考研概率与数理统计必背公式
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概率与数理统计公式
1．随机事件及其概率
吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( A
B A A A A
A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)(
)(AB A B A B A −==− 反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=
n i i n i i A A 11=== n
i i n i i A A 1
1===
2．概率的定义及其计算
)(1)(A P A P −=
若B A ⊂ )()()(A P B P A B P −=−⇒
对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P −=−
加法公式：对任意两个事件A , B , 有
)()()()(AB P B P A P B A P −+=⋃
)()()(B P A P B A P +≤⋃
)()1()()()()(211
1111n n n
n
k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P −≤<<≤≤<≤==−+++−=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P
)()
(A P AB P
乘法公式
())0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()()
)
0)(()()(12112112121>=−−n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式
∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1
i n
i i B A P B P ⋅=
∑= 贝叶斯公式
)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==
n i i i k k B A P B P B A P B P 1
)
()()
()(
4．随机变量及其分布
分布函数计算
)
()()
()()(a F b F a X P b X P b X a P −=≤−≤=≤<
5．离散型随机变量
(1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=−==−k p p k X P k k
(2) 二项分布 ),(p n B
若P ( A ) = p
n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =−==−
*Possion 定理
0lim >=∞
→λn n np 有 ,2,1,0!)1(lim ==−−−∞→k k e p p C k
k n n k n k n n λλ
(3) Poisson 分布 )(λP
,2,1,0,!)(===−k k e k X P k
λλ
6．连续型随机变量
(1) 均匀分布 ),(b a U
⎪⎩
⎪⎨⎧<<−=其他,0,1)(b x a a b x f
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧−−=1,,0)(a b a x x F (2) 指数分布 )(λE
⎪⎩⎪⎨⎧>=−其他,
00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥−<=−0
,10,0)(x e x x F x λ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
+∞<<∞−=−−x e x f x 222)(21)(σμσπ
⎰∞−−−=x
t t e x F d 21
)(222)(σμσπ
*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞−=−x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞−=Φ⎰∞−−x t e x x
t d 21)(22
π
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y )的分布函数
⎰
⎰∞−∞−=x y dvdu v u f y x F ),(),( 边缘分布函数与边缘密度函数 ⎰
⎰∞−+∞∞
−=x X dvdu v u f x F ),()(
⎰+∞∞−=dv v x f x f X ),()(
⎰⎰∞−+∞∞
−=y
Y dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞
−=du y u f y f Y ),()( 8. 连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,
0),(,1),(G y x A y x f (2)二维正态分布
+∞
<<−∞+∞<<∞−⨯−=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−+−−−−−−y x e y x f y y x x ,121
),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布
0)()
()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()
()(>=y f y x f y f Y Y X Y ⎰⎰+∞
∞−+∞∞−==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰⎰+∞
∞−+∞∞−==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()( )(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )
()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X = )
()()(x f y f y x f X Y Y X =