第二类换元积分法
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x t2
xt 则
dx 2tdt
1 2t (1 t ) 1 去根号 dx dt 2 dt 1 x 1 t 1 t 1 2 (1 )dt 2( t ln 1 t ) C 1 t
上述用的变量代换求积分的方法就是变量置换法。
变量置换法也称为第二换元法
a2 x2 x2 a2
1 3.当分母阶数较高时，可采用倒代换，令 x t
例4
求
x( x 7 2)dx
1
1 1 解 令 x dx 2 dt , t t 6 1 t 1 t 2 dt dt x( x 7 2)dx 1 7 7 1 2t t 2 t 1 1 1 7 7 ln | 1 2t | C ln | 2 x | ln | x | C . 14 14 2
解
令 x u， x u2 (u 0) dx 2udu 1 2u ( u 1) 1 1 x dx 1 udu 2 1 u du 1 2[ (1 )du] 2( u ln 1 u ) C 1 u
回代
2( x ln 1 x ) C
回代
3 3 x 6 6 x 6 ln | 1 6 x | C
阅读课本例2. 课堂练习：课后习题（1）（2）
2. 被积函数含有根式 a x 或 x a
2 2 2
2
例 求 a 2 x 2 dx (a 0)
1 cos 2t dt a cos tdt a 2 2 a 1 ( t sin 2t ) C xx a 2 x 2 2 2 arcsin 2 aa a a 回 ( t sin t cos t ) C 代 2 a2 x x 2 2 a x C arcsin 2 a 2
三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下： 当被积函数中含有 可令 x a sin u , u ( , ) 2 2 可令 x a tan u , u ( , ) 2 2 可令 x a secu , u (0, 2 )
(1) ( 2) ( 3)
a x
2
2
作 业 课后习题（3）Fra Baidu bibliotek4）
2 2
2
解 令 x a sin t dx a cos tdt t , 2 2 2 2 2 2 2 a x dx a a sin t a cos tdt
a
x
t
a2 x2
学生自己阅读课本例5、例6
说明：以上三个例子所使用的均为三角代换.
例2 求
6
1 dx. 2 3 x x
5 dx 6 u du, 解 令 xu 2 1 1 u 5 dx 6 u du 6 du 3 4 2 3 u u x x 1 u
u2 1 1 1 6 du 6 u 1 du 1 u 1 u 1 2 6( u u ln | 1 u |) C 2
第二换元积分法
f ( x )dx
令x (t )
f ( ( t )) ( t )dt
1
F ( t ) C F ( ( x )) C
t 1 ( x )
回代
使用第二类换元法的关键是合理地选择变量代换：
1. 被积函数含有根式 n ax b .
1 例1. 求 dx 1 x
3.4
第二类换元积分法
• 一、第二类换元积分法
• 二、例题分类讲解
第二换元积分法 思考：求
1 dx 1 x
该不定积分不能直接积分，也不属于常见的凑 微分法的类型。 该积分矛盾在于被积函数含有根式，为了去掉根 号，我们可以做变量代换，令
xt
第二换元积分法 思考：求 解 令 所以
1 dx 1 x
xt 则
dx 2tdt
1 2t (1 t ) 1 去根号 dx dt 2 dt 1 x 1 t 1 t 1 2 (1 )dt 2( t ln 1 t ) C 1 t
上述用的变量代换求积分的方法就是变量置换法。
变量置换法也称为第二换元法
a2 x2 x2 a2
1 3.当分母阶数较高时，可采用倒代换，令 x t
例4
求
x( x 7 2)dx
1
1 1 解 令 x dx 2 dt , t t 6 1 t 1 t 2 dt dt x( x 7 2)dx 1 7 7 1 2t t 2 t 1 1 1 7 7 ln | 1 2t | C ln | 2 x | ln | x | C . 14 14 2
解
令 x u， x u2 (u 0) dx 2udu 1 2u ( u 1) 1 1 x dx 1 udu 2 1 u du 1 2[ (1 )du] 2( u ln 1 u ) C 1 u
回代
2( x ln 1 x ) C
回代
3 3 x 6 6 x 6 ln | 1 6 x | C
阅读课本例2. 课堂练习：课后习题（1）（2）
2. 被积函数含有根式 a x 或 x a
2 2 2
2
例 求 a 2 x 2 dx (a 0)
1 cos 2t dt a cos tdt a 2 2 a 1 ( t sin 2t ) C xx a 2 x 2 2 2 arcsin 2 aa a a 回 ( t sin t cos t ) C 代 2 a2 x x 2 2 a x C arcsin 2 a 2
三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下： 当被积函数中含有 可令 x a sin u , u ( , ) 2 2 可令 x a tan u , u ( , ) 2 2 可令 x a secu , u (0, 2 )
(1) ( 2) ( 3)
a x
2
2
作 业 课后习题（3）Fra Baidu bibliotek4）
2 2
2
解 令 x a sin t dx a cos tdt t , 2 2 2 2 2 2 2 a x dx a a sin t a cos tdt
a
x
t
a2 x2
学生自己阅读课本例5、例6
说明：以上三个例子所使用的均为三角代换.
例2 求
6
1 dx. 2 3 x x
5 dx 6 u du, 解 令 xu 2 1 1 u 5 dx 6 u du 6 du 3 4 2 3 u u x x 1 u
u2 1 1 1 6 du 6 u 1 du 1 u 1 u 1 2 6( u u ln | 1 u |) C 2
第二换元积分法
f ( x )dx
令x (t )
f ( ( t )) ( t )dt
1
F ( t ) C F ( ( x )) C
t 1 ( x )
回代
使用第二类换元法的关键是合理地选择变量代换：
1. 被积函数含有根式 n ax b .
1 例1. 求 dx 1 x
3.4
第二类换元积分法
• 一、第二类换元积分法
• 二、例题分类讲解
第二换元积分法 思考：求
1 dx 1 x
该不定积分不能直接积分，也不属于常见的凑 微分法的类型。 该积分矛盾在于被积函数含有根式，为了去掉根 号，我们可以做变量代换，令
xt
第二换元积分法 思考：求 解 令 所以
1 dx 1 x