一阶常微分方程的若干求解技巧

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题目:一阶常微分方程的若干求解技巧

院(系):理学院

专业:信息133班

组长:韩静

成员:李盛楠、刘艳玲、刘巧爱

2015年 5月 6日

摘要

一般的一阶常微分方程没有通用的初等解法,变量分离方程和全微分方程是一阶常微分方程中最基本的“变换”类型。我们在理论学习常微分方程时,总是对变量可分离方程、可化为变量方程、齐次方程、可化为齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、恰当方程、积分因子法、一阶隐式方程求解法求解一阶线性微分方程,不同类型的方程给出不同的解法。

关键词:一阶常微分方程变量分离方程可化为变量方程齐次方程一阶线性微分方程伯努利方程恰当方程积分因子法一阶隐式方程求解法

目录

一、变量分离方程 (1)

二、可化为变量分离方程 (2)

三、齐次方程 (3)

四、线性齐次方程 (6)

五、一阶线性非齐次微分方程 (8)

六、伯努利方程 (10)

七、恰当方程求解常用方程 (11)

八、积分因子法求解法 (13)

九、一阶隐式微分方程及其参数表示 (19)

一、变量分离方程

形如

)()(y x f dx

dy ψ= (1.1) (其中)(x f .)(y ψ是x.y 的连续函数)

求解过程如下:

(1)变量分离:

dx x f y dy )()

(=ψ( 0)(≠y ψ) (1.2) (2)两边分别同时积分:

c dx x f y dy +=)()

(ψ (1.3) (3)考虑0)(=y ψ,当0y y =不包括在方程通解中时,加上特解

0y y =,

例:求解方程y x P dx

dy )(=的通解,其中)(x p 是x 的连续函数

解:变量分离,得到

dx x p y

dy )(, 两边同时积分得,

,)(||ln 1c dx x p y +=⎰

令⎰⋅=⇒=±dx x p e c y c c e )(1

其中y=0也是方程的解,且包含在通解里,因此这里的c 可以使

任意常数。

二、可化为变量分离方程

形如

)(x y

g dx dy

=

对上式做变量变换:

x y

u =,)(u g u dx dy

x =+

原方程: x u

u g dx du -=)(

(2.1) (2.1)式是一个变量可分离方程,计算方法同一

例:求方程x y

x y

dx dy

tan +=:

解:令u dx du x dx du u x y +==,带入得u

u u dx du

x tan +=+

分离变量:

x dx

udu =cot

两边分别同时积分:

,||ln |sin |ln 1c x u +=

⎩⎨⎧====±⋅±=0

sin 0

tan .

sin ,,sin 11u u cx u c e x e u c c

若允许c=0,则方程组的通解为:

为任意常数)c cx x y

(sin =

(2)形如

),(2

22111均为常数i

i b a c y b x a c y b x a dx dy ++++= (2.2) 分三种情况来讨论:

)

(,(2

12121

为任意常数常数)c c kx y k c c b b a a +====2

1

2

22222212121;;c u c ku

b a dx dy b a dx dy y b x a u

c c k b b a a +++=+=+=≠==令

属于变量可分离方程,再令

⎩⎨⎧=+=+⇒⎩⎨⎧-=-=0

02211y b x a y b x a y Y x X βα

同上属于变量分离方程

三、齐次方程

1、定义

形如

)(y x

dx dy α= (3.1)

的微分方程称为齐次方程 解法:作变量代换x y

u =即xu =y , ∴dx du

x u dx dy

+=,代入原式)(u dx du

x u α=+,即 x u

u dx du -=)(α

两边积分,得

⎰+=-c x dx u u du )(α 积分后再用x y

代替u ,便得原方程的通解.

当存在使0u ,使0)(00=-u u f 则0u =u 是新方程的解.

例1:求解微分方程0cos )cos (=+-dy x

y

x dx x y y x

解: x

y x y x y x y x x y y x dx dy cos cos 1cos cos --=--= 令u=x y u =,即xu y =,所以得到dx du x u dx dy += 代入得 u

u u dx du x

u cos cos 1--=+ ⎰⎰+-=c x dx udu cos c x u +-=ln sin 微分方程的解为c x x y +-=ln sin 2、齐次方程的遗失解问题

在求解一阶齐次微分方程中, 我们的求解方法是运用变量变换

x y u =,代入到一阶齐次微分方程)(x

y g dx dy =中, 就可以把方程化为变量可分离的方程了。这是一种既简便又常用的方法, 是求解这类微分方程的模式, 但这种模式的解法往往不注意也会产生在求解的过程中遗失解的问题。

1、假设k u =(k 是常数)

由0=k -g(u) 可以知道kx =y 是微分方程(2)的解, 也就是说明

kx =y 这个解正好是一阶齐次微分方程在分离变量时所遗失的解, 下面通过例子来说明这点.

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