线代第一章

行列式按行(列)展开
在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n–1 阶行列式叫做(行列式D 的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即 记 Aij = (–1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式. n n D 当i j aki Akj aik A jk D ij 0 当i j k 1 k 1 1 当 i j ij 0 当 i j
8. 克拉默法则
a11 x1 a12 x 2 a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n
b1 b2 bn
(1)
定理1: (克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1) 的系数行列式不等于零, 那么, 线性方程组(1)有解, 且 解是唯一的, 解可以表为 Dn D1 D2 x1 , x2 , , x n . D D D 其中Dj 是把系数行列式D中第 j 列的元素用方程组右 端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式。 定理2: 如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一, 则它的系数行列式必为零. 定理3: 如果齐次线性方程组的系数行列式 D0, 则齐次线性方程组没有非零解. 定理4: 如果齐次线性方程组有非零解, 则它的系 数行列式 D 必为零. 在后面我们将证明: 齐次线性方程组有非零解的 充分必要条件为它的系数行列式D必为零.
0 1 1 1 1 1 D 4 2 1 20 0 ; D1 3 2 1 40 ; 9 3 1 28 3 1 1 0 1 D2 4 3 1 60 ; 9 28 1 1 1 0 D 4 2 3 20 ; 9 3 28
由克莱姆法则, 得 D1 2, b D2 3, c D3 1. a D D D 于是, 所求的多项式为: f(x) = 2x2 – 3x + 1,
0 0
0
2
0 0
3
0
0 0 ______ . 0
4
2009年期末考题 计算行列式
a1 0 0 0 1
a1 a2 0 0 1
0 a2

0 0 0 1
0 0 0 an 1
a3 0 1
an
2008年期末考题 计算行列式
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2
答案：
n1 i j 1

(i j )
课后习题8（4）计算行列式
an D2 n cn
n
bn a1 c1 b1 d1 dn
答案： D2 n (ai d i bi ci )
i 1
课后习题8（5）计算行列式
Dn det(aij ), 其中aij | i j | .
第一章
习题课
二阶行列式的计算——对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a12 = a11a22 – a12a21 a21 a22
三阶行列式的计算——对角线法则
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
a nn
0 0 0 0 0 a nn
下三角行列式
a n12 a n1n1 an2 a nn 1
1
对角行列式
2

,
2

1
源自文库
n
n
n 阶行列式的性质
性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列 式为零. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以 同一数k, 等于用数k乘此行列式. 推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面. 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则 此行列式为零． 性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之 和, 则该行列式等于两个行列式之和. 性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一 数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变.
例3: 计算
x a1 Dn1 a1 a1
a1 x a2 a2
a2 a2 x a3
n
a3 a3 a3 a4
n

an an an . x
答 案 ： ( x ai ) ( x ai )
i 1 i 1
例: 计算行列式 a0 b1 d1 a1 Dn1 d 2 0 dn 0
评注: 本题所给行列式各行(列)都是某元素的不 同方幂, 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完 全相同, 需要利用行列式的性质(如提取公因子, 调换 各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.
例6: 证明 cos 1 1 2 cos 0 1 Dn 0 0 0 0
0 1 2 cos 0 0
(2005年数学一考研真题) 例 计算n+1阶行列式
a1n Dn1 a n a n 1
n 2
a1n1b1 a
n1 2 2
a1n 2 b12 a
n 2 2 2 2

a1 b1n1
n1 2 2
b1n b n bn1
n 2
b
b
n1 an1 bn1
n 2 2 an1 bn1
p1 p2 pn
( 1) t a1 p1 a 2 p2 a npn
或
D
p1 p2 pn
( 1) t a p1 1a p2 2 a pnn
a11
a12 a1n a 22 a 2 n 0
0 a 22
上三角行列式
0 0
a11 a 21 a n11 a n1
ab n1 an1bn1
例7: 求一个二次多项式f(x)=ax2+bx+c, 使得 f(1)=0, f(2)=3, f(–3)=28.
解: 由题意得 f(1) = a + b + c = 0, f(2) = 4a + 2b + c = 3, f(–3) = 9a – 3x + c = 28. 这是一个关于三个未知数a, b, c的线性方程组.
n
例: 计算行列式(和课后题6(5)类似)
Dn1
a0 a1 an1 1 x 0 0 0 x 0 0 1
an 0 0 x
上面的行列式称为“爪形三线型”行列式
答案： a0 x n a1 x n1 an1 x an
例1: 计算行列式
0
a 21 D a 31
小结: 计算行列式的方法比较灵活, 同一行列式可 以有多种计算方法: 有的行列式计算需要几种方法综 合应用. 在计算时, 首先要仔细考察行列式在构造上的 特点, 利用行列式的性质对它进行变换后, 再考察它是 否能用常用的几种方法.
例：计算n+1阶行列式
x a1 Dn1 a1 a1 a1
n
例: 计算行列式
a1 0 Dn1 0 b1 0 0 an b2 bn 0 0 d1 d2 dn a0 , ai 0, i 1,2,...n. a2
上面的行列式是另一种“三线型”行列式
bi d i 答案： a1a2 an (a0 ) i 1 ai
0 0
a12 a 22 a 32 a42 a52
a13 0 0 a 23 a 24 a 25 a 33 a 34 a 35 . a43 0 0 a53 0 0
例2: 计算
1 2 Dn 3 n
1 2 2 2 3 2 n

1 n 2 n 3 . n n
答案： n!(n 1)!(n 2)!2! 1!.
有非零解?
课后习题 12 问 取何值时，齐次线性方程组
(1 ) x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 (3 ) x2 x3 0, x1 x2 (1 ) x3 0
有非零解?
2010年期末考题 填空题
1
0 0 0
b2 bn 0 0 0 , ai 0, i 1,2,...n. a2 0 an
上面的行列式称为“三线型”行列式，指的是行列式 出了某行，某列和对角线元素或次对角线元素非零 外，其余元素均为零。 计算方法：变为上三角行列式或下三角行列式
bi d i 答案： a1a2 an (a0 ) i 1 ai
课后习题8(6)，2010年期末考题 计算行列式
1 a1 1 1 1 a2 1 1
1 1
，其中 a1a2 an 0.
1 an
课后习题 11 问 , 取何值时，齐次线性方程组
x1 x2 x3 0, x1 x2 x3 0, x1 2 x2 x3 0
0 0
0 0 1 an
x a n 1
an x n an1 x n1 a1 x a0
课后习题8（1）计算n阶行列式
a 1
1
其中对角线上元素都是a, 未写出元素都是0.
a
n n 2
答案： a a
课后习题8（3）计算行列式
Dn1
an (a 1)n (a n)n a n1 (a 1)n1 (a n)n1 a 1 a 1 1 an 1
0 0 0 2 cos 1
0 0 0 1 2 cos
cos n .
―三线型”行列式，主对角线及两个次对角线之外全为零元素
评注: 为了将Dn展开成用与Dn同形的行列式Dn–1, Dn–2表示, 本例必须按第n行(或第n列)展开, 不能用第1 行(或第1列)展开, 否则所得的低阶行列式不是与Dn同 形的行列式, 从而无法进行下一步证明. 本题使用的是数学归纳法.
a1 x a2 a2 a2
a2 an1 1 a2 an1 1 x an1 1 x an 1 1 a3 a3
答案 ( x a1 )( x a2 )( x an )
课后习题 6(5) 证明
x 1 0 0 x 1 0 a0 0 a1 0 a2
逆序数
在一个排列( i1 i2 · is · it · in )中, 若数 is>it , 则称 · · · · · · 这两个数组成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序 数．
n 阶行列式的定义
D a11 a21 a n1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
典
型
例
题
a b b b b a b b 例2: 计算 n 阶行列式 D b b a b . b b b a
可以按上例计算的行列式的共同特点：
1. 行列式每行元素的和相同。故，可把其他列元素 加到第一列，然后提取第一列的公因子，把第一列 元素变为1. 2. 行列式不同行元素只有两个或三个元素不同，其 余全相同。故，可用第一行元素去减其他行元素， 把行列式变为(上、下)三角行列式。