第七章常微分方程第二节一阶微分方程

可分离变量方程求解
2020/4/16
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练习题: P353 题1，2，3(1), (2), (3), (5), (10)
P353 题2 求以 (xC)2y21为通解的微分方程. 提示: 2 (( xx C C )) 2 2 yy 2y 1 0 消去 C 得 y2(y21)1
P353 题3 求下列微分方程的通解: (1)xyy2xy 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : u2 u
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( 2 ) x y lx n y a x ( lx n 1 )
提示: 这是一阶线性方程 , 其中
P(x) 1 , Q(x)a(1 1 )
xlnx
lnx
(3)dy y dx 2(lnyx)
提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 dx2x2lny dy y y
2xy2y
P315 题7
提示: (1) 原方程化为 (x y ) y l( n x y )
令u=xy,得
du ulnu dx x
(分离变量方程)
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(2)y3x2y26x3 2xy2y
化方程为 dy3(x1)2y2 dx 2y(x1) 令 t = x – 1 , 则 dydydt dy dx dt dx dt dy 3t2 y2 (齐次方程) dt 2ty 令y=ut
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例3
求解方程
xyxtanyy0， x
y
x2
3
．
解 原方程变形后为齐次方程
y y tan y ．
x
x
作变换 u y ，则有
x
uxduutanu，
dx
移项，得
cous du1dx，
sinu
x
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两边积分，得
ln |siu |n ln |x| ln C ，
故原方程通解 (x2y)3x33xyC 2
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例6
求解微分方程
y
xy2 2x2 y 3y3
．
解法1 此方程为齐次方程，作代换 yux，
则有
uxddux3u2u2，
分离变量，得
u3(uu2221)du
3dx， x
两边积分，得
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u3(u u22 21)du3ln|x|lnC，
即
d(x2) 6(x2) 2y3，
dy y
此是关于函数 x2 f (y) 的一阶线性非齐次线性微
分方程，由求解公式得
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x2e6 ydy 2y3e6 ydydyC
y62
y13dyCy4C6y．
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例5 求下列方程的通解:
( 1 ) x y y y ( lx n ly n ) (2)y3x2y26x3
将u
y x
代入，有
sin
y
C
，
xx
由初始条件 y x2 3 ，得C1, 即原方程的解为
sin y 1 ， xx
即满足初始条件的解为
y xarcsin1 ． x
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例4 求微分方程 (y43x2)dyxd yx0的通解．
解 原方程变形为
dx 3 xy3x1， dy y
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例2 求解方程 ydx(x24x)dy0．
解 此方程为一个可分离变量的微分方程．分离
变量，得
dy y
dx 4x x2
，
因
dx 4xx2
11 1 dx， 4x 4x
两边积分，得
ln |y|1(l|n x|ln |4x|)ln C， 4
即得原方程的通解
y4(4x)Cx．
由于 u3(u u22 2 1)du (u 2u2u1)du
2ln|u|1 2lnu(21)C1，
故方程的通解为 u2
u2
1
C x3
，
即
y2 x2 y2 C．
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*解法2 方程变形为
dx 2 x3yx1， dy y 此方程为贝努利方程，此时令 z x2 , 则有
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第七章(1)
一阶微分方程的解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 三、课外练习题
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一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 几个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
2. 一阶非标准类型方程求解
用线性方程通解公式求解 .
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(4) y 63xx32y3x2yy32 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u y x
*方法 2 化为微分形式 ( 6 x 3 3 x y 2 ) d x ( 3 x 2 y 2 y 3 ) d y 0
P6xyQ
Baidu Nhomakorabea
y
x
故这是一个全微分方程 (下册内容).
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(1)0yx x2y
提示: 令 u x2yx, 即 y2xuu2,则
d y 2u2 x d u 2 u d u
dx
dx dx
原方程化为 2u2(xu)duu dx
dx 2 x 2 du u
xeu2du 2eu 2duduC
u12
2u2duC
2u2 3
C u2
y2ey3dyexdx
通解
1ey3 ex C 3
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(2)xyx2y2y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
x0时, y
1 y2y
xx
xu 1u2
x0时，y 1 y2y
xx
xu 1u2
(3)
y
1 2x
y2
调换自变量与因变量的地位 , 化为 dx2xy2, dy
dz 4 z 6y， dy y 故方程的通解为 zy2Cy4， 代回原变量，得 x2y2Cy4．
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例7 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f ( x ) g ( x ) g ( x , ) f ( x ) 且 f , ( 0 ) 0 , f(x)g(x)2ex.
变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式
P315 题7
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例1 求下列方程的通解
(1) yy12ey3x 0;
(3)
y
1 2x
y2
;
(2)xyx2y2y; (4) y 63xx32y3x2yy32.
提示: (1) 因 ey3xey3ex, 故为分离变量方程: