声学基础3_辐射
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媒质层粘附在球源表面上，随球源一起振动。因此，Mr也称为同振质量， Mm+Mr称为有效质量;
4.
辐射阻抗非常重要，例如，在电声器件的设计中，除了要知道电声器 件振动系统本身的动力学参数如质量、弹性系数和力阻外，还须知道 由辐射声场对声源的反作用而产生的附加辐射阻和同振质量。
10
第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
实际声源的形状多种多样，如人的嘴，扬声器纸盆，发动机等各种机器， 要想从数学上严格求解这些形状不规则的具体声源产生的声场，将十分 困难； 因此，常常需要对声源进行简化，如在一定条件下把它们近似看作平面， 球面，柱面等理想化的声源，在避免繁琐的数学同时，所得结果又可揭 示出声辐射的基本规律。
2
第3章 声波的辐射
12
第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
辐射声场的特性
球面声场中声压与距离的关系
p A r e j t kr pa e j t kr
声压振幅随径向距离反比地减小，即在球面声场中， 离声源愈远的地方声音愈弱，这是自由球面声场的 一个重要特征。 人嘴的讲话，频率较低时可近似看成一个球源，所以距离较近，听起来 声音较响，反之较轻。如用声压级表示，设在离嘴 4cm处的声压级为 94dB，则在离嘴40cm 40 处为74dB，而在离嘴4m 4 处只有54dB； 消声室自由场的判定标准－只要测定当测点离球源距离变化时，它的声 压是否符合随距离反比变化规律就可以了； A dpa dp dr dr 1时， a 0 dpa 2 dr pa pa r r r 距离增大1倍，声压级降低6dB r 很大时，球面波的波阵面很大，局部近似为平面。
辐射阻抗的物理意义
声－力类比：
式中Zr称为辐射阻抗 ，Rr及Xr分别称为辐射阻和辐射抗
当考虑到声场反作用力Fr 后，球源表面可视为一力学系统；为简单 起见，将声源视作受简谐激励的弹簧振子： Mm－球源振动表面的质量； Km－力学系统的弹性系数； Rm－摩擦力阻； 机械激励力
k F Fa e j t ka
向外辐射(发散)的球面波 向球心反射(会聚)的球面波
无界空间辐射，自由声波，无反射波，B =0： p A e j t kr 粒子的法(径)向速度：v r
1 j t kr A p (1 )e j 0 r r 0 c0 jkr j 1
r
以上求得的脉动球辐射一般解中尚有一个待定常数A，它取决于边界条件， 也即取决于球面振动情况。这在物理上是显然的，因为声场是由于球源 振动而产生的，所以声场的特征自然也应与球面的振动情况有关。 设球源表面的振速为： u
高频或大尺寸声源：当波长远小于声源半径，即ka >>1 时：
AH
0 c0 1 0 c0 aua , H tan 0 p Qe j (t kr ) 4ar ka A L A H
1
在以同样大小的速度ua振动时，如果球源小或者频率低，则辐射声压小； 如球源大或频率高，则辐射声压较大； 当球源大小一定时，频率高则辐射声压大；频率低则辐射声压小。 当振动频率一定时，球源半径大则辐射声压大；半径小则辐射声压小； 以上关系具有普遍意义。一般说来，只要振动速度一定，凡声源振动表 面大的，向空间辐射的声压也大，反之就小。
Wr Rr 2 a2 平均辐射声功率－关于声源表面位移： 1 2
某声源，如果要求在高频与低频时的声功率相同，需要源面位移振幅在 低频时远大于高频，过大的位移振幅有技术困难，如: 纸盆位移过大， 会使折环的弹性超出线弹性范围，使振动系统非线性，甚至会使折环 断裂。因此，需采用箱式扬声器(如闭箱式，倒相箱式，动圈式等)
Fr －声场的反作用力； Z m Z r Rr jX r Rm jM m K m / ( Rm Rr ) j M m X r / K m /
R m u K m udt F Fr M mu u j u , udt u j Fr Z r u , Z r R r jX r F u Zm Zr
9
第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
辐射阻抗
讨论：
1. 2. 3. 从运动方程看，相当于原弹簧振子系统附加了声场对声源的反作用力。 从求解结果看，相当于在原振动系统上附加了一个力阻抗Zr，这种由声 辐射引起的力阻抗就称为辐射力阻抗，简称辐射阻抗。(与声阻抗对比） 声场对声源的反作用表现在两个方面： 增加系统阻尼，除摩擦力阻Rm外还增加了辐射力阻Rr。辐射力阻也 反映力学系统的能耗，但转化为声能而非热能，以声波的形式传输 出去。即相当于从振源汲取机械能，转化为声能； 增加系统力抗，辐射抗Xr是正的，所以表现为惯性抗。Xr对力学系 统的影响相当于在声源本身的振动质量Mm上附加一辐射质量 M r = Xr / ，由于这部分附加质量的存在，好像声源加重了，似乎有质量为Mr的
A j t kr B j t kr k k p e e r r
Y pr Ae j t kr Be j t kr
3
第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
球面声场
A j t kr B j t kr p e e r r
0c0 ka 2
p pa e
j t kr
, pa
A r
2 A 1 ( ) kr 1 j t kr ' ' arctan , v vr va e , a r 0 c0 kr kr 2 Q 4 a ua 定义Q为声源强度(即体积速度):
p
0 c0 kQ
4r 1 ( ka ) 2
e j t kr ,
Q vr 4r 2
1 ( kr ) 2 1 ( ka ) 2
e j t kr '
在离脉动球源距离为 r 的地方，声压幅值取决于|A| 值，而|A|的大小不仅 与球源的振速ua有关，还与辐射声波的频率(或波长)、球源半径等有关。
ua e j t ka
ua为振速幅值，指数中的-ka 是为了运算方便引入的初相位，不影响
讨论的一般性。
4
第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
球面声场
边界条件
球源表面处的媒质质点速度等于球源表面的振动速度，即： vr r a u
A
j u ka j A e ( ) a 1 (ka) 2 0c0 ka 2ua 1 , arctan A 2 ka 1 (ka)
声学基础
第3章 声波的辐射
3.1 前言 3 2 脉动球源的辐射 3.2 3.3 声偶极辐射 3 4 同相小球源辐射 3.4 3.5 点源 3.6 无限大障板上圆面活塞的辐射 3 7 赫姆霍茨积分公式及其应用 3.7 3.8 一般球形声源的辐射
1
第3章 声波的辐射
§3.1 3 1 前言
声波辐射的研究内容
11
第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
辐射阻抗
辐射阻抗在声源辐射特性研究中的应用
平均辐射声功率－关于声源表面振速： 平均辐射声功率 关于声源表面振速： Wr 声源表面振速幅值一定时：
1 2 Rr u a 2
频率愈高，辐射阻愈大，损耗功率愈大，声源向空间辐射声波的功率愈大 ka<<1时，平均声功率Wr与频率的平方成正比，且非常小； Ka>>1 时，平均声功率Wr近似与频率无关，远大于低频 ； 对于一个振动系统，低频的声辐射比高频困难得多； 声源平均辐射声功率大小并不取决于声源绝对尺寸，而是声源尺寸与波 长的相对大小，即 ka 值；
困难，而大口径的扬声器就比较容易。
闭箱式扬声器。
7
第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
辐射阻抗
辐射阻抗的定义
当球源大小或声波频率不同时，辐射声压不同，采用辐射阻抗来描述声 源的声辐射特性。
声源处于声场中受到的反作用力：
脉动球源在媒质中振动，使媒质发生稀密交替的形变，从而辐射声波； 声源本身也处于它自己辐射形成的声场之中，因此必然受到声场对它 的反作用，即媒质对声源的反作用，表示为：Fr S a p r a 式中Sa为声源表面积，负号表示这个力的方向与声压的变化方向相反。 例如，声源表面沿法线正方向运动，使表面附近媒质压缩，声压为正， 而此时声场的反作用力与法线方向相反。
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第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
球面声场
只要振动速度一定，凡声源振动表面大的，向空间辐射的声压也大，反 之就小。 举例 弦乐器：如果没有助声膜或板，而仅有单根弦的振动，所发出的声音是 很微弱的。因此，弦乐器必须将单根弦的振动，通过一定的耦合方 式带动助声膜或板一起振动而发声。例如，提琴用优质的木材做成 助声板，胡琴用蛇皮等做成助声膜，而且一般讲来，振动面越大， 低频声越丰富。 扬声器：小口径的杨声器辐射低频声比较
§3.2 3 2 脉动球源的辐射
球面声场
设半径r0的球体表面做均匀的微小涨缩振 动，即球体半径在r0附近以微量dr 作简谐 变化，从而在周围媒质中辐射声波。 球面的振动过程具有各向均匀的脉动性质，因此产生的声波波阵面 是球面，辐射的是均匀球面波。 波阵面形状不变，但面积变化的声场的特殊形状波动方程: 2 p ln S p 1 2 p 2 2 r r r c t 2 取球坐标系，坐标原点取在球心，各向均匀球面波的波动方程： 2 p 2 p 1 2 p 2 ( rp ) 1 2 ( rp ) 2 2 S 4r r 2 r r c 2 t 2 r 2 c t 2
p
0 c0 kaua 1 j t kr j t ka u ( ka j ) e p ( ka j ) e a r a 1 (ka) 2 r 1 (ka) 2
0 c0 k 2 a 2 0 c0 ka k Fr 1 (ka) 2 S a j 1 (ka) 2 S a u
0 c0 ka 2
8
第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
辐射阻抗 辐射 抗
辐射阻抗; 源面受到的声场反作用力与其表面振速之比：
0 c0 k 2 a 2 0 c0 ka Fr Z r Rr jX r S j Sa a u 1 ( ka) 2 1 (ka ) 2
声源辐射声场的空间分布：即声源振动时，辐射声场的各种规律，例如 声场中声压与声源的关系，声压随距离的变化以及声源的指向性等； 声源与媒质的作用与反作用：即声源向媒质辐射声能量，媒质对声源具 有反作用。这种反作用是声源激发起来的声场反过来对声源振动状态的 影响，即由于辐射声波而附加于声源的辐射阻抗。
声源的简化
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第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
球面声场
点源
当声波波长远大于声源半径，即ka <<1 时
A L 0 c0 ka 2ua 1 L tan 1 ka 2
Q 1 (kr ) 2 j t kr ' 0 c0 kQ j (t kr ) ,u j e p j - e 2 4r 4r
辐射阻抗
辐射阻抗的性质
点源( ka<<1)：
Rr 0 c0 (ka ) 2 S a X r 0 c0 kaS a
wenku.baidu.com
0 c0 kaS a 4 3 Mr 3 a 0 3M 0 3
当球源比较小或频率比较低时，辐射阻与频率的平方成正比，辐射抗与 频率成正比，同振质量为球源排开的同体积媒质质量的3倍； 为使球源表面振动，尚需克服该部分附加惯性力作功，但该部分能量 不是向外辐射的声能，而是贮藏在系统中； 当ka>>1 时： Rr 0 c 0 S a , X r 0 即当球源半径较大或频率比较高时，球 源的辐射阻达到最大值，而辐射抗为零， 即同振质量为零，与平面波类似。
4.
辐射阻抗非常重要，例如，在电声器件的设计中，除了要知道电声器 件振动系统本身的动力学参数如质量、弹性系数和力阻外，还须知道 由辐射声场对声源的反作用而产生的附加辐射阻和同振质量。
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第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
实际声源的形状多种多样，如人的嘴，扬声器纸盆，发动机等各种机器， 要想从数学上严格求解这些形状不规则的具体声源产生的声场，将十分 困难； 因此，常常需要对声源进行简化，如在一定条件下把它们近似看作平面， 球面，柱面等理想化的声源，在避免繁琐的数学同时，所得结果又可揭 示出声辐射的基本规律。
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第3章 声波的辐射
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第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
辐射声场的特性
球面声场中声压与距离的关系
p A r e j t kr pa e j t kr
声压振幅随径向距离反比地减小，即在球面声场中， 离声源愈远的地方声音愈弱，这是自由球面声场的 一个重要特征。 人嘴的讲话，频率较低时可近似看成一个球源，所以距离较近，听起来 声音较响，反之较轻。如用声压级表示，设在离嘴 4cm处的声压级为 94dB，则在离嘴40cm 40 处为74dB，而在离嘴4m 4 处只有54dB； 消声室自由场的判定标准－只要测定当测点离球源距离变化时，它的声 压是否符合随距离反比变化规律就可以了； A dpa dp dr dr 1时， a 0 dpa 2 dr pa pa r r r 距离增大1倍，声压级降低6dB r 很大时，球面波的波阵面很大，局部近似为平面。
辐射阻抗的物理意义
声－力类比：
式中Zr称为辐射阻抗 ，Rr及Xr分别称为辐射阻和辐射抗
当考虑到声场反作用力Fr 后，球源表面可视为一力学系统；为简单 起见，将声源视作受简谐激励的弹簧振子： Mm－球源振动表面的质量； Km－力学系统的弹性系数； Rm－摩擦力阻； 机械激励力
k F Fa e j t ka
向外辐射(发散)的球面波 向球心反射(会聚)的球面波
无界空间辐射，自由声波，无反射波，B =0： p A e j t kr 粒子的法(径)向速度：v r
1 j t kr A p (1 )e j 0 r r 0 c0 jkr j 1
r
以上求得的脉动球辐射一般解中尚有一个待定常数A，它取决于边界条件， 也即取决于球面振动情况。这在物理上是显然的，因为声场是由于球源 振动而产生的，所以声场的特征自然也应与球面的振动情况有关。 设球源表面的振速为： u
高频或大尺寸声源：当波长远小于声源半径，即ka >>1 时：
AH
0 c0 1 0 c0 aua , H tan 0 p Qe j (t kr ) 4ar ka A L A H
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在以同样大小的速度ua振动时，如果球源小或者频率低，则辐射声压小； 如球源大或频率高，则辐射声压较大； 当球源大小一定时，频率高则辐射声压大；频率低则辐射声压小。 当振动频率一定时，球源半径大则辐射声压大；半径小则辐射声压小； 以上关系具有普遍意义。一般说来，只要振动速度一定，凡声源振动表 面大的，向空间辐射的声压也大，反之就小。
Wr Rr 2 a2 平均辐射声功率－关于声源表面位移： 1 2
某声源，如果要求在高频与低频时的声功率相同，需要源面位移振幅在 低频时远大于高频，过大的位移振幅有技术困难，如: 纸盆位移过大， 会使折环的弹性超出线弹性范围，使振动系统非线性，甚至会使折环 断裂。因此，需采用箱式扬声器(如闭箱式，倒相箱式，动圈式等)
Fr －声场的反作用力； Z m Z r Rr jX r Rm jM m K m / ( Rm Rr ) j M m X r / K m /
R m u K m udt F Fr M mu u j u , udt u j Fr Z r u , Z r R r jX r F u Zm Zr
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第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
辐射阻抗
讨论：
1. 2. 3. 从运动方程看，相当于原弹簧振子系统附加了声场对声源的反作用力。 从求解结果看，相当于在原振动系统上附加了一个力阻抗Zr，这种由声 辐射引起的力阻抗就称为辐射力阻抗，简称辐射阻抗。(与声阻抗对比） 声场对声源的反作用表现在两个方面： 增加系统阻尼，除摩擦力阻Rm外还增加了辐射力阻Rr。辐射力阻也 反映力学系统的能耗，但转化为声能而非热能，以声波的形式传输 出去。即相当于从振源汲取机械能，转化为声能； 增加系统力抗，辐射抗Xr是正的，所以表现为惯性抗。Xr对力学系 统的影响相当于在声源本身的振动质量Mm上附加一辐射质量 M r = Xr / ，由于这部分附加质量的存在，好像声源加重了，似乎有质量为Mr的
A j t kr B j t kr k k p e e r r
Y pr Ae j t kr Be j t kr
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第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
球面声场
A j t kr B j t kr p e e r r
0c0 ka 2
p pa e
j t kr
, pa
A r
2 A 1 ( ) kr 1 j t kr ' ' arctan , v vr va e , a r 0 c0 kr kr 2 Q 4 a ua 定义Q为声源强度(即体积速度):
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在离脉动球源距离为 r 的地方，声压幅值取决于|A| 值，而|A|的大小不仅 与球源的振速ua有关，还与辐射声波的频率(或波长)、球源半径等有关。
ua e j t ka
ua为振速幅值，指数中的-ka 是为了运算方便引入的初相位，不影响
讨论的一般性。
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第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
球面声场
边界条件
球源表面处的媒质质点速度等于球源表面的振动速度，即： vr r a u
A
j u ka j A e ( ) a 1 (ka) 2 0c0 ka 2ua 1 , arctan A 2 ka 1 (ka)
声学基础
第3章 声波的辐射
3.1 前言 3 2 脉动球源的辐射 3.2 3.3 声偶极辐射 3 4 同相小球源辐射 3.4 3.5 点源 3.6 无限大障板上圆面活塞的辐射 3 7 赫姆霍茨积分公式及其应用 3.7 3.8 一般球形声源的辐射
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第3章 声波的辐射
§3.1 3 1 前言
声波辐射的研究内容
11
第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
辐射阻抗
辐射阻抗在声源辐射特性研究中的应用
平均辐射声功率－关于声源表面振速： 平均辐射声功率 关于声源表面振速： Wr 声源表面振速幅值一定时：
1 2 Rr u a 2
频率愈高，辐射阻愈大，损耗功率愈大，声源向空间辐射声波的功率愈大 ka<<1时，平均声功率Wr与频率的平方成正比，且非常小； Ka>>1 时，平均声功率Wr近似与频率无关，远大于低频 ； 对于一个振动系统，低频的声辐射比高频困难得多； 声源平均辐射声功率大小并不取决于声源绝对尺寸，而是声源尺寸与波 长的相对大小，即 ka 值；
困难，而大口径的扬声器就比较容易。
闭箱式扬声器。
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第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
辐射阻抗
辐射阻抗的定义
当球源大小或声波频率不同时，辐射声压不同，采用辐射阻抗来描述声 源的声辐射特性。
声源处于声场中受到的反作用力：
脉动球源在媒质中振动，使媒质发生稀密交替的形变，从而辐射声波； 声源本身也处于它自己辐射形成的声场之中，因此必然受到声场对它 的反作用，即媒质对声源的反作用，表示为：Fr S a p r a 式中Sa为声源表面积，负号表示这个力的方向与声压的变化方向相反。 例如，声源表面沿法线正方向运动，使表面附近媒质压缩，声压为正， 而此时声场的反作用力与法线方向相反。
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第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
球面声场
只要振动速度一定，凡声源振动表面大的，向空间辐射的声压也大，反 之就小。 举例 弦乐器：如果没有助声膜或板，而仅有单根弦的振动，所发出的声音是 很微弱的。因此，弦乐器必须将单根弦的振动，通过一定的耦合方 式带动助声膜或板一起振动而发声。例如，提琴用优质的木材做成 助声板，胡琴用蛇皮等做成助声膜，而且一般讲来，振动面越大， 低频声越丰富。 扬声器：小口径的杨声器辐射低频声比较
§3.2 3 2 脉动球源的辐射
球面声场
设半径r0的球体表面做均匀的微小涨缩振 动，即球体半径在r0附近以微量dr 作简谐 变化，从而在周围媒质中辐射声波。 球面的振动过程具有各向均匀的脉动性质，因此产生的声波波阵面 是球面，辐射的是均匀球面波。 波阵面形状不变，但面积变化的声场的特殊形状波动方程: 2 p ln S p 1 2 p 2 2 r r r c t 2 取球坐标系，坐标原点取在球心，各向均匀球面波的波动方程： 2 p 2 p 1 2 p 2 ( rp ) 1 2 ( rp ) 2 2 S 4r r 2 r r c 2 t 2 r 2 c t 2
p
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0 c0 ka 2
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第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
辐射阻抗 辐射 抗
辐射阻抗; 源面受到的声场反作用力与其表面振速之比：
0 c0 k 2 a 2 0 c0 ka Fr Z r Rr jX r S j Sa a u 1 ( ka) 2 1 (ka ) 2
声源辐射声场的空间分布：即声源振动时，辐射声场的各种规律，例如 声场中声压与声源的关系，声压随距离的变化以及声源的指向性等； 声源与媒质的作用与反作用：即声源向媒质辐射声能量，媒质对声源具 有反作用。这种反作用是声源激发起来的声场反过来对声源振动状态的 影响，即由于辐射声波而附加于声源的辐射阻抗。
声源的简化
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第3章 声波的辐射 3.2 脉动球源的辐射
球面声场
点源
当声波波长远大于声源半径，即ka <<1 时
A L 0 c0 ka 2ua 1 L tan 1 ka 2
Q 1 (kr ) 2 j t kr ' 0 c0 kQ j (t kr ) ,u j e p j - e 2 4r 4r
辐射阻抗
辐射阻抗的性质
点源( ka<<1)：
Rr 0 c0 (ka ) 2 S a X r 0 c0 kaS a
wenku.baidu.com
0 c0 kaS a 4 3 Mr 3 a 0 3M 0 3
当球源比较小或频率比较低时，辐射阻与频率的平方成正比，辐射抗与 频率成正比，同振质量为球源排开的同体积媒质质量的3倍； 为使球源表面振动，尚需克服该部分附加惯性力作功，但该部分能量 不是向外辐射的声能，而是贮藏在系统中； 当ka>>1 时： Rr 0 c 0 S a , X r 0 即当球源半径较大或频率比较高时，球 源的辐射阻达到最大值，而辐射抗为零， 即同振质量为零，与平面波类似。