最新研究生《应用数理统计基础》庄楚强-何春雄编制---课后答案

研究生 习题2：

2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2

χ分布。 2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η

所以

)1,0(~3

1

N η ，

)1,0(~3

2

N η

)2(~)(3

1332

22212

22

1χηηηη+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 由于 2

22

1ηηη+= 因此 当 3

1=c 时，)2(~2

χηc 。

2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2

N 的一个样本，求 ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ 。（参考数据：）

2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(2

1021N ξξξξΛ=， 所以

)1,0(~3

.0N ξ

，

即有)10(~3.0210

12

χξ∑=⎪⎭

⎫

⎝⎛i i

所以 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=10122163.0i i P ξ ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-=

2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{}

20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样

本均值。（参考数据：）

2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212(

-Φ--Φ=)2

1

()21(-Φ-Φ= 1)2

1

(2-Φ=3830.016915.02=-⋅=

由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~21

1

16

21N -=-ξξ

{}

20≤≤ξP ⎭⎬⎫⎩⎨

⎧-≤-≤-=21122112110ξP ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-⋅=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2

N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的

绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2

N ξ， 所以

)1,0(~2

80

100

20

80

N -=

-ξξ

所以 {}380>-ξP {}

3801≤--=ξP ⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨

⎧≤--=232801ξP ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≤

-≤--=23280

231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-=

2-25. 设总体ξ的密度函数为

⎩⎨

⎧<<=其它

102)(x x x p

取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求：

（1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧>21)3(ξP 。

2-25解：（1）由 ()()[][])()(1)(!

!1!

)(1)(x p x F x F k n k n x p k n k k -----=

ξ

所以 当 10<

x tdt tdt

x p x x 2212!1!2!4)(02

0)3(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=⎰⎰ξ()()()

25222124124x x x x x -=-= 即 统计量)3(ξ的密度函数)()3(x p ξ为：

⎩⎨

⎧<<-=其它

10)

1(24)(253x x x x p

（2） 由于 当10<

25334)]1(24[)(x x dt t t x F x -=-=

⎰

所以 )3(ξ的分布函数 ⎪⎩

⎪⎨⎧>≤<-≤=1

1103400)(8

63x x x

x x x F （3）)21(121121)3()3(F P P -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>ξξ256

243213214186=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

习题3：

3-3. 已知总体ξ的分布密度为：

)0(0

0);(>⎩⎨

⎧≤>=-λλλλx x e x p x

设),,,(21n ξξξΛ是容量为n 的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与MIE . 3-3解：矩法 由于 x x

de x dx e

x dx x xp E λλλλξ-+∞

+∞

-+∞

∞

-⎰⎰⎰

-===

);(

[

]

λλλλλ110

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=+-=+∞

-∞

+-∞

+-⎰

x x

x e dx e

xe

令 ξξ=E 所以 ξ

λ

1ˆ= MIE 当0>x 时，构造似然函数∑==

=-=-∏n

i i

i

x n n

i x e

e L 1

1

)(λ

λ

λλλ

所以 ∑=-=n

i i x n L 1

ln )(ln λλλ 令

0)(ln 1=-=∑=n

i i x n d L d λλλ 得 ∑∑===

=n

i i n

i i

x n x

n

1

1

11ˆλ

即

λ的极大似然估计量为ξ

λ

1

ˆ=

3-5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50L 化验，每升水中

大肠杆菌的个数（ 1L 水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布），化验结果如下：

试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时才能使上述情况的概率为最大？