必修五正弦定理和余弦定理讲义

1.1 正弦定理和余弦定理

一、正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角．．．．．．．的正弦的比相等，即：A a sin ＝B b sin ＝C c

sin 注意：（1）正弦定理中，各边与其对角的正弦严格对应；（2）正弦定理中的比值是一个定

值，具有一定几何意义，即为三角形外接圆的直径：A a sin ＝B b sin ＝C

c

sin ＝2R [ R 指

的是三角形外接圆半径 ]；（3）正弦定理主要实现三角形中的边角互化．．．．．．．．．．．．．．．．．

；（4）S ＝C ab sin 2

1

＝

A bc sin 21＝

B ac sin 2

1

；（5）常用的公式： ①A ＋B ＋C ＝π，sin(A ．．．．．＋．B)．．＝．sinC ．．．．，． cos(A ．．．．．

＋．B)．．＝－．．cosC ．．．．，．tan(A ．．．．．＋．B)．．＝－．．tanC ．．．．，．

sin 2B A +＝cos 2C ，cos 2B A +＝sin 2

C

；②a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；③A ＞B ⇔a ＞b 【大角对大边】；④a ＋b ＞c ，a －b ＜c ；⑤a ：

b ：

c ＝sinA ：sinB ：sinC ；⑥a sinB ＝bsinA ，bsinC ＝csinB ，a sinC ＝csinA 。

例1：下列有关正弦定理的叙述：（1）正弦定理只适用于锐角三角形；（2）正弦定理不适用于直角三角形；（3）在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；（4）在△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC ＝ a ：b ：c 。其中正确的个数有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 【解析】：B

变式练习1：在△ABC 中，角A ：角B ：角C ＝2 ：1 ：1，则a ：b ：c 等于（ ）

A ：4 ：1 ：1

B ：2 ：1 ：1

C ：2 ：1 ：1

D ：3 ：1 ：1 【解析】：C

变式练习2：在△ABC 中，角A ：角B ：角C ＝4 ：1 ：1，则a ：b ：c 等于（ ）

A ：4 ：1 ：1

B ：2 ：1 ：1

C ：2 ：1 ：1

D ：3 ：1 ：1 【解析】：D

例2：在△ABC 中，a ＝2，b ＝1，∠A ＝450

，∠B ＝___________。 【解析】：30度

变式练习1：在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，∠B ＝450，则∠A ＝___________。

【解析】：60度120度

变式练习2：在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A ＝600，则cosB ＝___________。

【解析】：

3

6

变式练习3：在△ABC 中，5

5

2cos ,10,450=

==C AC B ，求： （1）求BC 的长； （2）记AB 的中点为D ，求中线CD 的长。 【解析】：（1）C 为锐角，sinC ＝

55，sinA 10

10

3，BC ＝23。 （2）c ＝2(余弦定理)，则BD ＝1，CD ＝13

例3：在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝2，∠A ＝600

，分别求△ABC 的面积。 【解析】：3

变式练习1：钝角△ABC 的面积为2

1

，AB ＝2，AC ＝1，则角A ＝__________。

【解析】：150度

变式练习2：已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为（ ）

A ：

23 B ：43 C ：23或 3 D ：23或 4

3

【解析】：D

例4：在△ABC 中，已知a ×cosB ＝b ×cosA ，试判断△ABC 的形状。 【解析】：等腰

变式练习1：在△ABC 中，a ×cosA ＝b ×cosB 判断△ABC 的形状。

【解析】：等腰或直角

变式练习2：在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，那么△ABC 一定是（ ）

A ：直角三角形

B ：等腰三角形

C ：等腰直角三角形

D ：正三角形 【解析】：等腰

变式练习3：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b ×cos C ＋c ×

cos B ＝2b ，则

b

a

＝____________。 【解析】 因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ， 故sin(B ＋C )＝2sin B .故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即a

b ＝2.【答案】 2

变式练习4：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b ×cos C ＋c ×cos B ＝a ×sinA ，则△ABC 的形状为（ ）

A ：直角三角形

B ：锐角三角形

C ：钝角三角形

D ：不确定 【解析】：A

变式练习5：在△ABC 中，若C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+，则三角形是（）。

A ：锐角三角形

B ：直角三角形

C ：等腰三角形

D ：等边三角形 【解析】：B

二、余弦定理

定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦

的积的两倍。 c

2

＝a 2＋b 2－2ab ×cosC

a 2＝

b 2＋

c 2－2cb ×cosA b 2＝a 2＋c 2－2ac ×cosB

公式推论：

（1）cosA ＝bc a c b 2222-+ cosB ＝ac b c a 2222-+ cosC ＝ab

c b a 2222-+

（2）2ab ×cosC ＝a 2

＋b 2

－c 2

2cb ×cosA ＝b 2

＋c 2

－a 2

2ac ×cosB ＝a 2

＋c 2

－b 2

例5：在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cosB ＝3

1

，那么AC 等于( ) A ：6 B ：26 C ：36 D ：46

【解析】：A

变式练习1：△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝

1200

，则a 等于（ ）

A ：6

B ：2

C ：3

D ：2 【解析】：D

变式练习2：在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )

A ：3

B ：23

C ：

3或23 D ：2

【解析】：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.

例6：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2

＋3bc ，则∠A 等于( ) A ：60° B ：45° C ：120° D ：150°

【解析】： D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－3

2

，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°。

例7：在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A ＝（ ） A ：0

90 B ：0

60 C ：0

120 D ：0

150 【解析】：C