002第二章 轴向拉压应力

FN1 2F , FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
O A FA 轴 力 图 如 右 图 示 FN 2F B FB C FC D FD
5F
F x
3F
[例3] 图示杆长为l，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 y 杆的轴力图。 q(x)
x
解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。 取左侧x 段为对象，内力FN(x)为：
解：1-1截面，左段
5kN
1
y
FN1
F
3kN
x
x
0 FN1 5 0
x
2
FN1 5
2-2截面，右段
FN2
2
5kN
F
x
0 FN2 3 0
x
FN2 3
2
3kN
F
x
x
0
FN 3 3 0
FN 3
2
FN 3 3
[例2] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、
p cos cos2
p sin
2 sin 2

α
F
p
2、符号规定 ⑴、α：斜截面外法线与x轴的夹角。 x 轴逆时针转到 n 轴“α”规定为正值； x 轴顺时针转到 n 轴“α”规定为负值。

⑵、σα：同“σ”的符号规定
⑶、τα：在保留段内任取一点，如果“τα”对其点之矩为顺 时针方向规定为正值，反之为负值。
F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。 D FD D FD
O
A
FA
B
FB
C
FC
FN1
A
FA
B
FB
C
FC
F
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
x
0 FD FC FB FA FN1 0
F 4F 8F 5F FN1 0
FN1 2F
O
A
FA
内力 FN 是沿轴线，所以称为轴力。
（2）轴力的符号规定：原则—根据变形 拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
F FN （＋）FN
F
F
FN （－）FN
F
（3）轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
①取坐标系 F FN F
②选比例尺
③正值的轴力画在X轴的上侧, 负值的轴力画在X轴的下侧。
a
F
F
a a
内力的确定——截面法（基本方法）
1、截开 —欲求哪个截面的内力,就假想的将杆从此截面截开, 杆分为两部分。 2、代替 —取其中一部分为研究对象,移去另一部分,把移去 部分对留下部分的相互作用力用内力代替。 3、平衡 —利用平衡条件，列出平衡方程，求出内力的大小。
F
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0,
F F
F
F
F
F
二、轴向拉压的概念： 外力合力作用线与杆轴线重合。 （1）受力特点：
（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。
FN1
FN1 FN2 FN2
以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。
三、轴向拉压杆的内力和内力图 1.内力：物体内部各粒子之间的相互作用力。 2. 附加内力： 由外力作用而引起的物体内部各粒子之间相互作 用力的改变量（材料力学中的内力）。

P
P －塑性变形
脆性材料：延伸率δ＜5％的材料。
7、卸载规律： 当拉伸超过屈服阶段后，如果逐渐卸载，在卸载过程中， 应力——应变将按原有直线规律变化。 d : d2 b p' d e p
B
FB B FB FN3
C
FC C FC C FC FN4
D
FD D FD D FD D FD
求得AB段内力：
F F
x
0
FN2
FN 2 FB FC FD 0
求BC段内力：
x
0 FN 3 FC FD 0 0 FN 4 FD 0
求CD段内力：
F
x
FN1 2F , FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
FN F 0
FN F
例：已知外力 F，求：1－1截面的内力FN 。 解： （截面法确定） 1—1 F ①截开
②代替，FN 代替。 ③平衡方程 ∑X=0, FN - F = 0, FN = F 以1－1截面的右段为研究对象： FN
F
F
FN
F
∑X=0, F - FN = 0,
FN = F
F F
2F
F F
1. 内力大小不能全面衡量构件强度的大小。 2. 构件的强度由两个因素决定： ①内力在截面分布集度应力； ②材料承受荷载的能力。 如：钢，铜、木材等。
二、轴向拉压杆横截面上正应力的确定 杆横截面上内力是如何分布的？
内力
看不见
变形
可见
所以，由变形分析内力的分布。
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
二、试验条件：常温静载。
三、试验准备： 1、试件——国家标准试件。 拉伸试件——两端粗，中间细的等直杆。 圆形截面：L10=10d;L5=5d。矩形截面：L10=11.3 A ； d L 压缩试件——很短的圆柱型： h=(1.5——3.0)d L5=5.65 A d
h
2、实验设备——液压式万能材料试验机。
+
x
（4）轴力图的意义
① 直观反映轴力与截面位臵变化关系；
② 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位臵，即确 定危险截面位臵，为强度计算提供依据。
(5)注意的问题
① 在截开面上设正的内力方向。 ② 采用截面法之前，不能将外力简化、平移。
F F
F
P
FN
FN
5kN
1 1 1
8kN
2 2
例1：画左图杆的轴力图。 3kN
ζb —强度极限
（拉伸过程中最高的应力值）。
低碳钢屈服阶段
⑷、局部变形阶段（颈缩阶段）：DE。 在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形，至到试件断裂。 5、延伸率： D L1 L b 100 0 0 L B' C 截面收缩率： E σs A A1 B 0 100 0 e A A p A' 它们是衡量材料塑性的两个 指标。 6、区分塑性材料和脆性材料： 塑性材料：δ≥5％。 o
2
60KN 1 B
1 C
40KN
a AB
A
2
FN 1
40
a BC
解： 1、画轴力图 Fx 0, FN1 40 0
FN 2 FN
60 40
FN 1 40
x
40kN
F
x
0, FN 2 40 60 0
FN 2 100
100kN
2、边长的确定： FN max ≤ max A
F
F /2 F /2 F /3 F /3 F /3
外力对内力的影响区域
1N 1N 1 Pa , 1MPa 2 2 1m 1mm
(2) “FN”代入绝对值，在结果 后面可以标出“拉”、“压”。
F / h
F
h/2
1.387
0.688
h h
F
h/4
0.198
F
F
2.575
1.027
内力
1、实验： 变形前 受力后 F
变形
由变形分析内力的分布。
F
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。 3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截 面沿杆轴线作相对平移
4、应力的分布规律——内力沿横截面均匀分布
5、应力的计算公式：
由于“均布”，可 得
第二章 轴向拉压应力
§2–1 引言
§2–2 拉压杆的应力与圣维南原理
§2–3 材料拉伸时的力学性能
§2–4 材料拉压的力学性能的进一步研究
§2–5 应力集中与材料疲劳
§2–6 失效、许用应力与强度条件
§2–7 连接部分的强度计算
§2-1 引 言
一、工程实例： 工程桁架、活塞杆、厂房的立柱等。
B
A C
F
F / h
0.973
三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算 1、斜截面上应力确定 F F

(1) 内力确定：
FNα= FN = F。 (2)应力确定：
F

FNα
x
①应力分布——均布 F ②应力公式——
p
FN
FN FN FN cos cos p A A A cos
FN max A
（b）理论与实际的差异。
FN A max
变直杆： max
3、强度计算：
（1）、校核强度——已知：F、A、[ζ]。求： max ≤
？
FN max ？ max A （2）、设计截面尺寸——已知：F、„ζ‟。求：A
F
FN 解：① 轴力FN =F =25kN ②应力： max
F
25KN
X
4 25103 FN 4F 162 MPa 2 2 3.14 0.014 A d
③强度校核： max 162MPa 170MPa
④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
例： 已知：变截面直杆 ABC 的„ζ‟=100 MPa ，AB、BC各段 的横截面均为正方形, 求：AB、BC 各段边长 a AB, a BC .
A ≥ FN max / [ ]
a BC
a AB
A
FN
60KN
40KN
B
C
X 40kN
ABC≥ FNBC / [ ]
40103 / 100 400 mm2
aBC 400 20mm
AAB≥ FNAB / [ ]
100kN
100103 / 100 1000mm2
aAB 1000 31.6mm
解：
FN max 解： max A
解： max FN max A
A≥FNmax／[ζ]。
（3）确定外荷载——已知：„ζ‟、A。求：F。
FNmax≤„ζ‟A。→ F。
[例] 已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径 d =14mm，许用应力
[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
四、低碳钢拉伸试验
1、试验方法：逐级加载法。
F △L ζ
、、 、、 、、 、、 、、 、、 、、 、、
2、拉伸图：（F-ΔL曲线）。
F
△L
ε 3、应力——应变图：（σ-ε曲线）。
4、低碳钢拉伸时的四个阶段 ⑴弹性阶段:oA,
oA’为直线段；
E
AA’为微弯曲线段。 p —比例极限； e —弹性极限。 ⑵、屈服阶段:B’C。 s —屈服极限 屈服段内最低的应力值。 ⑶、强化阶段：C D
F

FN
A FN
FN A
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
6、拉压杆内最大的正应力：
等直杆： max
FN max A
变直杆： max
FN A
max
7、正应力的符号规定——同内力 拉伸——拉应力，为正值，方向背离所在截面。 压缩——压应力，为负值，方向指向所在截面。 8、公式的使用条件
l x
kl 2 2
FN O q( x) x –
F
x
0, FN ( x) 0 q( x)dx 0
x
x
FN（x）
1 2 FN ( x) kx dx kx 0 2 1 2 FN (x ) max kl 2
§2-2 轴向拉压杆的应力与圣维南原理
一、问题提出：
2F
45

2
,450斜截面上。

2
)
四、拉压杆的强度计算 1、极限应力、许用应力 ⑴、极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过
大变形而不能安全工作时的最小应力值。“ζu” ⑵、许用应力：构件安全工作时的最大应力。“„ζ‟”

u
n
（其中n为安全系数值＞1）
⑶安全系数取值考虑的因素： （a）给构件足够的安全储备。 2、强度条件： max ≤ 等直杆： max
§2—3 材料在拉压时的力学性质
一、问题的提出： 要使构件安全工作，必须了解构件的力学性能（机械性质）。 力学性能：构件受力与变形之间的关系。 ⅰ、在多大应力下是弹性变形， 弹性是线性的还是非线性； ⅱ、在多大应力情况下是塑性变形; ⅲ、在多大应力下发生强度破坏， 拉断或压坏； 了解构件的力学性能后，在使用时可以控制工作应力的大小。 构件的力学性能是通过实验得到这些数据。
(1) 轴向拉压杆
(2) 除外力作用点附近以外其它各点处。 （范围：不超过杆的横向尺寸）
9、圣维南原理： 作用于杆上的外力可以用其等 效力系代替，但替换后外力作用 点附近的应力分布将产生显著影 响，且分布复杂，其影响范围不 超过杆件的横向尺寸。
10、注意的问题 (1) 公式中各值单位要统一
外力的等效
3、说明： 计算时“α”、“ζα”、“ηα”连同它们的符号代入。
4、σ、τ最大值的确定
cos ,
2

2
sin 2
( 1 ) max :
0,
max
( 0)
max
(
0
,横截面上。
( 2 ) max :