第二章时域离散时间信号与系统1
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第二章 信号与系统的时域分析
17
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
1离散时间信号与系统2
通过一个频率特性为
Ω1 ≤ Ω ≤ Ωh 其他
的理想带通滤波器时,可恢复原来的频谱
版权所有 违者必究 第一章第2讲
25
带通信号的抽样
2、带通信号的最高频率 h不为带宽 的整数倍时
即： h M • 如果 h不是的整数倍，可将人为地向频率的
低端或高端进行扩展，使 h 成为扩展后的带宽的整
数倍。 如果将带宽向频率的低端扩展到Ω0 ，扩展后Ωh 是 新的带宽 Ω1 = Ωh -Ω0的整数倍。再按Ωs = 2Ωh/M 选择M进行抽样。如令M=3，则有：
1
§3 线性时不变系统的描述
差分方程的重要特点是： 系统当前的输出（即在n时刻的输出）y(n)，不 仅与激励有关，而且与系统过去的输出 y(n-1), y(n-2), y(n-N) 有关，即系统具有记忆功能。
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2
差分方程的求解
递推法
经典解法 时域解法
详见《信号与系统》的相关章节
号，即产生了“混叠失真”，如上页图c所示。
抽样定理 要想连续带限信号抽样后能够不失真地还原出原信号，
则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率
(Ωh≤ Ωs/2)，这就是奈奎斯特抽样定理。
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12
抽样定理与A/D转换器
A/D转换器的基本原理 任何A/D转换器必须包括以下三个基本功能： 抽样、抽样保持、量化与编码
∴
h(n)= anu(n) 为因果系统
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3
例 2 经典解法
描述某线性时不变离散系统的差分方程为： y(n) 3y(n 1) 2y(n 2) 2nu(n)
试求：当初始状态为 y(-1)=0, y(-2)= ½时，求全响应。
离散时间信号与系统
若要
2
2 若要 为有理数（N/k），则： T0 2 N NT k T
为整数，T0应为T的整数倍；
kT 0
即N个抽样间隔应等于连续正弦信号的k 个周期.
25
四、序列的能量 x(n)的能量定义为序列各样本的平方和，即：
E
n
x ( n)
2
26
1.3
连续时间信号的采样
采样器可以看成是一个电子开关，开关每隔T秒闭
合一次，（理想采样闭合时间无穷短，实际采样闭
合时间τ秒，）对输入信号进行采样。
采样过程可以看成脉冲调幅， xa(t)为调制信号，被 调脉冲载波是周期为T的周期性脉冲串。当脉冲宽 度为τ时，实际采样，τ→0时，理想采样。
29
实际采样：
T
p(t)为脉冲 序列 …
n
a为实数，当
a 1时, 收敛 a 1时, 发散
17
5.复指数序列 complex exponent sequence
① 实、虚部
x(n) Ae
( j ) n
x(n) Ae jn
为数字域频率。
② 极坐标
x(n) Ae jn | x(n) | e j arg[ x ( n)]
X a ( j) xa (t )e
jt
dt
33
s (t )
n
(t nT )
s (t ) Ak e jk s t
周期函数
利用傅立叶级数展开，可得：
k
s=2/T，s称为采样角频率 fs=1/T，fs为采样频率
1 T2 其中： Ak T s (t )e jk s t dt T 2 1 T2 T (t nT )e jk s t dt T 2 n 1 T2 1 jk s t T (t )e dt 2 T T
第二章(1)时域离散信号和系统的频域分析
第二章 离散时间信号和离 时间系统
2.1 引言
一. FT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。
二、本章主要讨论内容
♦ 付里叶变换的推导 ♦ 付里叶变换的有关性质 ♦ 离散序列付里叶变换逼近连续时间信号的问题 ♦ 序列的Z变换 ♦ Z变换与系统的关系
实部为偶 对称序列 虚部为奇 对称序列
0
n
0
n
（2）定义：若xo(n)满足 xo(n)= -xo*(-n)； （2.2.13）， 则称xo(n)为共轭反对称序列。 将其分成实部和虚部： 用-n取代 n并取共轭：
xo (n) = xor (n) + jxoi (n)
xo*(-n)= xor(-n)-jxoi(-n)
∞
(2.2.8) (2.2.9)
证: FT [ x(n ± n0 )] =
k = n ± n0 → =
n =−∞
∑
x(n ± n0 )e − jω n
k =−∞
∑
∞
x(k )e − jω ( k ∓ n0 ) = e ± jω n0
k =−∞
∑
∞
∞
x(k )e − jω k = e ± jω n0 X (e jω ) x ( n ) e − j (ω ∓ ω 0 ) n = X ( e j (ω ∓ ω 0 ) )
∞
n =−∞
∑
∞
x(n)e− jω n
= ∑ RN (n)e n
n =−∞
− jω n
N-1 ∞ = ∑ e − jω n
n =0
设N＝4其幅度和相 位随ω变化如下图所 示
2.1 引言
一. FT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。
二、本章主要讨论内容
♦ 付里叶变换的推导 ♦ 付里叶变换的有关性质 ♦ 离散序列付里叶变换逼近连续时间信号的问题 ♦ 序列的Z变换 ♦ Z变换与系统的关系
实部为偶 对称序列 虚部为奇 对称序列
0
n
0
n
（2）定义：若xo(n)满足 xo(n)= -xo*(-n)； （2.2.13）， 则称xo(n)为共轭反对称序列。 将其分成实部和虚部： 用-n取代 n并取共轭：
xo (n) = xor (n) + jxoi (n)
xo*(-n)= xor(-n)-jxoi(-n)
∞
(2.2.8) (2.2.9)
证: FT [ x(n ± n0 )] =
k = n ± n0 → =
n =−∞
∑
x(n ± n0 )e − jω n
k =−∞
∑
∞
x(k )e − jω ( k ∓ n0 ) = e ± jω n0
k =−∞
∑
∞
∞
x(k )e − jω k = e ± jω n0 X (e jω ) x ( n ) e − j (ω ∓ ω 0 ) n = X ( e j (ω ∓ ω 0 ) )
∞
n =−∞
∑
∞
x(n)e− jω n
= ∑ RN (n)e n
n =−∞
− jω n
N-1 ∞ = ∑ e − jω n
n =0
设N＝4其幅度和相 位随ω变化如下图所 示
第2章 离散时间信号与系统-1-2节
5 m , m 0 z (m) 将m替换成m-n 0, m 0
5 ( mn ) , m n 0 z[(m n)] 0, m n 0
x ( n ) * z ( n)
n
5n m , n m z ( n m) 0, n m
m
m
[ x(m) z(n m)] [3
m0
( 5n m )]
n n 3 m n 1 (3 / 5) n 1 ,n 0 5 ( ) , n 0 5 1 3 / 5 m0 5 0, n 0 0, n 0 3n 1 5n 1 ,n 0 2 2 0, n 0
n=1
n=2
n=3
n=4
【例2-5】（P15）已知 ，
x(n) {
n ,1n3 2 0,其他
h(n) {
求：
1,0n2 0,其他
y (n) x(n) h(n)
m
x ( m )h ( n m )
【例2-5】（P15）
0.5， 1 ， 1.5 1， 1， 1 ×—————————————————— 0.5， 1 ， 1.5 0.5， 1 ， 1.5 0.5， 1 ， 1.5 + ————————————————————— 0.5， 1.5， 3， 2.5 ， 1.5
1
2
3
4
y(n)
0 -2 -4 1
-3
-2
-1
0 (b)
1
2
3
4
z(n)
0
-1 -4
-3
-2
-1
0 (c)
1
2
3
第二章 时域离散信号和系统(数字信号处理)
第二章 时域离散信号和系统
6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n 式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式： x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立： e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
第二章 时域离散信号和系统
图1.2.5 正弦序列
第二章 时域离散信号和系统
则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取
值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。
正弦序列有以下三种情况：
(1)当2π/ ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
例 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照公式，
y (n )
m
R ( m) R ( n m)
4 4
上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩
形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非
令n-k=m，代入上式得到
u( n )
n
( m)
n
第二章 时域离散信号和系统
u(n) 1 „ n 0 1 2 3
单位阶跃序列
第二章 时域离散信号和系统
3. 矩形序列RN(n) 1, RN(n)= 0， 0≤n≤N-1 其它n
上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的
第二章 时域离散信号和系统
第2章 时域离散信号和系统
实验一离散时间信号与系统时域分析
实验一离散时间信号与系统时域分析实验目的1学习MATLAB语言编程和调试技巧2学会简单的矩阵输入和图形表示法3掌握简单的绘图命令一实验目的1学习MATLAB语言编程和调试技巧2学会简单的矩阵输入和图形表示法3掌握简单的绘图命令二、实验原理本实验主要为了熟悉MATLAB环境，重点掌握简单的矩阵（信号）输入和绘图命令，特别是绘图命令tem()和plot()。
实验内容中涉及到信号的无失真采样、离散卷积运算和差分方程求解这三个主要的问题。
其基本原理分别如下：对一个模拟信号某(t)进行采样离散化某(n)，为了不失真地从采样信号某(n)中恢复原始信号某(t)，采样时必须满足采样定理，即采样频率必须大于等于模拟信号中最高频率分量的2倍。
一个离散时间系统，输入信号为某(n)，输出信号为y(n)，运算关系用T[﹒]表示，则输入与输出的关系可表示为y(n)＝T[某(n)]。
（1）线性时不变(LTI)系统的输入输出关系可通过h(n)表示：y(n)=某(n)某h(n)=式中某表示卷积运算。
（2）LTI系统的实现可物理实现的线性时不变系统是稳定的、因果的。
这种系统的单位脉冲响应是因果的（单边）且绝对可和的，即：h(n)0,n0;nh(n)0在MATLAB语言中采用conv实现卷积运算，即：Y=conv(某,h),它默认从n=0开始。
常系数差分方程可以描述一个LTI系统，通过它可以获得系统的结构，也可以求信号的瞬态解。
利用MATLAB 自带的filter（），可以代替手工迭代运算求解系统的差分方程，求解的过程类似于对输入信号进行滤波处理。
三、实验内容1、试画出如下序列的波形（1）某(n)3(n3)(n2)2(n1)4(n1)2(n2)3(n3)（2）某(n)0.5R10(n)解：用MATLAB描述波形1(1)某=[3120-42-3];%矩阵输入某n=-3:1:3;%输入自变量n,以间隔为1从-3到3变化n实验目的1学习MATLAB语言编程和调试技巧2学会简单的矩阵输入和图形表示法3掌握简单的绘图命令tem(n,某);%tem()函数绘制火柴杆图，注意n,某元素个数必须相等某label('n');%横坐标显示nylabal('某(n)');%纵坐标显示某(n)grid;%绘制网格1(2)n=0:9;某=0.5.^n;tem(n,某);某label('n');ylabel('某(n)');gri实验目的1学习MATLAB语言编程和调试技巧2学会简单的矩阵输入和图形表示法3掌握简单的绘图命令2、用MATLAB计算序列{-201–13}和序列{120-1}的离散卷积，即计算某(n)2(n)(n2)(n3)3(n4)与h(n)(n)2(n1)(n3)解：用MATLAB描述波形。
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
2．单位冲激信号 1) 单位冲激信号(Delta函数)的定义
∞ δ (t )dt = 1 ∫ ∞ (2-14) δ (t ) = 0 t ≠ 0 冲激信号用箭头表示，如图2.8(a)所示。冲激信号具有强度，其
强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中以括号注明，以与信 号的幅值相区分。 冲激信号可以延时至任意时刻 t0 ，以符号 δ (t t 0 ) 表示，定义 为
Ae st = Ae(σ + jω
0 )t
= Aeσ t cos(ω0 t ) + jAeσ t sin(ω0 t )
(2-8)
式(2-8)表明，一个复指数信号可以分解为实部﹑虚部两部分。 实部﹑虚部分别为幅度按指数规律变化的正弦信号。若 σ < 0 ，复指 数信号的实部﹑虚部为减幅正弦信号，波形如图2.4(a)﹑(b)所示。 若 σ > 0 ，其实部﹑虚部为增幅正弦信号，波形如图2.4(c)﹑(d)所 示。
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
4．抽样函数 抽样函数是指 sin t 与 t 之比构成的函数，其定义如下：
sin t Sa(t ) = t
抽样函数的波形如图2.5所示。
(2-10)
图2.5 抽样函数的波形 抽样函数具有以下性质：
Sa(0) = 1， Sa(kπ) = 0 ，k
= ±1, ±2,L ∫∞ Sa(t )dt = π
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
应用阶跃信号与延时阶跃信号，可以表示任意的矩形波脉冲信号。 例如，图2.7(a)所示的矩形波信号可由图2.7(b)表示,即 :
f (t ) = u (t T ) u (t 3T )
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
函数
3、 非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是周期的连续函数 4、 离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期又是离散的频谱，即
时域和频域都是离散的、周期的 规律：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓。 1、如果信号频域是离散的，则该信号在时域就表现为周期性的时间函 数。 2、在时域上是离散的，则该信号在频域必然表现为周期性的频率函 数。 3、如果时域信号离散且是周期的，由于它时域离散，其频谱必是周期 的，又由于时域是周期的，相应的频谱必是离散的， 4、离散周期序列一定具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都 是离散周期的。
对于，将以为周期进行周期延拓，得到所示的周期序列， 周期为16， 求的DFS。 可以看出，在时，处频谱的幅度和处是一样的。也就是说，点数越多， 频谱越精确。
..2 离散周期序列的傅里叶变换 各种形式的傅里叶变换 1、 非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是一个非周期的连续
函数 2、 周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是非周期性的离散频率
例：设， f0=50 Hz，以采样频率对进行采样， 得到采样信号和时域离 散信号， 求)、和的傅里叶变换的FT。
2.5 序列的Z变换 双边Z变换的定义：序列x(n)的Z变换定义为： 式中：z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中，对 n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。
为单边Z变换： 适用于因果序列，如果不特别强调，均用双边Z变换对信号进行分析和 变换。 Z变换成立条件： Z变量取值的域称为收敛域。 一般收敛域用环状域表示
在模拟系统中， 的傅里叶变换为 对于时域离散系统中， ，它的傅立叶变换 对于
（
例：求对进行的周期延拓后的周期序列的傅立叶变换FT 注意：对于同一个周期信号， 其DFS和FT分别取模的形状是一样的， 不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。 因此周期序列 的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数 的画法。 例：设 ，为有理数，求其FT 物理含义：的FT是在处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行 延拓。
3、 非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是周期的连续函数 4、 离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期又是离散的频谱，即
时域和频域都是离散的、周期的 规律：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓。 1、如果信号频域是离散的，则该信号在时域就表现为周期性的时间函 数。 2、在时域上是离散的，则该信号在频域必然表现为周期性的频率函 数。 3、如果时域信号离散且是周期的，由于它时域离散，其频谱必是周期 的，又由于时域是周期的，相应的频谱必是离散的， 4、离散周期序列一定具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都 是离散周期的。
对于，将以为周期进行周期延拓，得到所示的周期序列， 周期为16， 求的DFS。 可以看出，在时，处频谱的幅度和处是一样的。也就是说，点数越多， 频谱越精确。
..2 离散周期序列的傅里叶变换 各种形式的傅里叶变换 1、 非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是一个非周期的连续
函数 2、 周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是非周期性的离散频率
例：设， f0=50 Hz，以采样频率对进行采样， 得到采样信号和时域离 散信号， 求)、和的傅里叶变换的FT。
2.5 序列的Z变换 双边Z变换的定义：序列x(n)的Z变换定义为： 式中：z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中，对 n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。
为单边Z变换： 适用于因果序列，如果不特别强调，均用双边Z变换对信号进行分析和 变换。 Z变换成立条件： Z变量取值的域称为收敛域。 一般收敛域用环状域表示
在模拟系统中， 的傅里叶变换为 对于时域离散系统中， ，它的傅立叶变换 对于
（
例：求对进行的周期延拓后的周期序列的傅立叶变换FT 注意：对于同一个周期信号， 其DFS和FT分别取模的形状是一样的， 不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。 因此周期序列 的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数 的画法。 例：设 ，为有理数，求其FT 物理含义：的FT是在处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行 延拓。
数字信号处理(第三版)第2章习题答案
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频 率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频 特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5 章）等。
X e (e j ) FT[xr (n)]
Hale Waihona Puke 1 1 ej2 1 e j2 1 (1 cos 2)
24
4
2
因为 所以
Xe
(e j
)
1 2
[X
(e j
)
X
(e j
)]
X(ejω)=0π≤ω≤2π
X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0 0≤ω≤π
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
当0≤ω≤π时，
用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收 敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取 单位圆。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为
X
(e
j
)
1
1 ae
j
a 1
1 求其反变换x(n)。 将z=ejω代入X(ejω)中， 得到 X (z) 1 az 1
三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统 的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推 广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
信号与系统 第2章(3-5)
X
n = −∞
∑
k
x[n ]
1 k
n = −∞
∑ x[n]
2 1
k
3
单位阶跃序列可 用单位脉冲序列 的求和表示: 的求和表示:
0
k
k
u[ k ] =
n = −∞
∑ δ [n]
2.5 确定信号的时域分解
X
一、信号分解为直流分量与交流分量 二、信号分解为奇分量与偶分量之和 三、信号分解为实部分量与虚部分量 四、连续信号分解为冲激信号的线性组合 五、离散信号分解为脉冲序列的线性组合 六、信号分解为正交信号集
d
u[k ] =
u( t ) =
∫d ∫
t
−∞
δ (τ ) τ
n =−∞
∑ δ [ n] ∑ u [n]
k
k
u( t ) = d r ( t ) t r (t ) =
−∞
u[k ] = r[k + 1] − r[k ]
u(τ ) τ
d
r [ k + 1] =
n = −∞
2.4 离散时间信号的基本运算
一、序列相加与相乘
2. 序列相乘 序列相乘
x1[ k ]
0 1 k
2 1 y[k]=x1[k]× x2[k] 2 1.5
X
将若干序列同序号的数值相乘。 将若干序列同序号的数值相乘。
y[k ] = x1 [k ] × x2 [k ] × … × xn [k ]
x2 [ k ]
0
k
0
k
2.4.2 序列的相加、相乘、差分与求和
x[k] = x D C [k] + x A C [k]
k = N1
信号与系统参考习题解答
(5)
收敛域为|2z|<1，即|z|< ；极点为z= ；零点为z=0。
23．用长除法、留数定理、部分分式法求以下X(z)的z反变换：
(1) (2)
(3)
解：(1)①长除法求解
可知极点为 而收敛域为 。因而x(n)为因果序列，所以分子、分母要按降幂排列。
即
所以
②留数定理法求解
，设c为 内的逆时针方向闭合曲线。
y'(n)＝3x(n-n0)+2
因为
y(n-n0)＝2x(n-n0)+2=y'(n)
故该系统是时不变的。再讨论线性。由于
y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]
=3ax1(n)+3bx2(n)+2
而
T[ax1(n)]=3ax1(n)+2
T[bx2(n)]=3bx2(n)+2
所以得
T[ax1(n)+bx2(n)]≠aT[x1(n)]+bT[x2(n)]
（2）根据脉冲定理，脉冲频率fs≥2f，取=fs=2f=200Hz。脉冲时间间隔应为
T=1/f=1/200=0.005s
（3）设采样周期为T=1/f=0.005s采样信号xa(t)，则
=
=0
所以，以T=1/f=0.005s为采样周期，采样信号xa(t)，所得采样序列 无法恢复信号xa(t)。为能恢复xa(t)，应减小采样周期T(采样频率由T确定)。设新采样周期为原采样周期的一半，即T=0.0025s，则采样信号 为
(3)y(n)＝x(n-1) (4)y(n)＝x(-n)
要点提示：
利用系统线性定义和时不变定义来证明。满足可加性和比例性的系统是线性系统，即
收敛域为|2z|<1，即|z|< ；极点为z= ；零点为z=0。
23．用长除法、留数定理、部分分式法求以下X(z)的z反变换：
(1) (2)
(3)
解：(1)①长除法求解
可知极点为 而收敛域为 。因而x(n)为因果序列，所以分子、分母要按降幂排列。
即
所以
②留数定理法求解
，设c为 内的逆时针方向闭合曲线。
y'(n)＝3x(n-n0)+2
因为
y(n-n0)＝2x(n-n0)+2=y'(n)
故该系统是时不变的。再讨论线性。由于
y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]
=3ax1(n)+3bx2(n)+2
而
T[ax1(n)]=3ax1(n)+2
T[bx2(n)]=3bx2(n)+2
所以得
T[ax1(n)+bx2(n)]≠aT[x1(n)]+bT[x2(n)]
（2）根据脉冲定理，脉冲频率fs≥2f，取=fs=2f=200Hz。脉冲时间间隔应为
T=1/f=1/200=0.005s
（3）设采样周期为T=1/f=0.005s采样信号xa(t)，则
=
=0
所以，以T=1/f=0.005s为采样周期，采样信号xa(t)，所得采样序列 无法恢复信号xa(t)。为能恢复xa(t)，应减小采样周期T(采样频率由T确定)。设新采样周期为原采样周期的一半，即T=0.0025s，则采样信号 为
(3)y(n)＝x(n-1) (4)y(n)＝x(-n)
要点提示：
利用系统线性定义和时不变定义来证明。满足可加性和比例性的系统是线性系统，即
时域离散信号和时域离散系统数字信号处理第三版课程辅导及课后习题详解
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（2）
x(n)=x(n)*δ(n)
该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。
x(n－n0)=x(n)*δ(n－n0)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
1.2
解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有 三种方法， 即图解法（列表法）、 解析法和在计算机上用 MATLAB语言求解。 它们各有特点。 图解法（列表法）适合 于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易 得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得 到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。 解析 法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于 画图确定。 第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的 线性卷积， 实验中常用。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
1.4
1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。
题1图
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：
x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)
+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 学习要点与重要公式
本章内容是全书的基础，因此学好本章是极其重要的。 数字信号和数字系统与模拟信号和模拟系统不同，尤其是处 理方法上有本质的区别。 模拟系统用许多模拟器件实现， 数字系统则通过运算方法实现。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
1.1.1
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
1第2章时域离散信号和系统的频域分析z 2.1 引言z 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质z 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系z 2.5 序列的Z 变换z 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性22.1 引言信号和系统的分析方法:时域分析方法和变换域分析方法。
频域变换（傅里叶变换->复频域拉氏变换）连续时间信号(系统微分方程)频域变换（傅里叶变换->复频域Z 变换）时域离散信号(系统差分方程)本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。
3第2章时域离散信号和系统的频域分析z 2.1 引言z 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质z 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系z 2.5 序列的Z 变换z 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质5例2.2.1 设x(n)=R 4(n)，求x(n)的DTFT 图2.2.1 R (n)的幅度与相位曲线sin /2ω常用序列的傅立叶变换7(2)()j M nn x n eωπ∞−+=−∞=∑二、序列离散时间傅里叶变换（DTFT）的性质1. DTFT 的周期性()()j j nn X e x n eωω∞−=−∞=∑(2)()j M X eωπ+=时域离散，频域周期函数。
周期是2π。
由于DTFT 的周期，一般只分析0-2π之间的DTFT 。
2. 线性1122:()[()],()[()]j j X e DTFT x n X e DTFT x n ωω==若1212:[()()]()()j j DTFT ax n bx n aX e bX e ωω+=+则3. 时移与频移00(0:[()](),[()]()j n j nj j DTFT x n n eX e DTFT ex n X eωωωωω−−−==则:()[()]j X e DTFT x n ω=若4. 反转7. 帕斯维尔(Parseval)定理8. 频域微分序列的Fourier变换的对称性质*()x n−)n也可分解成：e−*(e对称性质•序列Fourier 变换()()j x n X e ωRe[()]()j e x n X e ωIm[()]()j o j x n X e ω()Re[()]j e x n X e ω()Im[()]j o x n j X e ω实数序列的对称性质•序列Fourier 变换Re[()]()()j j e x n X e X e ωω=Im[()]0()0j o j x n X e ω==()Re[()]j e x n X e ω()Im[()]j o x n j X e ω)j eω−变换满足共轭对称性()]j X eω−Im[()]j X e ω−)arg[结论：z序列分成实部与虚部两部分，实部对应的DTFT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的DTFT具有共轭反对称性。
离散时间信号与系统
离散时间信号与系统离散时间信号与系统是数字信号处理领域中的重要概念。
离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统则是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
在本文中，我们将详细探讨离散时间信号与系统的基本概念、特性和应用。
一、离散时间信号的定义和表示离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用序列表示。
离散时间序列可以用数学公式或图形方式表示。
其中，数学公式表示常用的形式是$x[n]$，而图形表示则可以通过绘制离散时间序列的点来展示。
离散时间信号可以分为有限长序列和无限长序列。
有限长序列在某一区间上有值，而在其他区间有值或为零。
无限长序列在整个时间轴上有值，通常会满足某些性质，如周期性或衰减性。
二、离散时间系统的定义和分类离散时间系统是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
离散时间系统可以通过输入输出关系来定义。
输入为离散时间信号，输出为对输入信号进行处理或操作后得到的信号。
离散时间系统可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统、因果系统和非因果系统、稳定系统和非稳定系统等不同类别。
不同类别的系统具有不同的特性和性质，对信号的处理方式也会有所不同。
三、离散时间信号与系统的特性离散时间信号与系统具有许多特性。
其中一些重要的特性包括时域特性、频域特性和稳定性。
时域特性描述了信号或系统在时间上的行为，频域特性描述了信号或系统在频率上的行为，而稳定性则描述了系统的输出是否受到输入的限制。
离散时间信号的时域特性可以通过序列的幅值、相位和频率来描述。
离散时间系统的时域特性可以通过系统的冲激响应、单位样值响应和单位阶跃响应来描述。
频域特性则可以通过离散时间信号和系统的傅里叶变换来描述。
四、离散时间信号与系统的应用离散时间信号与系统在数字信号处理中有广泛的应用。
其中一些常见的应用包括音频处理、图像处理、通信系统和控制系统等。
在音频处理中，离散时间信号与系统用于音频信号的录制、编码和解码。
它可以通过滤波和均衡等方式改善音频信号的质量。
第2章 离散时间信号与系统的变换域分析
i 1
bi z i
M
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 zk z (1 zi z 1 ) k n 0 k 1 k 1 M N N r
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为： A Re s[ X ( z ) ] z z zk k 1 d r k r x( z ) Ck r k [( z zi ) (r k )! dz z zz ,
X ( z)
0
n
0
n2 n
n
x ( n) z
n
n2
n
x ( n) z
x ( n) z
n 1
n2
n
14
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 0 z Rx ; R x 为最大收敛半径 .
i
k 1, 2r 29
分别求出各部分分式的z反变换（可查 P39 表2-1-1），然后相加即得X(z)的z反变换。
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , z 2 的z反变换。 解：
1 z X ( z) 1 1 (1 2 z )(1 0.5 z ) ( z 2)( z 0.5) X ( z) z A1 A2 z ( z 2)( z 0.5) z 2 z 0.5
对采样信号 进行拉普拉斯变换
x a (t )
n
x (nT ) (t nT )
bi z i
M
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 zk z (1 zi z 1 ) k n 0 k 1 k 1 M N N r
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为： A Re s[ X ( z ) ] z z zk k 1 d r k r x( z ) Ck r k [( z zi ) (r k )! dz z zz ,
X ( z)
0
n
0
n2 n
n
x ( n) z
n
n2
n
x ( n) z
x ( n) z
n 1
n2
n
14
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 0 z Rx ; R x 为最大收敛半径 .
i
k 1, 2r 29
分别求出各部分分式的z反变换（可查 P39 表2-1-1），然后相加即得X(z)的z反变换。
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , z 2 的z反变换。 解：
1 z X ( z) 1 1 (1 2 z )(1 0.5 z ) ( z 2)( z 0.5) X ( z) z A1 A2 z ( z 2)( z 0.5) z 2 z 0.5
对采样信号 进行拉普拉斯变换
x a (t )
n
x (nT ) (t nT )
信号与系统一二单元总结
性质 2：奇函数 ' t 't
性质 3：比例变换特性 ' at 1 ' t
aa
性质 4：采样特性 xt 'tdt
性质 5：卷积特性 xt* 't d xt
dt
7、奇异函数：单位冲击及其导数和积分
1）均由卷积定义 uk t为 t的k阶导 ； uk t为 t的k重积
例：
d 2xt
dt 2
离散:ω0/2π=m/N 成立 时,是周期的(m,N 都是整数). N0=m2π/ω0,基波频率=2π /N0=ω0/m
离散 时间
连续 时间
单位 脉冲
[n]
0, n 0 1, n 0
1、位脉冲的采样性质
x[n] [n]
x[0]
[n]
x[0],n 0, n 0
0
x[n]
[n
n0
]
x[n0
]
[n
y[n] x[k]h[n k]
k
n<0 时，h[n]=0
n
因果系统的输出表示为 y[n] x[k]h[n k]
或
k
y[n] x[k]h[n k]
LTI 系统的因果性 等价于冲激响k应0 为因果信号
t
y(t) x()h(t )d h()x(t )d
0
稳定性
连续时间 LTI 系统的稳定性 htdt
k
时的零状态响应-单位冲激响
应
卷积
y[n] x[n] h[n]
yt xt*ht x ht d
3、交换律
物 理意 义： 输 入为 x[n]/x(t)， 单 位 冲 激响 应为 h[n]/h(t)的 LTI 系 统 的 输 出 ，与 输
性质 3：比例变换特性 ' at 1 ' t
aa
性质 4：采样特性 xt 'tdt
性质 5：卷积特性 xt* 't d xt
dt
7、奇异函数：单位冲击及其导数和积分
1）均由卷积定义 uk t为 t的k阶导 ； uk t为 t的k重积
例：
d 2xt
dt 2
离散:ω0/2π=m/N 成立 时,是周期的(m,N 都是整数). N0=m2π/ω0,基波频率=2π /N0=ω0/m
离散 时间
连续 时间
单位 脉冲
[n]
0, n 0 1, n 0
1、位脉冲的采样性质
x[n] [n]
x[0]
[n]
x[0],n 0, n 0
0
x[n]
[n
n0
]
x[n0
]
[n
y[n] x[k]h[n k]
k
n<0 时，h[n]=0
n
因果系统的输出表示为 y[n] x[k]h[n k]
或
k
y[n] x[k]h[n k]
LTI 系统的因果性 等价于冲激响k应0 为因果信号
t
y(t) x()h(t )d h()x(t )d
0
稳定性
连续时间 LTI 系统的稳定性 htdt
k
时的零状态响应-单位冲激响
应
卷积
y[n] x[n] h[n]
yt xt*ht x ht d
3、交换律
物 理意 义： 输 入为 x[n]/x(t)， 单 位 冲 激响 应为 h[n]/h(t)的 LTI 系 统 的 输 出 ，与 输
《信号与系统(第2版)》配套课件 离散时间信号与系统的复频域分析1
z 1，求x[k]
解： 将X(z)化为z的负幂，可得
X
(
z
)
1
2 0.5z
0.5z 1 1 0.5
z
2
A 1 z 1
B 1 0.5z1
A
(1
z 1)
X
(z)
z 1
2 0.5z1 1 0.5z1
z1 1
B
(1 0.5z1) X
(z)
z 0.5
2 0.5z1 1 z 1
z0.5 1
将X(z)进行z反变换，可得
]}
1
1 a
z
1
,
za
e j0k u[k ]
Z
1 1 e j0 z1 ,
z 1
利用Euler公式和线性特性，可得
Z cos(0k)u[k]=Z e j0ku[k] / 2 Z e j0ku[k] / 2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ 系统函数H(z)的另一种定义 零状态响应的频域表示
yzs[k] x[k]* h[k]
利用z变换 的卷积特性
Yzs (z) X (z)H (z)
H (z) Yzs (z) X (z)
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ H(z) 的物理意义
x[k]
h[k]
1
1 z1 cos(0 ) 2z1 cos(0 )
z
2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
解c：os( 0k )u[k ]
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N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期
例：
x(n) sin( 3 2 n)
14
0
3 14
2
2 14 N T0 0 3 k T
当14T 3T0时，x(n)为周期为14的周期序列
序列的能量为序列各抽样值的平方和
S x(n) 2 n
x(n)可以表示成单位脉冲序列的移位加权和， 也可表示成与单位脉冲序列的卷积和。
2.1.1信号的采样与采样定理 1.采样的定义：就是利用周期性抽样脉冲序列
pT(t),从连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值 ，得到抽样信号（或称抽样数据信号）即离 散时间信号。
抽样是模拟信号数字化的第一环节，再经幅 度量化、编码后即得到数字信号x(n)。
研究内容：
信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）
考虑数字正弦序列是由模拟信号 xa (t) Asin t 采样得到，
即
x(n) xa (t) tnT Asin(nT) (2)
数字域频率和模拟信号频率的对应关系
比较(1)、(2)两式得 T
fs
(1.2.9)
ω0=π/8 T=1/16
6.复指数序列 x(n) e( j )n
还可写成
2.序列相乘
是指同序号(n)的 序列值逐项对应 相乘。
x(n) x1(n) x2(n)
3.序列的标乘
A x Ax(n) y(n)
序列的相加和相乘： x1=[0 1 2 3 4 3 2 1 0];ns1=-2; x2=[2 2 0 0 0 -2 -2];ns2=2; nf1=ns1+length(x1)-1; nf2=ns2+length(x2)-1; ny=min(ns1,ns2):max(nf1,nf2); xa1=zeros(1,length(ny)); xa2=xa1; xa1(find((ny>=ns1)&(ny<=nf1)==1))=x1; xa2(find((ny>=ns2)&(ny<=nf2)==1))=x2; ya=xa1+xa2; yb=xa1.*xa2; subplot(2,2,1),stem(ny,xa1);ylabel('x1(n)') subplot(2,2,3),stem(ny,xa2);ylabel('x2(n)') subplot(2,2,2),stem(ny,ya);ylabel('x1(n)+x2(n)') subplot(2,2,4),stem(ny,yb);ylabel('x1(n)*x2(n)')
xa (t)
xˆa (t)
M(t)
T
如开关每次闭合τ秒，则采样器的输出是一串重复周 期为T，宽度为τ的脉冲，脉冲的幅度是这段时间内信 号的幅度(如图)，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅
过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为 的 矩形脉冲
，以PT(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样 输出为
如sin( 4
5
n)，
0
4 ，
5
2 5， 0 2
该序列是周期为5的周期序列
如sin( 1 n)， 4
0
1， 4
2 8 0
该序列不是周期序列
讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时
间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能 使所得到的抽样序列仍然是周期序列？
设连续正弦信号：
两边进行傅立叶变换
得：P
(
j)
2
T
( ks )
k
xˆa (t) xa (t) p (t)，对此式两边进行傅立叶变换，得：
Xˆ a ( j)
1
2
X a ( j) P ( j)，将带入并计算卷积
Xˆ a ( j)
1
2
X a ( j) P ( j)
1
2
X
a
(
j)
2
T
k
ks
语音 音乐 视频
1kHz ２kHz ４kHz ２０kHz ４MHz
２-４kHz 4-10 kHz 8-16 kHz 40-96 kHz 8-10 MHz
2.1.2信号的恢复
先决条件取样过程中不存在混叠失真
设计一个低通滤波器，其频率特性为 a xˆa (t) G( j) yˆa(t)
G(
j)
T
0
xˆa ( )g(t )d
xa
n
( )
(
nT ) g (t
)d
xa ( )g(t ) ( nT )d xa (nT )g(t nT )
n
n
这里，g(t-nT) 称为内插函数
sin (t nT )
g(t nT )
T
(t nT )
T
特点：在采样点nT上，函数值为1，其余采样点上，值为零。
内插公式的意义: 证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整个连续信号就可以用 它的采样值完全代表，而不损失任何信息——奈奎斯特定律。
补充：正弦信号的抽样
x(t) Asin(0t ) Asin(2 f0t ) 取fs 2 f0时，x(n) Asin( n ) 当 0时，x(n) Asin( n)，x(0) x(1) 0，无法显示正弦信号的周期变化； 所以，对正弦信号采样，须满足fs 2 fc，即fs 3fc
讨论采样信号 xˆa (t) 通过理想低通滤波器G（j）的响应过程。 理想低通G（j）的冲激响应为
g(t) 1
2
G( j)e jt d T
2
s
sin s t sin t
2 s
e
jt d
2
2 s t
2
T
t
T
频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号经理想低通后的输出为
y(t)
xp (t) xa (t)PT (t)
一般 很小, 越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入
信号在离散时间点上的瞬时值。
实际抽样与理想抽样
xa (t)
xa (t)
0
p (t)
1
0
t
p(t) T (t)
t
1
0
xˆa (t)
T
0
T
t xˆa (t)
T
t
0
非理想采样
t
0
理想抽样
t
实际抽样与理想抽样
xa t xa t
x(n) en[cos(n) j sin(n)]
这里ω为数字域频率，单位为弧度。当σ＝0时，上式可表
示成 x(n) e jn cos(n) j sin(n)
补充Matlab程序
n0=0;nf=10;ns=3; n1=n0:nf;x1=[(n1-ns)==0]; %单位脉冲序列 n2=n0:nf;x2=[(n2-ns)>=0]; %单位阶跃序列 n3=n0:nf;x3=(0.75).^n3; %实指数序列 n4=n0:nf;x4=exp((-0.4+pi/3j)*n4); %复指数序列 subplot(2,2,1),stem(n1,x1); subplot(2,2,2),stem(n2,x2); subplot(2,2,3),stem(n3,x3); figure subplot (2,2,1),stem(n4,real(x4)); %注意subplot的变化 subplot (2,2,2),stem(n4,imag(x4)); Subplot (2,2,3),stem(n4,angle(x4)); subplot (2,2,4),stem(n4,abs(x4));
实际抽样：
xa t xa t • PT t
当 0
理想抽样：
x a t xa t• T t
理想采样
冲激函数： T t t nT n
理想抽样输出：xˆa (t) xa (t) T (t)
xa (t) (t nT ) n
xa (nT ) (t nT ) m
对式
P (t) (t nT ) n
2.2.2常用的典型 序列 1.单位取样序列(离散冲激)
注意和δ(t)的 区别？
(n)
1, 0,
n0 n0
(n
m)
1, 0,
nm nm
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
δ(n) 1
n -2 -1 0 1 2
δ(n-m) 1
n -2 -1 0 1 2 m
2.单位阶跃序列 u(n)
1, n 0 u(n) 0, n 0
注意和u(t) 的区别？
滤波可以得 Xa ( j). 因此，要想抽样后能不失真的还原
出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频
率分量。即 s 2h 。这就是奈奎斯特采样定理。最 小采样频率称为奈奎斯特采样频率。
混叠现象 :
Xa ( j)
S 2h
s
0
s
2s
结论
1.抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率 为周期进行周期延拓而成
与单位脉冲序列的关系：
(n) u(n) u(n) u(n 1)
u(n) (n m) (n) (n 1) (n 2) m0
3.矩形序列
1, 0 n N 1 RN (n) 0, 其他n 与其它序列的关系： RN (n) u(n) u(n N)
N 1
RN (n) (n m) (n) (n 1) n (N 1) m0
2.频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍
3.抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率
分量。即 s 2h ，才能保证无混叠。
X a ( j)
Xˆ a( j)
h Ωh为最高频率分量
s
0
s
2s