平面向量基本定理(教案)

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必修二《平面向量基本定理》教案、导学案、同步练习

《6.3.1平面向量基本定理》教案1e 2e aOCAB1e 2e aNOB C 的直线，与直线作平行于直线如图，过点OA C 的直线，与直线作平行于直线过点ON OM OC +=则e ON 共线可得，存在实数与例3 如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用基底{a ，b }表示向量AE →.[解] 易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数m ，满足AE →＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b ，所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ，是直角三角形。

用向量方法证明，的中线，是如图，ABC AB CD ABC CD ∆=∆21b DA a CD ==,证明：如图设b a CB b DB b a CA -=-=+=于是则,,()()22b a b a b a CB CA -=-•+=•ABCD 21=因为DA CD =所以2222,DA b CD a ==因为0=•CB CA 所以CB CA ⊥因此是直角三角形。

于是ABC ∆《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】平面向量基本定理【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)基底中的向量不能为零向量．( )(2)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则必有a ＝c ，b ＝d .( ) (3)若两个向量的夹角为θ，则当|cos θ|＝1时，两个向量共线．( ) (4)若向量a 与b 的夹角为60°，则向量－a 与－b 的夹角是60°.( ) (5)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( )(6)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. ( ) 【经典例题】题型一平面向量基本定理的理解点拨：(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.(3)一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．例1 如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确．．．的是( ) ①a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1λ2＝μ1μ2. ④若实数λ、μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②【跟踪训练】1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．题型二用基底表示平面向量点拨：方法1：运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．方法2：通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．例2 如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 边上的中点，且BC ＝3AD ，BA →＝a ，BC →＝b .试以{a ，b }为基底表示EF →，DF →.【跟踪训练】2 如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，用向量a 、b 表示OP →.分析: 通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解λ1，λ2.【当堂达标】1.下列说法中，正确说法的个数是( ) ①在△ABC 中，AB →，AC →可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底．A ．0B ．1C ．2D ．32.如图在矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝( ) A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 3.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP→＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝144.已知非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →(λ∈R )，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝05.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y＝ .6.如图，在平行四边形ABCD 中，设AC →＝a ，BD →＝b ，试用基底{a ，b }表示AB →，BC →.【参考答案】【自主学习】不共线向量 a ＝λ1e 1＋λ2e 2思考：基底中的两向量e 1，e 2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．【小试牛刀】(1) × (2)× (3)√ (4)√ (5) × (6)√ 【经典例题】例 1 B [解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B ．【跟踪训练】1 ③ 解析：①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底．②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，所以e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底．③因为e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，所以e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．例2 解：连接FA ，DF .因为AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，所以AD →＝13BC →＝13b ，所以AE →＝12AD →＝16b .因为BF →＝12BC →，所以BF →＝12b ，所以FA →＝BA →－BF →＝a －12b .所以EF →＝EA →＋AF →＝－AE →－FA →＝－16b －⎝⎛⎭⎪⎫a －12b ＝13b －a ，DF →＝DA →＋AF →＝－(AD →＋FA →)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝16b －a .【跟踪训练】2 [解] ∵OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋m b ，OP →＝ON →＋nNA →＝12(1－n )b ＋n a .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧131－m ＝n ，121－n ＝m ，∴n ＝15.∴OP →＝15a ＋25b .【当堂达标】1.C 解析：①③正确，②错误．2.A 解析：选A.OC →＝12AC →＝12(BC →＋AB →)＝12(BC →＋DC →)＝12(5e 1＋3e 2)．3.A [解析] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB ．∴x ＝23，y ＝13.4.A 解析：选A.由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP→＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2.5. 3 解析：∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝62x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝3.∴x －y ＝3.6.解：法一：设AC ，BD 交于点O ，则有AO →＝OC →＝12AC →＝12a ，BO →＝OD →＝12BD →＝12b .所以AB →＝AO →＋OB →＝AO →－BO →＝12a －12b ，BC →＝BO →＋OC →＝12a ＋12b .法二：设AB →＝x ，BC →＝y ，则AD →＝BC →＝y ，又⎩⎪⎨⎪⎧AB →＋BC →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，解得x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ，即AB →＝12a －12b ，BC →＝12a ＋12b .《6.3.1平面向量的基本定理》同步练习A 组基础题一、选择题1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是( ) A ．30° B．45° C．60° D．120°2．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 23．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A ．①② B．②③ C．①③ D．①②③4．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝05.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <06．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①在△ABC 中，{AB →，AC →}可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底． A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组：①AD →与AB →； ②DA →与BC →； ③CA →与DC →； ④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( ) A ．6ME → B ．－6MF → C ．0 D ．6MD →二、填空题9.设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)10.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.11．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.(用b 、c 表示)13．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝3.14.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．15．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．三、解答题16.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.17.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.18．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.B 组能力提升一、选择题1.如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 是BC 的中点，F 是AE上一点，2，则（）A ．B ．C ．D ．2.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若，，则（）A ．B ．C ．D ．3.中，、分别是、上的点，且，，与交于点，则下列式子正确的是（）A ．B ．C ．D ． 4.如图，在直角梯形ABCD 中，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AE 的中点，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗5.如图，正方形中，是的中点，若，则（）AF =FE BF=1123AB AD -1132AB AD -1123AB AD -+1132AB AD -+AC a =BD b =AF =1142a b +2133a b +1124a b +1233a b +ABC M N BC AC 2BM MC =2AN NC =AM BN P 3142AP AB AC =+1324AP AB AC =+1124AP AB AC =+1142AP AB AC =+ABCD M BC AC AM BD λμ=+λμ+=A ．B ．C ．D ．6.如图四边形ABCD 为平行四边形，，若，则的值为（）A ．B ．C ．D ．17.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则( )A ．B ．C ．D ．二、填空题8.如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是_____．4353158211,22AE AB DF FC ==AF AC DE λμ=+λμ-122313ABCD E BC FDE 34AF xAB AD =+x =34231214ABC 13B BCD →→=E AD AE AB AC λμ→→→=+12λμ+9.在中，D 为线段上一点，且，若，则.10.在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是 .三、解答题11.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．《6.3.1平面向量的基本定理》同步练习答案解析A 组基础题一、选择题1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是( ) A ．30° B．45° C．60° D．120° 答案 D2．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2ABC AB 3BD AD =CD CA CB λμ→→→=+λμ=ABC E AC 3AC AE =P BE (0,0)AP mAB nAC m n =+>>31m n+答案 D3．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A ．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 答案 B4．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 答案 B5.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 答案 C解析当点P 落在第Ⅰ部分时，OP →按向量OP 1→与OP 2→分解时，一个与OP 1→反向，一个与OP 2→同向，故a <0，b >0.6．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①在△ABC 中，{AB →，AC →}可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C解析：①③正确，②错误．7．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ [答案] B解析：AD →与AB →不共线，DA →∥BC →，CA →与DC →不共线，OD →∥OB →，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( ) A ．6ME → B ．－6MF → C ．0 D ．6MD → 答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0. 二、填空题9.设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)答案 ①②④解析对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底．10.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.答案 14a ＋34b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b . 11．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案－74m ＋138n解析设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－74，y ＝138.12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.(用b 、c 表示)答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c .13．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝3.[答案] 3解析：∵e 1、e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.14.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．答案 6解析如图，以OA 、OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt△OCD 中，∵|OC →|＝23， ∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →， OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.15．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝12.三、解答题16.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.解 ∵AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13λb ＋(1－λ)a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足 AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2a ＋(1－μ)b .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，μ＝45.∴AE →＝25a ＋15b .17.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1. 证明设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →，又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →，∴由λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －μ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c －b ＝b 得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μb ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－23μc ＝b .又∵b 与c 不共线． ∴⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.18．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →. 解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点，∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .B 组能力提升一、选择题1.如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 是BC 的中点，F 是AE 上一点，2，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由梯形ABCD 中，AB CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 是BC 的中点，F 是AE 上一点，2，则；故选：C2.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，可知AF =FE BF=1123AB AD -1132AB AD -1123AB AD -+1132AB AD -+//AF =FE 221(332)BF BA AF AB AE AB AB AC =+=-+=-+⨯+1(3)AB AB AD DC =-+++11(32)AB AB AD AB =-+++1123AB AD =-+AC a =BD b =AF =1142a b +2133a b +1124a b +1233a b +=，选B. 3.中，、分别是、上的点，且，，与交于点，则下列式子正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如下图所示：连接，则，，，，因此，.故选：D. 4.如图，在直角梯形ABCD 中，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AE 的中点，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（）222()333AF AC CF AC CD AC AB AC AO OB =+=+=-=-+2112112132232233AC AC BD a a b a b ⎛⎫⎛⎫--=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC M N BC AC 2BM MC =2AN NC =AM BN P 3142AP AB AC =+1324AP AB AC =+1124AP AB AC =+1142AP AB AC =+MN 12NC MC AN BM ==//MN AB ∴PMN PAB △∽△13PM MN AP BC ∴==()333231444342AP AM AB BM AB BC AB BC ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭()31114242AB AC AB AB AC =+-=+A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【答案】B【解析】由图可知：BF →=12BA →+12BE →，BE →=23BC →，BC →=AC →﹣AB →，AC →=AD →+DC →，DC →=12AB →，∴BF →=﹣12AB →+13（AD →+12AB →﹣AB →）=﹣23AB →+13AD →，故选B ．5.如图，正方形中，是的中点，若，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，由此，，故，解得.故选B. 6.如图四边形ABCD 为平行四边形，，若，则的值为（）ABCD M BC AC AM BD λμ=+λμ+=43531582A 1()()11,1,1,,1,12AC AM BD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭11,12λμλμ=-=+415,,333λμλμ==+=11,22AE AB DF FC ==AF AC DE λμ=+λμ-A ．B ．C ．D ．1【答案】D【解析】选取为基底，则，又，将以上两式比较系数可得．故选D ．7.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为为的中点，所以，而，即有，又，所以．122313,AB AD 13AF AD DF AB AD =+=+()()122AF AC DE AB AD AB AD AB AD μλμλμλλμ⎛⎫⎛⎫=+=+++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1λμ-=ABCD E BC F DE 34AF xAB AD =+x =34231214F DE ()12AF AD AE =+1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+11132224AF AD AB AD AB AD ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭34AF xAB AD =+12x =故选：C ．二、填空题8.如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是_____．【答案】【解析】由题可知，，设，则，所以，而，可得：，所以，设，由双钩函数性质可知，在上单调递减，则，所以的取值范围是.故答案为：. 9.在中，D 为线段上一点，且，若，则. 【答案】3 【解析】，ABC 13B BCD →→=E AD AE AB AC λμ→→→=+12λμ+(10,3)+∞13B BCD →→=()01AE mAD m =<<13AE m AB BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()13m AB BA AC ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦2133AE m AB m AC →→→=+AE AB AC λμ→→→=+21,33m m λμ==1323m m λμ+=+()01m <<()33m f x m=+()01m <<()f x ()0,1()()1101333f x f >=+=12λμ+(10,3)+∞(10,3)+∞ABC AB 3BD AD =CD CA CB λμ→→→=+λμ=3BD AD =3331()4444CD CB BD CB BA CB CA CB CA CB →→→→→→→→→→∴=+=+=+-=+又，，，故选：310.在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是 . 【答案】12【解析】由题意可知：，三点共线，则：，据此有：，当且仅当时等号成立. 综上可得：的最小值是12.三、解答题11.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．解设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，CD CA CB λμ→→→=+31,44λμ∴==3λμ∴=ABC E AC 3AC AE =P BE (0,0)AP mAB nAC m n =+>>31m n+3AP mAB nAC mAB nAE =+=+,,A B E 31m n +=()313199366212n m n m m n m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭11,26m n ==31m n+∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.《6.3.1平面向量基本定理》同步检测试卷一、基础巩固1．下列各组向量中，可以作为基底的是（）． A ．， B ．， C ．，D ．， 2．在中，，则等于（） A ．B ．C ．D ．3．如图所示，，分别是的边，上的点，且，，则向量（）．A ．B ．C ．D ．4．已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向()10,0e =()21,2e =-()11,2e =-()25,7e =()13,5e =()26,10e =()12,3e =-213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ABC AB a =CB b =CA a b +a b -b a -a b --M N ABCAB AC 2AM MB =2NC AN =MN =1233AB AC -1233AB AC +1233AC AB -1233AC AB +(3,2),(1,2)a m b m =-=-量都可以唯一表示成(为实数),则实数m 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．5．中所在的平面上的点满足，则（） A ． B ． C ． D ． 6．设，是不共线的两个向量，且，则（） A ．B ．C ．D ．7．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则( )A ．B ．C ．D ．8在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则（）A ．B ．C ．D ．9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（）c c a b λμ=+,λμ6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,2)-∞(,2)(2,)-∞-⋃-+∞ABC ∆D 2BD DC =AD =3144AD AB AC =+1344AD AB AC =+2133AD AB AC =+1233AD AB AC =+a b 0,,a b R λμλμ+=∈0λμ==0ab 0,0b λ==0,0a μ==ABCD E BC F DE 34AF xAB AD =+x =34231214ABC D BC2BCCD =E AD AE AB AC λμ=+2λμ+=14-1412-12A ．，B ．，C ．，D ．，10.（多选）已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（） A ． B ． C ． D ． 11．（多选）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（） A ．(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个C ．若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得D ．若实数λ，μ使得，则λ=μ=012．（多选）已知正方形的边长为，向量，满足，，则（）A ．B ．C ．D ．二、拓展提升13．如图，设，，又，试用，表示．14．如图，在任意四边形ABCD 中，()10,0e =()21,1=e ()11,2e =()22,1e =-()13,4e =-234,55⎛⎫=-⎪⎝⎭e ()12,6=e ()21,3=--e MA MB MC ==0MA MB MC ++=1233CM CA CD =+2133BM BA BD =+12,e e 12e e λμ+a 12a e e λμ=+1112e e λμ+2122e e λμ+()11122122e e e e λμλλμ+=+120e e λμ+=ABCD 2a b 2AB a =2AD a b =+||22b =a b ⊥2a b(4)a b b +⊥OA a =OB b =43AP AB =a b OP（1）已知E ､F 分别是AD ､BC 的中点求证：. （2）已知，用，表示向量. 15．已知点G 是的重心,M 是边的中点.若过的重心G ,且,求证:. 答案解析一、基础巩固1．下列各组向量中，可以作为基底的是（）． A ．， B ．， C ．， D ．，【答案】B 【详解】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．2．在中，，则等于（） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【详解】2AB DC EF +=12AM MB =EA EB EM ABO ∆AB PQ ABO ∆,,,OA a OB b OP ma OQ nb ====113m n+=()10,0e =()21,2e =-()11,2e =-()25,7e =()13,5e =()26,10e =()12,3e =-213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭()11,2e =-()25,7e =1e 2e ABC AB a =CB b =CA a b +a b -b a -a b --，3．如图所示，，分别是的边，上的点，且，，则向量（）．A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】因为，，所以. 4．已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一表示成(为实数),则实数m 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】由题意可知,平面内的任一向量都可以唯一表示成, ∴是平面内表示所有向量的一个基底,. ∴不共线, ∴. CA CB BA b AB b a =+=-=-M N ABC AB AC 2AM MB =2NC AN =MN=1233AB AC -1233AB AC +1233AC AB -1233AC AB +2AM MB =2NC AN =1233MN AN AM AC AB =-=-(3,2),(1,2)a m b m =-=-c c a b λμ=+,λμ6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,2)-∞(,2)(2,)-∞-⋃-+∞c c a b λμ=+,a b ,a b 3(2)20m m -+≠65m ≠故m 的取值范围是.5．中所在的平面上的点满足，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【详解】解：因为，所以，所以， 6．设，是不共线的两个向量，且，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【详解】因为，是不共线的两个向量,所以由平面向量基本定理知：若，则， 7．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC ∆D 2BD DC =AD =3144AD AB AC =+1344AD AB AC =+2133AD AB AC =+1233AD AB AC =+2BD DC =()2AD AB AC AD -=-1233AD AB AC =+a b 0,,a b R λμλμ+=∈0λμ==0ab 0,0b λ==0,0a μ==a b 0,,a b R λμλμ+=∈0λμ==ABCD E BC F DE 34AF xAB AD =+x =34231214因为为的中点，所以，而，即有，又，所以． 8．在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】解：由题意可得，，故， ∴.9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（） A ．， B ．，C ．，D ．，【答案】ACD 【详解】F DE ()12AF AD AE =+1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+11132224AF AD AB AD AB AD ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭34AF xAB AD =+12x =ABC D BC 2BC CD =E AD AE AB AC λμ=+2λμ+=14-1412-12111111131()()222222444AE AD AC CD AC BC AC AC AB AC AB ==+=+⨯=+-=-13,44λμ=-=241λμ+=()10,0e =()21,1=e ()11,2e =()22,1e =-()13,4e =-234,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭e ()12,6=e ()21,3=--eA ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；B 中，不共线，所以可作为一组基底．10．（多选）已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（） A ． B ． C ． D ．【答案】BC 【详解】M 为△ABC 的重心，M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A ，由于△ABC 为任意三角形，故中线不一定相等，则不一定相等，故A 错误；对于B ，D 为BC 的中点，，，，故B 正确；对于C ，，故C 正确；对于D ，，故D 错误.11．（多选）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（） A ．(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个1e 2e 1e 2e MA MB MC ==0MA MB MC ++=1233CM CA CD =+2133BM BA BD =+∴,,MA MB MC 2MB M MD C +∴=2MA MD =-0MA MB MC ++=∴()22123333CM CA AM CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=+()22123333BM BA BA BA B AM AD BD BA A BD +=+=+-==+12,e e 12e e λμ+a 12a e e λμ=+C ．若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得D ．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0 【答案】BC 【详解】由平面向量基本定理可知，A ，D 是正确的.对于B ，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，B 错误.对于C ，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当为非零向量，而为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在. 12．（多选）已知正方形的边长为，向量，满足，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【详解】由条件可，所以，A 正确；，与不垂直，B 错误；，C 错误；，根据正方形的性质有，所以，D正确.二、拓展提升13．如图，设，，又，试用，表示．【答案】. 1112e e λμ+2122e e λμ+()11122122e e e e λμλλμ+=+120e e λμ+=1112e e λμ+2122e e λμ+ABCD 2ab 2AB a =2AD a b =+||22b =a b ⊥2a b(4)a b b +⊥b AD AB BD =-=||||22b BD ==12a AB =BD 122a b AB BD ⋅=⋅=-4a b AB AD AC +=+=AC BD ⊥(4)a b b +⊥OA a =OB b =43AP AB =a b OP 1433OP a b =-+【详解】解：，由已知可得：，所以，故．14．如图，在任意四边形ABCD 中，（1）已知E ､F 分别是AD ､BC 的中点求证：.（2）已知，用，表示向量. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：因为E ､F 分别是AD ､BC 的中点，所以，，由题意，，两式相加得，即；（2）因为，所以，所以.15．已知点G 是的重心,M 是边的中点.若过的重心G ,且,求证:. AP OP OA =-AB OB OA =-43AP AB =4()3OP OA OB OA -=-44143333OP OA OA OB a b =-+=-+1433OP a b =-+2AB DC EF +=12AM MB =EA EB EM 1233EM EB EA =+0ED EA +=0CF BF +=EF ED DC CF =++EF EA AB BF =++2EF ED DC CF EA AB BF =+++++AB DC =+2AB DC EF +=12AM MB =13AM AB =()11123333EM EA AM EA AB EA EB EA EB EA =+=+=+-=+ABO ∆AB PQ ABO ∆,,,OA a OB b OP ma OQ nb ====113m n+=【答案】见解析【详解】因为M 是边的中点,所以. 因为G 是的重心,所以.由P ,G ,Q 三点共线,所以有且只有一个实数,使，，，又因为不共线，，消去，整理得,故.AB 11()()22OM OA OB a b =+=+ABO ∆21()33OG OM a b ==+λPG PQ λ=,(1)OG OP OQ OP OG OQ OP λλλλ-=-=+-,OP ma OQ nb ==(1))1(3OG nb a a b m λλ=+-=+,a b 1=313n m m λλ⎧⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩λ3mn m n =+113m n+=。

教学设计3：6.3.1 平面向量基本定理

6.3.1 平面向量基本定理一、教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量，最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j.于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.二、教学目标1、知识与技能：了解平面向量的基本定理及其意义；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，掌握平面向量正交分解及其坐标表示。

2、过程与方法：初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。

3、情感态度与价值观：通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。

三、重点难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点：平面向量基本定理的运用.四、教学设想（一）导入新课思路 1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G ，可分解为使物体沿斜面下滑的力F 1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F 2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v ，可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是作正交分解，即在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许，用多媒体教学，通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2，请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1，设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动：如图1，在平面内任取一点O，作=e 1，=e 2，=a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N .由向量的OA OB OC线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得=λ1e 1，=λ2e2.由于，所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得：平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明：(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.讨论结果：①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：图2已知两个非零向量a 和b (如图2)，作=a ，=b ，则∠AOB =θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.显然，当θ=0°时，a 与b 同向；当θ=180°时，a 与b 反向.因此，两非零向量的夹角在区间[0°，OM ON ON OM OC +=OA OB180°]内.如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便.讨论结果：①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°，180°]内；向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢?②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动：如图3，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j①这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a=(x，y)②其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.显然，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).教师应引导学生特别注意以下几点：(1)向量a与有序实数对(x，y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系.如图所示，是表示a 的有向线段，A 1、B 1的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则向量a 的坐标为x =x 2-x 1，y =y 2-y 1，即a 的坐标为(x 2-x 1，y 2-y 1). (3)为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了，即点A 的坐标就是向量a 的坐标，流程表示如下：讨论结果：①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a =(x ，y ).②是一一对应的.（三）应用示例思路1例1 如图4，ABCD ，=a ，=b ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF =BC ，以a ，b 为基底分解向量.图4活动：教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解，让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤，并对书写认真且正确的同学提出表扬，对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解：由H 、M 、F 所在位置，有=b +a . =a b . 点评：以a 、b 为基底分解向量与，实为用a 与b 表示向量与.11B A AB AD 31HF AM 和+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 2121AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-=61-AM HF AM HF变式训练已知向量e 1、e 2(如图5)，求作向量-2.5e 1+3e 2.图5作法：(1)如图，任取一点O，作=- 2.5e 1，=3e 2.(2)作OACB .故OC 就是求作的向量.例2 如图6，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.图6活动：本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ，其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解，看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来，进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点，则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法，可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a 与b 关于y 轴对称，a 与c 关于坐标原点中心对称，a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解：由图可知，a =+=x i +y j ，∴a =(2，3).同理，b =-2i +3j =(-2，3)；c =-2i -3j =(-2，-3)；d =2i -3j =(2，-3).点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.变式训练i ，j 是两个不共线的向量，已知=3i +2j ，=i +λj ，=-2i +j ，若A 、B 、D 三点共线，试求实数λ的值.OA OB OC 1AA 2AA AB CB CD解：∵=-=(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ，又∵A 、B 、D 三点共线，∴向量与共线.因此存在实数υ，使得=υ，即3i +2j =υ[-3i+(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量，故∴∴当A 、B 、D 三点共线时，λ=3. 例 3 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解析：平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量.综上所述，②③正确.答案：B点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2例1 如图7，M 是△ABC 内一点，且满足条件0，延长CM 交AB 于N ，令=a ，试用a 表示.图7活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具.BD CD CB AB BD AB BD ⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v ⎩⎨⎧=-=.3,1λv =++CM BM AM 32CM CN由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1+λ2e 2=0，则λ1=λ2=0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2，则解：∵ ∴由=0，得0. ∴=0. 又∵A 、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线，由平行向量基本定理，设∴0.∴(λ+2)+(3+3μ)=0.由于和不共线，∴∴ ∴∴=2a .点评：这里选取作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量，a =3e 1+4e 2，b =-2e 1+5e 2，若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2，求λ、μ的值.解：由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理，知解之，得λ=1，μ=-1.⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a ,,NM BN BM NM AN AM +=+=CM BM AM 32++=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(CM BN NM AN 323+++,,NM CM BN AN μλ===+++NM BN NM BN μλ323BN NM BN NM ⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ⎩⎨⎧-=-=12μλ.MN NM CM =-=CM MN CM CN 2=+=NM BN ,⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ例2 如图8，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE =2EC ，求的值.图8活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后，然后结合向量的相等进行求解比值. 解：设 ∵=，即-=-， ∴=(+). 又∵=λ=λ(-)，∴==+.① 又∵=μ，即-=μ(-)， ∴(1+μ)=+μ= 又=，∴=+.② 比较①②，∵、不共线， ∴解之，得∴ 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果.变式训练过△OAB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q ，设=h ，，试GEBG GD AG 及μλ==GEBG GD AG ,BD DC AD AB AC AD AD 21AB AC AG GD AD AG AG λλ+1AD )1(2λλ+AB )1(2λλ+AC BG GE AG AB AE AG AG AB AG AE ,AE AB μμμ+++111AE 32AC AG AB μ+11)1(32μμ+AC AB AC ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ.23,4==GE BG GD AG OP OA OB k OQ =证：解：设=a ，=b ，OG 交AB 于D ，则=()=(a +b )(图略). ∴==(a +b )，=(a +b )-k b =a +b ， =h a -k b . ∵P 、G 、Q 三点共线，∴.∴a +b =λh a -λk b .∴ 两式相除，得， ∴=3. （四）知能训练1.已知G 为△ABC 的重心，设=a ，=b ，试用a 、b 表示向量.2.已知向量a =(x +3，x 2-3x -4)与相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求x . 解答：1.如图9，=，图9 而a +(b -a )=a +b ， ∴(a +b )=a +b . 点评：利用向量加法、减法及数乘的几何意义.2.∵A (1，2)，B (3，2)，∴=(2，0).∵a =，∴(x +3，x 2-3x -4)=(2，0).∴解得∴x =-1.311=+kh OA OB OD 21OB OA +21OG 32OD 31OQ OG QG -=3131331k -OQ OP QP -=QP QG λ=31331k -⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ.3311hk h k k h k =+⇒-=-kh 11+AB AC AG AB AG 32AD =+=+=BC AB BD AB AD 212121213232==AD AG 21213131AB AB ⎩⎨⎧=--=+043,232x x x ⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或AB点评：先将向量用坐标表示出来，然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.（五）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图.。

平面向量基本定理(教案)

平面向量基本定理(教案)教案章节一：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量可以用坐标形式表示，例如在二维空间中，向量可以表示为(a, b)。

1.2 向量的加法向量的加法是指在同一平面内，将两个向量首尾相接，形成的第三个向量。

向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

教案章节二：平面向量的基本定理2.1 定理的定义平面向量的基本定理是指在平面内，任何两个不共线的向量可以作为平面的基底。

基底是线性无关的向量组，可以通过线性组合表示平面内的任意向量。

2.2 基底的性质基底是线性无关的，即不存在非零的线性组合使得向量组的和为零。

基底可以任意选择，但选择不同的基底会导致向量的坐标不同。

教案章节三：向量的线性组合3.1 线性组合的定义向量的线性组合是指将向量与实数相乘后相加的结果。

例如，a u + b v 表示将向量u 乘以实数a，向量v 乘以实数b，将两个结果相加。

3.2 线性组合的性质线性组合满足分配律，即(a u + b v) + c w = a (u + c w) + b v。

线性组合的系数可以是任意实数，包括正数、负数和零。

教案章节四：向量的坐标表示4.1 坐标系的建立坐标系是由两个或多个轴组成的，用于表示向量的位置和方向。

在二维空间中，通常使用x 轴和y 轴作为坐标轴。

4.2 向量的坐标表示向量可以用坐标形式表示，即(x, y)，其中x 表示向量在x 轴上的投影，y 表示向量在y 轴上的投影。

向量的长度可以用勾股定理计算，即|u| = √(x^2 + y^2)。

教案章节五：向量的线性相关性5.1 线性相关的定义向量组线性相关是指存在一组不全为零的实数，使得向量组的和为零。

例如，向量组(u, v, w) 线性相关，当存在不全为零的实数a, b, c，使得a u +b v +c w = 0。

5.2 线性相关性的性质如果向量组线性相关，其中任意一个向量都可以表示为其他向量的线性组合。

平面向量基本定理教学设计

平面向量基本定理教学设计一、教学分析1）教材地位分析平面向量基本定理是平面向量这个章中的重要环节，有着承上启下的特殊地位，定理是在学习了向量加法、减法和数乘向量这三种运算的基础上，此定理为平面向量正交分解和坐标表示奠定了理论基础。

准确理解平面向量基本定理，能够为后面的向量坐标知识学习，起到事半功倍的作用。

进一步，它为研究几何问题提供了又一个工具。

另外，该定理也具有广泛的现实意义，如物理中的矢量分析，因而该定理兼有理论与现实的指导作用2）学生现实分析该节内容是学生学习了向量的基本概念，向量的加法，及向量的减法，数乘向量的基础上展开的。

对于向量加法的平行四边形法则已定掌握，能够实行向量的加减运算，学生已具有相关的向量知识，学生对向量的物理背景有一定的了解。

二、教学目标确定通过对教学任务的分析，本节课的教学目标可定为：（1）知识与技能理解平面向量基本定理及其意义（平面向量揭示向量加法逆向运算，知道和向量去求分向量的一种现象）。

掌握平面里的任何一个向量都能够用两个不共线的向量来表示，基底确定，即分解方向确定，只有一组分向量，基底不确定即分解方向不确定，能够有无数组分向量。

理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法，揭示了一种现象，是后面学习向量坐标的关键；能够在具体问题中适当地选择基底，使其他向量能够用基底来表示。

（2）过程与方法经历如何把已知和向量分解成两个分向量的过程，再抽象出数学中的平面向量基本定理，利用几何画板，通过学生自己动手，使学生亲历知识的建构过程，体验定理的内容和意义。

（3）情感态度价值观通过师生互动，生生互动，提升学习数学的兴趣，培养学生的合作意识。

让学生体验到数学的乐趣。

三、教学重点难点由以上分析可知，重点是：（1）了解定理的形成过程及内容；理解定理说明一种向量分解成分向量的现象实质。

（2）会用此定理解决一些简单的问题。

平面基本定理体现数学的化归思想。

难点有两个：（1）定理中向量关于基底的线性表示的唯一性和对“任一向量”定理的结论都成立的理解。

《平面向量基本定理》教案、导学案、课后作业

《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。

【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三题型一正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底．题型二用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ．【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】一、预习导入阅读课本25-27页，填写。

平面向量基本定理教案(精选10篇)

平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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平面向量基本定理(教案)

《2.3.1 平面向量基本定理》教案【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹【教材分析】1.向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。

2.本节在教学中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。

因此本节知识在本章中起承上启下的作用。

3.本节在教学思维方面的培养价值平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。

它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。

【目标分析】知识与技能1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合；2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。

过程与方法1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。

情感态度价值观1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。

【学情分析】有利因素1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备；2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这为我们学习向量分解提供了认知准备。

平面向量基本定理及坐标表示教案

2．3．4 平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量共线的坐标表示；（2）掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线．教学重点：平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式，教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一． λ1，λ2是被，，唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底．任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作),(y x a =其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=．2．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则),(2121y y x x ++=，),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标．向量的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是相同的。

3．练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP ，求P 点的坐标2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，则-2= ．3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，如何求证：四边形ABCD 是梯形．？二、讲解新课：1．思考：（1）两个向量共线的条件是什么？（2）如何用坐标表示两个共线向量？设=(x 1， y 1) ，=(x 2， y 2) 其中≠．由=λ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0∥ (≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵≠ ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2211x y x y = ？（不能。

平面向量基本定理及其坐标表示教案

平面向量基本定理及其坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标表示方法。

2. 培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 平面向量的基本定理（1）定理：设有两个向量a 和b，如果存在实数x 和y，使得a = xb + yb，则称向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示。

（2）推论：设有两个向量a 和b，如果向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示，存在唯一实数对(x, y)，使得a = xb + yb。

2. 平面向量的坐标表示（1）定义：在二维空间中，以原点O(0,0) 为起点，设向量a 的终点为点A(x, y)，则向量a 的坐标表示为(x, y)。

（2）性质：设向量a 的坐标表示为(x, y)，向量b 的坐标表示为(m, n)，则向量a + b 的坐标表示为(x+m, y+n)，向量a b 的坐标表示为(x-m, y-n)。

（3）运算规律：设向量a 和向量b 的坐标表示分别为(x1, y1) 和(x2, y2)，则向量a + b 的坐标表示为(x1+x2, y1+y2)，向量a b 的坐标表示为(x1-x2, y1-y2)。

三、教学方法1. 讲授法：讲解平面向量的基本定理及其坐标表示的定义、性质和运算规律。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。

3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。

四、教学步骤1. 导入新课：回顾平面向量的概念，引导学生思考如何表示平面向量。

2. 讲解基本定理：阐述平面向量的基本定理，并通过图形示例帮助学生理解。

3. 讲解坐标表示：介绍平面向量的坐标表示方法，讲解坐标表示的定义、性质和运算规律。

4. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。

5. 小组讨论：分组讨论，让学生运用所学知识分析问题，培养团队协作能力和逻辑思维能力。

平面向量基本定理及其坐标表示教案

平面向量基本定理及其坐标表示教案教学目标：1. 理解平面向量的基本定理；2. 学会用坐标表示平面向量；3. 掌握平面向量的坐标运算。

教学重点：1. 平面向量的基本定理；2. 坐标表示平面向量；3. 平面向量的坐标运算。

教学难点：1. 平面向量的基本定理的理解；2. 坐标表示平面向量的推导；3. 平面向量的坐标运算的熟练运用。

教学准备：1. 教材或教案；2. 投影仪或黑板；3. 粉笔或教鞭。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾初中阶段学习的向量知识，如向量的定义、向量的加法、减法等；2. 提问：向量是否可以只有大小没有方向？为什么？二、平面向量的基本定理（15分钟）1. 介绍平面向量的基本定理：任意两个平面向量都可以唯一地分解为两个互垂直的向量的和；2. 用图形和实例来说明基本定理的意义；3. 引导学生理解基本定理的重要性。

三、坐标表示平面向量（15分钟）1. 介绍坐标系的概念，如直角坐标系、平面极坐标系等；2. 推导平面向量的坐标表示方法，即用坐标表示向量的位置；3. 举例说明如何用坐标表示平面向量。

四、平面向量的坐标运算（15分钟）1. 介绍平面向量的坐标运算，如坐标加法、减法、数乘等；2. 用公式和实例来说明坐标运算的规则；3. 引导学生熟练掌握坐标运算的方法。

五、巩固练习（10分钟）1. 给出一些关于平面向量的练习题，让学生独立完成；2. 针对学生的疑问进行解答和讲解；3. 强调平面向量基本定理及其坐标表示的重要性。

教学反思：在教学过程中，要注意通过实例和图形来帮助学生理解平面向量的基本定理及其坐标表示，以及坐标运算的规则。

要鼓励学生积极参与课堂讨论，提出疑问，以提高他们的学习兴趣和动力。

六、向量加法的平行四边形法则（15分钟）1. 介绍平行四边形法则，即以两个向量首尾相接所构成的平行四边形的对角线所代表的向量等于这两个向量的和；2. 用图形和实例来说明平行四边形法则的应用；3. 引导学生理解并掌握平行四边形法则。

《平面向量基本定理》教学设计

《平面向量基本定理》教学设计一、背景分析1．教材分析函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。

本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。

通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。

本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。

2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。

从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。

教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点．二.学习目标1）知识与技能目标1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。

2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。

2）过程与方法目标1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。

2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。

3）情感、态度与价值观目标1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识；2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

平面向量基本定理及其坐标表示教案

平面向量基本定理及其坐标表示教案教学目标：1. 理解平面向量的基本定理；2. 学会将平面向量用坐标表示；3. 掌握平面向量的坐标运算。

教学内容：1. 平面向量的基本定理；2. 向量的坐标表示；3. 向量的坐标运算。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 通过复习预备知识，引导学生回顾向量的定义及基本性质。

2. 提问：我们已经学习了向量的哪些运算？这些运算有什么应用？二、平面向量的基本定理（10分钟）1. 介绍平面向量的基本定理的内容。

2. 通过示例，解释平面向量的基本定理的应用。

3. 引导学生通过图形直观地理解平面向量的基本定理。

三、向量的坐标表示（10分钟）1. 介绍向量的坐标表示方法。

2. 通过示例，解释如何用坐标表示一个向量。

3. 引导学生通过坐标系直观地理解向量的坐标表示。

四、向量的坐标运算（10分钟）1. 介绍向量的坐标运算规则。

2. 通过示例，解释如何进行向量的坐标运算。

3. 引导学生通过坐标系直观地理解向量的坐标运算。

五、巩固练习（10分钟）1. 提供一些有关平面向量的基本定理及其坐标表示的练习题。

2. 引导学生独立完成练习题，巩固所学知识。

3. 对学生的练习结果进行点评和指导。

教学评价：1. 通过课堂讲解和示例，评价学生对平面向量的基本定理及其坐标表示的理解程度；2. 通过练习题，评价学生对平面向量的坐标运算的掌握程度；3. 通过学生的提问和参与程度，评价学生的学习兴趣和积极性。

教学资源：1. 教学PPT或黑板；2. 练习题。

教学建议：1. 在讲解平面向量的基本定理时，可以通过图形和实际例子来说明定理的意义和应用；2. 在讲解向量的坐标表示时，可以借助坐标系，直观地展示向量的坐标表示方法；3. 在讲解向量的坐标运算时，可以通过示例和练习题，让学生熟练掌握运算规则；4. 在巩固练习环节，可以提供不同难度的练习题，以满足不同学生的学习需求；5. 在教学过程中，鼓励学生提问和参与讨论，以提高学生的学习兴趣和积极性。

平面向量基本定理教案

平面向量基本定理教案教案标题：平面向量基本定理教案教学目标：1. 理解平面向量的概念和基本性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算；3. 理解平面向量的基本定理，包括平行四边形定理和三角形定理；4. 能够应用平面向量的基本定理解决几何问题。

教学准备：1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、投影仪、教学PPT；2. 学生准备：学生课本、笔记本、作业本。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念，通过实例让学生了解向量的定义和表示方法；2. 引发学生对平面向量的兴趣，提出一个与向量相关的问题，引导学生思考。

二、讲解（15分钟）1. 通过教学PPT，向学生讲解平面向量的加法、减法和数量乘法运算规则，并给出实例进行演示；2. 介绍平面向量的基本定理，包括平行四边形定理和三角形定理，给出相关的几何解释和证明过程。

三、练习（20分钟）1. 学生个人练习：在黑板上出示一些平面向量的练习题，让学生个人完成，并互相交流讨论；2. 学生小组练习：将学生分成小组，给每个小组分发一套练习题，让他们共同合作解决问题；3. 教师巡回指导，解答学生疑惑。

四、展示与总结（10分钟）1. 随机选择几位学生上台展示解题过程，让其他学生评价和提出改进意见；2. 教师进行总结，强调平面向量基本定理的重要性和应用范围；3. 布置作业：要求学生完成课后习题，巩固所学知识。

五、拓展与应用（5分钟）1. 引导学生思考平面向量在实际生活中的应用，如力的合成、速度的合成等；2. 提供一些相关的拓展问题，让学生进行探究和解决。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解平面向量的概念和基本性质，掌握平面向量的运算规则，并能够应用平面向量的基本定理解决几何问题。

在教学过程中，通过多种练习形式，激发了学生的学习兴趣和合作意识。

同时，通过展示和总结环节，提高了学生的表达能力和思维能力。

在今后的教学中，可以加强与实际生活的联系，提供更多的应用案例，增加学生的实践操作。