理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
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质点动量定理.pptx
1
Yc m
1 yCdm m
R
0 y边 (2x边dy边)
1 R
m
0
y边 (2
R2
y边2 dy边 )
4R 3π
dy边
yC
y边
即质心位置为
0,
4R 3π
。
8
第9页/共47页
(4) 多个规则形状物体组成系统的质心 多个规则形状物体组成系统的质心，可先找到每
个物体的质心，再用分立质点系质心的求法，求出公 共质心。
它们置于一质量也为 m 的槽的底部。槽置于光滑的水
平面上。释放后，球最终静止于槽的底部，问此时槽移
动了多远？
解：水平方向动量守恒,质心位置不变
xC0 xC
xC 0
2m 0 3m
mR
3mx xC 3m
解得： x 1 R 0 向右移动
3 27 第28页/共47页
例4.1.2-2 一物体在光滑水平面上以 5m/s的速度沿 x
由牛顿第二定律原始表达式：
对上式积分得：
F d(mv) dt
定义：
t t
Fdt mv(t t) mv(t) t P mv 称为质点的动量
tt
I Fdt
称为力在 t 时间内的冲量
t
质点的动量定理: 外力冲量等于质点动量的改变量
16
第17页/共47页
例4.2.1-1 一质量为 0.15 千克的棒球以 v0 40m/s 的
(3)
1
yc
mA yA mB yB mD yD mA mB mD
4mD (2) 2mD (1) mD (8) 4mD 2mD mD
2
zc
mA zA mB zB mD mA mB mD
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
质点系动量定理
解：
普通物理学教案
例题2 ：
子弹穿过第一木块时， 两木块速度相同均为v1
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
再结合 式，可得结果。
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两个状态。
例题3：
普通物理学教案
如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的加速度相对杆上爬，才能看上去不下落?
这一速度小于第一宇宙速度（7.9km/s）, 所以用单级火箭不可能把人造地球卫星或其它航天器送入地球轨道。
由于技术上的原因，多级火箭一般是三级。
有效载荷
第三级火箭
第二级火箭
第一级火箭
制导与控制系统
动力系统
01
04
02
03
N1 = 16；vr = 2.9km/s；
N2 = 14；vr = 4km/s
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
其意为：
质点系总动量的增量 等于作用于该系统合外力的冲量
例题1* (自学用)
普通物理学教案
矿砂从传送带A落入B ，其速度4m/s ， 方向与竖直方向成 30º角，而B 与水平方向成15º角，其速度2m/s。传送带的运送量为 20kg/s 。 求：落到 B上的矿砂所受到的力。
卫星支架（卫星分配器）
长征二号E
长征二号F 运载火箭是在长二捆火箭的基础上，按照发射神舟载人飞船的要求，以提高可靠性确保安全性为目标研制的运载火箭。火箭上加装了逃逸塔，是目前我国所有运载火箭中起飞质量最大、长度最长的火箭。
震天雷 神火飞鸦 火龙出水 原始火箭 虎头木牌 一 窝 蜂
解：
15º
30º
A
B
v1
v2
15º
30º
作矢量图
在Δt 内落在传送带B上的矿砂质量为： 这些矿砂的动量增量为： 由动量定理： 15º 30º
普通物理学教案
例题2 ：
子弹穿过第一木块时， 两木块速度相同均为v1
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
再结合 式，可得结果。
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两个状态。
例题3：
普通物理学教案
如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的加速度相对杆上爬，才能看上去不下落?
这一速度小于第一宇宙速度（7.9km/s）, 所以用单级火箭不可能把人造地球卫星或其它航天器送入地球轨道。
由于技术上的原因，多级火箭一般是三级。
有效载荷
第三级火箭
第二级火箭
第一级火箭
制导与控制系统
动力系统
01
04
02
03
N1 = 16；vr = 2.9km/s；
N2 = 14；vr = 4km/s
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
其意为：
质点系总动量的增量 等于作用于该系统合外力的冲量
例题1* (自学用)
普通物理学教案
矿砂从传送带A落入B ，其速度4m/s ， 方向与竖直方向成 30º角，而B 与水平方向成15º角，其速度2m/s。传送带的运送量为 20kg/s 。 求：落到 B上的矿砂所受到的力。
卫星支架（卫星分配器）
长征二号E
长征二号F 运载火箭是在长二捆火箭的基础上，按照发射神舟载人飞船的要求，以提高可靠性确保安全性为目标研制的运载火箭。火箭上加装了逃逸塔，是目前我国所有运载火箭中起飞质量最大、长度最长的火箭。
震天雷 神火飞鸦 火龙出水 原始火箭 虎头木牌 一 窝 蜂
解：
15º
30º
A
B
v1
v2
15º
30º
作矢量图
在Δt 内落在传送带B上的矿砂质量为： 这些矿砂的动量增量为： 由动量定理： 15º 30º
质点系的动量定理___概述说明以及解释
质点系的动量定理概述说明以及解释1. 引言1.1 概述质点系的动量定理是经典力学中重要的基本定律之一，它描述了质点系在外力作用下动量的变化情况。
动量是物体运动状态的重要属性，通过研究质点系统的动量变化可以揭示物体与外界环境之间相互作用的规律以及运动过程中涉及的能量转化和传递。
1.2 文章结构本文将按照以下结构展开对质点系的动量定理进行概述和解释。
首先在引言部分进行总体说明，并介绍文章整体结构。
接着，在第二部分将详细介绍质点系的动量概念和动量定理原理，并通过应用实例进行案例分析。
第三部分将阐述动量定理的具体解释和推导方法，包括简单系统和复杂系统下推导方法以及实际应用中可能出现误差和修正方法。
第四部分将探讨动量定理在物理实验中的应用，包括实验装置和步骤介绍、数据处理与分析，以及结果讨论与验证有效性。
最后，在结论与展望部分进行对质点系动量定理的总结评述，并对未来研究方向给出展望和建议。
1.3 目的本文旨在全面介绍和解释质点系的动量定理，通过对动量定理的阐述和案例分析，帮助读者深入理解该定理的物理意义和运用方法。
同时，通过对动量定理在物理实验中应用的讨论，探究其在实际场景中的有效性和适用性。
最后，对质点系动量定理进行总结评价，并提出未来研究方向的展望和建议。
2. 质点系的动量定理2.1 动量概念介绍在物理学中，质点是指大小可忽略不计、仅具有质量和速度的物体。
动量则是一个质点运动状态的重要属性，它定义为质点的质量乘以其速度。
动量可以用数值表示，并且具有方向。
2.2 动量定理原理动量定理是描述物体受力作用时其动量变化规律的基本定律。
根据动量定理，当一个外力作用在一个系统上时，系统的动量将会改变，并且改变值等于外力对系统施加的冲量（冲击力在时间上积分）。
根据牛顿第二定律和牛顿第三定律可得到以下数学表达式：F = ma （牛顿第二定律）F = Δp/Δt （冲击力定义）其中，F代表外力，m代表物体的质量，a代表物体受到外力产生的加速度，Δp代表动量改变值（即冲击力），Δt代表时间间隔。
理论力学：第11章 动量矩定理
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
理论力学第十一章,动量定理
的投影守恒。
y
α
px px0
vr m2g v
vm1
vr
A
FA m1g
x
vm1
α
B
FB
（b）
（a）
α
vm1
m2g x
p mi v i
p x mi vix
A
FA m1g
B
FB
例 题1
v
考虑到初始瞬时系统处于平衡，即有pox=0，于是有 px = m2vcos m1vm1 = 0 另一方面，对于炮弹应用速度合成定理，可得 v = ve + vr 考虑到 ve = vm1，并将上式投影到轴 x 和 y 上，就得到 vcos = vrcos vm1
质点系冲量定理投影形式
e e p2 y p1 y ( Fiy ) dt I iy t2 t1 e p2 z p1 z ( Fize ) dt I iz t2 t1
dp Fie dt
dpx e Fix dt
3，质点系动量守恒定律
Fi e 0 , 1）
y
α
vr vm1
m2g x
A
FA m1g
B
FB
(a)
例 题1
解: 取火炮和炮弹（包括炸药）这个系统作为研究对象。
设火炮的反座速度是 vm1，炮弹的发射速度是 v，对水平面的仰 角是 （图b）。 炸药（其质量略去不计）的爆炸力是内力，作用在系统上的外力 在水平轴 x 的投影都是零，即有Fx = 0；可见，系统的动量在轴 x 上
(m1 m2 ) C Fy m1 g m2 g y
质心 C 的坐标为
质点系动量定理和质心运动定理.pptx
由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心).
在直角坐标系质心坐标为
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi zi m
对由两个质点组成的质点系，有
xc
m1x1m2x2 m1m2
yc
m1y1m2y2 m1m2
第10页/共19页
x2 xc m1 xc x1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点距离与质点质量 成反比.
第11页/共19页
[例题3] 一质点系包括三质点，质量为
m2 2单和位
m3
3，单 位置位坐标各为
求质心坐标.
m 1 ( 1 , 2 )m ,2 ( 1 ,1 ) 和 m 3 ( 1 ,2 )
m1 1单位
[解] 质心坐标
xc
m1x1m2x2m3x3 m1m2m3
d p vd tS v
由动量定理
dp vS vF
dt
F表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
Fx Sv2
向下
火箭所受推力，也等于
Sv 2
向上
第5页/共19页
[内例有题质2]量如为图表m0示的传煤送卸带出以，水传平送速带度顶部与将车煤厢卸底入板静v0高止度车差厢为内h。，每开单始位时时车间
第8页/共19页
§3.7.2 质心运动定理
1.质心
质点系动量定理
而
vi
dri dt
i F i d dt(
mivi)
有
i i
F i ddt22(
miri)
F i md dt22(
m iri) m
质点系的动量定理 动量守恒定律
t t0
f21
m2 v20 → v2 F2
考虑质点组成的系统 两式求和： 两式求和：
§2.质点系的动量定理 / 一、质点系的动量定理 质点系的动量定理
∫ ( ∑ Fi外 + ∑ fi内 )dt = ∑ mivi ∑ mivi 0
t t0
f12与f21为一对作用力和反作用 力,
f12 = f21
∑ fi内 = 0 即系统的内力矢量合为 0。 。 令P = ∑ mivi = ∑ Pi 为系统的动量矢量合， 为系统的动量矢量合，
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
质点系的动量定理： 质点系的动量定理：合外力的冲量等于质 点系动量的增量。 点系动量的增量。
§2.质点系的动量定理 / 一、质点系的动量定理 质点系的动量定理
§2.质点系的动量定理 / 二、注意几点 质点系的动量定理
如图2.13所示，一辆装矿砂的车厢以 ＝4 m/s的速率从漏斗下通过， 所示， 的速率从漏斗下通过， 例2.6 如图 所示 一辆装矿砂的车厢以v＝ 的速率从漏斗下通过 每秒落入车厢的矿砂为k＝ 每秒落入车厢的矿砂为 ＝200 kg/s，如欲使车厢保持速率不变，须施与车 ，如欲使车厢保持速率不变， 厢多大的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦 忽略车厢与地面的摩擦). 厢多大的牵引力 忽略车厢与地面的摩擦 解 设t时刻已落入车厢的矿砂质量为m， 经过dt后又有dm＝kdt的矿砂落入车厢.取m 和dm为研究对象，则系统沿x方向的动量 定理为
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
f21
m2 v20 → v2 F2
考虑质点组成的系统 两式求和： 两式求和：
§2.质点系的动量定理 / 一、质点系的动量定理 质点系的动量定理
∫ ( ∑ Fi外 + ∑ fi内 )dt = ∑ mivi ∑ mivi 0
t t0
f12与f21为一对作用力和反作用 力,
f12 = f21
∑ fi内 = 0 即系统的内力矢量合为 0。 。 令P = ∑ mivi = ∑ Pi 为系统的动量矢量合， 为系统的动量矢量合，
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
质点系的动量定理： 质点系的动量定理：合外力的冲量等于质 点系动量的增量。 点系动量的增量。
§2.质点系的动量定理 / 一、质点系的动量定理 质点系的动量定理
§2.质点系的动量定理 / 二、注意几点 质点系的动量定理
如图2.13所示，一辆装矿砂的车厢以 ＝4 m/s的速率从漏斗下通过， 所示， 的速率从漏斗下通过， 例2.6 如图 所示 一辆装矿砂的车厢以v＝ 的速率从漏斗下通过 每秒落入车厢的矿砂为k＝ 每秒落入车厢的矿砂为 ＝200 kg/s，如欲使车厢保持速率不变，须施与车 ，如欲使车厢保持速率不变， 厢多大的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦 忽略车厢与地面的摩擦). 厢多大的牵引力 忽略车厢与地面的摩擦 解 设t时刻已落入车厢的矿砂质量为m， 经过dt后又有dm＝kdt的矿砂落入车厢.取m 和dm为研究对象，则系统沿x方向的动量 定理为
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
简述质点系的动量定理及动量守恒定律
动量是物体运动状态的一种量度，它与物体的质量和速度成正比。
质点系的动量定理和动量守恒定律是描述物体运动规律的重要定律，对于理解和研究物体的运动具有重要意义。
本文将从简述质点系的动量定理开始，逐步深入探讨动量守恒定律，希望能够为读者提供一份深入浅出的参考。
1. 质点系的动量定理质点系的动量定理是描述质点系受力情况下动量的变化规律的定理。
根据牛顿第二定律，质点系的动量定理可以表述为：当一个质点系受到合外力时，它的动量随时间的变化率等于合外力的作用，即\[ \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F} \]其中，\[ \vec{p} \]代表质点系的动量，\[ \vec{F} \]代表合外力的矢量。
这个定理表明了力对物体动量的影响，是经典力学中非常重要的基本定律之一。
2. 动量守恒定律当质点系受到合内力作用时，它的动量不会发生改变，这就是动量守恒定律的基本内容。
对于一个封闭系统来说，合内力为零，因此动量守恒定律可以表述为：在一个封闭系统内，当没有合外力作用时，质点系的动量保持不变，即\[ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \cdots + \vec{p}_n = \vec{p}_1' +\vec{p}_2' + \cdots + \vec{p}_n' \]其中，\[ \vec{p}_i \]代表质点i的初始动量，\[ \vec{p}_i' \]代表质点i的最终动量。
动量守恒定律是一个非常重要的物理定律，它对于理解和分析自然界中的各种物理现象具有重要作用。
3. 个人观点和理解动量定理和动量守恒定律的提出和应用，使我们能够更深入地理解物体运动规律，并且在工程技术和自然科学研究中得到了广泛的应用。
在实际生活中，通过对动量定理和动量守恒定律的应用，我们可以更好地理解交通事故、火箭发射和碰撞实验等现象。
这些定律的深入理解和应用，有助于我们更加科学地分析和解决相关问题。
第十一章：动量定理
内力:
r Fi
(i
)
内力性质:
（1）
∑
r Fi
(i
)
=0
（2）
∑
r M
O
(
r Fi
(
i
)
)
=
0
质 点:
( ) r
dPi
=
d
m i vri
dt
dt
= Fri(e) + Fri(i )
质点系:
(∑ ) ( ) d mivri
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ dt
d =
r dP dt
=
mivri = dt
Fri( e )
∑ r
dP = dt
Fri( e )
∑ ∑ ∑ dPx =
dt
F (e) ix
dPy = dt
F (e) iy
dPz = dt
F (e) iz
若 ∑ Fx(e) ≡ 0 , 则 px = 恒量
已知
m1, m2 , o1o2
= e,ω
=
常量，求：Fvx
,
v Fy
解: P = m2ω e
Px = m2ω e cosω t Py = m2ω e sinω t
=
tr F dt
0
冲量量纲： FT = MLT −2T = MLT −1 = MV
单位：
N ⋅ s 或 kg ⋅ m / s
动量量纲：
单位：
MV = MLT −1 = MLT −2T = FT kg ⋅ m / s 或 N ⋅ s
冲量与动量的量纲相同
§11-2 动量定理
1.质点的动量定理
mar
=
m
质点的动量定理.ppt
Fdt ( M dm )( v dv ) dm ( v dv u ) Mv
忽略dmdv的二阶小量并化简
dv dm Fdt Mdv udm F M u dt dt dv dt 只要F+Fp>0，火箭就能升空 F Fp M
dm dM
火箭箭体的运动方程
dm qm 40 dm : F dt dm v dm v 0 dt 平均冲力 F 40( v v 0 ) 40( 3i 4 j )
大小:|F|=200N，方向与x轴正方向成53.1o 煤粉对传送带A的平均作用力与此力大小 相等而方向相反。 h v0
2
f
t1
F
t 1 t 2 t1 t
2
1
m v 2 m v1 Fdt t 2 t1
f 0 t t
１）峰值冲力的估算 ２）当动量的变化是常量时，有
1 F t
t+△t
３） 当相互作用时间极短，相互间冲力极大，此时某 些有限主动外力（如重力等）可忽略不计。
例：质量为m的质点，经时间t、以不变的速率v越过一水平光 滑轨道60º 的弯角 求：轨道作用于质点的平均冲力。 m j v2 v1 解：由动量定理有 30o 30o I F t m v 2 m v1 i m (v 2 v1 ) 平均冲力 F (1) t v1 v 2 v 因 o o o o v1 v (cos 60 i cos 30 j ) v 2 v (cos 60 i cos 30 j ) 代入式(1)得
P mv
动量
矢量，
方向与v 同向
相对量，与参照系的选择有关。
理论力学第11章(动量矩定理)
线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕 z 轴的角速度为0。如某时 此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a 角。不计各杆的质量，求这 时系统的角速度。
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
理论力学动量定理 PPT课件
Fy
2
m2g
dpx dt
Fx
,
dpy dt
Fy
m1g m2 g
Fx MO
Fx m2e2 sint, Fy (m1 m2)g m2e2 cost
动约束力
静约束力 动约束力
Ch.11. 动量定理
例11-2 图11—3表示水流流经变 截面弯管的示意图。设流体是不可 压缩的，流动是稳定的。求管壁的 附加动约束力。
分力。
解：设附加水平动约束力如图，有
v2
F
qV
[
1 2
(v2
v2
)
v1 ]
Fx
v1
Fx qV [v2 cos (v1)], Fy 0
v2 v2 v2
因此，水柱对涡轮固定叶片作用力的水平分力为
Fx Fx qV (v2 cos v1) N
Ch.11. 动量定理
小结
1. 动量定理 质点的动量定理：
解：取物块和小球为研究对象
A v
Fx(e) 0
px p0x 0
vB v vBA, vBA l l 0 sin t
px mAvAx mBvBx mAv mB (v vBA cos)
vr
B
px (mA mB )v mBl 0 sin t cos(0 cost) 0 v mBl 0 sin t cos(0 cost) /(mA mB )
mv mv0
Fdt I
0
2. 质点系的动量定理
第k个质点：
d (mk vk
)
(F
(e) k
Fk(i) )dt
Fk( e ) dt
Fk( i ) dt
外力 内力
n
n
n
2
m2g
dpx dt
Fx
,
dpy dt
Fy
m1g m2 g
Fx MO
Fx m2e2 sint, Fy (m1 m2)g m2e2 cost
动约束力
静约束力 动约束力
Ch.11. 动量定理
例11-2 图11—3表示水流流经变 截面弯管的示意图。设流体是不可 压缩的，流动是稳定的。求管壁的 附加动约束力。
分力。
解：设附加水平动约束力如图，有
v2
F
qV
[
1 2
(v2
v2
)
v1 ]
Fx
v1
Fx qV [v2 cos (v1)], Fy 0
v2 v2 v2
因此，水柱对涡轮固定叶片作用力的水平分力为
Fx Fx qV (v2 cos v1) N
Ch.11. 动量定理
小结
1. 动量定理 质点的动量定理：
解：取物块和小球为研究对象
A v
Fx(e) 0
px p0x 0
vB v vBA, vBA l l 0 sin t
px mAvAx mBvBx mAv mB (v vBA cos)
vr
B
px (mA mB )v mBl 0 sin t cos(0 cost) 0 v mBl 0 sin t cos(0 cost) /(mA mB )
mv mv0
Fdt I
0
2. 质点系的动量定理
第k个质点：
d (mk vk
)
(F
(e) k
Fk(i) )dt
Fk( e ) dt
Fk( i ) dt
外力 内力
n
n
n
动量定理ppt课件
5
得 dp Fi(e)dt dIi(e)
或
dp dt
F (e) i
称为质点系动量定理的微分形式,即质点系动量的增量
等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和;或质点系动 量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和.
6
在 t1~ t2 内,
动量 p1 ~ p2 有
n
p2
p1
I (e) i
称为质点系动量定理的积分形i式1 ,即在某一时间间隔内,质点
m1 m2
s)
x 由 C1 xC2 ,
得 s m2 esin
m1 m2
23
16
系统动量沿x, y轴的投影为:
px mvCx mxC 2(m1 m2 )l sin t
py mvCy myC m1l cost
系统动量的大小为:
p
p
2 x
p
2 y
l
4(m1 m2 )2 sin 2 t m12 cos2 t
17
2.质心运动定理
由
d dt
(mvC
)
n
i 1
m1 2
m2
cos
t
应用质心运动定理,解得
Fx
F
r 2
m1 2
m2
cos
t
显然,最大水平约束力为
Fmax
F
r 2 m1
2
m2
21
e 例 11-6 地面水平,光滑,已知 m1, m2 , ,初始静止,
常量.
求:电机外壳的运动.
22
解:设
xC1 a
xC2
m1(a s) m2 (a e sin
量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.
理论力学第十一章动量定理.
[例1] 已知：为常量，均质杆OA=AB = l, 两杆质量皆为 m1，
滑块B质量 m2。 求: 质心运动方程、轨迹及系统动量。
解：设 ，t 质心运动方程为:
xC
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos t
yA
2(m1 m2 ) l cos t
C B
2m1 m2
0，
则
px
恒量
4．例题分析
[例1] 电动机外壳固定在水平基础上，定子和外壳的质
量为 m1，转子质量为 m2。定子和机壳质心 O1 ，转子质
心 O2，O1O2 e，角速度 为常量。求基础的水平及
铅直约束力。
解： p m2e
px m2e cos t py m2 e sin t
qV — 流体在单位时间内流过截面的体积流量
dt内流过截面动量变化为：
管壁对流体 的约束力
设 F F F
F —静约束力；F —附加动约束力
F p Fa Fb 0
F qV (vb va )
p p0 pa1b1 pab
( pbb1 pa1b ) ( pa1b paa1 ) pbb1 paa1
[思考题 P255 11-3，习题 P256 11-10]
v mBvr kmBol
mA mb mA mb
11-3 质心运动定理
1．质心
rC
m iri m
，m m i
质心位置的确定：
xC
mixi m
，yC
miyi， m
理论力学第11章-动量定理
y
解：(用质点系动量定理求解) w
（1）取电机外壳与转子组成质点系。 （2）受力分析：外力有重力m1 g 、
O1 e p
m1g
m2g
O2
x
m2 g ；基础的反力F x 、 F y 和 M O 。
MO Fx
（3）运动分析：机壳不动，质点系
Fy
的动量就是转子的动量，其大小为 ：
p m2 w e
px m1 ew cosw t
11 动量定理
11.1 动量与冲量 11.1.1 动量
1.质点的动量
质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢
量，方向与v 相同。单位是kgm/s。
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
2.质点系的动量 质点系中所有各质点的动量的矢量和。
撞击后，A 与B 一起向前运动，历时2s 而停止。设A、
B 与平面的摩擦因数 f s= 0.25，求撞击前 A 的速度，以 及撞击时 A、B 相互作用的冲量。
解：（1）运动分析： v0
A与B 均作直线运动，设
A
B
AB
撞击前A的速度为v0，从
x
撞击开始到停止运动的2s内，A 的速度从v0到0；而B开
始是静止的，最后仍处于静止。
py m2 ew sin w t
设 t = 0 时：O1O2 铅垂，有 = wt 。由动量定理
的投影式得：
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1g m2 g
Fx m2 w2 e sin w t
Fy (m1 m2 )g m ew2 cosw t
电机不转时，基础只有向上的反力 (m1 m2 )g ，称为
质点系的动量定理
i
Fi
d dt
i
Pi
以 F 和 P 表F示系d统P的合外力和总动量，上式可写为：
dt
由此可得F“dt质点d系P的动微量分定形理式”：
t2
Fdt
P2
dP
P
积分形式
t1
P1
内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。 只有外力才能改变系统的总动量。
的速度，动量和应是同一时刻的===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 ===中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）— ======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 ===向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 ===定律更普遍的最基本的定律
离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？ （空气阻力不计，g=9.8m/s2)
解：已知第一块方向竖直向下
h
v1t
'
1 2
gt
'2
t ' 1s 为第一块落地时间
v1 v1y 14 7m / s
y v2
h
v1 h S1
x
炮弹在最高点，vy
0, 到最高点用时为t
好触到水平桌面上，如果把绳
的上端放开，绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重力的
x
三倍。
证明：取如图坐标，设t 时刻已有x
o
长的柔绳落至桌面，随后的dt时间
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结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
i
FRe Fie —— 外力主矢
i
dp dt
FRe
d (
dt
i
mi vi ) FRe
§11-1 质点系动量定理
对于质点系
dp dt
FRe
d (
dt
i
mi vi ) FRe
质点系动量定理
质点系的动量主矢对时间的一阶导数， 等于作用在这一质点系上的外力主矢
§11-2 质心运动定理
d(mi vi ) dt
Fi
对于质点系
i
d pi dt
i
d(mivi ) dt
i
Fi
d p
dt
d( dt i
mi vi ) FRi FRe
§11-1 质点系动量定理
对于质点系
d p
dt
d( dt
i
mi vi ) FRi FRe
FRi Fii 0 —— 内力主矢
质点系的动量定理
dp dt FRe
d (
dt
i
mi vi ) FRe
dp x dt
FRex ,
dp y dt
FRey
,
dp z dt
FRez
建立了动量与外力主矢之间的关系，涉及力、速度 和时间的动力学问题。
结论与讨论
有关动量的几个定理的小结
质点系动量守恒定理
dp dt
FRe
第11章 质点系动量定理
几个有意义的实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几个有意义的实际问题
偏心转子电动机 工作时为什么会左
？ 右运动； 这种运动有什么 规律；
会不会上下跳动； 利弊得失。
几个有意义的实际问题
？ 蹲在磅秤上的人站起来时
磅秤指示数会不会发生的变化
几个有意义的实际问题
？ 台式风扇放置在光滑的台
d pi dt
d(mi vi ) dt
Fi
§11-1 质点系动量定理
质点系的动量与动量系
质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬 时都具有各自的动量矢。质点系中所有质点动 量矢的集合，称为动量系。
p (m1 v1, m2 v2 , , mn vn )
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
FRe ＝0
p = C1
FRe 0，FRex 0,或FRey 0,或FRez 0
px = C1，或 py = C1，或 px = C1
可以用于求解系统中的速度，以及与速度有关的量。
结论与讨论
有关动量的几个定理的小结
质心运动定理
m aC FRe
maCx FRex , maCy FRey ,
m aC FRe FRe ＝0
vC = C2
m aC FRe Fຫໍສະໝຸດ e 0，FRex 0，或FRey 0，或FRez 0
vCx = C2，或 vCx = C2，或 vCx = C2
如果作用在质点系上的外力主矢等于0，则系统的 质心作惯性运动：若初始为静止状态，则系统的质 心位置始终保持不变。
p = C1
m aC FRe FRe ＝0
vC = C2
C1、 C2 均为常矢量，由初始条件确定。
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
质点系动量守恒的特殊情形
dp dt
FRe
FRe 0，FRex 0,或FRey 0,或FRez 0
px = C1，或 py = C1，或 pz = C1
或者变换为
m aC FRe
d
dt
(m
vC
)＝
d dt
(
i
mi vC i ) FRe
maC ＝
i
mi aC i FRe
mi－ 第i个刚体的质量； m－ 刚体系统的总质量；
vCi－ 第i个刚体质心的速度；vC－ 系统质心的速度；
aCi－ 第i个刚体质心的加速度；aC－ 系统质心的加速度
12
mi vi mi vi
12
12
p mi vi - mi vi m v2 m v1 m(v2 v1)
22
11
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
p mi vi - mi vi m v2 m v1 m(v2 v1)
质心运动守恒的特殊情形
m aC FRe FRe 0，FRex 0，或FRey 0，或FRez 0
vCx = C2，或 vCx = C2，或 vCz = C2
C1、 C2 均为标量，由初始条件确定。
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
对于刚体或刚体系统，其质心容易确定，应用动 量定理时，主要采用质心运动形式－质心运动定理。
动量定理微分形式 和积分形式
动量定理的微分形式
dp dt
FRe
动量定理的积分形式
d (
dt
i
mi vi ) FRe
t2
p1 p2 FRe dt S S－质点系统的冲量
t1
质点系统动量在一段时间内的改变量等于系统中所有
质点冲量的矢量和
返回
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流 定常质量流
定常质量流 —— 质量流中的质点流动过 程中，在每一位置点都具有相同速度。
定常质量流特点 1、质量流是不可压缩流动； 2、非粘性 —— 忽略流层之间以及质量流与 管壁之间的摩擦力。
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
定常质量流
定常质量流 ——质量流中的质点流动过程中， 在每一位置点处都具有相同速度。
例题1
A
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB ＝l；滑块A和B的质量均为m，曲 柄OC和连杆AB的质量忽略不计；
曲柄以等角速度绕O轴旋转；图
示位置时，角度为任意值。
O
求：图示位置时，系统的总动量。
B
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
A
解：将滑块A和B看作为两个 质点，整个系统即为两个质点所 组成的质点系。求这一质点系的 动量可以用两种方法：
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流， t 瞬时质量流的动量：
p mi vi 12
t ＋ t 瞬时质量流的动量：
p mi vi 12
t 时间间隔内质量流的动量改变量
p p p mi vi mi vi
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
mi ai
aC i m
mi ai
aC i m
d (
dt
i
mi vi ) FRe
m aC FRe
§11-2 质心运动定理
质心运动定理 质点系的总质量与质点系质心加速度乘积，
等于作用在这一质点系上外力的主矢 .
yA 2lsin
vB
x xB 2lcos
B
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解：
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
yA 2lsin
xB 2lcos
vA y A 2lcos 2lcos
22
11
同除以 t ，并取极限
dp dt
dm dt
(v2
v1 )＝qm (v2
v1 )
由质点系动量定理，得到动量定理的定常质量流形式
qm (v2 v1)＝ F＝F1＋F2 ＋FN ＋W