()()z F z C ϕ-=,即()()z F z C ϕ=+.这说明了f (z )的任何两个原函数仅相差一个常数.利用这一性质我们可以得到解析函数的积分计算公式.定理3.4 若函数f (z )在单连通域D 内处处解析,()z ϕ为f (z )的一个原函数, 则11010()d ()()()z zz z f z z z z z ϕϕϕ=-=⎰, (3.9)其中z 0、z 1为D 内的点.证明:由于0()()d zz F z f ξξ=⎰为f (z )的一个原函数.所以()()d ().zz F z f z C ξξϕ==+⎰当z =z 0时,根据柯西-古萨定理可知0()C z ϕ=-,于是()d ()()zz f z z ξξϕϕ=-⎰.需要特别注意的是这个公式仅适用于定义在单连通域内的解析函数.例3.4 求积分π2sin 2d i z z ⎰的值.解:因为sin2z 在复平面上解析,所以积分与路径无关.可利用(3.9)式来计算.容易验证1cos 22z -是sin2z 的一个原函数, ππ2200ππππ11sin 2d (cos πcos 0)cos 22211e e .12242i iz z i z e e --=-=--+⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭⎰例3.5 求积分0(1)e d iz z z --⎰的值.解:因为(z -1)e -z 在复平面上解析,所以积分与路径无关.可利用(3.9)式来计算.(1)e d e d e d iiizzzz z z z z ----=-⎰⎰⎰, 上式右边第一个积分的计算可采用分部积分法,第二个积分可用凑微分法,得(1)e d e d e d esin1cos1.iiiizzz z i z z z zz ie i ------=+--=-=--⎰⎰⎰例3.6 设D 为直线3,2z t t ⎛=+-∞<<∞+ ⎝ 和直线4,55z t t i ⎛=+-∞<<∞-+ ⎝⎭所围成的区域. 求积分23d 2izz z +-⎰的值. 解: 尽管212z z +-在复平面上存在两个奇点1和-2,但是单连通域D 包含点3和i ,又不含奇点1和-2,因此212z z+-在区域D内解析,这样就可以用(3.9)式来计算.233311d dd2312i i iz zzz z z z⎛⎫=-⎪+--+⎝⎭⎰⎰⎰函数ln(z-1)和ln(z+2)在单连通域D内可以分解为单值的解析分支,ln(z-1)的各分支导数都为11z-,ln(z+2)的各个分支的导数都为12z+.我们可以应用任何一个分支来计算积分值,在这里我们都取主支. 所以()23311d ln(1)ln(2)231153π1ln arctan3224215π1ln arctan.62432iiz z zz zii i=--++-⎛⎫⎛⎫=++⎪⎪⎝⎭⎝⎭=++⎰3.复合闭路定理柯西-古萨定理定理可推广到多连通域.设有n+1条简单闭曲线C0、C1、C2、…、C n,其中C1、C2、…、C n互不相交也互不包含,并且都含于C0的内部.这n+1条曲线围成了一个多连通区域D, D的边界C称作复闭路,它的正向为C0取逆时针方向,其它曲线都取顺时针方向.因此复闭路记作012nC C C C C---=++++.沿复闭路的积分通常取的是沿它的正向.定理 3.5若f(z)在复闭路012nC C C C C---=++++及其所围成的多连通区域内解析,则012()d()d()d()dnC C C Cf z z f z z f z z f z z=+++⎰⎰⎰⎰, (3.10) 也就是()d0Cf z z=⎰.为了叙述的简便,我们仅对n=2的情形进行说明.图3.7在图3.7中,做辅助线l1、l2和l3将C0、C1及C2连接起来,从而把多连通区域D划分为两个单连通区域D1及D2,并分别用1Γ及2Γ表示这两个区域的边界,由柯西-古萨定理有12()d 0, ()d 0.f z z f z z ΓΓ==⎰⎰于是12()d ()d 0.f z z f z z ΓΓ+=⎰⎰上式左端,沿辅助线l 1、l 2和l 3的积分,恰好沿相反方向各取了一次,从而相互抵消.因此上式左端为沿曲线C 0、1C -及2C -上的积分,即有:12()d ()d ()d 0.C C C f z z f z z f z z --=⎰⎰⎰也就是12()d ()d ()d .C C C f z z f z z f z z =+⎰⎰⎰例3.7 计算2d2Czz +⎰的值,C 为包含圆周|z |=1在内的 任何正向简单闭曲线. 解:显然z =0和z =-1是函数21z z+的两个奇点,由于C 为包含圆周|z |=1在内的任何正向简单闭曲线,因此也包含了这两个奇点.在C 的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C 1和C 2,其中C 1的内部只包含奇点z =-1,C 2的内部只包含奇点z =0.图3.8因为21z z+在由C 、C 2、C 2所围成的复连通域内解析,所以由定理3.5、定理3.2及(3.7)式,得1211222222d d d d d d d 1102π2π00.CCC C C C C z z zz z z z z z z z z zz z z z i i =++++=-+-++=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ §3.3 柯西(C auchy)积分公式及其推论1.柯西积分公式利用复合闭路定理我们可以导出解析函数的积分表达式,即柯西积分公式.定理3.6 若f (z )是区域D 内的解析函数,C 为D 内的简单闭曲线,C 所围内部全含于D 内,z 为C 内部任一点,则1()()d 2πCf f z iz ξξξ=-⎰, (3.11) 其中积分沿曲线C 的正向.证明:取定C 内部一点z .因为f (z )在D 内解析,所以f (z )在点z 连续.即对任给的0ε∀>,必存在0δ>,当|z δξ<-时,有()()f f z εξ<-.令()()f F zξξξ=-,则()F ξ在D 内除去点z 外处处解析.现以z 为中心,r 为半径作圆周:B r z ξ=-(见图3.9),使圆B 的内部及边界全含于C 的内部.图3.9根据复合闭路定理有()()d d .C Bf f z z ξξξξξξ=--⎰⎰ 上式右端积分与圆B 的半径r 无关.令0r →,只需证明()d 2π()Bf if z z ξξξ→-⎰ 即可.由例3.3可知,1d 2πBi z ξξ=-⎰,而f (z )与ξ无关.于是 ()()()()()d 2π()d d d ()()d 2πd BB BBBBf f f z f f z if z z z z zf f z si rzξξξξξξξξξξξξξξ---==-----≤≤=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而定理得证.公式(3.11)称为 柯西积分公式.在柯西积分公式中,等式左端表示函数f (z )在C 内部任一点处的函数值,而等式右端积分号内的()f ξ表示f (z )在C 上的函数值.所以,柯西积分公式反映了解析函数在其解析区域边界上的值与区域内部各点处值之间的关系:函数f (z )在曲线C 内部任一点的值可用它在边界上的值来表示,或者说f (z )在边界曲线C 上的值一旦确定,则它在C 内部任一点处的值也随之确定.这是解析函数的重要特征.例如,若函数f (z )在曲线C 上恒为常数K ,z 0为C 内部任一点,则根据柯西积分公式有0001()1()d d 2π.2π2π2πC Cf KKf z i K iz i z i ξξξξξ===⋅=--⎰⎰ 即f (z )在曲线C 的内部也恒为常数K .又如,若C 为圆周:0z R ξ-=,即0Re i z θξ=+(02π)θ≤≤,则d Re d i i θξθ=,从而2π00002π00(Re )Re 1()1()d d 2π2πRe 1(Re )d .2πi i i Ci f z i f f z iz i f z θθθθξξθξθ+⋅==-=+⎰⎰⎰即解析函数在圆心z 0处的值等于它在圆周上的平均值,这就是解析函数的平均值定理.若f (z )在简单闭曲线C 所围成的区域内解析,且在C 上连续,则柯西积分公式仍然成立. 柯西积分公式可以改写成()d 2π()Cf if z z ξξξ=-⎰. (3.12) 此公式可以用来计算某些复变函数沿闭路积分.例3.8 计算积分221d z z z z =+⎰的值. 解:因为{z ^2+1在|z |=2内解析,由柯西积分公式(3.12)有22021d 2π2π.(1)z zz z i i z z ==+=⋅=+⎰ 例3.9 计算积分2πsin6d 1Czz z -⎰的值,其中C 为: 33(1)1;(2)1;(3) 3.22z z z ===-+ 解: (1) 被积函数πsin61zz +在312z =-的内部解析,由(3.12)式有, 21ππsinsinπ11πsin 66d d 2π2π.6111421CCz zzz i z z i i z z z z =⎛⎫ ⎪=⋅==⋅=-+- ⎪⎝+⎭⎰⎰(2) 被积函数πsin61zz -在312z =+的内部解析,由(3.12)式有 21ππsinsinπ11πsin 66d d 2π2π.6111421CCz zzz i z z i i z z z z =-⎛⎫ ⎪=⋅==⋅=--+ ⎪⎝-⎭⎰⎰(3) 被积函数2πsin61zz -在|z |=3的内部有两个奇点1z =±.在C 的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C 1和C 2,其中C 1的内部只包含奇点z =1,C 2的内部只包含奇点z =-1.由定理3.5的(3.10)式及(3.12)式,有12222πππsinsin sinππ666d d d π.11122CC C z z zi i z z z i z z z =+=+=---⎰⎰⎰例3.10 求积分42d 1z zz =-⎰的值, 其中C 为:|z |=2为正向. 解:因为z 4-1=0之解为z 1=1, z 2=i, z 3=-1, z 4=-i,分别作简单正向闭路C j 包围z j ,使C j (j =1, 2, 3, 4)互不包含,互不相交,均位于|z |=2内,则由复合闭路定理有4441d d 11jj CCz zz z ==--∑⎰⎰ 又由Cauchy 积分公式得()()()()()()()()()1141213121121312d 1d 112121i 111i πi πiπi2C Cz zz z z z z z z z z z z z z z z =⋅-----=---==-++⎰⎰同理可得234444d d d ,,1212π2π1πi C CC z z z z z z =-=-=---⎰⎰⎰. 所以 44412d d 011j j z C z zz z ====--∑⎰⎰.2.高阶导数公式 我们知道,一个实函数在某一区间上可导,并不能保证该函数在这个区间上二阶导数存在.但在复变函数中,如果一个函数在某一区域内解析,那么根据3.3节中的柯西积分公式推知,该解析函数是无穷次可微的.定理3.7 定义在区域D 的解析函数f (z )有各阶导数,且有()1!()()d (1,2,),2π()n n Cn f f z n iz ξξξ+==-⎰(3.13)其中C 为区域D 内围绕z 的任何一条简单闭曲线,积分沿曲线C 的正向.证明:用数学归纳法证明. 当n =1时,即证明21()()d .2π()Cf f z iz ξξξ'=-⎰也就是要证明2()1()limd .2π()z Cf z z f z iz ξξξ∆→+∆=∆-⎰由柯西积分公式(3.11)有1()()d ,2π1()()d .2πCCf f z i z f f z z iz z ξξξξξξ=-+∆=--∆⎰⎰于是22222()()1()d 2π()()()11()d d d 2π2π()1()1()d d 2π()()2π()()()()1d d ()()()()2πCC C CCCCC f z z f z f z iz f f f z z z i z i z f f i z z z z iz zf f f z z z z z ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ+∆--∆-⎛⎫--= ⎪--∆-∆-⎝⎭-=∆--∆--∆+-=--∆---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2d .Cξ⎰令上式为Q,显然2()1d .()()2πCzf Q z z z ξξξξ∆=--∆-⎰根据积分不等式(3. 4)有2()1d .2πCf z Q z z zξξξξ∆≤--∆-⎰因为f (z )在区域D 内解析,所以在闭曲线C 上解析并连续,从而在C 上是有界的. 即对于z C ∀∈,一定存在一个正数M ,使得|f (z )|≤M .设d 为从z 到C 上各点的最短距离,取z ∆充分小,满足2dz <∆.那么 ,.2d d z z z z z ξξξ≥≥->---∆-∆因此33212d ,d 2π2πd πd d 2CM M ML z z Q s L z ∆∆<=⋅=∆⋅⎰这里L 为C 的长度. 令0z ∆→,则0Q →,于是有()()1()()lim.2π()z Cf z z f z f f z d z iz ξξξ∆→+∆-'==∆-⎰假设n =k 时的情形成立,证明n =k +1时的情形成立.证明方法与n =1时的情形相似,但证明过程稍微复杂,这里就不证明了.这个定理实际上说明了解析函数具有无穷可微性.即 定理3.8 若f (z )为定义在区域D 内的解析函数,则在D 内其各阶导数都存在并且解析.换句话说,解析函数的导数也是解析函数.由解析函数的无穷可微性,我们可以得到判断函数在区域内解析的又一个充要条件.定理3.9 函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内解析的充要条件是(1),,,x y x y u u v v 在D 内连续;(2)(,),(,)u x y v x y 在D 内满足柯西-黎曼方程.证明:充分性即是定理2.8.下面证明必要性. 条件(2)的必要性由定理2.7给出.再来看条件(1),由于解析函数的导数仍然是解析函数,所以f '(z )在D 内解析,从而在D 内连续.而()x x y y f z u iv v iu '=+=-,所以,,,x y x y u u v v 在D 内连续.下面我们来看高阶导数公式的应用.高阶导数公式(3.13)可改写为()1()2πd ().()!n n Cf i f z z n ξξξ+=-⎰(3.14)可通过此式计算某些复变函数的积分.例3.11 求积分的1e d ()zn Cz ξξ+-⎰值, 其中C 为: 226x y y +=. 解:226x y y +=可化为22(3)9x y +-=,即|z -3i|=3. 被积函数2e π2z i z ⎛⎫- ⎪⎝⎭在C 的内部有一个奇点π2iz =,由(3.14)式有 π/22π/2e 2πe 2π2π.2π(e )π2zi z z i Ci i i i i z ====⋅=-'⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰例3.12 求积分32cos πd (1)Czz z z -⎰的值,其中C 为: |z |=2.解 被积函数32cos π(1)zz z -在C 的内部有两个奇点z =0和z =1,作两条闭曲线C 1和C 2互不相交且互不包含,分别包围奇点z =0和z =1,且两曲线所围区域全含于C 的内部,则根据复合闭路定理3.5和高阶导数公式(3.14),有1212323232233223022cos πcos πcos πd d d (1)(1)(1)cos π1cos π1d d (1)(1)2πcos πcos π2π2π32!(1)(6π)π6π(12π)π.CC C C C z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z i z z i i z z i i i ===+---=⋅+⋅--'''⎛⎫⎛⎫=++⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰§3.4 解析函数与调和函数的关系根据解析函数的导数仍是解析函数这个结论,我们来讨论解析函数与调和函数的关系. 定义3.3 在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程22220x yϕϕ∂∂+=∂∂ 的二元实函数(,)x y ϕ称为在D 内的调和函数.调和函数是流体力学、电磁学和传热学中经常遇到的一类重要函数.定理3.10 任何在区域D 内解析的函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ),它的实部u (x ,y )和虚部v (x ,y )都是D 内的调和函数.证明 由柯西-黎曼方程有,.v u v x y y xϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 于是222222,.u v u v x y x y x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂∂ 由定理3.8可知,u (x ,y )与v (x ,y )具有任意阶连续偏导,所以22.v vy x x y∂∂=∂∂∂∂ 从而22220.u vx y ∂∂+=∂∂ 同理可证22220.v vx y∂∂+=∂∂ 即u (x ,y )与v (x ,y )都是调和函数.使u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内构成解析函数的调和函数v (x ,y )称为u (x ,y )的共轭调和函数.或者说,在区域D 内满足柯西-黎曼方程u x =v y ,v x =-u y 的两个调和函数u 和v 中,v 称为u 的共轭调和函数.注意:u 与v 的关系不能颠倒,任意两个调和函数u 与v 所构成的函数u +iv 不一定就是解析函数.例如,f (z )=z 2=x 2-y 2+2xyi ,其中实部u =x 2-y 2,虚部v =2xy .由于f (z )=z 2解析,显然v =2xy 是u =x 2-y 2的共轭调和函数.但是v x =2y ,u y =-2y .因此以v 作为实部、u 作为虚部的函数g (z )=v +iu 不解析.下面介绍已知单连通域D 内的解析函数f (z )=u +iv 的实部或虚部,求f (z )的方法. 这里仅对已知实部的情形进行说明,关于已知虚部求f (z )的方法可以类似得到. (1) 偏积分法利用柯西-黎曼方程(2.5)先求得v 对y 的偏导v y =u x ,此式关于y 积分得d ()uv y g x x ∂=+∂⎰,然后两边对x 求偏导,由v x =-u y ,于是有d ().y uu y g x x x∂∂'-=+∂∂⎰ 从而()d .-d u u g x x C y x x x ∂∂∂⎛⎫=+- ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰故d d .-d u u u v y x C y x x x x ∂∂∂∂⎛⎫=++- ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 例3.13 已知u (x ,y )=2(x -1)y , f (2)=-i ,求其共轭调和函数,并写出f (z )的形式.解 由柯西-黎曼方程(2.5),有v y =u x =2y ,此式两边关于y 积分:2d ()().uv y g x y g x x∂=+=+∂⎰而(),x v g x '=又2(1),x y v u x =-=-所以2()2(1)d 2,g x x x x x C =-=-+⎰其中C 为实常数. 于是222.v y x x C =-++从而22()2(1)(2).f z x y i y x x C =-+-++由条件 f (2)=-i ,得C =-1,故22222()2(1)(21)(22()1)(1).f z x y i y x x i x y ixy x iy i z =-+-+-=--+-++=-- (2) 线积分法利用柯西-黎曼方程(2.5)有d d d d d x y y x v v x v y u x u y =+=-+,故00(,)(,)d d .x y y x x y v u x u y C =-++⎰由于该积分与积分路径无关,因此可选取简单路径(如折线)进行计算.其中(x 0,y 0)为区域D 中的点.以例3.13进行说明,u x =2y , u y =2x -2 .取(x 0,y 0)=(0,0),路径为从(0,0)到(x ,0)的直线段再从(x ,0)到(x ,y )的直线段.于是(,)(0,0)22(22)d 2d (22)d 2d 2.x y yxv x x y y Cx x y x C x x y C =-++=-++=-++⎰⎰⎰以下同前.(3) 不定积分法根据柯西-黎曼方程(2.5)及解析函数的导数公式(2.9)有().x x x y f z u iv u iu '=+=-.将x y u iu -表示成z 的函数h (z ),于是()()d .f z h z z C =+⎰还是以例3.13进行说明,2,2 2.x y u y u x ==-()2(22)2(1)2(1).f z y i x i x iy i z '=--=-+-=--从而2()2(1)d 2.f z i z z C iz iz C =--+=-++⎰由条件 f (2)=-i ,得C =-i ,故2()(1).f z i z =--小 结复变函数的积分定义与微积分中定积分的定义在形式上十分相似,只是被积函数由后者的一元实函数换成了前者的复变函数,积分区间[a ,b ]换成了平面区域内的一条光滑有向曲线.复变函数的积分值不仅与积分曲线的起点和终点有关,而且一般也与积分路径有关.这些特点与微积分中第二类曲线积分相似,因而具有与第二类曲线积分类似的性质.计算复变函数的积分有两个基本方法:(1) 若被积函数为f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ),积分曲线为C ,则()d d d d d .C C Cf z z u x v y i v x v y =-++⎰⎰⎰ (2) 参数方程法. 设积分曲线C 的参数方程为()()z z t a t b =≤≤,则()d (())()d .bC af z z f z t z t t '=⎰⎰ 解析函数积分的基本定理主要包括柯西-古萨定理、柯西积分公式、高阶导数公式及它们的一些推论.柯西-古萨定理指在单连通域D 内解析的函数f (z )沿该区域内任一条闭曲线C 的积分为零,即()d 0C f z z =⎰.由此定理可以得到一个重要推论:在单连通域D 内解析的函数f (z )沿该区域内任一条曲线积分与路径无关.复变函数与实函数一样也有原函数的概念,并且任何两个原函数之间仅相差一个常数.基于此,对于单连通域内的解析函数有类似于实函数的牛顿-莱布尼兹公式.即1010()d ()()z z f z z z z ϕϕ=-⎰,其中f (z )为单连通域D 内的解析函数,()z ϕ为f (z )的一个原函数,01,z z D ∈分别为积分曲线的起点和终点.复合闭路定理是柯西-古萨定理的推广,即若函数f (z )在复闭路C =C 0+C 1-+C 2-+…+C n-及其所围成的多连通区域内解析,则 01()d ()d ,k nk C C f z z f z z ==∑⎰⎰ 也就是0()d 0C f z z =⎰.柯西积分公式1()()d 2πf f z i z ξξξ=-⎰ 与高阶导数公式1!()()d , 1,2,2π()n n n f z f z n i z ξξ+==-⎰是复变函数两个十分重要的公式,它们都是计算积分的重要工具.柯西积分公式反映了解析函数在其解析区域边界上的值与区域内部各点处之间的密切关系,而高阶导数公式表明解析函数的导数仍是解析函数,即解析函数具有无穷可微性.这是解析函数与实函数的本质区别.下面归纳复变函数积分的计算方法.(1)如果被积函数不是解析函数,那么不论积分路径是否封闭,只能运用上面提到的两种基本计算方法,即化为二元实函数的线积分和参数方程法.(2)如果被积函数是解析函数(包括含有有限个奇点的情形),并且积分路径封闭,那么可以考虑柯西积分公式、高阶导数公式,并常常需要联合运用柯西-古萨定理、复合闭路定理,有时还需将被积函数作变形化为公式中的相应形式.若积分路径不封闭,那么只要被积函数在单连通域内解析,就可用定理3.4进行计算.(3)若被积函数是解析函数(含有有限个或无限个奇点),积分路径封闭,而被积函数不能表示为柯西积分公式和高阶导数公式中所要求的形式,那么就只能用到第五章中的留数方法.解析函数f (z )=u +iv 的虚部v 为实部u 的共轭调和函数,u 与v 的关系不能颠倒,任意两个调和函数u 与v 所构成的函数u+iv 不一定是解析函数.已知单连通域D 内的解析函数f (z )的实部或虚部求f (z )的方法要求掌握,前面已经详细介绍了三种方法,这里不再赘述.重要术语及主题复积分 柯西-古萨定理 复合闭路定理 原函数柯西积分公式 高阶导数公式 调和函数习题三1. 计算积分2()d C x y ix z -+⎰,其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2. 计算积分(1)d C z z -⎰,其中积分路径C 为(1) 从点0到点1+i 的直线段;(2) 沿抛物线y =x 2,从点0到点1+i 的弧段.3. 计算积分d C z z ⎰,其中积分路径C 为(1) 从点-i 到点i 的直线段;(2) 沿单位圆周|z |=1的左半圆周,从点-i 到点i ;(3) 沿单位圆周|z |=1的右半圆周,从点-i 到点i .4. 计算积分23d Cz z z -⎰,其中积分路径C 为 (1) 从z =-2到z =2沿圆周|z |=2的上半圆周;(2) 从z =-2到z =2沿圆周|z |=2的下半圆周;(3) 沿圆周|z |=2的正向.5. 计算积分1d (31)C z z z +⎰,其中C 为16z =. 6. 计算积分(e sin )d z C z z z -⎰,其中C 为0a z =>. 7. 计算积分,其中积分路径C 为:12341(1):;23(2):;21(3):;23(4):.2C z C z C z i C z i ===+=-8.利用1d 0,:12C z C z z ==+⎰,证明: π12cos d 0.54cos θθθ+=+⎰ 9. 计算积分1d (1)2C z i z z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰,其中C 为|z |=2. 10. 利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. π200π211(1)cos d ;(2)e d ;2ln(1)(3)(2)d ;(4)d ;1iz i ii z z z z iz z z z +--+++⎰⎰⎰⎰ 12011tan (5)sin d ;(6)d cos i z z z z z z +⎰⎰ (沿1到i 的直线段) . 11. 求积分2e d 1z C z z +⎰,其中C 为: 12. 计算积分221d 1C z z z z -+-⎰,其中C 为|z |=2. 13. 计算积分41d 1Cz z +⎰,其中C 为222x y x +=.14. 求积分2sin d 9r zz z z =+⎰,其中C 为|z -2i |=2. 15. 求积分()33d d (1)1C z z z z +-⎰,其中r ≠1. 16. 求下列积分的值,其中积分路径C 均为|z |=1. 53020e cos (1)d ;(2)d ;tan /21(3)d ,.()2z C CC z z z z z z z z z z <-⎰⎰⎰17. 计算积分33d d (1)(1)C z z z z -+⎰,其中C 为: (1) 中心位于点z =1,半径为R <2的正向圆周;(2) 中心位于点z =-1,半径为R <2的正向圆周;(3) 中心位于点z =1,半径为R >2的正向圆周;(4) 中心位于点z =-1,半径为R >2的正向圆周.18. 设函数3223()d f z ax bx y cxy y =+++是调和函数,其中a,b,c 为常数.问a,b,c 之间应满足什么关系?19. 验证下列函数为调和函数.3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x x x x y xy y y i y ωω=--+=+++ 20. 证明:函数2222,x u x y v x y =-=+都是调和函数,但f (z )=u +iv 不是解析函数. 21. 设u 是调和函数,且不恒为常数,问:(1) u 2是否是调和函数?(2) 对怎样的f ,函数f (u )为调和函数?22. 由下列各已知调和函数,求解析函数f (z )=u +iv :2222(1);(2),(1)0;(3)e (cos sin ),(0)2;(4)arctan ,0.x u x y xy y u f x y v y y x y x y f y v x x=-+==+=+++==> 23.设12()()()()n p z z a z a z a =---,其中(1,2,,)i a i n =各不相同,闭路C 不通过12,,,n a a a ,证明积分1()d 2π()C p z z i p z '⎰ 等于位于C 内的p(z )的零点的个数.24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式):设f (z )在闭路C 及其外部区域D 内解析,且lim ()z f z A →∞=≠∞,则 (),,1()d ,.2πC f z A z D f A z G i zξξξ-+∈⎧=⎨∈-⎩⎰ 其中G 为C 所围内部区域.。
第三章 复变函数的积分
第三章 复变函数的积分复积分是研究解析函数的重要工具,解析函数的许多重要性质要利用复积分来证明。
本章要建立的柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数论的非常重要的基本定理和公式。
第一节、复积分的概念及其简单性质1、复变函数积分的定义:以下涉及的曲线均指光滑或逐段光滑的曲线,逐段光滑的简单闭曲线简称周线。
定义 3.1设在复平面C 上有一条连接0z 及Z 两点的简单曲线C 。
设()()(),,f z u x y iv x y =+是在C 上的连续函数。
其中(),u x y 及(),v x y 是()f z 的实部及虚部。
把曲线C 用分点Z z z z z z n n =-,...,,,1210分成n 段更小的弧,在这里分点),...,2,1,0(n k z k =是在曲线C 上按从0z 到Z 的次序排列的。
如果k ζ是k z 到1+k z 的弧上任意一点,那么和式))((111k n k k kz z f -∑-=+ζ,()()11n k k f z ζ-=∑也可以写成1111[(,)(,)][()()]n kkkkk k k k k u iv xx i y y ξηξη-++=+-+-∑或者111111111111(,)()(,)()[(,)()(,)()n n kkk k k k k k k k n n k k k k k k k k k k u xx v y y i v x x u y y ξηξηξηξη--++==--++==---+-+-∑∑∑∑在这里k k k kx y ξη、及、分别表示k k z ξ与的实部与虚部。
按照关于实变函数的线积分的结果,当曲线C 上的分点k z 的个数无穷增加,而且1max{|| 0|0,1,2,...,1}0k k z z k n +-=→=-→时,上面的四个式子分别有极限:(,)d ,(,)d ,(,)d ,(,)d ,CCCCu x y x v x y y v x y x u x y y ⎰⎰⎰⎰这时,我们说原和式有极限(,)d (,)d (,)d (,)d ,CCu x y x v x y y i v x y x u x y y -++⎰⎰这个极限称为函数f (z )沿曲线C 的积分,记为()d Cf z z ⎰于是,我们有定理 3.1 若函数()()(),,f z u x y iv x y =+沿曲线C 连续,则)(z f 沿C 可积,且有()d (,)d (,)d (,)d (,)d ,CCCf z zu x y x v x y y i v x y x u x y y =-++⎰⎰⎰2、复变函数积分的计算问题如果C 是简单光滑曲线:()x t ϕ=,()y t φ=()0t t T ≤≤,并且0t 及T 相应于0z 及Z ,那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式,例如其中第一个可以写成(,)'()d Tt u t t φϕφ⎰,因此,我们有()d [(,)(,)]['()'()]d TCt f z z u iv t i t t φϕφϕφϕ=++⎰⎰我们可以看到,把dz 形式地换成微分,就直接得到上式,因此有()d (())'()d TCt f z z f z t z t t =⎰⎰,当是分段光滑简单曲线时,我们仍然可以得到这些结论。
第三章 复变函数的积分
第三章 复变函数的积分本章要求1.正确理解复积分的概念,掌握复积分的性质及一般计算法. 2.明确柯西积分定理及其几种推广的条件和结论.能运用柯西定理、柯西公式、高阶导数公式来求积分.3.掌握柯西不等式、刘维尔定理、代数学基本定理.知道摩勒拉定理与柯西定理组成了解析函数的一个充要条件.4.明确调和函数与共轭调和函数的概念,会由已知的调和函数u 和v 求出解析函数u iv +.本章重点 柯西定理、柯西公式、高阶导数公式及其应用.本章难点柯西定理、柯西公式、刘维尔定理.§3.1 复积分的概念及其简单性质1.复变函数积分的定义定义3.1 设有向曲线C :()()βα≤≤=t t z z ,以()αz a =为起点, ()βz b =为终点, ()z f 沿C 有定义.顺着C 从a 到b 的方向在C 上取分点:b z z z z a n n =⋅⋅⋅=-,,,110把曲线C 分成若干个弧段(图3.1),在从1-k z 到k z ),,2,1(n k ⋅⋅⋅=的每一段上任取一点k ζ.作成和数:()kk nk n z f s ∆=∑=ζ1其中1--=∆k k k z z z .当分点无限增多.而这些弧段长度的最大值趋于零时,如果和数n s 的极限存在且等于J ,则称()z f 沿C (从a 到b )可积,而称J 为沿C (从a 到b )的积分,并以记号()dz z fc ⎰表示:()dz z f J c ⎰=C 称为积分路径. ()dz z f c ⎰表示沿C 的正方向的积分, ()dz z f c -⎰表示沿C 的负方向的积分.如果J 存在,我们一般不能把J 写成()dz z f b a ⎰的形式,因为J 的值不仅和b a ,有关,而且和积分路径C 有关.显然, ()z f 沿曲线C 可积的必要条件为()z f 沿C 有界.另一方面,我们有 定理3.1 若()()()y x iv y x u z f ,,+=沿曲线C 连续,则()z f 沿C 可积,且().udy vdx i vdy udx dz z f c c c +⎰+-⎰=⎰ (3.1)注: 公式()1.3可以在形式上看成函数()iv u z f +=与微分idy dx dz +=相乘后所得到的.例3.1 命C 表连接点a 及b 的任一曲线,试证()()()22212;1a b zdz a b dz c c -=⎰-=⎰证: (1) 因()()ab z z s z f k k nk n -=-∑==-=11,1,故ab s n n k z -=→∆∞→0m ax lim ,即a b dz c -=⎰(2) 因()z z f =,选1-=k k z ζ,则得 (),1111--=-∑=∑k k k nk z z z 但我们又可选k k z =ζ,则得 (),112-=-∑=∑k k k nk z z z由定理 3.1,可知积分zdz c ⎰存在,因而n s 的极限存在,且应与1∑及2∑的极限相等,从而应与的极限相等.今()()2221212121)(2121a b z z k k n k -=-∑=∑+∑-=所以()2221a b zdz c -=⎰注 当C 为闭曲线时, .0,0=⎰=⎰zdz dz c c2. 复变函数积分的计算问题设有光滑曲线C : ()()()t iy t x t z z +== ()βα≤≤t ,这就表示()t z '在[]βα,上连续且有不为零的导数()()()t y i t x t z '+'='.又设()z f 沿C 连续.今()[]()()[]()()[]()()t iv t u t y t x iv t y t x u t z f ==+=,,,由公式(3.1)我们有()()()()()()()()()c c c f z dz udx vdy i udy vdxu t x t v t y t dt i u t y t v t x t dt ββαα⎰=⎰-+⎰+''''⎡⎤⎡⎤=⎰-+⎰+⎣⎦⎣⎦即 ()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα (3.2)或()Re βα⎰=⎰dz z f c ()[]{()}()[]{()}dt t z t z f i dt t z t z f '⎰+'Im βα (3.3)用公式(3.2)或(3.3) 计算复变函数的积分,是从积分路径C 的参数方程着手,称为参数方程法.(3. 2)或(3.3)称为复积分的变量代换公式.例3.2 (重要的常用例子)()=-⎰n ca z dz⎩⎨⎧≠=)1(,0)1(,2n n i π这里C 表示以a 为心,ρ为半径的圆周.(注意;积分值与ρ,a 均无关)证 C 的参数方程为:.20,πθρθ≤≤=-i e a z 故 ();220202.3i d i e e i a z dz i i c πθρρπθθπ=⎰=⎰=-⎰ 当n 为整数且1≠n 时,()()()()1220122001cos 1sin 10i i n cnn in n n dzi e d i e d e z a in d i n d θθππθππρθθρρθθθθρ----⎰=⎰=⎰-⎡⎤=⎰--⎰-=⎣⎦3. 复变函数积分的基本性质设()()z g z f ,沿曲线C 连续,则有下列与数学分析中的曲线积分相类似的性质;()()a dz z f a dz z af c C ,)1(⎰=⎰是常数; (2) ()()[]()();dz z g dz z f dz z g z f c c c ⎰+⎰=+⎰(3) ()()(),21dz z f dz z f z f c c c ⎰+⎰=⎰ 其中C 由曲线1C 和2C 衔接而成;(4) .)()(⎰⎰-=-CC dz z f dz z f(5).)()()(ds z f dz z f dz z f CCC⎰⎰⎰=≤ 这里dz 表示弧长的微分,即ds dy dx z d =+=22)()()( 要得到(5)式,只要把下列不等式取极限:.)()()(111∑∑∑===∆≤∆≤∆nk k k n k k k nk k ks f z f z f ζζζ定理 3.2(积分估值) 沿曲线C ,)(z f 连续,且有正数M 使M z f ≤)(,L 为之C 长,则.)(ML dz z f C≤⎰证 由不等式,)(11ML z M z f nk k nk k k≤∆≤∆∑∑==ζ取极限即得证.例3.3 试证.22≤⎰C z dz积分路径C 是连接i 和i +2的直线段.证 C 的参数方程为)2()1(i t i t z ++-= ),10(≤≤t 即 i t z +=2 ),10(≤≤t沿C ,21z 连续,且.114111222≤+==t z z而C 之长为2.由定理3.2,.22≤⎰C z dz例3.4 试证),0(2))((22r a r a r ra z a z dz r z ≠>-<+-⎰=π证 若,0=a 则02=⎰=r z z dz (例3.2),不等式成立;若0≠a ,,则由负积分的基本性质(5),,2))((222222a z r a r dz a z dz a z a z dz r z r z r z -=-<-≤+-⎰⎰⎰===π注 数学分析中实变函数的积分中值定理,不能直接推广到负积分上来.因由,0s i n c o s 202020=+=⎰⎰⎰πππθθθθθθd i d d e i而(20)0i e θπ-≠,即可看出.3.2 柯西积分定理1. 柯西积分定理定理3.3 设)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析, C 为D 内任一条围线, 则.0)(=⎰Cz f要证明这个定理是比较困难的.1851年,黎曼在附加假设“)(z f '在D 内连续”的条件下,得到一个如下的简单证明.黎曼证明 令),(),()(,y x iv y x u z f iy x z +=+=,由公式(3.1),,)(⎰⎰⎰++-=CCCudy vdx i vdy udx dz z f而)(z f '在D 内连续,导致y x y x v v u u ,,,在D 内连续,并适合..R C -条件: 有格林定理, ,0,0=+=-⎰⎰CCu d y v d x v d y u d x故得.0)(=⎰dz z f C现在先由柯西积分定理,可以得到定理3.4 设)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析, C 为内任一闭曲线(不必是简单的),则.0)(=⎰dz z f C证 因为C 总可以看承区域D 内有限多条围线衔接而成(如图3.3).再由复积分的基本性质(3)及柯西积分定理3.3,即可得证.推论 3.5 设)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析,则)(z f 在D 内积分与路径无关,即对D 内任意两点0z 与1z ,积分: ⎰1)(z z dzz f 之值,不依赖于D 内连接起点0z 与终点1z 的曲线.3不定积分柯西积分定理3.3已经回答了积分与路径无关的问题,这就是说,如果在单连通区域D 内)(z f 解析,则沿D 内任一曲线L 的积分⎰ld f ςς)(只与其起点和终点有关.因此当起点0z 固定时,这积分就在D 内定义了一个变上限z 的单值函数,我们把它记成⎰=ld f Z F ςς)()(定理 3.6 设)(z f 在单连通区域内解析,则由(3.10)定义的函数)(z F 在D 内解析,且)()(z f z F ='定理3.7 设(1) )(z f 在单连通区域D 内连续; (2)⎰ld f ςς)(沿着区域D 内任一围线的积分值为零(从而,积分与路径无关),图3.3则函数⎰=zz d f Z F 0)()(ξξ(0z 为D 内的一定点)在D 内解析,且))(()(D z z f z F ∈='这与数学分析相仿,我们有定义 3.2在区域D 内,如果)(z f 连续,则称合条件))(()(D z z f z ∈='φ的函数)(x φ的)(z f 的一个不顶积分或原函数(显然 )(x φ必在D 内解析)定理3.8在定理3.6或定理3.7的条件下,如果)(x φ为)(z f 的单连通区域D 的任何一个原函数,则),)(()()(000D z z z z d f z z ∈-=⎰φφξξ(3.12)例3.6在单连通区域D; ππ<<-z arg 内,函数z ln 是z z f 1)(=的一个原函数,而z z f 1)(=在D 内解析,故由定理3.8有)(ln 1ln ln 1D z z z d z ∈=-⎰ξξ(3.12)4柯西积分定理的推广首先我们来证明柯西积分定理3.3与下面的定理是等价的.定理 3.3’ 设是一条围线,D 为C 之内部,发)(z f 在闭域D =D+C 上解析则⎰cdz z f )(=0证(1)由定理3.3推证定理3.3’由定理3.3'的假设, ()z f 必在z 平面上一含D 的单连通区域G 内解析,于是由定理3.3就有()0=⎰Cdz z f .(2) 由定理3.3'推证定理3.3由定理3.3的假设:“()z f 在单连通区域D 内解析,C 为D 内任意一条围线”,今设G 为C 之内部,则()z f 必在闭域C G G +=上解析.于是由定理 3.3'就有:()0=⎰Cdz z f下面的定理要比定理3.3'更一般,它是从一个方面推广了的柯西积分定理. 定理3.9 设C 是一条围线,D 为C 之内部,()z f 在D 内解析,在C D D +=上连续(也可以说“连续到C ”),则:()0=⎰Cdz z f因()z f 沿C 连续,故积分()dzz f C ⎰存在.在C 的内部作围线n C 逼近于C ,由定理3.3'知()0=⎰dz z f nC .我们希望取极限而得出所要的结论.这种想法提供了证明本定理的一个线索,但严格的证明都比较麻烦,故从略不证.例 3.7 计算下列积分: (1)()dzz In rz ⎰=+1 ()10<<r ; (2)dz z C⎰21,其中C 为右半圆周: 3=z ,0Re ≥z ,起点为i 3-,终点为i 3;(3) dzz z ⎰=-11,其中z 取11-=那一支.5. 柯西积分定理推广到复围线的情形下面我们从另一个方面推广柯西积分定理,即将柯西积分定理从以一条(单)围线为边界的有界单连通区域,推广到以多条围线组成的”复围线”为边界的有界多连通区域.定义 3.3 考虑1+n 条围线n C C C ,,,10 ,其中,,,,21n C C C 中每一条都在其余各条的外部,而它们又全都在0C 的内部. 在0C 的内部同时又 在,,,,21n C C C 外部的点集构成一个有界的多连通区域D ,以.,,,,210n C C C C 为它的边界.在这种情况下,我们称区域D 的边界是一条复围线---++++=n C C C C C 210,它包括取正方向的0C ,以及取负方向的n C C C ,,,21 .换句话说,假如观察者沿复围线C 的正方向绕行时,区域D 的点总在它的左手边(图3.10是2=n 的情形).定理 3.10 设D 是由复围线---++++=n C C C C C 210所围成的有界多连通区域,()z f 在D 内解析,在C D D +=上连续,则: ()0=⎰Cdz z f ,或写成:()()()⎰⎰⎰--+++n C C C dzz f dz z f dz z f 010=, (3.13)或写成 ()()()dz z f dz z f dz z f C C C n⎰⎰⎰++=01. (3.14)证 取1+n 条互不相交且全在D 内(端点除外)的光滑弧n L L L L ,,,,210 作为割线.用它们顺次的与.,,,,210n C C C C 连接.设想将D 沿割线割破,于是D 就被分成两个单连通区域(图3.10是2=n 的情形),其边界各是一条围线,分别记为1Γ和2Γ.而由定理3.9,我们有()(),0,021==⎰⎰ΓΓdz z f dz z f将这两个等式想加,并注意到沿着n L L L ,,,10 的积分,各从相反的两个方向取了一次,在相加的过程中互相抵消.于是,由复积分的基本性质(3)就得到()0=⎰Cdz z f .从而有(3.13)和(3.14).例3.8 设a 为围线C 内部一点,则()()()⎩⎨⎧≠==-⎰.,1012且为整数n n i a z dzCnπ证 以a 为圆心画圆周'C ,使'C 全含于C 的内部,则由(3.14)()()⎰⎰-=-'C nCna z dza z dz再由例3.2即得要证明的结论.§3.3 柯西积分公式及其推论1. 柯西积分公式我们利用柯西积分定理(复围线形式)导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式.定理 3.11 设区域D 的边界是围线(或复围线)C ,()z f 在D 内解析,在C D D +=上连续,则有:()()ζζζπd z f i z f C ⎰-=21 ()D z ∈ (3.15)这就是柯西积分公式.它是解析函数的积分表达式,因而是今后我们研究解析函数的重要工具.定义3.4在定理3.11的条件下, ()()C s d z f i c ∈-⎰,21ζζζπ 称为柯西积分.思考题 在定理3.11的条件下,如果D z ∈,则柯西积分()ζζζπd z f i ⎰-21之值如何?柯西积分公式(3.15)可以改写成()()(),2D z if d z f c ∈=-⎰z πζζζ借此公式可以计算某些围线积分(指路径是围线的积分).例 3.10 设C 为圆周2=ζ,则按(3.15),()()()22292.959Cc id d i i i ζζζζπζζζπζζζζ=--==⋅=----+⎰⎰注意到()29ζζζ-=f 在闭圆2≤ζ上解析,定理 3.11的条件满足,故公式(3.15)可以应用,因而上面的计算是正确的.定理3.11的特殊情形,有如下的解析函数的平均值定理.定理 3.12 如果函数()ζf 在圆R z <-0ζ内解析,在闭圆R z ≤-0ζ上连续,则()()ϕπϕπd R z f z f i +=⎰020021既()ζf 在圆心0z 的值等于它在圆周上的值的算术平均数.证 设C 表圆周,0R z =-ζ,则, πϕζϕ20,0≤≤=-i R z 或 =ζ,ϕi R z +0 由此 ,ϕζi iR d =根据柯西积分公式(3.15)()()()22292.959Cc id d i i i ζζζζπζζζπζζζζ=--==∙=----+⎰⎰根据()ζf 的连续性,对任给的0>ε,存在0>δ,只要z -ζ=δρ<,就有()()(),2ργζπεζ∈<-z f f由定理3.2知(3.17)不超过επρπρε=∙22,于是证明了(3.16). 定理得证例3.11 设()z f 在闭圆R z =上解析.如果存在0>a ,使当R z =时 : (),a z f > 而且 (),0a f <试证:在圆R z <内()z f 至少有一个零点. 证明:反证法假设()z f 在圆R z <内没有零点,由假设f (z )在圆周|z |=R 上也无零点,于是()()z f z F 1=在闭圆R z ≤上解析.由解析函数的平均值定理,201(0)(Re ),2i F F d πϕϕπ=⎰又由题设()(),1010a f F >=()(),11aR f R F i i <=ϕϕ从而 ()().12211210120a a d R F F ai =⋅⋅≤=<⎰ππϕπϕπ矛盾.故在圆R z <内()z f 至少有一个零点.2. 解析函数的无穷可微性我们将柯西积分公式(3.15)形式地在积分号下对z 求导后得()()()(), D z d z f i z f c∈-='⎰ζζζπ221 (3.18)这样继续一次又可得()()()(),223D z d z f i z f c ∈-=''⎰ !ζζζπ我们将对这些公式的正确性加以证明.定理3.13 在定理11.3的条件下,函数()z f 在区域D 内有各阶导数,并且有()()()()()()1!.1,2,2n C n f n f z d D n i z ζζπζ+=∈=-⎰ z (3.19)例3.12 计算积分 (),c o s 3dz zci z ⎰-其中C 是绕i 一周的围线.解 因为z cos 在z 平面上解析,应用公式(3.19)于z z f cos )(=,我们得()().2cos !22cos 1"3|cos i e i i idz ze z i z iz c+-=-==-=⎰-πππ应用上述定理,我们得出解析函数的无穷可微性:定理3.14 设()z f 在z 平面上的区域D 内解析,则()z f 在D 内具有各阶导数,并且它们也在D 内解析.借助解析函数的无穷可微性,我们现在来把判断函数()z f 在区间D 内解析的一个充分条件——定理2.5,补充证明成刻划解析函数的第二个等价定理:定理3.15 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是 (1) v v u u yx y x,,,在内连续;(2) ),(),,(y x v y x u 在D 内满足C -R 条件. 3. 柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理利用定理3.13可以得出一个很有用的导数的估计式: 柯西不等式设)(z f 在区域D 内解析,a 为D 内一点,以a 为心作圆周R a =-ζγ:,只要γ及其内部K 均含于D ,则有(),)(!)(Rfnn R M n a ≤其中,...2,1,)()(m ax ===-n z f R M Ra z证 应用定理3.13于K -上,则有().)(!2)(2!)(2!11)()(RR a a f n n n n R M n R R M n d f i n =⋅⋅≤=++⎰-ππζζπγζ在整个复平面上解析的函数称为整函数.例如多项式,z e zcos ,及z sin 都是整函数.常数当然也是整函数.应用柯西不等式,可得一关于整函数的定理:刘维尔定理有界整函数)(z f 必为常数.应用刘维尔定理可以很简洁地证明: 代数学基本原理在z 平面上,n 次多项式())0( (01)10≠+++=-a a za z a n n nz p至少有一个零点.4. 摩勒拉(Morer a )定理我们现在来证明柯西积分定理(定理3.3)的逆定理,称为摩勒拉定理. 定理3.16 若函数()z f 在单连通区域D 内连续,且对D 内的任一围线C ,有 (),o dz z f c=⎰则()z f 在D 内解析.下面我们着重指出刻划解析函数是第三个等价定理. 定理3.17()z f 在区域G 内解析的充要条件是:(1) (1) ()z f 在G 内连续;(2) (2) 对任一围线C ,只要C 及其内部全含于G 内,就有().0=⎰dz z f c证 必要性可由柯西积分定理3.3导出.至于充分性,我们可在G 内任一点z 0的一个领域ρζ<-z K 0:内来应用定理 3.16,只要ρ充分小,就知道()z f 在圆K内解析.特别说来,在z 0解析,因为z 0可在G 内任意取,故()z f 在G 内解析.例3.13例3.13如果()z f 为一整函数,且有使()Re f z M <的实数M 存在,试证()z f 为常数.证 令()()ez f z F =,则()z F 为整函数.又在z 平面上()()e eMz f z F <=Re故有界,由刘维尔定理可见()z F 是常数.因此()z f 也是常数.例3.14设()z f 是整函数,n 为正整数,试证当 ()0lim=∞→znz z f时,()z f 至多是n-1次多项式.证 由第二章习题(一)6(1)及定理3.8,只须证得对任何的()().0,=z z f n由()0lim=∞→znz z f可知,对任给的0>ε,存在0>R ,只要R z >时就有().znz f ε<在z 平面上任取一点z.再取以z 为心,以r 为半径的圆周C ,使圆周{}R z z C ==|1全含于其内部.于是有z r >.这时对于C ∈ζ,必R >ζ,因而()().r z nnf +≤<εεζζ由柯西不等式可得()()().!!!21εεεnnnnn n n n z r z r z r f ≤=≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++因为0>ε是任意的,所以 ()().0=z f n故()z f 至多是n-1次多项式.5. 柯西型积分 定义4.3'设C 为任一条简单逐段光滑曲线(不必闭合),()ζf 是在C 上有定义的可积函数,则具有如下形式的积分:()()C z d z f i c ∉-⎰ζζζπ21称为柯西型积分.显然柯西积分为柯西型积分的特例,但柯西型积分就不一定为柯西积分. 例如:[]).1,1(,21)3()1(,121)2();1(,21)1(1111-∈-≠-≠-⎰⎰⎰-==z z x dx i z d z i z d z i πζζζπζζζπζζ(显然(1)可变形为(2);(2)、(3)的计算留给读者).这三个积分都是柯西型积分而非柯西积分.类似定理3.13的证明,我们可以得到类似定理3.13的结果.定理13.3'若()z f 沿简单逐段光滑曲线C (不必闭合)连续,则由柯西型积分()())(,21C z d z f i z F c ∉-=⎰ζζζπ所定义的函数()z F ,在z 平面上C 外任一区域D 内解析,且()()()(),...).2,1,(,2!1=∈=⎰-+n D z d f i n z cn n z F ζζπζ证明留给读者.§ 4. 解析函数与调和函数的关系在前一节,我们已经证明了,在区域D 内解析的函数具有任何阶的导数.因此,在区域D 内它的实部u 与虚部v 都有二阶连续偏导数.现在我们来研究应该如何选择u 与v 才能使函数iv u +在区域D 内解析.设()iv u z f +=在区域D 内解析,则由C -R 条件,,x v yu y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ 得,,222222xy v uy x vuy x∂∂-=∂∂∂=∂∂∂∂∂因x y vyx v∂∂∂∂∂∂22及在D 内连续,它们必定相等,故在D 内有,02222=∂+∂∂∂y x u u同理,在D 内有,02222=∂+∂∂∂y x v v即u 及v 在D 内满足拉普拉斯(L a pl a ce )方程: .0,0=∆=∆v u这里yx2222∂+∂≡∆∂∂是一种运算记号,称为拉普拉斯算子.定理3.5如果二元实函数()y x H ,在区域D 内有二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程0=∆H ,则称()y x H ,为区域D 内的调和函数.调和函数常出现在诸如流体力学、电学、磁学等实际问题中. 定义3.6在区域D 内满足C -R 条件,,x v yu y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ 的两个调和函数v u ,中,v 称为u 在区域D 内的共轭调和函数.由上面的讨论,我们已经证明了:定理3.18 若),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析,则在区域D 内()y x v ,必为()y x u ,的共轭调和函数.现在接着上面的讨论.反过来,如果v u ,是任意选取的在区域D 内的两个调和函数,则iv u +在D 内就不一定解析.要想iv u +在区域D 内解析,u 及v 还必须满足C -R 条件.即v 必须是u 的共轭调和函数.由此,如已知一个解析函数的实部()y x u ,(或虚部()y x v ,)就可以求出它的虚部()y x v ,(或实部()y x u ,).假设D 是一个单连通区域,()y x u ,是区域D 内的调和函数,则()y x u ,在D 内有二阶连续偏导数,且 02222=∂∂+∂∂y ux u即:x uy u ∂∂∂∂-,在D 内有一阶连续偏导数,且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x u x y u y由数学分析的定理,知道dyx u dx yu ∂∂+∂∂-是全微分, 命()y x dv dy x udx y u ,=∂∂+∂∂-(3.21)则()()()C dy x udx y u y x v y x y x +∂∂+∂∂-=⎰,,00, (3.22),其中()00,y x 是D 内的定点, ()y x ,是D 内的动点,C 是一个任意常数,积分与路径无关.将(3.22)式分别对y x ,求偏导数,得x u y v y u x v ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,,这就是C .-R.条件.由定理3.15知iv u +在D 内解析.故得定理3.19 设()y x u ,是在单连通区域D 内的调和函数,则存在由(3.22)式所确定的函数()y x v ,,使()z f iv u =+是D 内的解析函数.注 (1) 如单连通区域D 包含原点,则(3.22)式中的()00,y x 显然可取成原点(0,0);如D 非单连通区域,则积分(3.22)可能规定一个多值函数.(2) 公式(3.22)不必强记,可以先如下去推(3.21):由()dy u dx u R C dy v dx v y x dv x y y x +--+=..,,然后两端积分之.(3) 类似地,()dy v dx v R C dy u dx u y x du x y y x --+=.., 然后两 端积分,有()()()Cdy v dx v y x u y x y x x y +-=⎰,,00,思考题(1)“v 是u 的共轭调和函数”,其中u v ,是否可以交换顺序? (2)如果v 是u 的共轭调和函数,那么v 的共轭调和函数是什么?例3.15 验证()233,xy x y x u -=是z 平面上的调和函数,并求以()y x u ,为实部的解析函数()z f ,使合().0i f =解 因在z 平面上任一点2233y x u x -=,26x u y-=x u xx 6=,x u yy 6-=故()y x u ,在z 平面上为调和函数.法一()()()()()()()()()Cy y x Cdy y x Cdy y x xydx dyy x xydx y x uv yy x x x +-=+-=+-++-+⎰⎰⎰32022,0,220,0,02233333633622.3,故()()()33223333f z u iv x xy i x y y C x iy iC z iC=+=-+-+=++=+要合().0i f =必,1=C 故()i z z f +=3法二 先由C .-R 条件中的一个得2233y x u v x y -==故 ()x y y x v ϕ+-=323.再由C .-R 条件中的另一个得()xy u x xy v y x 66'=-=+=ϕ故 ()0'=x ϕ即()C x =ϕ因此()C y y x y x v +-=323, (下同法一)例 3.16 验证()()0,>=x x yarctgy x v 在右半z 平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数()z f .解: ()0122222>+-=+-=x y x y x y x y v x , ()0112222>+-=+=x y x x x y x v y()2222yxxyv xx +-=,()()02222>+=x yxxyv yy于是()00>=+x v v yy xx ,故在右半z 平面内, ()y x v ,是调和函数.()()()()()()2222,..1ln 2x x u x y u dx y C R v dx y x dx y x y y x y φφφφ=+-+=+=+++⎰⎰⎰两端对y 求导()22'22..2.21y x y v R C u y y x y xy +=--=++φ所以 ()0'=y φ,从而()C y =φ(任意常数),()()C y x y x u ++=22ln 21,故:()()()221ln 02ln arg ln yf z x y C iarctg x x z i z C z C =+++>=++=+它在右半z 平面内单值解析.。
复变函数-第三章-复变函数的积分
例10 求 z cos zdz 的值.
0
i
另解
0 z cos zdz 0 zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
i 0 0 i
i
i
i [ z sin z cos z ]0 e 1 1.
20
4.3 柯西积分公式
定理 设f ( z )在简单(或复合)闭曲线C上及所围 区域D内解析, 则对任意z0 D,皆有
2
C
vdx udy
u( x(t ), y(t )) y(t ) v( x( t ), y( t )) x( t ) dt u( t ) y( t ) v( t ) x( t ) dt
这样 : f ( z )dz 可以通过两个二元实变函数的线
第三章 复变函数的积分
本章主要内容:
1、 2、 3、 4、 5、 复积分的概念 柯西积分定理 柯西积分公式 高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
1
§1 复变函数积分的概念 3、复积分计算的参数方程法
C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
C C
若能写出C的参数方程为: C: z(t)=x(t)+iy(t) t 则因为C是光滑曲线x(t),y(t)C[,] :
C
积分来计算.
C
f ( z )dz
u(t ) x(t ) v (t ) y(t ) dt
i
v(t ) x(t ) u(t ) y(t ) dt
{u(t ) iv(t )}{ x(t ) iy(t )}dt
第三章 复变函数的积分
(6) 积分的模不大于被积表达式模的积分
∫
C
f ( z )dz ≤ ∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dS
C C
其中,dS =
( dx ) + ( dy )
2
2
9
复积分的计算
设C : z = z (t ) = x(t ) + iy (t ) (α ≤ t ≤ β )是一条光 滑曲线,z (α )是C的起点, z ( β )是C的终点, 则
O x
I1 = ∫ z dz = ∫ (2t + it ) 2 (2 + i )dt
2 C1 0
1
t = (2 + i ) 3
3
3 1
0
2 11 = + i 3 3
12
例 计算 ∫C z dz , 其中 C 为 : 圆周 z = 2.
解 积分路径的参数方程为
z = 2e
iθ
(0 ≤ θ ≤ 2 π),
z = z0 + re
iθ
(0 ≤ θ ≤ 2 π),
dz
o
⋅ z0
θ
r
∫C
=∫
1 ( z − z0 )
n +1
x
ireiθ 2π n +1 i ( n +1)θ 0 r e
dθ
=
i r
2 π −inθ e dθ , n 0
∫
14
当 n = 0 时,
∫C
1 ( z − z0 )
dz n +1
= i∫
β
∫C
f ( z )dz = ∫α {u[ x(t ), y (t )]x′(t ) − v[ x(t ), y (t )] y′(t )}dt + i ∫α {v[ x(t ), y (t )]x′(t ) + u[ x(t ), y (t )] y′(t )}dt
第三章复变函数的积分(余家荣2014)
ÑC
(
z
1
)n1
dz
2i
0
n0 n0
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【例1.4】设C为连接z0, z两点的简单曲线,求 c dz, c zdz
( x, y)
x
y
解: dz dx idy dx i dy
C
( x0 , y0 )
x0
y0
( x x0) i( y y0) z z0
xy
x0
y0
)
1 2
(z2
z02
)
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由例1.4 积分c dz, c zdz 与路径无关 zdz c (xdx ydy) i (xdy ydx) 积分与路径无关
2、说明
①. 计算方法 令 f (z) u(x, y) iv(x, y) , dz dx idy 则:
c f (z)dz c (u iv)(dx idy)
c (udx vdy) i(vdx udy)
c f (z)dz c udx c vdy i(c vdx c udy)
( x, y)
zdz (x iy)(dx idy)
C
( x0 , y0 )
( x, y)
(xdx ydy) i(xdy ydx) ( x0 , y0 )
x
y
( x, y)
xdx ydy i dxy
x0
y0
( x0 , y0 )
1 2
(
x2
x02
)
1 2
(
y2
y02
)
i(
1
1
Ñ Ñ dz ,
C z
C (z )n1 dz ,
第3章复变函数的积分.ppt
2
x 2
2
y 2
0
那么称(x, y) 为区域D内的调和函数.
定理 任何在区域D内解析的函数,它的实 部和虚部都是D内的调和函数.
共轭调和函数 设 u(x, y)为区域D内给定的调和函数,我们把
使 u iv 在D内构成解析函数的调和函数
分记作 f (z)dz.
C
3.1.2 积分存在的条件及其计算方法
1) 当 f (z)是连续函数且 C 是光滑(或按段 光滑)曲线时,积分是一定存在的。
2) C f (z)dz可以通过两个二元实变函数的
积分来计算。
设 C 由参数方程 z(t) x(t) iy(t), t 给出,
3.2 柯西—古萨(Cauchy—Goursat)基本 定理
如果函数 f (z) 在单连通域 B 内处处解析, 那末函数 f (z) 沿 B 内的任何一条封闭曲线
C 的积分值为零。即
c f zdz 0
3.3 基本定理的推广-复合闭路定理 闭路变形原理
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它 的值. 复合闭路定理
1 [( 2!
cos z
z
)''
]z
2
8i
3)f
(z)
在
C3 内有两个奇点
z1
0,z2
2
,故
I
cos z C1 (z 2)3
dz z
cos z dz C2 z (z 2)3
(8
16
2
)i
3.7 解析函数与调和函数的关系 调和函数
如果二元实变函数(x, y) 在区域D内具有二 阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程
第三章 复变函数的积分
(3)如果 f ( z )dz存在,一般不能写成 f ( z )dz.
C a
b
因为 f ( z )dz不仅与a , b有关,还与曲线C的形状
C
和方向有关。
二、复变函数积分的计算
定理3.1 当f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )在光滑曲线C
上连续时, f ( z )必沿C可积, 即 f ( z )dz存在.
第三章
复变函数的积分
(Lntegration of function of the complex variable)
§3.1复积分的概念
§3.2柯西积分定理
§3.3柯西积分公式 §3.4解析函数的高阶导数
第一讲
§3.1复积分的概念 §3.2柯西积分定理
§3.1复积分的概念
(The conception of complex integration)
n
情况一 : 若 C 不包围 点,
( z )n 在 C 围成的区域内解析,
由柯西定理,
c
( z )n dz 0;
情况二 : 若 C 包围 点,
由上节例2可知,c ( z ) dz 0.
n
25
例8、计算积分
1 zi 2
1 z( z 1)
2
dz .
0 t 1 o
1 0
x
zdz (t it )(1 i )dt
2)C 2 : z t
C C2
1
2tdt 1
0 t 1 C 3 : z 1 it 0 t 1
C3
1
zdz zdz zdz
1 1 tdt (1 it )idt ( i ) 1 i 0 0 2 2
第3章 复变函数的积分
k k ik u(k ,k ) uk v(k ,k ) vk
n
n
Sn f ( k )zk (uk ivk )(xk iyk )
k 1
k 1
n
n
u(k ,k )xk v(k ,k )yk
k 1
k 1
当 0时,均是
n
n
实函数的曲线积分.
i[ v(k ,k )xk u(k ,k )yk ] (5)
C的方向规定: 开曲线: 指定起点a,终点b, 若a b为正,
则b a为负,记作 C ; 闭曲线 : 正方向 观察者顺此方向沿C前进
一周, C的内部一直在观察者的左边。
B(终点)
C
A(起点)
C
C
2. 积分的定义
y
定义 设(1)w f (z) z D (2)C为区域D内点A 点B
的一条光滑有向曲线.
上连续时, f (z)必沿C可积,即C f (z)dz存在.
且 C f (z)dz C udx vdy i C vdx udy (4)
记忆
C (u iv)(dx idy)
注 这个定理表明 C f (z)dz可通过二个二元
实变函数的第二型曲线积分来计算.
证明 令zk xk iyk xk xk xk1 yk yk yk1
A z2dz 1(1 i)t2 d((1 i)t)
C
0
1
(1
i
)(1
i
)t
2
dt
0
o
x
(1
i)3
t3 3
1 0
(1 i)3 3
.
(2)这两直线段分别记为 C1和C2 :
C1的参数方程为: y 0, x从0到1.
3 第三章_复变函数的积分
A z 0 ,z 1 ,z 2 ,L L z k 1 ,z k ,L L ,z n B
其中zk xk iyk
y
C
(k 0,1, 2,L , n),
z n 1 zn B zk
z k 1
z1
z0 OA
x4
¼ (2)取 点 : 在 每 个 弧 段 zk1zk上 (k1,2,LLn),
任 取 一 点 kkik,
则 f(k ) z k f(k )(z k 1 z k ),
其 中 z k z k z k 1 x k i y k .
n
y
(3)作和: f ( k )(zk1 zk )Biblioteka k 1Ck
zk
z n 1 zn B
n
f ( k )zk ,
k 1
z k 1 z1
z0 OA
x5
( 4 ) 极 限 : 设 表 示 n 个 小 弧 段 的 最 大 长 度 ,
z1
z 0 OA
(类 似 于 微 积 分 中 的 曲 线 积 分 ).
z n 1 zn B
x 6
说明:
( 1 ) 若 C 为 闭 曲 线 , 则 沿 闭 曲 线 积 分 为 Ñ C f( z ) d z ,
(C 的 正 方 向 是 逆 时 针 方 向 );
( 2 ) 积 分 C f( z ) d z 表 示 沿 曲 线 C 自 A 到 B 的 复 积 分 ,
1
第三章 复变函数的积分
3.1 复积分的概念 3.2 柯西积分定理 3.3 柯西积分公式 3.4 解析函数的高阶导数
2
第一节 复积分的概念
一、复积分的定义
有向曲线:设C为平面给定的一条光滑(或按 段光滑)的曲线,如果选定C的两个可能方向的一 个作为正方向(或正向),则我们就把C称为有向
第三章 复变函数的积分.
0
1
( t it 2 )(1 2it )dt
[( t 2t 3 ) i 3t 2 ]dt i;
0
(3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 z( t ) t (0 t 1),
于是 Re z t , dz dt ,
1到1+i直线段的参数方程为 z( t ) 1 it (0 t 1),
例 5 计算 Re zdz ,
C
C zdz 其中 C 为 :
(1)从原点到点 1 i 的直线段; (2) 抛物线 y x 2 上从原点到点 1 i 的弧段; (3) 从原点沿 x 轴到点 1 再到 1 i 的折线.
解 (1) 积分路径的参数方程为
y
z( t ) t it (0 t 1),
y A 0
B x
那么 B 到 A 就是曲线 C 的负向,
记为 C .
关于曲线方向的说明: 以后把两个端点中的一个作为起点, 另一 个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起 点到终点的方向.
简单闭曲线 C 的正向
是指当曲线上的点 P 沿此
y P 0
C
方向前进时, 邻近 P 点的曲
线的内部始终位于 P 点的 左方.
(3) 如果 C 是开曲线, 那么沿曲线正向的积分 记 为 f ( z )dz . 沿曲线反向的积分记为 f ( z )dz .
C C
2. 积分的计算及积分性质
如果 f ( z ) 是连续函数而 C 是光滑曲线时, 积分 f ( z )dz 一定存在.
C
f ( k )zk [u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
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∫
0
tdt =
又因为 ∫ czdz = ∫ c (x + iy )(dx + idy ) = ∫ c xdx − ydy + i ∫ c ydx + xdy 容易验证,右边两个线积分都与路线 C 无关, 所以 ∫ zdz 的值无论 C 是怎样的曲线都等于 c
1 (3 + 4i )2 2
, ∫ (z − z ) 其中 C为以 z0 中心,r 为半 中心, 例2计算 计算
3.5 解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶 导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实 变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不 能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶 导数我们有下面的定理
定理 解析函数的导数仍为解析函数,它的 n 阶导数为:
(n )
f
(z 0 ) =
3.1.2积分存在的条件及其计算方法 积分存在的条件及其计算方法
1) 当是连续函数且是光滑(或按段光滑) 曲线时,积分是一定存在的。 2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
∫ f (z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy
c c c
∫
c
f
( z )d z
=
∫
tβ tα
i 0
i i = − ( z − 1)e − z − ∫ e − z dz 0 0
= −[(z − 1)e
−z
+e
−z
] 1 = −ie 0
−i
= −i[cos(− 1) + i sin (− 1)]
= − sin 1 − i cos 1
3.3 基本定理的推广 复合闭路定理 基本定理的推广—复合闭路定理
解 :
∫
c
zdz = ∫ zdz + ∫ zdz
c1 c2
= ∫ tddt + ∫
0
1
(1 − it ) idt 0
1
1 1 = + + i = 1+ i 2 2
3.2 柯西 古萨(Cauchy—Goursat)基 柯西—古萨 古萨( ) 本定理
3.2.1 积分与路经无关问题 积分的值与路经无关,或沿封闭的曲线的积分 值为零的条件,可能与被积分函数的解析性及 区域的单连通性有关. 柯 西 — 古 萨 ( Cauchy—Goursat ) 基 本 定 理 如果函数在单连域内处处解析,那末函数沿内 的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即
−πi
e 2 z dz
∫π
3πi
− i
1 3πi 2 z e dz = ∫ e dz 2 −πi
2z
1 2 z 3πi 1 6πi = e = e − e −2πi = 0. − πi 2 2
[
]
例8 计算 ∫ (z − 1)e
i 0
−z
dz
解: (z − 1)e ∫0
i
−z
dz = − ∫ (z − i )de − z
∫ f (z)dz=0
c
3.2.3 几个等价定理
定理一 如果函数 f (z ) 在单连域内处处解析, 那末积分 ∫ c f ( z )dz 与连结从起点到终点的路 线 C 无关. 定理二 如果函数 f (z ) = u + iv 在单连域 B 内处 处解析,那末函数 F (z ) 必为内的解析函数,并 且 F ′(z ) = f ( z )
解 :
∫ zdz = ∫ (t − it )(1 + i )dt = ∫
1 c 0
1 0
2tdt = 1;
的值, 为沿从( , 例4计算 ∫ zdz 的值,其中 C 为沿从(0, 计算 c 0)到(1,1)的线段与从(1,0)到(1, ) , )的线段与从( , ) , 1)的线段所连结成的折线。 )的线段所连结成的折线。
∆u = 0, ∆v = 0
调和函数:
若二元函数G(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导 数,且满足Laplace方程,即:
∂ 2G ∂ 2G + 2 =0 2 ∂x ∂y 则称函数G(x,y)为区域D内的调和函数。
共轭调和函数: 共轭调和函数:
在区域D内,满足C.-R.方程的两个调和函数 u(x,y),v(x,y)中,v称为u的共轭调和函数。 ∂u ∂v ∂u ∂v ∂ r >1
解:由公式(3.5.1)得
∫
2πi π 5i 4 (cos πz ) dz = =− . 5 c z =1 (5 − 1)! 12 (z − 1)
cos πz
解析函数与调和函数
Laplace方程 调和函数的定义 解析函数的实部和虚部与调和函数的关系 共轭调和函数的定义 给定实部(虚部),如何求解析函数
f z ( t ) z ′ ( t ) d t
3.1.3 积分的性质
从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质, 它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的. 我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓 简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时, 曲线的内部始终位于曲线的左方,相反的方向规定为 简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的 情形,如无特别声明,总是指曲线的正向.
c
例1计算 ∫ czdz , 其中 C 为从原点到点 3 + 4i的 计算 直线段。 直线段。
解 直线的方程可写成
∫ zdz = ∫ (3 + 4i ) tdt = (3 + 4i )
1 2 c 0 2 1
x = 3t , y = 4t ,0 ≤ t ≤ 1
1 1 (3 + 4i )2 t 2 = 1 (3 + 4i )2 0 2 2
定理(柯西积分公式) 如果函数 f (z )在区域 D 内 C 处处解析, 为内 D 的任何一条正向简单闭曲 线,它的内部完全含于 D , z 0为 C 内的任一点,那 末 f (z ) 1 f (z 0 ) = ∫ c z − z 0 dz (3.4.1) 2π i 公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公式 就可以把一个函数在C 内部任何一点的值,用 它在边界上的值来表示.
我们可以把柯西—古萨基本定理推广到多连域 的情况 . 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分,不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 这一重要事实,称为闭路变形原理.
的值, 例9计算∫ ( ) 的值,Γ 为包含圆周 z = 1 计算 在内的任何一条正向简单闭曲线。 在内的任何一条正向简单闭曲线。
引导: 引导:
若u(x,y),v(x,y)是区域D内的调和函数,
f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), z = x + iy
第三章:复变函数的积分 第三章:
本章学习目标
1了解复变函数积分的概念; 2了解复变函数积分的性质; 3掌握积分与路经无关的相关知识; 4熟练掌握柯西—古萨基本定理; 5会用复合闭路定理解决一些问题; 6会用柯西积分公式; 7会求解析函数的高阶导数.
复变函数的积分
3.1 复变函数积分的概念 3.1.1积分的定义 本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后 讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是 解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性 质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我 们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个 重要的结论。
解
由公式(3.4.1)得
2 1 + ∫ z =4 z + 1 z − 3 dz
=∫ 1 dz + 2 ∫ z =4 z + 1 1 dz z =4 z − 3
= 2πi.1 + 2πi.2 = 6πi.
柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭 路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积 分表达式,是研究解析函数的有力工具 (见3.5解析函数的高阶导数). 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平 均值 .
n! 2π i
∫ (z − z )
c 0
f (z )
n +1
dz (n = 1, 2 , L )
其中 C 为f (z ) 在函数的解析区域 D 内围绕 z 0 的任何 一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 D .
为正向圆周: 例12 计算 ∫ (z − 1) dz; 其中 C 为正向圆周
c 5
3.1.3 积分的性质
1 ∫
c
f ( z )dz = − ∫ − f ( z )dz;
c
2 ∫ ck f (z )dz = k ∫ c f (z )dz 3 ∫ [ f (z ) ± g (z )]dz = ∫ f (z )dz ± ∫ g (z )dz;
c c c
4
∫
c
f (z )dz = ∫ f (z )ds ≤ ML
∫
2π 0
e −inθ dθ
因此
∫ (z − z )
c 0
dz
n +1
2πi, n = 0, = 0, n ≠ 0,
的值, 为沿从( , 例3计算 ∫ czdz 的值,其中 C 为沿从(0, 计算 0)到(1,1)的线段:x = t , y = t ,0 ≤ t ≤ 1; ) , )的线段:
那末 这里
∫
z z0
f ( z )dz = G (z ) − G ( z 0 )
z0 , z
为区域 B 內的两点。
例5
解:
计算
∫π
πi
∫π
πi
− i
sin 2 zdz
− i
sin 2 zdz
πi
=∫
1 − cos 2 z 1 1 1 πi dz = z − sin 2 z = πi − sin 2πi −πi 2 2 2 2 − πi