第3章复变函数的积分

=
=−
问题： 问题：
1、在定义中，u,v能不能互称为共轭调和函数？ 2、在定义中，v的共轭调和函数是？
定理： 定理：
f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), z = x + iy
在 区 域 D 内 解 析 ， 则 在 区 域 D 内 ， v(x,y) 必 为 u(x,y)的共轭调和函数。 的共轭调和函数。 的共轭调和函数 证明：根据定义，显然。
解 :
∫ zdz = ∫ (t − it )(1 + i )dt = ∫
1 c 0
1 0
2tdt = 1;
的值， 为沿从（ ， 例4计算 ∫ zdz 的值，其中 C 为沿从（0， 计算 c 0）到（1，1）的线段与从（1，0）到（1， ） ， ）的线段与从（ ， ） ， 1）的线段所连结成的折线。 ）的线段所连结成的折线。
c
例1计算 ∫ czdz , 其中 C 为从原点到点 3 + 4i的 计算 直线段。 直线段。
解 直线的方程可写成
∫ zdz = ∫ (3 + 4i ) tdt = (3 + 4i )
1 2 c 0 2 1
x = 3t , y = 4t ,0 ≤ t ≤ 1
1 1 (3 + 4i )2 t 2 = 1 (3 + 4i )2 0 2 2
cos πz
z = r >1
解:由公式(3.5.1)得
∫
2πi π 5i 4 (cos πz ) dz = =− . 5 c z =1 (5 − 1)! 12 (z − 1)
cos πz
解析函数与调和函数
Laplace方程 调和函数的定义 解析函数的实部和虚部与调和函数的关系 共轭调和函数的定义 给定实部（虚部），如何求解析函数
我们可以把柯西—古萨基本定理推广到多连域 的情况 . 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值， 这一重要事实，称为闭路变形原理.
的值， 例9计算∫ ( ) 的值，Γ 为包含圆周 z = 1 计算 在内的任何一条正向简单闭曲线。 在内的任何一条正向简单闭曲线。
3.1.3 积分的性质
1 ∫
c
f ( z )dz = − ∫ − f ( z )dz;
c
2 ∫ ck f (z )dz = k ∫ c f (z )dz 3 ∫ [ f (z ) ± g (z )]dz = ∫ f (z )dz ± ∫ g (z )dz;
c c c
4
∫
c
f (z )dz = ∫ f (z )ds ≤ ML
原函数的概念
下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首 先引入原函数的概念： f 结论： (z ) 的任何两个原函数相差一个常数。 利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛 顿—莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算 公式。
G 定理三 如果函数 f (z )在单连域内处处解析，(z ) 为 f (z ) 的一个原函数，
−πi
e 2 z dz
∫π
3πi
− i
1 3πi 2 z e dz = ∫ e dz 2 −πi
2z
1 2 z 3πi 1 6πi = e = e − e −2πi = 0. − πi 2 2
[
]
例8 计算 ∫ (z − 1)e
i 0
−z
dz
解： (z − 1)e ∫0
i
−z
dz = − ∫ (z − i )de − z
∆u = 0, ∆v = 0
调和函数：
若二元函数G(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导 数，且满足Laplace方程，即：
∂ 2G ∂ 2G + 2 =0 2 ∂x ∂y 则称函数G(x,y)为区域D内的调和函数。
共轭调和函数： 共轭调和函数：
在区域D内，满足C.－R.方程的两个调和函数 u(x,y)，v(x,y)中，v称为u的共轭调和函数。 ∂u ∂v ∂u ∂v ∂x ∂y ∂y ∂x
Γ
dz z2 − z
解:
∫
dz = 2 Γ (z − z)
∫
dz + 2 c1 (z − z)
∫ (
c2
dz z2 − z
)
=∫
1 1 1 dz dz − ∫ dz + ∫ dz − ∫ dz c1 z − 1 c1 z c2 z − 1 c2 z = 0 − 2πi + 2πi − 0 = 0
3.4 柯西积分公式
解 :
∫
c
zdz = ∫ zdz + ∫ zdz
c1 c2
= ∫ tddt + ∫
0
1
(1 − it ) idt 0
1
1 1 = + + i = 1+ i 2 2
3.2 柯西 古萨（Cauchy—Goursat）基 柯西—古萨 古萨（ ） 本定理
3.2.1 积分与路经无关问题 积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分 值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及 区域的单连通性有关. 柯 西 — 古 萨 （ Cauchy—Goursat ） 基 本 定 理 如果函数在单连域内处处解析，那末函数沿内 的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即
那末 这里
∫
z z0
f ( z )dz = G (z ) − G ( z 0 )
z0 , z
为区域 B 內的两点。
例5
解：
计算
∫π
πi
∫π
πi
− i
sin 2 zdz
− i
sin 2 zdz
πi
=∫
1 − cos 2 z 1 1 1 πi dz = z − sin 2 z = πi − sin 2πi −πi 2 2 2 2 − πi
f z ( t ) z ′ ( t ) d t
3.1.3 积分的性质
从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质， 它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的. 我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓 简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时， 曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为 简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的 情形，如无特别声明，总是指曲线的正向.
i 0
i i = − ( z − 1)e − z − ∫ e − z dz 0 0
= −[(z − 1)e
−z
+e
−z
] 1 = −ie 0
−i
= −i[cos(− 1) + i sin (− 1)]
= − sin 1 − i cos 1
3.3 基本定理的推广 复合闭路定理 基本定理的推广—复合闭路定理
∫
0
tdt =
又因为 ∫ czdz = ∫ c (x + iy )(dx + idy ) = ∫ c xdx − ydy + i ∫ c ydx + xdy 容易验证，右边两个线积分都与路线 C 无关， 所以 ∫ zdz 的值无论 C 是怎样的曲线都等于 c
1 (3 + 4i )2 2
, ∫ (z − z ) 其中 C为以 z0 中心，r 为半 中心， 例2计算 计算
3.1.2积分存在的条件及其计算方法 积分存在的条件及其计算方法
1) 当是连续函数且是光滑(或按段光滑) 曲线时，积分是一定存在的。 2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
∫ f (z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy
c c c
∫
c
f
( z )d z
=
∫
tβ tα
第三章：复变函数的积分 第三章：
本章学习目标
1了解复变函数积分的概念; 2了解复变函数积分的性质; 3掌握积分与路经无关的相关知识; 4熟练掌握柯西—古萨基本定理; 5会用复合闭路定理解决一些问题; 6会用柯西积分公式; 7会求解析函数的高阶导数.
复变函数的积分
3.1 复变函数积分的概念 3.1.1积分的定义 本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后 讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是 解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性 质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我 们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个 重要的结论。
Laplace算子： Laplace算子： 算子
f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), z = x + iy
在区域D内解析，则必满足C.－R.方程，于是 继续求导有：
∂u ∂x
=
∂v ∂y
∂ 2v ∂x ∂y
∂u ∂y
=−
∂ 2u ∂y 2
∂v ∂x
∂ 2v ∂y ∂x
3.5 解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶 导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实 变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不 能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶 导数我们有下面的定理
定理 解析函数的导数仍为解析函数,它的 n 阶导数为:
(n )
f
(z 0 ) =
例 6 计算 ∫
1 0
z sin zdz
解： 1 z sin zdz ∫0
1
1 1 = − ∫ zd cos z = − z cos z − ∫ cos zdz 0 0 0
1 = −[z cos z − sin z ] = sin 1 − cos1 0
例7 计算 ∫
解：
来自百度文库
3πi
例10计算 计算
1 sin z ∫ z =4 z dz 2πi
(沿圆周正向 沿圆周正向) 沿圆周正向
解
由公式(3.4.1)得
1 sin z ∫ z =4 z dz 2πi
= sin z
z=0
=0
例11计算 ∫ 计算
2 1 + dz z =4 z + 1 z − 3
(沿圆周正向 沿圆周正向) 沿圆周正向
引导： 引导：
若u(x,y),v(x,y)是区域D内的调和函数，
f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), z = x + iy
∂ 2u ∂x 2
∂ 2v ∂2v 而 ∂x∂y与 ∂y∂x
=
=−
在D内连续（？），必然相等，则
：
∂ 2u ∂x 2
+
∂ 2u ∂y 2
=0
=0
2
在区域D内成立，同理有：
∂ 2v ∂x 2
+
2
Laplace算子 Laplace算子
∂ ∂ ∆≡ 2 + 2 ∂x ∂y
于是，在区域D内有：
： ∆
∂2v ∂y 2
∫ f (z)dz=0
c
3.2.3 几个等价定理
定理一 如果函数 f (z ) 在单连域内处处解析， 那末积分 ∫ c f ( z )dz 与连结从起点到终点的路 线 C 无关. 定理二 如果函数 f (z ) = u + iv 在单连域 B 内处 处解析，那末函数 F (z ) 必为内的解析函数,并 且 F ′(z ) = f ( z )
∫
2π 0
e −inθ dθ
因此
∫ (z − z )
c 0
dz
n +1
2πi, n = 0, = 0, n ≠ 0,
的值， 为沿从（ ， 例3计算 ∫ czdz 的值，其中 C 为沿从（0， 计算 0）到（1，1）的线段：x = t , y = t ,0 ≤ t ≤ 1; ） ， ）的线段：
解
由公式(3.4.1)得
2 1 + ∫ z =4 z + 1 z − 3 dz
=∫ 1 dz + 2 ∫ z =4 z + 1 1 dz z =4 z − 3
= 2πi.1 + 2πi.2 = 6πi.
柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭 路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积 分表达式,是研究解析函数的有力工具 (见3.5解析函数的高阶导数). 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平 均值 .
定理(柯西积分公式) 如果函数 f (z )在区域 D 内 C 处处解析， 为内 D 的任何一条正向简单闭曲 线,它的内部完全含于 D , z 0为 C 内的任一点,那 末 f (z ) 1 f (z 0 ) = ∫ c z − z 0 dz (3.4.1) 2π i 公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公式 就可以把一个函数在C 内部任何一点的值,用 它在边界上的值来表示.
c n +1
dz
径的正向圆周, 为整数. 径的正向圆周 n为整数
0
解: C 的方程可写成 所以
z = z 0 + re iθ ,0 ≤ θ ≤ 2π ,
∫
2π 2π dz ire iθ i i =∫ dθ = ∫ dθ = n c 0 r n e inϑ r (z − z 0 )n+1 0 r n+1e i (n +1)θ
n! 2π i
∫ (z − z )
c 0
f (z )
n +1
dz (n = 1, 2 , L )
其中 C 为f (z ) 在函数的解析区域 D 内围绕 z 0 的任何 一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 D .
为正向圆周: 例12 计算 ∫ (z − 1) dz; 其中 C 为正向圆周
c 5