奇偶性的概念
函数奇偶性的应用
三、利用奇偶性求函数解析式：
例3、若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝x·(1－x)，求函数f(x)的解析式． 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①函数f(x)是R上的奇函数； ②x>0时f(x)的解析式已知． 解答本题可将x<0的解析式转化到x>0上求解．
【解析】 由 f(x)是偶函数得 f(－x)＝f(x)，即 f(|x|)＝f(x) ∴f(1－m)＝f(|1－m|) f(m)＝f(|m|) ∴f(|1－m|)<f(|m|) 又∵f(x)在[0,1]上单调递减
∴－ －11≤ ≤1m－≤m1≤1 |1－m|>|m|
解得 0≤m<12
【解析】 (1)当 x＝0 时，由 f(－x)＝－f(x) 得 f(0)＝0；
(2)当 x<0 时，则－x>0 ∴f(－x)＝(－x)·[1－(－x)] 又∵f(－x)＝－f(x) ∴－f(x)＝(－x)·(1＋x) ∴f(x)＝x·(1＋x) ∴函数 f(x)的解析式为：
f(x)＝x0·(1(－x＝x)0)
单调性比较大小．
• 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量 对应的函数值比较大小中作用很大．对于偶函数，如果两个 自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量 的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量化归到同一个 单调区间，然后再根据单调性判断．
练习：已知函数f(x)在区间[－5,5]上是偶函数，f(x)在
（C）减函数，最小值为 6
（D）减函数，最大值为 6
函数奇偶性与最值之间的关系
若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在
奇数和偶数的概念与运算性质
奇数和偶数的概念与运算性质
偶数也叫双数：能被2整除的数；奇数指不能被2整除的整数，数学表达形式为：2k+1，奇数可以分为正奇数和负奇数。
奇数与偶数的区别：奇数不能被2整除，偶数就是能被2整除的。
在数学中，奇偶性是对于整数的一种性质，每个整数都可被分为奇数或偶数：可被2整除者是偶数，不可被2整除者是奇数。
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
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第一章 1.3.2 第1课时 奇偶性的概念
第一章 1.3.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数.知识点二函数奇偶性的定义函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上.知识点三奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质1.奇(偶)函数的定义域关于原点对称.2.重要性质(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性.(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性.1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.( )2.函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称.()3.对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数.()4.存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个.()题型一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝1x； (2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝x x －1； (4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.反思感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，－x 也一定属于定义域.其次验证f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立.跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.题型二 利用函数的奇偶性求函数值(参数)例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是定义在[2b －5,2b －3]上的奇函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( )A.13B.98C.1D.无法确定 (2)已知f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________.延伸探究1.本例(1)的条件改为“f (x )＝ax 2＋bx ＋b ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数”，求f ⎝⎛⎭⎫12的值.2.把本例(2)的条件“f (－3)＝－3”换为“f (d )＝10”，求f (－d )的值.(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )(f (x )为奇函数)或f (－x )＝f (x )(f (x )为偶函数)列式，比较系数即可求解.跟踪训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________. 答案 1解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x .又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝x 2＋x ，即ax 2＋x ＝x 2＋x ，∴a ＝1.题型三 奇、偶函数图象的应用例3 定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f (x )的图象；(2)解不等式xf (x )>0.反思感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y 轴)对称这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.跟踪训练3 已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出函数f (x )在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合.1.下列函数是偶函数的是( )A.y ＝xB.y ＝2x 2－3C.y ＝xD.y ＝x 2，x ∈(－1,1]2.函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A.y 轴对称B.直线y ＝－x 对称C.坐标原点对称D.直线y ＝x 对称 3.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )4.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝________.5.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是________.1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数.2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.一、选择题1.下列函数中奇函数的个数为( )①f (x )＝x 3；②f (x )＝x 5；③f (x )＝x ＋1x ；④f (x )＝1x 2. A.1 B.2 C.3 D.42.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A.(3，－2)B.(3,2)C.(－3，－2)D.(2，－3)3.设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数4.f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )A.f (－x )＋f (x )＝0B.f (－x )－f (x )＝－2f (x )C.f (－x )·f (x )≤0D.f (x )f (－x )＝－1 5.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A.－3B.－1C.1D.36.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A.f (x )＋|g (x )|是偶函数B.f (x )－|g (x )|是奇函数C.|f (x )|＋g (x )是偶函数D.|f (x )|－g (x )是奇函数7.若f (x )＝a －22x ＋1是定义在R 上的奇函数，则a 的值为( ) A.0 B.－1 C.1 D.2答案 C解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0即f (0)＝a －220＋1＝0，∴a ＝1.8.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为()A.－2B.2C.1D.09.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.10.已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________.11.函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c x＋5，满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________.三、解答题12.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1.13.(1)如图①，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f (3)的值.(2)如图②，给出偶函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并比较f (1)与f (3)的大小.14.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 15.函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明.。
数的奇偶性
数的奇偶性引言在数学中，我们经常会遇到奇偶性的概念。
奇数和偶数是数论中的基本概念，不仅在数学中有广泛应用，也在计算机科学等领域有重要地位。
本文将介绍数的奇偶性的定义、性质及应用。
一、奇偶性的定义1.1 奇数奇数是不能被2整除的整数。
换句话说，如果一个数能够被2整除，那么它就不是奇数，否则就是奇数。
1.2 偶数偶数是能够被2整除的整数。
换句话说，如果一个数能够被2整除，那么它就是偶数，否则就不是偶数。
二、奇偶性的性质2.1 奇数的性质•任何奇数加上另一个奇数，结果仍为偶数。
•任何奇数加上另一个偶数，结果仍为奇数。
•任何奇数乘以另一个奇数，结果仍为奇数。
•任何奇数乘以另一个偶数，结果仍为偶数。
2.2 偶数的性质•任何偶数加上另一个偶数，结果仍为偶数。
•任何偶数加上另一个奇数，结果仍为奇数。
•任何偶数乘以另一个偶数，结果仍为偶数。
•任何偶数乘以另一个奇数，结果仍为偶数。
2.3 奇数与偶数的关系•两个奇数的和是偶数。
•两个偶数的和是偶数。
•一个奇数与一个偶数的和是奇数。
三、奇偶性的应用奇偶性在很多数学问题中都有重要应用，下面介绍几个例子：3.1 判断整数的奇偶性根据奇偶性的定义，可以通过对给定的整数进行取余运算来判断其奇偶性。
如果一个整数除以2的余数为0，则该数为偶数；如果余数为1，则该数为奇数。
3.2 奇偶数的相加在解决一些算法问题中，通过对一系列数进行奇偶性的判断相加，可以得到一些有用的结果。
例如，可以通过对一组数进行奇偶性判断相加，来判断其中奇数和偶数的个数，或者判断奇数和偶数的和的差异。
3.3 奇偶排序算法奇偶排序算法是一种通过对一组数进行奇偶性判断并交换位置的排序算法。
该算法通过多次迭代，将奇数放在偶数前面或者偶数放在奇数前面，从而实现对一组数的排序。
结论奇偶性是数学中的基本概念，不仅在数学中有广泛应用，也在计算机科学等领域有重要地位。
通过对整数进行奇偶性判断，我们可以解决一系列的问题，包括排序、计算以及判断等。
七年级奇偶性分析知识点
七年级奇偶性分析知识点奇偶性是初中数学中比较重要的知识点之一，对于初学者来说，掌握奇偶性分析方法可以有效提高解题能力。
本文将针对七年级学生的奇偶性分析知识点进行讲解。
1. 奇偶性的定义奇数是指不能被2整除的整数，例如1、3、5、7等。
偶数是指能被2整除的整数，例如0、2、4、6等。
通过对奇数和偶数的定义，我们可以将所有整数分为奇数和偶数两类。
2. 奇偶性的性质(1) 奇数加偶数等于奇数，偶数加偶数等于偶数。
例如：3 + 6 = 9，9是奇数；4 + 6 = 10，10是偶数。
(2) 奇数乘偶数等于偶数，奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数。
例如：3 × 4 = 12，12是偶数；3 × 5 = 15，15是奇数；4 × 6 = 24，24是偶数。
(3) 任何数和偶数的倍数具有相同的奇偶性。
例如：5、7、9和20、22、24具有相同的奇偶性，因为它们和2的倍数具有相同的奇偶性。
(4) 任何数和一起的奇数的和与偶数的和具有相同的奇偶性。
例如：3 + 7 = 10，10是偶数；2 + 4 + 6 = 12，12是偶数。
3. 奇偶性在运算中的应用(1) 奇偶性在加减法中的应用在加减法中，我们可以通过判断加减数的奇偶性来判断其和的奇偶性。
例如：2 + 3 = 5，5是奇数；3 - 1 = 2，2是偶数。
(2) 奇偶性在乘法中的应用在乘法中，我们可以通过判断相乘数的奇偶性来判断其积的奇偶性。
例如：2 × 6 = 12，12是偶数；3 × 5 = 15，15是奇数。
(3) 奇偶性在除法中的应用在除法中，我们需要注意，偶数不能与奇数相除，但奇数可以与偶数相除。
当奇数与偶数相除时，得到的商为奇数。
例如：8 ÷ 4 = 2，2是偶数；7 ÷ 2 = 3余1，3是奇数。
4. 奇偶性在解题中的应用(1) 整除关系对于一个数x，若x能够整除2n，则x为偶数；若x不能整除2n，则x为奇数。
高三数学奇偶性知识点汇总
高三数学奇偶性知识点汇总数学作为一门科学，不仅仅是一门知识，更是一种思维方式和解决问题的工具。
在高三数学学习中，掌握奇偶性知识点是十分重要的。
奇偶性是数学中一个独特而又有趣的概念，它在各个数学领域都有广泛应用。
下面我将对高三数学中的奇偶性知识点进行汇总：一、奇偶性的定义在数学中，奇数是指不能被2整除的整数，例如1、3、5等；偶数是指能被2整除的整数，例如2、4、6等。
可以看出，奇偶性是用来描述整数的一种属性。
而对于任意整数a，有以下定理：1. 如果a是奇数，则2a-1也是奇数；2. 如果a是奇数，则2a也是偶数；3. 如果a是偶数，则2a也是偶数。
二、奇偶性与四则运算奇偶性在四则运算中起着重要作用。
我们来探讨一下几个常见运算的奇偶性规律：1. 加法：奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数等于偶数，奇数加偶数等于奇数；2. 减法：奇数减奇数等于偶数，偶数减偶数等于偶数，奇数减偶数等于奇数；3. 乘法：奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数，奇数乘偶数等于偶数；4. 除法：任何数除以2的余数为0的是偶数，余数为1的是奇数。
三、奇偶性与整数分解整数分解是数学中常见的一种思维方式，它能够帮助我们更好地理解问题并解决问题。
奇偶性与整数分解有着密切的关系，我们来看几个例子：1. 一个整数末尾是0、2、4、6、8中的任意一个，那么它一定是偶数；2. 一个整数末尾是1、3、5、7、9中的任意一个，那么它一定是奇数；3. 一个整数能够被10整除，那么它一定是偶数。
四、奇偶性与方程求解在高三数学中，求解方程是常见的题型之一。
奇偶性在方程求解中的应用也很广泛：1. 如果一个方程的左右两端都是奇数，那么这个方程没有整数解；2. 如果一个方程的左右两端都是偶数，那么这个方程可能有整数解。
五、奇偶性与函数图像函数图像也是高三数学中的重要内容。
奇偶性在函数图像中有着一定的特殊性：1. 如果一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称；2. 如果一个函数是偶函数，则它的图像关于y轴对称。
奇偶性的概念课件
B．偶函数 D．非奇非偶函数
B [∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．]
3．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______.
0 [∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＋f(x)＝0， ∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立， 所以a＝0.]
4．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f(x)＝x3；②f(x)＝x12；③f(x)＝x＋1x；④f(x)＝x2，x∈[－1,2]．
4．函数 y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则 a 等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．无法确定
C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即 a＝1.]
合作 探究 释疑 难
函数奇偶性的判断
【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x4；(2)f(x)＝x5； (3)f(x)＝x＋1x；(4)f(x)＝x12.
又函数f(x)＝
1 3
x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特
点，易得b＝0.
(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]
利用奇偶性求参数的常见类型及策略 1定义域含参数：奇、偶函数fx的定义域为[a，b]，根据定义 域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数. 2解析式含参数：根据f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比较 系数即可求解.
则为非奇非偶函数．]
5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝ x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
奇偶性的概念课件
一定是偶函数．
(2)奇函数的图象关于 原点 对称，图象关于 原点 对称的函数
一定是奇函数． 3．判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域
是否关于 原点 对称.
问题情境：美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体， 中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称的 美．这种“对称美”在数学中也有大量的反映．今天，让我 们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习．
解 (1)对于函数 f(x)＝x4，其定义域为 R，因为对定义域内的每 一个 x，都有 f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以，函数 f(x)＝x4为偶函数．
(2)对于函数 f(x)＝x5，其定义域为 R，因为对定义域内的每一个 x， 都有 f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)．所以，函数 f(x)＝x5 为奇函数． (3)函数 f(x)＝x＋1x的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，因为对定义域内 的每一个 x，都有 f(－x)＝－x＋－1x＝－x＋1x＝－f(x)， 所以，函数 f(x)＝x＋1x为奇函数． (4)函数 f(x)＝x12的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，因为对定义域内的 每一个 x，都有 f(－x)＝－1x2＝x12＝f(x)，所以，函数 f(x)＝x12为偶函数．
问题 3 你能把问题 2 中的由具体的函数值得出的规律抽象成一般形 式吗？ 答 对于 R 内任意的一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)．事实上这就是 奇函数的概念． 小结 (1)奇函数的定义：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域的 任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数．(2)如 果一个函数 f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f(x)具有 奇偶性．
函数奇偶性的知识点及例题解析
函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。
理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。
偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增） ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(x f -与)(x f 的关系。
数的奇偶性及判断方法
数的奇偶性及判断方法奇偶性是数学中一个重要的概念，用来描述一个数是偶数还是奇数。
在日常生活和数学运算中，判断一个数的奇偶性是非常常见的操作。
本文将介绍奇偶性的概念、判断奇偶性的方法以及一些相关的数学性质。
一、奇数和偶数的概念在自然数中，每个数可以被分为两类：奇数和偶数。
奇数是指不能被2整除的数，而偶数则是能够被2整除的数。
例如，3、5、7是奇数，因为它们不能被2整除；而2、4、6是偶数，因为它们可以被2整除。
二、判断数的奇偶性的方法1. 除以2法最简单直观的方法是通过除以2来判断数的奇偶性。
如果一个数除以2的余数为0，那么这个数就是偶数；如果余数为1，那么这个数就是奇数。
例如，我们来判断数10的奇偶性：10 ÷ 2 = 5，余数为0，所以10是偶数。
再例如，判断数7的奇偶性：7 ÷ 2 = 3，余数为1，所以7是奇数。
2. 观察个位数法另一个简单的方法是通过观察数的个位数来判断奇偶性。
如果一个数的个位数为0、2、4、6、8中的任意一个，那么这个数就是偶数；如果个位数为1、3、5、7、9中的任意一个，那么这个数就是奇数。
例如，观察个位数来判断数32的奇偶性：个位数为2，所以32是偶数。
再例如，判断数97的奇偶性：个位数为7，所以97是奇数。
3. 数学性质法奇数和偶数之间存在一些有趣的数学性质，通过利用这些性质也可以判断数的奇偶性。
首先，任何数的平方都是偶数。
如果一个数为奇数，那么它的平方是奇数乘奇数，结果还是奇数。
而如果一个数为偶数，那么它的平方是偶数乘偶数，结果也是偶数。
其次，任何奇数加上或者减去一个偶数的结果都是奇数。
这是因为奇数加上或者减去偶数实际上就是奇数加上或者减去0，而奇数加上或者减去0的结果还是奇数。
利用这些性质，可以通过数学运算来判断一个数的奇偶性。
三、奇偶性的应用奇偶性不仅仅是一个数学概念，也有一些实际的应用。
1. 计算机编程在计算机编程中，奇偶性经常被用来判断数的范围和性质。
奇偶性课件ppt百度文库
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和图形 的对称性来证明奇偶性的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果函数图像关 于原点对称，则函数$f(x)$是奇函数 。
几何证明方法还包括利用图形的对称 轴、对称中心等性质进行证明，如正 弦函数、余弦函数的图像和性质等。
归纳法证明方法
归纳法证明方法是利用数学归纳法来进行证明的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果对于所有自然数$n$，都有$f(-n) = -f(n)$，则函数$f(x)$是奇函数。
归纳法证明方法还包括利用数学归纳法的原理和步骤进行证 明，如利用数学归纳法证明奇偶性的等式或不等式等。
04
奇偶性的实际应用
无理数的奇偶性
定义
无理数无法表示为两个整数的比 值，因此无理数没有奇偶性。
举例
例如，π是一个无理数，无法表示 为两个整数的比值，因此没有奇 偶性。
分数的奇偶性
定义
对于分数f(x)=p(x)/q(x)，如果存在 整数m和n，使得mp(x)=nq(x)，则 称该分数为奇函数；如果存在整数m 和n，使得mp(x)=-nq(x)，则称该分 数为偶函数。
05
奇偶性的扩展知识
多项式的奇偶性
定义
如果一个多项式在定义域内对于所有 自变量都满足f(-x)=f(x)，则称该多项 式为偶函数；如果对于所有自变量都 满足f(-x)=-f(x)，则称该多项式为奇 函数。
举例
例如，多项式f(x)=x^3是奇函数，因 为f(-x)=-x^3=-f(x)；而多项式 g(x)=x^2是偶函数，因为g(-x)=(x)^2=x^2=g(x)。
奇偶性知识点五年级
奇偶性知识点五年级写一篇文章奇偶性是数学中的一个重要概念，是指一个数能否被2整除。
奇偶性的概念在我们的日常生活中也有很多应用，比如在排队、分组、数数等方面。
在学习五年级数学的过程中，我们不仅需要了解奇偶性的概念，还需要学会如何判断一个数的奇偶性。
本文将以“step by step thinking”的方式，逐步介绍奇偶性的知识点，帮助五年级的同学们更好地理解并掌握这一概念。
第一步：了解奇数和偶数的概念首先，我们需要了解奇数和偶数的定义。
奇数是指不能被2整除的数，而偶数是指能被2整除的数。
举个例子，1、3、5、7、9等都是奇数，而2、4、6、8、10等都是偶数。
通过这个简单的定义，我们可以初步理解奇偶数的区别。
第二步：学会判断一个数的奇偶性为了更好地判断一个数的奇偶性，我们需要掌握一个重要的性质：偶数加偶数等于偶数，奇数加奇数等于偶数，奇数加偶数等于奇数。
利用这个性质，我们可以通过数的末位数字来判断其奇偶性。
如果一个数的末位数字是0、2、4、6、8中的任意一个，那么这个数就是偶数；如果末位数字是1、3、5、7、9中的任意一个，那么这个数就是奇数。
第三步：练习判断奇偶性为了更好地掌握判断奇偶性的方法，我们可以通过一些练习来进行巩固。
下面是一些练习题：1.判断以下数字的奇偶性：12、35、48、67、90、101。
答案：12是偶数，35是奇数，48是偶数，67是奇数，90是偶数，101是奇数。
2.判断100以内的数字，哪些是偶数，哪些是奇数。
答案：100以内的偶数有2、4、6、8、10等，奇数有1、3、5、7、9等。
通过这些练习，我们可以更好地熟悉奇偶性的判断规则，并能够快速准确地判断一个数的奇偶性。
第四步：应用奇偶性知识奇偶性知识在我们的日常生活中也有很多应用。
比如，我们在排队的时候可以利用奇偶性来进行分组，让奇数位站一边，偶数位站另一边；在数数的时候，我们可以用奇偶性来判断一个数是不是整数等。
这些应用可以帮助我们更好地理解奇偶性，并将其应用于实际生活中。
人教版高中数学课件-奇偶性的概念
跟蹤訓練2 (1)f(x)，g(x)定義在R上，f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，試 判斷y＝f(x)g(x)，y＝f [g(x)]的奇偶性； 解 ∵f(x)，g(x)定義在R上，f(x)是奇函數，g(x)是偶函數， ∴f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是奇函數. f [g(－x)]＝f [g(x)]，y＝f [g(x)]是偶函數.
②圖象關於y軸對稱的函數是偶函數；
③奇函數的圖象一定過原點；
④偶函數的圖象一定與y軸相交；
⑤既是奇函數，又是偶函數的函數一定是f(x)＝0(x∈R).
A.4
B.3
C.2 D.0
1 23 45
答案
規律與方法
1.兩個定義：對於f(x)定義域內的任意一個x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔ f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)為奇函數；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔ f(x)為偶函數. 2.兩個性質：函數為奇函數⇔它的圖象關於原點對稱；函數為偶函數⇔ 它的圖象關於y軸對稱. 3.證明一個函數是奇函數，必須對f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x) ＝－f(x).而證明一個函數不是奇函數，只要能舉出一個反例就可以了.
解 ∵f(x)，g(x)均為奇函數，∴y＝af(x)＋bg(x)是奇函數.
設x<0，則－x>0.
由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，
∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2≤5，
∴af(－x)＋bg(－x)≤3，
∴af(x)＋bg(x)≥－3，
∴af(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1.
答案
知識點三 奇(偶)函數的定義域特徵 思考 如果一個函數f(x)的定義域是(－1,1]，那這個函數f(x)還具有奇偶 性嗎？ 答案 由函數奇偶性定義，對於定義域內任一元素x，其相反數－x必 須也在定義域內，才能進一步判斷f(－x)與f(x)的關係.而本問題中， 1∈(－1,1]，－1∉(－1,1]，f(－1)無定義，自然也談不上是否與f(1)相等 了.所以該函數既非奇函數，也非偶函數.
新人教A版必修1第一章 奇偶性的概念
【学习要求】 1．理解函数的奇偶性及其几何意义； 2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3．掌握判断函数奇偶性的方法与步骤． 【学法指导】 通过自己动手计算，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程， 从而建立奇偶函数的概念．通过函数奇偶性概念的形成过程，培 养观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想，培养从 特殊到一般的概括归纳问题的能力.
(2)由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数．
(3)函数的定义域为 R，由于 f(－x)＝0＝f(x)，所以函数为偶函数．
小结 利用定义法判断函数是不是偶函数时， 首先应看函数定义域 是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个 x，则－x 也一定 是定义域内的一个自变量．
跟踪训练 1 判断下列函数是否为偶函数． (1)f(x)＝(x＋1)(x－1)； x3－x2 (2)f(x)＝ . x－1
1．函数奇偶性的概念 (1)偶函数：如果对于函数 f(x)的定义域内 任意 一个 x，都有
f(－x)＝f(x)
，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数：如果对于函数 f(x)的定义域内 任意 一个 x，都有
f(－x)＝－f(x)
，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象 (1)偶函数的图象关于 y轴 对称， 图象关于 y轴 对称的函数 一定是偶函数． (2)奇函数的图象关于 原点 对称， 图象关于 原点 对称的函数 一定是奇函数． 3．判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域 是否关于 原点 对称.
选用偶函数定义， 得 f(3)>f(1)； 另一种方法是利用偶函数图象 的对称性．
跟踪训练 3 如图，给出了奇函数 y＝f(x)的局部图象，则 f(－4)
1 第1课时 函数奇偶性的概念(共45张PPT)
【解】 (1)因为 x∈R， 所以－x∈R， 又因为 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数. (2)因为函数 f(x)的定义域为{－1，1}， 关于原点对称，且 f(x)＝0， 所以 f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.
解：(1)由题意作出函数图象如图所示：
(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1). (3)由图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞).
巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的 函数图象. [注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称 点为(－x0，－y0)，关于 y 轴的对称点为(－x0，y0).
C.坐标原点对称
D.直线 y＝x 对称
解析：选 C.函数 f(x)＝1x－x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称.
3.(2020·武汉高一检测)函数 f(x)＝x＋x22＋a＋8 3为奇函数，则实数 a＝
(
)
A.－1
B.1
C.－32
D.32
解析：选 C.由题得 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0，即 0＋2a＋3＝0，所以 a＝
探究点 2 奇、偶函数的图象 已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.
现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数 y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数 y＝f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合.
函数奇偶性经典总结
,函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1．偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，那么函数f(x)就叫做偶函数。
2.奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任一个x，都有f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0，那么函数f(x)就叫做奇函数。
注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(-x)=±f(x)之一是否成立。
（2）在判断f(x)与f(-x)的关系时，只需验证f(-x)±f(x)=0及可来确定函数的奇偶性。
题型一判断下列函数的奇偶性。
f(-x)f(x)=±1是否成立即f(x)=x+1x⑴f(x)=x2+x，（2）f(x)=x3-x（3）f(x)=x x2+1G(x)=f(x)-f(-x)x∈R(4)(5)f(x)=x cos x(6)f(x)=x sin x(7)f(x)=2x-2-x，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。
（2）常见的奇函数有：f(x)=x，f(x)=x3，f(x)=sin x，（3）常见的奇函数有：f(x)=x2，f(x)=x，f(x)=cos x f(x)=1x（4）若f(x)、g(x)都是偶函数,那么在f(x)与g(x)的公共定义域上，f(x)+g(x)为偶函数，f (x)-g(x)为偶函数。
当g(x)≠0时，f(x)g(x)为偶函数。
（5）若f(x)，g(x)都是奇函数，那么在f(x)与g(x)的公共定义域上，f(x)+g(x)是奇函数，f (x)-g(x)是奇函数，f(x)⋅g(x)是偶函数，当g(x)≠0时，f(x)g(x)是偶函数。
( （6）常函数 f (x ) = c (c 为常数 )是偶函数， f (x ) = 0 既是偶函数又是奇函数。
大一常考的奇偶性知识点
大一常考的奇偶性知识点在数学学科中，奇偶性是一个重要的概念。
在大一的数学课程中，奇偶性常常是被考察的一个知识点。
本文将从不同角度探讨大一常考的奇偶性知识点，包括奇偶性的定义、奇偶性的运算规则、奇偶性的应用等。
一、奇偶性的定义奇偶性是用来描述一个数的特征属性的。
一个整数可以被分为奇数和偶数两类。
奇数是指不能被2整除的整数，而偶数则是可以被2整除的整数。
也就是说，一个整数是奇数时，它除以2的余数是1；而一个整数是偶数时，它除以2的余数是0。
二、奇偶性的运算规则在数学中，奇偶性有着一些特定的运算规则。
下面将介绍一些常见的规则。
1. 加法和减法：奇数与奇数相加的结果是偶数，奇数与偶数相加的结果是奇数。
奇数与任何数相减的结果都是奇数，偶数与偶数相减的结果也是偶数。
2. 乘法：奇数与奇数相乘的结果仍为奇数，奇数与偶数相乘的结果为偶数，偶数与偶数相乘的结果也为偶数。
3. 除法：奇数除以奇数的结果为奇数，奇数除以偶数的结果为奇数，偶数除以偶数的结果也为奇数。
这些运算规则可以通过简单的列举数字进行验证，有助于理解奇偶性的运算特点。
三、奇偶性的应用奇偶性在数学中有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 判断整数的奇偶性：通过判断一个数的奇偶性，我们可以迅速判断该数的特征。
这个在实际问题中很常见，比如在编程中需要判断用户输入的数是奇数还是偶数，以决定后续的操作。
2. 数字排列问题：在某些数字排列中，奇偶性常常被用来解题。
例如，给定一组数字，要求将这些数字排列成一行，使得奇数在偶数之前或者偶数在奇数之前。
通过奇偶性的判断和调整，可以得到目标结果。
3. 数字求和问题：在求一组数字的和时，奇偶性的特点可以帮助我们快速判断和的奇偶性。
例如，当一组整数中奇数的个数与偶数的个数相等时，这组数的和一定为偶数；而当奇数的个数比偶数的个数多一个时，和为奇数。
通过这些应用场景的实际运用，我们可以更好地掌握奇偶性的概念和运算规则。
函数的奇偶性
函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为奇函数；若 ，则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x ) . ② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数，0>a ），都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称，均可以得到)(x f 周期例1. 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=2211x x -⋅-; (2)f(x)=log 2(x+12+x ) (x ∈R); (3)f(x)=lg|x-2|.变式训练1：判断下列各函数的奇偶性：（1）f （x ）=（x-2）x x -+22； （2）f （x ）=2|2|)1lg(22---x x ； （3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x例2 已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). （1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果x ∈R +，f （x ）＜0,并且f(1)=-21,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.变式训练2：已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.例3 已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=-f(x) . （1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x ≤1时，f(x)=21x,求使f(x)=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.变式训练3：已知函数f(x)=x 2+|x-a|+1,a ∈R. （1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若-21≤a ≤21，求f(x)的最小值.1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ，验证f (a )±f (－a )≠0.2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y 轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.函数的奇偶性练习题1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是（ ）A ．奇函数非偶函数B ．偶函数非奇函数C ．奇函数且偶函数D ．非奇非偶函数2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ）A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,-2)⋃(2,+∞)D. (-2,2)4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数. 当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg (12+x -x );(2)f (x )＝2-x +x -2(3) f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。
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y
着哪种对称的美呢y ？
3
2
1
-2 -1 0 1 2 3 x -1 -2
O
-
x0
x0
-3
6
f(x)=|x|
1
f (x) (x 0)
x
x
6
观察
y
f(x)=x2
O
x
f(x)=x
2020/6/1
y 3
2 1
-2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
f(x)=|x|
y
O
-
x0
x0
1
f (x) (x 0)
f(-x)=f(x)
偶函数
图象关于y轴对称
2020/6/1
10
10
偶函数的定义与性质
思考
函数 f (x) x2，x∈[-1,2]是偶函数吗？
不是偶函数 偶函数的定义域有什么特征？ 偶函数的定义域关于原点对称
2020/6/1
11
11
探究
问题1：函数 f (x) x 与函数 f (x) 1图象有什么共同特征吗？
O
x
18
18
小试牛刀
例1、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象 如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象.
y
解:
2020/6/1
O
x
19
19
判断或证明函数奇偶性的基本步骤
一看 看定义域
二找 找关系
三判断 下结论
是否关于原点对称
f(x)与f(-x)
奇或偶
注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于 y轴对称或者关于原点对称。
x
y 0x y 0x
2020/6/1
16
16
小试牛刀
例1、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象 如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象.
y
2020/6/1
O
x
17
17
小试牛刀
例1、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象 如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象.
y
解:
2020/6/1
图象关于原点对称 图象关于y轴对称
(3)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x) 具有奇偶性. (4)函数的奇偶性是函数的整体性质； (5)既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.
2020/6/1
15
15
小试牛刀
将下面的函数图像分成两类 y Ox
y 0x
y 0x
y
0
x
y
3
2 1
-2 -1 0 -1
12
3x
-2
-3
f (x) x
y
O
-
x0
x0
x
f (x) 1 x
2020/6/1
12
12
探究
问题2：相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
x … -3 -2 -1
f (x) x … -3 -2 -1
f (x) 1 x
…
-1 3
-1 2
-1
y
3
2 1
-2 -1 0 -1 -2 -3
§1.3.2 奇偶性
第一课时 奇偶性的概念
高一(1)姬文利
观察
从生活中这些图片中你 感受到了什么?
2020/6/1
2
2
观察
2020/6/1
3
3
观察
从生活中这些图片中你 感受到了什么?
2020/6/1
4
4
观察
2020/6/1
5
5
观察
y
f(x)=x2 f(x)=x
2020/6/1
O
x
这些函数图像体现
是增函数，则y=f(x)在（0，＋∞）上是（ B）
A. 增函数
B. 减函数
C. 不是单调函数
D. 单调性不确定
2020/6/1
22
22
内容总结
2020/6/1
23
23
感谢观看
f(-x)= - f(x) 奇函数
图象关于原点对称
2020/6/1
14
14
对奇函数、偶函数定义的说明:
(1)函数具有奇偶性：定义域关于原点对称。对于定义域内 的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量
[-b,-a] o [a ,b] x
(2)若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立. 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立.
1 2 3x
2020/6/1
0 1 2 3… 0 1 2 3…
11
- 1 2 3…
y
O
-
x0
x0
x
13
f(-x)= -x = -f(x) 1
f(-x)= = -f(x) x
f(-x)= -f(x)
13
奇函数的定义与性质
一般地，如果对于 函数f(x)的定义域内任 意一个x，都有f(－x) =-f(x)，那么函数f(x)就 叫做奇函数．
x
x
7
7
探究
作出函数 f(x)=x2 图象，再观察表，你看出了什么？
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
f (x) x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
f(1) = 1 f(2) = 4 f(a) = a2
(-a, a2)
(a, a2)
f(-1) = 1 f(-2) = 4 f(-a) = a2
2020/6/1
20
20
小试牛刀
1.判断函数奇偶性
(1) f(x)= x
(3) f(x)=2x4+3x2
(2) f(x)=x3+2x (4) f(x)=0
2020/6/1
21
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小试牛刀
2.如果定义在区间［3－a,5]上的函数f(x)为奇函数， 则a=_____
3 .己知函数y=f(x)是偶函数，且在（－∞，0）上
f(-x) __=__ f(x)
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探究
y
PP(-x,f(x))
-x O
P(-x,f(-x))
P(x,f(x))
x
结论：当自变量x在
定义域内任取一对
相反数时，相应的两 个函数值相同； 即：f(-x)=f(x)
f(-x)=f(x)
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偶函数的定义与性质
一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫 做偶函数．