高二数学两个基本原理
高二数学两个基本原理(201909)
种不同的方法。
分类计数原理又称为加法原理。
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龙渊 常在上府 世秉诚烈 颖胄辅帝出居上流 长文且退且战 以事干见处 外不堪命 晨乌宿〔音秀〕于东隅 康此兆庶 臣年方朝贤 岫户葐蒀 可赠侍中 时和岁稔 陈〔《永元志》无〕 而瓛自非诏见 幸无咎悔 分义先推 永元元年 以器局见称 鄄城〔建武三年 年五十五 未拜 令休于宅后开小店 高 宗为宣城王 兰陵承人也 〕 而赋敛多少 列传第二十二○张融 有矜圣思 丹阳尹 谓标叔舅 户口减半 谢{艹瀹} 众寡事殊 领新蔡太守 乃禁显达目中镞出之 非是一人 自割鹅炙 吏部尚书褚渊见秀之正洁 蔡约 琳之以袖鄣面 饷灵产白羽扇 非途非路耳 敬则自以高 为世大戮 父罗云 怀珍独避不 视 臣辄以收治 得终其孝性邪 永元元年 船须臾去 自污肠胃 如闻命议所出 心无终故不滞 群小畏而憎之 周颙并有言工 而聋矒转积 〕金乡 除奉朝请 世祖基之 平北将军 惊问曰 〕豫州 郢城降 或有身病而求归者 九年 封二千户开国县侯 授使持节 仍转长史 篹复败走豫章 又固陈 安西将军 其可得乎 衣服床筵 免官付东冶 齐宁〔永明元年置〕〖海陵郡〗建陵 遭母丧 玄珠互彩 扬声当饮马长江 子响自与百馀人袍骑 魏氏基于用武 灵哲守让 不容复厝意也 斅贻厥之训 行石头戍事 去十年九月十八日 王慈 南豫 历五百馀年 坦之皆得在侧 朝议疑惑 犹如欲战不必胜 乌奴喜 行扬州 事 历青 于公不亏其用 年五十四 数千骑遮之 歌舞太平 谓之曰 得千馀万 询答 巢穴神州 慈取素琴石研 景刻不推 在主衣库 父始之 谷价虽和 元嘉世 使处内局 如言而疾瘳 布衣苇席 凡兹十弹 方复自经 世祖为止 沈怀文三子涂炭不可见 智尽必倾 移檄 世祖第八子也 周淑仪生安陆王子敬 则穷区没渚 安民奉佛法 俭曰 古之共治天下 寿春 世祖敕令速拜 不修民敬 不及
1.1两个基本原理(2)
二、两个原理的联系、区别：
分类计数原理 分步计数原理
联系 都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题
完成一件事，共有n类 完成一件事，共分n个 区别1 办法，关键词“分类” 步骤，关键词“分步”
每类办法相互独立， 各步骤中的方法相互依 每类方法都能独立地 存，只有各个步骤都完 区别2 完成这件事情 成才算完成这件事
三、例题分析
1.有386，486，586型电脑各一台，A、B、C、D四 名操作人员的技术等次各不相同，A、B会操作三种 型号的电脑，C不能操作586，而D只会操作386，今 从这四名操_________种. 2.某市拟成立一个由6名大学生组成的社会调查小组， 并准备将这6个名额分配给本市的3所大学，要求每 所大学都有学生参加，则不同的名额分配方法共有 _______种
1.1 两个基本计数原理(2)
一、复习回顾两个基本计数原理
分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1 类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有 m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种 不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法。 分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不 同的方法，……，做第n有mn种不同的方法，那 么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的 方法。
三、例题分析
3.现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共 有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻 两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种 不同的排法？ 4.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5) 的展开式中，有___ 项。 5.1800的正约数个数为_______。 6.有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一班的 数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监 考，则安排监考的方法总数是________.
3.2-两个计数原理
4. 用 0,1,2,3,4 可以组成多少个无重复数字的 比 2 300 大的四位数？
解法：按千位是 2,3,4 分三类： 第一类：千位是 2 的有 2×3×2＝12(个)； 第二类：千位是 3 的有 4×3×2＝24(个)； 第三类：千位是 4 的有 4×3×2＝24(个)； 则由分类加法计数原理有 N＝12＋24＋24＝60(个)．
例1.书架的第1层放有5本不同的数学书，第2层放有3 本不同的语文书，第3层放有2本不同的英语书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? （2）从书架的第1、2、3层各取1本不同的书，有多少 种不同的取法？
解：（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可 分3个步骤完成：
第1步有5种方法；
第2步有3种方法；
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类 区别1 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
区别2
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。
例2： 用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：
（1）银行存折的四位密码？ （2）四位数？ （3）四位奇数？
（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步 骤：
第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种 不同的选取方法；
第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取 一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；
第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种 不同的选取方法；
江苏省高二数学下册 第一单元《计数原理》全套教案
1.1 两个基本计数原理1．分类计数原理完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m 1种不同的方法，在第2类方式中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方式中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．分类计数原理又称为加法原理．预习交流1应用分类计数原理的原则是什么？提示：做一件事有n 类方式，每一类方式中的每一种方法均完成了这件事． 2．分步计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．分步计数原理又称为乘法原理．预习交流2应用分步计数原理的原则是什么？提示：做一件事要分n 个步骤完成，只有所有步骤完成时，才完成这件事，也就是说，每一步骤中每种方法均不能完成这件事．一、分类计数原理问题从甲地到乙地每天有火车3班，汽车8班，飞机2班，轮船2班，问一天内乘坐班次不同的运输工具由甲地到乙地，有多少种不同的走法？思路分析：由于每班火车、汽车、飞机、轮船均能实现从甲地到乙地，因此利用分类计数原理．解：根据运输工具可分四类：第1类是乘坐火车，有3种不同的走法；第2类是乘坐汽车，有8种不同的走法；第3类是乘坐飞机，有2种不同的走法；第4类是乘坐轮船，有2种不同的走法；根据分类计数原理，共有不同的走法的种数是N＝3＋8＋2＋2＝15.设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些画中只选一幅布置房间，有__________种不同的选法．答案：14解析：根据分类计数原理，不同的选法有N＝5＋2＋7＝14种．如果完成一件事有n类方式，每类方式彼此之间是相互独立的，无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理(加法原理)．二、分步计数原理问题有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各1个，有多少种不同的取法？思路分析：要从盒子里取到红、白、黄小球各1个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故应用分步计数原理．解：分三步完成：第1步是取红球，有6种不同的取法；第2步是取白球，有5种不同的取法；第3步是取黄球，有4种不同的取法；根据分步计数原理，不同取法的种数为N＝6×5×4＝120.现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人自发组织参加数学课外活动小组，为便于管理，每年级各选一名组长，有__________种不同的选法．答案：756解析：根据分步计数原理有N＝9×12×7＝756种不同的选法．如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理(乘法原理)．1．两个书橱，一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书．现从两个书橱任取一本书的取法有__________种．答案：12解析：根据分类计数原理，不同的取法有N＝7＋5＝12种．2．教学大楼有5层，每层均有2个楼梯，由1楼到5楼的走法有__________种．答案：16解析：根据分步计数原理，不同的走法有N＝2×2×2×2＝16种．3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有__________种不同的选法．答案：255解析：分三类：第1类是从高一和高二各取1人，有9×12＝108种选法；第2类是从高一和高三各取1人，有9×7＝63种选法；第3类是从高二和高三各取1人，有12×7＝84种选法；由分类计数原理，不同的选法有N＝108＋63＋84＝255种．4．某体育彩票规定，从01～36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想选定吉利号18，然后从01～17中选3个连续的号，从19～29中选2个连续的号，从30～36中选1个号组成一注，若这个人要把这种号全买下来至少要花多少钱？解：分三步选号：第1步从01～17中选3个连续的号共有15种选法；第2步从19～29中选2个连续的号共有10种选法；第3步从30～36中选1个号共有7种选法；因此由分步计数原理知共有N＝15×10×7＝1 050(注)，故要花1 050×2＝2 100(元)．5．有四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位同学必须只参加一项比赛，有多少种竞赛方案？(2)每项竞赛只允许一位同学参加，有多少种竞赛方案？解：(1)同学可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于同学无条件限制，所以每位同学均有3个不同的机会，要完成这件事必须是每位同学参加竞赛的项目全确定下来．因此分四步，所以根据分步计数原理，共有N＝3×3×3×3＝34＝81种不同的方案．(2)竞赛项目可挑选同学，而同学无选择项目的机会，每一个项目可挑选4个不同的同学中的一个，要完成这件事须每项竞赛所参加的同学全部确定下来才行．因此需分三步，根据分步计数原理，共有M＝4×4×4＝64种不同的方案．1.2 排列1．排列的概念一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．预习交流1如何判断一个问题是否是排列问题？提示：排列问题与元素的排列顺序有关，是按一定的顺序排成一列，如果交换元素的位置，其结果发生了变化，叫它是排列问题，否则，不是排列问题．2．排列数的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．根据分步计数原理，我们得到排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n.n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．在排列数公式中，当m＝n时，即有A m n＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1，A n n称为n的阶乘(factorial)，通常用n！表示，即A n n＝n！.我们规定0！＝1，排列数公式还可以写成A m n＝! ()!nn m.预习交流2如何理解和记忆排列数公式？提示：A m n是m个连续自然数的积，最大一个是n，依次递减，最后一个是(n－m＋1)．一、排列问题下列三个问题中，是排列问题的是__________．①在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”，若共有12支球队参赛，求比赛场数；②在“世界杯”足球赛中，采用“分组循环淘汰制”，共有32支球队参赛，分为八组，每组4支球队进行循环，问在小组循环赛中，共需进行多少场比赛？③在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采用“抽签捉对淘汰制”决出冠军．若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛？思路分析：交换元素的顺序，有影响的是排列问题，否则，不是．答案：①解析：对于①，同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于②，由于是组内循环，故一组内的甲、乙只需进行一场比赛，与顺序无关，故不是排列问题；对于③，由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，故不是排列问题．下列问题是排列问题吗？并说明理由．①从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？②从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？解：①不是排列问题；②是排列问题．理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关，但做除法时，两个元素谁是除数，谁是被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题．判断排列问题的原则：①与顺序有关；②元素互不相同；③一次性抽取． 二、排列数问题解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：先把式中的排列数转化为关于x 的表达式，并注意A mn 中m ≤n ，且m ，n 为正整数这些限制条件，再求解关于x 的方程．解：由3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ，得3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)．∵x ≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0.解得x ＝5或x ＝23(舍)，故x ＝5.解不等式：A x 9＞6A x －26.解：由排列数公式，原不等式可化为：9！－x ！＞6×6！－x ＋！，∴9×8×79－x＞6，解得x ＞－75.又⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ≤9，6≥x －2，∴2≤x ≤8.又∵x 为整数，∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7,8}． 有关以排列数公式形式给出的方程、不等式，应根据有关公式转化为一般方程、不等式，再求解，但应注意其中的字母都是满足一定条件的自然数．三、数字排列问题用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数，如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？思路分析：先排个位数，再排千、百、十位数，再由分步计数原理求得适合条件的四位数的个数．解：第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2,4,6之一，所以有A 13种排法，第二步排千、百、十这三个数位上的数，有A 36种排法．根据分步计数原理，适合条件的四位数的个数为N ＝A 13A 36＝360，所以这样的四位数有360个．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万，又不是5的倍数的数有多少个？解：法一：因为0和5不能排在首位和个位，先将它们排在中间4个数位上有A 24种排法，再排其他4个数位有A 44种排法，由分步计数原理得，共有A 24·A 44＝12×24＝288个数符合要求．法二：六个数位的全排列共有A 66个，其中0排在首位或个位有2A 55个，还有5排在首位或个位上的也有2A 55个，这两种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法有2A 44种，所以符合条件的数字个数有A 66－4A 55＋2A 44＝288个．关于数字问题要注意首位数字不能为0，其次注意特殊位置或特殊数字，再考虑其他位置或其他数．也可用全排列数减去不合要求的排列数．1．已知A 2n ＝7A 2n －4，则n ＝__________. 答案：7解析：由排列数公式得，n (n －1)＝7(n －4)(n －5)，∴3n 2－31n ＋70＝0，解得n ＝7或n ＝103(舍)．∴n ＝7. 2．将五辆车停在5个车位上，其中A 车不停在1号车位上的停车方案有__________种． 答案：96解析：因为A 车不停在1号车位上，所以可先将A 车停在其他四个车位上，有A 14种停法；然后将另外四辆车在剩余的四个车位上进行全排列，有A 44种停法，由分步计数原理得，共有N ＝A 14·A 44＝4×24＝96种不同的停车方案．3．用1,2,3,4,5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数有__________个． 答案：36解析：当个位数字分别为1,3,5时，百位、十位上数字的排列总数均为A 24＝12个．由分类计数原理知，没有重复数字的三位奇数共有12＋12＋12＝36个．4．从甲、乙、丙、丁4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块试验田上进行试验，其中甲品种必须入选，则不同的种植方法有多少种？解：本题相当于从4个元素中取出3个元素的排列，其中甲元素必取，优先考虑甲元素，先排甲，有A 13种方法，再从乙、丙、丁三个元素中选出两个元素的排列数为A 23.则由分步计数原理得，满足条件的排列有A 13·A 23＝18种不同的种植方法．5．从7名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，求满足下列条件的方案种数． (1)甲、乙二人都不跑中间两棒； (2)甲、乙二人不都跑中间两棒．解：(1)从甲、乙之外的5人中选2人安排在中间两棒，有A 25种方法，再从余下的5人中安排首末两棒，有A 25种方法，由分步计数原理知共有A 25·A 25＝400种不同的安排方案．(2)从7人中选4人安排接力赛有A 47种方法，而甲、乙都跑中间两棒有A 25A 22种方法，因此符合条件的方案有A 47－A 25A 22＝800种．1.3 组合1．组合的概念一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．预习交流 1如何区分排列问题和组合问题？提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．2．组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．C mn ＝A mn A m m ＝n n －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！.预习交流2如何理解和记忆组合数公式？提示：同排列数公式相类比，在排列数公式的基础上，分母再乘以m ！. 3．组合数的性质性质1：C m n ＝C n －m n ，性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . 预习交流3如何理解和记忆组合数的性质？提示：从n 个元素中取m 个元素，就剩余(n －m )个元素，故C m n ＝C n －mn .从n ＋1个元素中取m 个元素记作C m n ＋1，可认为分作两类：第一类为含有某元素a 的取法为C m －1n ；第二类不含有此元素a ，则为C m n ，由分类计数原理知：Cm n ＋1＝C m n ＋C m －1n .一、组合问题判断下列问题是组合问题，还是排列问题．①设集合A ＝{a ，b ，c ，d }，则集合A 的含3个元素的子集有多少个？ ②一个班中有52人，任两个人握一次手，共握多少次手？③4人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？思路分析：交换两个元素的顺序，看结果是否有影响，如无影响则是组合问题． 解：①因为集合中取出的元素具有“无序性”，故这是组合问题； ②因为两人握手是相互的，没有顺序之分，故这是组合问题； ③因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关，故这是排列问题．下列问题中，是组合问题的有__________．①从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法；②从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法； ③a ，b ，c ，d 四支足球队进行单循环赛，共需多少场比赛； ④a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果． 答案：①③解析：①2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题； ②2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；③单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题； ④冠亚军是有顺序的，是排列问题．组合问题与顺序无关，而排列问题与顺序有关． 二、组合数公式及组合数的性质(1)计算C 98100＋C 199200；(2)已知C 3n ＋618＝C 4n －218，求n ；(3)化简C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋1.思路分析：先把组合数利用性质化简或利用组合数性质直接求解．解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5 150.(2)由C 3n ＋618＝C 4n －218，知3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＋(4n －2)＝18，解得n ＝8或2.而3n ＋6≤18且4n －2≤18，即n ≤4且n ∈N *，∴n ＝2.(3)C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋1＝1＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 55＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 56＋C 46＋C 47＋C 48＝C 57＋C 47＋C 48＝C 58＋C 48＝C 59＝C 49＝9×8×7×64×3×2×1＝126.(1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310＝__________；(2)(C 98100＋C 97100)÷A 3101＝__________.答案：(1)329 (2)16解析：(1)原式＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44＝C 45＋C 35＋…＋C 310－1＝…＝C 410＋C 310－1＝C 411－1＝329.(2)原式＝C 98101÷A 3101＝C 3101÷A 3101＝A 31013！÷A 3101＝16.利用组合数的性质解题时，要抓住公式的结构特征，应用时，可结合题目的特点，灵活运用公式变形，达到解题的目的．三、组合知识的实际应用现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？思路分析：由于选出的教师不需要考虑顺序，因此是组合问题．第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个的组合问题，可用直接法求解．第(2)小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名．解：(1)从10名教师中选2名参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种．(2)从6名男教师中选2名的选法有C 26，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法C 26·C 24＝6×52×1·4×32×1＝90种．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有多少种？解：方法一：(直接法)至少1名女生当选可分为两类：第一类：1名女生1名男生当选代表，有C 13·C 17种方法，第二类：2名女生当选代表，有C 23种方法．由分类加法计数原理，至少有1名女生当选的不同选法有C 13·C 17＋C 23＝21＋3＝24种．方法二：(间接法)10名学生中选2名代表有C 210种选法，若2名代表全是男生有C 27种选法，所以至少有1名女生当选代表的选法有C 210－C 27＝24种．利用组合知识解决实际问题要注意：①将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法； ②要使用分类方法，要做到不重不漏；③当问题的反面比较简单时，常用间接法解决．1．给出下面几个问题，其中是组合问题的有__________． ①某班选10名学生参加拔河比赛；②由1,2,3,4选出两个数，构成平面向量a 的坐标； ③由1,2,3,4选出两个数分别作为双曲线的实轴和虚轴，焦点在x 轴上的双曲线方程数； ④从正方体8个顶点中任取两个点构成的线段条数是多少？ 答案：①④ 解析：由组合的概念知①④是组合问题，与顺序无关，而②③是排列问题，与顺序有关．2．C 9798＋2C 9698＋C 9598＝__________. 答案：161 700解析：原式＝C 9798＋C 9698＋C 9698＋C 9598＝C 9799＋C 9699＝C 97100＝C 3100＝161 700.3．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这几个点中的每三个点作圆，共可作__________个圆．答案：220解析：由题意知，可作C 312＝12×11×103×2×1＝220个不同的圆．4．解方程：C x 17－C x 16＝C 2x ＋216.解：∵C x 17＝C x 16＋C x －116，∴C x 17－C x 16＝C x －116，∴C x －116＝C 2x ＋216.由组合数的性质得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，解得x ＝－3(舍)或x ＝5.∴x ＝5.5．平面内有10个点，其中任何3点不共线，以其中任意2点为端点，试求：(1)线段有多少条？(2)有向线段有多少条？解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 210＝10×92×1＝45条不同的线段．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A210＝10×9＝90条不同的有向线段．1.4 计数应用题1．简单计数问题的处理原则解简单计数问题，应遵循三大原则：先特殊后一般的原则；先选后排原则；先分类后分步的原则．分类计数原理和分步计数原理是解决计数应用题的两个基本原理．预习交流1你对“特殊”“一般”有怎样的理解？试谈谈先特殊后一般的原则．提示：“特殊”指元素特殊或场所特殊或特殊条件限制；先特殊后一般原则是先考虑“特殊元素”“特殊位置”，再考虑一般元素或一般位置．2．简单的常见计数问题的解题策略剔除：对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除．捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．插空：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．预习交流2剔除、捆绑、插空主要是为了解决何种计数问题？提示：剔除主要用在有限制条件的计数问题上，或问题的正面情况较多，而反面情况较少的计数问题上；捆绑主要用在相邻问题上；插空用在不相邻问题上．一、剔除问题四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法有__________种．思路分析：在这10个点中，不共面的不易寻求，而共面的容易找，由10个点中取出4个点的组合数C410减去4个点共面的个数即为所求．答案：141解析：如图，从10个点中任取4个点有C410种不同的取法，其中4个点共面的情形可分三类：第一类：4个点在四面体的同一个面内，有4C46种；第二类：4个点位于相对的棱上，即一条棱上三点与对棱的中点共面，有6种；第三类：从6条棱的中点中取4个点时有3种共面．综上所述可知：不同的取法共有：C410－(4C46＋6＋3)＝141种．从正方体的6个面中选取3个面，其中2个面不相邻的选法共有多少种？解：联想一空间模型，注意到“有两个面不相邻”即可从相对平行的平面入手正面构造，即有C16·C12＝12种不同的选法，也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即有C36－C18＝12种不同的选法．利用剔除法要把不满足条件的情况剔除干净或把问题的全部情况考虑清楚，做到不重不漏．二、捆绑问题(相邻问题)从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一列，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有__________种．思路分析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个，再进行全排列．答案：480解析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个元素，共有C36种不同的取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有A44种方法，由于“qu”顺序不变，根据分步计数原理共有C36·A44＝480种不同排列．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有多少种？解：将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行排列，共有A99＝362 880种不同的停车方法．对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列．三、插空问题(不相邻问题)7人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是__________．思路分析：先将除甲、乙两人之外的5人排成一行，再对5个人之间的六个间隙插入甲、乙两人．答案：3 600解析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有A55种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入甲、乙两人，有A26种方法，故共有A55·A26＝3 600种不同的排法．晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈节目在节目单中都不相邻，求不同的节目单的种数．解：先排8个唱歌节目共有A88种不同方法，然后从唱歌节目之间及两端共有9个间隙中选3个，将3个舞蹈节目插入，有A39种方法，由分步计数原理知，不同的节目单的种数为A88·A39＝20 321 280.解决不相邻问题常用插空法，要先把不相邻的元素抽出来，剩余的元素进行全排列，然后把抽出来的元素插入全排列时元素之间及两端形成的空隙中，注意两端也是“空隙”．1．记者要为5名志愿者和他们帮助过的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不在两端的排法有__________种．答案：960解析：5名志愿者先全排有A55种，2位老人作为一个元素插空，并且两位老人左右有别，故共有A55·C14·A22＝960种不同的排法．2．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数有__________个．答案：108解析：插空法，先排2,4,6共有A33种方法；若1,3,5都不相邻，则有A33种方法，若1,3相邻，则有A22A33种方法；∴共有A33(A33＋A22A33)＝108种不同的排法．3．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的排法有__________种．答案：1 008解析：若丙排在10月1日，共有A55·A22＝240种不同的排法，若丁排在10月7日，共有A55·A22＝240种不同的排法，若丙排在1日且丁排在7日，共有A44A22＝48种不同的排法，若不考虑丙丁的条件限制，共有A66·A22＝1 440种不同的排法，∴符合题意的排法的种数为1 440－240－240＋48＝1 008.4．有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可开出几张？解：按英、日语都会的翻译人员的参与情况，分成三类：第1类，“英、日都会的翻译人员”不参加，有C45C44种；第2类，“英、日都会的翻译人员”有一人参加，该人可参加英语，也可参加日语，因而有(C12C35C44＋C12C45C34)种；第3类，“英、日都会的翻译人员”均参加，这时又分三种情况：两人都译英语，两人都译日语，一人译英、一人译日，因而有(C25C44＋C45C24＋C12C35C34)种．由分类计数原理知，可开出名单共有C45C44＋C12C35C44＋C12C45C34＋C25C44＋C45C24＋C12C35C34＝185种．5．7位同学站成一排合影留念，(1)其中甲不站排头，乙不站排尾的排法有多少种？(2)甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)用剔除法：总排有A77种，不符合条件的甲在排头和乙在排尾的排法均为A66，但这两种情况均包含了甲在排头同时乙在排尾的情况共有A55种．∴甲不站排头，乙不站排尾的排法有A77－2A66＋A55＝3 720种．(2)用捆绑法：第一步，将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为A55种，第二步，“释放”大元素，即甲、乙和丙在捆绑成的大元素内的排法有A33种，∴甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有A55·A33＝720种．(3)用插空法：第一步，先排除甲、乙和丙之外的4人的全排列有A44种排法，第二步，把甲、乙和丙三人插入前4人中间及两端形成的5个空隙中，共有A35种排法．∴甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有A44·A35＝1 440种．1.5 二项式定理。
高二数学两个基本原理
例1、某班共有男生28名、女生20名，
从该班选出学生代表参加校学代会。
（1)若学校分配给该班1名代表，有多少种
不同的选法？
（2）
若学校分配给该班2名代表，且男女生代表
各1名，有多少种不同的选法？
ห้องสมุดไป่ตู้
例2、在下面两个图中，使电路接通的 不同方法各有多少种？
A
B （1）
A
B
（2）
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册
时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设
置的信箱中，
（1）
密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一
个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码
为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，
或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的
密码共有多少个？
（3）密码
为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一
个。这样的密码共有多少个？
什么是分类计数原理？ 什么是分步计数原理？ 应用这两个原理时应注意什么问题？
例1、要从甲、乙、丙三名工人中选出 两名分别上日班和晚班，有多少种不同的 选法？
例2、某艺术组有9人，每人至少会钢 琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴， 3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各 一人，有多少种不同的选法？
N m1 m2 mn
种不同的方法。
分类计数原理又称为加法原理。
问题二：从甲地到乙地，要从甲地选乘火 车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一 天中，火车有3班，汽车有2班。那么两天中， 从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
这个问题与前一个问题有什么区别？ 在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的 任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这 个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个 步骤，才能从甲地到乙地．
高二数学两个基本原理
例6、书架上原来并排放着5本不同的书， 现要插入三本不同的书，那么不同的插法有 多少种？
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王 又不会管理政事 南迁侨姓世族成为东晋朝廷与南朝的支柱 439年北魏统一华北后 冉魏 4 [88] 进而被汉族融合 率王镇恶等将伐后秦 慕容恪去世后由慕容评执政 晋元帝司马睿原属于东海王越一党 西晋皇帝全图(4张) 使其州郡领有实地 是一群奉五斗米道的亡命无赖 取胜的重要原因 之一就是内部和睦 另外 建兴五年（317年）西晋灭亡后 但在迁都洛阳后 建立陈 即隋文帝 到北魏宗主督护出现 便注定是短命的 西向进攻关中 [45] [5] 著名的文学家 其地位等同郡守 09 仇池王 杨纂 370-371 10 其余的时间 [7] 道教及由印度东传的佛教 因此自西晋建立 真正出征 的祖逖官职是镇守；南朝领土 迁都洛阳 使得未能辅政而感到不满 创立玄学 东晋朝重要地区用大族作镇将 史学名著《三国志》即由陈寿所著 不均称尺 王恭败死 完成后轰动京城 对徒党们说 3 基本上为二十二州上下 由于北方战乱不堪 当时一些权臣 平民也拥有一定大小的土地 但是晋 朝实际没有出现诸侯割据 于328年西征攻灭刘曜 并不重视它的教义 目击衰乱 使得前秦国势大盛 [41] 大惊 目录 后仇池 北方大臣王导希望改变这种状况 “周围三十三里 西逃投奔宇文泰 四周诸国遣使通好 最后到南朝陈的陈文帝 此制度规定：“其官品第一至第九 挟惠帝讨伐成都王颖 为南朝政治带来毁灭性打击 该派以符籙科教为主 经温峤力劝之下决定讨伐苏峻 其子李雄继立后击败罗尚并称王 [41] 有意控制朝廷 分散南下的也多被豪强大族所兼并 汉族 采纳陈群的意见 诸王分封郡国 或游食商贩 以下爵位每降一阶 主要是照顾南迁世家豪族的利益 前秦 姚泓 在扩 充领土期间 人
高二数学两个基本计数原理
课Hale Waihona Puke 小结课堂小结1. 分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是 最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是 较复杂的排列、组合问题的基础. 2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关 键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类” 时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能 直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法 是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时， 才能完成这件事.
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您切勿让朕失望,得胜归来,朕另有封赏/"川布听咯更是大喜,豪然回道:"请皇上放心,末将定直捣襄阳,生擒东舌小儿/"董卓与木儒相望壹眼,眼中尽是欣喜,想否到汤广否仅将兵权交给咯川布,更是派来叁员彪将相助,如此壹来,何事否成？宇文成都满脸否解,明明是自己占咯上风,却为何要把兵 权交给川布,便上前问道:"皇上,成都为何否能统兵而要将兵权交给他？"汤广将视线抛到宇文成都の身上,捋咯捋须髯,若有所思地回答:"天宝将军,您是朕大隋の顶梁柱,您必须留守洛阳,方才可以保朕皇都无忧.""成都明白咯."宇文成都虽然心里否服,但是皇命在前,也就只能硬生生地回应壹句, 转身退下.宇文化及却阴沉着那长老脸,壹言否发,突然眼神中闪过壹丝异色,走到汤广面前开口说."皇上,臣有壹人想要举荐,可随大军壹起出征,此人有万夫否当之勇."汤广壹脸好奇地问道:"丞相所言何人？""光禄大夫裴仁基之第叁子,裴元庆."O(∩_∩)O)壹百五十九部分裴元庆力举千斤鼎封 神之战,终于落下咯帷幕.汤广脑江中思绪翻滚如潮,壹脸否解地问道:"裴仁基此人真倒是有所耳闻,便是那之前加封の光禄大夫,否过那裴元庆是什么人物？"宇文化及目露异色,清咯清嗓子,旋即回道:&#
高二数学两个基本计数原理5
建构数学
（乘法原理） 分步计数原理：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做 第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N = m1×m2×…×mn 种不同的方法.
要点： （1）分步； （2）每步缺一不可，依次完成； （3） N = m1×m2×…×mn （各步方法之积）
数学运用
，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的 信箱中, （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个，这样的密码共有多少个？
（2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中 的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个 ，这样的密码共有多少个？ （3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个 数字中的一个，这样的密码共有多少个？
Ⅰ
Ⅱ
总结出两个原理的联系、区别：
分类计数原理 分步计数原理
联系 都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题
完成一件事，共有n类 完成一件事，共分n个 区别1 办法，关键词“分类” 步骤，关键词“分步” 每类办法相互独立， 各步骤中的方法相互依 区别2 每类方法都能独立地 赖，只有各个步骤都完 完成这件事情 成才算完成这件事情
火车1
深圳
火车2
火车3 汽车1
汽车2
张家界
思考：假使一天中还有航班2次，那么从深圳 到张家界有多少种不同的方法？
由情景1,你能归纳猜想出一般结论吗?
建构数学
分类计数原理： （加法原理）
完成一件事情，有n类方式,在第1类方式中有m1种不 同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法，……， 在第n类方式中有mn种不同的方法。那么完成这件事 共有N= m1+m2+…+mn种不同的方法. 要点： （1）分类； （2）相互独立； （3） N=m1+m2+…+mn（各类方法之和）
苏教版高中数学选修两个基本原理教案(1)
课题 1.1两个基本原理分类计数原理与分步计数原理第二课时教学目标知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点教学难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：学生探究过程：[1]. 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？[2]. 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?复习：1.分类计数原理、分步计数原理概念2.分类计数原理、分步计数原理的不同点例题讲解：例1.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类, m1 = 1×2 = 2 条第二类, m2 = 1×2 = 2 条第三类, m3 = 1×2 = 2 条所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条例2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？。
高中数学课件：1.1《两个基本原理》(新人教B选修2-3)
分类计数原理与分步计数原理（一）情景探究问题1从岳阳到长沙，可以乘火车，也可以乘 汽车。
一天中，火车有3班，汽车有2班。
那么一天中，乘坐这些交通工具从岳阳到长沙共有 多少种不同的走法? 3+2=5 火车3汽车1汽车2（种）分类计数原理完成一件事，有n类办法,在第1类办法中有加1种不同的方法，在第2类方法中有加2种不同的方法，•…在第〃类办法中有加“种不同的方法，那么完成这件事共有N=m l +m2 +种不同的方法理解分类计数原理分类计数原理又称“加法原理”⑴各类办法之间相互独立，都能完成这件事, 且办法总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；⑵分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类;⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类, 且理解分类计数原理分别属于不同两类的两种方法都是不同的一不重不漏.问题2从岳阳到益阳，要从岳阳先乘火车到长沙, 再于次日从长沙乘汽车到益阳。
一天中，火车有3 班，汽车有2班，那么两天中，从岳阳到益阳共有 多少种不同的走法？ Ill III火车1 一汽车1火车1 一汽车2 火车2—汽车1火车2—汽车2火车3—汽车1 火车3—汽车2分步计数原理完成一件事，需要分成n 丫步骤，做第1步有加1种不同的方法，做第2步有加2种不同的方法……做第n步有加〃种不同的方法.那么完成这件事共有N= x m2 x... x m n种不同的方法.理解分步计数原理分步计数原理又叫作“乘法原理”⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理；⑵分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；⑶完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤.分类计数原理与分步计数原理的区别・分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题.区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.例1书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。
高二数学有什么定理知识点
高二数学有什么定理知识点在高中数学的学习过程中，高二是关键的一年，这一年中，学生会接触到许多重要的数学定理和知识点。
这些知识点不仅是理解高中数学的基础，也是为大学数学学习打下坚实基础的关键。
以下是一些高二数学中的重要定理和知识点。
一、函数与方程函数是高二数学中的一个核心概念。
学生会学习到函数的基本概念，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
此外，函数图像的绘制和变换也是重要的知识点。
在方程方面，二次方程的解法、不等式的解集和性质、以及指数和对数方程的求解都是必须掌握的技能。
二、三角函数三角函数是解决与角度和三角形相关问题的重要工具。
学生会学习到正弦、余弦、正切等基本三角函数，以及它们的性质和图像。
三角恒等变换、三角函数的周期性和对称性，以及如何利用三角函数解决实际问题也是这一部分的重点。
三、数列与级数数列是一系列按照特定规则排列的数。
在高二数学中，学生会接触到等差数列、等比数列等常见数列的性质和求和公式。
级数则是数列的进一步扩展，包括等差级数和等比级数的概念，以及它们的收敛性和求和方法。
四、解析几何解析几何是研究图形位置、形状和运动的数学分支。
在高二数学中，学生会学习到直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等基本图形的方程和性质。
通过坐标系，学生能够用代数方法解决几何问题，包括图形的交点、距离和角度等问题。
五、概率与统计概率与统计是高二数学中应用性很强的部分。
学生会学习到事件的概率计算、条件概率、独立事件以及贝叶斯定理等基本概念。
在统计方面，包括数据的收集、整理和描述，以及如何使用平均数、中位数、众数和标准差等统计量来分析数据。
六、数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，常用于证明与自然数相关的命题。
学生需要掌握归纳法的基本原理和步骤，包括如何构造归纳假设和如何进行归纳推理。
这种方法在解决数列、级数以及一些组合问题时非常有用。
通过以上这些定理和知识点的学习，学生能够更深入地理解数学概念，提高解题能力，并为未来的数学学习奠定坚实的基础。
高二数学精品教案：112基本计数原理和排列组合选修2-3
（2）分步乘法计数原理： 做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一个步骤有 m1 种不同的方法，做第二个步 骤有 m2 种不同的办法……做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N＝ m1×m2×…×mn 种不同的方法 说明： （1）两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同 方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法 （2）考虑用哪个计 数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分 步。如果完成一件事情有 n 类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果 完成一件事情，需要分成 n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才
型与乙型电视机各一台，不同的取法共有（ ）种
A. 140
B. 84
C. 70
D. 35
4. 四个不同的小球放入编号 1，2，3，4 的四个盒子中 ，则恰有一个空盒的方法共有
N ,且m
n)
C
0 n
C
n n
1
（4）组合数的两个性质：
①
C
m n
C nm n
②
Cm n1
C
m n
C
m n
1
4. 排列和组合的关系：
（1）二者区别的关键：是否和顺序有关
（2）二者的联系：
Anm
C
m n
Amm
5. 解决站队和组数的常用方法：
（1）特殊位置（或元素）优先考虑法：解决在与不在的问题
（2）捆绑法：解决元素相邻的问题
有（ ）个
高二数学 两个原理.ppt
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问题二：在由电键组 A与B所组成的并 联电路中，如图，要接通电源，使电灯发 光的方法有多少种？
分类计数原理
分类计数原理 完成一件事，有n 类办法， m1 在第1类办法中有 种不同的方法，在第 2类办 m2 n 法中有 种不同的方法， …，在第 类办法中 mn 有 种不同的方法，那么完成这件事共有：
问题四：在由电键组A、B组成的串联 电路中，如图，要接通电源，使电灯发 光的方法有几种？
分步计数原理
分步计数原理 完成一件事，需要分成 n 类办法，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步 有 m2种不同的方法，…，做第 n 步有 mn种不同 的方法，那么完成这件事共有： N = m1 m 2
根据分类计数原理，不同取法的种数是 N＝m1+m2+m3=4+3+2=9 答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法。 （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可分3 个步骤完成： 第一步从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第二步从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第三步从第3层取1本体育书，有2种方法。 根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层取1 本书，不同取法的种数是 N＝m1m2 m3 =4 3 2=24. 答：略
练习题
1.现在高中一年级学生3名，高中二年级学生5 名，高中三年级学生4名。 （1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多 少种不同的选法？ （2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外 宾的活动，有多少种不同的选法？ 2.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地 有3条路，从甲地到丙地有4条路，从丙地到 丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少种不同 的走法？
授课：防城三官学校 奎
梁柱
实际问题
1.1两个基本计数原理(1)
例题: 例题: 用四种颜色给如图所示的地图上色， 用四种颜色给如图所示的地图上色， 要求相邻两块涂不同的颜色， 要求相邻两块涂不同的颜色，共有 多少种不同的涂法？ 多少种不同的涂法？
练习: 练习: 书架上原来并排放着5 书架上原来并排放着5本不同的 现要插入三本不同的书， 书，现要插入三本不同的书，那么 不同的插法有多少种？ 不同的插法有多少种？
因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地， 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所 种不同的走法。 以共有 3＋2＝5 种不同的走法。
加法原理） 分类计数原理 （加法原理）
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n类办法， 在第一类办法中有m 种不同的方法， 在第一类办法中有m1种不同的方法，在 第二类办法中有m 种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法，……， ， 在第n类办法中有m 种不同的方法． 在第n类办法中有mn种不同的方法． 那么完成这件事共有 ____________________种不同的方法 种不同的方法． ____________________种不同的方法． N＝m1十m2十…十mn ＝ 十 要点： 分类， 要点： （1）分类， 相互独立（并联） （2）相互独立（并联） （3）各类办法之和
3.把四封信任意投入三个信箱中, 3.把四封信任意投入三个信箱中,不同投法种数是 把四封信任意投入三个信箱中 ( A. 12 B.64 C.81 ) D.7
4.火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车 4.火车上有10名乘客，沿途有5个车站， 火车上有10名乘客 的可能方式有 （ ）种 A. C. 510 50 B. 105 D. 以上都不对
高二数学《两个基本计数原理(2)》
第5课时两个基本计数原理(2)学习目标：准确理解两个原理，弄清它们的区别；会用两个原理解决一些简单问题.重点难点: 1.重点：两个原理的理解与应用.2.难点：学生对事件的把握.学习过程：一、复习回顾1.书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书.（1）从书架中任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第一、二、三层各取1本书,有多少种不同的取法？二、典型例题例1 为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码.在某网站设置的信箱中，(1)密码为4位，每位均为0～9这10个数中的一个数字，这样的密码共有多少个？(2)密码为4位，每位是0～9这10个数中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的一个，这样的密码共有多少个？(3)密码为4～6位，每位均为0～9这10个数中的一个，这样的密码共有多少个？例2 随着人们生活水平的提高，淮安市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照构成方案：（１）共7位，前两位是“苏H”；（２）在第三位到第七位中，有一位从26个大写英文字母中选出；（３）剩下的4个位置从0～9这些数字中选出（可以重复）．那么这种方案共能给多少辆汽车上牌照？三、数学应用练习现有高一年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组，推选2人作代表发言，这2人须来自不同的组，有多少种不同的选法？四、回顾反思结合所学知识和问题解决过程谈谈本节课你有什么收获？知识:方法:五、作业布置1. 在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有()A.512个B.192个C.240个D.108个2.若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有()A.10个B.14个C.15个D.21个3.某城市的电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是()A.9×8×7×6×5×4×3×2B.8×96C.9×106D.8.1×1064.如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种()A.280B.180C.96D.605.将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则1号盒中有球的不同放法种数为________.6. 有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法.7. 如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.8.用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？(2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值.。
江苏省2020年高二数学第22讲 两个基本计数原理(1)课件
（一）问题情境：
如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
北
北
A村
中 南
B村 南 C村
分析: 从A村经B村去C村有2步, 第一步,由A村去B村有3种方法, 第二步,由B村去C村有2种方法,
关键词是“分步”
每类方法都能独立完成这件 事，且每类方法得到的都是 最后结果，只需一种方法就 可以完成这件事
任何一步都不能独立完成这 件事，缺少任何一步都不能 完成这件事，只有各个步骤 都完成了，才能完成这件事
区别三
各类方法之间是互斥的、并 列的、独立的
各步之间是关联的、独立的， “关联”确保不遗漏，“独 立”确保不重复
[思路探究]
（四）例题讲解
分析： (1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况： 第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有 10 种取法； 第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有 12 种取法． 根据分类计数原理，共有 10＋12＝22 种取法． (2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行： 第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有 10 种取法． 第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有 12 种取法． 根据分步计数原理，共有 10×12＝120 种取法．
（六）课时总结
分类要做到“不重不漏”，各种方法是相互独立的，用任何一种方法都 能完成这件事； 分步要做到“步骤完整”，各个步骤都完成才能完成这修的事情．
56,57,58,59，
67,68,69，
78,79，
89.
共有 36 个符合题意的两位数．
高二数学知识点及公式
高二数学知识点及公式11.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)2.排列(有序)与组合(无序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)-…(n-m+1)=n!/(n-m)!Ann=n!Cnm=n!/(n-m)!m!Cnm=Cnn-mCnm+Cnm+1=Cn+1m+1k?k!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+-…+Cnn-1abn-1+Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m二项式系数在中间。
(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n-1③通项为第r+1项：Tr+1=Cnran-rbr作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
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下,而后闪电般の后仰,接着化作一条残影,朝空中劈下！ 接着战刀突然消失在星辰君主手中,而星辰君主の双手也再次背负在身后,继续仰望着天空,似乎这一刀没有挥出. 至尊岛数不清の练家子,眸子内全部闪过一丝疑惑.就连身后の无数尊者也眨着眼睛望了望星辰君主,又望了望天空, 不清楚星辰君主这是玩什么把戏? 只有犁空一人一身肥头开始蠕动起来,一双只看到一条缝の眼睛内亮の吓人.除了犁空,还有无数人脸色大变,就连冰雪女王那一沉不变の冰冷脸庞,也微微露出一抹潮红！白重炙更是连吞几口唾沫,一脸の不敢相信. "嗤！" 就在至尊岛无数练家子不解の 时候,天空传来一阵布匹被撕碎の声音.接着天空上无数の修罗王恶魔生物,身体突然开始裂开,从空中落下,刚刚落下,这些碎块却全部化成齑粉,缓缓の漂浮下来,天空开始下起了一阵诡异の黑雨. 这时城内の所有练家子发现,他们の身体在这一刻能动了,他们微微发愣の望着那簌簌落下の 黑色粉末,而后神识在空中一扫,全部都惊恐宛如见鬼般. 天空の数十万恶魔,数千修罗王全部消失了！ 这么多恐怖の生物,能让至尊岛血流成河の强大生物,被星辰君主,就这么轻飘飘の一刀之下,全部毙命！ 君主の强大,无需置疑,但是君主们不是都挥出一只大手掌,强行用空间之力将敌 人压碎吗?这什么都没看到,就全部死了? "君主无敌,君主亿万岁！" "总阁主无敌,总阁主亿万岁！" 虽然无数人不懂,甚至犁空都不怎么懂.但是不妨碍,他们对星辰君主の敬畏之心越来越盛了,所有の人全部恭敬の单膝下跪,单手抚胸,齐声大喝,表达着自己最崇高の敬意. 外行人看热闹, 内行人看门道！ 外面所有の君主都清楚の感应了,刚才星辰君主那霸道凶残の一刀.基德攻击の时候能让空间之力化成一条条巨龙,环绕在他身边,随着他の攻击,撕裂面前の敌人. 但是星辰君主,却只是动用了身边の很不咋大的一部分空间之力,这团空间之力,随着他の那把长刀随意の舞 动,竟然压缩起来,最后他朝空中劈出一刀.这团空间之力瞬间化为一根无声の巨大利箭,瞬间射入了空中の恶魔之中. 这根用空间之力组成の利剑,猛然在黑雾中爆炸开来,化成了万千根不咋大的箭,朝四面八方の每个恶魔生物射去.速度快若闪电,比基德の速度快上最少十倍！而后毫无意 外の…所有恶魔界生物化作齑粉,飘落下来！ 一切の一切都是在眨眼间形成の！白重炙对比了一下,不说自己,就是基德使用空间之力の方法和星辰君主比起来,都是天地之别！ 不说那根空间之力化成の巨大利箭恐怖の速度,和让人心颤の穿透力.就说星辰君主只是利用了这么一部分空间 之力,却达到了如此恐怖の攻击力,这点就已经是无人可比了！ 如果星辰君主在凝聚更多の空间之力,制造出一把比刚才大十倍百倍の利剑,朝自己射来,自己怎么挡?能挡住吗? 自己用空间之力化成の那只巨大手掌,会不会瞬间被击穿?如果他凝结出亿万根这样の利箭,天下何处能藏身?何 人能挡? 白重炙不敢想象了,并且噬大人说过,星辰君主掌握の空间之力可是达到整个星辰海那么大?这该是多么恐怖の一股力量? 不说他这诡异の空间之力运用方法,就算他直接用最野蛮の方法,凝结住一只大手掌,也能轻易将自己拍成粉碎！ 其实场中只有冰雪女王和青山大人才知道,星 辰君主这样の实力只是他实力の冰山一角,一些受过重创の灵魂,还寄居在一具陌生の躯体内,能发挥出本身实力の几分之一? 两人一直知道,这个一直睥睨天下の男子有着深不可测の实力,没有想到露了这么一手,却让两人都惊愕不已！一旦他回复了全盛时期の力量,该是何等の强横? 除 了冰山女王和青山大人以及白重炙,所有の人都下意思の退后了几步,虽然这几步并不能让他们更安全一些,但是他们觉得至少退在青山和冰雪女王身后,更加安全一些！基德退了一步,见白重炙没有退,也咬牙在白重炙身后站立起来. "不咋大的白,进战智空间来！" 白重炙没有退,虽然他 也感觉到一丝惊恐,但是他清楚星辰君主不消灭恶魔君主,绝对不会对他们出手.还有他相信噬大人の话,既然星辰君主有伤,那么绝对不会愚蠢の对战这么多君主.虽然不退,但是他却开始做准备,传音给不咋大的白. 不咋大的白没有犹豫,眼神中却闪耀出一条不为人知の神色.虽然平常很调 皮,偶尔脾气比白重炙还要倔强.但是还不至于在如此局面乱搞,身子化作一条虚影,消失在白重炙の胸口！不过他却在进战智空间之前,强烈要求白重炙打开两人の灵魂联系,通过白重炙の灵魂,密切の关注起事态の发展. 至尊岛,天空の黑雾开始渐渐淡去,所有君主开始全力感应附近の情 况.他们都知道,恶魔君主要么出手,要么就悄然远遁,否则等着黑雾全部消散,他の本体很有可能被这些强大の君主发现一丝踪迹,而后他の下场将会很悲剧！ "所有练家子,全部退后十万里！" 青山大人沉喝一声,手中出现一根泛着幽光の铁棍,冰雪女王手中也凭空出现一把白色の玉剑.所 有君主手中都出现了各自最拿手の武器.白重炙迟疑了片刻,却是没有拿出任何武器！ 空中の气氛在这一刻变得格外の压抑起来,所有人等待着那位远道而来の客人の现身！ 当前 第壹0肆捌章 恶魔君主の意图！ 在天空の最后一片黑雾即将消散の时候,那位远道而来の客人终于现身了！ 天空开始出现一张脸,一张很清晰の脸,这张脸很漂亮,分不出男女,妖yaw无比,动人心魄.请大家检索（￥网）看最全！更新最快の脸上有着迷人の微笑,宛如最优雅の绅士,他の目光很清澈,宛如一潭泉水,他没有看任何人,只是盯着星辰君主后面の那个巨大传送阵！ 青山大人这边の君主 都没有动,反而齐齐松了一口气.恶魔君主既然现身了,那么就没有顾忌了,他们の空间之力已经冻结了附近所有の区域,这个恶魔君主逃不掉了！ 白重炙望着那张能比妖姬般妖yawの脸,微微皱起了眉梢.恶魔君主の智慧传说不必人类弱,那么他为何这么愚蠢の显露本体?就算他想进那个传 送阵,就算他想救他の祖魔,那也得有命去救啊！ 至尊岛上无数の练家子,顾不得拂去身体上の恶魔化成の粉末,都无比好奇の望着天空上の那张脸.这就是传说中の恶魔君主吗?这么脸长得和人类差不多啊?也没见有什么特殊の样子啊? 星辰君主の金色眸子亮了起来,浑身白发无风自动,长 空飘舞,手中那把超长の战刀再次出现在他の手上.没有任何犹豫の挥动起来,瞬间朝空中劈下！ "砰！" 空中の那张妖yawの脸,在众目睽睽之下,被击の粉碎,化作无数の黑色粉末簌簌落下！落在无数张惊愕の脸上. 死了? 就这样简单? 这恶魔君主比修罗王强不了多少嘛? 白重炙等人也 是无比の疑惑,声明在外の恶魔君主不可能这么轻易就死去了吧?青山大人和冰雪女王眉梢紧锁,无比警惕の四处扫视起来. 他们都知道恶魔君主绝对没有死,因为刚才只是显露了一张脸.恶魔君主不完全显露本体,那是绝对击杀不了の！ 就在这一刻,星辰君主做了一些让人无比疑惑の动作. 他居然闭上了眼睛,片刻之后他猛然睁开,一双眸子内闪烁の光芒没人敢注视.同一时候青山大人也大喝一声："不好！" "砰！" 无数の黑色火焰在岛上无声の开始绽放,宛如暗夜の盛开の白莲花一样,无比の美丽,无比の耀眼！而这黑色火焰绽放の不是一两朵,而是整个至尊岛上每一处,都 有这种黑色火焰. 凡是身体上沾有,刚才恶魔化成の黑色粉末の练家子,在这一刻都无声の开始燃烧起来.毫无征兆の燃烧起来,连惨叫声都没有响起一句.就在刚才那一瞬间,最少有数亿练家子,化作了熊熊の黑色火焰！ 无数の高级练家子,由于第一时候利用神力将那些黑色粉末震开了,幸 免于难.当然也有些强大如七品破仙の练家子,没有在意那些和灰尘无异の黑色粉末,也化成了黑色火焰. 瞬间整个至尊岛,变成了人间炼狱,无数活下来の练家子惊恐大叫,朝天空乱飞,躲避着那些妖异の黑色火焰.黑色火焰开始四处扩散,无数の房子森林草地都被扩散开去.硝烟开始弥漫, 至尊岛乱成一团糟,美丽の圣岛,变成了人间炼狱. "哼！你呀这是找死！" 星辰君主第一次开口出声,暴怒の冷哼声响彻九霄,就连远处の白重炙等人都耳膜生痛.他身子依旧没有动,而身后の犁空等人则飞了起来,大喝起来,稳定众人の情绪,将幸存下来の练家子,全部集中在城上空の左角 处！ 星辰君主又动了,身影突兀の出现在半空中,战刀闪电般挥动了几下,而后朝下方挥出一刀.刀速度相当の快,除了九品强者,就连犁空都只是看到一阵白光闪耀. "轰！" 随着这一刀の劈下,整个至尊岛宛如被一些巨大の陨石砸下,整个岛屿为之一震,四周血红色の海水掀起了滔天巨 浪！ 所有の至尊岛上の建筑全部化作粉末四处溅射,一条巨大の蘑菇云腾起,遮天盖地,遮住了天空无数练家子の视线,迷了他们の眼. 但是这一刻,广场上の一些传送阵,却亮了起来.不是传送の那种光芒,反而有点类似防护罩一样白色光芒,护住了那个传送阵,这个传送阵正是传送下熔岩 洞穴の传送阵. 不等烟雾落下,所有人の都感应到至尊岛下面の情况.至尊岛被星辰君主用空间之力夷为了平地,比平原还要平！整个至尊岛都被拍の往海下沉了十几米,刚才那些燃起得黑色火焰全部消逝无痕. 这一刻,不仅至尊岛上空の星辰海练家子,就连白重炙他们都面面相觑.望着半 空中の那个白发男子,膛目结舌！ 白重炙在考虑,如果炽火城遭受了恶魔侵袭,自己最后肯定会一掌将炽火城夷为平地.但是不会像星辰君主这么刚绝果断,怎么说至尊岛是他の岛屿,是破仙阁の总阁所在！ 一些至尊岛,破仙阁总阁所在,千万年の古城！不说里面存放の珍惜文献,各大世家 府邸内の珍稀宝物,就说这岛上屹立了不知多青年の古建筑,都是一笔无法估量の财富啊！星辰君主,竟然就这样拍了… 不过下一秒,白重炙却被岛上传送阵边,一些慢慢凝结出来の白色身影吸引住了！ 岛上所有の黑色粉末朝岛中凝聚起来,最后形成一些白色身影.一身白衣,衣冠胜雪,一 张能比妖姬の妖异の脸,脸上露出迷人の微笑,望着半空上の星辰君主,灿烂の笑了起来！ "他居然显露了本体！他真の想找死?" 青山沉喝一声,脸上尽是惊讶之色！ 白重炙等人一听见,全部无比の疑惑,就连冰雪女王都疑惑起来.不知道这个恶魔君主想干什么?如此局面他还不禁显露本体, 还能笑の出来?难道他还以为还有机会潜下罪恶深渊,去破坏下面镇压恶魔至尊の禁制? 星辰君主脸上却变了！手中の巨长
B
A
B （ 2）
（ 1）
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册 时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设 置的信箱中， （ 1） 密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一 个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码 为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个， 或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的 密码共有多少个？ （3）密码 为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一 个。这样的密码共有多少个？