数学建模1

一、实验内容

1、数学建模课后练习：药物中毒的施救拓展

2、建立数学模型分析题【习题6，习题8（4）-（5）】

3、微分方程数值解及MATLAB实现

二、实验题目

（一）题目一

1.题目：药物中毒施救模型延伸

利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子（血液总量为2000ml）及成人（血液总量为4000ml）服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。

2.问题分析

1.药物口服后迅速进入胃肠道，再由胃肠道的外壁进入血液循环系统，被血液吸收。胃肠道中药物的转移率即血液系统的吸收率，而血液中的药物浓度为吸收的药物浓度减去代谢排出体外的药物浓度。

2.由于要求出能致人中毒与死亡的最小剂量，即求一开始进入胃肠道的药量，可以先假设其为1，然后通过式子求出该条件下血液中药量浓度随时间的变化曲线，从而求得血液浓度的最大值，此时再与中毒致死时血药浓度做比值，即可求得致病的最低药物剂量。

【孩子】血液中药物总剂量（严重中毒）：2000ml*100μg/ml=200mg 血液中药物总剂量（致命）：2000ml*200μg/ml=400mg 【成人】血液中药物总剂量（严重中毒）：4000ml*100μg/ml=400mg 血液中药物总剂量（致命）：4000ml*200μg/ml=800mg

3.模型建立

为了分析孩子的血药浓度随着时间的推移的变化规律。记胃肠道中的药量为x(t)，血液系统中的药量为y(t)，时间t以孩子服药的时刻为起点（t=0）。根据前面的调查和分析可作假设：

1.胃肠道中药物向血液系统的转移率与药量x(t)成正比，比例系数记为

λ(>0)，药物在t=0瞬间进入胃肠道。

2.血液系统中药物的排除率与药量y(t)成正比，比例系数记作μ(>0)，t=0时血液中无药物。

3.氨茶碱被吸收的半衰期为5h，排除的半衰期为6h。

根据假设，对胃肠道中药量x(t)和血液系统中药量y(t)建立以下模型。

由假设1，随着药物从胃肠道向血液系统的转移，x(t)下降的速度与x(t)本身成正比（比例系数λ>0），所以x(t)满足微分方程

=-λx，x(0)未知待求，先假设x(0)=1

由假设2，药物从胃肠道向血液系统转移相当于血液系统对药物的吸收，y(t)由于吸收作用而增长的速度是λx，由于排除而减少的速度与y(t)本身成正比（比例系数μ>0），所以y(t)满足微分方程

=λx-μy，y(0)=0

方程中的λ与μ可以由半衰期确定。

4.模型求解

显然，x(t)=，且之前已经求得λ=0.1386，则x(t)=，将之带入上式，y(t)=（），且之前已经求得μ=0.1155，则x(t)=；y(t)=（）

5.解决方法（MATLAB程序代码）：

用matlab软件作图，“孩子”代码如下：

>>t=0:0.01:24；

>>y=6*（exp（-0.1155*t）-exp（-0.1386*t））；

>>max（y）

ans =

0.4019

>>tmax=t（find（y==max（y）））%设tmax记为获取到max（y）时的t tmax =

7.8900

>>200/0.4019

ans =

497.6362

>>400/0.4019

ans =

995.2725

>>800/0.4019

ans =

1.9905e+03

>>y1=6*497.6362*（exp（-0.1155*t）-exp（-0.1386*t））;

>>y1=6*995.2725*（exp（-0.1155*t）-exp（-0.1386*t））;

>>Plot（t，y1，t，y2），grid

“成人”代码如下，其余不变：

>> y3=6*995.2725*(exp(-0.1155*t)-exp(-0.1386*t));

>> y4=6*1.9905e+03*(exp(-0.1155*t)-exp(-0.1386*t));

>> plot(t,y3,t,y4),grid

6.实验结果

显然，最终可以求得孩子严重中毒的剂量为497.6362mg，致命的剂量为995.2725mg，成人严重中毒的剂量为995.2725mg，致命的剂量为1990.5449mg。

（二）题目二

1、题目：相遇问题

某人家住在T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵T 市车站，随及步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10min，问他步行了多长时间？

2、问题分析

因为此时这对夫妻发现这次回家用时比原来少了10min，可以发现，少去的这10min是节省了妻子两次开车驶过丈夫步行的那段路的时间。

3、模型建立

将T市车站到家里这段路程看做是一条横轴，建立模型，现在已经知道妻子驾车驶过丈夫步行的那条路的时间是5min，且妻子每日都是6:00准时到达T市车站，因此夫妻相见的时间是5:55。

4、模型求解

5：55-5:30=25min

5、实验结果

丈夫步行了25min

（三）题目三

1、题目：相遇问题

一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家。一小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程。

如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处。

2、问题分析

通过分析小男孩和小女孩的速度，以及他们离家的距离可以知道，他们最终是一起到达家里的，而在他们走回家的一路上，小狗都在不停地奔跑，因此若知道它奔跑的速度，就可以求它奔跑的时间。

3、模型建立

将小男孩与小女孩之间的路程看做是一条横轴，建立模型，小男孩小女孩不断靠近，小狗往返于他们之间。

4、模型求解

相遇时间：2km:4km/h=0.5h 1km:2km/h=0.5h，因此，小女孩和小男孩是一起到达家里的，并且经过0.5h，而小狗在0.5h内一直在跑,所以小狗奔波了