2020年考研数学二真题及答案
2020考研数学二真题及答案,最新考研数学真题
2020年全国硕士研究生招生考试数学二答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(I )当x 今矿时，下列无穷小中最高阶的是(A )J ; 飞-l)d r (B )J: l n(l +护）d1(C)厂xsin t 2dt 。
（）(D )i 。
1一C O S X嘉巾［答案】(D )【解析】用导数定阶法(A )选项中j 仁－中t 求导得到e ·l--l-x 2, 则(A)选项阶数为3阶，。
(B )选项中J:·1n(1+扩�t 求导得到1n (1+左）－左，则(B }选项中阶数为:阶，2(C )选项中t 虹sin 户山求导得到sin (sin 气）-cosx-x2, 则(C)选项中阶数为3阶，(D)选项中厂s x品忒dt 求导得到sin 3l , 则(D)选项中阶数为5阶，。
✓ (-c o s x)s i n x -二-x 42✓2因此选(D).I(2)函数f(x)=产lnll+xl 的第二类间断点的个数为(e -'-l)(x-2)(B )2个(A ) I 个【答案】(C)【解析】（）(C)3个(D )4个Ilim f() e-'-1 In II+ x ie 一1xlx = lim =li m —=-一，,-➔Or ➔。
(c ?-l ){x -2)仁）o x (-2)2eII产叫l+xe 言l n l l +l l匝J(x )=lim= Jim =oo. x ->I .t ➔i '(e '-l )(x-2) ,,-+1"(e -l )(t -2)II产lnll+xe 百1n 11+ 21limf (x) = lim= Jim 2 =00'x ➔2., ➔ 2 (矿-l){x -2)·➔r (e -l)(x -2) I/() e x -I In l + Xlim x = lirn I I=oo' X ➔-1X ➔ -1(e x-l )(x-2)共3个，选(C).(3)f 1 a r c s m 石。
2020考研数学二真题含答案解析
2020年全国硕士研究生招生考试数学二试题一、选择题：1~8题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（1）当x 0时，下列无穷小量中最高阶的是A. （）x0(e 1)dte1x 1t 2 B.x0ln(1 t )dt3 C.sin x0sin t dt2 D.1 cos xsin 3tdt（2）函数f (x ) A.1个（3）ln1 x(e x 1)(x 2)的第二类间断点的个数为C.3个D.4个（）B.2个arcsin xx (1 x )dx 1（）2A.42 2B.8 C.(n )4D. 8（）（4）已知函数f (x ) x ln(1 x ),当n 3时，f A.(0)(n 2)!nD.n !n 2B.n !n 2 C.(n 2)!n（）xy ,xy 0 （5）关于函数f (x ,y )x ,y 0,给出下列结论： y ,x 0f ① x2f 1;②x yB.3(0,0)(0,0)1;③(x ,y ) (0,0)limf (x ,y ) 0;④lim lim f (x ,y ) 0.y 0x 0其中正确的个数为A.4（C.2D.1（D.）（6）设函数f (x )在区间 2,2 上可导，且f (x ) f (x ) 0.则A.）f ( 2)1f ( 1)B.f (0) e f ( 1)C.f (1) e 2f ( 1)f (2) e 3f ( 1)*（7）设4阶矩阵A (a ij )不可逆，a 12的代数余子式A 12 0， 1, 2, 3, 4为矩阵A 的列向量组，A 为A 的伴随矩阵，则方程组A *x 0的通解为A.x k 1 1k 22k 33,其中k 1,k 2,k 3为任意数B.x k 1 1k 22k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数C.x k 1 1k 23k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数D.x k 12k 23k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数（）（8）设A 为3阶矩阵， 1, 2为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量， 3为A 的属于特征值-1的特1001征向量，则满足P AP 0 10 的可逆矩阵P 可为001A.( 13, 2, 3)B.( 1 2, 2, 3)C.( 1 3, 3, 2)（）D.( 1 2, 3, 2)二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在横线上.x t 2 1d 2y （9）设,则22dxy ln(t t 1)（10） ________.t 110dy1yx 3 1dx ________.(0, )（11）设z arctan xy sin(x y ),则dz ________.（12）斜边长为2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为g ，水的密度为 ，则该平板一侧所受的水压力为________.（13）设y y (x )满足y 2y y 0,且y (0) 0,y (0) 1,则y (x )dx ________.a（14）行列式a1 1 11a 0110a________.0 11三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.（15）（本题满分10分）x 1 x求曲线y x 0 的斜渐近线方程. 1 x x（16）（本题满分10分）已知函数f x 连续且lim x 01f (x ) 1,g (x ) f (xt )dt ,求g (x )并证明g (x )在x 0处连续.0x求函数f x ,y x 8y xy 的极值.33（18）（本题满分10分）21 x 2x 设函数f (x )的定义域为 0, 且满足2f (x ) x f.求f (x ),并求曲线2 x 1 x 213y f (x ),y ，y 及y 轴所围图形绕x 轴旋转所成转体的体积.22（19）（本题满分10分）设平面区域D 由直线x 1,x 2,y x 与x 轴围成，计算Dx 2 y 2dxdy .x设函数f (x ) x 1e t dt .22（Ⅰ）证明：存在 (1,2),使得f ( ) (2 )e ;（Ⅱ）证明：存在 (1,2),使得f (2) ln 2 e .2（21）（本题满分11分）设函数f (x )可导，且f (x ) 0，曲线y f (x )(x 0)经过坐标原点O ,其上任意一点M 处的切线与x 轴交于T ,又MP 垂直x 轴与点P .已知由曲线y f (x ),直线MP 以及x 轴所围图形的面积与 MTP 的面积之比恒为3:2，求满足上述条件的曲线的方程.设二次型f (x 1,x 2,x 3) x 1 x 2x 3 2ax 1x 2 2ax 1x 3 2ax 2x 3经过可逆线性变换222 x 1 y 1222x P 2 y 2 化为二次型g (y 1,y 2,y 3) y 1 y 24y 3 2y 1y 2. x y 33（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求可逆矩阵P .（23）（本题满分11分）设A 为2阶矩阵，P ( ,A ),其中 是非零向量且不是A 的特征向量.（Ⅰ）证明P 为可逆矩阵；（Ⅱ）若A A 6 0，求P AP ,并判断A 是否相似于对角矩阵.2 12020考研数学真题（数学二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．．．．1.当x →0+时，下列无穷小量中最高阶的是（）A.⎰x0(e -1)dtB.⎰ln(1+t )dtC.⎰0t 2x3sin x0sin t dtD.⎰21-cos xsin 3tdt解析：本题选D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。
2020考研数学二真题 附答案解析
t3t 2 2x10 2x ®0x (1- x )x d x e -1 ln |1+ x |-2x= -e -1 2ln | x +1| x = -e -1 2¥¥òarcsin u · 1 arcsin xx (1- x ) u 2(1- u 2)x ®01- u 2¶f¶x arcsin u d 0 p①(0,0)¶2 f¶x ¶y ¶f¶x②(0,0)①(0,0) = lim-1 不存在.(0,0)y ®0 y xy = 0(0,0)x = 0y = 0¶x ¶y6.设函数 f (x) 在区间[-2, 2] 上可导，且 f ¢(x) >f (x) > 0 ，则（ ）f (-2)> 1f (-1)f (0) f (-1)f (1) f (-1)f (2) f (-1) >e <e2 <e3答案：B解析：由 f ¢(x) >f (x) > 0知f ¢(x)- 1 > 0f (x)即(ln f (x) -x)¢> 0令F (x) = ln f (x) -x ，则 F (x)在[-2, 2]上单增因-2 <-1 ，所以 F (-2) <F (-1)即ln f (-2) + 2 < ln f (-1) + 1f (-1)>ef (-2)同理， -1 < 0, F (-1) <F (0)即ln f (-1) + 1 < ln f (0)f (0)e7.设四阶矩阵A=(a ij )不可逆，a12 的代数余子式A12 ¹0,a1,a2 ,a3 ,a4 为矩阵A的列向量 组. A* 为 A 的伴随矩阵.则方程组 A* x =0 的通解为（ ）.A.x=k1a1 +k2a2 +k3a3 ，其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数B.x=k1a1 +k2a2 +k3a4 ，其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数C.x=k1a1 +k2a3 +k3a4 ，其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数.D.x=k1a2 +k2a3 +k3a4 ，其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数 答案：C解析：∵A 不可逆11 2 3 3 4è øè ø ∴|A|=0 ∵ A 12¹ 0r ( A *) = 1∴ r ( A ) = 3∴ A * x = 0 的基础解系有 3 个线性无关的解向量.A *A =| A | E = 0∴A 的每一列都是 A *x = 0 的解又∵ A 12¹ 0∴a 1 ,a 3 ,a 4 线性无关∴ A *x = 0 的通解为 x = k a + k a + k a 8. 设 A 为 3 阶矩阵，a 1 ,a 2 为 A 属于特征值 1 的线性无关的特征向量，a 3 为 A 的属于特征 æ 1 0 0 ö 值-1 的特征向量，则满足P -1AP = ç 0 -1 0 ÷的可逆矩阵 P 可为（ ）.A. (a 1 +a 3 ,a 2 , -a 3 )B. (a 1 +a 2 ,a 2 , -a 3 )C. (a 1 +a 3 , -a 3 , -a 3 )D. (a 1 +a 2 , -a 3 , -a 2 )答案：D解析：A a 1 = a 1 , A a 2 = a 2A a 3 = -a 3ç ÷ ç 0 0 1 ÷æ 1 0 0 ö ! P -1AP = ç 0 -1 0 ÷ç ÷ ç 0 0 1 ÷\ P 的 1，3 两列为 1 的线性无关的特征向量a 1 +a 2 ,a 2 P 的第 2 列为 A 的属于-1 的特征向量a 3.∴∵24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.，则 = .t =1tt tyyd 2 ydx 2t 2 +1t 2 +1dy 2dx 2ò)], )],(0,(0, 1 ，则 +¥y (x ) d x 0¶z ¶x ¶z ¶y0 òò= +¥y (x ) d x = - +¥ y ¢(x ) + 2 y ¢(x ) d x= -[ y ¢(x ) + 2 y (x )] +¥= [ y ¢(0) + 2 y (0)] = 1a 0 -1 114.行列式 a 1 -1 =-1 1 a 0解析：1 -1 0 a a 0 -1 1 a 0 -1 1 0 a 1 -1 = 0 a 1 -1 0 a -1 + a2 1 a -1+ a 2 1=0 a 1 -1 = - a 1 - 1 -1 1a 0 0 a a0 0 a aa a 2 - 2 1 = - a 2 -1 = a 4 - 4a 2.0 0 a三、解答题：15~23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）x 1+ x求曲线 y = (1+ x )x(x > 0) 的斜渐近线方程.解析： lim y x 1+ xlim= limx ®+¥ xx x xx ®+¥ (1+ x )x x x ®+¥ (1+ x )= ex l n xlim x ®+¥ ex ln(1+ x )= lim e x (ln x -ln(1+ x ))x ®+¥-1 1 a 0 -1 1 a 0 1 -1 0a 00 aaò=x ®+¥=x ®+¥=x ®+¥lim (y x ®+¥= lim æx ®+¥ è= lim x ®+¥= lim x ®+¥= ölim x ®+¥ø= ö x ®+¥÷ ø= lim e t ®0+ = lim e t ®0+ = 1 e -1 t ®0+ y = e -11e-1216.limf (x ) = 1,g ( x ) = 1f ( xt )dt , 求g '( x )x ®0 x续.并证明 g '(x )在x = 0 处连x = lim f (x ) = 0 x ®0ò0 f (u )du = 1 lim f (x ) = 1 0 x 2 2 x ®0 x 2 的极值y C = 0 -1+ 1x 2 +13 çx AC - 当 x = A = 1.AC - >1= -21618. ) ，并求直线 y = 1 ，与函数 f (x ) 所 y = 22+ 2 f æ1 è ) x x …②①´ 2f (x ) = x②V = p × ÷ 3 - p = 3 3 4 = p 2312 2 x 1+ x 2x 2 + y 2x 2 + y 2 xòò Ddxdy òò d(+ 2 2 òò x d 2 x 2 + y 2ò = 3 + 1)ù û20.分）t 2dt .f (x ) = (2 -x )e x 2 ;(1, 2), f (2) = ln 2 ×h e h 2 .F (x ) = f (x )(x - 2) = (x - 2) x e t 2dt 1 (2) = 0, 又F (x )在[1, 2]连续,(1, 2)上可导,(1, 2), 使得F '(x ) = 0e t 2 dt + (x - 2)e x 2 =f (x ) + (x - 2)e x 2x 2 .令 $h Î(1, 2)=f (2) = e=h e h 2 ln 22 21.分）f ¢(x ) > 0(x ³ 0) ， f (x ) 的图象过原点 O的切线与 X 轴交于 T ，MP ^ x 轴，曲线 y = f (x ), MP , x 轴围成的面积与D 3：2，求曲线方程.坐标为(x , y ) ，则过 M 的切线方程为Y -令- y y ¢n 2 （2即xê úò0 f (t )d t = 3× × y 22 y整理并求导得令 y ¢ = p 3yy ¢ - 2 y ¢2 = 0y ¢ = d p 代入上式得d y3yp d p- 2 p 2 = 0d y2解得 p = C 1 y 32即 y ¢ = C 1 y 3d y = C d x1y 31 3y 3 = C 1x +C2 13 3 = C 1xy = Cx 3由 y (0) = 0 得C 2 = 0.22.（本题满分 11 分）设 二 次 型 f (x , x , x ) = x 2 + x 2 + x 2+ 2ax x + 2ax x + 2ax x经 可 逆 线 性 变 换 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3æ x1 ö æ y 1 ö ç x ÷ = P ç y ÷ 得 g ( y , y , y ) = y2 + y 2 +4 y 2 + 2 y y .ç 2 ÷ ç 2 ÷ 1 2 3 1 2 3 12ç x ÷ ç y ÷ è 3 ø è 3 ø（1） 求 a 的值； （2） 求可逆矩阵 P. 解析：é1aa ùA = êa 1 a ú ê ú（1） 令 f (x 1, x 2 , x 3 ) 的矩阵 êëa a 1úûf ( y 1, y 2 , y 3 ) 的矩阵 é1 1 0ùB = ê1 1 0úêë0 0 4úû33 32 21 2 1 1 2 1 ëû ê 3 1 2 ê 3 z ï ú ìz 1 = y 1 + y 2 í 2 = 2 y 3 é1 1 0ù ï z 3 = y 2 ê ú 令î 即令P = ê0 0 2ú Z = P Y . 22 êë0 1 0úûf ( y , y , y ) = z 2 + z 2 则 1 2 3 1 2 .故P 1 X = P 2Y X = P -1PY P = P -1P .é 1 ù ê3 ú é1 1 0ù P -1 = ê02 1ú P = ê0 0 2 ú 1 ê3 ú 2 ê ú ê ê0 0 由于 êë ú ê0 1 0ú 1ú úû é1 2 2 ù ê ú 故 P = P -1P = ê0 14 ú ú ê0 1 0 ú ê úêë úû23.（本题满分 11 分）设 A 为 2 阶矩阵， P = (a , A a ) ，其中a 是非零向量且不是 A 的特征向量. (1)证明 P 为可逆矩阵.(2)若 A 2a + A a - 6a = 0 ，求 P -1AP ，并判断 A 是否相似于对角矩阵. 解析：(1)a ¹ 0 且 A a ¹ la . 故a与A a 线性无关. 则 r (a , A a ) = 2则 P 可逆.(2)法一：由已知有 A 2a = - A a + b a即 . 所以于是 AP = A (a , A a ) = ( A a , A 2a ) = ( A a , - A a + 6a )= (a , A a ) æ 0 6 ö,故有P -1 AP = æ 0 6 ö,! P 可逆 ç 1 -1÷ ç 1 -1÷ è ø è ø \可得A 与æ 0 6 ö相似，又 l -6 =（l + 3）"（l - 2）= 0 ç 1 -1÷ -1 l +1è øÞl 1 = -3,l 2 = 2\可得A 的特征值也为-3，2 于是 A 可相似对角化方法二 P -1AP 同方法一由 A 2a + A a - 6a = 0下面是证明 A 可相似对角化( A 2 + A - 6E )a = 0设( A + 3E )( A - 2E )a = 0由a ¹ 0得( A 2 + A - 6E )x = 0有非零解 故| ( A + 3E )( A - 2E ) |= 0得| A + 3E |= 0或| A - 2E |= 0若| ( A + 3E ) |¹ 0则有( A - 2E )a = 0故A a =2a 与题意矛盾故| A + 3E |= 0同理可得| A - 2E |= 0 于是 A 的特征值为l 1 = -3 l 2 = 2.A 有 2 个不同特征值故 A a 相似对角化。
2020年考研数学二真题及解析
2020全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（ ） （A ）()21xt e dt -⎰（B）(0ln 1xdt +⎰（C ）sin 20sin xt dt ⎰（D）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。
（A ）()()222011x t x e dt e x '-=-~⎰（B ）(()(22ln 1ln 1x t dt x x'+=⎰（C ）()()sin 2220sin sin sin xt dt x x '=⎰（D ）()1cos 22301sin sin(1cos )2xt dt x x x-'=-⎰经比较，选（D ）（2）函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x =-，由此11121111ln 1lim ()lim lim ln 1(1)(2)3(1)x x x x x e x ef x x e x e ---→-→-→-+==-+=-∞---； 111000ln 1ln(1)1lim ()lim lim (1)(2)22x x x x x e x e x f x e x x e--→→→++==-=---；1111111111111ln 1ln 2lim ()lim lim 0;(1)(2)1ln 1ln 2lim lim ;(1)(2)1x x x x x x x x x x x exf x e e x e e x e e x e ---++--→→→--→→+===---+==-∞---；112222ln 1ln 31lim ()limlim (1)(2)(1)2x x x x x e x e f x e x e x -→→→+===∞----故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项（C ）正确。
2020年考研数学二(数学302)真题试题及答案解析
绝密☆启用前2020年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析（科目代码：302）考生注意爭项1.答題前，考生须在试題册指定位置上填⅛*⅛⅛Λ和考生编号；在答题卡指定位豈上填写报考单位、考生⅛Λ4∏考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.考生须把试.題册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在各题卡的“试卷条形码粘贴位置”框中。
不按规定粘貼条形码而影响试.卷结果的，责任由考生自负。
3.选择題的答案必须涂写在暮题卡相应題号的选项上，非选择逖的咨案必须芳写在答題纸指定位置的边框区域内。
超出答題区域写的答案无效：在草稿纸、试題册上答题无效。
字迹工整、笔迹清（以下信息考生必须认真填写）5.考试结束，将答题卡和试遜册按规定交回。
8Qarcsin 仮.π2B.——一、选择题：（1・8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，请将选项前的字母填在答题纸上）】.当Λ→0*,下列无穷小的阶数最高的是（〉2屈5）=册壯訓第二类间断点个数为＜〉A. 1B. 2C. 32020年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试B. JA 卜√φ)π D.-84•函数f(x) = x2 In(I-x),当n≥3时./(^(O)= < 〉n∖A. -------n-2n∖ B.——W-25∙对函数∕g）n -Vw y = 0 ,给出以下结论.r = 0汀②竺（0.0）∂x∂=1：® IiIn /(χ,y)=0:④Iimlim f(x9y) =0 正确的(0 0) <x,⅜∙)→(O.O)v→0 ΛT→0个数是（〉A.4B.3C. 2D.16•函数/(x)在区间［-2,2］上可导.Π∕X V)>∕(Λ∙)>0.则 < )B.D.7 •己如四阶短阵J = (αj不可逆山応的代数余子式/f12≠0^15α29α3^4为短阵畀的列向虽组，/T为月的伴随矩阵.则方程组A t X = O的通解为(》A.X = A “I +& √Z2 +A√z 3,其中仏M 2, & 3为任点常数B.x≈k l a l+k2a2-^k i a49其中k i,k2,k i为任意常数C.* = ] + R2<Z3 + *37,其中k n k29k i为任总常数D.X = k l a2∙^k2a3^-k i a i9^φΛ∣,Λ2,Λ3为任总常数&i殳/1为3阶矩阵,tz,,α2为矩阵/IWTI的线性无关的特征向S.α3为//的属丁特征值仃O 0、-1的特征向量.则满足P xΛP = 0-10的可逆矩阵P可为(〉,0 O LA∙(a l+a3,a2-a3)B.(αι+α2Sr3)C.(a】+%F3,F2)D.(a i +^2,-α3.-α2)二填空(9JJ小题，每小; 4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上)ILsr = arctan[Λτ + sin(.r + y)h 则(IZ I (O lX)= ∙12•斜边长为2uWl tL(∏ 2f∣J 形丫板铅Il 地沉没任水中』斜边与水而齐丫 •设血力加連 度为Q 水的密度为C 则该半板•侧所受的水压力为 ___________ 13.设 y = y(x)满足 y β + Iy + y = O,且y(0) = 0./(0) = I ,则 £ V (ΛM V = __Q 0 O a-1 1-1 三、简答题(15-23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定位置上，解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本题满分10分)求曲纯F = 产=(V > 0)的斜渐近线方程O"0 + V)16.（本题满分10分）□.知PA 数/(x)连续 ILliI 】、=Lg(X) = ∫'/(Xt )(JK 求匕'(x),并证明 g'(.v)&x = 0 处 连续。
2020考研数学二解析
D
x
∫ （20）设函数 f (x) = x et2 dx 1 （I）证：存在 ξ ∈ (1，2) ，f (ξ ) = (2 − ξ )eξ2 ； （II）证：存在η ∈ (1，2) ，f (2) = ln 2 ⋅ηeη2 .
2020 数学（二）真题 第 8 页 共 11 页
（21）设函数 f (x) 可导，且 f ′(x) > 0 ，曲线 y = f (x)(x 0) 经过坐标原点 O ，其 上任意一点 M 处的切线与 x 轴交于 T ，又 MP⊥x 轴于点 P ，已知由曲线 y = f (x) 直线 MP 以及 x 轴所围图形的面积与 ∆MTP 的面积之比恒为 3：2 ， 求满足上述条件的曲线的方程.
∫ ∫ 【解析】A.
x (et2
0
−1) dt
x t 2 dt = x3 ；
0
3∫ B.xln( Nhomakorabea +
0
t3
)
dt
t
3 2
dt
= 2 x 52 ； 5
∫ ∫ C.
sin x sin t 2
0
dt
x t 2 dt = 1 x3 ；
0
3
D.
1−cos x
∫0
∫ sin3 t dt
1 x2 3
2 t2
+
y22
+
4 y32
+ 2 y1 y2
.
x3 y3
（I）求 a 的值；
（II）求可逆矩阵 P .
2020 数学（二）真题 第 10 页 共 11 页
（23）设 A 为二阶矩阵，P = (α ，Aα) ，其中 α 是非零向量且不是 A 的特征向量： （I）证明 P 为可逆矩阵； （II）若 A2α + Aα − 6α = 0 ，求 P −1AP ，并判断 A 是否相似于对角矩阵.
考研真题 精品推荐 2020年全国硕士研究生招生考试(数学二)--答案解析
1 ，故
f (0) f (1)
e
.
7. C
解析：由于 A 是不可逆的，所以 r( A) 4 ，又由于 A12 0 ，所以 r( A) 3，故 r( A) 3 ，
所以 r( A* ) 1 ，所以 A* x 0 的基础解系中有 3 个向量，又因为 A12 0 ，所以 α1 ，α3 ，α4
线性无关，所以解为 x k1α1 k2α3 k3α4 ，故选 C .
PM | TP
x
y ( x)dt
|
3 2
，化简得
yy 2( 3 2
1) y2
0
，为可降阶微分方程代入初始解
y(0)
0
，得
0
1
所求曲线方程为 y Cx 2 （ C 为任意大于零的常数）.
1 a a 22.（1）设 A= a 1 a
a a 1
1 1 0 B= 1 1 0
0 0 4
因为 B=P T AP 所以 r(B)=r( A)
2
10. 2 1 2
1
1
解析： dy
x3 1dx
1
dx
x2
x3 1dy 1
x3 1
1
3/2
2 1
0
y
0
0
2
0
2
11. ( 1)dx dy
解析：
dz
(y
cos(x y))dx (x cos(x 1 [xy sin(x y)]2
y))dy
dz (0, ) ( 1)dx dy
1-cos x
D 选项 (
sin3 tdt) ' sin x
sin3(1 cos x) ~
1 x4 .
0
2020年全国研究生考试数学(二)真题+答案详解
(1- x)n
(1- x)n -1
2
(1- x)n -2
\ f (n) (0) = - n! . n-2
ìxy
5.关于函数
f
(x,
y)
=
ï í
x
ï î
y
xy ¹ 0 y = 0 给出以下结论 x=0
¶f
①
=1
¶x (0,0)
¶2 f
②
=1
¶x¶y
(0,0)
③ lim f ( x, y) = 0
( x, y )®(0,0)
ò = 1
1
1 (x3 + 1) 2 d (x3 + 1)
30
=
1
×
2
(x3
+ 1)
3 2
1
33 0
=
2
æ ç
3
22
ö - 1÷
9è ø
11.
|(0,p)= .
设 z = arctan[xy + sin(x + y)] ，则 dz
解析:
dz = ¶z dx + ¶z dy
¶x ¶x
¶z =
1
[ y + cos(x + y)], ¶z = π- 1
a 0 -1 1
14.行列式 0
a
1 -1 =
-1 1 a 0
1 -1 0 a
解析：
a 0 -1 1 a 0 -1 1
0 a 1 -1 0 a 1 -1 =
-1 1 a 0 -1 1 a 0
1 -1 0 a 0 0 a a
0 a -1 + a 2 1
a -1+ a 2 1
2020年考研数学二试题及答案
全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果 （1）()limx f x x→∞不存在； （2）()limx f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221x xy x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C.(2) 设函数2()(1)(2)()xxnx f x e ee n =---,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x→→+-'==. 在本题中，按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=--1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--故选（A ）.(3) 设0(1,2,)n a n >=，123n n S a a a a =++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B【考点】数列极限 【难易度】★★★【详解】因0(1,2,)n a n >=，所以123n n S a a a a =++++单调上升.若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞存在，于是11lim lim()lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞→∞→∞→∞=-=-=反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n =，则n S n =是无界的.因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设20sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x e t dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e e xdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<.故选D.（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因(,)0f x y x∂>∂，当y 固定时对x 单调上升，故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因(,)0f x y y∂<∂，当x 固定时对y 单调下降，故当12y y >时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.（6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰( )（A ）π（B ）2（C ）-2（D ）π-【答案】D【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：10,(,)(,)2(,),(,)DD f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对或为奇函数，对或为偶函数在本题中，11555222sin sin 221(1)(1)()2x x Dx y dxdy dx x y dy x y y dx ππππ---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰5222221(1sin )(1sin )2x x dx x dx πππππ--=---=-⎰⎰ 其中521(1sin )2x x -，sin x 均为奇函数，所以 52221(1sin )02x x dx ππ--=⎰，22sin 0xdx ππ-=⎰故选（D ）(7)设1100c α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选B.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则22x d ydx== .【答案】1【考点】隐函数的微分 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。
2020年考研数二真题参考答案
解析：因为 A12 ≠ 0 ，所以 A 中有一个 3 阶子式不为零，又 A 不可逆，从而知 R（A）＝3，
故 R( A*) = 1，再由 A12 ≠ 0 知α1,α3,α4 线性无关，综上可得α1,α3,α4 是 A*x = 0 的一个基
础解系，所以知（C）正确。
8、设 A 为 3 阶矩阵，α1,α2 为 A 属于 1 的线性无关的特征向量，α3 为 A 的属于特征值
∂x∂y
(x, y)→(0,0)
y→0 x→0
(0,0)
正确的个数是（ ） （A）4 （B）3
（C）2
（D）1
解析：（A）= ∂f lim f (0 + x, 0) −= f (0, 0) li= m x − 0 1 ，（A）正确；
∂x x→0 (0,0)
x
x→0 x − 0
∂2 f
（B）
= lim fx (0, 0 + y) − = fx (0, 0) lim y −1 ≠ 1 ，（B）不正确；
1
xt = u 1
f (xt)dt
0
xdt = du x
x 0
f
(u)du
⇒
g ′( x)
= − 1 x2
x 0
f
(u)du
+
1 x
f (x)
当 x = 0 时，有
∫ ∫ = g′(0)
li= m g(x) − g(0)
1
x
f (u)du − 0
lim x 0 =
x
f (u)du lim 0 =
li= m f (x)
=y (C1 + C2 x) e−x ，由已知条件= y(0) 0= , y′(0) 1, 得= C0 0= , C1 1, 则有