第二类换元积分法
B1-4.2换元积分法(第2类换元法)
(
)
• 原变量回代 所谓原变量回代就是从代换函数 x =( t ),t It 解
出相应的反函数并代入求得的积分结果中。
对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。 本例，由代换 x = ( t )= asin t，可作出辅助三角形：
由此写出相应反函数及相关三角函数。 t = ( x ) = arcsin x , a a cos t = a 2 − x 2 .
由复合函数微分关系式逆转可得积分关系式
f ( x)d x
x = ( t )
f ( t ) ( t ) d t .
将此关系式看成是积分转换式，其意义可理解为： 若右端积分∫ f[( t )] ( t )d t 易于积出，则可由其求出左端的
积分 ∫ f( x )d x .
此时有
=a
x 2 − a 2 d x = tan t a sec t tan t d t = a tan 2 t d t sec t x
= a ( sec 2 t − 1 ) d t = a ( tan t − t ) + C 1
x 2 − a 2 - a arccos a + C 1 . x
例. 求
), , 解: 令 x = a tan t , t ( − 则 2 2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec t d t a sec 2 t d t = sec t d t ∴ 原式 = a sec t = ln sec t + tan t + C1
−1 (t = + (C t )] )d t( tx=) −1 ( x ) t= [ft[]
§4.2换元积分法(第二类换元法)
§ 4.2 换元积分法(第二类)I 授课题目(章节)：§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)n 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)u (x) f(u)duF(u) C F[ (x)] C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如f[ (x)] (x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2 dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x (t)将无理函数f (x)的积分f (x)dx化为有理式f[ (t)] (t)的积分f[ (t)] (t)dt。
即f(x)dx f[ (t)] (t)dt若上面的等式右端的被积函数f[ (t)] (t)有原函数(t)，则f[ (t)] (t)dt (t) C ,然后再把(t)中的t还原成1 (x)，所以需要一开始的变量代换x (t)有反函数。
定理2设x (t)是单调、可导的函数，且(t) 0,又设f[ (t)] (t)有原函数(t)，则1f(x)dx f[ (t)] (t)dt (t) C [ (x)] C分析要证明f(x)dx [ 1(x)] C，只要证明[1(x)]的导数为f(x),d 「1,、■, d dt dt[(x)] , ?dx dt dx dx可将原积分化作三角有理函数的积分x2例2求 . 2 dx4 x,)，则 ' 4 x2 24sin 2t2costdt =2cost2cost，dx 2costdt(2 2cos2t)dt 2t si n2t C2 2证明x (t)单调、可导，x (t)存在反函数t-(x)，且字dx1dxdt1It)Q —dx-J -JI A[1(x)]頁匸f[ (t)]⑴飞f(x)1 (x)］是f (x)是一个原函数f (x)dx [-(x)]第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有..a2x2( a 0) ,可令x asint (并约定例1求a2x2dx (a 0)解令x asint acost dx acostdt.a2x2dx a costa costdt a2 (21-cos2t)dt2at22 a sin 2t42at22a sin tcost2a2x x —C arcs in a2 a 2把sin t，cost用x表示.借助下面的辅助三角形2t 2sin tcost解令x 2sint，4—^dt2C 2arcsi n ——44x2 C2 2类型2 :被积函数中含有,a2x2(a 0)可令x ata nt 并约定t ( ,)，则2 2asect ；dx 2a sec tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分dx(a 0)解令x atant，t ( , )，^V .”.：x a2 22asect, dx a sec tdtsectdt In sect tant C例4求解令xdxx 2 \ 42ta ntdxx2.4 x21 cost ,,2 dt4 sin t-^^dsi nt sint.4 x2 21 sect4 2dtant1 1 cC1dt414 sin t,)，则2 22sec t24tan t 2sectdx(x2 9)2（分母是二次质因式的平方23sec tdt2dx 2 sec tdt1萼dtsin2tcos t4 x2Cdx 3sec21 工 127cos2 tdt(x29) 2481sec1 t 1 t—(1 cos2t)dt ——cos 2tdt —54 54 54 54t 1 t 1—sin 2t —一sin t cost C54 2 54 54 54解令x 3tant,贝U x2 9 9sec21, dx12 54cos2td2t3x（第二换兀积分法分）(x 2x 5)1x 1 arcta n —2 2解(x 2x 5)2 2 2[2 (x 1)]，令x 1 2ta ntt (i ，2)则dx 2 2(x 2x 5)笄壬水1 (12 sec t 16cOs2t)dt1sin t cost C161 x 1 arcta n — 16 21 x 1 8 x 22x 类型3 被积分函数中含有(a 0)，当 x a 时，可令x asect ，并约定I 2 2t （0,—），贝U x a ata nt , 将原积分化为三角有理函数的积分。
第二类换元积分法
基 本 积 分 表 2
(14)
tan xdx ln cos x C ;
(15)
(16)
sec xdx ln sec x tan x C ;
a
dx arctan
cot xdx ln sin x C ;
(17)
(18)
cot csc xdx ln csc x x x C ; 1 1
x a sint
a2 于是 原式
2
a 1 [t sin2t ] C 2 2
a x x a x [arcsin ( )] C . 2 a a a
2 2 2
a
x
t
a2 x2
例4 求
1 dx ( a 0). 2 2 x a
2
, 解 令 x a tan t dx a sec tdt t 2 2 1 1 2 x 2 a 2 dx a sec t a sec tdt sec tdt ln sect tan t C
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
6t 5 t3 ( t 3 1) 1 于是 原式 3 2 dt 6 dt 6 dt t t t 1 t 1
例3 求
解 令
a 2 x 2 dx (a 0).
, dx a cos tdt t 2 2 2 2 1 cos 2t dt cos tdt a 2
a x
dx
1 x 2 1( ) a
x d( ) a
x arcsin C a
x dx arcsin C 2 2 a a x
第三讲第二类换元积分法
（ 2 ） 被 积 函 数 含 有 a2 x2 (a 0) ， 可 设 x a tan t 或
x a cot t ；
（ 3 ） 被 积 函 数 含 有 x2 a2 (a 0) ， 可 设 x asect 或
x acsct 。
在本节的例题中， 有一些不定 积分的结果 ，可作为补充 的积分公 式，列在下面以便引用。
x dx
x 3 x
3．
1
1 x 1
x
dx
4．
x2 dx 。
4 x2
本课小结：
第二类换元积分法主要解决无理函数的不定积分，即被积函数中含有关 于 x 的根式的积分。解决问题的关键是消去根式，消去根式的方式有代数代 换和三角代换。
本课作业与分析：
P128 3(5)(6);4(3).
授课质量与分析
f (x)dx f [ (t)] (t)dt g(t)dt G(t) C G( 1[(x)] C
其中 t 1(x) 是 x (t) 的反函数。
第二换元积分法主要解决无理函 数的不定积分，即被 积函数中含有
关于 x 的根式的积分。解决问题的关键是消去根式，消去根式的方式有
代数代换和三角代 换 。 一、代数代换
例 1 求 dx 。
1 3 x
解 为了去掉根式，令 3 x t ，则 x t3 ， dx 3t2dt ，于是
dx
3t 2
(t2 1) 1
dt
1 3 x 1 t dt 3 1 t dt 3 (t 1)dt 3 1 t
3 t2 3t 3ln 1 t C 2
3 3 x2 33 x 3ln 1 3 x C 。 2
dx x2 a2
ln
sect tan t
第二类换元积分法分部积分法
ln 2 x2 x C
2
2
2
辅助三角形ຫໍສະໝຸດ ln 2 x2 x C1 C1 C ln 2
公式 dx ln x a2 x2 C
a2 x2
例3 求不定积分
dx 4x2 3
解 令 x 3 sec u, 则 dx 3 secu tan udu
2
2
原式 1 secudu 2 1 ln secu tan u C 2
原式
u
u 2
1
2udu
u2 11
2 u2 1 du
直接令根式为u， 化根式为有理式
2
(1
1
u2
)du 1
2u
arctan
u
C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
例2 求不定积分 xaxdx
udv uv vdu
解 令 u x, dv axdx
则 du dx,
a
a
dx arcsin x C(a 0)
a2 x2
a
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
◆公式的直接应用
例1
dx 1
d( 3x)
1 arcsin 3x C
5 3x2 3 ( 5)2 ( 3x)2 3
原式 xsin x sin xdx
xsin x cos x C
u 与 dv 的选择原则
v 1、 可求；
2、 vdu 可求，
或较易求
若令 u cos x, dv xdx
4.2第二类换元积分法
t 1
6
(t 2
t
1
t
1 )dt 1
2t3 3t 2 6t 6 ln t 1 c
2 x 33 x 66 x 6 ln 6 x 1 c
例3
求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1, x lnt 2 1,
ex f (ex 1)dx.
4.2 换元积分法
思考题
x2
1 2x
dx 4
3
1 (1
x)2
dx
1
1 u2
du
arctanu
c
1 3
1
1 1
x
2
dx
3
1 3
3
1
1 1
x
2
d
1
x 3
3
1 arctan 1 x c
(u 1)u10du
x u 1
(u11 u10)du
基本积分表(续)
tan xdx ln cosx C;
cot xdx ln sin x C;
secxdx ln secx tan x C;
cscxdx ln cscx cotx C;
2
a2
x asin t 作直角三角形
t arcsin x a
t
a2 x2
sin 2t 2sin t cost 2 x
a
a2 x2 a
微积分换元法公式
微积分换元法公式
微积分中的换元法是一种常用的求解定积分的方法，也被称为变量代换法。
它的基本思想是通过引入一个新的变量，使被积函数的形式更容易积分。
换元法有多种形式，下面我来介绍一些常见的换元法公式。
1.第一类换元法（代入法）：
假设有一个定积分$\intf(g(x))g'(x)dx$，我们进行代换$u=g(x)$，则有$du=g'(x)dx$。
将$du$和$g'(x)dx$代入原积分中，可得到新的积分$\intf(u)du$。
这样就完成了变量代换，可以将原积分转化为更容易求解的形式。
2.第二类换元法（参数化法）：
当被积函数的形式较为复杂时，我们可以通过采用参数化的方法来进行换元。
具体步骤如下：
假设有一个定积分$\intf(x,y)dx$，其中$y=g(x)$是一个函数关系。
我们将$x$用$t$表示，并假设存在一个函数$x=h(t)$，使得$x$和$y$之间存在函数关系。
将$x=h(t)$和$y=g(x)$代入原积分中，得到新的积分
$\intf(h(t),g(h(t))h'(t))dt$。
这样就完成了变量代换，可以将原积分转化为更容易求解的形式。
除了上述两种常见的换元法，还有一些特殊的换元法，如三角换元法、指数换元法等，这些方法都是根据具体的问题来选择合适的变量代换方式，以便将原积分转化为更简单的形式。
需要注意的是，在进行换元法时，需要注意对边界条件的处理，以及确定新的积分变量的取值范围，以保证换元后的积分的正确性。
关于第二类积分换元法定理 -回复
关于第二类积分换元法定理 -回复作者：XXX在本文中，我将探讨关于第二类积分换元法定理的相关内容。
我们将从基础概念出发，逐步深入分析其原理和应用，以期帮助读者更加全面、深入地理解这一主题。
1. 第二类积分换元法定理的概念让我们明确第二类积分换元法定理的基本概念。
第二类积分换元法是微积分中的一个重要定理，用于求解定积分，特别是在遇到复杂的形式时，可以通过变量代换的方式将积分化简为更容易求解的形式。
2. 原理及应用接下来，我们将深入分析第二类积分换元法定理的原理及其应用。
当我们遇到形如∫f(u)du的积分形式时，可以通过令u=g(x)，然后对x 和u进行变量替换，将原积分转化为∫f(u)du的形式，从而更容易求解原积分。
3. 举例说明为了更好地理解第二类积分换元法定理的应用，让我们通过几个例子来加深对这一概念的理解。
例1：计算定积分∫x*e^x*dx，我们可以通过令u=x，进行变量代换，化简为∫u*eu*du的形式，再进行求解。
例2：计算定积分∫(x^2+1)/x^3*dx，同样可以通过合适的变量代换化简为更容易求解的形式。
4. 我的观点和理解在个人观点方面，我认为第二类积分换元法定理在解决复杂积分问题时具有重要的作用。
通过合理的变量代换，可以简化原积分的形式，使得求解过程更加高效和方便。
这一定理在微积分学科中具有重要地位，对于理解和应用定积分具有重要意义。
5. 总结和回顾在本文中，我们对第二类积分换元法定理进行了全面的探讨。
从概念入手，深入分析了其原理和应用，并通过例子进行了详细说明。
希望本文可以帮助读者更好地理解和应用第二类积分换元法定理，以及对其在微积分学科中的重要性有更深入的认识。
结语通过本文的撰写，我对第二类积分换元法定理的理解也得到了进一步加深。
希望本文能够对您有所帮助，如果有任何疑问或建议，欢迎在评论区留言，我将会及时回复。
感谢阅读！至此，我们的文章达到了3000字，对第二类积分换元法定理进行了深入全面的探讨。
第二类换元积分法例题及解析过程
第二类换元积分法例题及解析过程嘿，咱今儿就来讲讲第二类换元积分法！这玩意儿就像是一把神奇的钥匙，能帮咱打开积分世界里那些看似紧闭的大门。
咱先来看个例子哈，比如求∫(1/(1+x^2))dx。
哎呀，乍一看是不是有点懵？别急呀！这时候第二类换元积分法就派上用场啦。
咱可以设x = tanθ，那 dx 不就等于sec^2θdθ嘛。
这就好像咱走在路上，突然发现了一条小路，走进去说不定就别有洞天啦。
把这些都带进去，原来的式子就变成了∫(1/(1+tan^2θ))sec^2θdθ。
你看，这一下子就变得不一样了吧！就好像原本一团乱麻，现在找到了线头，可以慢慢解开啦。
然后呢，根据一些三角函数的知识，1+tan^2θ不就是sec^2θ嘛，那这式子就变成了∫1dθ，这多简单呀！结果不就是θ+C 嘛。
但咱可不能忘了，咱是设了x = tanθ的呀，那θ不就是 arctanx 嘛。
所以最终结果就是 arctanx+C 啦。
你说这神奇不神奇？这就好比咱要去一个地方，原本走大路绕来绕去好麻烦，结果发现有条小路能直达，多爽呀！再来看个例子，求∫(1/(x^2+2x+2))dx。
哎呀呀，这看着也不简单呢。
不过咱不怕呀，咱还是用第二类换元积分法。
把式子变形一下，变成∫(1/((x+1)^2+1))dx。
这时候咱设x+1 = tanθ，那 dx 不就等于sec^2θdθ嘛。
带进去就变成了∫(1/(tan^2θ+1))sec^2θdθ。
哈哈，又变成熟悉的样子啦！这不就是∫1dθ嘛，结果还是θ+C 呀。
再把x+1 = tanθ 带回去，不就得到 arctan(x+1)+C 嘛。
第二类换元积分法是不是很有意思呀？它就像是我们在积分世界里的秘密武器，能帮我们解决好多难题呢。
咱学习这东西呀，就得多练习，多尝试，别一看到难的就退缩。
就像爬山一样，一开始觉得累，爬上去了不就看到美丽的风景啦！积分也是这样，掌握了方法，就能领略到其中的美妙啦！你说是不是呀？反正我是这么觉得的。
不定积分的第二类换元积分法
dt t C
x 回代： arcsin C a
>>>
例7 求
解
1 a 2 x 2 dx
(a 0)
原式
x a tant
1 (a sec t )2 d (a tant )
1 1 dt t C a a 1 x 回代： arctan C a a
（ 2） 求 解
dx
dx 4x2 9
4x2 9 dx
(2 x) 2 32
1 d ( 2 x) 2 (2 x) 2 32
1 ln 2 x 4 x 2 9 C 2
（ 3） 求 解
xdx 2x x2 xdx
2x x2
( x 1)dx 2x x
6t 2 t 2 1 1 dt 6 dt 2 2 1 t 1 t
1 6 1 dt 6[t arctant ] C 2 1 t
6[6 x arctan6 x ] C
根式代换(去根式) 1 dx 例4 求 1 ex
第四章
第三节
不定积分
不定积分的换元积分法
主要内容：
第二类换元法.
内 容 回 顾
一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=(x)可导, 则有
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u )du ] f [ ( x)] ( x)dx
F [ ( x)] C
2 2
a 2 x 2 dx a 2 a 2 sin 2 t a costdt
2
第一类积分换元法和第二类积分换元法的区别
第一类积分换元法和第二类积分换元法的区别积分换元法是求解积分的一种重要方法，它可以将一个复杂的积分转化为一个简单的积分，从而更容易求解。
在积分换元法中，有两种不同的方法，分别是第一类积分换元法和第二类积分换元法。
这两种方法的区别在于它们的换元方式和适用范围。
第一类积分换元法是指通过代换变量的方式，将被积函数中的一部分转化为一个已知的函数的导数形式。
这种方法适用于被积函数中含有一个较为简单的函数的导数形式，例如三角函数、指数函数等。
通过代换变量，可以将被积函数中的一部分转化为这些已知函数的导数形式，从而更容易求解积分。
例如，对于积分$\int \frac{1}{x^2+1}dx$，我们可以通过代换$x=\tan t$，将被积函数转化为$\int \frac{1}{\tan^2 t+1}\sec^2 t dt$，其中$\sec^2 t$是$\tan t$的导数形式，从而更容易求解积分。
第二类积分换元法是指通过代换变量的方式，将被积函数中的一部分转化为一个新的变量的导数形式。
这种方法适用于被积函数中含有一个较为复杂的函数的导数形式，例如多项式函数、有理函数等。
通过代换变量，可以将被积函数中的一部分转化为一个新的变量的导数形式，从而更容易求解积分。
例如，对于积分$\int \frac{x}{x^2+1}dx$，我们可以通过代换$u=x^2+1$，将被积函数转化为$\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du$，其中$u$是一个新的变量，从而更容易求解积分。
总的来说，第一类积分换元法适用于被积函数中含有一个较为简单的函数的导数形式，而第二类积分换元法适用于被积函数中含有一个较为复杂的函数的导数形式。
在实际应用中，我们需要根据被积函数的特点选择合适的积分换元法，从而更容易求解积分。
第四章 第3节 第二类换元积分法
a xb c xd
) dx
,
令
t
n
a xb c xd
节 讲
(3) f (x , a2 x2 ) dx , 令 x a sin t 或 x a cos t
(4) f (x , a2 x2 ) dx , 令 x a tan t
(5) f (x , x2 a2 ) dx , 令 x a sect
f ( x)dx F( x) C [( x)] C,
f ( x)dx f [ (t)] (t)dt t ( x)
第二类积分换元公式
4
例1 求
1 dx (a 0).
x2 a2
解 令 x a tan t dx a sec2 tdt
20
(6) f (a x ) dx , 令 t ax
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
说明:
被积函数含有
或 x2 a2 时, 除采用
三角代换外, 还可利用公式
ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换
x a sh t 或 x a ch t
消去根式 , 所得结果一致 .
1
f
(x) f (x) f 2(x)
dx
f (x) f (x)
f
2
(
x)
f (x) f 2(x)
f
(
x)
dx
f (x) f (x)
d(
f (x) ) f (x)
1 2
f (x) f (x)
2
C
23
不定积分换元法公式
不定积分换元法公式不定积分换元法是求解不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量替换原积分中的变量，从而将原积分转化为新的不定积分，进而更容易求解。
不定积分换元法公式主要包括两种形式：第一类换元法和第二类换元法。
接下来，我将详细介绍这两种形式的公式及其应用。
一、第一类换元法：第一类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的变量，一般选择不定积分的变量作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则原不定积分可表示为∫f(x)dx = ∫h(u)du，其中h(u)为f(x)与g(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫h(u)du = ∫h(g(x))g'(x)dx二、第二类换元法：第二类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的一部分表达式，一般选择积分中的一部分表达式作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则将表达式f(x)dx进行替换，可得∫f(x)dx =∫g'(x)h(u)du，其中g'(x)为新变量u关于x的导数，h(u)为f(x)dx与g'(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫g'(x)h(u)du通过以上两种换元法，可以将原不定积分转化为新的不定积分，然后利用新的不定积分公式及基本积分公式进行求解。
下面举例说明这两种换元法的应用。
（1）第一类换元法的应用：求解∫(2x + 1)²dx。
设u = 2x + 1，则du/dx = 2将du/dx代入原式，并将原积分中的x用u表示∫(2x + 1)²dx = ∫u² * (1/2)du = (1/2) * ∫u²du = (1/2) * u³/3 + C = (1/6)(2x + 1)³ + C。
高等数学——第二类换元积分法
1.根式代换
被积函数中含有n ax b（根号里是一次式），
此类型所用方法为---根式代换法，具体
令 t n ax b
例1 计算
x 1 dx. x
令 x 1 t, x t 2 1, dx 2tdt,
x 1 dx = x
t
t2
2tdt 1
2t 2 t 2 1 dt
2
t2 11 t 2 1 dt
2
2
2
a2 (t sin t cos t) C
2
例2 计算 a2 x2dx(a 0)
a2 x2dx a2 (t sin t cos t ) C 2
把变量 t 换为 x . 为简便起见, 画一个辅助三角形，如图.
根据 sin t x
a
得 t arcsin x , 又因为 cos t a
a2 x2 , a
a x
所以
a2 x2 dx a2 (t sin t cos t ) C 2
t
a2 x2
a2 2
arcsin
x a
x a
a2 a
x2
C
a2 arcsin x x a2 x2 C .
2
a2
例3 计算 x
dx 1 x2
令 x = tan t，则 dx = sec2 tdt， 于是得
2 (1 1 )dt 2(t arctan t) C
t2 1
2( x 1 arctan x 1) C
2.三角代换
被积函数中含有 x2 a2、a2 x2 类型------三角代换法
（1）被积函数中含有 a2 x2 ,设 x a sin t （2）被积函数中含有 x2 a2 ,设 x a tan t （3）被积函数中含有 x2 a2 ,设 x a sect
大学高等数学ppt课件第三章2第二类换元积分法-分部积分法
解 令 u 3 x , 则 xu3, dx3u2du
原式
3u 2 u 1
du
3
u1u11du
3(3u2ulnu1)C 2
3(33x2ln3x1)C 2
例3 求不定积分
dx 1 ex
直接令根式为u， 化根式为有理式
解
令
1 ex u,
则
xln
u2 1 ,
dx
2u u2 1
du
原式
1arctanxlnx1ln(1x2)C
x
2
例5 求不定积分 ln 2 xd x
udvuvvdu
解 原式 xln2x x2lnx1dx
x
xln2x2lnxdx xln2x2[xlnxdx]
xln 2x 2 xln x 2 x C
udvuvvdu
例6 求不定积分 arcsinxdx
解 原式 xarcxsinxdarcxsin
x 1dx x
解 令 u x 1, 则 x u 2 1, dx2udu
原式
u u2 1
2udu
2
u2 11 u2 1 du
直接令根式为u， 化根式为有理式
2(1u211)du 2uarctanuC
2( x 1arctanx 1)C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
6(111u2 )du
6 (uarctanu)C
6(6xarctan6x)C
◆ 分部积分法
由 uvuvuv
得 u v ud v x u vd u x vdx 即 uvdxuvuvdx 或 udvuvvdu
分部积分公式 udvuv vdu
关于不定积分中第二类换元法思想的探讨
第二类换元法是指将不定积分的求解过程转化为一个关于一个变量的定积分的求解。
这种方法主要用于求解形如$\int f(x,y)dx$ 或$\int f(x,y)dy$ 的不定积分。
具体来说，第二类换元法的基本思想是：将原本关于$x$ 或$y$ 的不定积分，通过换元的方式转化为关于另一个变量的定积分，然后利用定积分的求解方法求解。
例如，对于不定积分$\int f(x,y)dx$，假设存在一个变量$t=t(x,y)$，使得$dt=f(x,y)dx$。
那么，原来的不定积分$\int f(x,y)dx$ 就可以转化为$\int dt=\int t(x,y)dt$ 的形式，即一个关于$t$ 的定积分。
这样，就可以利用定积分的求解方法，解决原来的不定积分问题。
同样地，对于不定积分$\int f(x,y)dy$，也可以通过类似的方法将其转化为关于另一个变量的定积分。
第二类换元法的关键在于找到合适的变量$t$，使得原本的不定积分能够转化为关于$t$ 的定积分。
通常需要利用高中数学中学过的一些技巧，才能找到合适的变量$t$。
第二类换元法是一种有效的解决不定积分问题的方法，在数学学习和应用中有重要的意义。
然而，要想使用第二类换元法求解不定积分，需要先掌握较为熟练的定积分求解技巧，才能保证求解的准确性。
此外，在使用第二类换元法时，需要注意一些问题，例如换元后可能出现的分段定积分等。
这些问题可能会导致求解过程的复杂性增加，因此需要谨慎处理。
总的来说，第二类换元法是一种有效的解决不定积分问题的方法，但也需要先熟悉定积分的基本知识，并注意一些问题，才能在求解过程中取得成功。
24-1不定积分的换元积分法(2)
1 = ln 2x + 4x2 + 9 +C 2
∫
=∫ = −∫ e−x d x 1−e−2x de−x 1−e
−2x
1 u2 −a2
du
= ln(u+ u2 −a2 ) +C
du?
a −u x = arcsin +C a
2 2
∫
1
du
= −arcsine−x +C.
x = asect,t ∈(0, ) 2
π
中( , u 其 R u v)为 ,v的 理 数 有 函 .
例1 求 I = ∫ a2 − x2 dx (a > 0) .
为去根式
解 令 x = asint , t ∈(− , ), 则 dx = acost dt 2 2 x 2 2 2 2 2 = acos t sint = a − x = a −a sin t a t 2 1+cos2 2 2 I = ∫acost ⋅ acost dt a ∫ dt ∫ cos t d = a x 2 t t 2 t sin2 ) +C =a ( + 2 4 a2 − x2 x a2 − x2 sin2t = 2sint cost =2 ⋅ ⋅ a a 2 x 1 a2 − x2 a arcsin + x a2 − x2 +C. t = cos = a 2 a 2
1− x2 dx 不易积分
易积分
⋯ =⋯
(应用“凑微分”即可求出结果) 应用“凑微分”即可求出结果)
2. 定理
= 设 x=ψ(t) 单调可导 , 且 ψ′(t) ≠ 0,
∫ f [ψ(t)]ψ′(t)dt =G(t) +C,
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例2 求
6
1 dx. 2 3 x x
5 dx 6 u du, 解 令 xu 2 1 1 u 5 dx 6 u du 6 du 3 4 2 3 u u x x 1 u
u2 1 1 1 6 du 6 u 1 du 1 u 1 u 1 2 6( u u ln | 1 u |) C 2
3.4
第二类换元积分法
• 一、第二类换元积分法
• 二、例题分类讲解
第二元积分法 思考：求
1 dx 1 x
该不定积分不能直接积分，也不属于常见的凑 微分法的类型。 该积分矛盾在于被积函数含有根式，为了去掉根 号，我们可以做变量代换，令
xt
第二换元积分法 思考：求 解 令 所以
1 dx 1 x
x t2
xt 则
dx 2tdt
1 2t (1 t ) 1 去根号 dx dt 2 dt 1 x 1 t 1 t 1 2 (1 )dt 2( t ln 1 t ) C 1 t
上述用的变量代换求积分的方法就是变量置换法。
变量置换法也称为第二换元法
解
令 x u， x u2 (u 0) dx 2udu 1 2u ( u 1) 1 1 x dx 1 udu 2 1 u du 1 2[ (1 )du] 2( u ln 1 u ) C 1 u
回代
2( x ln 1 x ) C
回代
3 3 x 6 6 x 6 ln | 1 6 x | C
阅读课本例2. 课堂练习：课后习题（1）（2）
2. 被积函数含有根式 a x 或 x a
2 2 2
2
例 求 a 2 x 2 dx (a 0)
1 cos 2t dt a cos tdt a 2 2 a 1 ( t sin 2t ) C xx a 2 x 2 2 2 arcsin 2 aa a a 回 ( t sin t cos t ) C 代 2 a2 x x 2 2 a x C arcsin 2 a 2
a2 x2 x2 a2
1 3.当分母阶数较高时，可采用倒代换，令 x t
例4
求
x( x 7 2)dx
1
1 1 解 令 x dx 2 dt , t t 6 1 t 1 t 2 dt dt x( x 7 2)dx 1 7 7 1 2t t 2 t 1 1 1 7 7 ln | 1 2t | C ln | 2 x | ln | x | C . 14 14 2
三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下： 当被积函数中含有 可令 x a sin u , u ( , ) 2 2 可令 x a tan u , u ( , ) 2 2 可令 x a secu , u (0, 2 )
(1) ( 2) ( 3)
a x
2
2
第二换元积分法
f ( x )dx
令x (t )
f ( ( t )) ( t )dt
1
F ( t ) C F ( ( x )) C
t 1 ( x )
回代
使用第二类换元法的关键是合理地选择变量代换：
1. 被积函数含有根式 n ax b .
1 例1. 求 dx 1 x
2 2
2
解 令 x a sin t dx a cos tdt t , 2 2 2 2 2 2 2 a x dx a a sin t a cos tdt
a
x
t
a2 x2
学生自己阅读课本例5、例6
说明：以上三个例子所使用的均为三角代换.
作 业 课后习题（3）（4）