理论力学第十一章 质点系动量定理讲解

vB
vB xB 2lsin 2lsin
x
B
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
解： p mA vA mB vB
vA y A 2lcos 2lcos vB xB 2lsin 2lsin
p 2lmsin i 2lmcos j

O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A

O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流， t 瞬时质量流的动量：
p mi vi 12
t ＋ t 瞬时质量流的动量：
p mi vi 12
t 时间间隔内质量流的动量改变量
p p p mi vi mi vi
系统的总质量
90o
mC= mA+ mB=2m
l
O
vB
系统的总动量
x
B p 2lm(-sin i cos j)
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题2
质量为m1，半径为R的 均质圆盘与质量为m2， 长度为l的均质杆铰接 于A点。图示瞬时圆盘 质心的速度为vA,杆的角 速度为。
求:系统的动量：
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流 定常质量流
定常质量流 —— 质量流中的质点流动过 程中，在每一位置点都具有相同速度。
定常质量流特点 1、质量流是不可压缩流动； 2、非粘性 —— 忽略流层之间以及质量流与 管壁之间的摩擦力。
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流
定常质量流
定常质量流 ——质量流中的质点流动过程中， 在每一位置点处都具有相同速度。
FRe ＝0
p = C1
FRe 0，FRex 0,或FRey 0,或FRez 0
px = C1，或 py = C1，或 px = C1
可以用于求解系统中的速度，以及与速度有关的量。
结论与讨论
有关动量的几个定理的小结
质心运动定理
m aC FRe
maCx FRex , maCy FRey ,
动量定理微分形式 和积分形式
动量定理的微分形式
dp dt
FRe
动量定理的积分形式
d (
dt
i
mi vi ) FRe
t2
p1 p2 FRe dt S S－质点系统的冲量
t1
质点系统动量在一段时间内的改变量等于系统中所有
质点冲量的矢量和
返回
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
质点系的动量定理
dp dt FRe
d (
dt
i
mi vi ) FRe
dp x dt
FRex ,
dp y dt
FRey
,
dp z dt
FRez
建立了动量与外力主矢之间的关系，涉及力、速度 和时间的动力学问题。
结论与讨论
有关动量的几个定理的小结
质点系动量守恒定理
dp dt
FRe
m aC FRe
质心运动定理揭示了动量定理的实质：外 力主矢仅仅确定了质点系质心运动状态的变 化。
§11-2 质心运动定理
对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运 动与力之间的关系
ma F
对于质点系：质心运动定理，描述质点系 整体运动与力之间的关系
m aC FRe
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
mi ai
aC i m
mi ai
aC i m
d (
dt
i
mi vi ) FRe
m aC FRe
§11-2 质心运动定理
质心运动定理 质点系的总质量与质点系质心加速度乘积，
等于作用在这一质点系上外力的主矢 .
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
p = C1
m aC FRe FRe ＝0
vC = C2
C1、 C2 均为常矢量，由初始条件确定。
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
质点系动量守恒的特殊情形
dp dt
FRe
FRe 0，FRex 0,或FRey 0,或FRez 0
px = C1，或 py = C1，或 pz = C1
d pi dt

d(mi vi ) dt
Fi
§11-1 质点系动量定理
质点系的动量与动量系
质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬 时都具有各自的动量矢。质点系中所有质点动 量矢的集合，称为动量系。
p (m1 v1, m2 v2 , , mn vn )
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
12
mi vi mi vi
12
12
p mi vi - mi vi m v2 m v1 m(v2 v1)
22
11
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
p mi vi - mi vi m v2 m v1 m(v2 v1)
质心运动守恒的特殊情形
m aC FRe FRe 0，FRex 0，或FRey 0，或FRez 0
vCx = C2，或 vCx = C2，或 vCz = C2
C1、 C2 均为标量，由初始条件确定。
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
对于刚体或刚体系统，其质心容易确定，应用动 量定理时，主要采用质心运动形式－质心运动定理。
i
FRe Fie —— 外力主矢
i
dp dt
FRe
d (
dt
i
mi vi ) FRe
§11-1 质点系动量定理
对于质点系
dp dt
FRe
d (
dt
i
mi vi ) FRe
质点系动量定理
质点系的动量主矢对时间的一阶导数， 等于作用在这一质点系上的外力主矢
§11-2 质心运动定理
m aC FRe FRe ＝0
vC = C2
m aC FRe FRe 0，FRex 0，或FRey 0，或FRez 0
vCx = C2，或 vCx = C2，或 vCx = C2
如果作用在质点系上的外力主矢等于0，则系统的 质心作惯性运动：若初始为静止状态，则系统的质 心位置始终保持不变。

O
2lm(-sin i cos j)
vB
x
B
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
解：第二种方法：先确定系统的质心，
y vA
以及质心的速度，然后计算系统的动量。 质点系的质心在C处，其速度矢量垂
直于OC，数值为vC = l
A
vC
vC = l (－sin i＋cos j )

d(mi vi ) dt
Fi
对于质点系
i
d pi dt
i
d(mivi ) dt
i
Fi
d p
dt
d( dt i
mi vi ) FRi FRe
§11-1 质点系动量定理
对于质点系
d p
dt
d( dt
i
mi vi ) FRi FRe
FRi Fii 0 —— 内力主矢
或者变换为
m aC FRe
d
dt
(m
vC
)＝
d dt
(
i
mi vC i ) FRe
maC ＝
i
mi aC i FRe
mi－ 第i个刚体的质量； m－ 刚体系统的总质量；
vCi－ 第i个刚体质心的速度；vC－ 系统质心的速度；
aCi－ 第i个刚体质心的加速度；aC－ 系统质心的加速度
质点系动量定理的投影形式
dp x dt
FRex
,
dp y dt
FRey
,
dp z dt
FRez
质心运动定理的投影形式
maCx FRex , maCy FRey , maCz FRez
§11-3 质点系动量定理的投影与守恒形式
质点系动量守恒
dp dt
FRe
FRe ＝0
质心运动守恒
yA 2lsin
vB
x xB 2lcos
B
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A

O
解：
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
yA 2lsin
xB 2lcos
vA y A 2lcos 2lcos
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
根据上述定义和特点，有
dm dt

A1v1

A2 v 2

qm
质点系动量定理应用 于开放质点系－定常质量流 定常质量流
dm dt

A1v1

A2 v 2

qm
－质量流的密度； A1、A2－质量流入口和出口处的横截面积； v1、v2－质量流在入口和出口处的速度
qm －质量流量。
连续流方程表明，流入边界和流出边界的 质量流量相等。
22
11
同除以 t ，并取极限
dp dt

dm dt
(v2
v1 )＝qm (v2

v1 )
由质点系动量定理，得到动量定理的定常质量流形式
qm (v2 v1)＝ F＝F1＋F2 ＋FN ＋W
还可以写成投影的形式。
第11章 质点系动量定理 结论与讨论
结论与讨论
有关动量的几个定理的小结
第11章 质点系动量定理
几个有意义的实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几个有意义的实际问题
偏心转子电动机 工作时为什么会左
？ 右运动； 这种运动有什么 规律；
会不会上下跳动； 利弊得失。
几个有意义的实际问题
？ 蹲在磅秤上的人站起来时
磅秤指示数会不会发生的变化
几个有意义的实际问题
？ 台式风扇放置在光滑的台
例题1
A
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB ＝l；滑块A和B的质量均为m，曲 柄OC和连杆AB的质量忽略不计；
曲柄以等角速度绕O轴旋转；图
示位置时，角度为任意值。

O
求：图示位置时，系统的总动量。
B
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
A
解：将滑块A和B看作为两个 质点，整个系统即为两个质点所 组成的质点系。求这一质点系的 动量可以用两种方法：
12
12
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
p p p mi vi mi vi
12
12
p p p ( mi vi mi vi )
12
22
- ( mi vi mi vi )
11
面上的台式风扇工作时，会 发生什么现象
几个有意义的实际问题
隔板
水池
？ 抽去隔板后将会
发生什么现象
水
光滑台面
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§11-1 质点系动量定理
质点的动量 —— 质点的质量与质点速度的 乘积，称为质点的动量
p mv
动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量， 而且是定位矢量。
质点的动量定理 —— 质点的动量对时间 的一阶导数，等于作用在质点上的力
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
maCz FRez
质心运动定理建立了质点系质心运动与系统所受外力 主矢之间的关系。
质心的运动与内力无关，内力不能改变系统整体的运 动状态(系统质心的运动)，但是，内力可以改变系统内各 个质点的运动状态。
质心运动定理可以用于求解作用在系统上的未知外力， 特别是约束力。
结论与讨论
质心运动守恒定理
有关动量的几个定理的小结