数学期望
第三章 数学期望
r ( x ) f ( x)(离散变量)
r
r ( x ) r f ( x)dx(连续变量)
X关于原点的r阶矩也称为r阶原点矩，定义为 ‘r = E(Xr)
矩母函数
X的矩母函数定义为： MX(t)=E(etX) 在假设收敛的条件下，它是
M X (t ) e tX f ( x)(离散的变量) M X (t )
数学期望
数学期望的定义
数学期望就是一个随机变量的期望值或简称期望。 离散随机变量的期望定义： E(X)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+…+xnP(X=xn) =xjP(X=xj) = xjf(xj) 如果随机变量取值概率都是相等的，那么我们就可 以得到一个特殊的期望，算术平均： E(X)=(x1+x2+…+xn)/n
对联合分布的方差和协方差
若X和Y是有联合密度函数f(x,y)的两个连续随机变 量，则X和Y的均值或期望是
X E( X ) Y E (Y )
xf ( x, y)dxdy
yf ( x, y)dxdy
方差是
2 X E[( X X ) 2 ]
标准化随机变量
令X是带均值和标准差的随机变量，则我 们用下式定义标准化的随机变量 X*=(X-)/ X*的一个重要性质是均值为0且方差为1，标 准化的变量对比较不同分布是有好处的。
矩
随机变量X关于均值的r阶中心矩，定义为： r=E((X-)r) 这里r=0,1,2,…。由此得到0=1 1=0 2=2
相关系数
若X和Y是独立的，则Cov(X,Y)=0。另一方面，若X 和Y是完全相关的。例如，当X=Y，则 Cov(X,Y)=XY=XY。由此我们引入变量X和Y相互 依赖的测度： ＝ XY/XY 根据定理四，我们知道－1<=<=1。在＝0时，我 们称X和Y是不相关的。然而在这些情况下，变量可 以是独立的，也可以是不独立的。我们将在后面的 章节中会进一步讨论相关性。
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数学期望⽬录数学期望定义离散型随机变量ξ有分布列x1x2⋯x k⋯p1p2⋯p k⋯如果级数 ∑k x k p k绝对收敛，则记Eξ=∑k x k p k称为ξ的数学期望.定义连续型随机变量ξ有密度函数p(x) ，若∫+∞−∞|x|p(x)dx<∞ ，则称Eξ=∫+∞−∞xp(x)dx为ξ的数学期望.定义随机变量ξ有分布函数F(x) ，若∫+∞−∞|x|dF(x)<∞ ，则称Eξ=∫+∞−∞xdF(x)为ξ的数学期望.设ξ为随机变量，η=f(ξ) ，则Eη=∫+∞−∞f(y)dFξ(y)当ξ连续时有密度函数p(x) ，则Eη=∫+∞−∞f(y)p(y)dy随机变量ξ,η独⽴同分布当且仅当对任意有界连续函数f有Ef(ξ)=Ef(η) .条件期望定义设ξ=x时，η的条件分布函数为Fη|ξ(y|x) ，则条件期望为E(η|ξ=x)=∫+∞−∞ydFη|ξ(y|x)若有条件分布列pη|ξ(y j|x) ，则E(η|ξ=x)=∑j y j pη|ξ(y j|x)若有条件密度函数pη|ξ(y|x) ，则E(η|ξ=x)=∫+∞−∞ypη|ξ(y|x)dy显然，若ξ,η相互独⽴，则E(η|ξ=x)=Eη .定理条件期望E(η|ξ=x) 可看作是x的函数，记为m(x) ，则m(ξ) 是随机变量，称m(ξ) 为已知ξ时η的条件期望，记为E(η|ξ) ，从⽽条件期望的数学期望有E[E(η|ξ)]=EηProof.利⽤期望定义m(x)=E(η|ξ=x)=∫+∞−∞ypη|ξ(y|x)dy=∫+∞−∞y p(x,y) pξ(x)dy则有E[E(η|ξ)]=E(m(ξ))=∫+∞−∞m(x)pξ(x)dx代⼊即证；直观上，E(η|ξ) 为在给定的ξ下的η的期望，它是ξ的函数，再求期望时，实际上是对所有的ξ求η的期望.全期望公式当ξ为离散型随机变量，记p i=P(ξ=x i) ，则Eη=∑i p i E(η|ξ=x i)[] Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js它是上⾯等式的直接推导.性质加法性质：Eξ1,⋯,Eξn存在，则∀c1,⋯,c n及b，有En∑i=1c iξi+b=n∑i=1c i Eξi+b乘法性质：若ξ1,⋯,ξn相互独⽴，Eξ1,⋯,Eξn存在，则E(ξ1⋯ξn)=Eξ1⋯Eξn有界收敛定理：设∀ω∈Ω有lim，且\forall n\ge 1,\ |\xi_n|\le M，则\lim_{n\to\infty}E\xi_n = E\xiE(h(\xi)\eta|\xi) = h(\xi)E(\eta|\xi) .柯西-施⽡茨不等式：|E(XY|Z)|\le \sqrt{E(X^2|Z)}\cdot \sqrt{E(Y^2|Z)} .⽅差定义称\xi-E\xi为\xi关于均值E\xi的离差，若E(\xi-E\xi)^2存在有限，则称其为\xi的⽅差，记作Var\xi或D\xiVar\xi = E(\xi-E\xi)^2 = E\xi^2 - (E\xi)^2为了统⼀量纲，有时使⽤标准差\sqrt{Var\xi} .切⽐雪夫不等式若⽅差存在，则\forall \epsilon>0，有P(|\xi-E\xi|\ge\epsilon)\le\dfrac{Var\xi}{\epsilon^2}Proof.⾮常巧妙的放缩法\begin{aligned} P(|\xi-E\xi|\ge\epsilon) &= \int_{|x-E\xi|\ge\epsilon}dF(x)\\ &\le \int_{|x-E\xi|\ge\epsilon}\dfrac{(x-E\xi)^2}{\epsilon^2}dF(x)\\ &\le \int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{(x-E\xi)^2}{\epsilon^2}dF(x)\\ &= \dfrac{1}{\epsilon^2}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E\xi)^2dF(x)\\ &= \dfrac{Var\xi}{\epsilon^2} \end{aligned}切⽐雪夫不等式说明\xi离均值E\xi的距离，被⽅差所控制，即\xi落在(E\xi-\epsilon,E\xi+\epsilon)的概率⼤于1-\frac{Var\xi}{\epsilon^2} .性质Var\xi = 0 \Leftrightarrow P(\xi=c)=1；切⽐雪夫不等式的直接推论.Var(c\xi+b) = c^2Var\xi .Var\xi \le E(\xi-c)^2 .加法性质：Var\left(\sum_{i=1}^n\xi_i\right) = \sum_{i=1}^nVar\xi_i + 2 \sum_{1\le i<j\le n} Cov(\xi_i,\xi_j)若\xi_1,\cdots,\xi_n两两独⽴，则Var\left(\sum_{i=1}^n\xi_i\right) = \sum_{i=1}^nVar\xi_i此时Cov(\xi_i,\xi_j) = 0 .协⽅差定义设\xi_i,\xi_j有联合分布F_{ij}(x,y)，若E|(\xi_i-E\xi_i)(\xi_j-E\xi_j)|<\infty，称E(\xi_i-E\xi_i)(\xi_j-E\xi_j) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E\xi_i)(y-E\xi_j)dF_{ij}(x,y)为\xi_i,\xi_j的协⽅差，记作Cov(\xi_i,\xi_j) .性质Cov(\xi,\eta) = Cov(\eta,\xi) = E\xi\eta-E\xi E\eta\begin{aligned} E(\xi-E\xi)(\eta-E\eta) &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E\xi)(y-E\eta)dF(x,y)\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(xy-xE\eta-yE\xi+E\xi E\eta)dF(x,y)\\ &= E\xi\eta - 2E\xi E\eta + E\xi E\eta = E\xi\eta - E\xi E\eta \end{aligned}加法性质：Cov\left(\sum_{i=1}^n\xi_i,\eta\right) = \sum_{i=1}^nCov(\xi_i,\eta)Cov(a\xi+c,b\xi+d) = abCov(\xi,\eta) .Cov(\xi,\eta) \le \sqrt{Var\xi}\sqrt{Var\eta} .Cov(a\xi+b\eta,c\xi+d\eta) = acCov(\xi,\xi) + (ad+bc)Cov(\xi,\eta) + bdCov(\eta,\eta) .协⽅差矩阵协⽅差矩阵的元素是随机向量各分量两两之间的协⽅差B = E(\xi-E\xi)(\xi-E\xi)^T = \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}\\ \end{matrix} \right),\quad b_{ij} = Cov(\xi_i,\xi_j)容易看出B对称半正定.若有变换\eta = C\xi，则有EC(\xi-E\xi)(C(\xi-E\xi))^T = CBC^T为\eta的协⽅差矩阵.⼆维随机向量的协⽅差矩阵C = \left( \begin{matrix} Var\xi & E\xi\eta - E\xi E\eta\\ E\xi\eta - E\xi E\eta & Var\eta \end{matrix} \right)相关系数的计算r_{\xi,\eta} = \dfrac{Cov(\xi,\eta)}{\sqrt{Var\xi Var\eta}}相关系数为0则不相关.相关系数定义令\xi^* = (\xi-E\xi)/\sqrt{Var\xi},\ \eta^* = (\eta-E\eta)/\sqrt{Var\eta}，称r_{\xi\eta} = Cov(\xi^*,\eta^*) = E\xi^*E\eta^*为\xi,\eta的相关系数.柯西-施⽡茨不等式()任意随机变量\xi,\eta有|E\xi\eta|^2\le E\xi^2E\eta^2等式成⽴当且仅当\exists t_0,\ \mathrm{s.t.}\ P(\eta=t_0\xi) = 1 .Proof.考虑u(t) = E(\eta-t\xi)^2 = t^2E\xi^2-2tE\xi\eta+E\eta^2\ge 0，分析判别式即可.性质|r_{\xi\eta}| \le 1，并且当|r_{\xi\eta}| = 1，称\xi,\eta以概率1线性相关；若|r_{\xi\eta}| = 0，称\xi,\eta不相关.若⽅差有限，则有等价条件Cov(\xi,\eta) = 0\xi,\eta不相关E\xi\eta = E\xi E\etaVar(\xi+\eta) = Var\xi + Var\eta若\xi,\eta独⽴，且它们⽅差有限，则\xi,\eta不相关.对⼆元正态随机向量，两个分量不相关与独⽴等价.矩⽅差、协⽅差本质上都是对随机变量分布分离程度的度量，可以⽤矩的概念进⾏推⼴.原点矩：m_k=E\xi^k，称为k阶原点矩中⼼距：c_k = E(\xi-E\xi)^k，称为k阶中⼼矩绝对矩：M_{\alpha} = E|\xi|^{\alpha},\ \alpha\in\mathbb{R}，称为\alpha阶绝对矩。
《概率论与数理统计》数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题
《数学期望》课件
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
CATALOGUE
连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
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目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
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引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
数学期望常用公式总结高中
数学期望常用公式总结高中
数学期望是统计学中一个重要的概念，它用来衡量一组数据的平均值。
它有助于研究者分析数据，从而得出有效的结论。
在高中数学中，我们常用的数学期望公式有以下几种：（1）
期望的基本公式：期望就是数据的平均值。
其公式为：E(X) = ∑xP(x)，其中E(X)表示期望，∑x表示每个可能的观测值的总和，P(x)表示每个观测值的概率。
（2）期望的期望公式：期望的期望公式表示期望可以用
来计算另一个期望。
其公式为：E(E(X)) = ∑E(X)P(X)，其中
E(E(X))表示期望的期望，∑E(X)表示每个可能的观测值的期望值的总和，P(X)表示每个观测值的概率。
（3）期望的条件期望公式：期望的条件期望公式表示期
望可以用来计算另一个条件期望。
其公式为：E(E(X|Y)) =
∑E(X|Y)P(Y)，其中E(E(X|Y))表示条件期望的期望，∑E(X|Y)
表示每个可能的观测值的条件期望的总和，P(Y)表示每个条件的概率。
（4）期望的离散概率分布公式：期望的离散概率分布公
式表示期望可以用来计算离散概率分布的期望值。
其公式为：E(X) = ∑xP(x)，其中E(X)表示离散概率分布的期望值，∑x表
示每个可能的观测值的总和，P(x)表示每个观测值的概率。
以上就是高中数学中常用的数学期望公式。
它们可以帮助我们更准确地分析数据，从而得出有效的结论。
《数学期望》课件
欢迎来到《数学期望》PPT课件。从定义到应用，本课程将为您全面介绍数学 期望的相关知识。
什么是数学期望
1 定义
数学期望是随机变量取值的加权平均数，是 一个平均性的数值特征。
2 意义
数学期望能够用来描述随机变量的中心位置， 是概率分布的重要特征之一。
离散型随机变量的期望
1
期望的运算规律
期望的运算规律
期望也具有线性性、单调性和保号性等运算规律， 但概率密度函数的图像更难以直观展示。
期望的性质
期望的线性性质
期望具有加法和数乘的线性运算规律，对于相互独 立的随机变量，期望还满足可加性。
期望的矩估计
期望的矩估计可以帮助我们了解随机变量的高阶特 征，如方差、偏度和峰度等。
应用实例
期望在概率分布中的应用
量的期望
离散型随机变量的期望等于随机变量取
每个值的概率乘以该值的加权和，连续
型随机变量的期望等于其概率密度函数
3
期望的运算规律和性质
的加权积分。
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律，还具有可加性和矩估计等特性。
应用实例
4
期望在概率分布中和随机变量期望在实 际问题中都有广泛应用。
参考资料
• 离散数学 • 概率论与数理统计 • 数理统计方法及其应用
2
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律。
3
离散型随机变量的期望定义
离散型随机变量的期望等于随机变量取 每个值的概率乘以该值的加权和。
概率分布的图像
概率分布的图像能够直观地展示数学期 望的定义和特性。
连续型随机变量的期望
连续型随机变量的期望定义
连续型随机变量的期望等于其概率密度函数的加权 积分。
数学期望
定义：设离散型随机变量X 的分布律为
xk pk
k 1
P{ X xk } pk , k 1,2, .
如果级数 xk pk 绝对收敛，则称 xk pk 的和为 X 的数学期
k 1
k1
望，记为 E( X ). 即 E( X ) xk pk .
i 1
n
E(X) E(Xi ) np i1
Xi（i 1,2, , n）相互独立.
n
D(X) D(Xi ) np(1 p)
i1
3. 设 X ~ ()
分布律为：P( X k) ke , k 0, 1, 2,
k!
E( X ) k ke k ke
4). 设 X,Y 相互独立，则有 E(XY ) E( X ) E(Y ),
推广：设 X1, X2, , Xn 相互独立，
证明则：仅E对( 连 X1续X2型 随X机 n ) 变E量( X加以 1 ) 证E(明X。2 ) E( Xn ),
1) E(C) Cf (x)dx C f (x)dx C.
1 (b2 ab a2 ) ( a b )2 1 (b a)2
3
2
12
即 E( X ) a b , D( X ) (b a)2 .
2
12
23
5. 指数分布
设 X 是服从参数为 的指数分布，
密度函数为
f
(
x
)
1
e
x
/
0
x0 其它
E(X)
E(X) 的偏离程度，又因为E[ X E(X) ] 的运算复杂。
数学期望性质
数学期望性质数学期望性质_________________________数学期望，也称为期望值，是统计学中一种基本概念。
它用来反映一系列随机变量的可能取值的可能性，并用来衡量它们的结果，也就是说，它指的是一个离散或连续随机变量的预期平均值。
数学期望是一个重要的概念，它在很多领域都有用武之地，例如经济学、金融学、保险学、管理学、社会学、心理学和数理统计学等。
它也可以用于预测和分析复杂的模式，例如蒙特卡洛方法、随机行为、决策理论和数学经济学。
一般来说，数学期望是一种性质，它可以用于度量随机变量的表现，以及评估不同事件发生的可能性。
其中，根据不同的概念，数学期望的定义也有所不同，但其基本性质是一致的。
数学期望性质是指一个随机变量取值的平均值，这个平均值取决于每个可能的取值所对应的概率。
数学期望也可以定义为求和项中每个条件概率乘以它们对应的取值之和。
这就意味着，如果一个随机变量x的数学期望为E(x)，那么E(x)就是x的每一个取值的概率加权平均值。
数学期望也具有加法性质，即如果两个随机变量x和y都具有数学期望E(x)和E(y)，则E(x+y)=E(x)+E(y)。
这就意味着，对于任意两个随机变量，它们的数学期望之和就是它们各自的数学期望之和。
此外，数学期望也具有乘法性质，即如果一个随机变量x具有数学期望E(x)，则E(cx)=cE(x)，其中c是一个常数。
这意味着，当我们将一个随机变量乘以一个常数时，它的数学期望也会随之变化。
此外，数学期望还具有其他特性，例如对数特性、平方根特性、多元特性等。
其中，对数特性表明如果一个随机变量x具有数学期望E(x)，则E(log x)=log E(x)；平方根特性表明如果一个随机变量x具有数学期望E(x)，则E(sqrt x)=sqrt E(x)；多元特性表明如果一个随机变量x具有数学期望E(x)，则E(f(x))=f(E(x))。
通过对数学期望性质的认识，我们就能够更好地理解随机变量的表现。
3.3 数学期望的定理
注意： （1）由定理2,定理3可得 E ( X Y ) E ( X ) E (Y ), 其中 , 为实数. （2）利用数学归纳法可将定理3推广到有限多个
随机变量的情形: [定理4] 有限个随机变量的和的数学期望等于它们的 数学期望的和:
E ( X i ) E ( X i ).
E ( X ) E ( X1 X 2 X 3 ) E ( X1 ) E ( X 3 ) E ( X 3 )
0.1 0.2 0.3 0.6.
[定理5] 两个独立随机变量的乘积的数学期望等于 它们数学期望的乘积： E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
E (CX ) CE ( X ).
证：对于离散随机变量X ， 我们有
i i
E (CX ) Cxi p( xi ) C xi p( xi ) CE (X ). E (CX )
对于连续随机变量 X , 我们有
C
Cxf ( x)dx xf ( x)dx CE (X ).
E (CX ) CE ( X ).
3 设 X ,Y 是两个随机变量，则有
E ( X Y ) E ( X ) E (Y ).
推广： E ( X i ) E ( X i )
i 1 i 1
n
n
则有 4 设 X ,Y 是相互独立的随机变量，
E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
解： 设随机变量
1 , 第i个部件需要调整; Xi 0 , 第i个部件不需要调整.
i 1 ,2 ,3.
则
X X1 X 2 X 3.
X1 0 pi 0.9
数学期望
1 2 EW ∫ kν fV (ν)dν = k∫ν (1/ a)dν = ka = 3 −∞ 0
2 2 ∞ a
例4 设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴， y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 y 求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
∞
则EY ∫ g(x) f (x)dx 。 =
−∞
−∞
定理 2： ： 若 (X,Y) 是二维随机变量， g(x, y) 是二元连续函数，
Z = g(x, y)
(1). 若 (X,Y) 的分布律为 P{X = xi ,Y = y j } = P ， ij 且 ∑g(xi , y j )P 绝对收敛；则 EZ= ∑g(xi , y j )P 。 ij ij
0
x + y +1= 0
例 5 设在国际市场上每年对我国某种出口商品的 需求量是随机变量 X（吨） ，它在[2000,4000]上 服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可 为国家挣得外汇 3 万元，但假如销售不出而囤 积在仓库，则每吨需浪费保养费 1 万元。 问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。 解：设 y 为预备出口的该商品的数量，这个数 量可只 介于 2000 与 4000 之间， 用 Z 表示国家的收益（万元） X≥y 3y, Z = 3X − (y − X), X < y
8 0.1
8 0.2
9 0.3
9 0.5
10 0.6
10 0.3
试 哪 个 的 击 平 高 问 一 人 射 水 较 ？
解 ：
甲 乙 平 环 可 为 、 的 均 数 写
数学期望公式3篇
数学期望公式第一篇：基础概念与定义数学期望是概率论中的一个重要概念，它可以用于描述随机变量的平均值，也可以用于评价随机事件的平均结果。
在现代数学、统计学以及应用科学等领域，数学期望被广泛应用。
本文将介绍数学期望的基础概念与定义。
数学期望，又称为期望值或期望数，是指对于一组数据，分别乘以它们出现的概率后再相加得到的结果。
从数学上来说，对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的公式来表示：E(X) = Σ(x*p(x))其中，x为X的可能取值，p(x)为X取值为x的概率，Σ表示对所有可能取值x的求和操作。
同样的，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的积分形式来表示：E(X) = ∫x*f(x)dx其中，f(x)为X的概率密度函数。
在实际应用中，数学期望可以用来解决很多问题。
例如，对于平均身高为175cm的人群，如果我们想知道某一个个体身高与平均身高的差距有多大，我们可以计算出这个人的身高与平均身高的差值，并将其除以人群总数。
这样，得到的结果就是所有个体身高与平均身高之差的平均值，即身高的数学期望。
通过比较这个差值与标准差，我们可以了解这个人的身材是否比较健康和匀称。
另外，数学期望还可以用于描述随机事件的效果。
例如，当我们掷骰子时，我们可以计算出每个点数和其对应的概率，然后将它们相乘再相加，得到的结果就是掷骰子的数学期望。
如果我们掷了十次骰子，我们可以将每次掷骰子得到的点数的平均值与掷骰子的数学期望相比较，了解我们掷骰子的效果如何。
总之，数学期望是衡量随机变量的均值的一种方法，它可以用于处理多种实际问题。
在实际应用中，要根据实际情况选择相应的数学期望公式进行计算和分析。
在下一篇文章中，我们将继续介绍数学期望的一些重要性质和应用。
第二篇：数学期望的性质和应用数学期望作为概率论中的一个重要概念，其具有多种性质和应用。
通过了解这些性质和应用，我们可以更深入地了解数学期望的本质。
期望计算公式
期望计算公式
期望计算公式：E（x）=∫xf（x）dx。
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
数学（mathematics或maths，其英文来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
而在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
数学期望的计算性质
数学期望的计算性质
数学期望的计算性质：
1、设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）。
2、设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）。
3、设X，Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。
4、设C为常数，则E（C）=C。
在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”“期望值”也许与每一个结果都不相等。
期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
大数定律表明，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
数学期望值
考虑到38种所有的可能结果，然后这里我们的设定的期望目标是“赢钱”，则因此，讨论赢或输两种预想状 态的话，以1美元赌注押一个数字上，则获利的期望值为：赢的“概率38分之1，能获得35元”，加上“输1元的 情况37种”，结果约等于-0.0526美元。也就是说，平均起来每赌1美元就会输掉5美分，即美式轮盘以1美元作赌 注的期望值为负0.0526美元。
期望值的运用
在统计学中，想要估算变量的期望值时，经常用到的方法是重复测量此变量的值，然后用所得数据的平均值 来作为此变量的期望值的估计。
在概率分布中，数学期望值和方差或标准差是一种分布的重要特征。
在古典力学中，物体重心的算法与期望值的算法十分近似，期望值也可以通过方差计算公式来计算方差：
实际生活中，赌博是数学期望值的一种常见应用 。
例如，掷一枚公平的六面骰子，其每次“点数”的期望值是3.5，计算如下：
不过如上所说明的，3.5虽是“பைடு நூலகம்数”的期望值，但却不属于可能结果中的任一个，没有可能掷出此点数。
数学定义
如果X是在概率空间（Ω,P）中的随机变量，那么它的期望值E[X]的定义是： F-分布函数并不是每一个随机变量都有期望值的，因为有的时候这个积分不存在。 如果两个随机变量的分布相同，则它们的期望值也相同。 1)如果X是离散的随机变量，输出值为，和输出值相应的概率为（概率和为1）。若级数绝对收敛，那么期望 值E[X]是一个无限数列的和： 下面赌博的例子就是用这种方法求出期望值的。 2)如果X是连续的随机变量，存在一个相应的概率密度函数，若积分绝对收敛，那么X的期望值可以计算为：， 是针对于连续的随机变量的，与离散随机变量的期望值的算法同出一辙，由于输出值是连续的，所以把求和改成 了积分 。
数学里面期望值是什么？怎么求？
数学⾥⾯期望值是什么？怎么求？数学⾥⾯期望值是什么？怎么求？⼀、总结⼀句话总结：> 在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之⼀。
它反映随机变量平均取值的⼤⼩。
1、数学期望实例?> 筛⼦摇每⼀个值（1-6）的概率是1/6，则摇到点的期望=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=21/6=3.5⼆、数学⾥⾯期望值是什么？怎么求？在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之⼀。
它反映随机变量平均取值的⼤⼩。
期望值计算：例⼦某城市有10万个家庭，没有孩⼦的家庭有1000个，有⼀个孩⼦的家庭有9万个，有两个孩⼦的家庭有6000个，有3个孩⼦的家庭有3000个。
则此城市中任⼀个家庭中孩⼦的数⽬是⼀个随机变量，记为X。
它可取值0，1，2，3。
其中，X取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03。
则，它的数学期望扩展资料：期望值学术解释：1.期望值是指⼈们对所实现的⽬标主观上的⼀种估计；2.期望值是指⼈们对⾃⼰的⾏为和努⼒能否导致所企求之结果的主观估计,即根据个体经验判断实现其⽬标可能性的⼤⼩；3.期望值是指对某种激励效能的预测；4.期望值是指社会⼤众对处在某⼀社会地位、⾓⾊的个⼈或阶层所应当具有的道德⽔准和⼈⽣观、价值观的全部内涵的⼀种主观愿望。
期望的来源：在17世纪，有⼀个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了⼀道题⽬：甲⼄两个⼈赌博，他们两⼈获胜的机率相等，⽐赛规则是先胜三局者为赢家，⼀共进⾏五局，赢家可以获得100法郎的奖励。
当⽐赛进⾏到第四局的时候，甲胜了两局，⼄胜了⼀局，这时由于某些原因中⽌了⽐赛，分配这100法郎：⽤概率论的知识，不难得知，甲获胜的可能性⼤，⼄获胜的可能性⼩。
4.1数学期望
E ( X 1 ) = 8 × 0.3 + 9 × 0.1 + 10 × 0.6 = 9.3(环), E ( X 2 ) = 8 × 0.2 + 9 × 0.5 + 10 × 0.3 = 9.1(环),
故甲射手的技术比较好. 故甲射手的技术比较好
实例2 商店的销售策略 实例 某商店对某种家用电器 的销售采用先使用后 付款的方式 , 记使用寿命为 X (以年计 ), 规定 : X ≤ 1, 一台付款 1500 元;1 < X ≤ 2, 一台付款 2000 元; 2 < X ≤ 3, 一台付款 2500 元; X > 3, 一台付款 3000 元 .
设寿命 X 服从指数分布 ,概率密度为 , 概率密度为 设寿命 1 − x 10 , x > 0, e f ( x ) = 10 0, x ≤ 0. 试求该商店一台家用电 器收费 Y 的数学期望 .
解
1 − x 10 = 1 − e − 0.1 = 0.0952, P { X ≤ 1} = ∫ e dx 0 10 2 1 P {1 < X ≤ 2} = ∫ e − x 10 d x 1 10
∫
xi+1
xi
f (x)dx
阴影面积近似为
f (xi )∆xi
≈ f (xi )( xi+1 − xi )
= f (xi )∆xi
小区间[x 小区间 i, xi+1)
因此X与以概率 因此 与以概率 f (xi )∆xi 取值xi的离离连r.v 近似, 该离离连r.v 近似 该离离连 的数学 阴影面积近似为 期望是 期望是 f (xi )∆xi
若设随机变量 X பைடு நூலகம்:在 A 胜2局B 胜1局的前提 在 局 局的前提 最终所得的赌金. 下, 继连赌下去 A 最终所得的赌金 所取可能值为: 则X 所取可能值为 其概率分别为: 其概率分别为
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§2.2 随机变量的数学期望
每个随机变量都有一个概率分布（分布函数，或分布列、概率密度），这种分布完整地刻画了随机变量取值的统计规律性。
由概率分布可以计算出有关随机变量的各个事件的概率。
此外，概率分布还可以确定随机变量的各种特征数，比如，数学期望、方差、中位数等，这些特征数都是用以刻画随机变量（或其概率分布）的某一方面的特征。
例如，考虑某种元件的寿命，如果知道了寿命X 的概率分布，就可以计算出寿命在任一指定范围内的概率，对这种元件的寿命状况提供了一幅完整图景。
根据这一分布，还可以确定用以反映寿命平均水平的特征数-数学期望，用以刻画寿命值的散布程度（或稳定程度）的特征数-方差.这些特征数虽不能对寿命状况提供完整刻画,但却往往是人们最为关注的一个方面.无论在理论上还是在实用中，这些特征数都有着极重要的意义.尤其是实用中,概率分布虽很“完美”,但难以把握;而特征数则容易把握,并且特征数是以一个“醒目”的数值刻画随机变量的某种特征,是概率分布某个方面的概括，这使得应用方便.
一. 数学期望的定义
定义 设离散型随机变量X 的分布列为
i i p x X P ==)(， ,2,1=i
如果
∞<∑∞=1
||i i i p x
则称∑∞=1i i i
p x 为X 的数学期望，记为)(X E ，即
∑∞==
1
)(i i i p x X E 若级数∑∞=1i i i p
x 不绝对收敛，则称X 的数学期望不存在。
由以上定义可看出，若X 只取有限个值，则它的数学期望总是存在的。
而若X 取可列个值，则它的数学期望不一定存在，是否存在就看级数∑∞=1i i i
p x 是否绝对收敛，这个要求的目
的在于使期望值唯一。
因为若无穷级数∑∞=1i i i
p x 只是条件收敛，则可通过改变这个级数各项
的次序，使得改变后的级数不收敛或收敛到任意指定的值，这意味着这个级数的和存在与否，以及等于多少，与X 的取值的排列次序有关，而)(X E 作为刻画X 取值的平均水平的特征数，具有客观意义，不应与X 的取值的排列次序有关。
由定义，X 的期望值就是其所有可能取值的加权平均，每个可能值的权重就是X 取该值的概率，因此X 的数学期望又称为X 的均值。
同时还可看出X 的数学期望完全由X 的概率分布所决定，所以X 的数学期望又叫做X 的分布的数学期望（对一般的随机变量的期望
（或其他特征数）也是如此）。
数学期望这个名称的由来要追溯到17世纪的一个著名的“分赌本”的问题.
期望的定义可以用概率的频率定义来解释:设想X 是一个机会游戏的某个参与者的所得,每次游戏,该参与者以概率)(i x p 赢得i x 元.如果他连续多次玩这个游戏,比如N 次,赢得i x 元的次数记为i n 次,那么在N 次游戏中,他平均所得为i i x N n ∑.由概率的频率定义,在N 很大时,频率N
n i 近乎概率)(i x p ,那么上述平均值近乎于期望值)(X E . 对于连续型随机变量,以积分代替求和,从而得到连续型随机变量的期望的定义.
定义 设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，如果
∞<⎰+∞
∞-dx x p x )(||
则称 ⎰+∞∞-=dx x xp X E )()(
为X 的数学期望，简称为期望或均值.若⎰+∞
∞-dx x p x )(||不收敛，
则称X 的数学期望不存在. 注:期望这一概念可类比于质量分布的质心这一物理概念.把概率分布看作质量在x 轴上的分布.在离散场合,概率)()(i i x X P x p ==看作点i x 处的质量,那么该质量分布的质心的所在位置的坐标正是期望值)(X E .在连续场合,概率密度函数)(x p 对应于质量分布密度函数.
例 (1)设随机变量X 的分布列为
,)
1(1)1(+=-=n n n X P n ）（ ,2,1=n X 的数学期望是否存在?
(2) 设随机变量X 的分布列为
,2
1)1(n n n X P =-=）（ ,2,1=n X 的数学期望是否存在?若存在,求其期望.
例 某人参加“答题秀”，一共有两个问题;问题1和问题2.他可以自行决定回答问题的顺序.如他先回答问题i ,那么只有回答正确,才被允许回答问题)(i j j ≠,否则不允许回答另一个问题.如果他正确地回答了问题i ,他将获得i v 元奖金.设他能正确地回答了问题i 的概率为i p ,且两个问题能否正确回答相互独立.那么他先回答哪个问题可使他获得奖金的期望值更大?
解:i X 表示他先回问题i 时获得的奖金,2,1=i ,则
1X 的分布列为
111)0(p X P -==,)1()(2111p p v X P -==,21211)(p p v v X P =+=
从而1X 的期望为
21212111)()1()(p p v v p p v X E ++-=
同样地可得
21211212)()1()(p p v v p p v X E ++-=,
因此,如果)1()1(122211p p v p p v ->-,即
2
2211111p p v p p v ->-,他回答问题1可使他获得奖金的期望值更大.
例(例2.2.2)
例 随机变量X 的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=else
x x x p ,020,2-1)( 求)(X E .
例 设随机变量X 的密度函数为
)
1(1)(2x x p +π= 问X 的数学期望是否存在?(这种分布称为柯西分布)
二. 期望的性质
如果知道了随机变量X 的概率分布（分布列或概率密度），我们可以唯一地确定X 的数学期望。
而计算X 的函数)(X g （比如2X ）的期望也是经常遇到的问题，既然)(X g 本身也是一个随机变量，也有自己的概率分布，这个分布可通过X 的概率分布确定，一旦确定了)(X g Y =的概率分布，那么我们利用)(X g Y =的概率分布计算出)]([X g E 。
另一方面，既然)(X g 的数学期望也完全取决于X 的概率分布，那么我们很自然地会想到能否直接利用X 的概率分布去计算)(X g 的数学期望？下面定理回答了这个问题。
定理 （1）若随机变量X 的分布列为 ,2,1),()(===i x X P x p i i ，那么X 的函数
)(X g 的数学期望为
∑∞==1)()]([i i i
p x g X g E
（2）若随机变量X 的密度函数)(x p ，那么X 的函数)(X g 的数学期望为 ⎰+∞
∞-=dx x p x g X g E )()()]([
这里我们假定涉及到的期望是存在的。
基于这个定理，我很容易地得到数学期望的几条性质。
1.设c 是常数，则c c E =)(
2. 设b a ,是常数，则b X aE b aX E +=+)()(
3. )]([)]([)]()([2121X g E X g E X g X g E +=+
例 随机变量X 的密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧<<=else
x x x p ,020,2-1)( 求)12(+X E ；)(2X E
例 设随机变量X 的密度函数为
)
1(1)(2x x p +π= 求)]1|,[min(|X E 。
解：⎰+∞∞-=
dx x p x X E )()1|,min(|)]1|,[min(| ⎰⎰⎰+∞-∞--+π++π++π⋅=12121
12)1(1)1(1)1(1||dx
x dx x dx x x 2
12ln +π= 细心的同学可以发现，本例中随机变量)1|,min(|X Y =既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量，但我们可以利用X 的概率密度求出其数学期望。
例（例2.2.7）。