2014-2015年四川省乐山外国语学校高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)
四川省乐山外国语学校高三数学上学期期中试卷文(含解析)
四川省乐山外国语学校2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一．选择题：每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=（）A．{3} B．{0，1，2} C．{1，2} D．{0，1，2，3}2．（5分）若复数z满足z（2﹣i）=5i（i为虚数单位），则z为（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．5．（5分）某算法程序框图如图所示，若a=，b=3，c=log23，则x=（）A．B．a C．b D．c6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n7．（5分）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的（）A．倍B．10倍C．10倍D．ln倍8．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣9．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+310．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上．）11．（5分）tan660°的值为．12．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2﹣a5=0，则=．13．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为cm314．（5分）如图，直角△POB中，∠PBO=90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧等分△POB的面积，且∠AOB=α弧度，则=．15．（5分）已知f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1和g（x）=x2﹣2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，则下列命题：①函数f（x）的图象关于直线x=0对称；②关于x的方程f（x）﹣k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈（0，1）；③关于x的方程f（x）=g（x）恰有四个不相等实数根的充要条件是m∈[0，1]；④若∃x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[﹣1，1]，f（x1）＜g（x2）成立，则m∈（﹣1，+∞）；其中正确的例题有（写出所有正确例题的序号）．三.解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．17．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+c（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）设a∈R，函数满足．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，求f （A）的取值范围．19．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E是DC的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P点位置，且PC=PB．（Ⅰ）若F是BP的中点，求证：CF∥面APE；（Ⅱ）求证：面APE⊥面ABCE；（Ⅲ）求三棱锥C﹣PBE的体积．20．（13分）已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．四川省乐山外国语学校2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=（）A．{3} B．{0，1，2} C．{1，2} D．{0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集，找出解集中的自然数解确定出B，求出A与B的交集即可．解答：解：由B中的不等式解得：﹣2≤x≤2，即B={x|﹣2≤x≤2，x∈N}={0，1，2}，∵A={0，1，2，3}，∴A∩B={0，1，2}，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义解本题的关键．2．（5分）若复数z满足z（2﹣i）=5i（i为虚数单位），则z为（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后直接利用复数的除法运算化简求值．解答：解：∵复数z满足z（2﹣i）=5i，∴z====﹣1+2i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，是基础的计算题．3．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用充要条件判断A的正误；命题的否定判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；否命题的关系判断D的正误；解答：解：对于A，“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件，显然不正确，如果函数的定义域中没有0，函数可以是奇函数例如，y=，∴A不正确；对于B，若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B不正确；对于C，若p∧q为假命题，则p，q一假即假命，∴C不正确；对于D，“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，满足否命题的形式，∴D正确；故选：D．点评：本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，充要条件的判定，基本知识的考查．4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（2﹣3）⊥，可得（2﹣3）•=0，解出即可．解答：解：=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=2（2k﹣3）﹣6=0，解得k=3．故选：C．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．5．（5分）某算法程序框图如图所示，若a=，b=3，c=log23，则x=（）A．B．a C．b D．c考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，比较a、b、c三数的大小，可得答案．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，∵a3=＞3=b3＞0，∴a＞b；又a==log2=log2＜log2=log23=c．∴输出的结果为c．故选：D．点评：本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：由已知条件，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能求出结果．解答：解：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β或α与β相交，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误．故选：B．点评：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．（5分）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的（）A．倍B．10倍C．10倍D．ln倍考点：对数函数图象与性质的综合应用；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题设中的定义，将音量值代入η=10lg，计算出声音强度I1与声音强度I2的值，再计算出即可求出倍数解答：解：由题意，令70=lg，解得，I1=I0×1070，令60=lg，解得，I2=I0×1060，所以=10故选：C．点评：本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键8．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x ﹣），利用正弦函数的对称性即可求得答案．解答：解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题．9．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．解答：解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．点评：本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．10．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上．）11．（5分）tan660°的值为﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式求得所给式子的值．解答：解：，故答案为：﹣．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．12．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2﹣a5=0，则=5．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等比数列的通项公式将已知等式8a2﹣a5=0用首项和公比表示，求出公比；再利用等比数列的前n项和定义及通项公式表示，将公比的值代入其中求出值．解答：解：∵8a2﹣a5=0，∴，q=2，==1+q2=5故答案为：5．点评：解决等比数列、等差数列两个特殊数列的有关问题，一般利用通项及前n项和公式得到关于基本量的方程，利用基本量法来解决．在等比数列有关于和的问题，依据和的定义，能避免对公比是否为1进行讨论．13．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体是一圆柱挖去一个半球，且圆柱的高为3，圆柱与球的半径都是1，代入体积公式求出圆柱的体积与半球的体积相减．解答：解：由三视图知几何体是一圆柱挖去一个半球，且圆柱的高为3，圆柱与球的半径都是1，∴几何体的体积V=π×12×3﹣π×13=．故答案是：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．14．（5分）如图，直角△POB中，∠PBO=90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧等分△POB的面积，且∠AOB=α弧度，则=．考点：扇形面积公式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tanα与α的关系，即可得出结论．解答：解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为α r2，直角三角形POB中，PB=rtanα，△POB的面积为r×rtanα，由题意得r×rtanα=2×α r2，∴tanα=2α，∴=．故答案为：．点评：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（5分）已知f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1和g（x）=x2﹣2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，则下列命题：①函数f（x）的图象关于直线x=0对称；②关于x的方程f（x）﹣k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈（0，1）；③关于x的方程f（x）=g（x）恰有四个不相等实数根的充要条件是m∈[0，1]；④若∃x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[﹣1，1]，f（x1）＜g（x2）成立，则m∈（﹣1，+∞）；其中正确的例题有①④（写出所有正确例题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：画出函数f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1的图象，利用图象法可判断①和②，分析指定区间上f（x）与g（x）的值域，进而将存在性问题转化为最值问题后，可判断③和④解答：解：因为f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x=0对称，故①正确；作出f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1如图所示，可知，关于x的方程f（x）﹣k=0恰有四个不相等实数根的充要条件为k∈（﹣1，1），故②错误；在同一坐标系中作出f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1和y=x2﹣2|x|的图象，由图象可知当时方程f（x）=g（x）恰有四个不相等实数根，故③错；由题可知，只需当x∈[﹣1，1]时f（x）min＜g（x）max即可．易得f（x）min=﹣1，g（x）max=m，所以m∈（﹣1，+∞），所以④正确．故答案为：①④．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件的判断，函数的最值以及函数的图象的应用，是中档题．三.解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为π﹣（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值；（2）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinC的值代入sinB=cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，则S△ABC=acsinB=×××=．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+c（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：（1）利用递推关系判断出数列{a n}为等差数列，将a1，a2，a5用公差表示，据此三项成等比数列列出方程，求出c．（2）写出b n，据其特点，利用裂项的方法求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a n+1=a n+c∴a n+1﹣a n=c∴数列{a n}是以a1=1为首项，以c为公差的等差数列a2=1+c，a5=1+4c又a1，a2，a5成公比不为1的等比数列∴（1+c）2=1+4c解得c=2或c=0（舍）（2）由（1）知，a n=2n﹣1∴∴=点评：求数列的前n项和时，应该先求出通项，根据通项的特点，选择合适的求和方法．18．（12分）设a∈R，函数满足．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，求f （A）的取值范围．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据三角函数的公式将f（x）进行化简，然后求函数的单调递减区间；（Ⅱ）根据余弦定理将条件进行化简，即可得到f（A）的取值范围．解答：解：（I），由得：，∴．∴，由得：，k∈Z∴f（x）的单调递减区间为：．（II）∵，由余弦定理得：，即2acosB﹣ccosB=bcosC，由正弦定理得：2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，即，∴∵△ABC锐角三角形，∴，，∴的取值范围为（1，2]．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及正弦定理和余弦定理的应用，考查学生的计算能力．19．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E是DC的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P点位置，且PC=PB．（Ⅰ）若F是BP的中点，求证：CF∥面APE；（Ⅱ）求证：面APE⊥面ABCE；（Ⅲ）求三棱锥C﹣PBE的体积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取AB中点G，连接GF，GC，证明平面APE∥平面FGC，可得CF∥面APE；（Ⅱ）取AE中点O，连接PO，取BC的中点H，连OH，PH，证明PO⊥面ABCE，即可证明面APE⊥面ABCE；（Ⅲ）利用等体积转化，即可求三棱锥C﹣PBE的体积．解答：（Ⅰ）证明：取AB中点G，连接GF，GC，∵EC∥AG，EC=AG，∴四边形AECG为平行四边形，∴AE∥GC，在△ABP中，GF∥AP，又GF∩GC=G，AE∩AP=A，∴平面APE∥平面FGC∵FC⊂平面FGC，∴CF∥面APE．…（4分）（Ⅱ）证明：取AE中点O，连接PO，则PA=PE，OA=OE，∴PO⊥AE，取BC的中点H，连OH，PH，∴OH∥AB，∴OH⊥BC，∵PB=PC，∴BC⊥PH，∴BC⊥面POH，∴BC⊥PO，又BC与AE相交，可得PO⊥面ABCE，所以，面APE⊥面ABCE．…（9分）（Ⅲ）解：．…（13分）点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b的（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t＜0，然后结合基本不等式式即可求解（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2．法一：问题化为对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|，结合函数的性质可求解答：解：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．得解得：（3分）（2）由（1），所以，令x+1=t，t＜0，则=因为x＜﹣1，所以t＜0，所以，当，所以，（8分）即AP的最小值是，此时，点P的坐标是．（9分）（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，①当x=1时，或m＞2，②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，∴，，结合0＜m＜1或m＞2，∴m＞2对于对x∈（1，2]恒成立，等价于令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，，t∈（0，1]递减，∴，∴m≤4，∴0＜m＜1或2＜m≤4，综上：2＜m≤4（16分）法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，依题意g（2）≤m，，舍去；②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，考虑到，再分两种情形：（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，依题意，即m≤4，∴2＜m≤4；（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，故g（2）≤m，∴2（m﹣2）≤m，∴m≤4，舍去．综上可得，2＜m≤4（16分）点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，及基本不等式在求解函数的值域中的应用，函数的恒成立问题与函数最值求解中的综合应用．21．（14分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．考点：数学归纳法；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；分类讨论．分析：（1）通过函数的导数，利用导数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出b，c即可．（2）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；（3）由（1）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论．解法二：利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．解答：解：（1）∵，∴∴f（1）=a+a﹣1+c=2a﹣1+c．又∵点（1，f（1））在切线y=x﹣1上，∴2a﹣1+c=0⇒c=1﹣2a，∴．（2）∵，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min≥0，又∵，而当时，．1°当即时，g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴；2°当即时，g'（x）=0时；且时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0；则①，又∵与①矛盾，不符题意，故舍．∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．（3）证明：由（2）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，令x依次取…时，则有，，…，由同向不等式可加性可得，即，也即，也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．解法二：①当n=1时左边=1，右边=ln2+＜1，不等式成立；②假设n=k时，不等式成立，就是1+++…+＞ln（k+1）+（k≥1）．那么1+++…++＞ln（k+1）++=ln（k+1）+．由（2）知：当时，有f（x）≥lnx （x≥1）令有f（x）=（x≥1）令x=得∴∴1+++…++＞这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．根据（1）和（2），可知不等式对任何n∈N*都成立．点评：本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想．。
2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
高二上学期期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．把命题“012,0200<+-∈∃x x R x ”的否定写在横线上__________． 2的倾斜角是 ．3．已知一个球的表面积为264cm π，则这个球的体积为4． “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一个）5．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则实数a ＝________. 6．若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 7．已知圆锥的底面半径是3，高为4，这个圆锥的侧面积是________． 8．经过点(2,1)A 且到原点的距离等于2的直线方程是____________.9．设,αβ为使互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ．10． 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .11． 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均相等，C B BC 11与的交点为D ，则AD 与平面C C BB11所成角的大小是_______．12．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是13．如图是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为 。
(完整word版)乐山市2014年中考数学试题及答案,推荐文档
②有放回的连续摸 10次，则一定摸出 2 号球两次；
③有放回的连续摸 4 次，则摸出四球标号数字之和可能是 20 ．
其中正确的序号是
.
（ 2）若从袋中不放回地摸两次，求两球标号数字是一奇一偶的概率．
21．如图 9 ，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ADC 90 ， B 30 ， CE AB ，垂足 为点 E ，若 AD 1， AB 2 3 ，求 CE 的长．
AC
D
F
B
E
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图8
四、本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分，其中第 22 题为选做题．
20．在一个不透明的口袋里装有标号为 1， 2 ， 3 ， 4 ， 5的五个小球，除数字不同外，小球没
有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球．
（ 1）下列说法：
①摸一次，摸出 1号球和摸出 5 号球的概率相同；
6．若不等式 ax 2 0 的解集为 x 2 ，则方程 ay 2 0 的解为（ ）
Ay 1
By 1
Cy 2
Dy 2
7．如图 3 ， ABC 的顶点 A 、 B 、 C 在边长为 1的正方形网格的格点上， BD AC 于点 D ，
则 BD 的长为（ ）
A
A2 5
B3 5
3
4
D
C4 5
D3 5
B
C
5
5
图3
原点．
则（ 1） d(O , P0 ) ＝ ▲ ； （ 2）若 P(a, 3) 到直线 y x 1的直角距离为 6 ，则 a
▲
．
三、本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分 .
0
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高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
四川省乐山市2014年中考数学真题试题(解析版)
四川省乐山市2014年中考数学真题试题（解析版）一、选择题（每小题3分，共30分）1.-2的绝对值是（）A． 2 B．-2 C．12D．122.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°若射线OB与射线OA垂直，∴∠AOB=90°，∠1=60°，OB是北偏西60°，故选B．【考点】方向角．3.苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（）A．（a+b）元 B．（3a+2b）元 C．（2a+3b）元 D． 5（a+b）元【考点】列代数式．4.如图所示的立体图形，它的正视图是（）【考点】简单组合体的三视图．5.如表是10支不同型号签字笔的相关信息，则这10支签字笔的平均价格是（）A． 1.4元 B．1.5元 C． 1.6元 D． 1.7元【考点】加权平均数．6.若不等式ax-2＞0的解集为x＜-2，则关于y的方程ay+2=0的解为（）A． y=-1 B． y=1 C． y=-2 D． y=2【考点】1.解一元一次不等式；2.一元一次方程的解．7.如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ．则CD 的长为（ ）A ．3 B ．4 C ．5 D ． 58.反比例函数y=kx与一次函数y=kx-k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）【考点】1.反比例函数的图象；2.一次函数的图象．9.在△ABC 中，AB=AC=5，sinB=45，⊙O 过点B 、C 两点，且⊙O 半径OA 的值（ ） A ． 3或5 B ． 5 C ． 4或5 D ． 4 【答案】A. 【解析】 试题分析：如图，作AD ⊥BC 于D ， ∵AB=AC=5， ∴AD 垂直平分BC ， ∴点O 在直线AD 上，故选A．【考点】1.垂径定理；2.等腰三角形的性质；3.勾股定理；4.解直角三角形．10.如图，点P（-1，1）在双曲线上，过点P的直线l1与坐标轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO=1．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D．则四边形ABCD的面积最小值为（）A． 10 B． 8 C．6 D．不确定【答案】B.【解析】试题分析：设反比例函数的解析式为y=kx，∵点P（-1，1）在反比例函数y=kx的图象上，∴k=xy=-1．∴反比例函数的解析式为y=-1x．设直线l1的解析式为y=mx+n，当x=0时，y=n，则点B的坐标为（0，n），OB=n．当y=0时，x=-n m ，则点A 的坐标为（-n m ，0），OA=n m．设直线l2的解析式为y=bx+c ， 则ab+c=-1a． ∴c=-1a -ab ． ∴y=bx-1a-ab ．∵直线y=bx-1a -ab 与双曲线y=-1x 只有一个交点，∴方程bx-1a -ab=-1x 即bx2-（1a +ab ）x+1=0有两个相等的实根．∴[-（1a +ab ）]2-4b=（1a +ab ）2-4b=（1a -ab ）2=0．∴1a =ab ． ∴b=21a，c=-2a ．∴直线l2的解析式为y=21ax-2a ．∴当x=0时，y=-2a ，则点D 的坐标为（0，-2a）；当y=0时，x=2a ，则点C 的坐标为（2a ，0）． ∴AC=2a-（-2）=2a+2，BD=2-（-2a ）=2+2a．故选B．【考点】反比例函数综合题.二、填空题（每小题3分，共18分）11.当分式12x有意义时，x的取值范围为【考点】分式有意义的条件.12.期末考试后，小红将本班50名学生的数学成绩进行分类统计，得到如图的扇形统计图，则优生人数为．13.若a=2，a-2b=3，则2a2-4ab的值为14.如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B=40°，则∠A= 度．∴∠ACB=2∠BCE=80°，∴∠A=180°-∠B-∠ACB=60°.【考点】线段垂直平分线的性质．15.如图．在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2．则S1-S2= ．【答案】154-9．【解析】【考点】整式的加减．16.对于平面直角坐标系中任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称|x1-x2|+|y1-y2|为P1、P2两点的直角距离，记作：d（P1，P2）．若P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=kx+b上的一动点，称d （P0，Q）的最小值为P0到直线y=kx+b的直角距离．令P0（2，-3）．O为坐标原点．则：（1）d（O，P0）= ；（2）若P（a，-3）到直线y=x+1的直角距离为6，则a= ．【答案】(1)5;(2)2或-10.【解析】试题分析：（1）根据题中所给出的两点的直角距离公式即可得出结论；（2）先根据题意得出关于x的式子，再由绝对值的几何意义即可得出结论．【考点】1.一次函数图象上点的坐标特征；2.点的坐标．三、每小题9分，共27分17.（2π-2014）0-2cos30°-（12）-1．【考点】实数的混合运算.18.解方程：311xx x-=-．【考点】解分式方程．19.如图，在△ABC中，AB=AC，四边形ADEF是菱形，求证：BE=CE．【答案】证明见解析.【解析】∴BE=CE．【考点】1.菱形的性质；2.全等三角形的判定与性质．四、每小题10分，共30分20.在一个不透明的口袋里有标号为1，2，3，4，5的五个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球．（1）下列说法：①摸一次，摸出一号球和摸出5号球的概率相同；②有放回的连续摸10次，则一定摸出2号球两次；③有放回的连续摸4次，则摸出四个球标号数字之和可能是20．其中正确的序号是．（2）若从袋中不放回地摸两次，求两球标号数字是一奇一偶的概率．【答案】（1）①③；（2）35.【解析】试题分析：（1）①1号与5号球摸出概率相同，正确；②不一定摸出2号球，错误；③5+5+5+5=20，可能，所有等可能的情况有20种，其中数字是一奇一偶的情况有12种，则P（一奇一偶）=123 205．【考点】列表法与树状图法．21.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2求CE的长．【答案】2.【解析】在△ABH中，∠B=30°，，∴cos30°=BH AB，即=3，∴BC=BH+BC=4，∵CE⊥AB，∴CE=12BC=2．【考点】1.直角梯形；2.矩形的判定与性质；3.解直角三角形．22.已知a为大于2的整数，若关于x的不等式202x ax-≤⎧⎨≥⎩无解．（1）求a的值；（2）化简并求222(1)a aa a---+的值．∵原式=945 33 -=．【考点】1.解一元一次不等式组；2.分式的化简求值．23.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．【答案】(1)6；（2）10.【解析】试题分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形BCN相似，由相似得比例，得到DN：∴12DNBN，即BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，∴x+1=2（x-1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=1：2，∴S△MND：S△CND=1：4，∵△DCN的面积为2，∴△MND面积为0.5，∴△MCD面积为2.5，∵S平行四边形ABCD=AD•h，S△MCD=MD•h=AD•h，∴S平行四边形ABCD=4S△MCD=10．【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质．五、每小题10分，共20分24.某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下：甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表：乙印刷社的收费方式为：500张以内（含500张），按每张0.20元收费；超过500张部分，按每张0.10元收费．（1）根据表中规律，写出甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式；（2）若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社个印多少张？（3）活动结束后，市民反应良好，兴趣小组决定再加印800张宣传单，若在甲、乙印刷社中选一家，兴趣小组应选择哪家印刷社比较划算？∴y=0.15x．∴甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为y=0.15x；（2）设在甲印刷社印刷a张，则在乙印刷社印刷（400-a）张，由题意，得【考点】一次函数的应用．25.如图，一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F与双曲线，y=-4x（x＜0）交于点P（-1，n），且F是PE的中点．（1）求直线l的解析式；（2）若直线x=a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），问a为何值时，PA=PB？试题解析：由P（-1，n）在y=-4x，得n=4，∴P（-1，4），∵F为PE中点，∴OF=12n=2，∴F（0，2），又∵P，F在y=kx+b上，∴42k bb-+=⎧⎨=⎩，∵PA=PB，∴点D为AB的中点，又由题意知A点的纵坐标为-2a+2，B点的纵坐标为-4a，D点的纵坐标为4，∴得方程-2a+2-4a=4×2，解得a1=-2，a2=-1（舍去）．∴当a=-2时，PA=PB．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．六、26题12分，27题13分，共25分26.如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与直线O1、O2相交于点M，且tan∠AM01（1）求⊙O2的半径；（2）求△ADB内切圆的面积；（3）在直线l上是否存在点P，使△MO2P相似于△MDB？若存在，求出PO2的长；若不存在，请说明理由．【答案】(2) （π；(3) 8或【解析】试题分析：（1）连结O1A、O2B，设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R，根据两圆相切的性质得到直线O1O2过点D，则MO2=MD+O2+R，再根据切线的性质由直线l与两圆分别相切于点A、B得到O1A ⊥AB，O2B⊥AB，似比可计算出O2P=8．试题解析：（1）连结O1A、O2B，如图，设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R，∵⊙O1与⊙O2外切与点D，∴直线O1O2过点D，∴MO2=MD+O2+R，∵直线l与两圆分别相切于点A、B，∴O1A⊥AB，O2B⊥AB，∵tan∠AM01=3，∴∠AM01=30°，∴∠O1AD=∠O1DA，∴∠O1AD=12∠MO1A=30°，∴∠DAB=60°，∴∠ADB=180°-30°-60°=90°，综上所述，满足条件的O2P的长为8或．【考点】圆的综合题．27.如图，抛物线y=x2-2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，-m）作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．（1）若m=2，求点A和点C的坐标；（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（4，0），C（3，-3）．（2）m=32．（3）不存在点E，理由见解析.【解析】试题分析：（1）令y=0即可求得A点坐标，令x=1求得B点，根据对称轴的性质即可求得C点的坐标．（2）分别求出PA、PC、AC的平方，根据勾股定理的逆定理即可求得m的值，（3）先求出PC的斜率，根据互为垂直的两直线的斜率互为负倒数求出直线PE的斜率，然后求出解析式，分别求出与x 轴的交点和与y 轴的交点，从而求出PE 的长，然后判断PE 2是否等于PC 2即可．试题解析：（1）若m=2，抛物线y=x 2-2mx=x 2-4x ，∴对称轴x=2，∵△ACP 为直角三角形，∴PA 2=PC 2+AC 2，即5m 2-4m+1=5m 2-10m+5+2-4m+4m 2，整理得：2m 2-5m+6=0，解得：m=32，m=1（舍去）， 故m=32． （3）∵P （1，-m ），C （2m-1，1-2m ），设直线PC 的解析式为y=kx+b ，∴(21)12k b m m k b m+=-⎧⎨-+=-⎩，解得：k=-12， ∵PE ⊥PC ，∴直线PE 的斜率=2，设直线PE 为y=2x+b ′，∴-m=2+b ′，解得b ′=-2-m ，【考点】二次函数综合题.。
四川省乐山市高二上学期期中数学试卷
四川省乐山市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）对于x∈R，不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则a的取值范围是（）A . （﹣2，2）B . （﹣2，2]C . （﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）D . （﹣∞，2]2. （2分） (2018高二上·嘉兴期中) 已知三棱锥，记二面角的平面角是，直线与平面所成的角是，直线与所成的角是，则（）A .B .C .D .3. （2分）下列命题正确的是（）A . 若a＞b，则B . 若a＞b，c＞d，则ac＞bdC . 若＞，则a＞bD . 若a＞b，ab＞0，则4. （2分）直三棱柱ABC－A1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是（）A . AB1∥平面BDC1B . A1C⊥平面BDC1C . 直三棱柱的体积V＝4D . 直三棱柱的外接球的表面积为5. （2分）点 E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH是（）A . 菱形B . 梯形C . 正方形D . 平行四边形6. （2分）在长方体ABCD—A1B1C1D1中，有（）条棱所在的直线与直线AA1是异面直线且互相垂直。
A . 2B . 4C . 6D . 87. （2分） (2016高一下·宁波期中) 如图，三棱锥P﹣ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∠BPC=θ，记函数f（x）=tanθ，则下列表述正确的是（）A . f（x）是关于x的增函数B . f（x）是关于x的减函数C . f（x）关于x先递增后递减D . 关于x先递减后递增8. （2分） (2018高三上·德州期末) 设函数，则使得成立的的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高三下·武邑期中) 对任意的x，y∈（0，+∞），不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，则正实数a的最大值是（）A .B .C . eD . 2e10. （2分）下列命题正确的是（）A . 若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B . 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C . 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D . 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行11. （2分） (2019高二上·开封期中) 已知，，则的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分）已知直线与平面平行，P是直线上的一点，平面内的动点B满足：PB与直线成,那么B 点轨迹是（）.A . 双曲线B . 椭圆C . 抛物线D . 两直线二、填空题： (共6题；共7分)13. （1分） (2017高一下·承德期末) 已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的体积为2 ，则球O的表面积为________．14. （1分） (2017高一上·延安期末) 已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为________．15. （1分）(2017·天津) 若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．16. （1分）(2016·天津模拟) 一个几何体的三视图如图所示，其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是________．17. （1分） (2018高一上·长春月考) 不等式的的解集为，则实数的取值范围为________;18. （2分） (2016高二上·金华期中) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________；表面积为________．三、解答题： (共6题；共45分)19. （10分）(2017·河北模拟) 已知，．（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．20. （5分） (2016高二上·包头期中) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点 D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．21. （10分）(2017·闵行模拟) 如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系式，并求y的取值范围．22. （5分） (2017高一上·漳州期末) 已知函数fk（x）=ax+ka﹣x ，（k∈Z，a＞0且a≠1）．（Ⅰ）若f1（1）=3，求f1（）的值；（Ⅱ）若fk（x）为定义在R上的奇函数，且a＞1，是否存在实数λ，使得fk（cos2x）+fk（2λsinx﹣5）＜0对任意x∈[0， ]恒成立，若存在，请求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．23. （5分）如图所示，已知AB⊥平面BCD，M，N分别是AC，AD的中点，BC⊥CD．（1）求证：MN∥平面BCD；（2）求证：平面ABC⊥平面ACD．24. （10分） (2018高二下·海安月考) 如图，在多面体ABC—DEF中，若AB//DE ， BC//EF ．（1）求证：平面ABC//平面DEF；（2）已知是二面角C-AD-E的平面角．求证：平面ABC 平面DABE．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共6题；共7分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题： (共6题；共45分) 19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、24-1、24-2、。
2014-2015年四川省乐山外国语学校高一上学期数学期中试卷带答案
2014-2015学年四川省乐山外国语学校高一（上）期中数学试卷一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1．（5.00分）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，那么集合A∩（∁U B）等于（）A．{x|﹣2≤x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣1≤x≤3}2．（5.00分）满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5.00分）下列各式中成立的一项（）A．B．C．=D．4．（5.00分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（2）=（）A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣105．（5.00分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B．y=x3 C．y=2|x|D．y=cosx6．（5.00分）若数集A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆B成立的所有a的集合是（）A．{a|1≤a≤9}B．{a|6≤a≤9}C．{a|a≤9}D．∅7．（5.00分）若函数f（x）的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f（x+2）的定义域和值域分别是（）A．[0，1]，[1，2] B．[2，3]，[3，4] C．[﹣2，﹣1]，[1，2]D．[﹣1，2]，[3，4]8．（5.00分）设2a=5b=m，且，则m=（）A． B．10 C．20 D．1009．（5.00分）对于每个实数x，设f（x）取y=4x+1，y=x+2，y=﹣2x+4三个函数中的最小值，则f（x）的最大值为（）A．B．C．D．10．（5.00分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b 的取值范围是（）A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷横线上）11．（5.00分）幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是．12．（5.00分）已知x2+bx+c＜0的解集是{x|1＜x＜3}，则b+c等于．13．（5.00分）函数f（x）=的定义域为．14．（5.00分）已知函数f（x）=的定义域为R，则k的取值范围是．15．（5.00分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f （x）+f（y）+，且f（）=0，当x时，f（x）＞0．给出以下结论：①f（0）=﹣；②f（﹣1）=﹣；③f（x）为R上减函数；④f（x）+为奇函数；⑤f（x）+1为偶函数．其中正确结论的序号是．三.解答题（16-19每小题12分，20题13分，21题14分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12.00分）已知函数f（x）=lg的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求集合A，B；（2）求A∩B，（∁R A）∩（∁R B）．17．（12.00分）（1）已知a=，b=，求[b]2的值；（2）计算lg8+lg25+lg2•lg50+lg25的值．18．（12.00分）已知函数f（x）=a•4x﹣a•2x+1+2在区间[﹣2，2]上的最大值为3，求实数a的值．19．（12.00分）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）20．（13.00分）已知奇函数f（x）=ax++c的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；（3）若|t﹣1|≤f（x）+2对x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]恒成立，求实数t的范围．21．（14.00分）函数f（x）对任意的x，y∈R都有f（2x+y）=2f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．（1）求证：f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性并证明；（3）若f（6）=﹣1，解不等式．2014-2015学年四川省乐山外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1．（5.00分）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，那么集合A∩（∁U B）等于（）A．{x|﹣2≤x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣1≤x≤3}【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，∴C U B={x|﹣1≤x≤4}，∴A∩（C U B）={x|﹣2≤x≤3}∩{x|﹣1≤x≤4}={x|﹣1≤x≤3}，故选：D．2．（5.00分）满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：满足条件M∪﹛1﹜=﹛1，2，3﹜的集合M，M必须包含元素2，3，所以不同的M集合，其中的区别就是否包含元素1．那么M可能的集合有{2，3}和{1，2，3}，故选：B．3．（5.00分）下列各式中成立的一项（）A．B．C．=D．【解答】解：A中应为；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C正确．D中x=y=1时不成立；故选：C．4．（5.00分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（2）=（）A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣10【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，∴f（2）=﹣f（﹣2）=﹣[2×（﹣2）2﹣（﹣2）]=﹣10，故选：D．5．（5.00分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B．y=x3 C．y=2|x|D．y=cosx【解答】解：对于函数的定义域为x∈R且x≠0将x用﹣x代替函数的解析式不变，所以是偶函数当x∈（0，+∞）时，∵∴在区间（0，+∞）上单调递减的函数故选：A．6．（5.00分）若数集A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆B成立的所有a的集合是（）A．{a|1≤a≤9}B．{a|6≤a≤9}C．{a|a≤9}D．∅【解答】解：若A=∅，即2a+1＞3a﹣5，解得a＜6时，满足A⊆B．若A≠∅，即a≥6时，要使A⊆B成立，则，即，解得1≤a≤9，此时6≤a≤9．综上a≤9．故选：C．7．（5.00分）若函数f（x）的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f（x+2）的定义域和值域分别是（）A．[0，1]，[1，2] B．[2，3]，[3，4] C．[﹣2，﹣1]，[1，2]D．[﹣1，2]，[3，4]【解答】解：函数f（x+2）是由函数f（x）向左平移2个单位得到∵函数f（x）的定义域为[0，1]，∴f（x+2）的定义域为[﹣2，﹣1]，函数图象进行左右平移值域不变故f（x+2）的值域为[1，2]，故选：C．8．（5.00分）设2a=5b=m，且，则m=（）A． B．10 C．20 D．100【解答】解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．故选：A．9．（5.00分）对于每个实数x，设f（x）取y=4x+1，y=x+2，y=﹣2x+4三个函数中的最小值，则f（x）的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，可得函数f（x）的图象如图：由得A（，）∴f（x）的最大值为故选：D．10．（5.00分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b 的取值范围是（）A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）【解答】解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷横线上）11．（5.00分）幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是．【解答】解：由题意令f（x）=x n，将点代入，得，解得n=所以故答案为12．（5.00分）已知x2+bx+c＜0的解集是{x|1＜x＜3}，则b+c等于﹣1．【解答】解：∵不等式x2+bx+c＜0的解集是{x|1＜x＜3}，∴1，3是方程不等式x2+bx+c=0的两个根由根与系数的关系得到b=﹣（1+3）=﹣4；c=1×3=3∴b+c=﹣1故答案为：﹣113．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（0，0.5] ．【解答】解：要使函数有意义，则需x＞0，且log0.5x﹣1≥0，即有x＞0，且log0.5x≥log0.50.5，解得，0＜x≤0.5．则定义域为（0，0.5]．故答案为：（0，0.5]．14．（5.00分）已知函数f（x）=的定义域为R，则k的取值范围是[0，1）．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，则kx2﹣4kx+k+3＞0恒成立，当k=0时，3＞0成立；当k＞0，△＜0时，即k＞0，16k2﹣4k（k+3）＜0，解得，0＜k＜1．则0≤k＜1．即k的取值范围是[0，1）．故答案为：[0，1）．15．（5.00分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f （x）+f（y）+，且f（）=0，当x时，f（x）＞0．给出以下结论：①f（0）=﹣；②f（﹣1）=﹣；③f（x）为R上减函数；④f（x）+为奇函数；⑤f（x）+1为偶函数．其中正确结论的序号是①②④．【解答】解：由题意和xy的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+，即f（0）=，故①正确；取x=，y=代入可得f（0）=f（）+f（）+，即=0+f（）+，解得f（）=﹣1，再令x=y=代入可得f（﹣1）=f（﹣）+f（）+=﹣2+=，故②正确；令y=﹣x代入可得=f（0）=f（x）+f（﹣x）+，即f（x）++f（﹣x）+=0，故f（x）+为奇函数，④正确；取y=﹣1代入可得f（x﹣1）=f（x）+f（﹣1）+，即f（x﹣1）﹣f（x）=f（﹣1）+=﹣1＜0，即f（x﹣1）＜f（x），故③f（x）为R上增函数，错误；⑤错误，因为f（x）+1=f（x）++，由③可知g（x）=f（x）+为奇函数，故g（﹣x）+﹣g（x）﹣=﹣2g（x）不恒为0，故函数f（x）+1不是偶函数故答案为：①②④三.解答题（16-19每小题12分，20题13分，21题14分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12.00分）已知函数f（x）=lg的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求集合A，B；（2）求A∩B，（∁R A）∩（∁R B）．【解答】解：（1）函数f（x）=lg，得到＞0，整理得：（x+1）（x﹣1）＜0，解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），函数g（x）=，得到3﹣x≥0，即x≤3，∴B=（﹣∞，3]；（2）∵A=（﹣1，1），B=（﹣∞，3]∴A∩B=（﹣1，1），∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），∁R B=（3，+∞），则（∁R A）∩（∁R B）=（3，+∞）．17．（12.00分）（1）已知a=，b=，求[b]2的值；（2）计算lg8+lg25+lg2•lg50+lg25的值．【解答】解：（1）====．∵，∴原式===20=1；（2）=2lg2+lg25+lg2（1+lg5）+2lg5=2（lg2+lg5）+lg25+lg2+lg2•lg5=2+lg5（lg5+lg2）+lg2=2+lg5+lg2=3．18．（12.00分）已知函数f（x）=a•4x﹣a•2x+1+2在区间[﹣2，2]上的最大值为3，求实数a的值．【解答】解：令t=2x，∵x∈[﹣2，2]，∴t∈[，4]，则g（t）=f（x）=at2﹣2at+2．当a=0时，g（t）=2≠3，故舍去a=0；当a≠0时，g（t）=a（t﹣1）2+2﹣a；当a＞0时，g（t）max=g（4）=8a+2=3，∴．当a＜0时，g（t）max=2﹣a=3，∴a=﹣1．综上，或a=﹣1．19．（12.00分）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）【解答】解：（1）设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润（2）当0≤x≤400时，f（x）=，所以当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，所以f（x）=60000﹣100×400＜25000．所以当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．20．（13.00分）已知奇函数f（x）=ax++c的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；（3）若|t﹣1|≤f（x）+2对x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]恒成立，求实数t的范围．【解答】解：（1）∵奇函数f（x）=ax++c的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．∴函数f（x）=ax++c的图象经过点（﹣1，﹣1），即，解得：故f（x）=﹣x+证明：（2）∵f′（x）=﹣1﹣，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0故函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；解：（3）当x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]时，f（x）∈[﹣1，1]，则f（x）+2∈[1，3]，若|t﹣1|≤f（x）+2对x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]恒成立，则|t﹣1|≤1，则t∈[0，2]21．（14.00分）函数f（x）对任意的x，y∈R都有f（2x+y）=2f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．（1）求证：f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性并证明；（3）若f（6）=﹣1，解不等式．【解答】解：（1）令y=x，则f（2x+x）=2f（x）+f（x）=3f（x），令x=y=0，得f（0）=0，令y=0，则f（2x）=2f（x），故f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；（2）由f（0）=0，函数f（x）为减函数，令t=2x，则f（2x+y）=f（t+y），2f（x）+f（y）=f（2x）+f（y）=f（t）+f（y），∴f（t+y）=f（t）+f（y）设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＜0，∴f（x2﹣x1）＜0，∵f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）＜f（x1），∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）为R上的单调减函数，（3）∵，．===，∴f（log2[x（x﹣2）]＜f（1）因为f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，所以解不等式组得．所以不等式的解集为．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
四川省乐山外国语学校高二数学上学期期中试卷 理(含解析)
四川省乐山外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共计50分）1．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④2．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行3．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°4．（5分）已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A（3，2）、B（a，﹣1），且l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．25．（5分）若方程x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．不存在6．（5分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°7．（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面ABC，点C是圆上的任意一点，图中有（）对平面与平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB 面积的最小值为（）A．24 B．16 C．8 D．49．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积10．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（）A．16 B．C．D．32二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上11．（5分）与直线7x+24y=5平行，并且距离等于3的直线方程是．12．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为．14．（5分）相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为．15．（5分）正三棱锥P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π）；②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．正确的序号是．二、解答题（每题5分，共25分）16．（12分）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC．（1）求证：BD∥平面EFGH；（2）求证：四边形EFGH是矩形．17．（13分）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．18．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D 是AC的中点，已知AB=2，VA=VB=VC=2．（1）求证：AC⊥平面VOD；（2）VD与平面ABC所成角的正弦值；（3）求三棱锥C﹣ABV的体积．19．（12分）如图，已知二面角α﹣AB﹣β的大小为120°，PC⊥α于C，PD⊥β于D，且PC=2，PD=3．（1）求异面直线AB与CD所成角的大小；（2）求点P到直线AB的距离．20．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）过点E作截面EFH∥平面A1CD，分别交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面积；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成600的角？说明理由．21．（14分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．（1）求点C到平面A1ABB1的距离；（2）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）若M，N分别为直线AA1，B1C上动点，求MN的最小值．四川省乐山外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共计50分）1．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④考点：简单空间图形的三视图．专题：阅读型．分析：利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．解答：解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选D点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．2．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案．解答：解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．故选D．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题．3．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．解答：解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D点评：本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．4．（5分）已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A（3，2）、B（a，﹣1），且l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2考点：两条直线垂直的判定；直线的倾斜角；两条直线平行的判定．专题：计算题．分析：先求出l的斜率，利用垂直关系可得l1的斜率，由斜率公式求出a 的值，由l1∥l2 得，﹣=1，解得b值，可得结果．解答：解：∵l的斜率为﹣1，则l1的斜率为1，∴k AB==1，∴a=0．由l1∥l2 得，﹣=1，得b=﹣2，所以，a+b=﹣2．故选 B．点评：本题考查两直线平行、垂直的性质，斜率公式的应用．5．（5分）若方程x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．不存在考点：二元二次方程表示圆的条件．专题：计算题；直线与圆．分析：由二元二次方程表示出圆的条件，列出关系式，即可求出a的值．解答：解：∵方程x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示一个圆，∴A=C≠0，即1=a+2，解得：a=﹣1．此时方程x2+（a+2）y2+2ax+a=0为方程x2+y2﹣2x﹣1=0表示圆．故选：A．点评：此题考查了圆的一般方程，熟练掌握二元二次方程表示圆的条件是解本题的关键．6．（5分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA所成的角设棱长为2，则DE=1，DF=1，根据SA⊥BC，则ED⊥DF∴∠DEF=45°，故选C．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面ABC，点C是圆上的任意一点，图中有（）对平面与平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中PA⊥平面ABC，结合面面垂直的判定定理可得平面PAB⊥平面ABC，及平面PAC⊥平面ABC，由圆周角定理的推论，结合线面垂直的性质和判定定理可证得：BC⊥平面PAC，进而可得平面PBC⊥平面PAC，综合上述讨论结果，可得结论．解答：解：∵PA⊥圆O所在平面ABC，PA⊂平面PAB∴平面PAB⊥平面ABC，同理可得：平面PAC⊥平面ABC，∵AB是圆O的直径∴BC⊥AC，又∵PA⊥圆O所在平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC又∵PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC∴BC⊥平面PAC，又∵BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PAC综上相互垂直的平面共有3组．故选：C点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的相互转化是解答的关键．8．（5分）P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB 面积的最小值为（）A．24 B．16 C．8 D．4考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB则要求S PAOB=2S△PAO=的最小值，转化为求PA最小值，由于PA2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，结合点到直线的距离公式可知当PO⊥l时，PO有最小值，由点到直线的距离公式可求．解答：解：由圆x2+y2=4，得到圆心（0，0），半径r=2，由题意可得：PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴S PAOB=2S△PAO=，在Rt△PAO中，由勾股定理可得：PA2=PO2﹣r2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小，点P是直线l：2x+y+10=0上的动点，当PO⊥l时，PO有最小值d=，PA=4，所求四边形PAOB的面积的最小值为8．故选C点评：本题考查了直线与圆的位置关系中的重要类型：相切问题的处理方法，解题中要注意对性质的灵活应用，体现了转化思想在解题中的应用．根据题意得出PO⊥l时所求圆的面积最小是解本题的关键．9．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QE F的面积考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：A．由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF 即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．由于点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．用排除法即可得出．解答：解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．点评：本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．10．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（）A．16 B．C．D．32考点：棱台的结构特征；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知，三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，得到5PB2+PC2=16，再结合三角换元法，由三角函数的性质得到这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值．解答：解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．∴16=PA2+PB2+PC2，又PA=2PB，∴5PB2+PC2=16，设PB=，PC=4sinα，则这个三棱锥的三个侧棱长的和PA+PB+PC=3PB+PC=cosα+4sinα=sin（α+∅）≤．则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为，故选B．点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上11．（5分）与直线7x+24y=5平行，并且距离等于3的直线方程是7x+24y+70=0，或7x+24y ﹣80=0．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：待定系数法．分析：设出平行直线系方程，根据两平行线间的距离等于3解出待定系数，从而得到所求的直线的方程．解答：解：设所求的直线方程为 7x+24y+c=0，d==3，c=70，或﹣80，故所求的直线的方程为7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0，故答案为 7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0．点评：本题考查求直线方程的方法，利用平行直线系方程的形式，待定系数法求出待定系数，进而得到所求的直线方程．12．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r 及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解答：解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为57π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成，其中下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥．据此可计算出答案．解答：解：由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成：下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥．圆锥的高h==4．∴V==57π．故答案为57π．点评：由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．14．（5分）相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间角．分析：已知PA⊥PB，PO⊥平面AOB，∠PAO=30°，∠PBO=45°，直线PA，PB这两条直线在该平面内的射影所成角为∠AOB，由此能求出这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值．解答：解：如图，已知PA⊥PB，PO⊥平面AOB，∠PAO=30°，∠PBO=45°，直线PA，PB这两条直线在该平面内的射影所成角为∠AOB，设PO=x，则AO=，BO=x，PA==2x，PB==，AB==，∴cos=﹣，∴sin∠AOB==．∴这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为．故答案为：．点评：本题考查两条直线在平面内的射影所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15．（5分）正三棱锥P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π）；②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．正确的序号是①②④．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间角．分析：①利用二面角的大小区判断．②利用线面角的定义去判断．③利用异面直线的概念去判断．④利用二面角的大小进行判断．解答：解：①设底面正三角形的边长为1，过B作BD⊥PA，连结CD，则∠BD C是二面角B ﹣PA﹣C大小，因为底面三角形ABC是正三角形，所以∠CAB=，所以当点P无限靠近点O 时，即高无限小时，∠BDC接近，所以二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π），所以①正确．②因为CM=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，则PB⊥AM，因为P﹣ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因为AM∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因为P﹣ABC是正三棱锥，所以必有PC⊥面PAB，所以PC与平面PAB所成角的大小为，所以②正确．③因为因为P﹣ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA⊥BC．所以过点M与异面直线PA和BC都成的直线有两条，所以③错误．④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则∠BDC=，此时∠EDC=，（其中E是BC的中点），，所以此时直线BC与平面PAC和平面PAB都成，又因为平面PAC和平面PAB 的法向量的夹角为，此时适当调整过N的直线，可以得到两条直线使得过点N与平面PAC 和平面PAB都成，所以满足过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．所以④正确．故答案为：①②④．点评：本题综合考查了正三棱锥的性质以及利用正三棱锥研究线面角和二面角的大小，综合性强，难度大．二、解答题（每题5分，共25分）16．（12分）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC．（1）求证：BD∥平面EFGH；（2）求证：四边形EFGH是矩形．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）E，H分别为AB，DA的中点，可得EH∥BD，又BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，根据直线和平面平行的判定定理证得BD∥平面EFGH．…（2）取BD中点O，由条件利用等腰三角形的性质证得AO⊥BD，CO⊥BD．从而证得BD⊥平面AOC，BD⊥AC．利用三角形的中位线的性质证得四边形EFGH是平行四边形，再利用平行线的性质证得EF⊥EH，可得四边形EFGH为矩形．解答：证明：（1）∵E，H分别为AB，DA的中点，∴EH∥BD，又BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH．…（4分）（2）取BD中点O，连续OA，OC，∵AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD．又AO∩CO=0．∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC．…（7分）∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点．∴EH∥BD，且EH=BD；FG∥BD，且FG=BD，EF∥AC．∴EH∥FG，且EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．…（10分）由AC⊥BD、EF∥AC、EH∥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH为矩形．…（12分）点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，直线和平面垂直的判定和性质的应用，属于中档题．17．（13分）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．考点：恒过定点的直线；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，直线l过定点（﹣2，1）．（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围．（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值．解答：解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k≥0．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．点评：本题考查直线过定点问题，直线在坐标系中的位置，以及基本不等式的应用（注意检验等号成立的条件）．18．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D 是AC的中点，已知AB=2，VA=VB=VC=2．（1）求证：AC⊥平面VOD；（2）VD与平面ABC所成角的正弦值；（3）求三棱锥C﹣ABV的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）得出AC⊥VO，AC⊥VD即可证明．（2）根据棱锥V﹣ABC的体积为V V﹣ABC=S△ABC•VO=可求得．解答：解：（1）∵VA=VB，O为AB中点，∴VO⊥AB，连接OC，在△VOA和△VOC中，OA=OC，VO=VO，VA=VC，∴△VOA≌△VOC，∠VOA=∠VOC=90°，∴VO⊥0C∵AB∩OC=0，AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，∴VO⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥VO，又∵VA=VC，D是AC的中点，∴AC⊥VD，∵VO⊂平面VOD，VD⊂平面VOD，VD∩VO=V，∴AC⊥平面VOD，（2）由（1）知VO是棱锥V﹣ABC的高，且VO==．又∵点C是弧的中点，∴CO⊥AB，且CO=1，AB=2，∴三角形ABC的面积S△ABC=AB•CD==1，∴棱锥V﹣ABC的体积为V V﹣ABC=S△ABC•VO=故棱锥C﹣ABV的体积为，点评：本题考查了直线与平面的垂直问题，体积计算问题，属于中档题，思路要清晰，认真．19．（12分）如图，已知二面角α﹣AB﹣β的大小为120°，PC⊥α于C，PD⊥β于D，且PC=2，PD=3．（1）求异面直线AB与CD所成角的大小；（2）求点P到直线AB的距离．考点：异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题；空间角．分析：（1）根据题意，证出AB⊥平面PCD，从而得到AB⊥CD，即得异面直线AB与CD所成角的大小为90°．（2）设平面PCD与直线AB交于点E，连结CE，DE，PE．证出∠CED为二面角α﹣AB﹣β的平面角，从而∠CED=120°．然后在四边形PCDE中利用余弦定理解三角形，算出CD=，进而得到PE==，得到P到直线AB的距离．解答：解：（1）∵PC⊥α于C，PD⊥β于D．∴PC⊥AB，PD⊥AB．又PC∩PD=P．∴AB⊥平面PCD．∵CD⊂平面PCD，∴AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成角的大小为90°．…（6分）（2）设平面PCD与直线AB交于点E，连结CE，DE，PE由（1）可知，AB⊥平面PCD．∴AB⊥CE，AB⊥DE，AB⊥PE．∴∠CED为二面角α﹣AB﹣β的平面角，…（8分）从而∠CED=120°．∵PC⊥α，P D⊥β．∴PC⊥CE，PD⊥DE．∴∠CPD=60°．又PC=2，PD=3．∴由余弦定理，得CD2=4+9﹣12cos60°=7，从而CD=．…（10分）∵PE为四边形P CED的外接圆直径．∴由正弦定理，得PE==．即点P到直线AB的距离等于．…（12分）点评：本题在120度的二面角中，求异面直线所成角和点P到直线AB的距离，着重考查了线面垂直的判定与性质、二面角的平面角定义和正余弦定理等知识，属于中档题．20．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）过点E作截面EFH∥平面A1CD，分别交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面积；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成600的角？说明理由．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）证明DE⊥平面A1CD，可得A1C⊥DE，利用A1C⊥CD，CD∩DE=D，即可证明A1C⊥平面BCDE；（2）过点E作EF∥CD交BC于F，过点F作FH∥A1C交A1B于H，连结EH，则截面EFH∥平面A1CD，从而可求截面EFH的面积；（3）假设线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角，建立坐标系，利用向量知识，结合向量的夹角公式，即可求出结论．解答：（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD．又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE．又A1C⊥CD，CD∩DE=D，∴A1C⊥平面BCDE…（4分）（2）解：过点E作EF∥CD交BC于F，过点F作FH∥A1C交A1B于H，连结EH，则截面EFH∥平面A1CD．因为四边形EFCD为矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，从而FB=2，HF=．∵A1C⊥平面BCDE，FH∥A1C，∴HF⊥平面BCDE，∴HF⊥FE，∴．…（8分）（3）解：假设线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角．设P点坐标为（a，0，0），则a∈．如图建系C﹣xyz，则D（0，1，0），A1（0，0，），B（6，0，0），E（4，1，0）．∴，．设平面A1BE法向量为，则，∴，∴，设平面A1DP法向量为，因为，．则，∴，∴．则cos＜，＞===，∴5656a2﹣96a﹣141=0，解得∵0＜a＜6，∴所以存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角．…（12分）点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．（1）求点C到平面A1ABB1的距离；（2）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）若M，N分别为直线AA1，B1C上动点，求MN的最小值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用点到平面的距离公式求距离．（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小．（3）利用向量法求线段的长度．解答：解：（1）连接AO，因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，，在△AOA1中，A1O=2，在△BOA 1中，，则．又S△CAB=2．设点C到平面A1ABB1的距离为h，则由得，=．从而．…（4分）（2）如图所示，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，﹣2，0），A1（0.0，2），B（0，2，0），B1（﹣1，2，2），C1（﹣1，﹣2，2）．设平面BCC1B1的法向量，又，．由，得，令z=1，得x=2，y=0，即．设平面ABC1的法向量，又，．由，得，令b=1，得a=2，c=3，即．所以，…（7分）由图形观察可知，二面角A﹣BC1﹣B1为钝角，所以二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值是．…（9分）（3）方法1．在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，得OE⊥BB1．因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB1C1C．从而OE⊥B1C在△AOA1中，为异面直线AA1，B1C的距离，即为MN的最小值．…（14分）方法2．设向量，且∵，．∴．令z1=1，得x1=2，y1=0，即．∵．所以异面直线AA1，B1C 的距离，即为MN的最小值．…（14分）点评：本题主要考查利用向量法求二面角的大小和线段长度问题，要求熟练掌握相关的定理和公式．21。
四川省乐山第一中学高二数学上学期期中试题 理
2015-2016学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷（选修物理）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．在ABC ∆中，若04,3,30a b B ===，则sin A = ▲ ． 2．等差数列{}n a 中，若377,3a a ==，则10a = ▲ ．3．在ABC ∆中，若A b B a cos cos =，则ABC ∆的形状为 ▲ ．4．函数22log (6)y x x =--+的定义域为 ▲ ．5．若不等式220ax bx ++>的解集是11{|}32x x -<<，则ab 的值为 ▲ ． 6．在ABC ∆中，已知三边,,a b c满足222b ac +-=，则C ∠= ▲ ． 7．在等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2142a a +=，则15S = ▲ ．8．等比数列{}n a 的各项均为正数，且349a a =，则313236log log log a a a +++=L ▲ ． 9．在ABC ∆中，若60,8,ABC A b S ∆=︒==，则a = ▲ ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且222n S n n =++，则n a = ▲ ．11．设不等式组260302x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域为M ，若函数1y kx =+的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．数列{}n a 的通项公式，211+++=n n a n 其前n 项和，23=n S ，则n = ▲ ．13．若关于x 的不等式210mx mx +->的解集为∅，则实数m 的取值范围为 ▲ ．14．正项等比数列{}n a 和{}n b 的前n 项之积分别为,n n S T ，若23n nn n S T -=，则 11n n n n a a b b ++= ▲ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知不等式2230x x --≥的解集为A ，函数y =B ，求A B I ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，已知04,30a b A ===．（1）求B ． （2）求ABC S ∆．17．(本小题满分14分)已知正项．．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中24S =，39a =． （1）求n a ．（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前20项和20T ．18． (本小题满分16分) 已知不等式210x kx k -+->．（1）若2k =，求不等式210x kx k -+->的解集；（2）若不等式210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立，求实数k 的取值范围．19．(本小题满分16分)已知海岛B 在海岛A 北偏东ο45，A ，B 相距20海里，物体甲从海岛B 以2海里/小时的速度沿直线向海岛A 移动，同时物体乙从海岛A 沿着海岛A 北偏西ο15方向以4海里/小时的速度移动．（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛B 到达海岛A 的过程中，甲、乙两物体的最短距离．20．(本小题满分16分)数列{}n a 满足12,3a x a x ==，n S 是数列{}n a 的前n 项和，21132n n n S S S n +-++=+(2,*)n n N ≥∈．（1）求34,a a (用x 表示)；（2）若数列{}n a 为等差数列, 数列{}n b 满足212222n n n a a a n b t t ++=--，数列{}n c 满足2n an c =，n T 、n Q 是数列{}n b 、{}n c 的前n 项和,试比较n T 与n Q 的大小；（3）若对任意*n N ∈,1n n a a +<恒成立,求实数x 的取值范围．2015-2016学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷（选修物理）答题纸 学校 班级 姓名 准考考号 ………………………………装………………………………………订………………………………………线…………………………………………………………………………线……………………………………请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效2015-2016学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷（选修物理）参考答案一、填空题 1．232． 0 3．等腰三角形 4．(3,2)- 5．24-6．6π7．15 8．6 9．．5,1,21, 2.n n a n n =⎧=⎨+≥⎩ 11．1[,1]3- 12．30 13．[4,0]- 14．219n -二、解答题15．解：(,1][3,)A =-∞-⋃+∞，………………………………………………4分 由260x x +-≥解得2x ≥或3x ≤-，即(,3][2,)B =-∞-⋃+∞………………10分 故A B =I (,3][3,)-∞-⋃+∞.………………………………………………………14分16．解：（1）由正弦定理得sin sin a bA B=，即04sin 30=，得sin B = 故060B =或0120B =．………………………………………………………………6分（2）当060B =时，则090C =，此时11422ABC S ab ∆==⨯⨯=10分当0120B =时，则030C =，此时111sin 4222ABCS ab C ∆==⨯⨯=．…14分 17．解：（1）由24S =，39a =，得114a a q +=①，219a q =②，………………2分由①②整理得24990q q --=，解得3q =，34q =-（舍去）．……………………4分 3q =代入②得11a =，故13n n a -=．…………………………………………………8分（2）13log 31n n b n -==-，……………………………………………………………12分2020(0201)1902T +-==．……………………………………………………………14分18．解：（1）因为2k =，所以2210x x -+>，即2(1)0x ->，故不等式解集为{}11x x x <>或………………………………………………………8分 （2）因为210x kx k -+->，所以1)(1)0x x k -+->（，因为(1,2)x ∈，所以10x k +->，则1k x <+，故2k ≤．……………………………………………………………………………16分 19．解：（1）设经过t (05)t <<小时，物体甲在物体乙的正东方向．如图所示，物体甲与海岛A 的距离为102AE t =-海里，物体乙与海岛A 距离为4AF t =海里，60,75,45EAF AFE AEF ∠=︒∠=︒∠=︒，AEF ∆中，由正弦定理得：sin sin AE AFAFE AEF=∠∠，即2024sin 75sin 45t t-=︒︒， 则20103t =-． …………………………………………8分 （2）由（1）题设，202AE t =-，4AF t =， 由余弦定理得：22222212cos (202)(4)2(202)4228160400,EF AE AF AE AF EAF t t t t t t =+-⋅∠=-+-⨯-⨯⨯=-+∵05t <<， ∴当207t =时，min 2021EF =海里． …………………………………16分20．解：（1）因为21132(2,*)n n n S S S n n n N +-++=+≥∈，所以32114S S S ++=，即3212314a a a ++=，又12,3a x a x ==， 所以3149a x =-，同理可求得416a x =+……………………………………………………………………4分 （2）若数列{}n a 为等差数列，所以2132a a a =+，即()6149x x x =+-，解得1x =，()()212222224212421n n n n a a a a n n b t t t t t t c ++=--=--=--所以()()2212421()421n n n T t t c c c t t Q =--+++=--L ，所以()2422n n n T Q t t Q -=--，且0n Q >，当12t <-或1t >时，n n T Q >；当12t =-或1t =时，n n T Q =； 当112t -<<时，n n T Q <．…………………………………………………………10分 （3）因为21132(2,*)n n n S S S n n n N +-++=+≥∈,所以()221312(*)n n n S S S n n N ++++=++∈, 两式作差，得2169(2,*)n n n a a a n n n N ++++=+≥∈, 又有321615(*)n n n a a a n n N +++++=+∈， 所以36(2,*)n n a a n n N +-=≥∈， 可求得,1,234,31,*,298,3,*,267,31,*,n x n n x n k k N a n x n k k N n x n k k N =⎧⎪+-=-∈⎪=⎨-+=∈⎪⎪+-=+∈⎩根据题意对任意*n N ∈,1n n a a +<恒成立，所以12a a <且3133132k k k k a a a a -++<<<，所以336989865653x x x x x x x x<⎧⎪-<-+⎪⎨-+<-⎪⎪-<⎩，解得137156x <<， 所求实数x 的取值范围为137,156⎛⎫ ⎪⎝⎭．……………………………………………………16分。
【数学】2014-2015年四川省乐山外国语学校高三(上)期中数学试卷与答案(理科)
2014-2015学年四川省乐山外国语学校高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．1．（5分）若复数z满足z（2﹣i）=5i（i为虚数单位），则z为（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩∁R B=（）A．（﹣∞，0]B．[2，4]C．[0，2）∪（4，+∞）D．（0，2]∪[4，+∞）3．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．5．（5分）某算法程序框图如图所示，若a=，b=3，c=log23，则x=（）A．B．a C．b D．c6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n 7．（5分）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的（）A．倍 B．10倍 C．10倍D．ln倍8．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣9．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f （x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+310．（5分）已知存在正数a，b，c满足≤2，clnb=a+clnc，则ln的取值范围是（）A．[1，+ln2] B．[1，+∞）C．（﹣∞，e﹣1]D．[1，e﹣1]二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上．）11．（5分）cos38°sin98°﹣cos52°sin188°的值为．12．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2﹣a5=0，则=．13．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为cm314．（5分）的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）15．（5分）已知f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1和g（x）=x2﹣2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，给出下列4 个命题：①关于x的方程f（x）﹣k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈（﹣1，1）；②关于x的方程f（x）=g（x）恰有四个不相等实数根的充要条件是m∈[0，1]；③当m=1时，对∀x1∈[﹣1，0]，∃x2∈[﹣1，0]，f（x1）＜g（x2）成立；④若∃x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[﹣1，1]，f（x1）＜g（x2）成立，则m∈（﹣1，+∞）．其中正确命题的序号是．三.解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．17．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+c（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）设a∈R，函数f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足f（﹣）=f（0）．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，求f（A）的取值范围．19．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求二面角P﹣BC﹣D的正切值；（2）求直线DP到平面PBG所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点F，使异面直线DF与GC所成的角为60°，若存在，确定点F的位置，若不存在，说明理由．20．（13分）已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知f（x）=lnx，g（x）=﹣．（Ⅰ）当x≥1时，求f（x）﹣g（x）的最大值；（Ⅱ）求证：，∀x＞1恒成立；（Ⅲ）求证：（n≥2，n∈N）．（参考数据：ln3≈1.1，ln5≈1.6）2014-2015学年四川省乐山外国语学校高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．1．（5分）若复数z满足z（2﹣i）=5i（i为虚数单位），则z为（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i【解答】解：∵复数z满足z（2﹣i）=5i，∴z====﹣1+2i．故选：A．2．（5分）已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩∁R B=（）A．（﹣∞，0]B．[2，4]C．[0，2）∪（4，+∞）D．（0，2]∪[4，+∞）【解答】解：由A中的不等式变形得：（）x≤1=（）0，解得：x≥0，即A=[0，+∞）；由B中的不等式变形得：（x﹣2）（x﹣4）≤0，解得：2≤x≤4，即B=[2，4]，∵全集为R，∴∁R B=（﹣∞，2）∪（4，+∞），则A∩（∁R B）=[0，2）∪（4，+∞），故选：C．3．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”【解答】解：对于A，“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件，显然不正确，如果函数的定义域中没有0，函数可以是奇函数例如，y=，∴A不正确；对于B，若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B不正确；对于C，若p∧q为假命题，则p，q一假即假命，∴C不正确；对于D，“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，满足否命题的形式，∴D正确；故选：D．4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．【解答】解：=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=2（2k﹣3）﹣6=0，解得k=3．故选：C．5．（5分）某算法程序框图如图所示，若a=，b=3，c=log23，则x=（）A．B．a C．b D．c【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，∵a3=＞3=b3＞0，∴a＞b；又a==log2=log2＜log2=log23=c．∴输出的结果为c．故选：D．6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n 【解答】解：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β或α与β相交，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误．故选：B．7．（5分）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的（）A．倍 B．10倍 C．10倍D．ln倍【解答】解：由题意，令70=10lg，解得，I1=I0×107，令60=10lg，解得，I2=I0×106，所以=10故选：C．8．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣【解答】解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g （x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．9．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f （x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3【解答】解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．10．（5分）已知存在正数a，b，c满足≤2，clnb=a+clnc，则ln的取值范围是（）A．[1，+ln2] B．[1，+∞）C．（﹣∞，e﹣1]D．[1，e﹣1]【解答】解：由clnb=a+clnc化为lnb=，∴=lnb﹣lna==，令，则，．=，令f′（x）=0，解得x=1．当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当1＜x≤2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．∴当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）=1+ln1=1．又f（2）=，=e+=e﹣1，==e﹣2.5＞0，∴，因此f（x）的最大值为e﹣1．综上可得：f（x）∈[1，e﹣1]．即ln的取值范围是[1，e﹣1]．故选：D．二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上．）11．（5分）cos38°sin98°﹣cos52°sin188°的值为．【解答】解：cos38°sin98°﹣cos52°sin188°=cos38°cos8°+sin38°sin8°=cos30°=．故答案为：．12．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2﹣a5=0，则=5．【解答】解：∵8a2﹣a5=0，∴，q=2，==1+q2=5故答案为：5．13．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为cm3【解答】解：由三视图知几何体是一圆柱挖去一个半球，且圆柱的高为3，圆柱与球的半径都是1，∴几何体的体积V=π×12×3﹣π×13=．故答案是：．14．（5分）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【解答】解：的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）+1r ••=•（﹣1）r••，令8﹣=﹣4=2，求得r=4，故展开式中x2y2的系数为=70，故答案为：70．15．（5分）已知f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1和g（x）=x2﹣2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，给出下列4 个命题：①关于x的方程f（x）﹣k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈（﹣1，1）；②关于x的方程f（x）=g（x）恰有四个不相等实数根的充要条件是m∈[0，1]；③当m=1时，对∀x1∈[﹣1，0]，∃x2∈[﹣1，0]，f（x1）＜g（x2）成立；④若∃x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[﹣1，1]，f（x1）＜g（x2）成立，则m∈（﹣1，+∞）．其中正确命题的序号是①④．【解答】解：对于①，作出f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1如图所示，可知，关于x的方程f（x）﹣k=0恰有四个不相等实数根的充要条件为k∈（﹣1，1），故①错；对于②，在同一坐标系中作出f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1和y=x2﹣2|x|的图象，由图象可知当时方程f（x）=g（x）恰有四个不相等实数根，故②错；对于③，因为，当x2∈[﹣1，0]时，g（x2）∈[0，1]，故③错；对于④，由题可知，只需当x∈[﹣1，1]时f（x）min＜g（x）max即可．易得f（x）=﹣1，g（x）max=m，所以m∈（﹣1，+∞），所以④正min确．故答案为：①④．三.解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，=acsinB=×××=．则S△ABC17．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+c（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．=a n+c【解答】解：（1）∵a n+1﹣a n=c∴a n+1∴数列{a n}是以a1=1为首项，以c为公差的等差数列a2=1+c，a5=1+4c又a1，a2，a5成公比不为1的等比数列∴（1+c）2=1+4c解得c=2或c=0（舍）（2）由（1）知，a n=2n﹣1∴∴=18．（12分）设a∈R，函数f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足f（﹣）=f（0）．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，求f（A）的取值范围．【解答】解：（I），由得：，∴．∴，由得：，k∈Z∴f（x）的单调递减区间为：．（II）∵，由余弦定理得：，即2acosB﹣ccosB=bcosC，由正弦定理得：2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，即，∴∵△ABC锐角三角形，∴，，∴的取值范围为（1，2]．19．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求二面角P﹣BC﹣D的正切值；（2）求直线DP到平面PBG所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点F，使异面直线DF与GC所成的角为60°，若存在，确定点F的位置，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵BG⊥GC，GB=GC=2，四面体P﹣BCG的体积为，∴，解得PG=4，设二面角P﹣BC﹣D的大小为θ，∵GB=GC=2，E为中点，∴GE⊥BC，同理PE⊥BC，∴∠PEG=θ，∵BG⊥GC，GB=GC=2，∴EG==，∴tanθ===2．∴二面角P﹣BC﹣D的正切值为2．…（3分）（2）∵GB=GC=2，AG=GD，BG⊥GC，E是BC的中点，∴△BGC为等腰直角三角形，GE为∠BGC的角平分线，作DK⊥BG交BG的延长线于K，∵PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，∴DK⊥面BPG∵∠DGK=∠BGA=45°，DK⊥GK，∴DK=GK，∵AG=GD，∴DK2+GK2=DG2=（）2==，∴DK=CK=．∵PG=4，DG==，PG⊥DG，∴=，设直线DP与平面PBG所成角为α∵DK⊥面BPG∴∠DPK=α，∴，∴直线DP与平面PBG所成角的正弦值为．…（8分）（3）∵GB，GC，GP两两垂直，分别以GB，GC，GP为x，y，z轴建立坐标系假设F存在，设F（0，y，4﹣2y）（0＜y＜2），∵，∴，又直线DF与GC所成的角为60°∴，化简得：不满足0＜y＜2∴这样的点不存在．…（12分）20．（13分）已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．得解得：（3分）（2）由（1），所以，令x+1=t，t＜0，则=因为x＜﹣1，所以t＜0，所以，当，所以，（8分）即AP的最小值是，此时，点P的坐标是．（9分）（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，①当x=1时，或m＞2，②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，∴，，结合0＜m＜1或m＞2，∴m＞2对于对x∈（1，2]恒成立，等价于令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，，t∈（0，1]递减，∴，∴m≤4，∴0＜m＜1或2＜m≤4，综上：2＜m≤4（16分）法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x ∈[1，2]时单调递增，依题意g（2）≤m，，舍去；②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，考虑到，再分两种情形：（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，依题意，即m≤4，∴2＜m≤4；（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，故g（2）≤m，∴2（m﹣2）≤m，∴m≤4，舍去．综上可得，2＜m≤4（16分）21．（14分）已知f（x）=lnx，g（x）=﹣．（Ⅰ）当x≥1时，求f（x）﹣g（x）的最大值；（Ⅱ）求证：，∀x＞1恒成立；（Ⅲ）求证：（n≥2，n∈N）．（参考数据：ln3≈1.1，ln5≈1.6）【解答】解：（Ⅰ）设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣（﹣），x≥1，则F′（x）=﹣=﹣≤0，∴F（x）在区间[1，+∞）内单调递减，故F（x）的最大值为F（1）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，对∀x≥1，都有f（x）＜g（x），即lnx＜﹣=．∵x﹣1＞0，lnx＞0，∴＜．设G（x）=（x+1）lnx﹣2（x﹣1），x＞1，则G′（x）=lnx+﹣2=．设H（x）=xlnx﹣x+1，则H′（x）=lnx＞0，∴H（x）在区间（1，+∞）内单调递增，∴H（x）＞H（1）=0，即G（x）＞0．∴G（x）在区间（1，+∞）内单调递增，∴G（x）＞G（1）=0，即（x+1）lnx ＞2（x﹣1）．因为x﹣1＞0，lnx＞0，所以＜，从而原命题得证．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当x＞1时，＜＜恒成立．令=x，k∈N*，得＜＜k．∴；另一方面，当k≥2时，＞＞=k﹣，∴＞+＞+﹣=+，从而命题得证．赠送—高中数学知识点二次函数第21页（共23页）（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔第22⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx第23页（共23页）(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p)f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2015年四川省乐山市峨眉二中高二上学期数学期中试卷和解析
2014-2015学年四川省乐山市峨眉二中高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）“2＜x＜3”是“x＜3”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．（5分）已知抛物线的标准方程为y2=8x，则抛物线的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣23．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=4．（5分）直线x﹣y+1=0与圆（x+1）2+y2=1的位置关系是（）A．相切B．直线过圆心C．直线不过圆心但与圆相交D．相离5．（5分）下列说法正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点6．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真7．（5分）如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图（也称主视图）是（）A． B． C． D．8．（5分）已知F 1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．9．（5分）已知点（4，2）是直线l被椭圆+=1所截的线段的中点，则直线l的方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y+4=0 D．x+2y﹣8=010．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=．12．（5分）命题“”的否定是．13．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线﹣=1的渐近线的距离为．14．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+y2=4，过原点的直线与圆C相交于A、B两点，则A、B两点中点M的轨迹方程是．15．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C 上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．三.解答题（本大题共7小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）已知p：关于x的不等式x2﹣（2m+9）x+m（m+9）＜0，q：关于x的不等式x2﹣x﹣6＜0，集合M={x|x2﹣（2m+9）x+m（m+9）＜0}，N={x|x2﹣x﹣6＜0}．（1）当m=1时，求集合M；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．17．（12分）已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当直线l与圆C相切时，求a的值；（2）当a=﹣1时，直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．18．（12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+与双曲线C的左支交于A、B两点，求k的取值范围．19．（12分）已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．20．（13分）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=（Ⅰ）求该抛物线的方程（Ⅱ）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．21．（7分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．22．（7分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．2014-2015学年四川省乐山市峨眉二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）“2＜x＜3”是“x＜3”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由“2＜x＜3”推出“x＜3”，是充分条件，由“x＜3”推不出“2＜x＜3”，不是必要条件，故选：A．2．（5分）已知抛物线的标准方程为y2=8x，则抛物线的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣2【解答】解：由抛物线的方程得抛物线的焦点在x轴上，其中2p=8，则p=4，则抛物线的标准方程为x=﹣=﹣=﹣2，故选：B．3．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选：C．4．（5分）直线x﹣y+1=0与圆（x+1）2+y2=1的位置关系是（）A．相切B．直线过圆心C．直线不过圆心但与圆相交D．相离【解答】解：圆（x+1）2+y2=1的圆心坐标（﹣1，0），圆心到直线x﹣y+1=0的距离是：＜1（圆的半径），所以直线与圆相交，并且过圆心．故选：B．5．（5分）下列说法正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点【解答】解：有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱故A，B错误；有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故C错误；拿一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台故棱台各侧棱的延长线交于一点，即D正确；故选：D．6．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：p∧q为假命题，p∨q为是假命题．故选：C．7．（5分）如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图（也称主视图）是（）A． B． C． D．【解答】解：△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC，且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图中，CC′必为虚线，排除B，C，3AA′=BB′说明右侧高于左侧，排除A．故选：D．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选：C．9．（5分）已知点（4，2）是直线l被椭圆+=1所截的线段的中点，则直线l的方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y+4=0 D．x+2y﹣8=0【解答】解：设直线l与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．代入椭圆方程可得，，两式相减得，∵x1+x2=2×4=8，y1+y2=2×2=4，，∴，解得k l=．∴直线l的方程是，即x+2y﹣8=0．故选：D．10．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= 2．【解答】解：∵椭圆方程为∴a2=9，b2=2，得椭圆的长轴长2a=6∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，得|PF2|=6﹣|PF1|=6﹣4=2故答案为：212．（5分）命题“”的否定是∀x∈（0，），tanx≤sinx．【解答】解，根据特称命题的否定是全称命题，∴命题的否定是：∀x∈（0，），tanx≤sinx；故答案是：．13．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线﹣=1的渐近线的距离为1．【解答】解：由题意，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），双曲线﹣=1的渐近线方程为：根据点到直线的距离公式，可得故答案为：114．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+y2=4，过原点的直线与圆C相交于A、B两点，则A、B两点中点M的轨迹方程是x2+y2﹣3x=0（＜x≤3）．【解答】解：设圆x2+y2﹣6x+5=0的圆心为C，则C的坐标是（3，0），由题意，CM⊥AB，①设M（x，y），当直线CM与AB的斜率都存在时，即x≠3，x≠0时，则有k CM k AB=﹣1，∴×=﹣1（x≠3，x≠0），化简得x2+y2﹣3x=0（x≠3，x≠0），②当x=3时，y=0，点（3，0）适合题意，③当x=0时，y=0，点（0，0）不适合题意，解方程组得x=，y=±，∴点M的轨迹方程是：x2+y2﹣3x=0（＜x≤3）．故答案为：x2+y2﹣3x=0（＜x≤3）．15．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c=a所以e==．故答案为：．三.解答题（本大题共7小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）已知p：关于x的不等式x2﹣（2m+9）x+m（m+9）＜0，q：关于x的不等式x2﹣x﹣6＜0，集合M={x|x2﹣（2m+9）x+m（m+9）＜0}，N={x|x2﹣x﹣6＜0}．（1）当m=1时，求集合M；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：p：关于x的不等式x2﹣（2m+9）x+m（m+9）＜0，化为（x﹣m）（x﹣m﹣9）＜0，解得m＜x＜m+9，∴M=（m，m+9）．q：关于x的不等式x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3，∴N=（﹣2，3）．（1）当m=1时，集合M=（1，10）．（2）∵p是q的必要不充分条件，∴N⊊M，∴，解得﹣6≤m≤﹣2．∴实数m的取值范围是[﹣6，﹣2]．17．（12分）已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当直线l与圆C相切时，求a的值；（2）当a=﹣1时，直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（1）∵圆C：x2+y2﹣8y+12=0，即x2+（y﹣4）2 =4，表示以C（0，4）为圆心，半径等于2的圆；∵直线l：ax+y+2a=0，当直线l与圆C相切时，圆心到直线的距离等于半径，即=2，求得a=﹣．（2）当a=﹣1时，直线l即﹣x+y﹣2=0，即x﹣y+2=0，圆心C到直线l的距离为d==，故弦长|AB|=2=2=2．18．（12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+与双曲线C的左支交于A、B两点，求k的取值范围．【解答】解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），由已知得：a=，c=2，再由a2+b2=c2，∴b2=1，∴双曲线方程为﹣y2=1；（2）设A（x A，y A），B（x B，y B），将y=kx+代入﹣y2=1，得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9=0．由题意知，解得＜k＜1．∴当＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．19．（12分）已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．【解答】解：（1）设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），根据题意得，解得：a=b=1，r=2，故所求圆M 的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4；（2）由题知，四边形PAMB 的面积为S=S △PAM +S △PBM =（|AM ||PA |+|BM ||PB |）． 又|AM |=|BM |=2，|PA |=|PB |，所以S=2|PA |， 而|PA |2=|PM |2﹣|AM |2=|PM |2﹣4， 即S=2．因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x +4y +8=0上找一点P ，使得|PM |的值最小， 所以|PM |min ==3，所以四边形PAMB 面积的最小值为2=2．20．（13分）已知过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1＜x 2）两点，且|AB |= （Ⅰ）求该抛物线的方程（Ⅱ）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为（，0）， 则直线AB 的方程为y=2（x ﹣），代入抛物线的方程，可得4x 2﹣5px +p 2=0，可得x 1+x 2=p ， 由抛物线的定义可得|AB |=x 1+x 2+p ，由已知，得p+p=，解得p=2，即抛物线的方程为y2=4x；（Ⅱ）由p=2可得2x2﹣5x+2=0，可得x=2或，即有A（，﹣），B（2，2），设=（x3，y3）=（，﹣）+λ（2，2）=（+2λ，﹣+2λ），即有x3=+2λ，y3=﹣+2λ，由y32=4x3，可得[（2λ﹣1）]2=4（+2λ），即（2λ﹣1）2=1+4λ，解得λ=0或2．21．（7分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则，，相减得，∴，∴，又=，∴，即a2=2b2．联立得，解得，∴M的方程为．（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|CD|===．联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，∴交点为A（0，），B，∴|AB|==．∴S===，四边形ACBD∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．∴四边形ACBD面积的最大值为．22．（7分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0）∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴椭圆标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴，∵，∴=∵PB2⊥QB2，∴∴，∴m=±2所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
四川省成都市外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
四川省成都市外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{2，3} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}2．（5分）设全集为实数集R，集合A={x|x＜2}，B={x|x≥3}，则（）A．A∪（∁R B）=R B．（∁R A）∪（∁R B）=R C．A∩（∁R B）=ϕD．∁R （A∪B）=ϕ3．（5分）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．C．D．4．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[0，1]B．[0，2]C．D．[﹣1，3]5．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．6．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣27．（5分）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x2﹣2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞18．（5分）定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则f（x）=是（）函数．A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数9．（5分）已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=ab，则实数k的值为（）A．6B．9C．12 D．1810．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个C．8个D．4个二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若A={x|x＞12，x∈N}，B={x|x＜6，x∈N}，全集I=N，则∁I（A∪B）=．12．（5分）已知函数f（x）=3x5+ax3+bx+8，且f（﹣2）=15，那么f（2）等于．13．（5分）已知函数f（x+1）是偶函数，当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f（2），a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f（2），则a，b，c的大小关系为．14．（5分）已知函数f（x）=，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为．15．（5分）符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[﹣1.8]=﹣2，定义函数：f（x）=x ﹣[x]，则下列命题正确的序号是．①f（﹣0.2）=0.8；②方程f（x）=有无数个解；③函数f（x）是增函数；④函数f（x）是奇函数；⑤函数f（x）的定义域为R，值域为[0，1]．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题共6小题，共75分．16．（12分）计算：（1）（）﹣×e++10lg2（2）lg25+lg2×lg500﹣lg﹣log29×log32．17．（12分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；（2）若A⊆B，B={x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．19．（12分）设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，．（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解关于x的不等式．20．（13分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．21．（14分）设函数f k（x）=x k+bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若b+c=1，且f k（1）=g（），求a的值；（2）若k=2，记函数f k（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时的b 的取值范围；（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]满足等式：g （x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．四川省成都市外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{2，3} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据题意和交集的运算直接求出A∩B．解答：解：因为集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，所以A∩B={2，3}，故选：A．点评：本题考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）设全集为实数集R，集合A={x|x＜2}，B={x|x≥3}，则（）A．A∪（∁R B）=R B．（∁R A）∪（∁R B）=R C．A∩（∁R B）=ϕD．∁R （A∪B）=ϕ考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：由题意，通过集合的运算依次计算．解答：解：∁R A={x|x≥2}，∁R B={x|x＜3}，则A∪（∁R B）={x|x＜3}，A∩（∁R B）={x|x＜2}，（∁R A）∪（∁R B）=R，∁R（A∪B）={x|2≤x＜3}．故选B．点评：本题考查了集合的运算，属于基础题．3．（5分）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．C．D．考点：函数的定义域及其求法；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：函数的定义域为R，则等价为分母不等于0 恒成立，然后解不等式即可．解答：解：∵函数的定义域为R，∴mx2﹣4mx+3≠0恒成立．①若m=0，则不等式等价为3≠0恒成立，满足条件．②若m≠0，要使不等式恒成立，则△＜0，即△=16m2﹣4×3m=16m2﹣12m＜0，解得0，综上0≤m．即[0，），故选：D．点评：本题主要考查函数定义域的应用，利用函数定义域为R，得到mx2﹣4mx+3≠0恒成立．是解决本题的关键，利用二次函数和二次不等式之间的关系进行求解是突破点．4．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[0，1]B．[0，2]C．D．[﹣1，3]考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x）的定义域，得y=f（2x﹣1）中2x﹣1的取值范围，从而求出x的取值范围，即所求的定义域．解答：解：∵函数y=f（x）的定义域是[0，2]，∴在函数y=f（2x﹣1）中，有0≤2x﹣1≤2，∴≤x≤，∴y=f（2x﹣1）的定义域是[，]；故选：C．点评：本题考查了复合函数的定义域问题，是基础题．5．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．考点：函数的图象与图象变化；函数图象的作法．专题：计算题．分析：根据函数y=a x与y=log a x互为反函数，得到它们的图象关于直线直线y=x对称，从而对选项进行判断即得．解答：解：∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．再由函数y=a x的图象过（0，1），y=a x，的图象过（1，0），观察图象知，只有C正确．故选C．点评：本小题主要考查反函数、反函数的应用、对数函数、指数函数的图象等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．6．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣2考点：对数的运算性质；幂函数的性质．专题：计算题；转化思想．分析：先设log2f（2）=n，求出函数f（x）的解析式，然后将点代入解析式，即可求出结果．解答：解：设log2f（2）=n，则f（2）=2n∴f（x）=x n又∵由幂函数y=f（x）的图象过点∴，故选A．点评：本题主要考查了对数函数和幂函数的关系，关键是将所求转化成幂函数，此题比较容易是基础题．7．（5分）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x2﹣2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞1考点：映射．专题：计算题．分析：设x2﹣2x+2=k，据题意知此方程应无实根，用判别式表示方程无实根，即判别式小于0，解出k的值．解答：解：设x2﹣2x+2=k，据题意知此方程应无实根∴△=（﹣2）2﹣4•（2﹣k）＜0，1﹣2+k＜0∴k＜1，故选B点评：本题考查映射的意义，本题解题的关键是利用一元二次方程的解的判别式表示出符合题意的不等式．8．（5分）定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则f（x）=是（）函数．A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数考点：函数奇偶性的判断；进行简单的合情推理．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f（x）与f（﹣x）的关系得结论．解答：解：有定义知f（x）=﹣=﹣，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，所以f（x）=，故f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）是奇函数．故选A．点评：本题是对函数新定义与奇偶性的综合考查，关于新定义的题，关键在于理解新定义，并会用新定义解题，属于易错题题．9．（5分）已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=ab，则实数k的值为（）A．6B．9C．12 D．18考点：对数的运算性质；指数式与对数式的互化．专题：计算题．分析：由2a=3b=k（k≠1），知a=log2k，b=log3k，故，，由2a+b=ab，知=log k18=1，由此能求出k．解答：解：∵2a=3b=k（k≠1），∴a=log2k，b=log3k，∴，，∵2a+b=ab，∴=log k9+log k2=log k18=1，∴k=18．故选D．点评：本题考查指数式和对数式的相互转化，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数性质的灵活运用．10．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个C．8个D．4个考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：新定义．分析：根据已知中若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，再由函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}，由y=1时，x=±1，y=7时，x=±2，我们用列举法，可以得到函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}的所有“孪生函数”，进而得到答案．解答：解：由已知中“孪生函数”的定义：一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，当函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}时，函数的定义域可能为：{﹣2，﹣1}，{﹣2，1}，{2，﹣1}，{2，1}，{﹣2，﹣1，1}，{﹣2，﹣1，2}，{﹣1，1，2}，{﹣2，1，2}，{﹣2，﹣1，1，2}，共9个故选B点评：本题考查的知识点是新定义，函数的三要素，基本用列举法，是解答此类问题的常用方法，但列举时，要注意一定的规则，以免重复和遗漏．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若A={x|x＞12，x∈N}，B={x|x＜6，x∈N}，全集I=N，则∁I（A∪B）={6，7，8，9，10，11，12}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由已知中A={x|x＞12，x∈N}，B={x|x＜6，x∈N}，全集I=N，进而结合集合交集，并集，补集的定义，代入运算后，可得答案．解答：解：∵A={x|x＞12，x∈N}，B={x|x＜6，x∈N}，∴A∪B={x|x＜6，或x＞12，x∈N}，∴∁I（A∪B）={x|6≤x≤12，x∈N}={6，7，8，9，10，11，12}，故答案为：{6，7，8，9，10，11，12}点评：本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）=3x5+ax3+bx+8，且f（﹣2）=15，那么f（2）等于1．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先由f（﹣2）=15，得到3•25+a•23+2b=﹣7，代入f（2），从而得到答案．解答：解：∵f（﹣2）=3（﹣2）5+a（﹣2）3+b•（﹣2）+8=15，∴3•25+a•23+2b=﹣7，∴f（2）=﹣7+8=1，故答案为：1．点评：本题考查了函数的奇偶性问题，考查了求函数值问题，是一道基础题．13．（5分）已知函数f（x+1）是偶函数，当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f（2），a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f（2），则a，b，c的大小关系为c＜a＜b．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x+1）是偶函数，且当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递减作出函数f（x）的图象的大致形状，结合图象可以得到a，b，c的大小关系．解答：解：因为函数f（x+1）是偶函数，所以其图象关于直线x=0对称，所以函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．又当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递减，其图象大致形状如图，由图象可知，f（2）＜f（）＜f（1）．即c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．点评：本题考查了函数的性质，解题关键是对函数的对称性的理解，可以利用数形结合的解题思想方法解题，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为[，）．考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意易知f（x）在[0，），[，1]上单调递增，从而可得x1∈[0，），x2∈[，1]；从而求出x1的取值范围并化简x1•f（x2）=x1•（x1+），从而求其取值范围．解答：解：∵f（x）=x+，x∈[0，）为单调递增，f（x）=3x2在[，1]上单调递增，则由存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）得，x1∈[0，），x2∈[，1]，即x1+=3，则≤x1＜，则x1•f（x2）=x1•（x1+），则•（+）≤x1•（x1+）＜•1，即≤x1•（x1+）＜，故答案为：[，）．点评：本题考查了分段函数的应用，同时考查了单调函数的应用，属于中档题．15．（5分）符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[﹣1.8]=﹣2，定义函数：f（x）=x ﹣[x]，则下列命题正确的序号是①②．①f（﹣0.2）=0.8；②方程f（x）=有无数个解；③函数f（x）是增函数；④函数f（x）是奇函数；⑤函数f（x）的定义域为R，值域为[0，1]．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；推理和证明．分析：由符号[x]表示不超过x的最大整数，f（x）=x﹣[x]，可以画出其图象根据图象就比较容易判断了．解答：解：作出函数f（x）=x﹣[x]的图象，如同所示对于①结论三正确的，∵[x]表示不超过x的最大整数，∴[﹣0.2]=﹣1，∴f（﹣0.2）=﹣0.2﹣（﹣1）=0.8．对于②结论是正确的，可以看出函数是周期函数，故方程有无数解是正确的．③是不正确的，因为函数是周期函数，所以不是递增函数．④是不正确的，取特殊值，∵f（﹣0.5）=f（0.5）=0.5，∴④是不正确的．⑤由图象可知，结论三不正确的，值域是[0，1），∴⑤是不正确的．故答案为：①②点评：本题考查新函数的定义，函数性质的判断，所以基础题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题共6小题，共75分．16．（12分）计算：（1）（）﹣×e++10lg2（2）lg25+lg2×lg500﹣lg﹣log29×log32．考点：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用指数幂的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则和lg2+lg5=1．解答：解：（1）原式=﹣×+（e﹣2）+2=﹣e+e=．（2）原式=lg25+lg2（lg5+2）﹣﹣=lg5（lg5+lg2）+2lg2+lg5﹣2=2（lg2+lg5）﹣2=2﹣2=0．点评：本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算法则和lg2+lg5=1，属于基础题．17．（12分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；（2）若A⊆B，B={x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）先求出A={x|﹣2≤x≤5}，若B⊆A，则：B=∅时，m+1＞2m﹣1，m＜2；B≠∅时，则m应满足，所以解该不等式组，并合并m＜2即得m的取值范围；（2）若A⊆B，则m应满足，解该不等式组即得m的取值范围．解答：解：A={x|﹣2≤x≤5}；（1）∵B⊆A；∴①若B=∅，则m+1＞2m﹣1，即m＜2，此时满足B⊆A；②若B≠∅，则；解得2≤m≤3；由①②得，m的取值范围是（﹣∞，3]；（2）若A⊆B，则；解得3≤m≤4；∴m的取值范围是[3，4]．点评：考查解一元二次不等式，子集、空集的概念，以及描述法表示集合．18．（12分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数a，b的值；（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性．解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴=﹣，因此b=﹣b，即b=0．又f（2）=，∴=，∴a=2；（2）由（1）知f（x）==+，f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，证明：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2）•．∵x1＜x2≤﹣1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，根据相应的定义是解决本题的关键．19．（12分）设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，．（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解关于x的不等式．考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用赋值法，可令m=n=1可求得f（1）=0，再令，可求f（2）的值；（2）为定义法证明函数的单调性，注意步骤；（3）利用已证的单调性把不等式转化为不等式组求解．解答：解：（1）对于任意正实数m，n；恒有f（mn）=f（m）+f（n）令m=n=1，f（1）=2f（1）∴f（1）=0，又∵再令，得∵（2）令0＜x1＜x2，则∵当x＞0时，=∴f（x2）＞f（x1）∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．（3）∵f（mn）=f（m）+f（n）f（2）=1∴f（4）=2f（2）=2=∴原不等式可化为，又∵f（x）在区间（0，+∞）上是增函数∴∴∴x≥6点评：本题为函数的性质及应用，涉及不等式的解法即转化的思想，属基础题．20．（13分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）=f（﹣x），化简可得x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，从而求得k的值．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，方程有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，分类讨论求得a的范围，综合可得结论．解答：解：（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（﹣x），∴，化简得，即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，∴．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，化简得：方程有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，设g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，所以①当a=1时，有t=1，合题意；②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=﹣1＜0，则需满足，此时有；（舍去）．③当a＞1时，又g（0）=﹣1，方程恒有一个正根与一个负根．综上可知，a的取值范围是{}∪[1，+∞）．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的性质的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于基础．21．（14分）设函数f k（x）=x k+bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若b+c=1，且f k（1）=g（），求a的值；（2）若k=2，记函数f k（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时的b 的取值范围；（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]满足等式：g （x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）代入得到关于a的方程解之；（2）k=2，说明函数是二次函数，讨论对称轴x=﹣与区间的位置关系，确定最值，得到关于b的方程，解之；（3）将等式g（x1）•g（x2）=p变形得g（x1）=p﹣g（x2），由x1，x2的范围，得到g（x1）、g（x2）的范围，利用对任意实数x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]得到[log a a，log a（2a）]⊆[p﹣，p﹣log a a]解得即可．解答：解：（1）∵b+c=1，且f（1）=g（），∴1+b+c=，∴a=；（2）k=2时，f（x）=x2+bx+c，所以当对称轴x=﹣≤﹣1，即b≥2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣1）=1﹣b+c，M﹣m=2b≤4，解得b≤2，∴b=2．当对称轴﹣1＜﹣≤0，即0≤b＜2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣）=c﹣，M﹣m=b+1+≤4，解得﹣6≤b≤2，∴0≤b＜2．当对称轴0＜﹣＜1，即﹣2≤b＜0时，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（﹣）=c﹣，M﹣m=1﹣b+≤4，解得﹣2≤b≤6，∴﹣2＜b＜0．当对称轴﹣≥1，即b≤﹣2时，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（1）=1+b+c，M﹣m=﹣2b≤4，解得b≥﹣2，∴b=﹣2．综上所述：b的取值范围是﹣2≤b≤2．（3）将等式g（x1）+g（x2）=p变形得g（x1）=p﹣g（x2），由任意实数x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]得到[log a a，log a（2a）]⊆[p﹣，p﹣log a a]，即[1，1+log a2]⊆[p﹣2，p﹣1]，∴，解得2+log a2=3，∴a=2．点评：本题考查了二次函数闭区间的最值的求法问题以及存在性问题的处理方法．。
【最新经典文档】-2016年四川省乐山外国语学校高一上学期数学期中试卷带答案
，
恒成立，则
的值为
．
三、解答题：本大题 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤． 17．（ 10.00 分）已知 A={ x| 2a≤x≤a+3} ，B={ x| x2﹣ 6x+5＞ 0} ．
（ 1）若 A∩B=?，求 a 的取值范围．
（ 2）是否存在实数 a，使得 A∪ B=R，若存在，求出 a 的取值集合，若不存在，
+
的定义域为（
）
A．[ ﹣2，0）∪（ 0，2] B．（﹣ 1，0）∪（ 0，2] C．[ ﹣2，2] D．（﹣
1，2] 4．（ 5.00 分）下列函数中与函数 y=﹣3|x|奇偶性相同且在（﹣∞， 0）上单调性也
相同的是（
）
A．y=﹣ B．y=log2| x| C．y=1﹣ x2 D．y=x3﹣1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将答案填在答题卷上 相应的横线上 .
13．（ 5.00 分）计算
÷
=
．
14．（ 5.00 分）已知函数 f（x）为奇函数，且当 x＞0 时， f（ x）=x2+ ，则 f（﹣
1）=
．
15．（ 5.00 分）若函数 f （x） =
（ a＞ 0 且 a≠1）的值域是 [ 4，+
4．（ 5.00 分）下列函数中与函数 y=﹣3|x|奇偶性相同且在（﹣∞， 0）上单调性也
相同的是（
）
A．y=﹣ B．y=log2| x| C．y=1﹣ x2 D．y=x3﹣1
【解答】 解：∵函数 y=﹣3| x| 是偶函数，且在（﹣∞， 0）上是增函数，
∴对于 A， y=﹣ 是奇函数，不满足条件；
四川省乐山外国语学校2015届高三数学上学期期中试卷文(含解析)
四川省乐山外国语学校2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一．选择题：每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=（）A．{3} B．{0，1，2} C．{1，2} D．{0，1，2，3}2．（5分）若复数z满足z（2﹣i）=5i（i为虚数单位），则z为（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．5．（5分）某算法程序框图如图所示，若a=，b=3，c=log23，则x=（）A．B．a C．b D．c6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n7．（5分）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的（）A．倍B．10倍C．10倍D．ln倍8．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣9．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+310．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上．）11．（5分）tan660°的值为．12．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2﹣a5=0，则=．13．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为cm314．（5分）如图，直角△POB中，∠PBO=90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧等分△POB的面积，且∠AOB=α弧度，则=．15．（5分）已知f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1和g（x）=x2﹣2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，则下列命题：①函数f（x）的图象关于直线x=0对称；②关于x的方程f（x）﹣k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈（0，1）；③关于x的方程f（x）=g（x）恰有四个不相等实数根的充要条件是m∈[0，1]；④若∃x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[﹣1，1]，f（x1）＜g（x2）成立，则m∈（﹣1，+∞）；其中正确的例题有（写出所有正确例题的序号）．三.解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．17．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+c（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）设a∈R，函数满足．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，求f （A）的取值范围．19．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E是DC的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P点位置，且PC=PB．（Ⅰ）若F是BP的中点，求证：CF∥面APE；（Ⅱ）求证：面APE⊥面ABCE；（Ⅲ）求三棱锥C﹣PBE的体积．20．（13分）已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．四川省乐山外国语学校2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=（）A．{3} B．{0，1，2} C．{1，2} D．{0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集，找出解集中的自然数解确定出B，求出A与B的交集即可．解答：解：由B中的不等式解得：﹣2≤x≤2，即B={x|﹣2≤x≤2，x∈N}={0，1，2}，∵A={0，1，2，3}，∴A∩B={0，1，2}，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义解本题的关键．2．（5分）若复数z满足z（2﹣i）=5i（i为虚数单位），则z为（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后直接利用复数的除法运算化简求值．解答：解：∵复数z满足z（2﹣i）=5i，∴z====﹣1+2i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，是基础的计算题．3．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用充要条件判断A的正误；命题的否定判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；否命题的关系判断D的正误；解答：解：对于A，“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件，显然不正确，如果函数的定义域中没有0，函数可以是奇函数例如，y=，∴A不正确；对于B，若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B不正确；对于C，若p∧q为假命题，则p，q一假即假命，∴C不正确；对于D，“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，满足否命题的形式，∴D正确；故选：D．点评：本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，充要条件的判定，基本知识的考查．4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（2﹣3）⊥，可得（2﹣3）•=0，解出即可．解答：解：=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=2（2k﹣3）﹣6=0，解得k=3．故选：C．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．5．（5分）某算法程序框图如图所示，若a=，b=3，c=log23，则x=（）A．B．a C．b D．c考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，比较a、b、c三数的大小，可得答案．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，∵a3=＞3=b3＞0，∴a＞b；又a==log2=log2＜log2=log23=c．∴输出的结果为c．故选：D．点评：本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：由已知条件，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能求出结果．解答：解：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β或α与β相交，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误．故选：B．点评：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．（5分）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的（）A．倍B．10倍C．10倍D．ln倍考点：对数函数图象与性质的综合应用；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题设中的定义，将音量值代入η=10lg，计算出声音强度I1与声音强度I2的值，再计算出即可求出倍数解答：解：由题意，令70=lg，解得，I1=I0×1070，令60=lg，解得，I2=I0×1060，所以=10故选：C．点评：本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键8．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x ﹣），利用正弦函数的对称性即可求得答案．解答：解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题．9．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．解答：解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．点评：本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．10．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上．）11．（5分）tan660°的值为﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式求得所给式子的值．解答：解：，故答案为：﹣．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．12．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2﹣a5=0，则=5．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等比数列的通项公式将已知等式8a2﹣a5=0用首项和公比表示，求出公比；再利用等比数列的前n项和定义及通项公式表示，将公比的值代入其中求出值．解答：解：∵8a2﹣a5=0，∴，q=2，==1+q2=5故答案为：5．点评：解决等比数列、等差数列两个特殊数列的有关问题，一般利用通项及前n项和公式得到关于基本量的方程，利用基本量法来解决．在等比数列有关于和的问题，依据和的定义，能避免对公比是否为1进行讨论．13．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体是一圆柱挖去一个半球，且圆柱的高为3，圆柱与球的半径都是1，代入体积公式求出圆柱的体积与半球的体积相减．解答：解：由三视图知几何体是一圆柱挖去一个半球，且圆柱的高为3，圆柱与球的半径都是1，∴几何体的体积V=π×12×3﹣π×13=．故答案是：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．14．（5分）如图，直角△POB中，∠PBO=90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧等分△POB的面积，且∠AOB=α弧度，则=．考点：扇形面积公式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tanα与α的关系，即可得出结论．解答：解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为α r2，直角三角形POB中，PB=rtanα，△POB的面积为r×rtanα，由题意得r×rtanα=2×α r2，∴tanα=2α，∴=．故答案为：．点评：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（5分）已知f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1和g（x）=x2﹣2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，则下列命题：①函数f（x）的图象关于直线x=0对称；②关于x的方程f（x）﹣k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈（0，1）；③关于x的方程f（x）=g（x）恰有四个不相等实数根的充要条件是m∈[0，1]；④若∃x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[﹣1，1]，f（x1）＜g（x2）成立，则m∈（﹣1，+∞）；其中正确的例题有①④（写出所有正确例题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：画出函数f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1的图象，利用图象法可判断①和②，分析指定区间上f（x）与g（x）的值域，进而将存在性问题转化为最值问题后，可判断③和④解答：解：因为f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x=0对称，故①正确；作出f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1如图所示，可知，关于x的方程f（x）﹣k=0恰有四个不相等实数根的充要条件为k∈（﹣1，1），故②错误；在同一坐标系中作出f（x）=﹣2|2|x|﹣1|+1和y=x2﹣2|x|的图象，由图象可知当时方程f（x）=g（x）恰有四个不相等实数根，故③错；由题可知，只需当x∈[﹣1，1]时f（x）min＜g（x）max即可．易得f（x）min=﹣1，g（x）max=m，所以m∈（﹣1，+∞），所以④正确．故答案为：①④．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件的判断，函数的最值以及函数的图象的应用，是中档题．三.解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为π﹣（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值；（2）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinC的值代入sinB=cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，则S△ABC=acsinB=×××=．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+c（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：（1）利用递推关系判断出数列{a n}为等差数列，将a1，a2，a5用公差表示，据此三项成等比数列列出方程，求出c．（2）写出b n，据其特点，利用裂项的方法求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a n+1=a n+c∴a n+1﹣a n=c∴数列{a n}是以a1=1为首项，以c为公差的等差数列a2=1+c，a5=1+4c又a1，a2，a5成公比不为1的等比数列∴（1+c）2=1+4c解得c=2或c=0（舍）（2）由（1）知，a n=2n﹣1∴∴=点评：求数列的前n项和时，应该先求出通项，根据通项的特点，选择合适的求和方法．18．（12分）设a∈R，函数满足．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，求f （A）的取值范围．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据三角函数的公式将f（x）进行化简，然后求函数的单调递减区间；（Ⅱ）根据余弦定理将条件进行化简，即可得到f（A）的取值范围．解答：解：（I），由得：，∴．∴，由得：，k∈Z∴f（x）的单调递减区间为：．（II）∵，由余弦定理得：，即2acosB﹣ccosB=bcosC，由正弦定理得：2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，即，∴∵△ABC锐角三角形，∴，，∴的取值范围为（1，2]．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及正弦定理和余弦定理的应用，考查学生的计算能力．19．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E是DC的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P点位置，且PC=PB．（Ⅰ）若F是BP的中点，求证：CF∥面APE；（Ⅱ）求证：面APE⊥面ABCE；（Ⅲ）求三棱锥C﹣PBE的体积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取AB中点G，连接GF，GC，证明平面APE∥平面FGC，可得CF∥面APE；（Ⅱ）取AE中点O，连接PO，取BC的中点H，连OH，PH，证明PO⊥面ABCE，即可证明面APE⊥面ABCE；（Ⅲ）利用等体积转化，即可求三棱锥C﹣PBE的体积．解答：（Ⅰ）证明：取AB中点G，连接GF，GC，∵EC∥AG，EC=AG，∴四边形AECG为平行四边形，∴AE∥GC，在△ABP中，GF∥AP，又GF∩GC=G，AE∩AP=A，∴平面APE∥平面FGC∵FC⊂平面FGC，∴CF∥面APE．…（4分）（Ⅱ）证明：取AE中点O，连接PO，则PA=PE，OA=OE，∴PO⊥AE，取BC的中点H，连OH，PH，∴OH∥AB，∴OH⊥BC，∵PB=PC，∴BC⊥PH，∴BC⊥面POH，∴BC⊥PO，又BC与AE相交，可得PO⊥面ABCE，所以，面APE⊥面ABCE．…（9分）（Ⅲ）解：．…（13分）点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b的（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t＜0，然后结合基本不等式式即可求解（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2．法一：问题化为对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|，结合函数的性质可求解答：解：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．得解得：（3分）（2）由（1），所以，令x+1=t，t＜0，则=因为x＜﹣1，所以t＜0，所以，当，所以，（8分）即AP的最小值是，此时，点P的坐标是．（9分）（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，①当x=1时，或m＞2，②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，∴，，结合0＜m＜1或m＞2，∴m＞2对于对x∈（1，2]恒成立，等价于令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，，t∈（0，1]递减，∴，∴m≤4，∴0＜m＜1或2＜m≤4，综上：2＜m≤4（16分）法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，依题意g（2）≤m，，舍去；②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，考虑到，再分两种情形：（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，依题意，即m≤4，∴2＜m≤4；（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，故g（2）≤m，∴2（m﹣2）≤m，∴m≤4，舍去．综上可得，2＜m≤4（16分）点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，及基本不等式在求解函数的值域中的应用，函数的恒成立问题与函数最值求解中的综合应用．21．（14分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．考点：数学归纳法；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；分类讨论．分析：（1）通过函数的导数，利用导数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出b，c即可．（2）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；（3）由（1）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论．解法二：利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．解答：解：（1）∵，∴∴f（1）=a+a﹣1+c=2a﹣1+c．又∵点（1，f（1））在切线y=x﹣1上，∴2a﹣1+c=0⇒c=1﹣2a，∴．（2）∵，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min≥0，又∵，而当时，．1°当即时，g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴；2°当即时，g'（x）=0时；且时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0；则①，又∵与①矛盾，不符题意，故舍．∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．（3）证明：由（2）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，令x依次取…时，则有，，…，由同向不等式可加性可得，即，也即，也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．解法二：①当n=1时左边=1，右边=ln2+＜1，不等式成立；②假设n=k时，不等式成立，就是1+++…+＞ln（k+1）+（k≥1）．那么1+++…++＞ln（k+1）++=ln（k+1）+．由（2）知：当时，有f（x）≥lnx （x≥1）令有f（x）=（x≥1）令x=得∴∴1+++…++＞这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．根据（1）和（2），可知不等式对任何n∈N*都成立．点评：本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想．。
高二上册数学期中试卷及答案精选
高二上册数学期中试卷及答案精选学生的时代只有课本、作业、同学和试卷，单纯却美好。
下面小编整理了高二上册数学期中试卷及答案精选，欢迎阅读参考。
高二上册数学期中试卷及答案精选(一)一、单项选择(注释)1、在△ABC中，已知60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围是 ( )A.(1，2)B. (3，+∞)C.( 2，+∞)D.( 1，+∞)2、已知函数，若则实数的取值范围是 ( )A.(1，+∞)B. (1，-∞)C. (+∞，2)D.(-∞，2)3、设函数则不等式的解集是( )A.(1，2) (3，+∞)B.(1，2) (2，+∞)C. (1，2) (3，-∞)D.(1，2) (2，-∞)4、已知正数满足 , ,则的取值范围是______ .5、已知实数满足则的最大值是( )A.4B.5C. 7D.46、设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为( )A.(1，2) (3，+∞)B.( ，+∞)C.(1，2) ( ，+∞)D.(1，2)7、下列不等式(1)m-3>m-5;(2)5-m>3-m;(3)5m>3m ;(4)5+m>5-m其中正确的有( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个8、已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为( )A. B. C. D.9、设等差数列的前项和为 ,若 ,则等于( )A.18B.36C.45D.6010、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列.那么，这样的三元子集A的个数是( )A. B.C. D.11、设等差数列满足： ,则 ( )A.14B.21C.28D.3512、在中，，，分别是，，的对边，已知，，成等比数列，且，则的值为( )A. 4B.2C. 1D.5评卷人得分二、填空题(注释)13、已知 ,若恒成立,则实数的取值范围_________14、已知不等式(x+y) 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为__________15、在△ 中，若，则△ 的形状是16、在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC=________.评卷人得分三、解答题(注释)17、设数列满足下列关系：为常数)， ;数列满足关系： .(1)求证：(2)证明数列是等差数列.18、已知集合A={x|x2<4}，B={x|1< }.(1)求集合A∩B;(2)若不等式2x2+ax+b<0的解集为B，求a、b的值.19、已知数列的各项均为正整数,且 ,设集合 .性质1 若对于 ,存在唯一一组 ( )使成立,则称数列为完备数列,当k取最大值时称数列为k阶完备数列.性质2 若记 ,且对于任意 , ,都有成立,则称数列为完整数列,当k取最大值时称数列为k阶完整数列.性质3 若数列同时具有性质1及性质2,则称此数列为完美数列,当取最大值时称为阶完美数列;(Ⅰ)若数列的通项公式为 ,求集合 ,并指出分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;(Ⅱ)若数列的通项公式为 ,求证:数列为阶完备数列,并求出集合中所有元素的和 .(Ⅲ)若数列为阶完美数列,试写出集合 ,并求数列通项公式.20、已知数列为等差数列,公差 ,其中恰为等比数列,若 , , ,⑴求等比数列的公比⑵试求数列的前n项和21、已知是各项均为正数的等比数列,且 ,;(1)求的通项公式;(2)设 ,求数列的前项和 .22、在数列中, .(1)证明数列是等比数列;(2)设是数列的前项和,求使的最小值.参考答案一、单项选择1、【答案】C2、【答案】C【解析】由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。
2014-2015年四川省乐山市井研中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年四川省乐山市井研中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．（5分）下列命题中，正确的是（）A．经过两条相交直线，有且只有一个平面B．经过一条直线和一点，有且只有一个平面C．若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合2．（5分）一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．3．（5分）已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下列四个命题中，正确的是（）A．⇒α∥β B．⇒l⊥βC．⇒m∥n D．⇒m∥n 4．（5分）点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心5．（5分）在下列条件中，M与A、B、C一定共面的是（）A．=2﹣﹣B．=++C．++=D．+++=6．（5分）已知A（3，0，﹣1）、B（0，﹣2，0）、C（2，4，﹣2），则△ABC是（）A．.等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形D．以上都不对7．（5分）如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AA1长为4，且AA1与A1B1，A1D1的夹角都是60°，则AC1的长等于（）A．10 B． C． D．8．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等9．（5分）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AA1=2，E，F分别为AB、CB中点，过直线EF作棱柱的截面，若截面与平面ABC所成的二面角的大小为60°，则截面的面积为（）A．3或1 B．1 C．4或1 D．3或410．（5分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，AE=BE=，且当规定主（正）视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的左（侧）视图的面积为．若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为．12．（5分）已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是．13．（5分）空间四边形ABCD，AB=CD=8，M、N、P分别为BD、AC、BC的中点，若异面直线AB和CD成60°的角，则MN=．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为．15．（5分）正三棱锥P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π）；②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．正确的序号是．三、解答题：（本大题共7小题，共75分，解答时，写出必要的步骤和文字说明）．16．（12分）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 的中点，且AB=AD，BC=DC．（1）求证：BD∥平面EFGH；（2）求证：四边形EFGH是矩形．17．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB中点，F为正方形BCC1B1的中心．（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．18．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）过点E作截面EFH∥平面A1CD，分别交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面积；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角？说明理由．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB于点F．（1）求证：面PBC⊥面EFD；（2）求二面角C﹣PB﹣D的大小．20．（13分）如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径，AA1=AC=CB=2．E，F分别为AC，BC 上的动点，且CE=BF．（Ⅰ）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）设CE=BF=x，当x为何值时，三棱锥C1﹣ECF的体积最大，最大值为多少？（Ⅲ）若F为线段BC的中点，请问CC1上是否存在点M，使得B1M⊥C1O，若存在请求出C1M的长，若不存在，请说明理由．21．（14分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．（1）求点C到平面A1ABB1的距离；（2）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）若M，N分别为直线AA1，B1C上动点，求MN的最小值．22．如图，三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．2014-2015学年四川省乐山市井研中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．（5分）下列命题中，正确的是（）A．经过两条相交直线，有且只有一个平面B．经过一条直线和一点，有且只有一个平面C．若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合【解答】解：根据共面的推理可知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以A正确．若点在直线上，则经过一条直线和一点，有无数多个平面，所以B错误．两个平面相交，交线是直线，所以它们的公共点有无限多个，所以C错误．若三个公共点在一条直线上时，此时两个平面有可能是相交的，所以D错误．故选：A．2．（5分）一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图的规则“长对正，宽相等，高平齐”可知：这个几何体的俯视图不可能是D，因为D中的长与宽不相等．故选：D．3．（5分）已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下列四个命题中，正确的是（）A．⇒α∥β B．⇒l⊥βC．⇒m∥n D．⇒m∥n 【解答】解：⇒α与β平行或相交，故A错误；⇒l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；⇒m与n相交、平行或异面，故C错误；⇒m∥n，由直线与平面垂直的性质定理，得D正确．故选：D．4．（5分）点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【解答】证明：点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，故△POA，△POB，△POC都是直角三角形∵PO是公共边，PA=PB=PC∴△POA≌△POB≌△POC∴OA=OB=OC故O是△ABC外心故选：D．5．（5分）在下列条件中，M与A、B、C一定共面的是（）A．=2﹣﹣B．=++C．++=D．+++=【解答】解：C中，由++=，得=﹣﹣，则，，为共面向量，即M、A、B、C四点共面．对于A，++==≠，∴M、A、B、C 四点不共面对于B，∵，∴M、A、B、C四点不共面对于D，∵+++=，=﹣（++），系数和不为1，∴M、A、B、C四点不共面故选：C．6．（5分）已知A（3，0，﹣1）、B（0，﹣2，0）、C（2，4，﹣2），则△ABC是（）A．.等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形D．以上都不对【解答】解；∵A（3，0，﹣1）、B（0，﹣2，0）、C（2，4，﹣2），∴=（﹣3，﹣2，1），=（﹣1，4，﹣1），=（2，6，﹣2），∴||=，||=，||=，∵，∴△ABC不是等腰三角形，也不是直角三角形，故选：D．7．（5分）如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AA1长为4，且AA1与A1B1，A1D1的夹角都是60°，则AC1的长等于（）A．10 B． C． D．【解答】解：因为=++；∴（）2=（++）2=（）2+（）2+（）2+2 •+2 •+2 •=42+32+32+2×4×3cos120°+2×4×3cos120°+2×3×3cos90°=10．∴AC1=故选：C．8．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．9．（5分）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AA1=2，E，F分别为AB、CB中点，过直线EF作棱柱的截面，若截面与平面ABC所成的二面角的大小为60°，则截面的面积为（）A．3或1 B．1 C．4或1 D．3或4【解答】解：由题意，分类讨论：如右图，当截面为三角形时，利用，得=cos60°，即，∴截面的面积为S=1；当截面为四边形时，利用，得=cos60°，即，∴截面的面积为S=3；故选：A．10．（5分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，AE=BE=，且当规定主（正）视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的左（侧）视图的面积为．若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：取AB中点F，∵AE=BE=，∴EF⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，易求EF=，左视图的面积S=×AD•EF=×AD×=，∴AD=1，则DE=2，CE=2，CD=2，∴∠AED=∠BEC=30°，∠DEC=60°，将四棱锥E﹣ABCD的侧面AED、DEC、CEB展开铺平如图，则AB2=AE2+BE2﹣2AE•BE•cos120°=3+3﹣2×3×（﹣）=9，∴AB=3，∴AM+MN+BN的最小值为3．故选：C．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为7．【解答】解：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，=π（r+3r）l=84π，所以S侧面积解得r=7．故答案为：7．12．（5分）已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是50π．【解答】解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，∴长方体的对角线长为：=5，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，∴球半径为R=，可得球的表面积为4πR2=50π．故答案为：50π．13．（5分）空间四边形ABCD，AB=CD=8，M、N、P分别为BD、AC、BC的中点，若异面直线AB和CD成60°的角，则MN=4或4．【解答】解：∵AB=CD=8，M、N、P分别为BD、AC、BC的中点，连接MN，MP，NP∴NP=MP=4异面直线AB和CD成60°的角，∴∠MPN=60°或120°当∠MPN=60°时，MN=4当∠MPN=120°时，MN=4故答案为：4或414．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为57π．【解答】解：由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成：下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥．圆锥的高h==4．∴V==57π．故答案为57π．15．（5分）正三棱锥P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π）；②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．正确的序号是①②④．【解答】解：①设底面正三角形的边长为1，过B作BD⊥PA，连结CD，则∠BDC 是二面角B﹣PA﹣C大小，因为底面三角形ABC是正三角形，所以∠CAB=，所以当点P无限靠近点O时，即高无限小时，∠BDC接近，所以二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π），所以①正确．②因为CM=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，则PB⊥AM，因为P ﹣ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因为AM ∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因为P﹣ABC是正三棱锥，所以必有PC⊥面PAB，所以PC与平面PAB所成角的大小为，所以②正确．③因为因为P﹣ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA ⊥BC．所以过点M与异面直线PA和BC都成的直线有两条，所以③错误．④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则∠BDC=，此时∠EDC=，（其中E是BC的中点），，所以此时直线BC与平面PAC和平面PAB都成，又因为平面PAC和平面PAB的法向量的夹角为，此时适当调整过N的直线，可以得到两条直线使得过点N与平面PAC和平面PAB都成，所以满足过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．所以④正确．故答案为：①②④．三、解答题：（本大题共7小题，共75分，解答时，写出必要的步骤和文字说明）．16．（12分）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 的中点，且AB=AD，BC=DC．（1）求证：BD∥平面EFGH；（2）求证：四边形EFGH是矩形．【解答】证明：（1）∵E，H分别为AB，DA的中点，∴EH∥BD，又BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH．…（4分）（2）取BD中点O，连续OA，OC，∵AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD．又AO∩CO=0．∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC．…（7分）∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点．∴EH∥BD，且EH=BD；FG∥BD，且FG=BD，EF∥AC．∴EH∥FG，且EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．…（10分）由AC⊥BD、EF∥AC、EH∥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH为矩形．…（12分）17．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB中点，F为正方形BCC1B1的中心．（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；（2）求异面直线A 1C与EF所成角的余弦值．【解答】解法一：（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2．∵F为BCC1B1中心，E为AB中点．∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=．∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH．∴tan∠FEH===．…（6分）（2）取A1C中点O，连接OF，OA，则OF∥AE，且OF=AE．∴四边形AEFO为平行四边形．∴AO∥EF．∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角．∵A1A=2，AO=A1O=．∴△AOA1中，由余弦定理得cos∠A1OA=．…（12分）解法二：设正方体棱长为2，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），B1（0，0，2），E（0，1，0），F（1，0，1），C（2，0，0），A1（0，2，2）．（1）=（1，﹣1，1），=（0，0，2），且为平面ABCD的法向量．∴cos＜，＞=．设直线EF与平面ABCD所成角大小为θ．∴sinθ=，从而tanθ=．…（6分）（2）∵=（2，﹣2，﹣2），∴cos＜，＞=．∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为．…（12分）18．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）过点E作截面EFH∥平面A1CD，分别交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面积；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角？说明理由．【解答】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD．又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE．又A1C⊥CD，CD∩DE=D，∴A1C⊥平面BCDE…（4分）（2）解：过点E作EF∥CD交BC于F，过点F作FH∥A1C交A1B于H，连结EH，则截面EFH∥平面A 1CD．因为四边形EFCD为矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，从而FB=2，HF=．∵A1C⊥平面BCDE，FH∥A1C，∴HF⊥平面BCDE，∴HF⊥FE，∴．…（8分）（3）解：假设线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角．设P点坐标为（a，0，0），则a∈[0，6]．如图建系C﹣xyz，则D（0，1，0），A1（0，0，），B（6，0，0），E（4，1，0）．∴，．设平面A 1BE法向量为，则，∴，∴，设平面A1DP法向量为，因为，．则，∴，∴．则cos＜，＞===，∴5656a2﹣96a﹣141=0，解得∵0＜a＜6，∴所以存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角．…（12分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB于点F．（1）求证：面PBC⊥面EFD；（2）求二面角C﹣PB﹣D的大小．【解答】证明：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DB，PD⊥DC，PD⊥DB．又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．∴PC是PB在平面PDC内的射影．∵PD⊥DC，PD=DC，点E是PC的中点，∴DE⊥PC．由三垂线定理知，DE⊥PB．∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．又∵PB⊂面PBC…（8分）∴面PBC⊥面EFD；解：（2）∵PB⊥平面EFD，∴PB⊥FD．又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，∴∠EFD就是二面角C﹣PB﹣D的平面角．…（10分）∵PD=DC=BC=2，∴PC=DB=2，DE=PC=∴PB==2DF==由（1）知：DE⊥PC，DE⊥PB，PC∩PB=P，∴DE⊥平面PBC．∵EF⊂平面PBC，∴DE⊥EF．在Rt△DEF中，sin∠EFD==∴∠EFD=60°．故所求二面角C﹣PB﹣D的大小为60°．…（12分）20．（13分）如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径，AA1=AC=CB=2．E，F分别为AC，BC 上的动点，且CE=BF．（Ⅰ）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）设CE=BF=x，当x为何值时，三棱锥C1﹣ECF的体积最大，最大值为多少？（Ⅲ）若F为线段BC的中点，请问CC1上是否存在点M，使得B1M⊥C1O，若存在请求出C1M的长，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵BB1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，又BC∩BB1=B，∴AC⊥平面B1BCC1，∵AC⊂平面B1BCC1，∴平面A1ACC1⊥平面B1BCC1．（Ⅱ）解：∵CE=BF=x，∴CF=2﹣x，∴====，∴x=1时，三棱锥C1﹣ECF的体积最大，最大值为．（Ⅲ）解：当C1M=1时，有B1M⊥C1O．理由如下：若F为线段BC的中点，则C1M=1=CF，∴tan=tan∠CC1F，∴C1F⊥B1M，∵FO为△ABC的中位线，∴FO∥AC，∴FO⊥平面CBB1C1，∴FO⊥B1M，∵OF∩C1F=F，∴B1M⊥平面C1OF，且C1O⊂平面C1OF，∴B1M⊥C1O．21．（14分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．（1）求点C到平面A1ABB1的距离；（2）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）若M，N分别为直线AA1，B1C上动点，求MN的最小值．【解答】解：（1）连接AO，因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，，在△AOA1中，A1O=2，=2．在△BOA 1中，，则．又S△CAB设点C到平面A1ABB1的距离为h，则由得，=．从而．…（4分）（2）如图所示，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，﹣2，0），A1（0.0，2），B（0，2，0），B1（﹣1，2，2），C1（﹣1，﹣2，2）．设平面BCC 1B1的法向量，又，．由，得，令z=1，得x=2，y=0，即．设平面ABC 1的法向量，又，．由，得，令b=1，得a=2，c=3，即．所以，…（7分）由图形观察可知，二面角A﹣BC1﹣B1为钝角，所以二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值是．…（9分）（3）方法1．在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，得OE⊥BB1．因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB1C1C．从而OE⊥B1C在△AOA1中，为异面直线AA1，B1C的距离，即为MN的最小值．…（14分）方法2．设向量，且∵，．∴．令z1=1，得x1=2，y1=0，即．∵．所以异面直线AA1，B1C的距离，即为MN的最小值．…（14分）22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A 1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
四川省乐山外国语学校2014-2015学年高二上学期期中物理试卷(Word版含解析)
四川省乐山外国语学校2014-2015学年高二上学期期中物理试卷一．不定项选择题（每题4分，共48分，漏选得2分，错选得0分）1．（4分）声波属于机械波，下列有关声波的描述中正确的是（）A．同一列声波在各种介质中的波长是相同的B．声波的频率越高，它在空气中传播的速度越快C．声波可以绕过障碍物传播，即它可以发生衍射D．人能辨别不同乐器同时发出的声音，证明声音不会发生干涉2．（4分）由电场强度的定义式E=可知，在电场中的同一点（）A．电场强度E跟F成正比，跟q成反比B．无论检验电荷所带的电量如何变化，始终不变C．电荷在电场中某点所受的电场力大，该点的电场强度强D．一个不带电的小球在P点受到的电场力为零，则P点的场强一定为零3．（4分）在静电场中（）A．电场强度为零的区域内，电势也一定为零B．电场强度相同的区域内，电势也一定相同C．电场强度的方向总是跟等势面垂直的D．沿电场线的方向，电荷的电势能总是不断减少4．（4分）图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为质点P以此时刻为计时起点的振动图象．从该时刻起（）A．经过0.35s时，质点Q距平衡位置的距离大于质点P距平衡位置的距离B．经过0.25s时，质点Q的加速度大于质点P的加速度C．经过0.15s，波沿x轴的正方向传播了3mD．经过0.1s时，质点Q的运动方向沿y轴正方向5．（4分）如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，从波传到x=5m的M点时开始计时，已知P点相继出现两个波峰的时间间隔为0.4s，下面说法中不正确的是（）A．这列波的波长是4mB．这列波的传播速度是10m/sC．质点Q经过0.5s第一次到达波峰D．M点以后各质点开始振动时的方向都是向下6．（4分）一正电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的速度﹣时间图象如图所示，则A、B所在区域的电场线分布情况可能是图中的（）A．B．C．D．7．（4分）如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，U ab=U bc，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知（）A．三个等势面中，a的电势较高B．带电质点通过P点时的电势能较大C．带电质点通过P点时的动能较大D．带电质点通过Q点时的加速度较大8．（4分）如图所示，长方体铜柱长l=10cm，宽n=5cm，高m=3cm，当将A与B接入电压为U的电路中时，电流强度为1A，若将C与D接入电压为U的电路中，则电流为（）A．4A B．2A C． A D． A9．（4分）如图所示，平行板电容器充电后，在其正中P点处有一个带电微粒恰好能保持静止状态．用什么方法能使该带电微粒仍在原处保持静止，且电势能增加？（）A．K闭合，将上极板M 接地，下移NB．K闭合，将下极板N 接地，左移MC．K断开，将上极板M 接地，下移MD．K断开，将下极板N 接地，上移N10．（4分）如图所示，在方向向下的匀强电场中，一个带负电的小球被绝缘细线拴住在竖直面内做圆周运动，则（）A．小球可能做匀速圆周运动B．当小球运动到最低点时，电势能最大C．运动过程中，小球机械能守恒D．当小球运动到最高点时，电势能最大11．（4分）如图所示竖直放置的两个平行金属板间存在匀强电场，与两板上边缘等高处有两个质量相同的带电小球，P小球从紧靠左极板处由静止开始释放，Q小球从两板正中央由静止开始释放，两小球最终都能运动到右极板上的同一位置，则从开始释放到运动到右极板的过程中它们的：（）A．运行时间t P=t QB．电势能减少量之比△E P：△E Q=2：1C．电荷量之比q P：q Q=2：1D．动能增加量之比△E KP：△E K=4：112．（4分）如图，在点电荷Q形成的电场中，已知a、b两点在同一等势面上，c、d两点在同一等势面上．甲、乙两个带电粒子的运动轨迹分别为acb和adb曲线，两个粒子经过a 点时具有相同的动能，由此可判断（）A．甲粒子在c点时与乙粒子在d点时具有相同的动能B．甲乙两粒子带异号电荷C．两粒子经过b点时具有相同的动能D．若取无穷远处为零电势，则甲粒子经过c点时的电势能大于乙粒子经过d点时的电势能二．填空题（13每2分，14、15题各8分，共18分）13．（2分）有一只电压表，它的内阻是100Ω，量程为0.2V，现要改装成量程为10A的电流表，电压表上应（）A．并联0.002Ω的电阻B．并联0.02Ω的电阻C．并联50Ω的电阻D．串联4 900Ω的电阻14．（8分）如图所示，实线为匀强电场的电场线，将电荷量为2×10﹣5C的负电荷由A点移到B点，其电势能减少了0.1J，已知A、B两点间距离为2cm，两点连线与电场方向成60°角，则：（1）电荷由A移到B的过程中，电场力所做的功W AB=J；（2）A、B两点间的电势差U AB=V；（3）该匀强电场的电场强度E=V/m；方向为．15．（8分）用如图甲所示的电路图研究灯泡L（2.4V，1.0W）的伏安特性，并测出该灯泡在额定电压下正常工作时的电阻值，检验其标示的准确性．（1）在闭合开关S前，滑动变阻器触头应放在端．（选填“a”或“b”）（2）根据电路图，请在图乙中以笔划线代替导线将实物图补充完整．（3）实验得到的U﹣I图象如图丙所示，图线弯曲的主要原因是：．三．计算题（本题共3小题，共34分．解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤．只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．答在方框内）16．（10分）如图所示，A、B是竖直放置的中心带有小孔的平行金属板，两板间的电压为U1=100V，C、D是水平放置的平行金属板，板间距离为d=0.2m，板的长度为L=1m，P是C板的中点，A、B两板小孔连线的延长线与C、D两板的距离相等，将一个负离子（不考虑重力的影响）从板的小孔处由静止释放，求：（1）为了使负离子能打在P点，C、D两板间的电压U2应为多少？哪板电势高？（2）如果C、D两板间所加的电压为U3=4V，则负离子离开电场时发生的侧移（垂直于板方向的位移）为多少？17．（12分）如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，细杆右侧距杆0.3m处有一固定的正点电荷Q，A、B是细杆上的两点，点A与Q、点B与Q的连线与杆的夹角均为α=37°．一中间有小孔的带电小球穿在绝缘细杆上滑下，通过A点时加速度为零，速度为3m/s，取g=10m/s2．求：（1）小球下落到B点时的加速度；（2）小球下落到B点时的速度的大小．18．（12分）如图，一绝缘细圆环半径为r，环面处于水平面内，场强为E的匀强电场与圆环平面平行．环上穿有一电量为+q、质量为m的小球，可沿圆环做无摩擦的圆周运动．若小球经A点时速度的方向恰与电场垂直，且圆环与小球间沿水平方向无力的作用（设重力加速度为g）．则：（1）小球经过A点时的速度大小v A是多大？（2）当小球运动到与A点对称的B点时，小球的速度是多大？（3）若要小球恰能在圆环上做完整的圆周运动，则运动过程中小球对圆环的最大作用力是多少？（4）若环面处于竖直面内，且已知小球所受电场力大小为重力大小的四分之三，若要小球恰能在圆环上做完整的圆周运动，则运动过程中小球对圆环的最大作用力是多少？四川省乐山外国语学校2014-2015学年高二上学期期中物理试卷参考答案与试题解析一．不定项选择题（每题4分，共48分，漏选得2分，错选得0分）1．（4分）声波属于机械波，下列有关声波的描述中正确的是（）A．同一列声波在各种介质中的波长是相同的B．声波的频率越高，它在空气中传播的速度越快C．声波可以绕过障碍物传播，即它可以发生衍射D．人能辨别不同乐器同时发出的声音，证明声音不会发生干涉考点：声波．专题：光线传播的规律综合专题．分析：不同的波相遇时发生叠加再分开时各自独立传播互不影响，衍射是波特有的现象，声速是由介质决定，频率由波源决定，同一列在不同的介质中传播时波长不同．解答：解：A、同一列声波在各种传播的速度不同，根据v=λf可得λ=，由于频率不变，故在不同的介质中传播时同一列波的波长不同．故A错误．B、不同的声波在相同的介质中传播速度相同，如果频率不同，造成波长不同．故B错误．C、衍射是波特有的现象，声波是机械波故能够发生衍射现象，故C正确．D、根据波的叠加原理，不同的波相遇时发生叠加再分开时各自独立传播互不影响，故人能辨别不同乐器同时发出的声音，干涉是两列波相遇时发生的，故D错误．故选C．点评：掌握了波的基本特性即可正确解答本题．2．（4分）由电场强度的定义式E=可知，在电场中的同一点（）A．电场强度E跟F成正比，跟q成反比B．无论检验电荷所带的电量如何变化，始终不变C．电荷在电场中某点所受的电场力大，该点的电场强度强D．一个不带电的小球在P点受到的电场力为零，则P点的场强一定为零考点：电场强度．分析：公式E=是电场强度的定义式，运用比值法定义，电场强度反映本身的特性，与试探电荷无关．解答：解：A、C、电场强度的定义式E=，运用比值法定义，E由电场本身决定，与试探电荷所受的电场力F和电荷量q无关，所以不能说E跟F成正比，跟q成反比．故AC错误．B、电场中同一点电场强度是一定的，与试探电荷无关，则在电场中的同一点，无论检验电荷所带的电量如何变化，始终不变．故B正确．D、一个不带电的小球在P点受到的电场力为零，该点的场强可能为零，也可能不为零，故D错误．故选：B．点评：解决本题的关键是运用比值法定义的共性来理解电场强度的物理意义，知道E由电场本身决定，与试探电荷所受的电场力F和电荷量q无关．3．（4分）在静电场中（）A．电场强度为零的区域内，电势也一定为零B．电场强度相同的区域内，电势也一定相同C．电场强度的方向总是跟等势面垂直的D．沿电场线的方向，电荷的电势能总是不断减少考点：匀强电场中电势差和电场强度的关系；等势面．分析：电势和电场强度都是描述电场本身特性的物理量，本题要求要熟练掌握电场强度和电势的物理意义．电场强度的方向总是跟等势面垂直的；电荷电势能的增加与减小要看电场力对电荷做功情况解答：解：A、在电场中，零电势是人为规定的．等量同种点电荷的连线中点上，电场为零，电势却不一定为零．故A错误．B、在匀强电场中，场强是处处相等的，沿着电场线的方向，电势是越来越低的．故B错误．C、电场强度的方向总是跟等势面垂直的，故C正确．D、沿着电场线方向电荷的电势能要分正负电荷，移动正电荷电势能减小，移动负电荷电势能增加，故D错误．故选：C．点评：电场因为我们无法直接感知，只能通过带电粒子在电场中的受力分析得出电场的性质；在学习中要注意借助电场线或一些常见电场进行理解掌握4．（4分）图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为质点P以此时刻为计时起点的振动图象．从该时刻起（）A．经过0.35s时，质点Q距平衡位置的距离大于质点P距平衡位置的距离B．经过0.25s时，质点Q的加速度大于质点P的加速度C．经过0.15s，波沿x轴的正方向传播了3mD．经过0.1s时，质点Q的运动方向沿y轴正方向考点：横波的图象；波长、频率和波速的关系．专题：振动图像与波动图像专题．分析：由振动图象读出t=0时刻P点的振动方向，判断波的传播方向．由波动图象读出波长，由振动图象读出周期，可求出波速．分析波动过程，确定Q点的加速度与P点加速度关系，并判断Q点的运动方向．解答：解：A、由图，此时P向下运动，Q点向上运动，该波向右传播．T=0.2s，经过t=0.35s=1时，P点到达波峰，Q点到达平衡位置下方，但未到波谷，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离．故A错误．B、经过t=0.25s=1T时，P点到达波谷，Q点到达平衡位置上方，但未到波峰，质点Q的加速度小于质点P的加速度．故B错误．C、因波沿x轴的正方向传播，λ=4m，则波速v==20m/s，则经过0.15s，波传播距离为：x=vt=20×0.15=3m．故C正确．D、t=0.1s=T，据质点Q的振动情况可知，质点Q处于平衡位置上方且它将向平衡位置靠近，即运动方向沿y轴负方向．故D错误．故选：C．点评：波的图象往往先判断质点的振动方向和波的传播方向间的关系．同时，熟练要分析波动形成的过程，分析物理量的变化情况．5．（4分）如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，从波传到x=5m的M点时开始计时，已知P点相继出现两个波峰的时间间隔为0.4s，下面说法中不正确的是（）A．这列波的波长是4mB．这列波的传播速度是10m/sC．质点Q经过0.5s第一次到达波峰D．M点以后各质点开始振动时的方向都是向下考点：波长、频率和波速的关系；横波的图象．分析：由题，P点相继出现两个波峰的时间间隔等于周期．由图读出波长，求出波速．当图示x=2m处质点的振动传到质点Q时，Q点第一次到达波峰．简谐横波沿x轴正方向传播，介质中各质点的起振方向都与图示时刻M点的振动方向相同．解答：解：A、由读出相邻波谷之间的距离为4m，即波长为4m．故A正确．B、已知P点相继出现两个波峰的时间间隔为0.4s，波的周期为T=0.4s，则波速为v==m/s=10m/s．故B正确．C、当图示x=2m处质点的振动传到质点Q时，Q点第一次到达波峰，所经过时间为t==s=0.7s．故C错误．D、简谐横波沿x轴正方向传播，介质中各质点的起振方向都与图示时刻M点的振动方向相同，均向下．故D正确．本题选错误的，故选：C．点评：本题2015届中考查了波的基本特点：介质中各质点的起振都与波源的起振方向相同及波形的平移法的应用．6．（4分）一正电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的速度﹣时间图象如图所示，则A、B所在区域的电场线分布情况可能是图中的（）A．B．C．D．考点：电场线．分析：v﹣t图象中的斜率表示物体的加速度，所以根据电荷运动过程中v﹣t图象可知电荷的加速度越来越大，则电场力越来越大，电场强度越来越大，根据电场线与电场强度的关系可得出正确结果．解答：解：由v﹣t图象可知，粒子做加速度逐渐增大的加速运动，因此该电荷所受电场力越来越大，电场强度越来越大，电场线密的地方电场强度大，且正电荷受力与电场方向相同，故ABC错误，D正确．故选：D．点评：本题结合v﹣t图象，考查了电场强度与电场线以及电荷受电场力与电场方向之间的关系，考点结合巧妙、新颖，有创新性．7．（4分）如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，U ab=U bc，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知（）A．三个等势面中，a的电势较高B．带电质点通过P点时的电势能较大C．带电质点通过P点时的动能较大D．带电质点通过Q点时的加速度较大考点：等势面；动能定理的应用；电场强度．专题：电场力与电势的性质专题．分析：由于质点只受电场力作用，根据运动轨迹可知电场力指向运动轨迹的内侧即斜向右下方，由于质点带正电，因此电场线方向也指向右下方；电势能变化可以通过电场力做功情况判断；电场线和等势线垂直，且等势线密的地方电场线密，电场场强大．解答：解：A、电荷所受电场力指向轨迹内侧，由于电荷带正电，因此电场线指向右下方，沿电场线电势降低，故C的电势最高，故A错误；B、根据质点受力情况可知，从P到Q过程中电场力做正功，电势能降低，动能增大，故B 正确，C错误；D、等势线密的地方电场线也密，电场强度大，所受电场力大，因此P点的加速度也大，故D错误．故选B．点评：解决这类带电粒子在电场中运动的思路是：根据运动轨迹判断出所受电场力方向，然后进一步判断电势、电场、电势能、动能等物理量的变化．8．（4分）如图所示，长方体铜柱长l=10cm，宽n=5cm，高m=3cm，当将A与B接入电压为U的电路中时，电流强度为1A，若将C与D接入电压为U的电路中，则电流为（）A．4A B．2A C． A D． A考点：电阻定律；欧姆定律．专题：恒定电流专题．分析：当AB接入电路时，通过欧姆定律求出电阻，再有电阻定律求解出电阻率；当CD 接入电路时，有欧姆定律求出电阻，再有欧姆定律求出电流．解答：解：当将A与B接入长方体铜导线的电阻为：R AB==Ω=UΩ有欧姆定律可得，铜导线的电阻率为R AB=ρ=Uρ=当CD接入电路时，电阻为R CD=ρ==有欧姆定律可得I==4A故选A．点评：本题主要考察电阻定律和欧姆定律的灵活运用．9．（4分）如图所示，平行板电容器充电后，在其正中P点处有一个带电微粒恰好能保持静止状态．用什么方法能使该带电微粒仍在原处保持静止，且电势能增加？（）A．K闭合，将上极板M 接地，下移NB．K闭合，将下极板N 接地，左移MC．K断开，将上极板M 接地，下移MD．K断开，将下极板N 接地，上移N考点：电势能；电势．专题：电场力与电势的性质专题．分析：保持K闭合时电容板间电压保持不变．充电后将K断开后电容器的电量保持不变，根据推论，板间场强不变．根据公式E=分析板间场强的变化，判断能否使带电微粒运动．并判断电势能的变化．解答：解：A、K闭合，保持K闭合时，下移N，板间距离d增大，根据公式E=分析得知，板间场强减小，带电微粒受到的电场力减小，微粒将向下加速运动．不符合题意．故A 错误．B、K闭合，保持K闭合时，左移N，板间距离d不变，电容减小，根据公式E=分析得知，板间场强不变，带电微粒受到的电场力不变，仍处于静止状态．P点的电势不变，微粒的电势能不变．不符合题意．故B错误．C、K断开，将上极板M，下移M，根据推论E=，可知，E不变，微粒所受的电场力不变，仍处于静止，由U=Ed知，P与M的电势差减小，M的电势为零，P点的电势低于M的电势，则知P点的电势升高，微粒带负电，则知微粒的电势减小．故C错误．D、K断开，将上极板M，下移N，根据推论E=，可知，E不变，微粒所受的电场力不变，仍处于静止，由U=Ed知，P与N的电势差减小，N的电势为零，P点的电势高于N的电势，则知P点的电势降低，微粒带负电，则知微粒的电势增加．故D正确．故选D点评：本题是电容器动态变化分析的问题，根据决定电容的三个因素和电容的定义式相结合进行分析．10．（4分）如图所示，在方向向下的匀强电场中，一个带负电的小球被绝缘细线拴住在竖直面内做圆周运动，则（）A．小球可能做匀速圆周运动B．当小球运动到最低点时，电势能最大C．运动过程中，小球机械能守恒D．当小球运动到最高点时，电势能最大考点：功能关系；电势能．分析：本题A的关键是明确当满足电场力qE=mg条件时，小球可以做匀速圆周运动；题B和D根据电场力做功与电势能变化关系即可求解；题C根据机械能守恒的条件即可求解．解答：解：A：小球受到的电场力方向向上，若满足qE=mg，由于小球受到绳子的拉力方向始终与速度垂直，所以小球将做匀速圆周运动，所以A正确；B：由于小球从最高点向下运动过程中，电场力对小球做负功，小球的电势能应增大，所以小球在最低点时电势能最大，所以B正确；C：小球运动过程中除重力做功外电场力也做功，小球的机械能不守恒，所以C错误；D：根据选项B的分析可知D错误；故选：AB．点评：应明确在复合场中物体做匀速圆周运动的条件是物体所受的重力与电场力大小相等方向相反．11．（4分）如图所示竖直放置的两个平行金属板间存在匀强电场，与两板上边缘等高处有两个质量相同的带电小球，P小球从紧靠左极板处由静止开始释放，Q小球从两板正中央由静止开始释放，两小球最终都能运动到右极板上的同一位置，则从开始释放到运动到右极板的过程中它们的：（）A．运行时间t P=t QB．电势能减少量之比△E P：△E Q=2：1C．电荷量之比q P：q Q=2：1D．动能增加量之比△E KP：△E K=4：1考点：带电粒子在匀强电场中的运动．专题：带电粒子在电场中的运动专题．分析：两小球在匀强电场中受到电场力和重力作用，都做匀加速直线运动，运用运动的分解可知：两小球在竖直方向都做自由落体运动，由题分析可知，小球下落高度相同，运动时间相同．两小球水平方向都做初速度为零的匀加速直线运动，水平位移x P=2x Q，根据牛顿第二定律和运动学公式研究电荷量之比．根据电场力做功之比，研究电势能减小量之比．根据数学知识分析合力对两球做功的关系，由动能定理分析动能增加量之比．解答：解：A、两小球在竖直方向都做自由落体运动，由题分析可知，小球下落高度相同，由公式t=得，它们运动时间相同．故A正确．B、电场力做功分别为W P=q Q Ex Q，W Q=q P Ex P，由于q P：q Q=2：1，x P：x Q=2：1，得到W P：W Q=4：1，而重力做功相同，则合力做功之比，则动能增加量之比△E kP：△E kQ＜4．故BD错误．C、小球在水平方向都做初速度为零的匀加速直线运动，水平位移x P=2x Q，由x=分析得到加速度之比a P：a Q=2：1．根据牛顿第二定律得，两球的加速度分别为a P=，a Q=，则q P：q Q=2：1．故C正确．故选：AC．点评：本题电荷在复合场中运动，采用运动的分解与合成的方法研究，是常用的方法．研究动能增加量关系，也可通过求末速度之比求解．12．（4分）如图，在点电荷Q形成的电场中，已知a、b两点在同一等势面上，c、d两点在同一等势面上．甲、乙两个带电粒子的运动轨迹分别为acb和adb曲线，两个粒子经过a 点时具有相同的动能，由此可判断（）A．甲粒子在c点时与乙粒子在d点时具有相同的动能B．甲乙两粒子带异号电荷C．两粒子经过b点时具有相同的动能D．若取无穷远处为零电势，则甲粒子经过c点时的电势能大于乙粒子经过d点时的电势能考点：电势能；动能定理的应用．分析：根据轨迹判定电荷甲受到中心电荷的引力，而电荷乙受到中心电荷的斥力，可知两粒子在从a向b运动过程中电场力做功情况．根据虚线为等势面，可判定沿着acb、adb曲线运动过程中电场力所做的总功为0．解答：解：A、粒子从a到c和乙粒子从a到d，U ac=U ad，但甲、乙两粒子带异种电荷，而且电量也不一定相等，所以甲粒子从a到c电场力做功与乙粒子从a到d电场力做功不一定相等，所以甲粒子经过c点时的动能不等于乙粒子经过d点时的动能，故A错误；B、由图可知电荷甲受到中心电荷的引力，而电荷乙受到中心电荷的斥力，故两粒子的电性一定不同，故B正确；C、据虚线为等势面，可判定沿着acb、adb曲线运动过程中电场力所做的总功为0，两粒子在a点时具有相同的动能，根据动能定理，两粒子经过b点时具有相同的动能，故C正确；D、取无穷远处电势为零（电势能也一定为零），将带电粒子甲从C移动到无穷远处，电场力做负功，电势能增加，故粒子甲在C点电势能为负值；将带电粒子乙从d移动到无穷远处，电场力做正功，电势能减小，故粒子乙在d点的电势能为正值，故甲粒子经过c点时的电势能小于乙粒子经过d点时的电势能，故D错误；故选：BC．点评：根据轨迹判定“电荷甲受到中心电荷的引力，而电荷乙受到中心电荷的斥力”是解决本题的突破口；同时要注意电场力做功等于电势能的减小量．二．填空题（13每2分，14、15题各8分，共18分）13．（2分）有一只电压表，它的内阻是100Ω，量程为0.2V，现要改装成量程为10A的电流表，电压表上应（）A．并联0.002Ω的电阻B．并联0.02Ω的电阻C．并联50Ω的电阻D．串联4 900Ω的电阻考点：把电流表改装成电压表．专题：实验题．分析：把电表改装成电流表应并联一个分流电阻，应用并联电路特点与欧姆定律可以求出并联电阻阻值．解答：解：电表的满偏电流为：I g===0.002A，把它改装成量程为10A的电流表需要并联一个分流电阻，并联电阻阻值为：R==≈0.02Ω；故选：B．点评：本题考查了电流表的改装，把电表改装成电流表应并联一个分流电阻，知道电流表的改装原理、应用并联电路特点与欧姆定律即可正确解题．14．（8分）如图所示，实线为匀强电场的电场线，将电荷量为2×10﹣5C的负电荷由A点移到B点，其电势能减少了0.1J，已知A、B两点间距离为2cm，两点连线与电场方向成60°角，则：（1）电荷由A移到B的过程中，电场力所做的功W AB=0.1J；（2）A、B两点间的电势差U AB=﹣5000V；（3）该匀强电场的电场强度E=500000V/m；方向为向左．考点：匀强电场中电势差和电场强度的关系．专题：电场力与电势的性质专题．分析：（1）由题，电势能减小多少，电场力做正功多少．。
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2014-2015学年四川省乐山外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共计50分）1．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④2．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行3．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°4．（5分）已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A（3，2）、B（a，﹣1），且l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．25．（5分）若方程x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．不存在6．（5分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°7．（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面ABC，点C是圆上的任意一点，图中有（）对平面与平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（）A．24 B．16 C．8 D．49．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积10．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（）A．16 B．C．D．32二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上11．（5分）与直线7x+24y=5平行，并且距离等于3的直线方程是．12．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为．14．（5分）相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为．15．（5分）正三棱锥P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π）；②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．正确的序号是．二、解答题（每题5分，共25分）16．（12分）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 的中点，且AB=AD，BC=DC．（1）求证：BD∥平面EFGH；（2）求证：四边形EFGH是矩形．17．（13分）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．18．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB=2，VA=VB=VC=2．（1）求证：AC⊥平面VOD；（2）VD与平面ABC所成角的正弦值；（3）求三棱锥C﹣ABV的体积．19．（12分）如图，已知二面角α﹣AB﹣β的大小为120°，PC⊥α于C，PD⊥β于D，且PC=2，PD=3．（1）求异面直线AB与CD所成角的大小；（2）求点P到直线AB的距离．20．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）过点E作截面EFH∥平面A1CD，分别交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面积；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角？说明理由．21．（14分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．（1）求点C到平面A1ABB1的距离；（2）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）若M，N分别为直线AA1，B1C上动点，求MN的最小值．2014-2015学年四川省乐山外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共计50分）1．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选：D．2．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解答】解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．故选：D．3．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB 1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中由三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选：D．4．（5分）已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A（3，2）、B（a，﹣1），且l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2【解答】解：∵l的斜率为﹣1，则l1的斜率为1，∴k AB==1，∴a=0．由l1∥l2 得，﹣=1，得b=﹣2，所以，a+b=﹣2．故选：B．5．（5分）若方程x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．不存在【解答】解：∵方程x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示一个圆，∴A=C≠0，即1=a+2，解得：a=﹣1．此时方程x2+（a+2）y2+2ax+a=0为方程x2+y2﹣2x﹣1=0表示圆．故选：A．6．（5分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA 所成的角设棱长为2，则DE=1，DF=1，根据SA⊥BC，则ED⊥DF∴∠DEF=45°，故选：C．7．（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面ABC，点C是圆上的任意一点，图中有（）对平面与平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵PA⊥圆O所在平面ABC，PA⊂平面PAB∴平面PAB⊥平面ABC，同理可得：平面PAC⊥平面ABC，∵AB是圆O的直径∴BC⊥AC，又∵PA⊥圆O所在平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC又∵PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC∴BC⊥平面PAC，又∵BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PAC综上相互垂直的平面共有3组．故选：C．8．（5分）P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（）A．24 B．16 C．8 D．4【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心（0，0），半径r=2，由题意可得：PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴S PAOB=2S△PAO=，在Rt△PAO中，由勾股定理可得：PA2=PO2﹣r2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小，点P是直线l：2x+y+10=0上的动点，当PO⊥l时，PO有最小值d=，PA=4，所求四边形PAOB的面积的最小值为8．故选：C．9．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P 到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．10．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（）A．16 B．C．D．32【解答】解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．∴16=PA2+PB2+PC2，又PA=2PB，∴5PB2+PC2=16，设PB=，PC=4sinα，则这个三棱锥的三个侧棱长的和PA+PB+PC=3PB+PC=cosα+4sinα=sin（α+∅）≤．则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为，故选：B．二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上11．（5分）与直线7x+24y=5平行，并且距离等于3的直线方程是7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0．【解答】解：设所求的直线方程为7x+24y+c=0，d==3，c=70，或﹣80，故所求的直线的方程为7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0，故答案为7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0．12．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为57π．【解答】解：由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成：下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥．圆锥的高h==4．∴V==57π．故答案为57π．14．（5分）相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为．【解答】解：如图，已知PA⊥PB，PO⊥平面AOB，∠PAO=30°，∠PBO=45°，直线PA，PB这两条直线在该平面内的射影所成角为∠AOB，设PO=x，则AO=，BO=x，PA==2x，PB==，AB==，∴cos=﹣，∴sin∠AOB==．∴这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为．故答案为：．15．（5分）正三棱锥P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π）；②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．正确的序号是①②④．【解答】解：①设底面正三角形的边长为1，过B作BD⊥PA，连结CD，则∠BDC 是二面角B﹣PA﹣C大小，因为底面三角形ABC是正三角形，所以∠CAB=，所以当点P无限靠近点O时，即高无限小时，∠BDC接近，所以二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π），所以①正确．②因为CM=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，则PB⊥AM，因为P ﹣ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因为AM ∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因为P﹣ABC是正三棱锥，所以必有PC⊥面PAB，所以PC与平面PAB所成角的大小为，所以②正确．③因为因为P﹣ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA ⊥BC．所以过点M与异面直线PA和BC都成的直线有两条，所以③错误．④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则∠BDC=，此时∠EDC=，（其中E是BC的中点），，所以此时直线BC与平面PAC和平面PAB都成，又因为平面PAC和平面PAB的法向量的夹角为，此时适当调整过N的直线，可以得到两条直线使得过点N与平面PAC和平面PAB都成，所以满足过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．所以④正确．故答案为：①②④．二、解答题（每题5分，共25分）16．（12分）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 的中点，且AB=AD，BC=DC．（1）求证：BD∥平面EFGH；（2）求证：四边形EFGH是矩形．【解答】证明：（1）∵E，H分别为AB，DA的中点，∴EH∥BD，又BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH．…（4分）（2）取BD中点O，连续OA，OC，∵AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD．又AO∩CO=0．∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC．…（7分）∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点．∴EH∥BD，且EH=BD；FG∥BD，且FG=BD，EF∥AC．∴EH∥FG，且EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．…（10分）由AC⊥BD、EF∥AC、EH∥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH为矩形．…（12分）17．（13分）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【解答】解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k≥0．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．18．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB=2，VA=VB=VC=2．（1）求证：AC⊥平面VOD；（2）VD与平面ABC所成角的正弦值；（3）求三棱锥C﹣ABV的体积．【解答】解：（1）∵VA=VB，O为AB中点，∴VO⊥AB，连接OC，在△VOA和△VOC中，OA=OC，VO=VO，VA=VC，∴△VOA≌△VOC，∠VOA=∠VOC=90°，∴VO⊥0C∵AB∩OC=0，AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，∴VO⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥VO，又∵VA=VC，D是AC的中点，∴AC⊥VD，∵VO⊂平面VOD，VD⊂平面VOD，VD∩VO=V，∴AC⊥平面VOD，（2）由（1）知VO是棱锥V﹣ABC的高，且VO==．又∵点C是弧的中点，∴CO⊥AB，且CO=1，AB=2，=AB•CD==1，∴三角形ABC的面积S△ABC∴棱锥V﹣ABC的体积为V V=S△ABC•VO=﹣ABC故棱锥C﹣ABV的体积为，19．（12分）如图，已知二面角α﹣AB﹣β的大小为120°，PC⊥α于C，PD⊥β于D，且PC=2，PD=3．（1）求异面直线AB与CD所成角的大小；（2）求点P到直线AB的距离．【解答】解：（1）∵PC⊥α于C，PD⊥β于D．∴PC⊥AB，PD⊥AB．又PC∩PD=P．∴AB⊥平面PCD．∵CD⊂平面PCD，∴AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成角的大小为90°．…（6分）（2）设平面PCD与直线AB交于点E，连结CE，DE，PE由（1）可知，AB⊥平面PCD．∴AB⊥CE，AB⊥DE，AB⊥PE．∴∠CED为二面角α﹣AB﹣β的平面角，…（8分）从而∠CED=120°．∵PC⊥α，PD⊥β．∴PC⊥CE，PD⊥DE．∴∠CPD=60°．又PC=2，PD=3．∴由余弦定理，得CD2=4+9﹣12cos60°=7，从而CD=．…（10分）∵PE为四边形PCED的外接圆直径．∴由正弦定理，得PE==．即点P到直线AB的距离等于．…（12分）20．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）过点E作截面EFH∥平面A1CD，分别交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面积；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角？说明理由．【解答】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD．又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE．又A1C⊥CD，CD∩DE=D，∴A1C⊥平面BCDE…（4分）（2）解：过点E作EF∥CD交BC于F，过点F作FH∥A1C交A1B于H，连结EH，则截面EFH∥平面A1CD．因为四边形EFCD为矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，从而FB=2，HF=．∵A1C⊥平面BCDE，FH∥A1C，∴HF⊥平面BCDE，∴HF⊥FE，∴．…（8分）（3）解：假设线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角．设P点坐标为（a，0，0），则a∈[0，6]．如图建系C﹣xyz，则D（0，1，0），A1（0，0，），B（6，0，0），E（4，1，0）．∴，．设平面A 1BE法向量为，则，∴，∴，设平面A1DP法向量为，因为，．则，∴，∴．则cos＜，＞===，∴5656a2﹣96a﹣141=0，解得∵0＜a＜6，∴所以存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE成60°的角．…（12分）21．（14分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．（1）求点C到平面A1ABB1的距离；（2）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）若M，N分别为直线AA 1，B1C上动点，求MN的最小值．【解答】解：（1）连接AO，因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，，在△AOA1中，A1O=2，=2．在△BOA 1中，，则．又S△CAB设点C到平面A1ABB1的距离为h，则由得，=．从而．…（4分）（2）如图所示，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，﹣2，0），A1（0.0，2），B（0，2，0），B1（﹣1，2，2），C1（﹣1，﹣2，2）．设平面BCC 1B1的法向量，又，．由，得，令z=1，得x=2，y=0，即．设平面ABC 1的法向量，又，．由，得，令b=1，得a=2，c=3，即．所以，…（7分）由图形观察可知，二面角A﹣BC1﹣B1为钝角，所以二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值是．…（9分）（3）方法1．在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，得OE⊥BB1．因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB1C1C．从而OE⊥B1C在△AOA1中，为异面直线AA1，B1C的距离，即为MN的最小值．…（14分）方法2．设向量，且∵，．∴．令z1=1，得x1=2，y1=0，即．∵．所以异面直线AA1，B1C的距离，即为MN的最小值．…（14分）。