5Adams方法和一般线性多步法
高等数值分析作用欧拉法与阿达姆斯法
求解常微分方程初值问题的方法分为单步法和多步法，单步法主要有欧拉法和Runge- Kutta 法，多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以最常用的Runge- Kutta 法和Adams 法分别作为单步法和多步法的例子，对两种方法进行分析比较。
Euler 法是最简单的一种求解常微分方程初值问题的数值方法，但其局部截断误差仅为，是一阶方法，为了达到更高的精度，我们构造了RK 法．通过构造高阶单步法来提高精度，而较高的精度意味着计算结果更加精确，误差随着的减小迅速减小，考虑常微分方程：常用的多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以Adams 法为例介绍多步法，其中Adams 法又包括显式Adams 法和隐式Adams 法。
显式Adams 法:Adams- Bashforth 公式：公式（2.7）又称为Adams 外插公式[2]。
为方便计算，改用函数值表示后差：因（2.7）或（2.8）是显式公式，所以又称它们为显式Adams 公式, 易见显式Adams 公式（2.7）或（2.8）是线性步公式。
常用的四阶显式Adams 公式为[2]隐式Adams 法称（2.10）为Adams-Moulton 公式．所用的牛顿向后插值多项式基点为，而积分区间为，故上式又称为Adams 内插公式，该式为隐式公式，故又称为隐式Adams 公式。
这是一个关于的隐式方程，在计算中，需要将式（2.12）写成显式格式，但一些方程难以求出其显式格式，这就需要将四阶显式Adams 法和四阶隐式Adams 法结合起来，用显式公式（2.9）作为预测，然后用隐式公式（2.12）作校正，构造Adams预测- 校正公式[2]式（2.13）为四阶公式，式中的初始值除y0 已给定，y1，y2，y3 常用四阶RK法计算．四级RK 法每前进一步需要计算四个函数值，对N级RK法，每计算一步，函数f 需要计算N次。
因此，对给定的N，我们总是希望构造阶数最高的方法，记是N级RK法所能达到的最高的阶数，已经得到下面的结果[4]：由此可见，当时，，从而四级四阶RK法是较受欢迎的方法。
ADAMS方法和一般线性多步法
xx xxkk i
i
xxkk j j xkxkj
dx
j
=
yk
+h
l1
fk i
i= 1
1l 1 t+
j 0 j= 1 ji
j dt
i
令
l,i =
1 l 1 t + j dt j 0 j = 1 i
(5.8)
x xk j = x xk + xk xk j = th + jh xk i xk j = xk i xk + xk xk j = ih+ jh
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表8.4
隐式Adams方法
步数
(l)
1
2 3 4
方法阶
( p)
2
3 4 5
公式
yk+1= Nhomakorabeayk
+
h( 2
fk+1
+
fk )
yk+1
y=k+y1k=+y2hk4+(91hf2k(+51 +fk1+19+fk8
Cp+1 = C2 =
1
tdt
=
1
,
0
2
k +1
=
1 2
y(2) (
k )h2.
当 l =2 由(5. 3)得
时，p(x)
=
fk
x xk
xk xk
1 1
+
fk
x 1 xk 1
xk , xk
(5.3)
l,i =
4线性多步方法
三、k步隐式线性多步法
j 0
k
j
yn j h j f n j
j 0
k
( )
k
2 2 , 其中 j j 均为常数，且 k 0, k 0,0 0 0
等价形式： yn k
j 0
k 1
j
yn j h j f n j
2 xn 2 xn1 h yn [55( yn ) 59( yn1 ) 24 yn yn1
xi
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
R-K方法
Adams预-校法
精确解
1 1.095446 1.183217 1.264912 1.3416413571 1.4142138334 1.4832398242 1.5491933804 1.6124515364 1.6733199993
5 f ( xn1 , yn1 ) f ( xn 2 , yn 2 )]
（隐式）
2x dy 例3：用Adams预报-校正公式 y y x [0,1] 求解下列初值问题h 0.1 。 dx y ( 0) 1 解： Adams预报-校正公式：
y
( 0) n 1
2 2
x xn m f ( x , y ) L3 ( x ) ( ) f ( x n k , yn k ) k 1 m 1 xn k xn m
k 1
yn1 yn
2
mk
f ( x n k , yn k )
xn1 xn
x xn m dx m 1 xn k xn m
j 0
【论文】线性三步法的性质及其应用
摘要本文主要研究线性三步法的性质及其应用问题，在已有线性多步法基本公式的及线性二步法的基础上，本文又推导出了一个线性三步法公式，并对其进行性质分析验证。
对构造出的线性三步法公式进行相容性、稳定性、收敛性的判断。
对于一些简单而典型的微分方程模型，是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可利用。
但在数学模型中遇到的常微分方程初值问题模型，通常很难直接求出结果，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。
因此，研究其数值方法，以便快速求得数值解有其重大意义。
对此，本文对常微分方程初值问题模型用线性三步法进行了计算机实现。
本文工作如下：首先，介绍线性多步法公式的基本概念、构造方法、误差分析。
然后，在已有的线性多步法公式特别是线性二步法的基础上，推导出线性三步法的公式，并对其性质进行分析判断。
最后，对构造的线性三步法公式进行应用，主要分析出口服药物在体内吸收变化的情况，用Matlab程序对饮食和非饮食两种情况进行作图比较。
关键词：线性三步法,常微分方程数值解,初值问题,口服药AbstractThis paper studies the nature of the linear three-step method and its application,the existing basic formula of linear multi-step and linear two-step method,the paper has derived a linear three-step formula,and verify the nature of their conduct.Of the constructed linear three-step formula for compatibility,stability,convergence of the judge.For some simple and typical differential equation model,is to derive its analytical solution,and the results are theoretically available.However,mathematical models encountered in the ODEs model,the results are usually difficult to acquire,or even impossible to derive its analytical solution,but can only seek its approximate solution. Therefore,to study the numerical method to quickly obtain the numerical solution to be of significance.In this regard,this paper model of Ordinary Differential Equation of linear three-step method using a computer to achieve.This works as follows:First,the introduction of linear multi-step formula the basic concepts,construction methods,error analysis.Then,in the existing formula,especially linear multi-step linear two-step method based on the derived formula of linear three-step method,and the nature of its judgments.Finally,structural formula of linear three-step application,the main export services of the in vivo absorption of changing circumstances,using Matlab program on food and non food plot comparison of two situations.Key words：Linear three-step method,Numerical Solution of Ordinary Differential Equations,Initial Value Problem,Oral目录第一章绪论 (1)第二章线性多步法的基本理论 (3)2.1常微分方程的数值解法 (3)2.2线性三步法的构造 (4)第三章线性三步法相容性、稳定性、收敛性的研究 (7)3.1相容性 (7)3.2稳定性 (7)3.3收敛性 (8)第四章口服药物在体内的变化 (10)4.1问题的基本概述 (10)4.2建立口服药物的吸收模型 (11)4.2.1问题的提出 (11)4.2.2模型的假设 (11)4.2.3模型的符号及意义 (12)4.2.4应用线性三步法求解 (12)第五章结论与展望 (16)5.1结论 (16)5.2进一步展望 (16)参考文献 (17)致谢 (18)附录 (19)声明 (22)第一章绪论自然界和工程技术中的很多现象，例如自动控制系统的运行、电力系统的运行、飞行器的运动、化学反应的过程、生态平衡的某些问题等，都可以抽象成为一个常微分方程初值问题。
数值分析(26)线性多步法
其局部截断误差为
Rn1
19 720
h5
yn(5) (
)
xn2 xn1
由于积分区间在插值区间[ xn2 , xn1 ]内，故Adams隐式
公式又称为Adams内插公式
数值分析
数值分析
（3）米尔尼( Miline )公式
4 yn1 yn3 3 h(2 fn fn1 2 fn2 ) 称为Miline公式，其局部截断误差为
这就是四阶Adams显式公式。由于积分区间在插值
区间[ xn3 , xn ]外面，又称为四阶Adams外插公式。
由插值余项公式可得其局部截断误差为
Rn1
xn1 xn
F (4) ( x )
4!
3 j0
(x
xn j )dx
xn1 xn
y(5) ( x )
4!
3
(x
j0
xn j )dx
数值分析
2!
h2
y(4) n
3!
h3
y(5) n
4!
h4 O(h(5) )
数值分析
数值分析
将以上各公式代入并整理，得
yn1 (0 1 ) yn (1 1 0 1 ) yn' h
(1
2
1
1 ) yn''h2
( 1
6
1
2
1
2
) yn'''h3
(1
24
1
6
1
6
)
y(4) n
h4
(
1
120
5!
yn1 (0 1 ) yn (1 1 0 1 ) yn' h
(1
常微分方程初值问题的预估-校正解法[文献综述]
![常微分方程初值问题的预估-校正解法[文献综述]](https://img.taocdn.com/s3/m/675ca1f28e9951e79b8927b6.png)
毕业论文文献综述信息与计算科学常微分方程初值问题的预估-校正解法一、前言部分在生产实际和其他数学分支中，都会不断地遇到常微分方程，而在这些方程中，仅有很少的一部分能通过初等积分法给出通解或通积分，大多数积分必须数值计算。
所以，一开始就使用数值方法求解通常更有效]1[。
解常微分方程初值问题的数值方法通常可以分为两类]2[：（1）单步法，例如Euler方法和 Runge-Kutta方法；（2）多步法，例如线性多步法。
我们将同阶的显式公式与隐式公式相比，前者使用方便，计算量较小；而后者一般需用迭代法求解，计算量大，但其局部截断误差较小，稳定性较好。
两种方法各有长处和不足。
因此，常常将它们配合起来使用，以发挥它们的优点，弥补各自的不足]3[。
这样将显式公式和隐式公式联合使用，前者提供预测值，而后者将预测值加以校正，使数值解更精确。
由此形成的算法通常被称作预估-校正算法（简称为PC算法）原则上任一显式多步法和隐式多步法都可以搭配成预估校正算法及各种计算方案，但不是任一种方案都是可用的。
一个好的计算方案应该计算稳定，具有所需的精度，并且节约计算量]4[。
几种常见的预估-校正算法]5[：（1）Adams四阶预估-校正算法；(2)Milne方法(3)Hamming算法。
本文综述常微分初值问题的数值解法及其误差估计（相容性、稳定性和收敛性分析），重点介绍了预估-校正算法。
二、主题部分2.1 常微分方程的起源和发展]6[许多有关微分方程的教材都会提到发现海王星的故事。
海王星的发现是人类智慧的结晶，也是常微分方程巨大作用的体现，体现了数学演绎法的强大威力。
1781年发现天王星后，人们注意到它所在的位置总是和万有引力定律计算出来的结果不符。
于是有人怀疑万有引力定律的正确性；但也有人认为，这可能是受另外一颗尚未发现的行星吸引所致。
当时虽有不少人相信后一种假设，但缺乏去寻找这颗未知行星的办法和勇气。
23岁的英国剑桥大学的学生亚当斯承担了这项任务，他利用引力定律和对天王星的观测资料建立起微分方程，来求解和推算这颗未知行星的轨道。
8.4-8.5线性多步法及收敛性与稳定性分析
f x ( x0 , y0 )
]
在平移一下,即化成检验方程形式.
y' y y ( x0 ) y0
--------------(2)
y y0e
当 Re 0时, 当 Re 0时,
其关系式为
( x x0 )
( y0 0)
y ( x) | (as x ); y ( x) | 0 (as x ), 此时, 试验方程是稳定的.
(5) Simpson 2步4阶隐式公式
h yn 1 y n 1 ( f n 1 4 f n 2 f n 1 ) 3
1 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O (h 6 ) 90
多步方法的特点： (1)、 因初始条件只有一个，多步方法的启动要借助 高阶的单步方法来开始. (2)、多步方法比较简单，只要在这几个点的函数 值的线性组合, 而且每步中所用函数值, 有些下一 步还可使用。
要使 |1 h | 1,
即 |1 h | 1 给出了绝对稳定区域 {z | z 1| 1|},
这是复平面上以 (1,0)为圆心的单位圆, 绝对稳定区间为(-2,0).
2. 隐式Euler公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ) yn hyn1
2. 一个方法的整体截断误差比局部截断误差低一阶.
若某些引入的误差, 在以后的传播中被压缩, 衰减或增长 可以控制, 就认为数值方法 (1) 是数值稳定的, 反之, 若在传 播中被放大而无法控制, 就认为是数值不稳定.其中, 若误 差的传播可以被压缩, 衰减, 则称绝对稳定.
y ' =f ( x, y ), x D 定义8.5.2 对初值问题 对于固定的 y ( x0 ) y 0 , 步长 h,在数值计算中, 节点值 yi 产生一扰动 i (包括初值y 0 ), 而仅由这一个扰动引起的以后各节点值 y j ( j i ) 的变化 j 都不超过 i , 即 | j || i |, 就称这个数值方法是稳定的.
线性多步法
y ( k +1) (ξ ) ( x − xn )"( x − xn−k +1 )dx xn k! xn+1 1 = y ( k +1) (η) ( x − xn )"( x − xn−k +1 )dx xn k! =
∫
xn+1
∫
= β k h k +1 y ( k +1) (η )
定义1 设y(x)是初值问题(1).(2）的精确解， y ′ =f(x,y) y(a)=α
k
a≤x≤b (1) (2)
k
记 fi =f(xi ,yi ), yi≈wi ,过k个点 (xi ,fi )(i=n,n-1,…,n-k+1)，作 f(x ,y )的插值多项式Pk-1(x):
多步法（11）在xi+1 (i=k,…,n-1)处的局部截断误差为
所给2步法是2阶方法。
5 3 (3) h yi + O(h4 ) 12
单步法:计算yn+1时，只用到前一步yn 的结果，提高方法的 精度，需要增加函数 f(x,y) 的计算次数。 多步法: 尽可能利用已得到的信息： y1 ,y2 ,…,yn ，提高 方法的精度。 对于初值问题 a≤x≤b y ′ =f(x,y) y(a)=α 设已求得近似解 y1 ,y2 ,…,yn ，现求yn+1 。
10.4 单步法的误差与稳定性
数值方法的误差
误差 局部截断误差(Local truncation error) 总体截断误差(Global truncation error)
定义2：若一种数值方法的局部截断误差Ti+1(h)= O(hp+1)，则称 相应数值方法是 p 阶方法，其中p为正整数。 定义3：若一个p阶方法的局部截断误差为， Ti+1(h)=g(xi ,y(xi ))hp+1+ O(hp+2) 则第一个非零项：g(xi,y(xi))hp+1,称为该方法的局部截断误差主项。 Euler’s method是一阶方法。 梯形公式与改进Euler’s method均是2阶方法。
(整理)常微分方程解
第四章常微分方程数值解[课时安排] 6 学时[教学课型] 理论课[教学目的和要求]了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉(Euler )方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔( Runge-Kutta )方法、阿达姆斯( Adams )方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔(R －K)方法的基本思想，公式的推导，R－K公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶R－K公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。
[教学重点与难点]重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。
难点： R—K 方法，预估-校正公式。
[教学内容与过程]4.1 引言本章讨论常微分方程初值问题(4.1.1)的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法 .通常我们假定(4.1.1) 中f(x,y)对 y 满足 Lipschitz 条件，即存在常数 L＞0，使对，有(4.1.2) 则初值问题(4.1.1) 的解存在唯一 .假定 (4.1.1) 的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点上求的近似 . 通常取， h 称为步长，求(4.1.1) 的数值解是按节点的顺序逐步推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截断误差，计算稳定性以及数值解的收敛性与整体误差等问题 . 4.2 简单的单步法及基本概念4.2.1 Euler 法、后退 Euler 法与梯形法求初值问题(4.1.1) 的一种最简单方法是将节点的导数用差商代替，于是(4.1.1) 的方程可近似写成(4.2.1)从出发 ，由(4.2.1)求得 代入(4.2.1)右端，得到的近似(4.2.2)称为解初值问题的 Euler 法.Euler 法的几何意义如图 4-1 所示.初值问题(4.1.1) 的解曲线 y=y(x)过点，从出发，以为斜率作一段直线，与直线 交点于，显然有 ， 再从出发， 以为斜率作直线推进到上一点， 其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线.，一般写成再将Euler 法也可利用的 Taylor 展开式得到，由(4.2.3) 略去余项，以，就得到近似计算公式(4.2.2).另外，还可对(4.1.1) 的方程两端由到积分得(4.2.4)若右端积分用左矩形公式，用，，则得(4.2.2).如果在(4.2.4) 的积分中用右矩形公式，则得(4.2.5)称为后退(隐式)Euler 法.若在(4.2.4) 的积分中用梯形公式，则得(4.2.6)称为梯形方法 .上述三个公式(4.2.2)， (4.2.5)及(4.2.6)都是由计算，这种只用前一步即可算 出的公式称为单步法，其中 (4.2.2)可由逐次求出的值，称为显式方法，而(4.2.5)及(4.2.6)右端含有当 f 对 y 非线性时它不能直接求出，此时应把它看作一个方程，求解 ，这类方法称为稳式方法 .此时可将(4.2.5)或(4.2.6)写成不动点形式的方程这里对式(4.2.5)有 无关，可构造迭代法(4.2.7)由于对 y 满足条件(4.1.2)，故有当或，迭代法(4.2.4)收敛到 ，因此只要步长 h 足够小，就可保证迭代(4.2.4)收敛.对后退 Euler 法(4.2.5)， 当 时迭代收敛，对梯形法 (4.2.6) ，当时迭代序列收敛 .例 4.1 用 Euler 法、隐式 Euler 法、梯形法解取 h=0.1， 计算到x=0.5，并与精确解比较.，对(4.2.6)则， g 与解 本题可直接用给出公式计算 . 由于，Euler 法的计算公式为.其余 n=1,2,3,4 的计算结果见表 4-1.对隐式 Euler 法，计算公式为解出当 n=0 时，4-1.表 4-1 例 4.1 的三种方法及精确解的计算结果对梯形法，计算公式为解得.其余 n=1,2,3,4 的计算结果见表n=0 时，当 n=0 时， .其余 n=1,2,3,4 的计算结果见表 4-1.本题的精确解为， 表 4-1 列出三种方法及精确解的计算结果 .4.2.2 单步法的局部截断误差解初值问题(4.1.1) 的单步法可表示为(4.2.8)其中与有关， 称为增量函数， 当含有时， 是隐式单步法， 如(4.2.5)及(4.2.6)均为隐式单步法，而当不含时，则为显式单步法，它表示为(4.2.9)如 Euler 法(4.2.2)，出局部截断误差概念 .定义 2.1 设 y(x)是初值问题(4.1.1) 的精确解，记(4.2.10)称为显式单步法(4.2.9)在的局部截断误差 .之所以称为局部截断误差， 可理解为用公式(4.2.9)计算时， 前面各步都没有误差，，只考虑由计算到.为讨论方便，我们只对显式单步法 (4.2.9)给这一步的误差，此时由 (4.2.10)有即局部截断误差(4.2.10)实际上是将精确解代入(4.2.9)产生的公式误差，利用Taylor 展开式可得到.例如对 Euler 法(4.2.2)有， 故它表明 Euler 法(4.2.2) 的局部截断误差为 ，称为局部截断误差主项 .定义 2.2 设是初值问题(4.1.1) 的精确解，若显式单步法 (4.2.9) 的局部截断误差， 是展开式的最大整数，称 为单步法(4.2.9) 的阶， 含的项称为局部截断误差主项 .根据定义， Euler 法(4.2.2) 中的=1 故此方法为一阶方法 .对隐式单步法(4.2.8)也可类似求其局部截断误差和阶，如对后退 Euler 法(4.2.5)有 局部截断误差故此方法的局部截断误差主项为同样有，也是一阶方法 .对梯形法(4.2.6)它的局部误差主项为 ，方法是二阶的 .4.2.3 改进 Euler 法上述三种简单的单步法中，梯形法 (4.2.6)为二阶方法，且局部截断误差最小，但方法 是隐式的， 计算要用迭代法 .为避免迭代， 可先用Euler 法计算出的近似，将(4.2.6)改为称为改进 Euler 法，它实际上是显式方法 . 即(4.2.11)(4.2.12)右端已不含 .可以证明， =2,故方法仍为二阶的，与梯形法一样，但用(4.2.11)计算不用迭代.例 4.2 用改进 Euler 法求例 4.1 的初值问题并与 Euler 法和梯形法比较误差的大小 . 解 将改进 Euler 法用于例4.1 的计算公式.其余结果见表4-2.当 n=0 时，表 4-2 改进 Euler 法及三种方法的误差比较从表 4-2 中看到改进Euler 法的误差数量级与梯形法大致相同，而比 Euler 法小得多，它优于 Euler 法.讲解：求初值问题(4.1.1)的数值解就是在假定初值问题解存在唯一的前提下在给定区间上的一组离散点上求解析解的一组近似为此先要建立求数值解的计算公式，通常称为差分公式，简单的单步法就是由计算下一步，构造差分公式有三种方法，一是用均差(即差商)近似，二是用等价的积分方程(4.2.4)用数值积分方法，三是用函数的 Taylor 展开，其中 Taylor 展开最有普遍性，可以得到任何数值解的计算公式及其局部截断误差。
2013《常微分方程课程设计》指导书 1-2
第1章 引 言1.1 课程设计的意义高等学校的实践教学一般包括课程实验、综合性设计(课程设计)、课外科技活动、社会实践、毕业设计等，基本上可以分为三个层次：第一，紧扣课堂教学内容，以掌握和巩固课程教学内容为主的课程实验和综合性设计； 第二，以社会体验和科学研究体验为主的社会实践和课外科技活动； 第三，以综合应用专业知识和全面检验专业知识应用能力的毕业设计。
课程实践(含课程实验和课程设计)是大学教育中最重要也最基础的实践环节，直接影响后继课程的学习以及后继实践的质量。
由于课程设计是以培养学生的系统设计与分析能力为目标，通过团队式合作、研究式分析、工程化设计完成较大型系统或软件的设计题目的，因此课程设计不仅有利于学生巩固、提高和融合所学的专业课程知识，更重的是能够培养学生多方面的能力，如综合设计能力、动手能力、文献检索能力、团队合作能力、工程化能力、研究性学习能力、创新能力等。
《常微分方程课程设计》（Curriculum Design of the Ordinary Differential Equations ）是一门继《数学实验》和《常微分方程》（ODE ）之后开设的实验性课程，主要是指导性的讲解方程求解的数值方法和软件编程(如MATLAB ，MATHMATIC ，FORTRAN 等)并实现方程的解析解与数值解可视化分析的一个集中实践教学环节。
其宗旨在于培养学生运用计算机分析求解方程的能力，了解通过数学模型去解决实际问题的全过程，提高常微分方程课堂教学后的理解和应用效果，同时激发和提高同学们对于具有工程背景的科学研究的热情。
课程设计不仅仅是以实现相应的程序为目标，更重要的是在完成课程设计的过程中逐步培养今后遇到问题而去解决问题的能力，培养从事计算机应用开发所需要的各种能力与素质。
因此，在课程设计实施中，不仅需要完成程序并进行测试，还需要撰写相应的课程设计报告。
课程设计报告不仅是对课程设计的总结，也是对软件文档写作能力的初步训练。
线性多步法
y ( x i 1 ) y ( x i ) x
xi 1 i
f ( x, y ( x ))dx
为了近似计算式中的积分，以xi−k , xi−k+1, , xi−1, xi 为插值节点，作函数f (x, y (x)) 的k 次插值多项 式pk (x)，从而有 f (x, y (x) ) = pk (x) + R (x), 其中，R (x)为插值余项
i 2, , N 1
将 f (x, y) = 2x + y, h = 0.1, xi = 0.1i 代入，得
1 yi 1 (0.9 yi 1 25.9 yi 0.5 yi 1 0.2 yi 2 0.48i 0.24) 24
本例可以解出yi+1 使其成为显式
几个常用的Adams外插公式如下 ① 单步法(k=0)
y i 1 y i hy i
1 2 ei 1 h y( i ) 2
② 二步法(k=1)
i 0,1,, N 1
h yi 1 yi (3 y y ) i 0,1, , N 1 i i 1 2
§5 线性多步法 /*Linear multistep method*/
一、Adams外插法 二、Adams内插法 三、Taylor级数法
求解初值问题的数值方法都是“步进式”的，即 求 解过程从初值y0开始，顺着节点的排列次序，一 步一步地向前推进．所以，在计算yi+1 时，前面 的i + 1 个值y0, y1, , y i 都是已知的．如果在计算 yi+1 时能充分利用这些已有的信息，而不是像单 步法中那样，只用其前一步的值yi，则可望构造 出精度高，但计算量小的求解公式．线性多步法 k k 就是基于这一思想发展起来的，其计算公式可表 yi 1 r yi r h r y 示为 i r
控制系统数字仿真试题库完整
控制系统数字仿真题库填空题1.定义一个系统时.首先要确定系统的；边界确定了系统的范围.边界以外对系统的作用称为系统的 .系统对边界以外环境的作用称为系统的。
1.定义一个系统时.首先要确定系统的边界；边界确定了系统的范围.边界以外对系统的作用称为系统的输入.系统对边界以外环境的作用称为系统的输出。
2．系统的三大要素为：、和。
2．系统的三大要素为：实体、属性和活动。
3．人们描述系统的常见术语为：、、和3．人们描述系统的常见术语为：实体、属性、事件和活动。
4．人们经常把系统分成四类.分别为：、、和4．人们经常把系统分成四类.它们分别为：连续系统、离散系统、采样数据系统和离散-连续系统。
5、根据系统的属性可以将系统分成两大类：和。
5、根据系统的属性可以将系统分成两大类：工程系统和非工程系统。
6．根据描述方法不同.离散系统可以分为：和。
6．根据描述方法不同.离散系统可以分为：离散时间系统和离散事件系统。
7. 系统是指相互联系又相互作用的的有机组合。
7. 系统是指相互联系又相互作用的实体的有机组合。
8．根据模型的表达形式.模型可以分为和数学模型二大类.期中数学模型根据数学表达形式的不同可分为二种.分别为：和。
8．根据模型的表达形式.模型可以分为物理模型和数学模型二大类.期中数学模型根据数学表达形式的不同可分为二种.分别为：静态模型和动态模型。
9．连续时间集中参数模型的常见形式为有三种.分别为：、和。
9．连续时间集中参数模型的常见形式为有三种.分别为：微分方程、状态方程和传递函数。
10、采用一定比例按照真实系统的样子制作的模型称为 .用数学表达式来描述系统内在规律的模型称为。
10、采用一定比例按照真实系统的样子制作的模型称为物理模型.用数学表达式来描述系统内在规律的模型称为数学模型。
11．静态模型的数学表达形式一般是方程和逻辑关系表达式等.而动态模型的数学表达形式一般是方程和方程。
11．静态模型的数学表达形式一般是代数方程和逻辑关系表达式等.而动态模型的数学表达形式一般是微分方程和差分方程。
线性多步法
(6)计算 f3 f ( x3 , y3 ) x x3 h 4 112 p y0 (2 f3 f 2 2 f1 ) m p (c0 p0 ) 3 121 1 3 c (9 y3 y1 ) h[ f ( x, m) 2 f 3 f 2 ] 8 8 9 y c (c p ) 输出(x, y ) 121 (7)若n N，置n 1 n, x j 1 x j , y j 1 y j , f j 1 f j ( j 0,1, 2), x x3 , y y3 , p p0 , c c0 , 转6； 否则停机。
算法 ba （1）输入 a, b, f ( x, y ), N , y0 (2)置h , x0 a, n 1 N (3)计算 f n 1 f ( xn 1 , yn 1 ) K1 hf n 1 h K1 K 2 hf ( xn 1 , yn 1 ) 2 2
(i 1, 2, , N ) (i 1, 2, , N )
若对 y 和 f 采用向量的记号 y ' f ( x, y); y( x0 ) y 0 ;
f ( f1 , f 2 , f N ) ;
T
或表达为 h yi ,n 1 yin ( K i1 2 K i 2 2 K i 3 K i 4 ) 6 (i 1, 2, , N ), 其中 K i1 fi ( xn , y1n , y2n , , yNn ); h h h h K i 2 fi ( xn , y1n K11 , y2 n K 21 , , y Nn K N 1 ); 2 2 2 2 h h h h K i 3 fi ( xn , y1n K12 , y2 n K 22 , , yNn K N 2 ); 2 2 2 2 K i 4 fi ( xn h, y1n hK13 , y2 n hK 23 , , y Nn hK N 3 );
线性多步法
1.待求解问题描述
⎧ y ' = f (t , y ) ⎨ ⎩ y (t0 ) = y0
（1）
2、线性多步法表达式建立
Lk ( y (t ), h) = ∑ [α j y (t + jh) − hβ j y ' (t + jh)]
j =0
k
（2）
将
y (t + jh )
和
y ' ( t + jh )
公式性质： 1. 公式左边j=k项为我们需要求取得项，j<k的项为已 得项； 2. 公式右边可以使用f(t,y)直接带入求取； 3. 当右边 β k ≠ 0 时，公式所得到的算法为隐式算法；否
则为显式算法。 4. (4) 式中，我们可以要求α k =1，因为如果α <>1，只需 公式两边同时除以 α k 即可使得 =1 k
⎧ ⎪c = α + α + α + ... + α = 0 k 0 1 2 ⎪0 ⎪c1 = α1 + 2α2 + ... + kαk − (β0 + β1 + β2 + ... + βk ) = 0 ⎪ ⎨... ⎪ 1 1 ⎪c p = (α1 + 2 p α2 + ... + k pαk ) − (β1 + 2 p−1 β2 + ... + k p−1βk ) = 0, p ≥ 2 p! ( p −1)! ⎪ ⎪ p = 2,3,... ⎩
⎪c = α + 2 − (β + β + β ) = 0 0 2 2 ⎪1 1 ⎪ 1 ⎨c2 α=0α1 + 4) − (β1 + 2β2 ) = 0 1、 = ( 2 ⎪ h yn+2 = yn+1 + [5fn+2 +8fn+1 − fn ] ⎪ 1 12 ⎪c3 = (α1 + 8) − 12(β1 + 4β2 ) = 0 6 ⎩
ADAMS方法和一般线性多步法
x
l i=
1
f ( xk i ,
1
xk +1 )( x
y( xk
xk
l1
i ))[
j= 1 ji
)L( x
x xk i
xk
xk j xk j
l +1 )
]
l1
则 y( xk+1) yk+1 = y( xk +1 ) { y( xk ) + h
l,i f ( xk i , y( xk i ))}
i= 1
(5.2)
i=0
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由插值多项式余项: Rl 1(x) = f ( x, y(x)) p( x)
= f ( x, y( x))
l1
f ( xk
i=0
i , y( xk
l1 x
i ))[
j =0
xk
l 几种低阶显式Adams方法的公式及主局部截断误差的系数
l1
当 l =1 时，p( x) = fk ,
yk +1 = yk + h f l,i k i (5.2)
( ) yk+1 = yk +
x k +1 xk
fkdx,
或者
yk +1
=
yk
+h
i=0
1,0 fk ,
1,0 = 1.
l =1
即
yk+1 = yk + hfk ,
(5.3)
ji
x xk j = x xk + xk xk j = th + jh xk i xk j = xk i xk + xk xk j = ih+ jh
常微分方程常用数值解法综述
第一章绪论1.1 引言常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。
微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力工具，在17到18世纪，在力学、天文、科学技术、物理中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。
1864年Leverrer根据这个方程预见了海王星的存在，并确定出海王星在天空中的位置。
现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用。
这些应用也为常微分方程的进一步发展提供了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。
研究常微分方程常用数值解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。
在国内外众多数学家的不懈努力，使此学科基本上形成了一套完美的体系。
微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。
到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。
由于在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程问题比较复杂，使这些问题的解即使能求出解析表达式，也往往因计算量太大而难于求出，而对于一些典型的微分方程则可以运用基本方法求出其解析解，并可以根据初值问题的条件把其中的任意常数确定下来。
由于求通解存在许多困难，人们就开始研究带某种定解条件的特解。
首先是Cauchy对微分方程初始解的存在惟一性进行了研究。
目前解的存在惟一性、延拓性、大范围的存在性以及解对初始解和参数的延续性和可微性等理论问题都已发展成熟。
与此同时，人们开始采取各种近似方法来求微分方程的特解，例如求微分方程数值解的Euler折线法、Runge-Kutta法等，可以求得若干个点上微分方程的近似解。
最后，由于当代高科技的发展为数学的广泛应用和深入研究提供了更好的手段。
用计算机结合Matlab软件求方程的精确解、近似解，对解的性态进行图示和定性、稳定性研究都十分方便有效。
本章先介绍常微分的一般概念、导出微分方程的一些典型例子及求解微分方程的思路分析。
从而得到常微分方程的常用数值解法。
14.09级Ch8.5.2Adams方法和一般线性多步法
(
xk
1
,
y(xk1)) 4 f (xk ,
y(xk ))
f ( xk1,
y( xk 1 ))]
1 90
h5
y(5)
(
k
)
用 yk1, yk1 近似 y( xk1), y( xk1) ，得Simpson方法
yk 1
yk 1
h( 3
fk1
4
fk
fk 1 )
局部截断误差为
注（2）预估－校正－改进方法 同预估－校正－改进Adams方法一样，利用两个同阶的显式方 法和隐式方法，即四阶Milne方法（显式）和四阶Hamming方法 （隐式）可以合成以下预估－校正－改进方法.
则(5.12)确定的线性多步法至少为2l-1阶的.隐式类似. 但是线性 多步法与单步法有很大的不同，并不是所有的线性多步法都可以
应用.这是因为由(5.16)得到的方程组的解的情况不定.另外，常 用四步四阶Adams显式公式、三步四阶Adams隐式公式、 Milne(米 尔尼)公式、四阶Hamming（哈明）公式也可由Taylor展开得到.
解得 0 4,1 5, 0 4, 1 2,
且
C4
1 (1 4!
1
4
1)
1 (1 24
5
4
2)
1 6
0
因此得阶数最高的二步显式线性多步法为
yk1 4 yk 5 yk1 h(4 fk 2 fk 1 )
(5.17)
其主局部截断误差为
y( xk1) yk1
l 1
l 1
y( xk1 ) i y( xki ) h i f ( xki , y( xki ))
计算方法-9.5线性多步法
xn1
xn
y' ( x)dx
q=2，显式格式，积分节点为 xn , xn 1 , xn 2 所以
ha0
ha1
xn1
xn
xn1
( x xn 1 )( x xn 2 ) 23 dx h ( xn xn 1 )( xn xn 2 ) 12
( x xn )( x xn 2 ) 4 dx h ( xn 1 xn )( xn 1 xn 2 ) 3
y( xn1) y( xnr ) h
a f ( x
j j 0
n j , y( xn j )) hRn 1
积分系数 ha j
xn1
xn r
l j ( x)dx
xn1 y ( q 2) ( )
xnr
(q 1)!
q 1 ( x)dx
这是显式格式，q+1阶r+1步格式。
xn
y' ( x)dx
ha0
xn
xn1
xn
( x xn 1 )( x xn 2 )( x xn 3 ) 55 dx h ( xn xn 1 )( xn xn 2 )( xn xn 3 ) 24
ha1
xn1
( x xn )( x xn 2 )( x xn 3 ) 59 dx h ( xn 1 xn )( xn 1 xn 2 )( xn 1 xn 3 ) 24
2016/8/14
1 3 (3) Rn1 h y ( ) 12
二阶隐式Adams方法
19
r=0，积分区间为