连续系统的数字仿真1_08解析
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2
3
3.1 数值积分法
连续系统通常把数学模型化为状态空间表达式，为
了对n阶连续系统在数字计算机上仿真及求解，就要 采用数值积分法来求解系统数学模型中的n个一阶微 分方程。
设n阶连续系统由以下n个一阶微分方程组成
dx(t)
dt
f (t, x(t))
（3-1）
x(t0 ) x0
所谓数值积分法，就是要逐个求出区间［a ,b］内若
xk 1
Hale Waihona Puke Baidu
xk
hfk
h2 2!
(
f
' k
f' xk
fk ) 0(h p1（) 3-6）
为了避免计算式（3-6）中的各阶导数项，可令xk+1由
以下多项式表示。
v
xk1 xk h amkm m1
（3-7）
12
式中 am为待定因子，v为使用f函数值的个数，
km满足下列方程
m1
km f (tk cmh, xk bmjk jh)
t k 1
x(tk1) x(tk ) f (t, x(t))dt
tk
通常假设离散点t0,t1,…,tn是等距离的，即tk+1tk=h, 称h为计算步长或步距。
5
当t>t0时，x(t)是未知的，因此式（3-2） 右端的积分是求不出的。为了解决这个问题， 把积分间隔取得足够小，使得在tk与tk+1之间 的 f(t,x(t)) 可 以 近 似 看 作 常 数 f(tk,x(tk)) ， 这样便得到用矩形公式积分的近似公式
hf
(tk , xk )
xk
(1) 1
xk
h[ f 2
(tk , xk )
f
(tk
1
,
xk
(0) 1
)]
通常称这类方法为预估－校正方法。它首
先根据欧拉公式计算出xk+1的预估值
xk+1(0) ，然后再对它进行校正，以得到更
准确的近似值xk+1(1)。
10
3.1.4 龙格－库塔法
根据泰勒级数将式（3-1）在tk+1=tk+h时刻的解 xk+1=x(tk+h) 在tk附近展开，有
xk 1
xk
hxk
1 2!
h2
xk
hp p!
xk( p)
0(h p31-)5）
可以看出，提高截断误差的阶次，便可提高其精
度，但是由于计算各阶导数相当麻烦，所以直接采
用泰勒级数公式是不适用的，为了解决提高精度问
题，龙格和库塔两人先后提出了间接使用泰勒级数
公式的方法，即用函数值f (t,x)的线性组合来代替f
f(tk,xk)h 来近似的。 由图3-2知，用矩形面积
f dx
dt
c
tkabtk+1代替积分，其误差就
是图中阴影部分。为了提高精
a
b
度现用梯形面积tkactk+1来代
替积分，即
tk1
h
tk
t k 1
t
tk
f
(t, x(t))dt
[ 2
f
(tk , xk )
f
(tk1, xk1)]
于是可得梯形法的计算公式为
（3-7）和式（3-8）中的系数am ,bmj和cm等。
13
现以v=2为例，来说明这些参数的确定方法。
或简化为 x(tk1) x(tk ) f (tk , x(tk ))h
这就是欧拉公x式k。1 xk f (tk , xk )h
6
以x(t0)=x0作为初始值，应用欧拉公式， 就可以一步步求出每一时刻tk的xk值，
即 k =0,x1≈x0+f(t0,x0)h
k=1, x2≈x1+f(t1,x1)h x2
图3-2 义
梯形法的几何意
xk 1
xk
h[ f 2
(tk , xk )
f
(tk1, xk1)]
8
由于上式右边包含未知量xk+1,所以每一步都 必须通过迭代求解，每一步迭代的初值xk+1(0 通常采用欧拉公式来计算，因此梯形法每一步
迭代公式为
xk
(0) 1
xk
hf
(tk , xk )
xk
( 1
(t,x)的导数，然后按泰勒公式确定其中的系数, 这
样既能避免计算f (t,x)的导数，又可以提高数值计算
精度，其方法如下。
11
因
xk f (tk , xk ) fk
xk
df
(t, dt
x)
t tk
f f dx
( t
x
) dt
t tk
fk f xk fk
x xk
x xk
故式（3-5）可写成
干个离散点a≤ t0 < t1<… <tn≤b处的近似值
x(t1),x(t2),…,x(tn)。
4
3.1.1 欧拉法
欧拉法又称折线法或矩形法，是最简单也是最 早的一种数值方法
将式（3-1）中的微分方程两边进行积分，得
tk1 dx(t)
t k 1
dt f (t, x(t))dt
tk dt
tk
即
R1)
xk
h[ 2
f
(tk , xk )
f
(tk
1
,
x(R) k 1
)]
(3-3）
式中 迭代次数R=0,1,2,…
9
3.1.3 预估－校正法
虽然梯形法比欧拉法精确，但是由于每 一步都要进行多次叠代，计算量大，为了 简化计算，有时只对式（3-3）进行一次叠 代就可以了，因此可得
xk
(0) 1
xk
用数字计算机来仿真或模拟一个连续控 制系统的目的就是求解系统的数学模型。 由控制理论知，一个n阶连续系统可以被描 述成由n个积分器组成的模拟结构图。因此 利用数字计算机来进行连续系统的仿真， 从本质上讲就是要在数字计算机上构造出n 个数字积分器，也就是让数字计算机进行n 次数值积分运算。可见，连续系统数字仿 真中的最基本的算法是数值积分算法。
┇
x1
k=n-1,
x
(t2 ,x2)
(t1 ,x1)
xn≈xn-1+f(tn-1,xn-1)h 这样式(3-1)的解x(t) 就求出来了。欧拉法的计 算虽然比较简单，但精度 较低。图3-1为欧拉法的 几何解释。
x0
t
t0 t1 t2 图3-1 欧拉法的几何解释
7
3.1.2 梯形法
由上可知欧拉公式中的积分是用矩形面积
第3章 连续系统的数字仿真
本章内容
(1) 熟悉在数字计算机仿真技术中常用的几种数值积分法 ，
特别是四阶龙格-库塔法； (2) 典型环节及其系数矩阵的确定； (3) 各连接矩阵的确定； (4) 利用MATLAB在四阶龙格-库塔法的基础上，对以状 态
空间表达式和方框图描述的连续系统进行仿真； (5) 了解以增广矩阵法为基础的连续系统的快速仿真方法1 。
j 1
（3-8）
c1 0, m 1,2,, v
即：
k1 f (tk , xk )
k2 f (tk c2h, xk b21k1h)
k3 f (tk c3h, xk b31k1h b32k2h) 将式（3-7）展 开成h的幂级数并与微分方程式 （3-1）精确解式（3-6）逐项比较,便可求得式
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3.1 数值积分法
连续系统通常把数学模型化为状态空间表达式，为
了对n阶连续系统在数字计算机上仿真及求解，就要 采用数值积分法来求解系统数学模型中的n个一阶微 分方程。
设n阶连续系统由以下n个一阶微分方程组成
dx(t)
dt
f (t, x(t))
（3-1）
x(t0 ) x0
所谓数值积分法，就是要逐个求出区间［a ,b］内若
xk 1
Hale Waihona Puke Baidu
xk
hfk
h2 2!
(
f
' k
f' xk
fk ) 0(h p1（) 3-6）
为了避免计算式（3-6）中的各阶导数项，可令xk+1由
以下多项式表示。
v
xk1 xk h amkm m1
（3-7）
12
式中 am为待定因子，v为使用f函数值的个数，
km满足下列方程
m1
km f (tk cmh, xk bmjk jh)
t k 1
x(tk1) x(tk ) f (t, x(t))dt
tk
通常假设离散点t0,t1,…,tn是等距离的，即tk+1tk=h, 称h为计算步长或步距。
5
当t>t0时，x(t)是未知的，因此式（3-2） 右端的积分是求不出的。为了解决这个问题， 把积分间隔取得足够小，使得在tk与tk+1之间 的 f(t,x(t)) 可 以 近 似 看 作 常 数 f(tk,x(tk)) ， 这样便得到用矩形公式积分的近似公式
hf
(tk , xk )
xk
(1) 1
xk
h[ f 2
(tk , xk )
f
(tk
1
,
xk
(0) 1
)]
通常称这类方法为预估－校正方法。它首
先根据欧拉公式计算出xk+1的预估值
xk+1(0) ，然后再对它进行校正，以得到更
准确的近似值xk+1(1)。
10
3.1.4 龙格－库塔法
根据泰勒级数将式（3-1）在tk+1=tk+h时刻的解 xk+1=x(tk+h) 在tk附近展开，有
xk 1
xk
hxk
1 2!
h2
xk
hp p!
xk( p)
0(h p31-)5）
可以看出，提高截断误差的阶次，便可提高其精
度，但是由于计算各阶导数相当麻烦，所以直接采
用泰勒级数公式是不适用的，为了解决提高精度问
题，龙格和库塔两人先后提出了间接使用泰勒级数
公式的方法，即用函数值f (t,x)的线性组合来代替f
f(tk,xk)h 来近似的。 由图3-2知，用矩形面积
f dx
dt
c
tkabtk+1代替积分，其误差就
是图中阴影部分。为了提高精
a
b
度现用梯形面积tkactk+1来代
替积分，即
tk1
h
tk
t k 1
t
tk
f
(t, x(t))dt
[ 2
f
(tk , xk )
f
(tk1, xk1)]
于是可得梯形法的计算公式为
（3-7）和式（3-8）中的系数am ,bmj和cm等。
13
现以v=2为例，来说明这些参数的确定方法。
或简化为 x(tk1) x(tk ) f (tk , x(tk ))h
这就是欧拉公x式k。1 xk f (tk , xk )h
6
以x(t0)=x0作为初始值，应用欧拉公式， 就可以一步步求出每一时刻tk的xk值，
即 k =0,x1≈x0+f(t0,x0)h
k=1, x2≈x1+f(t1,x1)h x2
图3-2 义
梯形法的几何意
xk 1
xk
h[ f 2
(tk , xk )
f
(tk1, xk1)]
8
由于上式右边包含未知量xk+1,所以每一步都 必须通过迭代求解，每一步迭代的初值xk+1(0 通常采用欧拉公式来计算，因此梯形法每一步
迭代公式为
xk
(0) 1
xk
hf
(tk , xk )
xk
( 1
(t,x)的导数，然后按泰勒公式确定其中的系数, 这
样既能避免计算f (t,x)的导数，又可以提高数值计算
精度，其方法如下。
11
因
xk f (tk , xk ) fk
xk
df
(t, dt
x)
t tk
f f dx
( t
x
) dt
t tk
fk f xk fk
x xk
x xk
故式（3-5）可写成
干个离散点a≤ t0 < t1<… <tn≤b处的近似值
x(t1),x(t2),…,x(tn)。
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3.1.1 欧拉法
欧拉法又称折线法或矩形法，是最简单也是最 早的一种数值方法
将式（3-1）中的微分方程两边进行积分，得
tk1 dx(t)
t k 1
dt f (t, x(t))dt
tk dt
tk
即
R1)
xk
h[ 2
f
(tk , xk )
f
(tk
1
,
x(R) k 1
)]
(3-3）
式中 迭代次数R=0,1,2,…
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3.1.3 预估－校正法
虽然梯形法比欧拉法精确，但是由于每 一步都要进行多次叠代，计算量大，为了 简化计算，有时只对式（3-3）进行一次叠 代就可以了，因此可得
xk
(0) 1
xk
用数字计算机来仿真或模拟一个连续控 制系统的目的就是求解系统的数学模型。 由控制理论知，一个n阶连续系统可以被描 述成由n个积分器组成的模拟结构图。因此 利用数字计算机来进行连续系统的仿真， 从本质上讲就是要在数字计算机上构造出n 个数字积分器，也就是让数字计算机进行n 次数值积分运算。可见，连续系统数字仿 真中的最基本的算法是数值积分算法。
┇
x1
k=n-1,
x
(t2 ,x2)
(t1 ,x1)
xn≈xn-1+f(tn-1,xn-1)h 这样式(3-1)的解x(t) 就求出来了。欧拉法的计 算虽然比较简单，但精度 较低。图3-1为欧拉法的 几何解释。
x0
t
t0 t1 t2 图3-1 欧拉法的几何解释
7
3.1.2 梯形法
由上可知欧拉公式中的积分是用矩形面积
第3章 连续系统的数字仿真
本章内容
(1) 熟悉在数字计算机仿真技术中常用的几种数值积分法 ，
特别是四阶龙格-库塔法； (2) 典型环节及其系数矩阵的确定； (3) 各连接矩阵的确定； (4) 利用MATLAB在四阶龙格-库塔法的基础上，对以状 态
空间表达式和方框图描述的连续系统进行仿真； (5) 了解以增广矩阵法为基础的连续系统的快速仿真方法1 。
j 1
（3-8）
c1 0, m 1,2,, v
即：
k1 f (tk , xk )
k2 f (tk c2h, xk b21k1h)
k3 f (tk c3h, xk b31k1h b32k2h) 将式（3-7）展 开成h的幂级数并与微分方程式 （3-1）精确解式（3-6）逐项比较,便可求得式