《数列极限的运算法则》教案(优质课)

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《数列极限》说课稿（附教案）

《数列极限》说课稿一、教材分析1．教材的地位和作用（1）在数学中的地位和作用众所周知，对数列极限这个概念的理解是学习导数所必备的知识.另外,极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变,在重点考察思维方法的高考命题中是最好的命题素材之一.（2）在全章中的地位和作用《数列的极限》安排在高中数学第三册（选修2）第二章、第二节，是数列极限的起始课。

这部分内容在课本第73页至76页。

是全章内容的起点，重点。

2．本节内容的课标要求从数列的变化趋势来理解极限的概念；能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；体会极限思想。

3．教学重点、难点、关键的确定教学重点：数列极限的概念教学难点：如何从变化趋势的角度, 来正确理解数列极限的概念教学关键：教学中启发学生在分析问题时抓住问题的本质（即定义）确立依据：这样确定重难点及教学关键，主要是基于课标要求和对本节课全面分析。

二、教学目标分析根据我对教材的分析以及对新课程的教学理念的认识，确定教学目标如下：（1）知识目标：使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；（2）能力目标：1、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析，使学生理解数列极限的定义，学会数学语言的表述，培养学生观察、分析、概括的能力。

2、通过分层练习，使学生的基础知识得到进一步的巩固，进而学会数列极限的分析方法，体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点和“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程。

（3）情感态度与价值观目标：1、通过介绍我国古代思想家庄周和数学家刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感。

2、通过介绍生活中的极限运动和极限精神，激发提高学生的学习积极性，优化学生的思维品质。

确立依据：基于对教材、教学大纲和教学内容的分析，制定相应的教学目标。

数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展．三、教学分析1、对学习者特征分析本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解和高三学生学习表现而做出的。

数列极限的运算法则教案1

数列极限的运算法则教案1教学内容：1．数列极限的四则运算法则；2．运用四则运算法则求数列的极限．教学目标：1．使学生理解数列极限的四则运算法则，并能运用极限的四则运算法则求数列的极限；2．通过数列极限的求解中转化的思想和分类讨论的思想的运用，培养学生思维的灵活性、科学性和批判性；3．通过数列极限的求解，帮助学生进一步认识极限的思想和方法，培养学生有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证观点．教学过程一、课题引入给出如下几个数列，请学生求出它们的极限． (1) 12，23，34，…，nn 1+，… ； (2) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+452322n n n ； (3) {}n n n 22+- ．学生运用数列极限的定义，一般都能求出数列(1)的极限为1．但对(2)，(3)的极限的求解，感到束手无策，求知的欲望驱使学生迫切地希望获得求解的方略（这正是教师有意识地设置(2)，(3)两题所希望出现的局面）．此时，教师趁热打铁，顺水推舟，指出通常求极限的问题比较复杂，仅凭定义来确定极限是不方便的，因此我们需要研究数列极的运算方法，并以此引出课题───数列极限的四则运算法则．考虑到不必证明，故随即开门见山地给出数列极限的四则运算法则．二、知识讲解上述课题引入的过程也是给出数列极限的四则运算法则的过程，设疑的目的是为了激发学生的求知欲．数列极限的四则运算法则如下：如果 A a n n =∞→lim ，B b n n =∞→lim ；即么∞→n lim （n a n b ⋅）=A ·B ； ∞→n lim BA b a n n =（B ≠0）．特别地，如果C 是常数，那么，∞→n lim （C · a n ）=∞→n lim C · ∞→n lim a n = C ·A ．对数列极限的四则运算法则，我们作如下说明：1．四则运算法则的每一个式子中都有两种运算，即加法运算和极限运算；减法运算和极限运算；乘法运算和极限运算；除法运算和极限运算．四则运算法则的实质是每个式子中两种运算先后顺序的可交换性．例如，第一个式子表明，先求a n 与b n 的和，再求这个和的极限，与先分别求a n 、b n 的极限，再求这两个极限的和实质上是等效的，等等．2．数列｛a n ｝、｛b n ｝的极限必须存在，才能用此法则．3．加、减、乘的运算法则可推广到任意有限个数列（强调仅仅是有限个数列）的情况．4．对于商的极限的情形，作为分母的数列的极限不能为零．三、例题分析作为数列极限四则运算法则的应用，并兼顾方法和技能的培养，可选配如下例题：例1．已知∞→n lim a n =5，∞→n lim b n =3，求∞→n lim （3a n －4b n ）．通过本例的求解训练，可使学生熟练极限的四则运算法则．事实上，原式=∞→n lim 3 a n －∞→n lim 4b n =3∞→n lim a n －4∞→n lim b n =3×5－4×3=3．例2．求：(1)∞→n lim （5＋n1）； (2) ∞→n lim 23122++n n ．本例是数列极限四则运算的简单应用．对于(1)，可直接使用法则；对于(2)，由于分子、分母的极限均不存在，因此不能直接运用商的极限法则，而需要作适当的变形，使之具备运算法则的条件．为此，将分子分母同除以n 2即可．解：(1) 原式=∞→n lim 5＋∞→n lim n1=5＋0=5(2) 原式=∞→n lim 222312nn n ++ =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→2223lim 12lim n n n n n =222lim 3lim 1lim 2lim nn n n n n n ∞→∞→∞→∞→++ 0300++= 通过本例(2)中的求解，可培养学生逻辑推理能力，以及思维的严密性和科学性．例3．求：(1) ∞→n lim 452322+-+n n n ；(2)∞→n lim ()n n n 22+- 分析：这是课题引入中的(2)、(3)两小题，它们显然都不具备四则运算法则的条件．对于(1)，可引导学生仿例2 (2) 的策略，请学生自行求解．对于(2)，应先进行分子有理化，再将分子分母同除以n 2然后再求极限．解：(1)原式=∞→n lim 2241523nn n +-+=∞→n lim 224lim 1lim 5lim 2lim 3lim nn n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→+-+ =01003+-+ 3=求解本题一个常见的错误是：原式=14lim lim 5lim 2lim 3lim 22=∞∞=+-+∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n ．这个解法错误有三处，一是错用了“商”的极限运算法则（事实上分子、分母的极限都不存在）；二是错用了“和”的极限运算法则（事实上，除了5和4以外，3n 2，2n ，n 2的极限都不存在）；三是错误地进行了约分运算（事实上，“∞”不是一个确定的数，因而不能进行通常的约分运算）．(2) 原式=∞→n lim nn n n222++- =∞→n lim n 2112++- =()n n n n 21lim 1lim 2lim ++-∞→∞→∞→=112+- =－1．求解本题一个常见的错误是：原式=∞→n lim n －∞→n lim n n 22+=∞－∞=0．这个解法错误有二处同，一是由于n 与n n 22+的极限都不存在，因此直接运用差的极限运算法则是错误的；二是由于“∞”不是一个确定的数，因此“∞－∞=0”是没有根据的．例4．求下列极限（1）∞→n lim （+-+-171422n n (1)132-++n n ）；（2）∞→n lim [ n （1－21）（1－31）（1－41）…（1－11+n ）] ．分析：对于（1），应先求和，然后再求极限；对于（2），应先求积，然后再求极限．解：（1）原式=∞→n lim()113742-++⋅⋅⋅++n n =∞→n lim ()()12532-+n n n =∞→n lim 225322-+n n n=∞→n lim 22253nn -+ 23= 求解本题一个常见的错误是：原式=∞→n lim142-n ＋∞→n lim 172-n ＋…＋∞→n lim 1132-+n n =0＋0＋…＋0＋…=0．这一解法的错误在于未注意运算法则仅对有限个有极限．．．．．．的数列而言的．而本题中当n →∞时，实际上是无穷多个数列了，因此不能运用此法则．（2）原式=∞→n lim （433221⋅⋅⋅n (1)+n n ） =∞→n lim 1+n n =∞→n lim n 111+=1．通过例3、例4的求解训练，可进一步熟练数列极限的四则运算法则，培养了学生观察分析能力和运算推理能力，以及思维的灵活性、科学性和批判性，同是也训练了学生求数列极限的技能和技巧．四、习题1．已知∞→n lim a n =3，∞→n lim b n =5，求下列极限：（1）∞→n lim （2a n －5b n ＋3）；（2） ∞→n lim nn n n b a b a +-． 2．求下列极限：（1）∞→n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n 4142；（2）∞→n lim 32341132nn n n --+-；（3）∞→n lim()11--+n n ；（4）∞→n lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++32323232321n n n n n ．参考答案1．（1）－16．（2）－41． 2．（1）1．（2）－21．（3）0．提示：利用分子有理化．（4）31．提示：先求和，注意12＋22＋…＋n 2=61 n （n ＋1）（2 n +1）．五、小结或总结本节课主要介绍了数列极限的四则运算法则以及数列极限的求法、四则运算法则的实质是加、减、乘、除运算与极限运算的可交换性．运用四则运算法则求数列的极限时，必须注意法则所要求的条件．六、引申与提高设f (n )和φ (n )都是n 的多项式，且f (n )=a k n k ＋a k －1 n k －1＋…＋a 1 n ＋a 0（a k ≠0），φ (n )=b l n l ＋b l －1n l －1＋…＋b 1n ＋b 0（b l ≠0）（k ，N ∈l ），则∞→n lim ()()n n f ϕ 这一结论可仿本课中例2（2）及例3（1）的求解方法而获得．利用这一结论，极易解决本单元教学指导库中测试题一（3）中的问题．事实上，由题意知，只有416-=a ， a =－23．故选D ．七、思考题设 ∞→n lim a n =A ，∞→n lim b n =B ，利用极限定义，证明：∞→n lim （a n ＋b n ）= A ＋B ．证明：任给ε＞0，由于∞→n lim a n =A ，故对ε1=2ε，存在N 1， =l k b a = 0 不存在（即f （n ）与φ（n ）最高次项系数之比）（k=l ），（k ＜l ），（k ＞l ）.当n ＞N 1时，A a n -＜ε1=2ε恒成立．取N 1与N 2中的较大者为N ，则当n ＞N 时， ()()B A b a n n +-+ ()()B b A a n n -+-= ≤B b A a n n -+- ＜ε1＋ε 2 =2ε＋2ε =ε∴ ∞→n lim （a n ＋b n ）= A ＋B ．。

数列的极限性质及运算PPT学习教案

1 由定义, 对=1, 存在自然数N,
设xna (n),
当n>N时, 有| xna| <1,
故 | xn| | xna| +| a|<1+| a|. 取M=max{| x1| , | x2| ,…, | xN| , 1+| a|}
则对n=1, 2, …,有|xn|M
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定理2的逆命题不成立, 即：有界数列未必收敛。
个量若其极限不为0, 则不是无穷小量.
(2)由于 lim C C(常数). n
所以, 除0
外的任何常量(常数列)都不是无穷小量. (3) 常数列 xn = 0 是无穷小量.
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定理1. (极限与无穷小的关系定理)
lim
n
xn
a
xn
a
n ,其中n
0(n
时).
证: ""
设 lim n
xn
如xn=(1)n有界, 但由定义和几何意义知(1)n是发散的.
看图
( )
( )x
1 0 1
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定理3.设 lim n
xn
a, lim n
yn
b, 且a
b,
则正整数N, 当n N时,有xn yn.
推论1.
(保号性定理)
若 lim n
xn
a
, 而a>0
(a<0). 则正整数N, 当n>N时, 有xn>0 (xn<0)
(n 1)(a b)an
移项, 有 an[a (n 1)(a b)] bn1
即
an[(n 1)b na)] bn1
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大学微课数列的极限教案

课时：1课时教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握数列极限的定义、性质和运算法则，能够运用数列极限求解相关问题。

2. 过程与方法：通过微课教学，培养学生自主学习、分析问题和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。

教学内容：1. 数列极限的定义2. 数列极限的性质3. 数列极限的运算法则4. 数列极限的应用教学过程：一、导入1. 利用生活中的实例，引导学生思考数列极限的概念。

2. 提出问题：如何判断一个数列的极限存在？如何求解数列的极限？二、新课讲授1. 数列极限的定义- 通过动画演示，展示数列极限的定义过程。

- 强调数列极限存在的条件：数列中所有项无限趋近于同一个数。

- 举例说明数列极限的概念。

2. 数列极限的性质- 介绍数列极限的性质，如：有界性、单调性、收敛性等。

- 通过实例讲解数列极限的性质，让学生理解并掌握。

3. 数列极限的运算法则- 介绍数列极限的运算法则，如：四则运算法则、夹逼准则等。

- 通过实例讲解数列极限的运算法则，让学生掌握并运用。

4. 数列极限的应用- 举例说明数列极限在数学问题中的应用，如：求解极限、证明数列收敛等。

- 引导学生思考数列极限在实际问题中的应用价值。

三、课堂练习1. 给学生布置数列极限的相关练习题，要求学生在规定时间内完成。

2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。

四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质和运算法则。

2. 引导学生总结数列极限在实际问题中的应用。

五、课后作业1. 布置数列极限的相关练习题，巩固所学知识。

2. 要求学生在课后复习数列极限的定义、性质和运算法则，为下一节课做好准备。

教学反思：1. 本节课通过微课教学，使学生更好地理解数列极限的概念和性质。

2. 在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考、解决问题。

3. 课后作业的设计有助于巩固所学知识，提高学生的数学能力。

数列极限教案

数列极限（2000，11，20）复习目的：1.理解数列极限的概念，会用“”定义证明简单数列的极限。

2.掌握三个最基本的极限和数列极限的运算法则的运用。

3.理解无穷数列各项和的概念。

4.培养学生的推理论证能力、运算能力，提高学生分析问题，解决问题的能力。

教学过程：问题1：根据你的理解，数列极限的定义是如何描述的？数列极限的定义：对于数列{a n},如果存在一个常数A，无论事先指定多么小的正数，都能在数列中找到一项a N,使得这一项后的所有项与A的差的绝对值小于，（即当n>N时，<恒成立），则常数A叫数列{a n}的极限。

记。

——“”定义。

问题2：“”定义中，的任意性起什么作用？，N的存在性又起什么作用？正数的任意性和N的存在性是定义的两个基本特征。

（1）的任意性刻划了当时，a n趋近于A的无限性，即趋近程度的无限性（要有多近有多近）。

（2）N的存在性证明了这一无限趋近的可能性。

问题3：“”定义中的N的值是不是唯一？问题4：“”定义中，<的几何意义是什么？因为<即A-<a n<A+,所以无论区间（A-，A+）多么小，当n>N 时，a n对应的点都在区间（A-，A+）内。

问题5：利用“”定义来证明数列极限的关键是什么？关键是对任意的要找到满足条件的N。

（条件是当n>N时，<恒成立）。

问题6：无穷常数数列有无极限？数列呢？数列（<1）呢？三个最基本的极限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0 （<1）。

问题7：若=A，=B，则（）=？，（）=？，=？，=？。

数列极限的运算法则：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

即如果两个数列都有极限，那么这两个数列对应项的和，差，积，商组成新数列的极限分别等于它们极限的和，差，积，商。

（各项作为除数的数列的极限不能为零)问题8：（）=+++=0对吗？运算法则中的，只能推广到有限个的情形。

问题9：无穷数列各项和s是任何定义的？s=,其中为无穷数列的前n项和，特别地，对无穷等比数列（<1），s=。

初中数学教案数列的极限与等比数列求和

初中数学教案数列的极限与等比数列求和数列是数学中常见的概念之一，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的极限及等比数列的求和是初中数学中重要的内容，本教案旨在通过清晰的讲解和具体例题的实践，帮助学生掌握数列的极限求解和等比数列求和的方法。

一、数列的极限1. 引入当一个数列的前几项趋近于某个常数时，我们说该数列有极限。

用数学的语言描述，数列{an}有极限L，表示为lim(n→∞) an = L。

在数列中逐渐增大或逐渐减小的数，就是数列的极限。

2. 数列的收敛和发散数列的极限分为收敛和发散两种情况。

若数列{an}有极限L，且满足当n趋近于无穷大时，数列的差值an - L趋近于0，则称数列收敛于L。

反之，若数列{an}无极限或数列的差值an - L无限趋近于无穷大，则称数列发散。

3. 数列极限的性质- 数列极限唯一性：若数列{an}的极限存在，则该极限唯一。

- 收敛数列的有界性：若数列{an}收敛，则数列的所有项有界。

- 收敛数列的保号性：若数列{an}收敛于L，且an > 0，则L > 0。

4. 数列极限的求解方法数列的极限求解方法根据不同的数列类型可以有不同的应用技巧。

以下是几种常见的数列类型及其求解方法：- 等差数列：对于等差数列{an}，若公差为d，则数列的极限为d。

- 等比数列：对于等比数列{an}，若公比为q (|q| < 1)，则数列的极限为0。

- 斐波那契数列：对于斐波那契数列{an}，极限为黄金分割比(1 + √5) / 2。

二、等比数列求和1. 引入等比数列是一种数列，其每一项与前一项的比相等，称为公比。

形式化地表示为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

2. 等比数列求和公式等比数列的求和公式可以通过以下步骤推导得出：令S_n表示等比数列{an}的前n项和，则有：S_n = a1 + a1q + a1q^2 + ... + a1q^(n-1)qS_n = a1q + a1q^2 + ... + a1q^(n-1) + a1q^n两式相减得到：S_n - qS_n = a1 - a1q^n化简得：S_n(1 - q) = a1(1 - q^n)因此，等比数列的前n项和公式为：S_n = a1(1 - q^n) / (1 - q)三、实例分析例如，已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 0.5，求该数列的前5项和S_5。

数列极限--教案

周次
第周，第次课
编写时间
章节名称
数列及其极限
授课方式
课堂讲授（√），实践课（）
教学时数
2
时间分配
授课要点
教
学
重
点
和
难
点
教
学
内
容
一、数列极限的概念
数列就是由数组成的序列。
1）这个序列中的每个数都编了号。
2）序列中有无限多个成员。
一般写成：
缩写为
例1
例21 -1 1 -1 …
例3
例43 9 27 …
可发现：
定理6若，，则，，。
重要结论：
约20分钟
授
课
要
点
教
学
内
容
例6 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
约30分钟
本次课程采用的教学手段（启发式、讨论式、研究式等教学方法及教学仪器设备）
启发式、讨论式、讲授式
思考题
或
作业
参考文献
1．同济大学应用数学教研室编：《高等数学》，高等教育出版社，2002年，北京
2．刘长文、杨逢建主编：《高等数学》，中国农业出版社，2004年，北京
3．张爱国、杨逢建主编：《高等数学学习方法指导》，机械工业出版社，1997年，北京
数列(1)有个趋势，数值越来越小，无限接近0
数列(2)变化趋势不确定
数列(3)无限接近2
数列（4）变化趋势越来越大
约15分钟
教
学
内
容
定义：对于数列{ }，如果当n无限增大时，通项无限接近于某个确定的常数A，则称A为数列{ }的极限，或称数列{ }收敛于A，记为 =A或 A（n ），如果这样的常数A不存在，则数列{ }无极限或发散

【数学课件】数列极限的四则运算(2)

（3）当项数无限时，要先求和（或积）再求极限
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
优质课评选
课题：数列极限的四则运算
复习回顾
函数极限的四则运算法则：
如果 lim f (x) a, lim g(x) b,那么
xx0
xx0
lim [ f (x) g(x)] a b lim [ f (x) g(x)] a b
xx0
xx0
lim f (x) a (b 0) xx0 g(x) b
注：求 x 的函数极限问题转化为求 n 的数
列极限问题
例2
求
lim
n
1
2
3 n2
n
1 23 n
lim
n
n2
lim
n
1 n2m
n
n n2
000
0
lim 1 2 3 n
n
n2
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim n 1 1 n 2n 2
思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱

数列极限——课堂教学设计

［摘要］高等数学课程是高等学校工科、理科专业教学计划中的一门十分重要的公共基础理论课.对于应用型本科学生来说，通过课程的学习，能够提升抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，能够逐步学会提出问题、分析问题和解决问题，提高运算能力和自学能力，为进一步学习后继课程和终身学习打下良好的基础.高等数学课程内容多，难度大，又具有抽象的特点，学生学习起来普遍反映困难，在教学上增加案例，减少烦琐理论证明，以便降低学生学习难度.高等数学课程中的基本概念、定理定义以及实际案例有着很多有趣的故事和寓意，蕴含了很多思政原理和社会主义核心价值观，按照学校应用型本科的定位，授课中应体现出应用性的特点，本着实用性的原则，将案例引入教学，既可避免抽象烦琐的理论证明，又能通过对案例的深度剖析，体现出实用性，同时引入思政元素，使得学生既能学到专业知识，又能真切体会到社会主义核心价值观、辩证唯物主义等思政元素，通过“课程思政”教学和思想教育，进一步使学科内容更具有深度，学科课堂更具有温度，教学效果更具有广度.数列极限位于高数数学上册第一章的第二节，对于刚步入大学的学生来说，比较难理解，在高等数学的教学中，结合自己的理解和体会对数列极限的课堂进行了设计.［关键词］数列；一般项；收敛［中图分类号］O151.2［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2022）03-0046-03数列极限———课堂教学设计①尹红然1，徐涛2（1.天津天狮学院数理教学部，天津301700；2.河北工程大学，河北邯郸056038）极限的概念在高等数学中有着重要的作用和地位，《庄子·天下篇》中“一尺之椎，日取其半，万世不竭”和《九章算术》中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”是对极限思想的深刻论述，这种思想比欧洲早一千多年.用我国古代的数学成就来激发学生的爱国情怀，了解祖先的智慧，对学生进行爱国主义思想教育，增强民族自信心，传承传统文化和我国古代科学家的科学精神.关于数列极限的概念，根据近几年的教学理解和体会，并参阅相关的教材与文献，拟按照“数列的定义—数列极限的定义—收敛数列的充分条件—数列极限的运算法则—收敛数列的性质—教学反思”这一思路对该内容进行教学设计与安排.一、数列的定义让学生回忆高中的等差数列和等比数列，接着给出数列的定义，数列的定义：定义域为正整数集N +的函数叫做数列，记为{x n }，其中第n 项叫做数列的一般项或通项.数列的例子：{n n +1}：12，23，34，…，n n +1…；{12n }：12，14，18，...，12n ，...；{n +（-1）n-1n }：2，12，43，...，n +（-1）n -1n ，. (1)上式一般项依次为n n +1，12n ，n +（-1）n -1n.几何上：数列{x n }可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x 1，x 2，x 3，…，x n ，….二、数列极限的定义极限的概念最初是在运动观点的基础上，凭借几何直观产生的直觉，用自然语言来定性描述的.通俗定义：设有数列{x n }和常数a ，如果当n 无限增大时，x n 无限地接近于a ，则称常数a 是数列{x n }的极限，或称数列{x n }收敛于a .记为lim n →∞x a =a .如果数列没有极限，就称数列是发散的.①基金项目：国家自然科学基金资助项目（11801129）；天津天狮学院2020年度校级资助项目“基于深度学习的火焰图像识别研究”（K20008）。

高中数学备课教案数列与数列的极限

高中数学备课教案数列与数列的极限高中数学备课教案：数列与数列的极限引言：数列与数列的极限是高中数学课程中的重要内容，对于学生的数学思维能力和问题解决能力的培养具有重要意义。

本节课的教学目标是让学生通过理论学习和实例探究，掌握数列概念及其性质，并能够运用相应的方法计算数列的极限值。

【知识与技能】：1. 掌握数列的定义和基本性质；2. 了解数列的收敛与发散的概念；3. 理解数列极限的计算方法和应用。

【过程与方法】：通过理论讲解、实例分析和解题训练相结合的方式进行教学，培养学生观察、分析和解决问题的能力。

【教学步骤】：一、数列的定义及基本性质（15分钟）1. 数列的概念及常见表示方法；2. 数列的有界性和单调性；3. 数列极限的定义及其解释；4. 举例说明数列的性质。

二、数列的收敛与发散（15分钟）1. 数列的收敛与发散的概念；2. 收敛数列与发散数列的判断方法；3. 面对实际问题，如何分析数列的收敛性。

三、数列极限的计算方法（20分钟）1. 使用数列的极限基本性质计算极限；2. 利用夹逼定理求解数列极限；3. 利用递推公式计算数列的极限。

四、数列极限的应用（20分钟）1. 利用数列极限解决实际问题；2. 数列极限在几何和物理问题中的应用；3. 通过实例讲解数列极限应用的步骤和方法。

五、综合训练与展示（30分钟）1. 组织学生进行数列极限的解题训练；2. 学生自主发表解题思路和方法；3. 教师进行点评和总结。

【教学重点与难点】：重点：数列的定义和基本性质、数列极限的计算方法和应用。

难点：如何应用数列极限解决实际问题。

【教学反思】：通过本节课的教学，学生对于数列与数列的极限有了更深入的理解。

在教学过程中，我注意引导学生分析问题，培养其独立思考和解决问题的能力。

在练习环节，我注重学生能够独立运用所学知识解答问题，并对学生的答案进行点评和指导，加强他们的思维能力和实际应用能力。

通过课堂讨论和展示，学生之间的互动增加，激发了学生的学习热情和参与度。

极限的四则运算教案

极限的四则运算教案教学目标1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想．教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件．教学过程设计（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个常用极限：例1 求下列极限：师：（1）中的式子如何转化才能求出极限．生：可以分子、分母同除以n3，就能够求出极限．师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？生：结果应该一样．师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限？（二）先求和再求极限例2 求下列极限：由学生自己先做，教师巡视．判断正误．生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n→∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？生：用等比数列的求和公式先求出分母的和．=12．师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件．例3求下列极限：师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策．生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．例4设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S n，师：等比数列的前n项和S n怎样表示？师：看来此题要分情况讨论了．师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化．同（三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限师：利用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：例5计算：题目不难，可由学生自己做．师：（1）中的数列有什么特点？师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么？（1）所给数列是等比数列；（2）公比的绝对值小于1；（四）利用极限的概念求数的取值范围师：（1）中a在一个等式中，如何求出它的值．生：只要得到一个含有a的方程就可以求出来了．师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程？生：先求极限．师：（2）中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？|q|＜1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围．解得0＜m＜4．师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型？生：主要有三种类型：（1）利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限；（2）先求数列的前n项和，再求数列的极限；（3）求公比绝对值小于1的无穷等比数列的极限．师：求数列极限应注意的问题是什么？生甲：要注意公式使用的条件．生乙：要注意有限项和与无限项和的区别与联系．上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充．（五）布置作业1．填空题：2．选择题：则x的取值范围是[ ]．的值是[ ]．A．2 B．-2C．1 D．-1作业答案或提示（7）a．2．选择题：（2）由于所给两个极限存在，所以a n与b n的极限必存在，得方程以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用．课堂教学设计说明1．掌握常用方法，深化学生思维．数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？对常用方法只停留在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行深入探讨，内化为自身的认知结构，然后把这种思维方式加以运用．例1的设计就是以此为目的的．2．展示典型错误，培养严谨思维．求数列极限的基本方法，学生并不难掌握，因此，例2采取让学生自己做的方式，有针对性地展示出此类题目在解题中容易出现的典型错误，让学生从正确与谬误的对比中，辨明是非、正误，强化求极限时应注意的条件，培养思维的严谨性．这种做法，会给学生留下难忘的印象，收到较好的教学效果．3．贯穿数学思想，提高解题能力．本课从始至终贯穿着转化的思想．而例4中的分类讨论思想，例6中的方程思想的应用，都对问题的解决，起到了决定性的作用，使复杂问题条理化，隐藏的问题明朗化．因此，只有培养学生良好的思维品质，在教学过程中不断渗透和深化数学思想方法，才能达到系统概括知识内容，沟通各类知识的纵横联系，提高解题能力的要求．。

数列极限的计算与应用备课教案

数列极限的计算与应用备课教案一、教学目标通过本节课的学习，使学生掌握数列极限的计算方法，了解数列极限在实际问题中的应用，并能够灵活运用所学知识解决相关问题。

二、教学重点1. 掌握数列极限的计算方法；2. 理解数列极限在实际问题中的应用。

三、教学内容与步骤1. 引入：可以通过一个生活案例来引入数列极限的概念。

比如，小明每天写一篇日记，第一天写了1页，第二天写了2页，以后每天都比前一天多写1页。

现在问，小明会写多久能写满一本100页的日记呢？通过这个问题，引导学生思考数列极限的概念。

2. 讲解数列的极限计算方法：（1）数列极限的定义：如果对于任意给定的正数ε（epsilon），都存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε，则称数列{an}的极限为a。

（2）数列收敛与发散：- 如果数列有极限，称为收敛数列；- 如果数列没有极限，称为发散数列。

（3）数列极限计算方法：- 常数数列的极限等于该常数；- 数列{an} = 1/n的极限为0；- 数列{an} = n的极限为+∞；- 数列{an} = (-1)^n的极限不存在。

3. 练习与讨论：结合具体的数列，进行练习与讨论，让学生熟悉应用数列极限计算方法的过程。

比如，给出数列{an} = n/(n+1)，让学生计算其极限并进行讨论。

4. 数列极限的应用：介绍数列极限在实际问题中的应用。

比如，某公司每年销售金额增长10%，第一年销售额为100万元，问第n年的销售额会达到多少万元？通过这个问题，引导学生运用数列极限的概念解决实际问题。

5. 拓展与应用：让学生通过查阅资料或思考，找到更多与数列极限相关的实际问题，并尝试解决。

四、教学方法1. 归纳法：通过归纳总结数列极限的计算方法，加深学生对于概念的理解。

2. 控状结合法：引入生活案例、练习题与实际问题结合，使学生主动参与思考与讨论，提高学习的实际效果。

五、教学评价1. 准确性评价：学生应能正确运用数列极限的计算方法，解决相关的练习题和实际问题。

高一数学第三章教案---数列极限的运算

第十九教时教材：数列极限的运算目的：继续学习数列极限的运算，要求学生能熟练地解决具体问题。

过程：一、复习数列极限的运算法则例一、先求极限12122lim --+∞→n n n n ，再用ε—N 定义证明。

解：21121111212222lim lim =--+=--+∞→∞→nn n n n n n n 任给)12(212|21121|,0222--=---+>n n n n n ε 则n nn n n n n 122242)12(212222=<-<-- )224,22,1,1(2222n n n n n >-∴>>>时当Θ令]1[11εεε=><N n n取21121|21121|,2222lim =--+∴<---+>∞→n n n n n n N n n 恒成立时当ε 二、先求和，后求极限：例二、求极限1．)23741(2222lim nn n n n n -++++∞→ΛΛ 解：原式=212)13(2lim=-∞→n n n n （指出：原式=0+0+0+……+0=0 是错误的） 2．)3()1(32212lim-+++⋅+⋅∞→n n n n n ΛΛ解：原式=31)3(6462)3(2)1(6)12)(1(3232lim lim =-++=-++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n 3．)]211()211)(211)(211[(1242lim -++++∞→n n ΛΛ解：111111122222222211211211)21(1211)211)(211(211---------=--=--+=+2n nn n n n n n Θ2211211]211211211211211211211211[22222222lim lim 1232=--=--⨯⨯--⨯--⨯--=∴∞→∞→-n n n n n ΛΛ原式 4．已知数列{a n }中)2)(1(1++=n n n a n ，求n n S lim ∞→解：])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n Θ41])2)(1(121[21]})2)(1(1)1(1[)431321()321211{(21lim lim =++-=++-+++⋅-⋅+⋅-⋅=∴∞→∞→n n n n n n n n ΛΛ原式三、先共扼变形，再求极限：例三、求极限1．)1(lim n n n n -+∞→解：原式=nn n nn n n n n n n n ++=++++-+∞→∞→11)1)(1(limlim211111lim=++=∞→nn 2．nn n n n -+-+∞→21lim解：原式=)1)(2)(2()2)(1)(1(limn n n n n n n n n n n n n ++++-+++++-+∞→21)1(22lim=++++=∞→n n n n n3．))1(321321(lim -++++-++++∞→n n n ΛΛΛΛ22)11(21)11(2112)1(2)1()2)1(2)1((limlim lim =-++=-++=--+=∞→∞→∞→nn n n n n nn n n n n n n 解：原式四、作业：1．求数列Λ,56,45,34,23的极限为 12．=+++⋅+⋅+⋅∞→])1(1431321211[lim n n n ΛΛ 1 3．=++++∞→)2141211(lim n n ΛΛ 2 4．=+-+++++++∞→)123171411(2222lim n n n n n n ΛΛ23 5．=+---++∞→11112323lim n n n n n 9 6．..72.0=113 7．用数列极限的定义证明：311322lim =+∞→n n n 8．已知数列ΛΛ,25,,515,410,35+n n 和ΛΛ,2,,53,42,31+n n(1)求证：这两个数列的极限分别是5和1；(2)作一个无穷数列，使它的各项为这两个数列的对应项的和，验证所得数列的极限等于这两个数列的极限的和。

《极限极限的四则运算》优秀教案

分类讨论求极限例已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为q p ,，其中q p >，且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1lim-∞→nnn S S（1997年全国高考试题，理科难度033）解： ()()111111--+--=q q b p p a S n n n ()()()()()()()()111111111111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S 分两种情况讨论；（1）当1>p 时，∵ 0>>q p ，故10<<pq， ∴1lim-∞→n nn S S()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------1111111111111111111lim n n n n n n n n n np p q p b p q a p p p q p b p q a p ()()()()()()01011010111111⨯-+--⨯-+--⋅=p b q a p b q a p()()p q a q a p =--⋅=1111 （2）当1<p 时，∵ 10<<<p q ， ∴ 1lim-∞→n nn S S()()()()()()()()11111111lim111111--+----+--=--∞→n n n n n q p b p q a q p b p q a ()()()()()()()()1011011011011111--+---⨯-+-⨯-=p b q a p b q a ()()()()111111111=--------=p b q a p b q a说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．自变量趋向无穷时函数的极限例求下列极限：（1）42242115lim x x x x x --+-∞→（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x 分析：第（1）题中，当∞→x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“∞∞”型，变形的一般方法是分子、分母同除以的最高次幂，再应用极限的运算法则．第（2）题中，当∞→x 时，分式1223-x x 与122+x x 都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”型，变形的一般方法是先通分，变成“∞∞”型或“00”型，再求极限．解：（1）211151lim 2115lim 24424224--+-=--+-∞→∞→xx x x x x x x x x .212000012lim 1lim 1lim 1lim 5lim 1lim 2442-=--+-=--+-=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x xx（2）)12)(12()12()12(lim 1212lim 2223223+---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→∞→x x x x x x x x x x x x )12)(12(11lim)12)(12(lim2223xx xx x xx x x +-+=+-+=∞→∞→ 41)02)(02(01)12(lim )12(lim )11(lim 2=+-+=+-+=∞→∞→∞→xx x x x x说明：“∞∞”型的式子求极限类似于数列极限的求法．无穷减无穷型极限求解例求极限：（1）)11(lim 22x x x x x +--++-∞→（2）)11(lim 22x x x x x +--+++∞→分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限．解：（1）原式22112limxx x x xx +-+++=-∞→222112limxx x x x x +-+++-=-∞→.11111112lim22-=+-+++-=-∞→xx xx x（2）原式22112limxx x x xx +-+++=+∞→.11111112lim22=+-+++=+∞→xx x x x说明：当0<x 时，2x x ≠，因此211111121122222→+-+++≠+-+++x xx xxx x x x．利用运算法则求极限例计算下列极限：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+-+++++++∞→123171411lim 2222n n n n n n ；（2）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++--∞→n n n 3112719131lim 1 （1992年全国高考试题，文科难度063）解：（1）原式()11321lim 2+-=∞→n n n n()232213lim 123lim 222=+-=+-=∞→∞→nn n n n n n （2）原式⎪⎭⎫⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→31131131lim nn []41014131141lim =-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→nn说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的：（1）原式123lim 14lim 11lim 222+-+++++=∞→∞→∞→n n n n n n n（2）原式()4131131027********lim 271lim 91lim 31lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++-=-+++-=-∞→∞→∞→∞→ n n n n n n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例设*N p ∈，求nn p n 1111lim1-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→．分析：把111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．解：111221111)1()1(1111++++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p p p p p nC n C n C n pp p p p p p nC C n C n C nn )1()1(111111131221111++++++++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴11111lim 111+==-⎪⎭⎫⎝⎛+∴++∞→p C nn p p n或：逆用等比数列求和公式：原式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→pn n n n 1111111lim 211111+=+++=+p p个说明：要注意111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n .)1(lim n n n n -+∞→∞→n ∞⋅0∞∞n n n n )1(lim -+∞→.211111lim 1lim)1()1)(1(lim=++=++=++++-+=∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n n n ∞⋅0n n n++1∞∞n 161)2(44lim 2=+++∞→n n n n m 的取值范围．分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．解：16142161lim )2(44lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛++=++∞→+∞→nn n n nn m m 于是142<+m ，即26,424<<-<+<-m m ．说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由16142161lim =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→n n m 可知，nm ⎪⎭⎫ ⎝⎛+42的极限必为0，而0→nq 的充要条件是1<q ，于是解不等式142<+m ．零比零型的极限例求xx x 11lim10-+→．分析：这是一个00型的极限，显然当0→x 时，直接从函数xx 1110-+分子、分母中约去有困难，但是1110-+x 当0→x 时也趋近于0，此时化为1)1(1010-+x ，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设101x y +=，则110-=y x ．解：设101x y +=，则110-=y x ，于是，当0→x 时，1→y ．原式10111lim 11lim891101=++++=--=→→y y y y y y y说明：本题采用的换元法是把0→x 化为01→-y ，这是一种变量代换．灵活地运用这种代换，可以解决。

江苏省江阴高级中学高中数学教案数列极限的运算法则

数列极限的运算法则教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。

教学重点：运用数列极限的运算法则求极限教学难点：数列极限法则的运用教学过程：一、复习引入：函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0B x g A x f x x x x ==→→则[]=±→)()(lim 0x g x f x x ＿＿＿[]=→)().(lim 0x g x f x x ＿＿＿＿，=→)()(limx g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠）二、新授课：数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似：如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。

例如，若{}na ，{}nb ，{}nc 有极限，则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞→∞→∞→lim .lim ).(lim二.例题：例1.已知,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞→例2.求下列极限：（1）)45(lim nn +∞→；（2）2)11(lim -∞→n n例3.求下列有限：（1）1312lim++∞→n n n （2）1lim 2-∞→n nn分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

例4.求下列极限：（1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n （2）)39312421(lim 11--∞→++++++++n n n说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。