正余弦定理判断三角形形状
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正余弦定理判断三角形形状
1．判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系 入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化 边为角或化角为边，边角统一． 三角形形状的判断依据： (1)等腰三角形：a＝b 或 A＝B； (2)直角三角形：b2＋c2＝a2 或 A＝90°； (3)钝角三角形：a2>b2＋c2，A>90°； (4)锐角三角形：若 a 为最大边，且满足 a2<b2＋ c2 或 A 为最大角，且 A<90°.
例1
在△ABC中，角A、B、C所对 的边为a、b、c,已知 acosB=bcosA，试判断三角形 的形状
例2
在△ABC 中，已知 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， 若ba＝ccoossBA，试确定△ABC 的形状．
【解析】由ba＝ccoossBA，得 acosA＝bcosB， 所以 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 所以 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 所以 c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，
所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， 所以 a＝b 或 a2＋b2＝c2， 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
Βιβλιοθήκη Baidu
【点评】 依据已知条件中的边角关系判断三角形形 状时，主要有如下两条途径：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系， 通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三 角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角 函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系， 从而判断三角形的形状．此时要注意应用 A＋B＋C＝π 这个结论．
1．判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系 入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化 边为角或化角为边，边角统一． 三角形形状的判断依据： (1)等腰三角形：a＝b 或 A＝B； (2)直角三角形：b2＋c2＝a2 或 A＝90°； (3)钝角三角形：a2>b2＋c2，A>90°； (4)锐角三角形：若 a 为最大边，且满足 a2<b2＋ c2 或 A 为最大角，且 A<90°.
例1
在△ABC中，角A、B、C所对 的边为a、b、c,已知 acosB=bcosA，试判断三角形 的形状
例2
在△ABC 中，已知 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， 若ba＝ccoossBA，试确定△ABC 的形状．
【解析】由ba＝ccoossBA，得 acosA＝bcosB， 所以 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 所以 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 所以 c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，
所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， 所以 a＝b 或 a2＋b2＝c2， 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
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【点评】 依据已知条件中的边角关系判断三角形形 状时，主要有如下两条途径：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系， 通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三 角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角 函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系， 从而判断三角形的形状．此时要注意应用 A＋B＋C＝π 这个结论．