分段函数与绝对值函数练习

分段函数与绝对值函数练习

一、双基题目练练手

1.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+,

114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］

C.（－∞，－2］∪［1，10］

D.［－2，0］∪［1，10］

2．(2006安徽)函数2

2,0

,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是 （ ）

A

．,020x

x y x ⎧

≥⎪=< B

．2,0

0x x y x ≥⎧⎪=< C

．,020x

x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ D

．2,0

x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩

3．(2007启东质检)已知21[1,0)

()1[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，，，则下列函数图象错误．．的是(

)

4.（2006全国Ⅱ）函数19

1

()n f x x n ==-∑的最小值为 ( )

（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45

5.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),

2(2x x x 则f （lg30－lg3）

=___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________.

6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}⎩⎨⎧≥=b a b b

a a

b a ＜,,,max 则函数

(){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 .

7.

已知函数13

2

(0)()(01)log (1)x x f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,当a <0时,f {f [f (a )]}=

8.函数221(0)()(0)x x f x x

x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的值域 。 简答:1-4.ACDC;

4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19|

=|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x|

≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10|

≥|90|+0=90, 当x=10时取等号.一般地:…

5. f （lg30－lg3）=f （lg10）=f （1）=－2， f （x －1）=⎩⎨⎧<-≥-.

32,33x x x 当x ≥3时，x （x －3）＜10⇔－2＜x ＜5，故3≤x ＜5.

当x ＜3时，－2x ＜10⇔x ＞－5，故－5＜x ＜3.解集 {x |－5＜x ＜5}

6. 由()()2

1212122≥⇒-≥+⇒-≥+x x x x x ， ()112122x x f x x x ⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩

如右图()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 7.12

-;8. 当x ≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，－x 2<0原函数值域是[1,+∞]∪(－∞,0)。 二、经典例题做一做

【例1】设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩

⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 求f （2002）. 解：∵2002＞2000，

∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上.

【例2】判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩

的奇偶性。 解：当x>0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x 2(x －1)=f(x)；

当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x －1)= －x 2(x+1)=f(x)。因此，对任意x ∈R 都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。

提炼方法：:分段函数的奇偶性必须对x 的值分类比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。

【例3】(2007启东质检)已知函数1()|1|f x x

=-,(0)x > （1）当0,()()a b f a f b <<=且时，求证：1ab >；

（2）是否存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域、值域都是[,]a b ，若存在，则求出,a b 的值，若不存在，请说明理由；

（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时，值域为

[,](0)ma mb m ≠，求m 的取值范围．

解:（1）∵0x >，∴11,1,()11,0 1.x x f x x x

⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩

∴)(x f 在（0，1）上为减函数，在（1，＋∞）上是增函数．

由0,()()a b f a f b <<=且，可得01a b <<<， 所以有1111a b -=-，即112a b +=

．∴2ab a b =+>

1>，即1ab >

（2）不存在满足条件的实数,a b ．

若存在满足条件的实数,a b ，使得函数1()|1|y f x x

==-的定义域、值域都是[,a b ]，则0a >．由11,1,()11,0 1.x x f x x x

⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩ ①当,a b ∈（0，1）时，1()1f x x

=-在（0，1）上为减函数． 故(),().f a b f b a =⎧⎨=⎩，即11,11.b a a b

⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得a b =． 故此时不存在适合条件的实数,a b ．